x-ის მესამე ფესვის წარმოებული. რთული ფუნქციის წარმოებული. გადაწყვეტილებების მაგალითები

სიმძლავრის ფუნქციის წარმოებულის ფორმულის გამოყვანა (x a-ს ხარისხამდე). განიხილება წარმოებულები x-ის ფესვებიდან. უმაღლესი რიგის სიმძლავრის ფუნქციის წარმოებულის ფორმულა. წარმოებულების გამოთვლის მაგალითები.

x-ის წარმოებული a-ს ხარისხზე ტოლია x-ის ხარისხზე მინუს ერთი:
(1) .

x-ის n-ე ფესვის წარმოებული mth ხარისხთან არის:
(2) .

სიმძლავრის ფუნქციის წარმოებულის ფორმულის წარმოშობა

შემთხვევა x > 0

განვიხილოთ x ცვლადის სიმძლავრის ფუნქცია a მაჩვენებლით:
(3) .
აქ a არის თვითნებური რეალური რიცხვი. ჯერ საქმე განვიხილოთ.

(3) ფუნქციის წარმოებულის საპოვნელად ვიყენებთ სიმძლავრის ფუნქციის თვისებებს და გარდაქმნით მას შემდეგ ფორმაში:
.

ახლა ჩვენ ვიპოვით წარმოებულს გამოყენებით:
;
.
Აქ .

ფორმულა (1) დადასტურებულია.

x-ის n ხარისხის ფესვის წარმოებულის ფორმულის წარმოშობა m ხარისხამდე

ახლა განიხილეთ ფუნქცია, რომელიც არის შემდეგი ფორმის ფესვი:
(4) .

წარმოებულის საპოვნელად, ფესვს ვაქცევთ ძალაუფლების ფუნქციად:
.
(3) ფორმულასთან შედარება ჩვენ ვხედავთ, რომ
.
მერე
.

ფორმულის გამოყენებით (1) ვიპოვით წარმოებულს:
(1) ;
;
(2) .

პრაქტიკაში არ არის საჭირო ფორმულის დამახსოვრება (2). ბევრად უფრო მოსახერხებელია ჯერ ფესვების გადაქცევა ძალაუფლების ფუნქციებად, შემდეგ კი მათი წარმოებულების პოვნა ფორმულის გამოყენებით (1) (იხილეთ მაგალითები გვერდის ბოლოს).

შემთხვევა x = 0

თუ , მაშინ სიმძლავრის ფუნქცია განისაზღვრება x = ცვლადის მნიშვნელობისთვის 0 . ვიპოვოთ (3) ფუნქციის წარმოებული x =-ზე 0 . ამისათვის ჩვენ ვიყენებთ წარმოებულის განმარტებას:
.

ჩავანაცვლოთ x = 0 :
.
ამ შემთხვევაში წარმოებულში ვგულისხმობთ მარჯვენა ზღვარს, რომლისთვისაც .

ასე რომ, ჩვენ აღმოვაჩინეთ:
.
აქედან ირკვევა, რომ , .
ზე,.
ზე,.
ეს შედეგი ასევე მიღებულია ფორმულიდან (1):
(1) .
ამიტომ, ფორმულა (1) ასევე მოქმედებს x =-ისთვის 0 .

შემთხვევა x< 0

კვლავ განიხილეთ ფუნქცია (3):
(3) .
a მუდმივის გარკვეული მნიშვნელობებისთვის ის ასევე განისაზღვრება უარყოფითი მნიშვნელობებიცვლადი x. კერძოდ, დაე იყოს რაციონალური რიცხვი. მაშინ ის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც შეუქცევადი წილადი:
,
სადაც m და n არის მთელი რიცხვები გარეშე საერთო გამყოფი.

თუ n კენტია, მაშინ ძალაუფლების ფუნქცია ასევე განისაზღვრება x ცვლადის უარყოფითი მნიშვნელობებისთვის. მაგალითად, როდესაც n = 3 და m = 1 ჩვენ გვაქვს კუბის ფესვი x-დან:
.
ის ასევე განისაზღვრება x ცვლადის უარყოფითი მნიშვნელობებისთვის.

მოდით ვიპოვოთ სიმძლავრის ფუნქციის წარმოებული (3) მუდმივის a და რაციონალური მნიშვნელობებისთვის, რომლისთვისაც ის არის განსაზღვრული. ამისათვის წარმოვიდგინოთ x შემდეგი ფორმით:
.
მაშინ,
.
წარმოებულს ვპოულობთ წარმოებულის ნიშნის გარეთ მუდმივის მოთავსებით და რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესის გამოყენებით:

.
Აქ . მაგრამ
.
Მას შემდეგ
.
მერე
.
ანუ, ფორმულა (1) ასევე მოქმედებს:
(1) .

უმაღლესი რიგის წარმოებულები

ახლა ვიპოვოთ სიმძლავრის ფუნქციის უმაღლესი რიგის წარმოებულები
(3) .
ჩვენ უკვე ვიპოვეთ პირველი რიგის წარმოებული:
.

წარმოებულის ნიშნის გარეთ a მუდმივის აღებით, ჩვენ ვპოულობთ მეორე რიგის წარმოებულს:
.
ანალოგიურად, ჩვენ ვპოულობთ მესამე და მეოთხე რიგის წარმოებულებს:
;

.

აქედან ირკვევა, რომ თვითნებური n-ე რიგის წარმოებულიაქვს შემდეგი ფორმა:
.

შეამჩნია, რომ თუ არის ბუნებრივი რიცხვი , მაშინ n-ე წარმოებული მუდმივია:
.
მაშინ ყველა მომდევნო წარმოებული ტოლია ნულის:
,
ზე.

წარმოებულების გამოთვლის მაგალითები

მაგალითი

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული:
.

გამოსავალი

მოდით გადავიყვანოთ ფესვები ძლიერებად:
;
.
შემდეგ ორიგინალური ფუნქცია იღებს ფორმას:
.

ძალაუფლების წარმოებულების პოვნა:
;
.
მუდმივის წარმოებული არის ნული:
.

წარმოებულის პოვნის ოპერაციას დიფერენციაცია ეწოდება.

უმარტივესი (და არც თუ ისე მარტივი) ფუნქციების წარმოებულების პოვნის ამოცანების გადაჭრის შედეგად წარმოებულის განსაზღვრით, როგორც ნამატის შეფარდების ზღვარი არგუმენტის ზრდასთან, გაჩნდა წარმოებულების ცხრილი და ზუსტად გარკვეული წესებიდიფერენციაცია. პირველები, ვინც მუშაობდნენ წარმოებულების პოვნის სფეროში, იყვნენ ისააკ ნიუტონი (1643-1727) და გოტფრიდ ვილჰელმ ლაიბნიცი (1646-1716).

ამიტომ, ჩვენს დროში, რომელიმე ფუნქციის წარმოებულის მოსაძებნად, არ არის საჭირო ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზემოაღნიშნული ლიმიტის გამოთვლა არგუმენტის ზრდასთან, არამედ საჭიროა მხოლოდ ცხრილის გამოყენება. წარმოებულები და დიფერენცირების წესები. შემდეგი ალგორითმი შესაფერისია წარმოებულის მოსაძებნად.

წარმოებულის საპოვნელად, თქვენ გჭირდებათ გამოხატვა ძირითადი ნიშნის ქვეშ მარტივი ფუნქციების დაყოფა კომპონენტებადდა განსაზღვრეთ რა ქმედებები (პროდუქტი, ჯამი, კოეფიციენტი)ეს ფუნქციები დაკავშირებულია. შემდეგი, ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულებს ვხვდებით წარმოებულთა ცხრილში, ხოლო ნამრავლის წარმოებულების ფორმულებს, ჯამისა და კოეფიციენტის - დიფერენციაციის წესებში. წარმოებული ცხრილი და დიფერენციაციის წესები მოცემულია პირველი ორი მაგალითის შემდეგ.

მაგალითი 1.იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

გამოსავალი. დიფერენციაციის წესებიდან ვხვდებით, რომ ფუნქციების ჯამის წარმოებული არის ფუნქციათა წარმოებულების ჯამი, ე.ი.

წარმოებულთა ცხრილიდან ვიგებთ, რომ „x“-ის წარმოებული უდრის ერთს, ხოლო სინუსის წარმოებული კოსინუსის. ჩვენ ამ მნიშვნელობებს ვანაცვლებთ წარმოებულთა ჯამს და ვპოულობთ წარმოებულს, რომელიც საჭიროა პრობლემის მდგომარეობით:

მაგალითი 2.იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

გამოსავალი. ჩვენ განვასხვავებთ, როგორც იმ ჯამის წარმოებულს, რომელშიც მეორე წევრს აქვს მუდმივი კოეფიციენტი; ის შეიძლება ამოღებულ იქნას წარმოებულის ნიშნიდან:

თუ ჯერ კიდევ ჩნდება კითხვები იმის შესახებ, თუ საიდან მოდის რაღაც, ისინი ჩვეულებრივ ირკვევა მას შემდეგ, რაც გაეცანით წარმოებულთა ცხრილს და დიფერენციაციის უმარტივეს წესებს. ჩვენ ახლა მათზე გადავდივართ.

მარტივი ფუნქციების წარმოებულების ცხრილი

1. მუდმივის (რიცხვის) წარმოებული. ნებისმიერი რიცხვი (1, 2, 5, 200...), რომელიც არის ფუნქციის გამოხატულებაში. ყოველთვის ნულის ტოლია. ეს ძალიან მნიშვნელოვანია გახსოვდეთ, რადგან ეს ძალიან ხშირად არის საჭირო
2. დამოუკიდებელი ცვლადის წარმოებული. ყველაზე ხშირად "X". ყოველთვის ერთის ტოლია. ეს ასევე მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს დიდი ხნის განმავლობაში
3. ხარისხის წარმოებული. პრობლემების გადაჭრისას, თქვენ უნდა გადააქციოთ არაკვადრატული ფესვები ძალად.
4. ცვლადის წარმოებული ძალა -1
5. წარმოებული კვადრატული ფესვი
6. სინუსის წარმოებული
7. კოსინუსის წარმოებული
8. ტანგენსის წარმოებული
9. კოტანგენტის წარმოებული
10. არქსინის წარმოებული
11. რკალის კოსინუსის წარმოებული
12. არქტანგენტის წარმოებული
13. რკალის კოტანგენტის წარმოებული
14. ნატურალური ლოგარითმის წარმოებული
15. ლოგარითმული ფუნქციის წარმოებული
16. მაჩვენებლის წარმოებული
17. ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული

დიფერენცირების წესები

1. ჯამის ან სხვაობის წარმოებული
2. პროდუქტის წარმოებული
2ა. გამოხატვის წარმოებული გამრავლებული მუდმივ კოეფიციენტზე
3. კოეფიციენტის წარმოებული
4. რთული ფუნქციის წარმოებული

წესი 1.თუ ფუნქციები

რაღაც მომენტში დიფერენცირებადია, შემდეგ ფუნქციები ერთსა და იმავე წერტილში დიფერენცირებადია

და

იმათ. ფუნქციების ალგებრული ჯამის წარმოებული ტოლია ალგებრული ჯამიამ ფუნქციების წარმოებულები.

შედეგი. თუ ორი დიფერენცირებადი ფუნქცია განსხვავდება მუდმივი წევრით, მაშინ მათი წარმოებულები ტოლია, ე.ი.

წესი 2.თუ ფუნქციები

რაღაც მომენტში დიფერენცირებადია, მაშინ მათი პროდუქტი ერთსა და იმავე წერტილში დიფერენცირებადია

და

იმათ. ორი ფუნქციის ნამრავლის წარმოებული ტოლია თითოეული ამ ფუნქციის ნამრავლისა და მეორის წარმოებულის ჯამს.

დასკვნა 1. მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას წარმოებულის ნიშნიდან:

დასკვნა 2. რამდენიმე დიფერენცირებადი ფუნქციის ნამრავლის წარმოებული უდრის თითოეული ფაქტორისა და ყველა სხვა წარმოებულის ნამრავლების ჯამს.

მაგალითად, სამი მულტიპლიკატორისთვის:

წესი 3.თუ ფუნქციები

რაღაც მომენტში დიფერენცირებადია და , მაშინ ამ დროს მათი კოეფიციენტიც დიფერენცირებადიაu/v და

იმათ. ორი ფუნქციის კოეფიციენტის წარმოებული ტოლია წილადისა, რომლის მრიცხველი არის სხვაობა მნიშვნელის პროდუქტებსა და მრიცხველის წარმოებულსა და მნიშვნელის წარმოებულს შორის, ხოლო მნიშვნელი არის კვადრატი. ყოფილი მრიცხველი.

სად უნდა მოძებნოთ რამე სხვა გვერდებზე

რეალურ ამოცანებში პროდუქტის წარმოებულისა და კოეფიციენტის პოვნისას, ყოველთვის საჭიროა რამდენიმე დიფერენციაციის წესის ერთდროულად გამოყენება, ამიტომ ამ წარმოებულებზე მეტი მაგალითია სტატიაში."პროდუქტის წარმოებული და ფუნქციების კოეფიციენტი".

კომენტარი.არ უნდა აურიოთ მუდმივი (ანუ რიცხვი), როგორც ჯამის ტერმინი და როგორც მუდმივი ფაქტორი! ტერმინის შემთხვევაში მისი წარმოებული ნულის ტოლია, ხოლო მუდმივი ფაქტორის შემთხვევაში იგი ამოღებულია წარმოებულების ნიშნიდან. ეს ტიპიური შეცდომა, რომელიც ხდება საწყისი ეტაპისწავლობს წარმოებულებს, მაგრამ რადგან ისინი ხსნიან რამდენიმე ერთ და ორნაწილიან მაგალითს, საშუალო სტუდენტი აღარ უშვებს ამ შეცდომას.

და თუ პროდუქტის ან კოეფიციენტის დიფერენცირებისას გაქვთ ტერმინი u"ვ, რომელშიც u- რიცხვი, მაგალითად, 2 ან 5, ანუ მუდმივი, მაშინ ამ რიცხვის წარმოებული იქნება ნულის ტოლი და, შესაბამისად, მთელი წევრი იქნება ნულის ტოლი (ეს შემთხვევა განიხილება მაგალითში 10).

სხვა საერთო შეცდომა- რთული ფუნქციის წარმოებულის მექანიკური ამოხსნა, როგორც მარტივი ფუნქციის წარმოებული. Ამიტომაც რთული ფუნქციის წარმოებულიცალკე სტატია ეთმობა. მაგრამ ჯერ ჩვენ ვისწავლით მარტივი ფუნქციების წარმოებულების პოვნას.

გზაში, თქვენ არ შეგიძლიათ გააკეთოთ გამონათქვამების გარდაქმნის გარეშე. ამისათვის შეიძლება დაგჭირდეთ სახელმძღვანელოს გახსნა ახალ ფანჯრებში. მოქმედებები ძალებითა და ფესვებითდა მოქმედებები წილადებთან .

თუ თქვენ ეძებთ ამონახსნებს წილადებისა და ფესვების წარმოებულების შესახებ, ანუ, როდესაც ფუნქცია გამოიყურება , შემდეგ მიჰყევით გაკვეთილს წილადების ჯამების წარმოებული ხარისხებითა და ფესვებით.

თუ თქვენ გაქვთ ისეთი დავალება, როგორიცაა , შემდეგ გაივლით გაკვეთილს „მარტივი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების წარმოებულები“.

ნაბიჯ-ნაბიჯ მაგალითები - როგორ მოვძებნოთ წარმოებული

მაგალითი 3.იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

გამოსავალი. ჩვენ განვსაზღვრავთ ფუნქციის გამოხატვის ნაწილებს: მთელი გამოხატულება წარმოადგენს პროდუქტს, ხოლო მისი ფაქტორები არის ჯამები, რომელთაგან ერთ-ერთი ტერმინი შეიცავს მუდმივ ფაქტორს. ჩვენ ვიყენებთ პროდუქტის დიფერენციაციის წესს: ორი ფუნქციის ნამრავლის წარმოებული უდრის თითოეული ამ ფუნქციის ნამრავლების ჯამს მეორის წარმოებულის მიხედვით:

შემდეგ ვიყენებთ ჯამის დიფერენციაციის წესს: ფუნქციების ალგებრული ჯამის წარმოებული უდრის ამ ფუნქციების წარმოებულების ალგებრულ ჯამს. ჩვენს შემთხვევაში, თითოეულ ჯამში მეორე წევრს აქვს მინუს ნიშანი. თითოეულ ჯამში ჩვენ ვხედავთ როგორც დამოუკიდებელ ცვლადს, რომლის წარმოებული უდრის ერთს, ასევე მუდმივ (რიცხვს), რომლის წარმოებულიც ნულის ტოლია. ასე რომ, "X" იქცევა ერთად, ხოლო მინუს 5 იქცევა ნულში. მეორე გამონათქვამში "x" მრავლდება 2-ზე, ამიტომ ორს ვამრავლებთ იმავე ერთეულზე, როგორც "x"-ის წარმოებული. ჩვენ ვიღებთ შემდეგ წარმოებულ მნიშვნელობებს:

ჩვენ ვცვლით ნაპოვნ წარმოებულებს პროდუქციის ჯამში და ვიღებთ მთელი ფუნქციის წარმოებულს, რომელიც საჭიროა პრობლემის პირობით:

მაგალითი 4.იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

გამოსავალი. ჩვენ უნდა ვიპოვოთ კოეფიციენტის წარმოებული. ჩვენ ვიყენებთ კოეფიციენტის დიფერენცირების ფორმულას: ორი ფუნქციის კოეფიციენტის წარმოებული ტოლია წილადისა, რომლის მრიცხველი არის სხვაობა მნიშვნელისა და მრიცხველის წარმოებულსა და მრიცხველის წარმოებულს შორის. მნიშვნელი, ხოლო მნიშვნელი არის ყოფილი მრიცხველის კვადრატი. ჩვენ ვიღებთ:

ჩვენ უკვე ვიპოვეთ მრიცხველის ფაქტორების წარმოებული მაგალითში 2. ასევე არ დაგვავიწყდეს, რომ ნამრავლი, რომელიც არის მრიცხველის მეორე ფაქტორი მიმდინარე მაგალითში, აღებულია მინუს ნიშნით:

თუ თქვენ ეძებთ ამოცანების გადაწყვეტას, რომლებშიც უნდა იპოვოთ ფუნქციის წარმოებული, სადაც არის ფესვებისა და ძალების უწყვეტი გროვა, როგორიცაა, მაგალითად, , მაშინ კეთილი იყოს თქვენი მობრძანება კლასში "წილადი წილადებისა და ფესვების ჯამების წარმოებული" .

თუ საჭიროა მეტი გაიგოთ სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების და სხვა ტრიგონომეტრიული ფუნქციების წარმოებულების შესახებ, ანუ როცა ფუნქცია გამოიყურება , მაშინ გაკვეთილი თქვენთვის "მარტივი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების წარმოებულები" .

მაგალითი 5.იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

გამოსავალი. ამ ფუნქციაში ჩვენ ვხედავთ პროდუქტს, რომლის ერთ-ერთი ფაქტორია დამოუკიდებელი ცვლადის კვადრატული ფესვი, რომლის წარმოებულსაც გავეცანით წარმოებულთა ცხრილში. პროდუქტის დიფერენცირების წესისა და კვადრატული ფესვის წარმოებულის ტაბულური მნიშვნელობის გამოყენებით ვიღებთ:

მაგალითი 6.იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

გამოსავალი. ამ ფუნქციაში ჩვენ ვხედავთ კოეფიციენტს, რომლის დივიდენდი არის დამოუკიდებელი ცვლადის კვადრატული ფესვი. კოეფიციენტების დიფერენცირების წესის გამოყენებით, რომელიც გავიმეორეთ და გამოვიყენეთ მაგალით 4-ში და კვადრატული ფესვის წარმოებულის ცხრილის მნიშვნელობის გამოყენებით, ვიღებთ:

მრიცხველში წილადის მოსაშორებლად, მრიცხველი და მნიშვნელი გავამრავლოთ.

რომელზედაც ჩვენ შევისწავლეთ უმარტივესი წარმოებულები, ასევე გავეცანით დიფერენციაციის წესებს და წარმოებულების პოვნის ზოგიერთ ტექნიკურ ტექნიკას. ამრიგად, თუ თქვენ არ ხართ ძალიან კარგად ფუნქციების წარმოებულები ან ამ სტატიის ზოგიერთი პუნქტი არ არის ბოლომდე გასაგები, მაშინ ჯერ წაიკითხეთ ზემოთ მოცემული გაკვეთილი. გთხოვ სერიოზულ ხასიათზე დადექი - მასალა მარტივი არ არის, მაგრამ მაინც შევეცდები მარტივად და გარკვევით წარმოვადგინო.

პრაქტიკაში, რთული ფუნქციის წარმოებულთან ძალიან ხშირად გიწევს საქმე, მე ვიტყოდი, თითქმის ყოველთვის, როცა დავალებებს აძლევენ წარმოებულების პოვნას.

ჩვენ ვუყურებთ ცხრილს კომპლექსური ფუნქციის დიფერენცირების წესს (No. 5):

მოდი გავარკვიოთ. პირველ რიგში ყურადღება მივაქციოთ ჩანაწერს. აქ გვაქვს ორი ფუნქცია - და, და ფუნქცია, ფიგურალურად რომ ვთქვათ, ფუნქციის შიგნით არის ჩასმული. ამ ტიპის ფუნქციას (როდესაც ერთი ფუნქცია მეორეშია ჩადგმული) რთული ფუნქცია ეწოდება.

დავრეკავ ფუნქციას გარე ფუნქციადა ფუნქცია - შიდა (ან წყობილი) ფუნქცია.

! ეს განმარტებები არ არის თეორიული და არ უნდა გამოჩნდეს დავალებების საბოლოო დიზაინში. მივმართავ არაფორმალური გამონათქვამები"გარე ფუნქცია", "შინაგანი" ფუნქცია მხოლოდ იმისთვის, რომ გაგიადვილოთ მასალის გაგება.

სიტუაციის გასარკვევად, განიხილეთ:

მაგალითი 1

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

სინუსის ქვეშ ჩვენ გვაქვს არა მხოლოდ ასო "X", არამედ მთელი გამოხატულება, ასე რომ, წარმოებულის პოვნა ცხრილიდან მოშორებით არ იმუშავებს. ჩვენ ასევე ვამჩნევთ, რომ აქ პირველი ოთხი წესის გამოყენება შეუძლებელია, როგორც ჩანს, განსხვავებაა, მაგრამ ფაქტია, რომ სინუსის "ნაწილებად დაშლა" შეუძლებელია:

ამ მაგალითში, ჩემი ახსნა-განმარტებიდან უკვე ინტუიციურად ცხადია, რომ ფუნქცია რთული ფუნქციაა, ხოლო მრავალწევრი არის შიდა ფუნქცია(ინვესტიცია) და – გარე ფუნქცია.

Პირველი ნაბიჯირა უნდა გააკეთოთ რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნისას არის გააცნობიეროს რომელი ფუნქციაა შიდა და რომელი გარე.

Როდესაც მარტივი მაგალითებიაშკარად ჩანს, რომ პოლინომი ჩასმულია სინუსის ქვეშ. მაგრამ რა მოხდება, თუ ყველაფერი აშკარა არ არის? როგორ ზუსტად განვსაზღვროთ რომელი ფუნქციაა გარე და რომელი შიდა? ამისათვის მე გთავაზობთ შემდეგი ტექნიკის გამოყენებას, რომელიც შეიძლება გაკეთდეს გონებრივად ან მონახაზში.

წარმოვიდგინოთ, რომ ჩვენ უნდა გამოვთვალოთ გამოთქმის მნიშვნელობა at კალკულატორზე (ერთის ნაცვლად შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი).

პირველ რიგში რას გამოვთვლით? Პირველ რიგშიუნდა გაკეთდეს შემდეგი მოქმედება: , მაშასადამე, მრავალწევრი იქნება შიდა ფუნქცია:

მეორეცუნდა მოიძებნოს, ამიტომ სინუსი - იქნება გარე ფუნქცია:

ჩვენ შემდეგ ᲒᲐᲧᲘᲓᲣᲚᲘᲐშიდა და გარე ფუნქციებით, დროა გამოვიყენოთ რთული ფუნქციების დიფერენცირების წესი .

დავიწყოთ გადაწყვეტილების მიღება. გაკვეთილიდან როგორ მოვძებნოთ წარმოებული?ჩვენ გვახსოვს, რომ ნებისმიერი წარმოებულის ამოხსნის დიზაინი ყოველთვის იწყება ასე - ჩვენ ვსვამთ გამონათქვამს ფრჩხილებში და ვათავსებთ შტრიხს ზედა მარჯვნივ:

Პირველადიპოვნეთ წარმოებული გარე ფუნქცია(სინუსი), შეხედეთ ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულების ცხრილს და შენიშნეთ, რომ . ცხრილის ყველა ფორმულა ასევე გამოიყენება, თუ "x" ჩანაცვლებულია რთული გამოსახულებით, ამ შემთხვევაში:

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ შიდა ფუნქცია არ შეცვლილა, არ ვეხებით.

ისე, ეს სრულიად აშკარაა

ფორმულის გამოყენების შედეგი მისი საბოლოო სახით ასე გამოიყურება:

მუდმივი ფაქტორი ჩვეულებრივ მოთავსებულია გამოხატვის დასაწყისში:

თუ რაიმე გაუგებრობაა, დაწერეთ გამოსავალი ქაღალდზე და ხელახლა წაიკითხეთ განმარტებები.

მაგალითი 2

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

მაგალითი 3

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

როგორც ყოველთვის, ჩვენ ვწერთ:

მოდით გავარკვიოთ სად გვაქვს გარეგანი ფუნქცია და სად გვაქვს შინაგანი. ამისათვის ჩვენ ვცდილობთ (გონებრივად ან მონახაზში) გამოვთვალოთ გამოხატვის მნიშვნელობა ზე. რა უნდა გააკეთო პირველ რიგში? უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა გამოთვალოთ რის ტოლია ფუძე: მაშასადამე, მრავალწევრი არის შიდა ფუნქცია:

და მხოლოდ ამის შემდეგ ხდება ექსპონენტაცია, შესაბამისად, დენის ფუნქცია გარე ფუნქციაა:

ფორმულის მიხედვით , ჯერ უნდა იპოვოთ გარე ფუნქციის წარმოებული, ამ შემთხვევაში ხარისხი. ჩვენ ვეძებთ საჭირო ფორმულას ცხრილში: . კიდევ ერთხელ ვიმეორებთ: ნებისმიერი ცხრილის ფორმულა მოქმედებს არა მხოლოდ "X", არამედ რთული გამოსახულებისთვის. ამრიგად, რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესის გამოყენების შედეგი შემდეგი:

კიდევ ერთხელ ხაზს ვუსვამ, რომ როდესაც ვიღებთ გარე ფუნქციის წარმოებულს, ჩვენი შინაგანი ფუნქცია არ იცვლება:

ახლა რჩება მხოლოდ შიდა ფუნქციის ძალიან მარტივი წარმოებულის პოვნა და შედეგის ოდნავ შეცვლა:

მაგალითი 4

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომლითაც თქვენ თვითონ გადაჭრით (პასუხი გაკვეთილის ბოლოს).

რთული ფუნქციის წარმოებულის გაგების გასამყარებლად, მაგალითს მოგიყვან კომენტარების გარეშე, ვეცდები დამოუკიდებლად გაარკვიო, ახსნა სად არის გარე და სად შინაგანი ფუნქცია, რატომ წყდება ამოცანები ასე?

მაგალითი 5

ა) იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

ბ) იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

მაგალითი 6

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

აქ გვაქვს ფესვი და ფესვის დიფერენცირებისთვის ის ძალაუფლების სახით უნდა იყოს წარმოდგენილი. ამრიგად, ჯერ ფუნქციას მივყავართ დიფერენციაციისთვის შესაბამის ფორმაში:

ფუნქციის გაანალიზებისას მივდივართ დასკვნამდე, რომ სამი წევრის ჯამი შიდა ფუნქციაა, ხოლო ძალამდე აწევა გარეგანი ფუნქციაა. ჩვენ ვიყენებთ რთული ფუნქციების დიფერენცირების წესს :

ჩვენ კვლავ წარმოვადგენთ ხარისხს, როგორც რადიკალს (ფესვე), ხოლო შიდა ფუნქციის წარმოებულს ვიყენებთ ჯამის დიფერენცირების მარტივ წესს:

მზადაა. თქვენ ასევე შეგიძლიათ შეამციროთ გამოხატულება საერთო მნიშვნელამდე ფრჩხილებში და ჩაწეროთ ყველაფერი ერთ წილადად. მშვენიერია, რა თქმა უნდა, მაგრამ როცა უხერხულ გრძელ წარმოებულებს იღებთ, ჯობია არ გააკეთოთ ეს (ადვილია დაბნეულობა, ზედმეტი შეცდომის დაშვება და მასწავლებლისთვის უხერხული იქნება შემოწმება).

მაგალითი 7

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომლითაც თქვენ თვითონ გადაჭრით (პასუხი გაკვეთილის ბოლოს).

საინტერესოა აღინიშნოს, რომ ზოგჯერ რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესის ნაცვლად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ კოეფიციენტის დიფერენცირების წესი. , მაგრამ ასეთი გამოსავალი უჩვეულო გარყვნილებას წააგავს. აქ არის ტიპიური მაგალითი:

მაგალითი 8

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

აქ შეგიძლიათ გამოიყენოთ კოეფიციენტის დიფერენცირების წესი , მაგრამ ბევრად უფრო მომგებიანია წარმოებულის პოვნა რთული ფუნქციის დიფერენციაციის წესით:

ჩვენ ვამზადებთ ფუნქციას დიფერენციაციისთვის - მინუსს გამოვიყვანთ წარმოებული ნიშნიდან და კოსინუსს ვზრდით მრიცხველში:

კოსინუსი არის შინაგანი ფუნქცია, ექსპონენტაცია გარეგანი ფუნქციაა.
გამოვიყენოთ ჩვენი წესი :

ჩვენ ვპოულობთ შიდა ფუნქციის წარმოებულს და კოსინუსს უკან ვაბრუნებთ:

მზადაა. განხილულ მაგალითში მნიშვნელოვანია, რომ არ დაიბნეთ ნიშნებში. სხვათა შორის, შეეცადეთ მოაგვაროთ იგი წესის გამოყენებით , პასუხები უნდა ემთხვეოდეს.

მაგალითი 9

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომლითაც თქვენ თვითონ გადაჭრით (პასუხი გაკვეთილის ბოლოს).

აქამდე ჩვენ განვიხილეთ შემთხვევები, როდესაც გვქონდა მხოლოდ ერთი ბუდე კომპლექსურ ფუნქციაში. პრაქტიკულ ამოცანებში ხშირად შეგიძლიათ იპოვოთ წარმოებულები, სადაც მობუდული თოჯინების მსგავსად, ერთი მეორეში, ერთდროულად 3 ან თუნდაც 4-5 ფუნქციაა ჩასმული.

მაგალითი 10

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

მოდით გავიგოთ ამ ფუნქციის დანართები. შევეცადოთ გამოვთვალოთ გამოხატულება ექსპერიმენტული მნიშვნელობის გამოყენებით. როგორ ვითვლით კალკულატორს?

ჯერ უნდა იპოვოთ, რაც ნიშნავს, რომ რკალი არის ყველაზე ღრმა ჩადგმა:

ერთის ეს რკალი მაშინ უნდა დაიწიოს კვადრატში:

და ბოლოს, ჩვენ ვზრდით შვიდს ძალამდე:

ანუ, ამ მაგალითში გვაქვს სამი განსხვავებული ფუნქცია და ორი ჩაშენება, ხოლო ყველაზე შიდა ფუნქცია არის რკალი, ხოლო ყველაზე გარე ფუნქცია არის ექსპონენციალური ფუნქცია.

დავიწყოთ გადაწყვეტილების მიღება

წესის მიხედვით ჯერ უნდა აიღოთ გარე ფუნქციის წარმოებული. ჩვენ ვუყურებთ წარმოებულთა ცხრილს და ვპოულობთ ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებულს: ერთადერთი განსხვავება ისაა, რომ „x“-ის ნაცვლად გვაქვს რთული გამოხატულება, რომელიც არ უარყოფს ამ ფორმულის ნამდვილობას. ასე რომ, რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესის გამოყენების შედეგი შემდეგი.