Формула за аксијален пресек. Како да ја пронајдете областа на цилиндарот

Цилиндар е фигура која се состои од цилиндрична површина и два круга лоцирани паралелно. Пресметувањето на површината на цилиндарот е проблем во геометриската гранка на математиката, кој може да се реши прилично едноставно. Постојат неколку методи за негово решавање, кои на крајот секогаш се сведуваат на една формула.

Како да ја пронајдете областа на цилиндарот - правила за пресметка

• За да ја дознаете областа на цилиндерот, треба да ги додадете двете области на основата со површината на страничната површина: S = Sside + 2Sbase. Во подетална верзија, оваа формула изгледа вака: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
• Површината на страничната површина на дадено геометриско тело може да се пресмета ако се познати неговата висина и радиусот на кругот што лежи во неговата основа. Во овој случај, можете да го изразите радиусот од обемот, ако е даден. Висината може да се најде ако вредноста на генераторот е наведена во условот. Во овој случај, генератриксот ќе биде еднаков на висината. Формула за странична површина дадено телоизгледа вака: S= 2 π rh.
• Површината на основата се пресметува со помош на формулата за наоѓање на плоштина на круг: S osn= π r 2 . Во некои проблеми, радиусот може да не е даден, но обемот може да биде даден. Со оваа формула, радиусот се изразува прилично лесно. С=2π r, r= С/2π. Исто така, мора да запомните дека радиусот е половина од дијаметарот.
• При извршувањето на сите овие пресметки, бројот π обично не се преведува на 3,14159... Треба само да се додаде до нумеричката вредност што е добиена како резултат на пресметките.
• Следно, само треба да ја помножите пронајдената површина на основата за 2 и да ја додадете на добиениот број пресметаната површина на страничната површина на сликата.
• Ако проблемот покажува дека цилиндерот има аксијален пресек и дека е правоаголник, тогаш решението ќе биде малку поинакво. Во овој случај, ширината на правоаголникот ќе биде дијаметарот на кругот што лежи на основата на телото. Должината на фигурата ќе биде еднаква на генератриксот или висината на цилиндерот. Треба да се пресмета потребните вредностии заменете го со веќе познатата формула. Во овој случај, ширината на правоаголникот мора да се подели на два за да се најде областа на основата. За да се најде страничната површина, должината се множи со два радиуси и со бројот π.
• Можете да ја пресметате областа на дадено геометриско тело преку неговиот волумен. За да го направите ова, треба да ја изведете вредноста што недостасува од формулата V=π r 2 h.
• Нема ништо комплицирано во пресметувањето на површината на цилиндарот. Само треба да ги знаете формулите и да можете да ги изведете количините потребни за извршување на пресметките.

Цилиндарот е симетрична просторна фигура, чии својства се разгледуваат во средно училиште во текот на стереометријата. За да се опише, се користат линеарни карактеристики како висина и радиус на основата. Во оваа статија ќе разгледаме прашања во врска со тоа што е аксијалниот дел на цилиндерот и како да се пресметаат неговите параметри преку основните линеарни карактеристики на сликата.

Геометриска фигура

Прво, да ја дефинираме фигурата што ќе се дискутира во статијата. Цилиндар е површина формирана со паралелно движење на сегмент со фиксна должина по одредена крива. Главниот услов за ова движење е сегментот да не припаѓа на рамнината на кривата.

На сликата подолу е прикажан цилиндар чија крива (водилка) е елипса.

Овде сегмент со должина h е неговиот генератор и висина.

Може да се види дека цилиндерот се состои од два идентични основи(елипсите во овој случај), кои лежат во паралелни рамнини, и страничната површина. Вториот припаѓа на сите точки на линиите за формирање.

Пред да продолжиме со разгледување на аксијалниот дел на цилиндрите, ќе ви кажеме какви видови на овие фигури постојат.

Ако линијата за генерирање е нормална на основите на сликата, тогаш зборуваме за правилен цилиндар. Во спротивно цилиндерот ќе биде наклонет. Ако ги поврзете централните точки на две основи, добиената права линија се нарекува оска на фигурата. Сликата подолу ја покажува разликата помеѓу прави и наклонети цилиндри.

Може да се види дека за права фигура, должината на генерирачкиот сегмент се совпаѓа со вредноста на висината h. За наклонет цилиндар, висината, односно растојанието помеѓу основите, е секогаш помала од должината на линијата на генератриксот.

Аксијален пресек на правилен цилиндар

Аксијален е секој дел од цилиндерот што ја содржи неговата оска. Оваа дефиниција значи дека аксијалниот дел секогаш ќе биде паралелен со генератриксот.

Во правилен цилиндар, оската поминува низ центарот на кругот и е нормална на нејзината рамнина. Ова значи дека кругот што се разгледува ќе се сече по неговиот дијаметар. Сликата покажува половина цилиндар, што е резултат на пресекот на фигурата со рамнината што минува низ оската.

Не е тешко да се разбере дека аксијалниот дел на прав кружен цилиндар е правоаголник. Неговите страни се дијаметарот d на основата и висината h на фигурата.

Да ги напишеме формулите за аксијалниот пресек на цилиндерот и должината h d од неговата дијагонала:

Правоаголникот има две дијагонали, но и двете се еднакви една со друга. Ако радиусот на основата е познат, тогаш не е тешко да се препишат овие формули преку него, со оглед на тоа што е половина од дијаметарот.

Аксијален пресек на наклонет цилиндар

Сликата погоре покажува коси цилиндар направен од хартија. Ако го направите неговиот аксијален пресек, повеќе нема да добиете правоаголник, туку паралелограм. Неговите страни се познати количини. Еден од нив, како и во случајот со пресекот на правилен цилиндар, е еднаков на дијаметарот d на основата, а другиот е должината на сегментот за формирање. Да го означиме б.

За недвосмислено да се одредат параметрите на паралелограм, не е доволно да се знаат должините на неговите страни. Потребен е друг агол меѓу нив. Да претпоставиме дека акутниот агол помеѓу водилката и основата е α. Ова ќе биде и аголот помеѓу страните на паралелограмот. Тогаш формулата за аксијалниот пресек на наклонет цилиндар може да се напише на следниов начин:

Дијагоналите на аксијалниот пресек на наклонет цилиндар се малку потешки за пресметување. Паралелограм има две дијагонали со различни должини. Претставуваме изрази без изведување кои ни овозможуваат да ги пресметаме дијагоналите на паралелограм користејќи познати страни и остриот агол меѓу нив:

l 1 = √(d 2 + b 2 - 2*b*d*cos(α));

l 2 = √(d 2 + b 2 + 2*b*d*cos(α))

Овде l 1 и l 2 се должините на малите и големите дијагонали, соодветно. Овие формули можат да се добијат независно ако секоја дијагонала ја сметаме за вектор со воведување на правоаголен координатен систем на рамнината.

Проблем со директен цилиндар

Ќе ви покажеме како да го искористите стекнатото знаење за да го решите следниот проблем. Дозволете ни да ни се даде кружен правилен цилиндар. Познато е дека аксијалниот пресек на цилиндерот е квадрат. Колкава е плоштината на овој дел ако целата бројка е 100 cm 2?

За да ја пресметате потребната површина, треба да го најдете или радиусот или дијаметарот на основата на цилиндерот. За да го направите ова, ја користиме формулата за вкупната површина S f на сликата:

Бидејќи аксијалниот пресек е квадрат, тоа значи дека радиусот r на основата е половина од висината h. Земајќи го ова предвид, можеме да ја преработиме горната еднаквост како:

S f = 2*pi*r*(r + 2*r) = 6*pi*r 2

Сега можеме да го изразиме радиусот r, имаме:

Бидејќи страната на квадратен пресек е еднаква на дијаметарот на основата на сликата, следнава формула ќе биде валидна за да се пресмета нејзината површина S:

S = (2*r) 2 = 4*r 2 = 2*S f / (3*pi)

Гледаме дека потребната површина е уникатно одредена од површината на цилиндерот. Заменувајќи ги податоците во еднаквост, доаѓаме до одговорот: S = 21,23 cm 2.

Како да се пресмета површината на цилиндарот е тема на овој напис. На било кој математички проблемтреба да започнете со внесување податоци, да одредите што е познато и со што да работите во иднина и дури потоа да продолжите директно на пресметката.

Ова волуметриско тело е геометриска фигурацилиндрична форма, ограничена над и долу со две паралелни рамнини. Ако примените малку имагинација, можете да го видите тоа геометриско телосе формира со ротирање на правоаголник околу оската, при што оската е една од нејзините страни.

Следи дека кривата опишана погоре и под цилиндерот ќе биде круг, чиј главен индикатор е радиусот или дијаметарот.

Површина на цилиндар - онлајн калкулатор

Оваа функција конечно го поедноставува процесот на пресметување и сè се сведува на автоматска замена на наведените вредности за висината и радиусот (дијаметарот) на основата на сликата. Единствено што се бара е точно да се одредат податоците и да не се прават грешки при внесување на бројки.

Површина на страничната површина на цилиндерот

Прво треба да замислите како изгледа скенирањето во дводимензионален простор.

Ова не е ништо повеќе од правоаголник, чија една страна е еднаква на обемот. Неговата формула е позната уште од памтивек - 2π*р, Каде р- радиус на кругот. Другата страна на правоаголникот е еднаква на висината ч. Нема да биде тешко да го пронајдете она што го барате.

Сстрана= 2π *r*h,

каде е бројот π = 3,14.

Вкупна површина на цилиндар

За да ја пронајдете вкупната површина на цилиндерот, треба да го користите добиеното S странадодадете ги областите на два круга, горниот и долниот дел на цилиндерот, кои се пресметуваат со формулата S o =2π * r 2 .

Конечната формула изгледа вака:

Сподот= 2π * r 2+ 2π * r * h.

Површина на цилиндар - формула преку дијаметар

За да се олеснат пресметките, понекогаш е неопходно да се извршат пресметки преку дијаметарот. На пример, има парче шуплива цевка со познат дијаметар.

Без да се замараме со непотребни калкулации, имаме готова формула. Алгебра од 5-то одделение доаѓа на помош.

Спол = 2π*r 2 + 2 π * r * ч= 2 π*г 2 /4 + 2 π*h*d/2 = π *г 2 /2 + π *d*h,

Наместо рВ целосна формулатреба да се вметне вредност r =г/2.

Примери за пресметување на површината на цилиндар

Вооружени со знаење, да почнеме да вежбаме.

Пример 1. Неопходно е да се пресмета површината на скратено парче цевка, односно цилиндар.

Имаме r = 24 mm, h = 100 mm. Треба да ја користите формулата низ радиусот:

S кат = 2 * 3,14 * 24 2 + 2 * 3,14 * 24 * 100 = 3617,28 + 15072 = 18689,28 (мм 2).

Конвертираме во вообичаениот м2 и добиваме 0,01868928, приближно 0,02 м2.

Пример 2. Треба да се знае областа внатрешна површинацевка од азбестна печка, чии ѕидови се обложени со огноотпорни тули.

Податоците се следни: дијаметар 0,2 m; висина 2 m. Ја користиме формулата во однос на дијаметарот:

S кат = 3,14 * 0,2 2 /2 + 3,14 * 0,2 * 2 = 0,0628 + 1,256 = 1,3188 м2.

Пример 3. Како да дознаете колку материјал е потребен за шиење торба, r = 1 m и 1 m висока.

Во еден момент, постои формула:

S страна = 2 * 3,14 * 1 * 1 = 6,28 м2.

Заклучок

На крајот од статијата се постави прашањето: дали навистина се потребни сите овие пресметки и конверзии на една вредност во друга? Зошто е потребно сето ова и што е најважно, за кого? Но, не занемарувајте и заборавајте едноставни формули од средно училиште.

Светот стоеше и ќе стои на елементарното знаење, вклучително и математиката. И, почнувајќи некои важна работа, никогаш не е лоша идејата да ја освежите меморијата на овие пресметки така што ќе ги применувате во пракса со одличен ефект. Точност - учтивост на кралевите.

Областа на секоја основа на цилиндерот е π р 2, површината на двете основи ќе биде 2π р 2 (сл.).

Површината на страничната површина на цилиндерот е еднаква на плоштината на правоаголникот чија основа е 2π р, а висината е еднаква на висината на цилиндерот ч, односно 2π rh.

Вкупната површина на цилиндерот ќе биде: 2π р 2 + 2π rh= 2π р(р+ ч).

Областа на страничната површина на цилиндерот се зема како област за метењенеговата странична површина.

Затоа, површината на страничната површина на десниот кружен цилиндар е еднаква на површината на соодветниот правоаголник (сл.) и се пресметува со формулата

С п.н.е. = 2πRH, (1)

Ако ги додадеме областите на неговите две основи на површината на страничната површина на цилиндерот, ќе ја добиеме областа целосна површинацилиндар

С полни =2πRH + 2πR 2 = 2πR (H + R).

Волумен на правилен цилиндар

Теорема. Волумен на правилен цилиндар еднаков на производотповршина од нејзината основа до висина , т.е.

каде што Q е плоштината на основата, а H е висината на цилиндерот.

Бидејќи плоштината на основата на цилиндерот е Q, тогаш постојат низи од ограничени и впишани полигони со области Q nи П' nтакви што

\(\lim_(n \десна стрелка \infty)\) П n= \(\lim_(n \десна стрелка \infty)\) Q' n= П.

Дозволете ни да конструираме низа од призми чии основи се опишаните и впишаните многуаголници дискутирани погоре, и чии странични рабови се паралелни со генератриксот на дадениот цилиндар и имаат должина H. Овие призми се опкружени и впишани за дадениот цилиндар. Нивните волумени се наоѓаат според формулите

В n= П n H и V' n= П' nХ.

Оттука,

V= \(\lim_(n \десна стрелка \infty)\) П n H = \(\lim_(n \десна стрелка \infty)\) Q' n H = QH.

Последица.
Волуменот на десниот кружен цилиндар се пресметува со формулата

V = π R 2 H

каде што R е радиусот на основата и H е висината на цилиндерот.

Бидејќи основата на кружниот цилиндар е круг со радиус R, тогаш Q = π R 2, и затоа

Цилиндарот е геометриско тело ограничено со две паралелни рамнини и цилиндрична површина. Во написот ќе разговараме за тоа како да ја пронајдеме областа на цилиндарот и, користејќи ја формулата, ќе решиме неколку проблеми како пример.

Цилиндарот има три површини: врв, основа и странична површина.

Врвот и основата на цилиндерот се кругови и лесно се препознаваат.

Познато е дека плоштината на кругот е еднаква на πr 2. Затоа, формулата за плоштината на два круга (врвот и основата на цилиндерот) ќе биде πr 2 + πr 2 = 2πr 2.

Третата, странична површина на цилиндерот, е закривениот ѕид на цилиндерот. За подобро да ја замислиме оваа површина, да се обидеме да ја трансформираме за да добие препознатлив облик. Замислете дека цилиндерот е обична лимена лименка која нема горниот капак или долниот дел. Ајде да направиме вертикален рез на страничниот ѕид од врвот до дното на конзервата (чекор 1 на сликата) и да се обидеме да ја отвориме (исправиме) добиената фигура колку што е можно повеќе (чекор 2).

Откако добиената тегла е целосно отворена, ќе видиме позната фигура (чекор 3), ова е правоаголник. Областа на правоаголник е лесно да се пресмета. Но, пред тоа, да се вратиме за момент на оригиналниот цилиндар. Темето на оригиналниот цилиндар е круг, а знаеме дека обемот се пресметува со формулата: L = 2πr. На сликата е означено со црвено.

Кога страничниот ѕид на цилиндерот е целосно отворен, гледаме дека обемот станува должина на добиениот правоаголник. Страните на овој правоаголник ќе бидат обемот (L = 2πr) и висината на цилиндерот (h). Површината на правоаголникот е еднаква на производот на неговите страни - S = должина x ширина = L x h = 2πr x h = 2πrh. Како резултат на тоа, добивме формула за пресметување на површината на страничната површина на цилиндерот.

Формула за страничната површина на цилиндарот
S страна = 2πrh

Вкупна површина на цилиндар

На крајот, ако ја додадеме плоштината на сите три површини, ја добиваме формулата за вкупната површина на цилиндарот. Површината на цилиндерот е еднаква на површината на врвот на цилиндерот + површината на основата на цилиндерот + површината на страничната површина на цилиндерот или S = ​​πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Понекогаш овој израз е напишан идентично со формулата 2πr (r + h).

Формула за вкупна површина на цилиндар
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – радиус на цилиндерот, h – висина на цилиндерот

Примери за пресметување на површината на цилиндар

За да ги разбереме горенаведените формули, ајде да се обидеме да ја пресметаме површината на цилиндерот користејќи примери.

1. Радиусот на основата на цилиндерот е 2, висината е 3. Одредете ја областа на страничната површина на цилиндерот.

Вкупната површина се пресметува со формулата: S страна. = 2πrh

S страна = 2 * 3,14 * 2 * 3

S страна = 6,28 * 6

S страна = 37,68

Страничната површина на цилиндерот е 37,68.

2. Како да се најде површината на цилиндар ако висината е 4, а радиусот е 6?

Вкупната површина се пресметува со формулата: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24