ლოგარითმული ფორმულების სიტყვიერი ფორმულირება. ლოგარითმის და მისი თვისებების განმარტება: თეორია და პრობლემის გადაჭრა

მოგეხსენებათ, გამონათქვამების ძალებით გამრავლებისას მათი მაჩვენებლები ყოველთვის იკრიბება (a b *a c = a b+c). ეს მათემატიკური კანონი გამოიტანა არქიმედესმა, მოგვიანებით კი, მე-8 საუკუნეში, მათემატიკოსმა ვირასენმა შექმნა მთელი რიცხვების მაჩვენებლების ცხრილი. სწორედ ისინი ემსახურებოდნენ ლოგარითმების შემდგომ აღმოჩენას. ამ ფუნქციის გამოყენების მაგალითები შეგიძლიათ ნახოთ თითქმის ყველგან, სადაც თქვენ უნდა გაამარტივოთ რთული გამრავლება მარტივი შეკრებით. თუ 10 წუთს დაუთმობთ ამ სტატიის კითხვას, ჩვენ აგიხსნით რა არის ლოგარითმები და როგორ იმუშაოთ მათთან. მარტივი და ხელმისაწვდომი ენით.

განმარტება მათემატიკაში

ლოგარითმი არის შემდეგი ფორმის გამოხატულება: log a b=c, ანუ ნებისმიერი არაუარყოფითი რიცხვის (ანუ ნებისმიერი დადებითი) ლოგარითმი "b" მის ფუძეზე "a" ითვლება "c" ხარისხად. ” რომელზედაც უნდა გაიზარდოს ფუძე “a”, რათა საბოლოოდ მივიღოთ მნიშვნელობა “b”. გავაანალიზოთ ლოგარითმი მაგალითების გამოყენებით, ვთქვათ არის გამონათქვამი log 2 8. როგორ მოვძებნოთ პასუხი? ეს ძალიან მარტივია, თქვენ უნდა იპოვოთ სიმძლავრე ისეთი, რომ 2-დან საჭირო სიმძლავრემდე მიიღოთ 8. თქვენს თავში გარკვეული გამოთვლების გაკეთების შემდეგ მივიღებთ რიცხვს 3! და ეს მართალია, რადგან 2 3-ის ხარისხზე იძლევა პასუხს, როგორც 8.

ლოგარითმების სახეები

ბევრი მოსწავლისა და სტუდენტისთვის ეს თემა რთული და გაუგებარი ჩანს, მაგრამ სინამდვილეში ლოგარითმები არც ისე საშინელია, მთავარია მათი ზოგადი მნიშვნელობის გაგება და მათი თვისებების და ზოგიერთი წესის დამახსოვრება. არის სამი ცალკეული სახეობებილოგარითმული გამონათქვამები:

ბუნებრივი ლოგარითმი ln a, სადაც ფუძეა ეილერის რიცხვი (e = 2.7).
ათწილადი a, სადაც ფუძე არის 10.
ნებისმიერი b რიცხვის ლოგარითმი a>1-მდე.

თითოეული მათგანი წყდება სტანდარტული გზით, მათ შორის გამარტივება, შემცირება და შემდგომი შემცირება ერთ ლოგარითმზე ლოგარითმული თეორემების გამოყენებით. მისაღებად სწორი ღირებულებებილოგარითმები, მათი ამოხსნისას უნდა გახსოვდეთ მათი თვისებები და მოქმედებების თანმიმდევრობა.

წესები და გარკვეული შეზღუდვები

მათემატიკაში არის რამდენიმე წესი-შეზღუდვა, რომლებიც მიღებულია აქსიომად, ანუ ისინი არ ექვემდებარება განხილვას და არის ჭეშმარიტება. მაგალითად, შეუძლებელია რიცხვების გაყოფა ნულზე და ასევე შეუძლებელია უარყოფითი რიცხვების ლუწი ფესვის ამოღება. ლოგარითმებს ასევე აქვთ საკუთარი წესები, რომელთა დაცვით შეგიძლიათ მარტივად ისწავლოთ მუშაობა გრძელი და ტევადი ლოგარითმული გამონათქვამებითაც კი:

ფუძე "a" ყოველთვის უნდა იყოს ნულზე მეტი და არა 1-ის ტოლი, წინააღმდეგ შემთხვევაში გამოთქმა დაკარგავს თავის მნიშვნელობას, რადგან "1" და "0" ნებისმიერი ხარისხით ყოველთვის მათი მნიშვნელობების ტოლია;
თუ a > 0, მაშინ a b >0, გამოდის, რომ „c“ ასევე უნდა იყოს ნულზე მეტი.

როგორ ამოხსნათ ლოგარითმები?

მაგალითად, დავალება მოცემულია პასუხის პოვნა განტოლებაზე 10 x = 100. ეს ძალიან მარტივია, თქვენ უნდა აირჩიოთ სიმძლავრე ათი რიცხვის აწევით, რომლითაც მივიღებთ 100-ს. ეს, რა თქმა უნდა, არის 10 2 = 100.

ახლა წარმოვიდგინოთ ეს გამონათქვამი ლოგარითმული ფორმით. ვიღებთ log 10 100 = 2. ლოგარითმების ამოხსნისას ყველა მოქმედება პრაქტიკულად იყრის თავს იმ სიმძლავრის საპოვნელად, რომელზედაც საჭიროა ლოგარითმის ფუძის შეყვანა მოცემული რიცხვის მისაღებად.

უცნობი ხარისხის მნიშვნელობის ზუსტად დასადგენად, თქვენ უნდა ისწავლოთ როგორ იმუშაოთ გრადუსების ცხრილთან. ეს ასე გამოიყურება:

როგორც ხედავთ, ზოგიერთი მაჩვენებლის გამოცნობა შესაძლებელია ინტუიციურად, თუ თქვენ გაქვთ ტექნიკური გონება და ცოდნა გამრავლების ცხრილის შესახებ. თუმცა იმისთვის დიდი ღირებულებებიდაგჭირდებათ ხარისხების ცხრილი. მისი გამოყენება შეუძლიათ მათაც, ვინც საერთოდ არაფერი იცის კომპლექსის შესახებ მათემატიკური თემები. მარცხენა სვეტი შეიცავს რიცხვებს (ბაზა a), რიცხვების ზედა მწკრივი არის c სიმძლავრის მნიშვნელობა, რომელზედაც ამაღლებულია რიცხვი. კვეთაზე, უჯრედები შეიცავს ნომრის მნიშვნელობებს, რომლებიც პასუხია (a c =b). ავიღოთ, მაგალითად, პირველივე უჯრედი 10-ით და კვადრატში მივიღოთ მნიშვნელობა 100, რომელიც მითითებულია ჩვენი ორი უჯრედის გადაკვეთაზე. ყველაფერი ისეთი მარტივი და მარტივია, რომ ყველაზე ჭეშმარიტი ჰუმანისტიც კი მიხვდება!

განტოლებები და უტოლობა

გამოდის, რომ გარკვეულ პირობებში მაჩვენებლის მაჩვენებელი ლოგარითმია. აქედან გამომდინარე, ნებისმიერი მათემატიკური რიცხვითი გამონათქვამი შეიძლება დაიწეროს ლოგარითმული ტოლობის სახით. მაგალითად, 3 4 = 81 შეიძლება ჩაიწეროს, როგორც 81-ის მე-3 ლოგარითმი, რომელიც ტოლია ოთხს (log 3 81 = 4). ამისთვის უარყოფითი ძალებიწესები იგივეა: 2 -5 = 1/32 ვწერთ ლოგარითმად, ვიღებთ log 2 (1/32) = -5. მათემატიკის ერთ-ერთი ყველაზე მომხიბვლელი განყოფილება არის "ლოგარითმების" თემა. განტოლებების მაგალითებსა და ამონახსნებს განვიხილავთ ქვემოთ, მათი თვისებების შესწავლისთანავე. ახლა ვნახოთ, როგორ გამოიყურება უტოლობები და როგორ განვასხვავოთ ისინი განტოლებისგან.

მოცემულია შემდეგი გამოთქმა: log 2 (x-1) > 3 - ეს არის ლოგარითმული უტოლობა, რადგან უცნობი მნიშვნელობა „x“ ლოგარითმული ნიშნის ქვეშ არის. და ასევე გამონათქვამში შედარებულია ორი სიდიდე: სასურველი რიცხვის ლოგარითმი ორზე მეტია სამზე.

ყველაზე მნიშვნელოვანი განსხვავება ლოგარითმულ განტოლებებსა და უტოლობას შორის არის ის, რომ განტოლებები ლოგარითმებით (მაგალითად, ლოგარითმი 2 x = √9) პასუხში გულისხმობს ერთ ან მეტ კონკრეტულ რიცხვობრივ მნიშვნელობას, ხოლო უტოლობის ამოხსნისას ორივე მისაღები დიაპაზონი. მნიშვნელობები და წერტილები განისაზღვრება ამ ფუნქციის დარღვევით. შედეგად, პასუხი არ არის ინდივიდუალური რიცხვების მარტივი ნაკრები, როგორც განტოლების პასუხში, არამედ უწყვეტი სერია ან რიცხვების სიმრავლე.

ძირითადი თეორემები ლოგარითმების შესახებ

ლოგარითმის მნიშვნელობების პოვნის პრიმიტიული ამოცანების გადაჭრისას, მისი თვისებები შეიძლება არ იყოს ცნობილი. თუმცა, როდესაც საქმე ეხება ლოგარითმულ განტოლებებს ან უტოლობას, უპირველეს ყოვლისა, აუცილებელია ლოგარითმების ყველა ძირითადი თვისების მკაფიოდ გაგება და პრაქტიკაში გამოყენება. განტოლებების მაგალითებს მოგვიანებით განვიხილავთ; ჯერ უფრო დეტალურად განვიხილოთ თითოეული თვისება.

ძირითადი იდენტურობა ასე გამოიყურება: a logaB =B. იგი გამოიყენება მხოლოდ მაშინ, როდესაც a მეტია 0-ზე, არ უდრის ერთს და B არის ნულზე მეტი.
პროდუქტის ლოგარითმი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგი ფორმულით: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. ამ შემთხვევაში სავალდებულო პირობაა: d, s 1 და s 2 > 0; a≠1. ამ ლოგარითმული ფორმულის მტკიცებულება შეგიძლიათ მაგალითებითა და ამოხსნით. მოდით log a s 1 = f 1 და log a s 2 = f 2, შემდეგ a f1 = s 1, a f2 = s 2. მივიღებთ, რომ s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (თვისებები გრადუსი ), და შემდეგ განმარტებით: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, რაც დასამტკიცებლად იყო საჭირო.
კოეფიციენტის ლოგარითმი ასე გამოიყურება: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
ფორმულის სახით თეორემა იღებს შემდეგ ფორმას: log a q b n = n/q log a b.

ამ ფორმულას ეწოდება "ლოგარითმის ხარისხის თვისება". იგი წააგავს ჩვეულებრივი ხარისხების თვისებებს და გასაკვირი არ არის, რადგან ყველა მათემატიკა ემყარება ბუნებრივ პოსტულატებს. მოდით შევხედოთ მტკიცებულებას.

მოდით log a b = t, გამოდის t =b. თუ ორივე ნაწილს ავწევთ m ხარისხზე: a tn = b n;

მაგრამ რადგან a tn = (a q) nt/q = b n, ამიტომ log a q b n = (n*t)/t, მაშინ log a q b n = n/q log a b. თეორემა დადასტურდა.

პრობლემებისა და უთანასწორობის მაგალითები

ლოგარითმებზე ამოცანების ყველაზე გავრცელებული ტიპები არის განტოლებებისა და უტოლობების მაგალითები. ისინი გვხვდება თითქმის ყველა პრობლემურ წიგნში და ასევე არის მათემატიკის გამოცდების აუცილებელი ნაწილი. უნივერსიტეტში შესასვლელად ან მათემატიკაში მისაღები გამოცდების ჩასაბარებლად, თქვენ უნდა იცოდეთ როგორ სწორად ამოხსნათ ასეთი ამოცანები.

სამწუხაროდ, არ არსებობს ლოგარითმის უცნობი მნიშვნელობის ამოხსნისა და განსაზღვრის ერთი გეგმა ან სქემა, თუმცა მისი გამოყენება შესაძლებელია ყველა მათემატიკური უტოლობის ან ლოგარითმული განტოლებისთვის. გარკვეული წესები. უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა გაარკვიოთ, შეიძლება თუ არა გამოხატვის გამარტივება ან გამოიწვიოს იერი. თქვენ შეგიძლიათ გაამარტივოთ გრძელი ლოგარითმული გამონათქვამები, თუ სწორად გამოიყენებთ მათ თვისებებს. მოდით გავეცნოთ მათ სწრაფად.

როცა გადაწყვეტს ლოგარითმული განტოლებები, უნდა განვსაზღვროთ რა ტიპის ლოგარითმი გვაქვს: მაგალითის გამოხატულება შეიძლება შეიცავდეს ბუნებრივ ლოგარითმს ან ათობითი.

აქ არის მაგალითები ln100, ln1026. მათი გამოსავალი ემყარება იმ ფაქტს, რომ მათ უნდა დაადგინონ სიმძლავრე, რომლის ფუძე 10 ტოლი იქნება, შესაბამისად, 100 და 1026. ბუნებრივი ლოგარითმების ამოსახსნელად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ ლოგარითმული იდენტობები ან მათი თვისებები. მოდით შევხედოთ სხვადასხვა ტიპის ლოგარითმული ამოცანების ამოხსნის მაგალითებს.

როგორ გამოვიყენოთ ლოგარითმის ფორმულები: მაგალითებითა და გადაწყვეტილებებით

ასე რომ, მოდით შევხედოთ ლოგარითმების შესახებ ძირითადი თეორემების გამოყენების მაგალითებს.

პროდუქტის ლოგარითმის თვისება შეიძლება გამოყენებულ იქნას ამოცანებში, სადაც აუცილებელია b რიცხვის დიდი მნიშვნელობის დაშლა უფრო მარტივ ფაქტორებად. მაგალითად, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. პასუხი არის 9.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - როგორც ხედავთ, ლოგარითმის სიმძლავრის მეოთხე თვისების გამოყენებით, ჩვენ მოვახერხეთ ერთი შეხედვით რთული და ამოუხსნელი გამოსახულების ამოხსნა. თქვენ უბრალოდ უნდა შეაფასოთ საფუძველი და შემდეგ ამოიღოთ მაჩვენებლების მნიშვნელობები ლოგარითმის ნიშნიდან.

დავალებები ერთიანი სახელმწიფო გამოცდიდან

ლოგარითმები ხშირად გვხვდება მისაღებ გამოცდებში, განსაკუთრებით ბევრი ლოგარითმული პრობლემა ერთიან სახელმწიფო გამოცდაში (სახელმწიფო გამოცდა სკოლის ყველა კურსდამთავრებულისთვის). როგორც წესი, ეს ამოცანები წარმოდგენილია არა მხოლოდ A ნაწილში (გამოცდის ყველაზე მარტივი ტესტი), არამედ C ნაწილში (ყველაზე რთული და მოცულობითი ამოცანები). გამოცდა მოითხოვს ზუსტ და სრულყოფილ ცოდნას თემის „ბუნებრივი ლოგარითმები“.

მაგალითები და პრობლემების გადაწყვეტა აღებულია ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ოფიციალური ვერსიებიდან. ვნახოთ, როგორ წყდება ასეთი ამოცანები.

მოცემული ჟურნალი 2 (2x-1) = 4. ამოხსნა:
მოდით გადავიწეროთ გამონათქვამი, გავამარტივოთ იგი ცოტა log 2 (2x-1) = 2 2, ლოგარითმის განმარტებით მივიღებთ, რომ 2x-1 = 2 4, შესაბამისად 2x = 17; x = 8.5.

უმჯობესია, ყველა ლოგარითმი ერთსა და იმავე ფუძეზე შევიყვანოთ, რათა გამოსავალი არ იყოს რთული და დამაბნეველი.
ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ მყოფი ყველა გამონათქვამი მითითებულია, როგორც დადებითი, ამიტომ, როდესაც გამოხატვის გამოხატულება, რომელიც არის ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ და მისი ფუძე ამოღებულია მულტიპლიკატორად, ლოგარითმის ქვეშ დარჩენილი გამოხატულება უნდა იყოს დადებითი.

ძირითადი თვისებები.

ლოგაქსი + ლოგაი = ლოგა (x y);
ლოგაქსი − ლოგაი = ლოგა (x: y).

იდენტური საფუძველი

Log6 4 + log6 9.

ახლა ცოტა გავართულოთ დავალება.

ლოგარითმების ამოხსნის მაგალითები

რა მოხდება, თუ ლოგარითმის საფუძველი ან არგუმენტი არის ძალა? მაშინ ამ ხარისხის მაჩვენებლის ამოღება შესაძლებელია ლოგარითმის ნიშნიდან შემდეგი წესების მიხედვით:

რა თქმა უნდა, ყველა ამ წესს აქვს აზრი, თუ ლოგარითმის ODZ დაფიქსირდა: a > 0, a ≠ 1, x >

დავალება. იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა:

ახალ საძირკველზე გადასვლა

მოდით იყოს მოცემული ლოგარითმის ლოგაქსი. მაშინ ნებისმიერი c რიცხვისთვის ისეთი, რომ c > 0 და c ≠ 1, ტოლობა მართალია:

დავალება. იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა:

Იხილეთ ასევე:

ლოგარითმის ძირითადი თვისებები

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

მაჩვენებელი არის 2.718281828…. მაჩვენებლის დასამახსოვრებლად შეგიძლიათ შეისწავლოთ წესი: მაჩვენებლის ტოლია ლეო ნიკოლაევიჩ ტოლსტოის დაბადების წელი 2,7 და ორჯერ.

ლოგარითმების ძირითადი თვისებები

ამ წესის ცოდნა, თქვენ გეცოდინებათ როგორც მაჩვენებლის ზუსტი მნიშვნელობა, ასევე ლეო ტოლსტოის დაბადების თარიღი.

ლოგარითმების მაგალითები

ლოგარითმის გამონათქვამები

მაგალითი 1.
ა). x=10ac^2 (a>0,c>0).

3.5 თვისებების გამოყენებით ვიანგარიშებთ

4. სად .

მაგალითი 2. იპოვეთ x თუ

მაგალითი 3. მოცემულია ლოგარითმების მნიშვნელობა

გამოთვალეთ log(x) თუ

ლოგარითმების ძირითადი თვისებები

ლოგარითმები, ისევე როგორც ნებისმიერი რიცხვი, შეიძლება ყველანაირად დაემატოს, გამოკლდეს და გარდაიქმნას. მაგრამ რადგან ლოგარითმები არ არის ზუსტად ჩვეულებრივი რიცხვები, აქ არის წესები, რომლებსაც უწოდებენ ძირითადი თვისებები.

თქვენ აუცილებლად უნდა იცოდეთ ეს წესები - მათ გარეშე არც ერთი სერიოზული ლოგარითმული პრობლემის გადაჭრა შეუძლებელია. გარდა ამისა, ისინი ძალიან ცოტაა - ყველაფრის სწავლა ერთ დღეში შეგიძლიათ. ასე რომ, დავიწყოთ.

ლოგარითმების შეკრება და გამოკლება

განვიხილოთ ორი ლოგარითმი იმავე საფუძვლებზე: ლოგაქსი და ლოგაი. შემდეგ მათი დამატება და გამოკლება შესაძლებელია და:

ლოგაქსი + ლოგაი = ლოგა (x y);
ლოგაქსი − ლოგაი = ლოგა (x: y).

მაშასადამე, ლოგარითმების ჯამი ტოლია ნამრავლის ლოგარითმისა, ხოლო სხვაობა უდრის კოეფიციენტის ლოგარითმს. Შენიშვნა: საკვანძო მომენტიᲐქ - იდენტური საფუძველი. თუ მიზეზები განსხვავებულია, ეს წესები არ მუშაობს!

ეს ფორმულები დაგეხმარებათ გამოთვალოთ ლოგარითმული გამოხატულება მაშინაც კი, როცა მისი ცალკეული ნაწილები არ არის გათვალისწინებული (იხილეთ გაკვეთილი „რა არის ლოგარითმი“). გადახედეთ მაგალითებს და ნახეთ:

ვინაიდან ლოგარითმებს აქვთ იგივე ფუძეები, ვიყენებთ ჯამის ფორმულას:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log2 48 − log2 3.

საფუძვლები იგივეა, ჩვენ ვიყენებთ განსხვავების ფორმულას:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log3 135 − log3 5.

ისევ ბაზები იგივეა, ამიტომ გვაქვს:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

როგორც ხედავთ, ორიგინალური გამონათქვამები შედგება "ცუდი" ლოგარითმებისგან, რომლებიც ცალკე არ არის გამოთვლილი. მაგრამ გარდაქმნების შემდეგ ისინი საკმაოდ გამოდიან ნორმალური ნომრები. ბევრი აგებულია ამ ფაქტზე ტესტის ფურცლები. დიახ, ტესტის მსგავსი გამონათქვამები წარმოდგენილია მთელი სერიოზულობით (ზოგჯერ პრაქტიკულად ცვლილებების გარეშე) ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე.

მაჩვენებლის ამოღება ლოგარითმიდან

ამის შემჩნევა ადვილია ბოლო წესიმიჰყვება პირველ ორს. მაგრამ უმჯობესია დაიმახსოვროთ ის მაინც - ზოგიერთ შემთხვევაში ეს მნიშვნელოვნად შეამცირებს გამოთვლების რაოდენობას.

რა თქმა უნდა, ყველა ამ წესს აქვს აზრი, თუ ლოგარითმის ODZ დაფიქსირდა: a > 0, a ≠ 1, x > 0. და კიდევ ერთი რამ: ისწავლეთ ყველა ფორმულის გამოყენება არა მხოლოდ მარცხნიდან მარჯვნივ, არამედ პირიქით. , ე.ი. თქვენ შეგიძლიათ შეიყვანოთ რიცხვები ლოგარითმის ნიშანიმდე ლოგარითმში. ეს არის ის, რაც ყველაზე ხშირად საჭიროა.

დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log7 496.

მოდით, თავი დავაღწიოთ არგუმენტის ხარისხს პირველი ფორმულის გამოყენებით:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

დავალება. იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა:

გაითვალისწინეთ, რომ მნიშვნელი შეიცავს ლოგარითმს, რომლის საფუძველი და არგუმენტი ზუსტი ხარისხებია: 16 = 24; 49 = 72. გვაქვს:

ვფიქრობ, ბოლო მაგალითი მოითხოვს გარკვეულ განმარტებას. სად წავიდა ლოგარითმები? ბოლო მომენტამდე ჩვენ ვმუშაობთ მხოლოდ მნიშვნელით.

ლოგარითმის ფორმულები. ლოგარითმები ამონახსნების მაგალითები.

იქ მდგომი ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი წარვადგინეთ სიმძლავრეების სახით და ამოვიღეთ მაჩვენებლები - მივიღეთ „სამსართულიანი“ წილადი.

ახლა გადავხედოთ ძირითად წილადს. მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავს ერთსა და იმავე რიცხვს: log2 7. ვინაიდან log2 7 ≠ 0 შეგვიძლია შევამციროთ წილადი - 2/4 დარჩება მნიშვნელში. არითმეტიკის წესების მიხედვით, ოთხი შეიძლება გადავიდეს მრიცხველზე, რაც გაკეთდა. შედეგი იყო პასუხი: 2.

ახალ საძირკველზე გადასვლა

ლოგარითმების შეკრების და გამოკლების წესებზე საუბრისას, მე კონკრეტულად ხაზგასმით აღვნიშნე, რომ ისინი მუშაობენ მხოლოდ ერთი და იგივე ფუძეებით. რა მოხდება, თუ მიზეზები განსხვავებულია? რა მოხდება, თუ ისინი არ არიან იგივე რიცხვის ზუსტი სიმძლავრეები?

ახალ საძირკველზე გადასვლის ფორმულები სამაშველოში მოდის. მოდით ჩამოვაყალიბოთ ისინი თეორემის სახით:

კერძოდ, თუ დავაყენებთ c = x, მივიღებთ:

მეორე ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი შეიძლება შეიცვალოს, მაგრამ ამ შემთხვევაში მთელი გამოთქმა „გადატრიალებულია“, ე.ი. ლოგარითმი გამოჩნდება მნიშვნელში.

ეს ფორმულები იშვიათად გვხვდება ჩვეულებრივში რიცხვითი გამონათქვამები. მათი მოხერხებულობის შეფასება შესაძლებელია მხოლოდ ლოგარითმული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას.

თუმცა არის პრობლემები, რომელთა მოგვარებაც საერთოდ შეუძლებელია, გარდა ახალ ფონდში გადასვლისა. მოდით შევხედოთ რამდენიმე მათგანს:

დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log5 16 log2 25.

გაითვალისწინეთ, რომ ორივე ლოგარითმის არგუმენტები შეიცავს ზუსტ ძალას. ამოვიღოთ ინდიკატორები: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

ახლა მოდით "შევუბრუნდეთ" მეორე ლოგარითმს:

ვინაიდან პროდუქტი არ იცვლება ფაქტორების გადაწყობისას, ჩვენ მშვიდად გავამრავლეთ ოთხი და ორი, შემდეგ კი ლოგარითმებს მივმართეთ.

დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log9 100 lg 3.

პირველი ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი ზუსტი სიმძლავრეებია. მოდით დავწეროთ ეს და მოვიშოროთ ინდიკატორები:

ახლა მოდით დავაღწიოთ ათობითი ლოგარითმი ახალ ბაზაზე გადასვლით:

ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა

ხშირად ამოხსნის პროცესში აუცილებელია რიცხვის ლოგარითმის სახით წარმოდგენა მოცემულ ბაზაზე. ამ შემთხვევაში შემდეგი ფორმულები დაგვეხმარება:

პირველ შემთხვევაში, რიცხვი n ხდება არგუმენტის მაჩვენებელი. რიცხვი n შეიძლება იყოს აბსოლუტურად ნებისმიერი, რადგან ის მხოლოდ ლოგარითმის მნიშვნელობაა.

მეორე ფორმულა რეალურად არის პერიფრაზირებული განმარტება. ასე ჰქვია: .

ფაქტობრივად, რა მოხდება, თუ რიცხვი b გაიზარდა ისეთ ხარისხამდე, რომ რიცხვი b ამ ხარისხში იძლევა რიცხვს a? მართალია: შედეგი არის იგივე რიცხვი a. კიდევ ერთხელ ყურადღებით წაიკითხეთ ეს აბზაცი - ბევრი ადამიანი ჩერდება მასზე.

ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულების მსგავსად, მთავარი ლოგარითმული იდენტურობაზოგჯერ ეს ერთადერთი გამოსავალია.

დავალება. იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა:

გაითვალისწინეთ, რომ log25 64 = log5 8 - უბრალოდ აიღო კვადრატი ლოგარითმის ფუძიდან და არგუმენტიდან. იმავე ფუძით ძალაუფლების გამრავლების წესების გათვალისწინებით, მივიღებთ:

თუ ვინმემ არ იცის, ეს იყო რეალური დავალება ერთიანი სახელმწიფო გამოცდიდან :)

ლოგარითმული ერთეული და ლოგარითმული ნული

დასასრულს, მე მივცემ ორ იდენტობას, რომლებსაც ძნელად შეიძლება ვუწოდოთ თვისებები - უფრო მეტიც, ისინი ლოგარითმის განსაზღვრის შედეგებია. ისინი გამუდმებით ჩნდებიან პრობლემებში და, რა გასაკვირია, პრობლემებს უქმნიან თუნდაც „მოწინავე“ მოსწავლეებს.

ლოგა = 1 არის. ერთხელ და სამუდამოდ დაიმახსოვრეთ: ლოგარითმი ამ ფუძის ნებისმიერი a ფუძის ტოლია ერთის.
ლოგა 1 = 0 არის. ფუძე a შეიძლება იყოს ნებისმიერი, მაგრამ თუ არგუმენტი შეიცავს ერთს, ლოგარითმი ნულის ტოლია! რადგან a0 = 1 არის განმარტების პირდაპირი შედეგი.

ეს არის ყველა თვისება. დარწმუნდით, რომ ივარჯიშეთ მათ პრაქტიკაში! ჩამოტვირთეთ მოტყუების ფურცელი გაკვეთილის დასაწყისში, ამობეჭდეთ და მოაგვარეთ პრობლემები.

Იხილეთ ასევე:

b-ის ლოგარითმი a-ს ბაზაზე აღნიშნავს გამოხატვას. ლოგარითმის გამოთვლა ნიშნავს x () სიმძლავრის პოვნას, რომლის დროსაც ტოლობა დაკმაყოფილებულია

ლოგარითმის ძირითადი თვისებები

აუცილებელია ზემოაღნიშნული თვისებების ცოდნა, ვინაიდან ლოგარითმებთან დაკავშირებული თითქმის ყველა პრობლემა და მაგალითი წყდება მათ საფუძველზე. დანარჩენი ეგზოტიკური თვისებების მიღება შესაძლებელია ამ ფორმულებით მათემატიკური მანიპულაციებით

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

ლოგარითმების ჯამისა და სხვაობის ფორმულის გამოთვლისას (3.4) საკმაოდ ხშირად გვხვდება. დანარჩენი გარკვეულწილად რთულია, მაგრამ რიგ ამოცანებში ისინი შეუცვლელია რთული გამონათქვამების გასამარტივებლად და მათი მნიშვნელობების გამოსათვლელად.

ლოგარითმების გავრცელებული შემთხვევები

ზოგიერთი საერთო ლოგარითმებია ისეთები, რომლებშიც ფუძე არის ათიც კი, ექსპონენციალური ან ორი.
ათი ბაზის ლოგარითმს ჩვეულებრივ უწოდებენ ათობითი ლოგარითმს და უბრალოდ აღინიშნება lg(x-ით).

ჩანაწერიდან ირკვევა, რომ ჩანაწერში საფუძვლები არ წერია. Მაგალითად

ბუნებრივი ლოგარითმი არის ლოგარითმი, რომლის ფუძე არის ექსპონენტი (აღნიშნულია ln(x)-ით).

მაჩვენებელი არის 2.718281828…. მაჩვენებლის დასამახსოვრებლად შეგიძლიათ შეისწავლოთ წესი: მაჩვენებლის ტოლია ლეო ნიკოლაევიჩ ტოლსტოის დაბადების წელი 2,7 და ორჯერ. ამ წესის ცოდნა, თქვენ გეცოდინებათ როგორც მაჩვენებლის ზუსტი მნიშვნელობა, ასევე ლეო ტოლსტოის დაბადების თარიღი.

და კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი ლოგარითმი ორი საფუძვლისთვის აღინიშნება

ფუნქციის ლოგარითმის წარმოებული ტოლია ერთის გაყოფილი ცვლადზე

ინტეგრალური ან ანტიდერივატიული ლოგარითმი განისაზღვრება ურთიერთობით

მოცემული მასალა საკმარისია თქვენთვის ლოგარითმებთან და ლოგარითმებთან დაკავშირებული ამოცანების ფართო კლასის გადასაჭრელად. მასალის გაგებაში რომ დაგეხმაროთ, მხოლოდ რამდენიმე გავრცელებულ მაგალითს მოვიყვან სკოლის სასწავლო გეგმიდან და უნივერსიტეტებიდან.

ლოგარითმების მაგალითები

ლოგარითმის გამონათქვამები

მაგალითი 1.
ა). x=10ac^2 (a>0,c>0).

3.5 თვისებების გამოყენებით ვიანგარიშებთ

2.
ლოგარითმების განსხვავების თვისებით გვაქვს

3.
3.5 თვისებების გამოყენებით ვპოულობთ

4. სად .

ერთი შეხედვით რთული გამონათქვამი გამარტივებულია და ჩამოყალიბებულია რიგი წესების გამოყენებით

ლოგარითმის მნიშვნელობების პოვნა

მაგალითი 2. იპოვეთ x თუ

გამოსავალი. გამოსათვლელად ვიყენებთ ბოლო ტერმინს 5 და 13 თვისებებს

ჩანაწერში ჩავსვით და ვგლოვობთ

ვინაიდან ფუძეები ტოლია, გამონათქვამებს ვაიგივებთ

ლოგარითმები. პირველი დონე.

დაე, ლოგარითმების მნიშვნელობა იყოს მოცემული

გამოთვალეთ log(x) თუ

ამოხსნა: ავიღოთ ცვლადის ლოგარითმი, რომ დავწეროთ ლოგარითმი მისი წევრთა ჯამის მეშვეობით

ეს მხოლოდ დასაწყისია ჩვენი გაცნობისა ლოგარითმებთან და მათ თვისებებთან. ივარჯიშეთ გამოთვლებით, გაამდიდრეთ თქვენი პრაქტიკული უნარები - მალე დაგჭირდებათ მიღებული ცოდნა ლოგარითმული განტოლებების ამოსახსნელად. ასეთი განტოლებების ამოხსნის ძირითადი მეთოდების შესწავლის შემდეგ, ჩვენ გავაფართოვებთ თქვენს ცოდნას სხვა თანაბრად მნიშვნელოვან თემაზე - ლოგარითმული უტოლობები...

ლოგარითმების ძირითადი თვისებები

ლოგარითმების შეკრება და გამოკლება

განვიხილოთ ორი ლოგარითმი ერთი და იგივე ფუძეებით: ლოგაქსი და ლოგაი. შემდეგ მათი დამატება და გამოკლება შესაძლებელია და:

ლოგაქსი + ლოგაი = ლოგა (x y);
ლოგაქსი − ლოგაი = ლოგა (x: y).

მაშასადამე, ლოგარითმების ჯამი ტოლია ნამრავლის ლოგარითმისა, ხოლო სხვაობა უდრის კოეფიციენტის ლოგარითმს. გთხოვთ გაითვალისწინოთ: მთავარი აქ არის იდენტური საფუძველი. თუ მიზეზები განსხვავებულია, ეს წესები არ მუშაობს!

დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log6 4 + log6 9.

დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log2 48 − log2 3.

დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log3 135 − log3 5.

ისევ ბაზები იგივეა, ამიტომ გვაქვს:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

როგორც ხედავთ, ორიგინალური გამონათქვამები შედგება "ცუდი" ლოგარითმებისგან, რომლებიც ცალკე არ არის გამოთვლილი. მაგრამ გარდაქმნების შემდეგ მიიღება სრულიად ნორმალური რიცხვები. ბევრი ტესტი ეფუძნება ამ ფაქტს. დიახ, ტესტის მსგავსი გამონათქვამები წარმოდგენილია მთელი სერიოზულობით (ზოგჯერ პრაქტიკულად ცვლილებების გარეშე) ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე.

მაჩვენებლის ამოღება ლოგარითმიდან

ახლა ცოტა გავართულოთ დავალება. რა მოხდება, თუ ლოგარითმის საფუძველი ან არგუმენტი არის ძალა? მაშინ ამ ხარისხის მაჩვენებლის ამოღება შესაძლებელია ლოგარითმის ნიშნიდან შემდეგი წესების მიხედვით:

ადვილი მისახვედრია, რომ ბოლო წესი პირველ ორს მიჰყვება. მაგრამ უმჯობესია დაიმახსოვროთ ის მაინც - ზოგიერთ შემთხვევაში ეს მნიშვნელოვნად შეამცირებს გამოთვლების რაოდენობას.

როგორ ამოხსნათ ლოგარითმები

ეს არის ის, რაც ყველაზე ხშირად საჭიროა.

დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log7 496.

დავალება. იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა:

ვფიქრობ, ბოლო მაგალითი მოითხოვს გარკვეულ განმარტებას. სად წავიდა ლოგარითმები? ბოლო მომენტამდე ჩვენ ვმუშაობთ მხოლოდ მნიშვნელით. იქ მდგომი ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი წარვადგინეთ სიმძლავრეების სახით და ამოვიღეთ მაჩვენებლები - მივიღეთ „სამსართულიანი“ წილადი.

ახალ საძირკველზე გადასვლა

კერძოდ, თუ დავაყენებთ c = x, მივიღებთ:

ეს ფორმულები იშვიათად გვხვდება ჩვეულებრივ ციფრულ გამონათქვამებში. მათი მოხერხებულობის შეფასება შესაძლებელია მხოლოდ ლოგარითმული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას.

დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log5 16 log2 25.

ახლა მოდით "შევუბრუნდეთ" მეორე ლოგარითმს:

დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log9 100 lg 3.

ახლა მოდით დავაღწიოთ ათობითი ლოგარითმი ახალ ბაზაზე გადასვლით:

ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა

მეორე ფორმულა რეალურად არის პერიფრაზირებული განმარტება. ასე ჰქვია: .

ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულების მსგავსად, ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა ზოგჯერ ერთადერთი შესაძლო გამოსავალია.

დავალება. იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა:

თუ ვინმემ არ იცის, ეს იყო რეალური დავალება ერთიანი სახელმწიფო გამოცდიდან :)

ლოგარითმული ერთეული და ლოგარითმული ნული

ლოგა = 1 არის. ერთხელ და სამუდამოდ დაიმახსოვრეთ: ლოგარითმი ამ ფუძის ნებისმიერი a ფუძის ტოლია ერთის.
ლოგა 1 = 0 არის. ფუძე a შეიძლება იყოს ნებისმიერი, მაგრამ თუ არგუმენტი შეიცავს ერთს, ლოგარითმი ნულის ტოლია! რადგან a0 = 1 არის განმარტების პირდაპირი შედეგი.

პრიმიტიული დონის ალგებრის ერთ-ერთი ელემენტია ლოგარითმი. სახელი მომდინარეობს ბერძნული ენიდან სიტყვიდან "რიცხვი" ან "ძალა" და ნიშნავს ძალას, რომელზედაც უნდა გაიზარდოს ფუძის რიცხვი საბოლოო რიცხვის მოსაძებნად.

ლოგარითმების სახეები

log a b – b რიცხვის ლოგარითმი a საფუძვლამდე (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
log b – ათობითი ლოგარითმი (ლოგარითმი 10 ფუძემდე, a = 10);
ln b – ბუნებრივი ლოგარითმი (ლოგარითმი e ფუძემდე, a = e).

როგორ ამოხსნათ ლოგარითმები?

b-ის ლოგარითმი a ფუძემდე არის მაჩვენებელი, რომელიც მოითხოვს b-ის ამაღლებას a ფუძემდე. მიღებული შედეგი გამოითქმის ასე: „b-ის ლოგარითმი a-მდე“. ლოგარითმული ამოცანების გამოსავალი არის ის, რომ თქვენ უნდა განსაზღვროთ მოცემული სიმძლავრე რიცხვებში მითითებული ნომრები. არსებობს რამდენიმე ძირითადი წესი ლოგარითმის დასადგენად ან ამოსახსნელად, ასევე თავად აღნიშვნის გარდაქმნისთვის. მათი გამოყენებით ხდება ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნა, წარმოებულების პოვნა, ინტეგრალების ამოხსნა და მრავალი სხვა ოპერაცია. ძირითადად, თავად ლოგარითმის გამოსავალი არის მისი გამარტივებული აღნიშვნა. ქვემოთ მოცემულია ძირითადი ფორმულები და თვისებები:

ნებისმიერი ა; a > 0; a ≠ 1 და ნებისმიერი x-ისთვის; y > 0.

a log a b = b – ძირითადი ლოგარითმული იდენტობა
შესვლა a 1 = 0
ლოგა a = 1
log a (x y) = log a x + log a y
log a x/ y = log a x – log a y
log a 1/x = -log a x
log a x p = p log a x
log a k x = 1/k log a x, k ≠ 0-ისთვის
log a x = log a c x c
log a x = log b x/ log b a – ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულა
log a x = 1/log x a

როგორ ამოხსნათ ლოგარითმები - გადაჭრის ნაბიჯ-ნაბიჯ ინსტრუქციები

პირველ რიგში, ჩაწერეთ საჭირო განტოლება.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: თუ საბაზისო ლოგარითმი არის 10, მაშინ ჩანაწერი მცირდება, რის შედეგადაც ხდება ათობითი ლოგარითმი. თუ ღირს ბუნებრივი რიცხვი e, შემდეგ ჩავწერთ მას, შემოკლებით ბუნებრივი ლოგარითმი. ეს ნიშნავს, რომ ყველა ლოგარითმის შედეგი არის სიმძლავრე, რომელზედაც ამაღლებულია საბაზისო რიცხვი b რიცხვის მისაღებად.

პირდაპირ, გამოსავალი მდგომარეობს ამ ხარისხის გამოთვლაში. გამონათქვამის ლოგარითმით ამოხსნამდე ის უნდა გამარტივდეს წესის მიხედვით, ანუ ფორმულების გამოყენებით. თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ ძირითადი ვინაობა სტატიაში ცოტა უკან დაბრუნებით.

ლოგარითმების შეკრებისა და გამოკლებისას ორი განსხვავებული რიცხვით, მაგრამ ერთი და იგივე ფუძით, შეცვალეთ ერთი ლოგარითმი b და c რიცხვების ნამრავლით ან გაყოფით. ამ შემთხვევაში, შეგიძლიათ გამოიყენოთ სხვა ბაზაზე გადასვლის ფორმულა (იხ. ზემოთ).

თუ იყენებთ გამონათქვამებს ლოგარითმის გასამარტივებლად, გასათვალისწინებელია გარკვეული შეზღუდვები. და ეს არის: a ლოგარითმის საფუძველი მხოლოდ დადებითი რიცხვია, მაგრამ არა ერთის ტოლი. რიცხვი b, ისევე როგორც a, უნდა იყოს ნულზე მეტი.

არის შემთხვევები, როდესაც გამონათქვამის გამარტივებით, თქვენ ვერ შეძლებთ ლოგარითმის რიცხვით გამოთვლას. ეს ხდება, რომ ასეთ გამოთქმას აზრი არ აქვს, რადგან ბევრი ძალა ირაციონალური რიცხვია. ამ პირობით, დატოვეთ რიცხვის სიმძლავრე ლოგარითმად.

\(a^(b)=c\) \(\მარცხენა მარჯვენა ისარი\) \(\log_(a)(c)=b\)

მოდი უფრო მარტივად ავხსნათ. მაგალითად, \(\log_(2)(8)\) ტოლია იმ სიმძლავრისა, რომელზეც \(2\) უნდა გაიზარდოს \(8\) მისაღებად. აქედან ირკვევა, რომ \(\log_(2)(8)=3\).

მაგალითები:	\(\log_(5)(25)=2\)	რადგან \(5^(2)=25\)
	\(\log_(3)(81)=4\)	რადგან \(3^(4)=81\)
	\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	რადგან \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

ლოგარითმის არგუმენტი და საფუძველი

ნებისმიერ ლოგარითმს აქვს შემდეგი „ანატომია“:

ლოგარითმის არგუმენტი ჩვეულებრივ იწერება მის დონეზე, ხოლო ფუძე იწერება ქვესკრიპტით, რომელიც უფრო ახლოსაა ლოგარითმის ნიშანთან. და ეს ჩანაწერი ასე იკითხება: "ლოგარითმი ოცდახუთიდან ხუთამდე".

როგორ გამოვთვალოთ ლოგარითმი?

ლოგარითმის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა უპასუხოთ კითხვას: რა ძალაზე უნდა გაიზარდოს საფუძველი არგუმენტის მისაღებად?

Მაგალითად, გამოთვალეთ ლოგარითმი: ა) \(\log_(4)(16)\) ბ) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) გ) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

ა) რა ძალაზე უნდა გაიზარდოს \(4\) რომ მივიღოთ \(16\)? ცხადია მეორე. Ამიტომაც:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

გ) რა სიმძლავრემდე უნდა გაიზარდოს \(\sqrt(5)\) რომ მივიღოთ \(1\)? რომელი ძალა განაპირობებს ნებისმიერ ნომერ პირველს? ნული, რა თქმა უნდა!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

დ) რა სიმძლავრემდე უნდა გაიზარდოს \(\sqrt(7)\) რომ მივიღოთ \(\sqrt(7)\)? ჯერ ერთი, ნებისმიერი რიცხვი პირველ ხარისხში უდრის თავის თავს.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

ე) რა ძალამდე უნდა გაიზარდოს \(3\) \(\sqrt(3)\) მისაღებად? ჩვენ ვიცით, რომ ეს არის წილადი ძალა, რაც ნიშნავს Კვადრატული ფესვიარის \(\frac(1)(2)\) სიმძლავრე.

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

მაგალითი : გამოთვალეთ ლოგარითმი \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

გამოსავალი :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		უნდა ვიპოვოთ ლოგარითმის მნიშვნელობა, ავღნიშნოთ როგორც x. ახლა გამოვიყენოთ ლოგარითმის განმარტება: \(\log_(a)(c)=b\) \(\მარცხენა მარჯვენა ისარი\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		რა აკავშირებს \(4\sqrt(2)\) და \(8\)? ორი, რადგან ორივე რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ორებით: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		მარცხნივ ვიყენებთ ხარისხის თვისებებს: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) და \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		საფუძვლები თანაბარია, გადავდივართ მაჩვენებლების თანასწორობაზე
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე \(\frac(2)(5)\)
		შედეგად მიღებული ფესვი არის ლოგარითმის მნიშვნელობა

უპასუხე : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

რატომ გამოიგონეს ლოგარითმი?

ამის გასაგებად, მოდით ამოხსნათ განტოლება: \(3^(x)=9\). უბრალოდ ემთხვევა \(x\), რათა თანასწორობა იმუშაოს. რა თქმა უნდა, \(x=2\).

ახლა ამოხსენით განტოლება: \(3^(x)=8\).რის ტოლია x? Ამაშია ზუსტად ამის აზრი.

ყველაზე ჭკვიანი იტყვის: "X არის ორზე ცოტა ნაკლები". ზუსტად როგორ ჩავწეროთ ეს რიცხვი? ამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად გამოიგონეს ლოგარითმი. მისი წყალობით, აქ პასუხი შეიძლება დაიწეროს როგორც \(x=\log_(3)(8)\).

მინდა ხაზი გავუსვა იმას, რომ \(\log_(3)(8)\), მოსწონს ნებისმიერი ლოგარითმი მხოლოდ რიცხვია. დიახ, გამოიყურება უჩვეულო, მაგრამ მოკლეა. რადგან თუ გვინდოდა ჩაგვეწერა ფორმაში ათობითი, მაშინ ასე გამოიყურება: \(1.892789260714.....\)

მაგალითი : ამოხსენით განტოლება \(4^(5x-4)=10\)

გამოსავალი :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) და \(10\) არ შეიძლება იმავე ბაზაზე მოყვანა. ეს ნიშნავს, რომ თქვენ არ შეგიძლიათ ლოგარითმის გარეშე. მოდით გამოვიყენოთ ლოგარითმის განმარტება: \(a^(b)=c\) \(\მარცხენა მარჯვენა ისარი\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		მოდით გადავაბრუნოთ განტოლება ისე, რომ X იყოს მარცხნივ
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		ჩვენს წინაშე. გადავიტანოთ \(4\) მარჯვნივ. და ნუ შეგეშინდებათ ლოგარითმის, მოექეცით მას როგორც ჩვეულებრივ რიცხვს.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		გაყავით განტოლება 5-ზე
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		ეს არის ჩვენი ფესვი. დიახ, უჩვეულოდ გამოიყურება, მაგრამ პასუხს ისინი არ ირჩევენ.

უპასუხე : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

ათწილადი და ბუნებრივი ლოგარითმები

როგორც ლოგარითმის განმარტებაშია ნათქვამი, მისი საფუძველი შეიძლება იყოს ნებისმიერი დადებითი რიცხვი გარდა ერთი \((a>0, a\neq1)\). და ყველა შესაძლო საფუძველს შორის არის ორი, რომელიც ხდება ისე ხშირად, რომ მათთან ერთად გამოიგონეს სპეციალური მოკლე აღნიშვნა ლოგარითმებისთვის:

ბუნებრივი ლოგარითმი: ლოგარითმი, რომლის საფუძველია ეილერის რიცხვი \(e\) (დაახლოებით \(2.7182818…\)), ხოლო ლოგარითმი იწერება როგორც \(\ln(a)\).

ანუ \(\ln(a)\) იგივეა, რაც \(\log_(e)(a)\)

ათწილადი ლოგარითმი: ლოგარითმი, რომლის საფუძველია 10, იწერება \(\lg(a)\).

ანუ \(\lg(a)\) იგივეა, რაც \(\log_(10)(a)\), სადაც \(a\) არის რაღაც რიცხვი.

ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა

ლოგარითმს ბევრი თვისება აქვს. ერთ-ერთ მათგანს ეწოდება "ძირითადი ლოგარითმული იდენტობა" და ასე გამოიყურება:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

ეს თვისება პირდაპირ გამომდინარეობს განმარტებიდან. ვნახოთ ზუსტად როგორ გაჩნდა ეს ფორმულა.

გავიხსენოთ ლოგარითმის განმარტების მოკლე აღნიშვნა:

თუ \(a^(b)=c\), მაშინ \(\log_(a)(c)=b\)

ანუ \(b\) იგივეა, რაც \(\log_(a)(c)\). მაშინ ჩვენ შეგვიძლია ჩავწეროთ \(\log_(a)(c)\) \(b\)-ის ნაცვლად ფორმულაში \(a^(b)=c\). აღმოჩნდა \(a^(\log_(a)(c))=c\) - მთავარი ლოგარითმული იდენტობა.

თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ ლოგარითმების სხვა თვისებები. მათი დახმარებით თქვენ შეგიძლიათ გაამარტივოთ და გამოთვალოთ გამონათქვამების მნიშვნელობები ლოგარითმებით, რომელთა პირდაპირ გამოთვლა რთულია.

მაგალითი : იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა \(36^(\log_(6)(5))\)

გამოსავალი :

უპასუხე : \(25\)

როგორ დავწეროთ რიცხვი ლოგარითმის სახით?

როგორც ზემოთ აღვნიშნეთ, ნებისმიერი ლოგარითმი მხოლოდ რიცხვია. პირიქითაც მართალია: ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება დაიწეროს ლოგარითმად. მაგალითად, ვიცით, რომ \(\log_(2)(4)\) უდრის ორს. შემდეგ ორის ნაცვლად შეგიძლიათ დაწეროთ \(\log_(2)(4)\).

მაგრამ \(\log_(3)(9)\) ასევე უდრის \(2\), რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ ასევე შეგვიძლია დავწეროთ \(2=\log_(3)(9)\) . ანალოგიურად, \(\log_(5)(25)\), და \(\log_(9)(81)\) და ა.შ. ანუ გამოდის

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

ამრიგად, თუ გვჭირდება, შეგვიძლია დავწეროთ ორი ლოგარითმად ნებისმიერი ფუძით სადმე (განტოლებაში, გამოსახულებაში თუ უტოლობაში) - ჩვენ უბრალოდ არგუმენტად ვწერთ ფუძეს კვადრატში.

იგივეა სამმაგი – ის შეიძლება დაიწეროს როგორც \(\log_(2)(8)\), ან როგორც \(\log_(3)(27)\), ან როგორც \(\log_(4)( 64) \)... აქ არგუმენტად ვწერთ ფუძეს კუბში:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

და ოთხთან ერთად:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

და მინუს ერთით:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

და ერთი მესამედით:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

ნებისმიერი რიცხვი \(a\) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ლოგარითმის სახით \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

მაგალითი : იპოვე გამოთქმის მნიშვნელობა \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

გამოსავალი :

უპასუხე : \(1\)

დღეს ჩვენ ვისაუბრებთ ლოგარითმული ფორმულებიდა ჩვენ მივცემთ მითითებებს გადაწყვეტის მაგალითები.

ისინი თავად გულისხმობენ ამოხსნის ნიმუშებს ლოგარითმების ძირითადი თვისებების მიხედვით. ლოგარითმის ფორმულების ამოსახსნელად გამოყენებამდე, შეგახსენებთ ყველა თვისებას:

ახლა, ამ ფორმულების (თვისებების) საფუძველზე ჩვენ ვაჩვენებთ ლოგარითმების ამოხსნის მაგალითები.

ფორმულების საფუძველზე ლოგარითმების ამოხსნის მაგალითები.

ლოგარითმიდადებითი რიცხვი b a-ს საფუძვლად (აღინიშნება log a b-ით) არის მაჩვენებელი, რომელზეც a უნდა გაიზარდოს, რომ მივიღოთ b, b > 0, a > 0 და 1.

განმარტების მიხედვით, log a b = x, რომელიც უდრის x = b-ს, შესაბამისად log a x = x.

ლოგარითმები, მაგალითები:

ჟურნალი 2 8 = 3, რადგან 2 3 = 8

ჟურნალი 7 49 = 2, რადგან 7 2 = 49

ჟურნალი 5 1/5 = -1, რადგან 5 -1 = 1/5

ათწილადი ლოგარითმი- ეს არის ჩვეულებრივი ლოგარითმი, რომლის ფუძეა 10. აღინიშნება როგორც lg.

ჟურნალი 10 100 = 2, რადგან 10 2 = 100

ბუნებრივი ლოგარითმი- ასევე ჩვეულებრივი ლოგარითმი, ლოგარითმი, მაგრამ ე ფუძით (e = 2,71828... - ირაციონალური რიცხვი). აღინიშნება როგორც ln.

მიზანშეწონილია დაიმახსოვროთ ლოგარითმების ფორმულები ან თვისებები, რადგან ისინი მოგვიანებით დაგვჭირდება ლოგარითმების, ლოგარითმული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას. მოდით ვიმუშაოთ თითოეულ ფორმულაზე ისევ მაგალითებით.

ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა
ჟურნალი a b = b
8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
პროდუქტის ლოგარითმი ჯამის ტოლილოგარითმები
log a (bc) = log a b + log a c
ჟურნალი 3 8.1 + ჟურნალი 3 10 = ჟურნალი 3 (8.1*10) = ჟურნალი 3 81 = 4
კოეფიციენტის ლოგარითმი ლოგარითმების სხვაობის ტოლია
log a (b/c) = log a b - log a c
9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
ლოგარითმული რიცხვისა და ლოგარითმის ფუძის სიძლიერის თვისებები
ლოგარითმის მაჩვენებელი ჟურნალის ნომრები a b m = mlog a b

საბაზისო მაჩვენებელი ლოგარითმის ჟურნალი a n b =1/n*log a b

log a n b m = m/n*log a b,

თუ m = n, მივიღებთ log a n b n = log a b

ჟურნალი 4 9 = ჟურნალი 2 2 3 2 = ჟურნალი 2 3
ახალ საძირკველზე გადასვლა
log a b = log c b/log c a,
თუ c = b, მივიღებთ log b b = 1

შემდეგ log a b = 1/log b a

log 0.8 3*log 3 1.25 = log 0.8 3*log 0.8 1.25/log 0.8 3 = log 0.8 1.25 = log 4/5 5/4 = -1

როგორც ხედავთ, ლოგარითმების ფორმულები არც ისე რთულია, როგორც ჩანს. ახლა, ლოგარითმების ამოხსნის მაგალითებს რომ გადავხედეთ, შეგვიძლია გადავიდეთ ლოგარითმულ განტოლებაზე. ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნის მაგალითებს უფრო დეტალურად განვიხილავთ სტატიაში: "". Არ გამოტოვოთ!

თუ ჯერ კიდევ გაქვთ შეკითხვები გადაწყვეტის შესახებ, დაწერეთ ისინი სტატიის კომენტარებში.

შენიშვნა: ჩვენ გადავწყვიტეთ მივიღოთ სხვა კლასის განათლება და სწავლა საზღვარგარეთ, როგორც ვარიანტი.