Како се множат дробните броеви? Дропка. Множење на заеднички, децимални, мешани дропки
Да речеме дека Ахил трча десет пати побрзо од желката и е илјада чекори зад неа. За време на времето што му е потребно на Ахил да го истрча ова растојание, желката ќе ползи сто чекори во иста насока. Кога Ахил ќе истрча сто чекори, желката лази уште десет чекори итн. Процесот ќе продолжи бесконечно, Ахил никогаш нема да ја стигне желката.
Ова расудување стана логичен шок за сите наредни генерации. Аристотел, Диоген, Кант, Хегел, Хилберт... Сите тие на овој или оној начин ја разгледувале апоријата на Зенон. Шокот беше толку силен што „ ... дискусиите продолжуваат до ден-денес; научната заедница сè уште не успеала да дојде до заедничко мислење за суштината на парадоксите ... математичка анализа, теорија на множества, нови физички и филозофски пристапи беа вклучени во проучувањето на прашањето ; ниту еден од нив не стана општоприфатено решение за проблемот...„[Википедија, „Зенонова апорија“. Сите разбираат дека се измамени, но никој не разбира во што се состои измамата.
Од математичка гледна точка, Зенон во својата апорија јасно го демонстрирал преминот од количина во . Оваа транзиција подразбира примена наместо постојани. Колку што разбрав, математичкиот апарат за користење на променливи мерни единици или сè уште не е развиен или не е применет на апоријата на Зенон. Примената на нашата вообичаена логика не води во стапица. Ние, поради инертноста на размислувањето, применуваме константни временски единици на реципрочната вредност. Од физичка гледна точка, ова изгледа како времето да забавува додека не запре целосно во моментот кога Ахил ќе ја стигне желката. Ако времето застане, Ахил повеќе не може да ја прегази желката.
Ако ја свртиме нашата вообичаена логика, сè си доаѓа на свое место. Ахил трча со постојана брзина. Секој следен сегмент од неговиот пат е десет пати пократок од претходниот. Соодветно на тоа, времето поминато за негово надминување е десет пати помалку од претходното. Ако го примениме концептот на „бесконечност“ во оваа ситуација, тогаш би било точно да се каже „Ахил бескрајно брзо ќе ја достигне желката“.
Како да се избегне оваа логична замка? Останете во постојани единици време и не скокајте на реципроцитети. На јазикот на Зенон изгледа вака:
Во времето што му треба на Ахил да истрча илјада чекори, желката ќе ползи сто чекори во иста насока. Во следниот временски интервал еднаков на првиот, Ахил ќе истрча уште илјада чекори, а желката ќе ползи сто чекори. Сега Ахил е осумстотини чекори пред желката.
Овој пристап адекватно ја опишува реалноста без никакви логички парадокси. Но, ова не е целосно решение за проблемот. Изјавата на Ајнштајн за неодоливоста на брзината на светлината е многу слична на Зеноновата апорија „Ахил и желката“. Сè уште треба да го проучуваме, преиспитаме и решиме овој проблем. А решението мора да се бара не во бескрајно голем број, туку во мерни единици.
Друга интересна апорија на Зенон раскажува за летечка стрела:
Летечката стрела е неподвижна, бидејќи во секој момент од времето е во мирување, а бидејќи е во мирување во секој момент од времето, секогаш е во мирување.
Во оваа апорија, логичкиот парадокс е надминат многу едноставно - доволно е да се разјасни дека во секој момент од времето летечка стрела мирува на различни точки во просторот, што, всушност, е движење. Тука треба да се забележи уште една точка. Од една фотографија на автомобил на патот, невозможно е да се одреди ниту фактот на неговото движење ниту растојанието до него. За да одредите дали автомобилот се движи, потребни ви се две фотографии направени од иста точка во различни временски моменти, но не можете да го одредите растојанието од нив. За да го одредите растојанието до автомобилот, потребни ви се две фотографии направени од различни точки во вселената во еден момент во времето, но од нив не можете да го одредите фактот на движење (се разбира, сè уште ви требаат дополнителни податоци за пресметки, тригонометријата ќе ви помогне ). Она што сакам да го истакнам Посебно внимание, е тоа што две точки во времето и две точки во просторот се различни работи кои не треба да се мешаат, бидејќи даваат различни можности за истражување.
Среда, 4 јули 2018 година
Разликите помеѓу множеството и мултимножеството се многу добро опишани на Википедија. Ајде да видиме.
Како што можете да видите, „не може да има два идентични елементи во множеството“, но ако има идентични елементи во множеството, таквото множество се нарекува „мултисет“. Разумните суштества никогаш нема да ја разберат таквата апсурдна логика. Ова е нивото на зборувачки папагали и тренирани мајмуни, кои немаат интелигенција од зборот „целосно“. Математичарите делуваат како обични тренери, проповедајќи ни ги нивните апсурдни идеи.
Некогаш инженерите кои го граделе мостот биле во чамец под мостот додека го тестирале мостот. Ако мостот се урнал, просечниот инженер умрел под урнатините на неговата креација. Ако мостот можеше да го издржи товарот, талентираниот инженер изградил други мостови.
Без разлика колку математичарите се кријат зад фразата „пама ми, јас сум во куќата“, или подобро кажано, „математиката проучува апстрактни концепти“, постои една папочна врвца што нераскинливо ги поврзува со реалноста. Оваа папочна врвца е пари. Да ја примениме математичката теорија на множества на самите математичари.
Многу добро учевме математика и сега седиме на каса и даваме плати. Значи, математичар доаѓа кај нас за неговите пари. Му ја броиме целата сума и ја поставуваме на нашата маса во различни купови, во кои ставаме сметки од иста деноминација. Потоа земаме по една сметка од секој куп и му го даваме на математичарот неговиот „математички сет на плата“. Да му објасниме на математичарот дека ќе ги добие преостанатите сметки само кога ќе докаже дека множество без идентични елементи не е еднакво на множество со идентични елементи. Тука започнува забавата.
Како прво, ќе функционира логиката на пратениците: „Ова може да се примени за другите, но не и за мене! Тогаш ќе почнат да нè уверуваат дека сметките од иста деноминација имаат различни броеви на сметки, што значи дека не можат да се сметаат за исти елементи. Добро, ајде да ги броиме платите во монети - нема бројки на монетите. Овде математичарот ќе почне френетично да се сеќава на физиката: различни монети имаат различни количества нечистотија, кристалната структура и распоредот на атомите се единствени за секоја паричка...
И сега имам најмногу интерес Прашај: каде е линијата по која елементите на повеќемножеството се претвораат во елементи на множество и обратно? Таква линија не постои - сè одлучуваат шаманите, науката не е ни блиску до лажење овде.
Погледнете тука. Избираме фудбалски стадиони со иста површина на теренот. Областите на полињата се исти - што значи дека имаме мултимножество. Но, ако ги погледнеме имињата на истите овие стадиони, добиваме многу, бидејќи имињата се различни. Како што можете да видите, истиот сет на елементи е и множество и мултимножество. Што е точно? И тука математичарот-шаман-острист вади кец на адути од ракавот и почнува да ни кажува или за сет или за мултисет. Во секој случај ќе не убеди дека е во право.
За да се разбере како модерните шамани работат со теоријата на множества, врзувајќи ја со реалноста, доволно е да се одговори на едно прашање: како елементите на едно множество се разликуваат од елементите на друго множество? Ќе ти покажам, без никакво „замисливо како не една целина“ или „незамисливо како единствена целина“.
недела, 18 март 2018 година
Збирот на цифрите на еден број е танц на шамани со тамбура, што нема никаква врска со математиката. Да, на часовите по математика нè учат да го најдеме збирот на цифрите на некој број и да го користиме, но затоа тие се шамани, за да ги научат своите потомци на нивните вештини и мудрост, инаку шаманите едноставно ќе изумрат.
Дали ви треба доказ? Отворете ја Википедија и обидете се да ја пронајдете страницата „Збир на цифри на број“. Таа не постои. Не постои формула во математиката што може да се користи за да се најде збирот на цифрите на кој било број. На крајот на краиштата, броевите се графички симболи со кои пишуваме броеви, а на математичкиот јазик задачата звучи вака: „Најдете го збирот на графичките симболи што претставуваат кој било број“. Математичарите не можат да го решат овој проблем, но шаманите го можат лесно.
Ајде да откриеме што и како правиме за да го најдеме збирот на цифрите на даден број. И така, да го имаме бројот 12345. Што треба да се направи за да се најде збирот на цифрите на овој број? Ајде да ги разгледаме сите чекори по ред.
1. Запишете го бројот на лист хартија. Што направивме? Го претворивме бројот во симбол на графички број. Ова не е математичка операција.
2. Една добиена слика ја сечеме на неколку слики кои содржат поединечни броеви. Сечењето слика не е математичка операција.
3. Претворете ги поединечните графички симболи во бројки. Ова не е математичка операција.
4. Додадете ги добиените броеви. Сега ова е математика.
Збирот на цифрите на бројот 12345 е 15. Тоа се „курсевите за сечење и шиење“ што ги учат шаманите што ги користат математичарите. Но, тоа не е се.
Од математичка гледна точка, не е важно во кој броен систем пишуваме број. Значи, во различни системиВо пресметката, збирот на цифрите од истиот број ќе биде различен. Во математиката, нумеричкиот систем е означен како подлога десно од бројот. СО голем број 12345 Не сакам да си ја измамам главата, да го погледнеме бројот 26 од написот за . Ајде да го напишеме овој број во бинарни, октални, децимални и хексадецимални броени системи. Ние нема да го гледаме секој чекор под микроскоп; ние веќе го направивме тоа. Да го погледнеме резултатот.
Како што можете да видите, во различни системи на броеви збирот на цифрите од истиот број е различен. Овој резултат нема никаква врска со математиката. Исто како да ја одредите плоштината на правоаголникот во метри и сантиметри, ќе добиете сосема различни резултати.
Нулата изгледа исто во сите системи со броеви и нема збир на цифри. Ова е уште еден аргумент во прилог на фактот дека. Прашање до математичарите: како нешто што не е број е означено во математиката? Што, за математичарите не постои ништо освен бројките? Можам да го дозволам ова за шамани, но не и за научниците. Реалноста не е само бројки.
Добиениот резултат треба да се смета како доказ дека броевните системи се мерни единици за броевите. На крајот на краиштата, не можеме да споредуваме броеви со различни мерни единици. Ако истите дејства со различни мерни единици на иста количина доведат до различни резултати по нивното споредување, тогаш тоа нема никаква врска со математиката.
Што е вистинска математика? Ова е кога резултатот од математичката операција не зависи од големината на бројот, мерната единица што се користи и од тоа кој го врши ова дејство.
О! Зарем ова не е женски тоалет?
- Млада жена! Ова е лабораторија за проучување на недефилската светост на душите при нивното вознесување на небото! Ореол на врвот и стрелка нагоре. Кој друг тоалет?
Женски... Ореолот одозгора и стрелката надолу се машки.
Ако такво дизајнерско дело ви трепка пред очи неколку пати на ден,
Тогаш не е изненадувачки што одеднаш ќе најдете чудна икона во вашиот автомобил:
Лично, се трудам да видам минус четири степени кај какачот (една слика) (композиција од неколку слики: знак минус, број четири, ознака на степени). И не мислам дека оваа девојка е будала која не знае физика. Таа едноставно има силен стереотип за перцепција на графички слики. И математичарите нè учат на ова цело време. Еве еден пример.
1А не е „минус четири степени“ или „еден а“. Ова е „човек што кака“ или бројот „дваесет и шест“ во хексадецимална нотација. Оние луѓе кои постојано работат во овој броен систем автоматски ги перцепираат бројот и буквата како еден графички симбол.
Во средното и средното образование, учениците ја покриваа темата „Дропки“. Сепак, овој концепт е многу поширок од она што е дадено во процесот на учење. Денес, концептот на дропка се среќава доста често, и не секој може да пресмета кој било израз, на пример, множење на дропки.
Што е дропка?
Така се случи историски тоа дробни броевипроизлезе од потребата за мерење. Како што покажува практиката, често има примери за одредување на должината на сегментот и волуменот на правоаголен правоаголник.
Првично, студентите се запознаваат со концептот на удел. На пример, ако поделите лубеница на 8 дела, тогаш секој човек ќе добие една осмина од лубеницата. Овој дел од осум се нарекува акција.
Уделот еднаков на ½ од која било вредност се нарекува половина; ⅓ - трето; ¼ - четвртина. Записите од формата 5/8, 4/5, 2/4 се нарекуваат обични дропки. Заедничката дропка се дели на броител и именител. Помеѓу нив е фракционата лента, или фракционата лента. Дробната линија може да се повлече или како хоризонтална или коса линија. Во овој случај, тоа го означува знакот за поделба.
Именителот претставува на колку еднакви делови е поделена количината или предметот; а броител е колку идентични акции се земени. Броителот се пишува над дропната линија, именителот е запишан под него.
Најзгодно е да се прикажат обични фракции на координатен зрак. Ако еден сегмент е поделен на 4 еднакви делови, секој дел е означен со латинска буква, тогаш резултатот може да се добие визуелен материјал. Значи, точката А покажува учество еднакво на 1/4 од вкупниот број единица сегмент, а точката Б означува 2/8 од овој сегмент.
Видови дропки
Дропките можат да бидат обични, децимални и мешани броеви. Покрај тоа, фракциите можат да се поделат на правилни и неправилни. Оваа класификација е посоодветна за обични дропки.
Правилна дропка е број чиј броител е помал од неговиот именител. Според тоа, неправилна дропка е број чиј броител е поголем од неговиот именител. Вториот тип обично се пишува како мешан број. Овој израз се состои од цел број и фракционо дел. На пример, 1½. 1 е цел број, ½ е дробен дел. Меѓутоа, ако треба да извршите некои манипулации со изразот (делење или множење дропки, нивно намалување или претворање), мешаниот број се претвора во неправилна дропка.
Точно фракционо изразувањесекогаш помалку од еден, а неточно - поголемо или еднакво на 1.
Што се однесува до овој израз, мислиме на запис во кој е претставен кој било број, чијшто именител на фракциониот израз може да се изрази во однос на еден со неколку нули. Ако дропката е правилна, тогаш целобројниот дел во децималната нотација ќе биде еднаков на нула.
За да напишете децимална дропка, прво мора да го напишете целиот дел, да го одделите од дропката со помош на запирка, а потоа да го напишете изразот на дропката. Мора да се запомни дека по децималната точка броителот мора да содржи ист број на дигитални знаци колку што има нули во именителот.
Пример. Изрази ја дропката 7 21 / 1000 со децимална нотација.
Алгоритам за претворање на неправилна дропка во мешан број и обратно
Неточно е да се напише неправилна дропка во одговорот на проблем, па затоа треба да се претвори во мешан број:
- подели го броителот со постоечкиот именител;
- во конкретен пример, нецелосен количник е целина;
- а остатокот е броител на дробниот дел, при што именителот останува непроменет.
Пример. Претворете ја неправилната дропка во мешан број: 47 / 5.
Решение. 47: 5. Делумниот количник е 9, остатокот = 2. Значи, 47 / 5 = 9 2 / 5.
Понекогаш треба да претставите мешан број како неправилна дропка. Потоа треба да го користите следниов алгоритам:
- целобројниот дел се множи со именителот на дробниот израз;
- добиениот производ се додава на броителот;
- резултатот се запишува во броителот, именителот останува непроменет.
Пример. Претстави го бројот во мешана форма како неправилна дропка: 9 8 / 10.
Решение. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 е броителот.
Одговори: 98 / 10.
Множење на дропки
На обични дропки може да се извршат различни алгебарски операции. За да помножите два броја, треба да го помножите броителот со броителот, а именителот со именителот. Згора на тоа, множењето дропки со различни именители не се разликува од множењето дропки со исти именители.
Се случува, откако ќе го пронајдете резултатот, треба да ја намалите фракцијата. ВО задолжителнотреба да го поедноставите добиениот израз колку што е можно повеќе. Се разбира, не може да се каже дека неправилната дропка во одговорот е грешка, но исто така е тешко да се нарече точен одговор.
Пример. Најдете го производот на две обични дропки: ½ и 20/18.
Како што може да се види од примерот, по пронаоѓањето на производот, се добива редуцирачка фракциона нотација. И броителот и именителот во овој случај се поделени со 4, а резултатот е одговорот 5/9.
Множење децимални дропки
Производот на децималните дропки е сосема различен од производот на обичните дропки по својот принцип. Значи, множењето на дропките е како што следува:
- две децимали мора да се запишат една под друга, така што најдесните цифри се една под друга;
- треба да ги помножите напишаните броеви, и покрај запирките, односно како природни броеви;
- брои го бројот на цифри по децималната точка во секој број;
- во резултатот добиен по множењето, треба да броите од десно онолку дигитални симболи колку што се содржани во збирот во двата фактора по децималната точка и да ставите знак за одвојување;
- ако има помалку броеви во производот, тогаш треба да напишете онолку нули пред нив за да го покриете овој број, да ставите запирка и да го додадете целиот дел еднаков на нула.
Пример. Пресметај го производот на две децимални дропки: 2,25 и 3,6.
Решение.
Множење мешани дропки
За да го пресметате производот на две мешани фракции, треба да го користите правилото за множење дропки:
- конвертира мешани броеви во неправилни дропки;
- најдете го производот на броителите;
- најдете производ на именители;
- запишете го резултатот;
- поедноставете го изразот што е можно повеќе.
Пример. Најдете го производот од 4½ и 6 2/5.
Множење број со дропка (дропки со број)
Покрај наоѓањето производ на две дропки и мешани броеви, има задачи каде што треба да се множи со дропка.
Значи, да го пронајдете производот децималнаи природен број, потребни ви се:
- запишете го бројот под дропката така што најдесните цифри се една над друга;
- најдете го производот и покрај запирката;
- во добиениот резултат, одделете го целобројниот дел од фракциониот дел со помош на запирка, броејќи го од десно бројот на цифри што се наоѓаат по децималната точка во дропката.
За да помножите заедничка дропка со број, треба да го најдете производот на броителот и природниот фактор. Ако одговорот произведе дропка што може да се намали, таа треба да се претвори.
Пример. Пресметај го производот од 5/8 и 12.
Решение. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.
Одговори: 7 1 / 2.
Како што можете да видите од претходниот пример, беше неопходно да се намали добиениот резултат и да се претвори неточниот фракционо изразување во мешан број.
Множењето на дропките се однесува и на наоѓање производ на број во мешана форма и природен фактор. За да ги помножите овие два броја, треба да го помножите целиот дел од мешаниот фактор со бројот, да го помножите броителот со истата вредност и да го оставите именителот непроменет. Доколку е потребно, треба да го поедноставите добиениот резултат колку што е можно повеќе.
Пример. Најдете го производот од 9 5 / 6 и 9.
Решение. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.
Одговори: 88 1 / 2.
Множење со фактори од 10, 100, 1000 или 0,1; 0,01; 0,001
Следното правило следи од претходниот став. За да помножите децимална дропка со 10, 100, 1000, 10000 итн., треба да ја поместите децималната точка надесно за онолку цифри колку што има нули во факторот по едната.
Пример 1. Најдете го производот од 0,065 и 1000.
Решение. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.
Одговори: 65.
Пример 2. Најдете го производот од 3,9 и 1000.
Решение. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.
Одговори: 3900.
Ако треба да помножите природен број и 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001, итн., треба да ја поместите запирката во добиениот производ налево за толку цифри колку што има нули пред една. Доколку е потребно, пред природниот број се запишуваат доволен број нули.
Пример 1. Најдете го производот од 56 и 0,01.
Решение. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.
Одговори: 0,56.
Пример 2. Најдете го производот од 4 и 0,001.
Решение. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.
Одговори: 0,004.
Значи, наоѓањето производ на различни фракции не треба да предизвикува никакви тешкотии, освен можеби пресметувањето на резултатот; во овој случај, едноставно не можете без калкулатор.
Друга операција што може да се изврши со обични дропки е множењето. Ќе се обидеме да ги објасниме неговите основни правила при решавање на проблеми, да покажеме како обична дропка се множи со природен број и како правилно да множиме три обични дропки или повеќе.
Ајде прво да го запишеме основното правило:
Дефиниција 1
Ако помножиме една заедничка дропка, тогаш броителот на добиената дропка ќе биде еднаков на производотброителите на оригиналните дропки, а именителот е производ на нивните именители. Во буквална форма, за две дропки a / b и c / d, ова може да се изрази како b · c d = a · c b · d.
Ајде да погледнеме пример за тоа како правилно да се примени ова правило. Да речеме дека имаме квадрат чија страна е еднаква на една нумеричка единица. Тогаш површината на фигурата ќе биде 1 квадрат. единица. Ако го поделиме квадратот на еднакви правоаголници со страни еднакви на 1 4 и 1 8 нумерички единици, добиваме дека сега се состои од 32 правоаголници (бидејќи 8 4 = 32). Соодветно на тоа, површината на секоја од нив ќе биде еднаква на 1 32 од површината на целата фигура, т.е. 1 32 кв. единици.
Имаме засенчен фрагмент со страни еднакви на 5 8 нумерички единици и 3 4 нумерички единици. Соодветно на тоа, за да ја пресметате неговата површина, треба да ја помножите првата фракција со втората. Тоа ќе биде еднакво на 5 8 · 3 4 кв. единици. Но, можеме едноставно да броиме колку правоаголници се вклучени во фрагментот: има 15 од нив, што значи дека вкупната површина е 15 32 квадратни единици.
Бидејќи 5 3 = 15 и 8 4 = 32, можеме да ја напишеме следната еднаквост:
5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32
Тоа го потврдува правилото што го формулиравме за множење на обични дропки, кое се изразува како b · c d = a · c b · d. Работи исто и за правилни и за неправилни дропки; Може да се користи за множење дропки и со различни и со идентични именители.
Ајде да погледнеме решенија за неколку проблеми кои вклучуваат множење на обични дропки.
Пример 1
Помножете 7 11 со 9 8.
Решение
Прво, да го пресметаме производот на броителите на наведените дропки со множење 7 со 9. Добивме 63. Потоа го пресметуваме производот на именителот и добиваме: 11 · 8 = 88. Ајде да составиме два броја и одговорот е: 63 88.
Целото решение може да се напише вака:
7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88
Одговор: 7 11 · 9 8 = 63 88.
Ако добиеме редуцирана дропка во нашиот одговор, треба да ја завршиме пресметката и да ја извршиме нејзината редукција. Ако добиеме неправилна дропка, треба да го одвоиме целиот дел од неа.
Пример 2
Пресметај производ на дропки 4 15 и 55 6 .
Решение
Според правилото проучено погоре, треба да го помножиме броителот со броителот, а именителот со именителот. Записот за решение ќе изгледа вака:
4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90
Добивме редуцирана дропка, т.е. оној што се дели со 10.
Да ја намалиме фракцијата: 220 90 gcd (220, 90) = 10, 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9. Како резултат на тоа, добивме неправилна дропка, од која го избираме целиот дел и добиваме мешан број: 22 9 = 2 4 9.
Одговор: 4 15 55 6 = 2 4 9.
За полесно пресметување, можеме да ги намалиме и оригиналните дропки пред да ја извршиме операцијата за множење, за што треба да ја намалиме дропот во форма a · c b · d. Ајде да ги разложиме вредностите на променливите на едноставни фактори и да ги намалиме истите.
Ајде да објасниме како ова изгледа со користење на податоци од одредена задача.
Пример 3
Пресметај го производот 4 15 55 6.
Решение
Ајде да ги запишеме пресметките врз основа на правилото за множење. Ќе добиеме:
4 15 55 6 = 4 55 15 6
Бидејќи 4 = 2 2, 55 = 5 11, 15 = 3 5 и 6 = 2 3, тогаш 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3.
2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9
Одговори: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .
Нумерички израз, во кој се одвива множењето на обичните дропки, има комутативно својство, односно, доколку е потребно, можеме да го промениме редоследот на факторите:
a b · c d = c d · a b = a · c b · d
Како да се множи дропка со природен број
Ајде веднаш да го запишеме основното правило, а потоа да се обидеме да го објасниме во пракса.
Дефиниција 2
За да помножите заедничка дропка со природен број, треба да го помножите броителот на таа дропка со тој број. Во овој случај, именителот на конечната дропка ќе биде еднаков на именителот на првобитната обична дропка. Множењето на одредена дропка a b со природен број n може да се запише како формула a b · n = a · n b.
Лесно е да се разбере оваа формула ако се сетите дека секој природен број може да се претстави како обична дропка со именител еднаков на еден, односно:
a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b
Да ја објасниме нашата идеја со конкретни примери.
Пример 4
Пресметајте го производот 2 27 пати 5.
Решение
Како резултат на множење на броителот на првобитната дропка со вториот фактор, добиваме 10. Врз основа на правилото наведено погоре, ќе добиеме 10 27 како резултат. Целото решение е дадено во овој пост:
2 27 5 = 2 5 27 = 10 27
Одговор: 2 27 5 = 10 27
Кога множиме природен број со дропка, честопати мораме да го скратиме резултатот или да го претставиме како мешан број.
Пример 5
Состојба: пресметајте го производот 8 на 5 12.
Решение
Според правилото погоре, природниот број го множиме со броителот. Како резултат на тоа, добиваме дека 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12. Конечната дропка има знаци на деливост со 2, па затоа треба да ја намалиме:
LCM (40, 12) = 4, значи 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3
Сега сè што треба да направиме е да го избереме целиот дел и да го запишеме подготвениот одговор: 10 3 = 3 1 3.
Во овој запис можете да го видите целото решение: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3.
Можеме и да ја намалиме дропот со множење на броителот и именителот во прости множители, а резултатот би бил потполно ист.
Одговор: 5 12 8 = 3 1 3.
Нумерички израз во кој природен број се множи со дропка, исто така, има својство на поместување, односно редоследот на факторите не влијае на резултатот:
a b · n = n · a b = a · n b
Како да се множат три или повеќе заеднички дропки
Можеме да ги прошириме и на дејството на множење на обичните дропки истите својства што се карактеристични за множење природни броеви. Ова произлегува од самата дефиниција на овие концепти.
Благодарение на знаењето за комбинираните и комутативните својства, можете да множите три или повеќе обични фракции. Прифатливо е да се преуредат факторите за поголема удобност или да се распоредат заградите на начин што ќе го олесни броењето.
Ајде да покажеме со пример како се прави ова.
Пример 6
Помножете ги четирите заеднички дропки 1 20, 12 5, 3 7 и 5 8.
Решение: прво, да ја снимиме работата. Добиваме 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 . Треба да ги помножиме сите броители и сите именители заедно: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 .
Пред да почнеме да се множиме, можеме малку да си ги олесниме работите и да факторираме некои бројки во прости фактори за дополнително намалување. Ова ќе биде полесно отколку да се намали добиената фракција што е веќе подготвена.
1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9.280
Одговор: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9.280.
Пример 7
Помножете 5 броеви 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 .
Решение
За погодност, можеме да ја групираме дропката 7 8 со бројот 8, а бројот 12 со дропката 5 36, бидејќи идните кратенки ќе ни бидат очигледни. Како резултат, ќе добиеме:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = 7 5 3 10 = 7 5 3103 2 3
Одговор: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3.
Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter
За правилно множење дропка со дропка или дропка со број, треба да знаете едноставни правила. Сега детално ќе ги анализираме овие правила.
Множење на заедничка дропка со дропка.
За да помножите дропка со дропка, треба да го пресметате производот на броителите и производот на именители на овие дропки.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)
Ајде да погледнеме на пример:
Броителот на првата дропка го множиме со броителот на втората дропка, а именителот на првата дропка го множиме со именителот на втората дропка.
\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ пати 3) (7 \пати 3) = \frac (4) (7) \\\)
Дропката \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) беше намалена за 3.
Множење на дропка со број.
Прво, да се потсетиме на правилото, кој било број може да се претстави како дропка \(\bf n = \frac(n)(1)\) .
Ајде да го користиме ова правило при множење.
\(5 \times \frac (4) (7) = \frac (5) (1) \times \frac (4) (7) = \frac (5 \ пати 4) (1 \пати 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)
Неправилна дропка \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) претворена во мешана фракција.
Со други зборови, Кога множиме број со дропка, го множиме бројот со броителот и го оставаме именителот непроменет.Пример:
\(\frac(2)(5) \пати 3 = \frac(2 \пати 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)
Множење мешани дропки.
За да множите мешани дропки, прво мора да ја претставите секоја мешана дропка како неправилна дропка, а потоа да го користите правилото за множење. Броителот го множиме со броителот, а именителот со именителот.
Пример:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \ пати 6) = \frac (3 \пати \ боја (црвена) (3) \ пати 23) (4 \ пати 2 \ пати \ боја (црвена) (3)) = \frac (69) (8) = 8\frac(5)(8)\\\)
Множење на реципрочни дропки и броеви.
Дропката \(\bf \frac(a)(b)\) е инверзна на дропката \(\bf \frac(b)(a)\), под услов a≠0,b≠0.
Дропките \(\bf \frac(a)(b)\) и \(\bf \frac(b)(a)\) се нарекуваат реципрочни дропки. Производот на заемните фракции е еднаков на 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)
Пример:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1 \\\)
Поврзани прашања:
Како да се помножи дропка со дропка?
Одговор: Производот на обичните дропки е множење на броител со броител, именител со именител. За да го добиете производот од мешаните фракции, треба да ги претворите во неправилна дропка и да се множите според правилата.
Како да се множат дропки со различни именители?
Одговор: не е важно дали се исти или различни именителиЗа дропки, множењето се случува според правилото за наоѓање на производот на броителот со броителот, именителот со именителот.
Како да се множат мешаните дропки?
Одговор: пред сè, треба да ја претворите мешаната дропка во неправилна дропка, а потоа да го пронајдете производот користејќи ги правилата за множење.
Како да помножите број со дропка?
Одговор: го множиме бројот со броителот, но именителот го оставаме ист.
Пример #1:
Пресметајте го производот: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )
Решение:
а) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
б) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( црвено) (5)) (3 \ пати \ боја (црвено) (5) \ пати 13) = \frac (4) (39)\)
Пример #2:
Пресметај ги производите на број и дропка: а) \(3 \пати \frac(17)(23)\) б) \(\frac(2)(3) \пати 11\)
Решение:
а. \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
б) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)
Пример #3:
Напиши го реципроцитетот на дропката \(\frac(1)(3)\)?
Одговор: \(\frac(3)(1) = 3\)
Пример #4:
Пресметај го производот на две меѓусебно инверзни дропки: а) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)
Решение:
а) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)
Пример #5:
Дали реципрочните дропки можат да бидат:
а) истовремено со соодветни дропки;
б) истовремено неправилни фракции;
в) во исто време природни броеви?
Решение:
а) за да одговориме на првото прашање, да дадеме пример. Дропката \(\frac(2)(3)\) е соодветна, нејзината инверзна дропка ќе биде еднаква на \(\frac(3)(2)\) - неправилна дропка. Одговор: не.
б) во скоро сите набројувања на дропки овој услов не е исполнет, но има некои броеви кои го исполнуваат условот истовремено да се неправилна дропка. На пример, несоодветната дропка е \(\frac(3)(3)\), нејзината инверзна дропка е еднаква на \(\frac(3)(3)\). Добиваме две неправилни дропки. Одговор: не секогаш под одредени услови кога броителот и именителот се еднакви.
в) природните броеви се броеви што ги користиме при броење, на пример, 1, 2, 3, .... Ако го земеме бројот \(3 = \frac(3)(1)\), тогаш неговата инверзна дропка ќе биде \(\frac(1)(3)\). Дропката \(\frac(1)(3)\) не е природен број. Ако ги поминеме сите броеви, реципроцитетот на бројот е секогаш дропка, освен 1. Ако го земеме бројот 1, тогаш неговата реципрочна дропка ќе биде \(\frac(1)(1) = \frac(1 )(1) = 1\). Бројот 1 е природен број. Одговор: тие можат истовремено да бидат природни броеви само во еден случај, ако тоа е бројот 1.
Пример #6:
Направете го производот од мешаните дропки: а) \(4 \пати 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \пати 3\frac(2)(7)\ )
Решение:
а) \(4 \пати 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 ) (5) \\\\ \)
б) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)
Пример #7:
Дали можат да постојат два реципрочни броја во исто време? мешани броеви?
Ајде да погледнеме на пример. Да земеме измешана дропка \(1\frac(1)(2)\), да ја најдеме нејзината инверзна дропка, за да го направиме тоа ја претвораме во неправилна дропка \(1\frac(1)(2) = \frac(3 )(2) \) . Нејзината инверзна дропка ќе биде еднаква на \(\frac(2)(3)\) . Дропката \(\frac(2)(3)\) е правилна дропка. Одговор: Две дропки кои се меѓусебно инверзни не можат да бидат мешани броеви во исто време.