Гаусовиот метод е ... Обратно од Гаусовиот метод
Овде можете бесплатно да решите систем на линеарни равенки Гаусовиот метод онлајн големи димензииво сложени броеви со многу детално решение. Нашиот калкулатор може да ги реши онлајн и вообичаените дефинитивни и неопределени системи на линеарни равенки користејќи го Гаусовиот метод, кој има бесконечен број решенија. Во овој случај, во одговорот ќе ја добиете зависноста на некои променливи преку други, бесплатни. Можете исто така да го проверите системот на равенки за конзистентност преку Интернет користејќи го Гаусовото решение.
За методот
При решавање на систем од линеарни равенки онлајн методГаус се изведуваат следните чекори.
- Ја пишуваме проширената матрица.
- Всушност, решението е поделено на чекори напред и назад на Гаусовиот метод. Директниот чекор на Гаусовиот метод е редукцијата на матрицата до формата во чекор. Обратна страна од Гаусовиот метод е редукцијата на матрицата до специјален чекор-форма. Но, во пракса, попогодно е веднаш да се нули она што се наоѓа и над и под предметниот елемент. Нашиот калкулатор го користи токму овој пристап.
- Важно е да се напомене дека при решавање со помош на Гаусовиот метод, присуството во матрицата од најмалку еден нулти ред со НЕ нула десна страна(колона на слободни членови) укажува на некомпатибилност на системот. Решение линеарен системво овој случај не постои.
За најдобро да разберете како функционира Гаусовиот алгоритам онлајн, внесете кој било пример, изберете „многу детално решение“ и побарајте го неговото решение на интернет.
1. Систем на линеарни алгебарски равенки
1.1 Концептот на систем на линеарни алгебарски равенки
Систем од равенки е состојба која се состои од истовремено извршување на неколку равенки во однос на неколку променливи. Систем од линеарни алгебарски равенки (во понатамошниот текст SLAE) кој содржи m равенки и n непознати се нарекува систем на форма:
каде што броевите a ij се нарекуваат системски коефициенти, броевите b i се нарекуваат слободни членови, а ijИ b i(i=1,…, m; b=1,…, n) претставуваат некои познати броеви и x 1,…, x n– непознато. Во означувањето на коефициентите а ijпрвиот индекс i го означува бројот на равенката, а вториот j е бројот на непознатата на која стои овој коефициент. Мора да се најдат броевите x n. Удобно е да се напише таков систем во форма на компактна матрица: AX=B.Овде А е матрицата на системските коефициенти, наречена главна матрица;
– колона вектор на непознати xj. е колона вектор на слободни членови bi.
Производот на матриците A*X е дефиниран, бидејќи има толку колони во матрицата А колку што има редови во матрицата X (n парчиња).
Проширената матрица на системот е матрицата А на системот, дополнета со колона од слободни членови
1.2 Решавање на систем од линеарни алгебарски равенки
Решението на системот на равенки е подредено збир на броеви (вредности на променливите), кога се заменуваат наместо променливи, секоја од равенките на системот се претвора во вистинска еднаквост.
Решението на системот е n вредности на непознатите x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, по чија замена сите равенки на системот стануваат вистински еднаквости. Секое решение на системот може да се запише како матрица на колони
Систем од равенки се нарекува конзистентен ако има барем едно решение, а неконзистентен ако нема решение.
Конзистентен систем се вели дека е детерминиран ако има едно решение, и неопределен ако има повеќе од едно решение. Во вториот случај, секое негово решение се нарекува одредено решение на системот. Множеството од сите конкретни решенија се нарекува општо решение.
Решавањето на системот значи да се открие дали е компатибилен или неконзистентен. Ако системот е конзистентен, пронајдете го неговото општо решение.
Два системи се нарекуваат еквивалентни (еквивалентни) ако имаат исто општо решение. Со други зборови, системите се еквивалентни ако секое решение на еден од нив е решение на другото, и обратно.
Трансформација, чија примена го претвора системот во нов систем, што е еквивалентно на првобитната, се нарекува еквивалентна или еквивалентна трансформација. Примери за еквивалентни трансформации ги вклучуваат следните трансформации: заменување на две равенки на систем, замена на две непознати заедно со коефициентите на сите равенки, множење на двете страни на која било равенка на системот со ненула број.
Систем од линеарни равенки се нарекува хомоген ако сите слободни членови се еднакви на нула:
Хомоген систем е секогаш конзистентен, бидејќи x1=x2=x3=…=xn=0 е решение на системот. Ова решение се нарекува нула или тривијално.
2. Гаусовиот метод на елиминација
2.1 Суштината на Гаусовиот метод на елиминација
Класичниот метод за решавање системи на линеарни алгебарски равенки е методот на секвенцијално елиминирање на непознати - Гаусовиот метод(тоа се нарекува и Гаусовиот метод на елиминација). Ова е метод на секвенцијална елиминација на променливите, кога, користејќи елементарни трансформации, системот на равенки се сведува на еквивалентен систем од чекор (или триаголен) облик, од кој сите други променливи се наоѓаат последователно, почнувајќи од последната (од број) променливи.
Процесот на решение со помош на Гаусовиот метод се состои од две фази: движења напред и назад.
1. Директен удар.
Во првата фаза се врши таканаречениот директен потег, кога преку елементарни трансформации низ редовите, системот се доведува во чекор или триаголен облик, или утврди дека системот е некомпатибилен. Имено, меѓу елементите на првата колона од матрицата, изберете една ненула, преместете ја на најгорната позиција со преуредување на редовите и од останатите редови по преуредувањето одземете ја добиената прва редица, множејќи ја со вредност. еднаков на односот на првиот елемент од секоја од овие редови со првиот елемент од првиот ред, со што се нула колоната под него.
Откако ќе се завршат овие трансформации, првиот ред и првата колона се ментално пречкртани и продолжуваат додека не остане матрица со нулта големина. Ако при секое повторување нема елемент без нула меѓу елементите од првата колона, тогаш одете во следната колона и извршете слична операција.
Во првата фаза (директен удар), системот се сведува на скалеста (особено триаголна) форма.
Системот подолу има чекор напред:
,
Коефициентите aii се нарекуваат главни (водечки) елементи на системот.
(ако a11=0, преуредите ги редовите на матрицата така што а 11 не беше еднаква на 0. Ова е секогаш можно, бидејќи во спротивно матрицата содржи нулта колона, нејзината детерминанта е еднаква на нула и системот е неконзистентен).Да го трансформираме системот со елиминирање на непознатата x1 во сите равенки освен првата (со користење на елементарни трансформации на системот). За да го направите ова, помножете ги двете страни на првата равенка со
и додадете член по член со втората равенка на системот (или од втората равенка одземете член по член со првиот, помножете се со ). Потоа ги множиме двете страни на првата равенка со и ги додаваме во третата равенка на системот (или од третата ја одземаме првата помножена со ). Така, ние последователно ја множиме првата линија со број и додаваме на јаста линија, за i= 2, 3, …,n.Продолжувајќи со овој процес, добиваме еквивалентен систем:
– нови вредности на коефициентите за непознати и слободни членови во последните m-1 равенки на системот, кои се одредуваат со формулите: Така, на првиот чекор, сите коефициенти што лежат под првиот водечки елемент a 11 се уништени
0, во вториот чекор елементите што лежат под вториот водечки елемент a 22 (1) се уништуваат (ако е 22 (1) 0), итн. Продолжувајќи го овој процес понатаму, конечно, на чекорот (m-1), го сведуваме оригиналниот систем на триаголен систем.Ако во процесот на редуцирање на системот во етапна форма се појават нула равенки, т.е. еднаквости од формата 0=0, тие се отфрлаат. Ако се појави равенка на формата
тогаш ова укажува на некомпатибилност на системот. Тука завршува директната прогресија на методот на Гаус.
2. Обратен удар.
Во втората фаза, се врши таканаречениот обратен потег, чија суштина е да се изразат сите добиени основни променливи во смисла на неосновни и да се изгради фундаментален систем на решенија, или, ако сите променливи се основни. , потоа нумерички изрази го единственото решение на системот линеарни равенки.
Оваа постапка започнува со последната равенка, од која се изразува соодветната основна променлива (во неа има само една) и се заменува со претходните равенки и така натаму, одејќи по „скалилата“.
Секоја линија одговара на точно една основна променлива, така што на секој чекор освен последниот (најгорниот), ситуацијата точно го повторува случајот со последната линија.
Забелешка: во пракса, попогодно е да се работи не со системот, туку со неговата продолжена матрица, изведувајќи ги сите елементарни трансформации на неговите редови. Погодно е коефициентот a11 да биде еднаков на 1 (преуредите ги равенките или поделете ги двете страни на равенката со a11).
2.2 Примери за решавање на SLAE со помош на Гаусовиот метод
Во овој дел има три разни примериДозволете ни да покажеме како Гаусовиот метод може да го реши SLAE.
Пример 1. Решете SLAE од 3 ред.
Ајде да ги ресетираме коефициентите на
во вториот и третиот ред. За да го направите ова, помножете ги со 2/3 и 1, соодветно, и додадете ги во првата линија:
Нека е даден систем на линеарни алгебарски равенки што треба да се реши (најдете такви вредности на непознатите xi што ја претвораат секоја равенка на системот во еднаквост).
Знаеме дека систем на линеарни алгебарски равенки може:
1) Немате решенија (бидете незаеднички).
2) Имајте бесконечно многу решенија.
3) Имајте едно решение.
Како што се сеќаваме, владеењето на Крамер и матричен методсе несоодветни во случаи кога системот има бесконечно многу решенија или е неконзистентен. Гаусовиот метод – најмоќната и сестрана алатка за наоѓање решенија за кој било систем на линеарни равенки, кои во секој случајќе не доведе до одговорот! Самиот алгоритам на методот функционира исто во сите три случаи. Ако методите на Крамер и матрицата бараат познавање на детерминанти, тогаш за да го примените Гаусовиот метод ви треба само знаење за аритметички операции, што го прави достапен дури и за учениците од основните училишта.
Трансформации на зголемена матрица ( ова е матрицата на системот - матрица составена само од коефициентите на непознатите, плус колона со слободни членови)системи на линеарни алгебарски равенки во методот на Гаус:
1) Со трокиматрици Може преуредина некои места.
2) ако пропорционалните се појавиле (или постојат) во матрицата (како посебен случај– идентични) линии, потоа следи избришиСите овие редови се од матрицата освен еден.
3) ако за време на трансформациите се појави нулта ред во матрицата, тогаш треба да биде избриши.
4) ред од матрицата може да биде множи (подели)на кој било број освен нула.
5) до ред од матрицата можете додадете уште една низа помножена со број, различно од нула.
Во методот на Гаус, елементарните трансформации не го менуваат решението на системот на равенки.
Гаусовиот метод се состои од две фази:
- „Директен потег“ - со помош на елементарни трансформации, доведете ја продолжената матрица на систем од линеарни алгебарски равенки во „триаголен“ чекор: елементите на продолжената матрица лоцирани под главната дијагонала се еднакви на нула (поместување од горе-надолу). На пример, за овој тип:
За да го направите ова, извршете ги следниве чекори:
1) Да ја разгледаме првата равенка на систем од линеарни алгебарски равенки и коефициентот за x 1 е еднаков на K. Втората, третата итн. ги трансформираме равенките на следниов начин: секоја равенка (коефициенти на непознатите, вклучувајќи ги и слободните членови) ја делиме со коефициентот на непознатата x 1 во секоја равенка и множиме со К. После ова, првата ја одземаме од втората равенка ( коефициенти на непознати и слободни членови). За x 1 во втората равенка го добиваме коефициентот 0. Од третата трансформирана равенка ја одземаме првата равенка додека сите равенки освен првата, за непозната x 1, имаат коефициент 0.
2) Да преминеме на следната равенка. Нека ова е втората равенка и коефициентот за x 2 еднаков на M. Продолжуваме со сите „пониски“ равенки како што е опишано погоре. Така, „под“ непознатата x 2 ќе има нули во сите равенки.
3) Продолжете со следната равенка и така натаму додека не остане последна непозната и трансформираниот слободен член.
- „Обратно движење“ на методот Гаус е да се добие решение за систем на линеарни алгебарски равенки (потег „од долу нагоре“). Од последната „пониска“ равенка добиваме едно прво решение - непознатата x n. За да го направите ова, ја решаваме елементарната равенка A * x n = B. Во примерот даден погоре, x 3 = 4. Пронајдената вредност ја заменуваме во следната „горна“ равенка и ја решаваме во однос на следната непозната. На пример, x 2 – 4 = 1, т.е. x 2 = 5. И така додека не ги најдеме сите непознати.
Пример.
Ајде да го решиме системот на линеарни равенки користејќи го методот Гаус, како што советуваат некои автори:
Дозволете ни да ја запишеме проширената матрица на системот и, користејќи елементарни трансформации, да ја доведеме во чекор по форма:
Го гледаме горниот лев „чекор“. Таму треба да имаме еден. Проблемот е што воопшто нема единици во првата колона, така што преуредувањето на редовите нема да реши ништо. Во такви случаи, единицата мора да се организира со помош на елементарна трансформација. Ова обично може да се направи на неколку начини. Да го направиме ова:
1 чекор
. На првата линија ја додаваме втората линија, помножена со –1. Односно, ментално го помноживме вториот ред со –1 и ги додадовме првиот и вториот ред, додека вториот ред не се промени.
Сега горе лево има „минус еден“, што доста ни одговара. Секој што сака да добие +1 може да изврши дополнително дејство: помножете ја првата линија со –1 (променете го неговиот знак).
Чекор 2 . Првата линија, помножена со 5, беше додадена на втората линија, а првата линија, помножена со 3, беше додадена на третата линија.
Чекор 3 . Првата линија беше помножена со -1, во принцип, ова е за убавина. Променет е и знакот на третата линија и тој е поместен на второто место, така што на вториот „скалило“ ја имаме потребната единица.
Чекор 4 . Третата линија беше додадена на втората линија, помножена со 2.
Чекор 5 . Третата линија беше поделена со 3.
Знакот што укажува на грешка во пресметките (поретко, печатна грешка) е „лоша“ крајна линија. Односно, ако добиеме нешто како (0 0 11 |23) подолу, и, соодветно, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, тогаш со голем уделверојатност, може да се тврди дека е направена грешка при елементарни трансформации.
Ајде да направиме обратно; при дизајнирањето на примерите, самиот систем често не се препишува, туку равенките се „земени директно од дадената матрица“. Обратно движење, ве потсетувам, функционира од дното нагоре. Во овој пример, резултатот беше подарок:
x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, затоа x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1
Одговори:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.
Да го решиме истиот систем користејќи го предложениот алгоритам. Добиваме
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
Втората равенка поделете ја со 5, а третата со 3. Добиваме:
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
Помножувајќи ги втората и третата равенка со 4, добиваме:
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
Одземете ја првата равенка од втората и третата равенка, имаме:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
Поделете ја третата равенка со 0,64:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
Помножете ја третата равенка со 0,4
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
Одземајќи ја втората од третата равенка, добиваме „зачекорена“ продолжена матрица:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
Така, бидејќи грешката се акумулирала за време на пресметките, добиваме x 3 = 0,96 или приближно 1.
x 2 = 3 и x 1 = –1.
Со решавање на овој начин, никогаш нема да се збуните во пресметките и и покрај грешките во пресметката, ќе го добиете резултатот.
Овој метод за решавање на систем на линеарни алгебарски равенки е лесен за програмирање и не ги зема предвид специфични карактеристикикоефициенти за непознати, бидејќи во практиката (во економско-техничките пресметки) треба да се работи со нецелобројни коефициенти.
Ти посакувам успех! Се гледаме на час! Учител Дмитриј Ајстраханов.
веб-страница, при копирање на материјал во целост или делумно, потребна е врска до изворот.
Во овој напис, методот се разгледува како метод за решавање системи на линеарни равенки (SLAEs). Методот е аналитички, односно ви овозможува да напишете алгоритам за решение општ поглед, а потоа заменете ги вредностите од конкретни примери таму. За разлика од методот на матрица или формулите на Крамер, кога решавате систем на линеарни равенки со помош на методот Гаус, можете да работите и со оние кои имаат бесконечен број решенија. Или воопшто го немаат.
Што значи да се реши со помош на Гаусовиот метод?
Прво, треба да го напишеме нашиот систем на равенки во Изгледа вака. Земете го системот:
Коефициентите се запишуваат во форма на табела, а слободните членови се запишуваат во посебна колона десно. Колоната со слободни термини е одвоена за погодност.Матрицата што ја вклучува оваа колона се нарекува проширена.
Следно, главната матрица со коефициенти мора да се сведе на горната триаголна форма. Ова е главната поента за решавање на системот со помош на Гаусовиот метод. Едноставно кажано, по одредени манипулации, матрицата треба да изгледа така што нејзиниот долен лев дел содржи само нули:
Потоа, ако повторно ја напишете новата матрица како систем од равенки, ќе забележите дека последниот ред веќе ја содржи вредноста на еден од корените, кој потоа се заменува во равенката погоре, се наоѓа друг корен итн.
Ова е опис на решението со Гаусовиот метод најмногу општ преглед. Што се случува ако одеднаш системот нема решение? Или ги има бескрајно многу? За да одговорите на овие и многу други прашања, неопходно е да се разгледаат одделно сите елементи што се користат при решавањето на Гаусовиот метод.
Матрици, нивните својства
Нема скриено значење во матрицата. Едноставно е пригоден начинзапишување податоци за последователни операции со нив. Дури и учениците не треба да се плашат од нив.
Матрицата е секогаш правоаголна, бидејќи е поудобна. Дури и во методот на Гаус, каде што сè се сведува на конструирање на матрица од триаголна форма, во записот се појавува правоаголник, само со нули на местото каде што нема броеви. Нулите можеби не се напишани, но се имплицирани.
Матрицата има големина. Неговата „ширина“ е бројот на редови (m), „должина“ е бројот на колони (n). Тогаш големината на матрицата A (за нивно означување обично се користат големи латински букви) ќе биде означена како A m×n. Ако m=n, тогаш оваа матрица е квадратна, а m=n е нејзиниот ред. Соодветно на тоа, секој елемент од матрицата А може да се означи со неговите броеви на редови и колони: a xy ; x - број на ред, промени, y - број на колона, промени.
Б не е главната точка на одлуката. Во принцип, сите операции може да се извршат директно со самите равенки, но ознаката ќе биде многу потешка и ќе биде многу полесно да се збуни во неа.
Детерминанта
Матрицата има и детерминанта. Ова е многу важна карактеристика. Нема потреба да го дознаете неговото значење сега; можете едноставно да покажете како се пресметува, а потоа да кажете кои својства на матрицата ги одредува. Најлесен начин да се најде детерминантата е преку дијагонали. Во матрицата се нацртани имагинарни дијагонали; елементите лоцирани на секоја од нив се множат, а потоа се додаваат добиените производи: дијагонали со наклон надесно - со знак плус, со наклон налево - со знак минус.
Исклучително е важно да се забележи дека детерминантата може да се пресмета само за квадратна матрица. За правоаголна матрица, можете да го направите следново: изберете ја најмалата од бројот на редови и бројот на колони (нека биде k), а потоа по случаен избор означете k колони и k редови во матрицата. Елементите на пресекот на избраните колони и редови ќе формираат нова квадратна матрица. Ако детерминантата на таквата матрица е број што не е нула, таа се нарекува основен минор на оригиналната правоаголна матрица.
Пред да започнете да решавате систем на равенки користејќи го Гаусовиот метод, не е повредено да се пресмета детерминантата. Ако се покаже дека е нула, тогаш веднаш можеме да кажеме дека матрицата има или бесконечен број решенија или воопшто нема. Во таков тажен случај, треба да одите понатаму и да дознаете за рангот на матрицата.
Системска класификација
Постои такво нешто како ранг на матрица. Ова е максималниот редослед на нејзината не-нулта детерминанта (ако се потсетиме на основната минор, можеме да кажеме дека рангирањето на матрицата е редоследот на основната мала).
Врз основа на ситуацијата со ранг, SLAE може да се подели на:
- Заеднички. УВо заедничките системи, рангирањето на главната матрица (кое се состои само од коефициенти) се совпаѓа со рангирањето на проширената матрица (со колона од слободни членови). Ваквите системи имаат решение, но не мора едно, затоа, дополнително заедничките системи се поделени на:
- - одредени- да се има единствено решение. Во одредени системи, рангот на матрицата и бројот на непознати (или бројот на колони, што е иста работа) се еднакви;
- - недефинирано -со бесконечен број решенија. Рангот на матрици во такви системи е помал од бројот на непознати.
- Некомпатибилни. УВо такви системи, редовите на главните и проширените матрици не се совпаѓаат. Некомпатибилните системи немаат решение.
Гаусовиот метод е добар затоа што за време на решението овозможува да се добие или недвосмислен доказ за неконзистентноста на системот (без пресметување на детерминантите на големите матрици), или решение во општа форма за систем со бесконечен број решенија.
Елементарни трансформации
Пред да продолжите директно со решавање на системот, можете да го направите помалку незгоден и поудобен за пресметки. Тоа се постигнува преку елементарни трансформации - такви што нивната имплементација на ниту еден начин не го менува конечниот одговор. Треба да се напомене дека некои од дадените елементарни трансформации важат само за матрици, чиј извор бил SLAE. Еве список на овие трансформации:
- Преуредување линии. Очигледно, ако го промените редоследот на равенките во системскиот запис, тоа нема да влијае на решението на кој било начин. Следствено, редовите во матрицата на овој систем исто така може да се заменат, не заборавајќи, се разбира, на колоната со слободни термини.
- Множење на сите елементи на низа со одреден коефициент. Многу корисна! Може да се користи за скратување големи бројкиво матрицата или отстранете нули. Многу одлуки, како и обично, нема да се променат, но понатамошните операции ќе станат попогодни. Главната работа е дека коефициентот не е еднаков на нула.
- Отстранување на редови со пропорционални фактори. Ова делумно произлегува од претходниот став. Ако два или повеќе редови во матрицата имаат пропорционални коефициенти, тогаш кога една од редовите се множи/подели со коефициентот на пропорционалност, се добиваат два (или, повторно, повеќе) апсолутно идентични редови, а дополнителните може да се отстранат, оставајќи само еден.
- Отстранување на нулта линија. Ако при трансформацијата некаде се добие ред во кој сите елементи, вклучувајќи го и слободниот член, се нула, тогаш таков ред може да се нарече нула и да се исфрли од матрицата.
- Додавање на елементите на еден ред на елементите на друг (во соодветните колони), помножени со одреден коефициент. Најнеочигледна и најважна трансформација од сите. Вреди да се задржиме на тоа подетално.
Додавање низа помножена со фактор
За полесно разбирање, вреди да се разложи овој процес чекор по чекор. Два реда се земени од матрицата:
a 11 a 12 ... a 1n | б1
a 21 a 22 ... a 2n | б 2
Да речеме дека треба да го додадете првиот на вториот, помножен со коефициентот "-2".
a" 21 = a 21 + -2×a 11
a" 22 = a 22 + -2×a 12
a" 2n = a 2n + -2×a 1n
Потоа, вториот ред во матрицата се заменува со нов, а првиот останува непроменет.
a 11 a 12 ... a 1n | б1
a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2
Треба да се забележи дека коефициентот на множење може да се избере на таков начин што, како резултат на додавање на два реда, еден од елементите на новиот ред е еднаков на нула. Затоа, можно е да се добие равенка во систем каде што ќе има една непозната помалку. И ако добиете две такви равенки, тогаш операцијата може да се направи повторно и да се добие равенка која ќе содржи две помалку непознати. И ако секој пат кога ќе свртете еден коефициент од сите редови што се под оригиналниот на нула, тогаш можете, како скали, да се спуштите до самото дно на матрицата и да добиете равенка со една непозната. Ова се нарекува решавање на системот со помош на Гаусовиот метод.
Генерално
Нека има систем. Има m равенки и n непознати корени. Можете да го напишете на следниов начин:
Главната матрица е составена од системските коефициенти. Колона со слободни термини се додава во проширената матрица и, за погодност, се одделува со линија.
- првиот ред од матрицата се множи со коефициентот k = (-a 21 /a 11);
- се додаваат првиот модифициран ред и вториот ред од матрицата;
- наместо вториот ред, резултатот од собирањето од претходниот став се вметнува во матрицата;
- сега првиот коефициент во новиот втор ред е 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.
Сега се врши истата серија на трансформации, вклучени се само првиот и третиот ред. Според тоа, на секој чекор од алгоритмот, елементот a 21 се заменува со 31. Потоа сè се повторува за 41, ... a m1. Резултатот е матрица каде што првиот елемент во редовите е нула. Сега треба да заборавите на линијата број еден и да го извршите истиот алгоритам, почнувајќи од линијата два:
- коефициент k = (-a 32 /a 22);
- втората изменета линија се додава на линијата „тековна“;
- резултатот од додавањето се заменува во третата, четвртата и така натаму линии, додека првата и втората остануваат непроменети;
- во редовите на матрицата првите два елементи се веќе еднакви на нула.
Алгоритмот мора да се повторува додека не се појави коефициентот k = (-a m,m-1 /a mm). Ова значи дека последен пат алгоритмот бил извршен само за долната равенка. Сега матрицата изгледа како триаголник или има скалеста форма. Во крајна линија постои еднаквоста a mn × x n = b m. Коефициентот и слободниот член се познати, а коренот се изразува преку нив: x n = b m /a mn. Добиениот корен се заменува во горната линија за да се најде x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. И така натаму по аналогија: во секоја следна линија има нов корен и, откако ќе го достигнете „врвот“ на системот, можете да најдете многу решенија. Ќе биде единствениот.
Кога нема решенија
Ако во една од матричните редови сите елементи освен слободниот член се еднакви на нула, тогаш равенката што одговара на овој ред изгледа како 0 = b. Нема решение. И бидејќи таквата равенка е вклучена во системот, тогаш множеството решенија на целиот систем е празно, односно е дегенерирано.
Кога има бесконечен број решенија
Може да се случи во дадената триаголна матрица да нема редови со еден коефициентен елемент на равенката и еден слободен член. Има само линии кои, кога ќе се препишат, би изгледале како равенка со две или повеќе променливи. Тоа значи дека системот има бесконечен број решенија. Во овој случај, одговорот може да се даде во форма на општо решение. Како да се направи тоа?
Сите променливи во матрицата се поделени на основни и слободни. Основни се оние што стојат „на работ“ на редовите во матрицата на чекори. Останатите се бесплатни. Во општото решение, основните променливи се запишуваат преку слободни.
За погодност, матрицата прво се препишува назад во систем на равенки. Потоа во последната од нив, каде точно останува само една основна променлива, таа останува на едната страна, а се друго се пренесува на другата. Ова се прави за секоја равенка со една основна променлива. Потоа, во останатите равенки, каде што е можно, изразот добиен за него се заменува наместо основната променлива. Ако резултатот е повторно израз кој содржи само една основна променлива, тој повторно се изразува од таму и така натаму, додека секоја основна променлива не биде напишана како израз со слободни променливи. Ова е генералното решение на SLAE.
Можете да го најдете и основното решение на системот - дајте им на слободните променливи какви било вредности, а потоа за овој конкретен случај пресметајте ги вредностите на основните променливи. Може да се дадат бесконечен број конкретни решенија.
Решение со конкретни примери
Еве еден систем на равенки.
За погодност, подобро е веднаш да се создаде нејзината матрица
Познато е дека кога ќе се реши со Гаусовиот метод, равенката што одговара на првиот ред ќе остане непроменета на крајот од трансформациите. Затоа, ќе биде попрофитабилно ако лево врвен елементматрицата ќе биде најмалата - тогаш првите елементи од преостанатите редови по операциите ќе се претворат во нула. Ова значи дека во составената матрица ќе биде поволно да се стави вториот ред на местото на првиот.
втор ред: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3
a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0
a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7
a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11
b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24
трета линија: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5
a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0
a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9
a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18
b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57
Сега, за да не се мешате, треба да запишете матрица со средните резултати од трансформациите.
Очигледно, таквата матрица може да се направи попогодна за перцепција користејќи одредени операции. На пример, можете да ги отстраните сите „минуси“ од втората линија со множење на секој елемент со „-1“.
Исто така, вреди да се напомене дека во третата линија сите елементи се множители на три. Потоа можете да ја скратите линијата со овој број, множејќи го секој елемент со „-1/3“ (минус - во исто време, за да го отстраните негативни вредности).
Изгледа многу поубаво. Сега треба да ја оставиме првата линија сама и да работиме со втората и третата. Задачата е да се додаде втората линија на третата линија, помножена со таков коефициент што елементот a 32 станува еднаков на нула.
k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (ако за време на некои трансформации одговорот не се покаже како цел број, се препорачува да се задржи точноста на пресметките за да се остави тоа „како што е“, во форма заедничка дропка, и дури тогаш, кога ќе се добијат одговорите, одлучете дали да се заокружи и да се претвори во друга форма на снимање)
a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0
a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7
b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7
Матрицата повторно се пишува со нови вредности.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Како што можете да видите, добиената матрица веќе има скалеста форма. Затоа, не се потребни понатамошни трансформации на системот со помош на Гаусовиот метод. Она што може да се направи овде е да се отстрани од третата линија вкупен коефициент "-1/7".
Сега се е убаво. Сè што останува да направите е повторно да ја напишете матрицата во форма на систем од равенки и да ги пресметате корените
x + 2y + 4z = 12 (1)
7г + 11з = 24 (2)
Алгоритмот со кој сега ќе се најдат корените се нарекува обратно движење во Гаусовиот метод. Равенката (3) ја содржи вредноста z:
y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9
И првата равенка ни овозможува да најдеме x:
x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3
Имаме право да го наречеме таков систем заеднички, па дури и дефинитивно, односно да има единствено решение. Одговорот е напишан во следнава форма:
x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.
Пример за неизвесен систем
Анализирана е варијантата на решавање на одреден систем со помош на методот Гаус, сега е неопходно да се разгледа случајот ако системот е неизвесен, односно може да се најдат бесконечно многу решенија за него.
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)
x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)
Самиот изглед на системот е веќе алармантен, бидејќи бројот на непознати е n = 5, а рангот на системската матрица е веќе точно помал од овој број, бидејќи бројот на редови е m = 4, т.е. најголемиот ред на детерминантата-квадрат е 4. Тоа значи дека има бесконечен број решенија и треба да го барате нејзиниот општ изглед. Гаусовиот метод за линеарни равенки ви овозможува да го направите ова.
Прво, како и обично, се составува проширена матрица.
Втор ред: коефициент k = (-a 21 /a 11) = -3. Во третата линија, првиот елемент е пред трансформациите, така што не треба да допирате ништо, треба да го оставите како што е. Четврта линија: k = (-a 4 1 /a 11) = -5
Со множење на елементите од првиот ред со секој од нивните коефициенти по ред и нивно додавање на потребните редови, добиваме матрица со следнава форма:
Како што можете да видите, вториот, третиот и четвртиот ред се состојат од елементи пропорционални еден на друг. Втората и четвртата се генерално идентични, така што едната од нив може веднаш да се отстрани, а преостанатиот да се помножи со коефициентот „-1“ и да се добие линијата број 3. И повторно, од две идентични линии, оставете една.
Резултатот е ваква матрица. Додека системот сè уште не е запишан, тука е неопходно да се одредат основните променливи - оние кои стојат на коефициентите a 11 = 1 и a 22 = 1, а слободните - сите останати.
Во втората равенка има само една основна променлива - x 2. Тоа значи дека од таму може да се изрази со запишување преку променливите x 3 , x 4 , x 5 , кои се слободни.
Добиениот израз го заменуваме во првата равенка.
Резултатот е равенка во која единствената основна променлива е x 1 . Ајде да го сториме истото со него како и со x 2.
Сите основни променливи, од кои има две, се изразени во однос на три слободни, сега можеме да го напишеме одговорот во општа форма.
Можете исто така да наведете едно од конкретните решенија на системот. За такви случаи, нулите обично се избираат како вредности за слободните променливи. Тогаш одговорот ќе биде:
16, 23, 0, 0, 0.
Пример за некооперативен систем
Решавањето на некомпатибилни системи на равенки со помош на методот Гаус е најбрзо. Таа завршува веднаш штом во една од фазите се добие равенка која нема решение. Односно, фазата на пресметување на корените, која е прилично долга и мачна, е елиминирана. Се разгледува следниов систем:
x + y - z = 0 (1)
2x - y - z = -2 (2)
4x + y - 3z = 5 (3)
Како и обично, матрицата е составена:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
И тоа е сведено на постепено форма:
k 1 = -2k 2 = -4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
По првата трансформација, третата линија содржи равенка на формата
без решение. Следствено, системот е неконзистентен, а одговорот ќе биде празното множество.
Предности и недостатоци на методот
Ако изберете кој метод да ги решите SLAE на хартија со пенкало, тогаш методот што беше дискутиран во оваа статија изгледа најпривлечен. Многу потешко е да се збуниш во елементарните трансформации отколку ако треба рачно да бараш детерминанта или некоја незгодна инверзна матрица. Меѓутоа, ако користите програми за работа со податоци од овој тип, на пример, табеларни пресметки, тогаш излегува дека таквите програми веќе содржат алгоритми за пресметување на главните параметри на матриците - детерминанта, мали, инверзни итн. И ако сте сигурни дека машината сама ќе ги пресмета овие вредности и нема да прави грешки, попожелно е да го користите методот на матрица или формулите на Крамер, бидејќи нивната примена започнува и завршува со пресметка на детерминанти и инверзни матрици. .
Апликација
Бидејќи Гаусовото решение е алгоритам, а матрицата е всушност дводимензионална низа, може да се користи во програмирањето. Но, бидејќи статијата се позиционира како водич „за кукли“, треба да се каже дека најлесно место за ставање на методот се табелите, на пример, Excel. Повторно, секој SLAE внесен во табела во форма на матрица ќе се смета од Excel како дводимензионална низа. А за операции со нив има многу убави команди: собирање (можете само да додавате матрици со иста големина!), множење со број, множење на матрици (исто така со одредени ограничувања), наоѓање на инверзни и транспонирани матрици и што е најважно , пресметувајќи ја детерминантата. Ако оваа задача која одзема многу време се замени со една команда, можно е да се одреди рангот на матрицата многу побрзо и, според тоа, да се утврди нејзината компатибилност или некомпатибилност.
Нека системот е даден, ∆≠0. (1)Гаусовиот методе метод за секвенцијално елиминирање на непознатите.
Суштината на Гаусовиот метод е да се трансформира (1) во систем со триаголна матрица, од која потоа се добиваат вредностите на сите непознати последователно (обратно). Да разгледаме една од пресметковните шеми. Ова коло се нарекува коло со една поделба. Значи, да го погледнеме овој дијаграм. Нека 11 ≠0 (водечки елемент) ја подели првата равенка со 11. Добиваме
(2)
Користејќи ја равенката (2), лесно е да се елиминираат непознатите x 1 од преостанатите равенки на системот (за да го направите ова, доволно е да се одземе равенката (2) од секоја равенка, претходно помножена со соодветниот коефициент за x 1) , односно во првиот чекор добиваме
.
Со други зборови, во чекор 1, секој елемент од следните редови, почнувајќи од вториот, е еднаков на разликата помеѓу оригиналниот елемент и производот од неговата „проекција“ на првата колона и првиот (трансформиран) ред.
По ова, оставајќи ја првата равенка сама, вршиме слична трансформација над преостанатите равенки на системот добиени во првиот чекор: од нив ја избираме равенката со водечкиот елемент и, со негова помош, го исклучуваме x 2 од преостанатиот равенки (чекор 2).
По n чекори, наместо (1), добиваме еквивалентен систем 
(3)
Така, во првата фаза добиваме триаголен систем (3). Оваа фаза се нарекува напреден удар.
Во втората фаза (обратна), ги наоѓаме последователно од (3) вредностите x n, x n -1, ..., x 1.
Дозволете ни да го означиме добиеното решение како x 0 . Тогаш разликата ε=b-A x 0 наречен остаток.
Ако ε=0, тогаш најденото решение x 0 е точно.
Пресметките со помош на Гаусовиот метод се вршат во две фази:
- Првата фаза се нарекува напред метод. Во првата фаза, оригиналниот систем се претвора во триаголна форма.
- Втората фаза се нарекува обратен удар. Во втората фаза се решава триаголен систем еквивалентен на оригиналниот.
На секој чекор, водечкиот елемент се претпоставуваше дека е ненула. Ако тоа не е случај, тогаш кој било друг елемент може да се користи како водечки елемент, како да ги преуредува равенките на системот.
Цел на методот Гаус
Гаусовиот метод е дизајниран за решавање системи на линеарни равенки. Се однесува на методите за директно решение.Видови на Гаусовиот метод
- Класичен Гаусовиот метод;
- Модификации на методот Гаус. Една од модификациите на Гаусовиот метод е шема со избор на главниот елемент. Карактеристика на Гаусовиот метод со изборот на главниот елемент е таквото преуредување на равенките така што на k-тиот чекор водечкиот елемент се покажува како најголемиот елемент во k-тата колона.
- Џордано-Гаусовиот метод;
Ајде да ја илустрираме разликата Џордано-Гаусовиот методод Гаусовиот метод со примери.
Пример за решение со Гаусовиот метод
Ајде да го решиме системот: 
За полесно пресметување, да ги замениме линиите: 
Ајде да ја помножиме втората линија со (2). Додадете ја третата линија на втората 
Помножете ја втората линија со (-1). Додадете ја втората линија на првата 
Од првата линија изразуваме x 3:
Од вториот ред изразуваме x 2:
Од третиот ред изразуваме x 1:
Пример за решение со методот Џордано-Гаус
Дозволете ни да го решиме истиот SLAE користејќи го Џордано-Гаусовиот метод. 
Секвенцијално ќе го избереме елементот за решавање RE, кој лежи на главната дијагонала на матрицата.
Елементот за резолуција е еднаков на (1).
NE = SE - (A*B)/RE
RE - разрешувачки елемент (1), A и B - матрични елементи кои формираат правоаголник со елементите STE и RE.
Ајде да ја претставиме пресметката на секој елемент во форма на табела:
| x 1 | x 2 | x 3 | Б |
| 1 / 1 = 1 | 2 / 1 = 2 | -2 / 1 = -2 | 1 / 1 = 1 |
Решавачкиот елемент е еднаков на (3).
На местото на разрешувачкиот елемент добиваме 1, а во самата колона пишуваме нули.
Сите други елементи на матрицата, вклучувајќи ги и елементите од колоната Б, се одредуваат со правилото на правоаголникот.
За да го направите ова, избираме четири броеви кои се наоѓаат на темињата на правоаголникот и секогаш го вклучуваат елементот за решавање RE.
| x 1 | x 2 | x 3 | Б |
| 0 / 3 = 0 | 3 / 3 = 1 | 1 / 3 = 0.33 | 4 / 3 = 1.33 |
Елементот за резолуција е (-4).
На местото на разрешувачкиот елемент добиваме 1, а во самата колона пишуваме нули.
Сите други елементи на матрицата, вклучувајќи ги и елементите од колоната Б, се одредуваат со правилото на правоаголникот.
За да го направите ова, избираме четири броеви кои се наоѓаат на темињата на правоаголникот и секогаш го вклучуваат елементот за решавање RE.
Ајде да ја претставиме пресметката на секој елемент во форма на табела:
| x 1 | x 2 | x 3 | Б |
| 0 / -4 = 0 | 0 / -4 = 0 | -4 / -4 = 1 | -4 / -4 = 1 |
Одговори: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1