Јазол и нок од два броја, Евклидов алгоритам. Најмал заеднички множител на LCM

Најголема заеднички делитела најмалиот множител се клучните аритметички концепти кои ви дозволуваат да работите без напор обични дропки. LCM и најчесто се користат за пронаоѓање заеднички именител на неколку дропки.

Основни концепти

Делителот на цел број X е друг цел број Y со кој X се дели без да се остави остаток. На пример, делителот на 4 е 2, а 36 е 4, 6, 9. Многукратно на цел број X е број Y кој е делив со X без остаток. На пример, 3 е повеќекратно од 15, а 6 е повеќекратно од 12.

За секој пар броеви можеме да ги најдеме нивните заеднички делители и множители. На пример, за 6 и 9, заедничкиот множител е 18, а заедничкиот делител е 3. Очигледно, паровите можат да имаат неколку делители и множители, така што во пресметките се користи најголемиот делител GCD и најмалиот повеќекратен LCM.

Најмалиот делител е бесмислен, бидејќи за кој било број тој е секогаш еден. Најголемиот множител е исто така бесмислен, бидејќи низата множители оди до бесконечност.

Наоѓање на gcd

Постојат многу методи за наоѓање на најголемиот заеднички делител, од кои најпознати се:

секвенцијално пребарување на делители, избор на заеднички за пар и пребарување на најголемиот од нив;
разложување на броеви на неделиви фактори;
Евклидов алгоритам;
бинарен алгоритам.

Денес во образовните институцииНајпопуларни се методите на проста факторизација и Евклидов алгоритам. Вториот, пак, се користи при решавање на равенките на Диофантин: потребно е пребарување на GCD за да се провери равенката за можноста за резолуција во цели броеви.

Наоѓање на НОК

Најмалиот заеднички множител исто така се одредува со секвенцијално пребарување или распаѓање на неделиви фактори. Дополнително, лесно е да се најде LCM ако веќе е одреден најголемиот делител. За броевите X и Y, LCM и GCD се поврзани со следнава врска:

LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).

На пример, ако GCM(15,18) = 3, тогаш LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Најочигледен пример за користење на LCM е да се најде заедничкиот именител, кој е најмалиот заеднички множител на дадени дропки.

Копрости броеви

Ако еден пар на броеви нема заеднички делители, тогаш таквиот пар се нарекува копример. Gcd за такви парови е секогаш еднаков на еден, а врз основа на врската помеѓу делители и множители, gcd за коприми парови е еднаков на нивниот производ. На пример, броевите 25 и 28 се релативно прости, бидејќи немаат заеднички делители, а LCM(25, 28) = 700, што одговара на нивниот производ. Било кои два неделиви броја секогаш ќе бидат релативно прости.

Заеднички делител и повеќекратен калкулатор

Користејќи го нашиот калкулатор, можете да пресметате GCD и LCM за произволен број на броеви од кои можете да изберете. Задачите за пресметување на заеднички делители и множители се наоѓаат во аритметичките оценки 5 и 6, но GCD и LCM се клучни концептиматематика и се користат во теоријата на броеви, планиметријата и комуникациската алгебра.

Примери од реалниот живот

Заеднички именител на дропките

Најмалиот заеднички множител се користи кога се наоѓа заедничкиот именител на повеќе дропки. Да речеме, во аритметички проблем треба да сумирате 5 дропки:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

За да се додадат дропки, изразот мора да се сведе на заеднички именител, што се сведува на проблемот со наоѓање на LCM. За да го направите ова, изберете 5 броеви во калкулаторот и внесете ги вредностите на именителот во соодветните ќелии. Програмата ќе го пресмета LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Сега треба да пресметате дополнителни фактори за секоја дропка, кои се дефинирани како однос на LCM со именителот. Значи, дополнителните множители би изгледале вака:

360/8 = 45
360/9 = 40
360/12 = 30
360/15 = 24
360/18 = 20.

После ова, ги множиме сите фракции со соодветниот дополнителен фактор и добиваме:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Лесно можеме да ги сумираме таквите дропки и да го добиеме резултатот како 159/360. Ја намалуваме дропот за 3 и го гледаме конечниот одговор - 53/120.

Решавање на линеарни диофантински равенки

Линеарни диофантински равенки се изрази од формата ax + by = d. Ако односот d / gcd(a, b) е цел број, тогаш равенката е решлива во цели броеви. Ајде да провериме неколку равенки за да видиме дали имаат целобројно решение. Прво, да ја провериме равенката 150x + 8y = 37. Со помош на калкулатор, наоѓаме GCD (150,8) = 2. Поделете 37/2 = 18,5. Бројот не е цел број, затоа равенката нема целобројни корени.

Ајде да ја провериме равенката 1320x + 1760y = 10120. Користете калкулатор за да најдете GCD(1320, 1760) = 440. Поделете 10120/440 = 23. Како резултат на тоа, добиваме цел број, според тоа, равенката на коефициентот на диофантин е непроменлива .

Заклучок

GCD и LCM играат голема улога во теоријата на броеви, а самите концепти се широко користени во широк спектар на области од математиката. Користете го нашиот калкулатор за пресметување најголеми делителии најмали множители на кој било број на броеви.

Втор број: б=

Сепаратор на илјадаБез простор за сепаратор "'

Резултат:

Најголем заеднички делител gcd( а,б)=6

Најмал заеднички множител на LCM( а,б)=468

Најголема природен број, со кој се делат броевите a и b без остаток, се повикува најголемиот заеднички делител(GCD) од овие бројки. Се означува со gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) или hcf(a,b).

Најмалку заеднички множител LCM од два цели броја a и b е најмалиот природен број што е делив со a и b без остаток. Означено LCM(a,b) или lcm(a,b).

Се викаат цели броеви a и b меѓусебно премиер, ако немаат заеднички делители освен +1 и −1.

Најголем заеднички делител

Нека се дадени два позитивни броја а 1 и а 2 1). Потребно е да се најде заедничкиот делител на овие броеви, т.е. најдете таков број λ , кој дели броеви а 1 и а 2 во исто време. Ајде да го опишеме алгоритмот.

1) Во овој напис, зборот број ќе се разбере како цел број.

Нека а 1 ≥ а 2 и нека

Каде м 1 , а 3 се некои цели броеви, а 3 <а 2 (остаток од поделба а 1 на а 2 треба да биде помал а 2).

Ајде да се преправаме дека λ дели а 1 и а 2 тогаш λ дели м 1 а 2 и λ дели а 1 −м 1 а 2 =а 3 (Изјава 2 од член „Деливост на броеви. Тест за деливост“). Следи дека секој заеднички делител а 1 и а 2 е заеднички делител а 2 и а 3. Обратно е исто така точно ако λ заеднички делител а 2 и а 3 тогаш м 1 а 2 и а 1 =м 1 а 2 +а 3 се дели и со λ . Затоа заедничкиот делител а 2 и а 3 е исто така заеднички делител а 1 и а 2. Бидејќи а 3 <а 2 ≤а 1, тогаш можеме да кажеме дека решението на проблемот со наоѓање на заеднички делител на броеви а 1 и а 2 сведена на поедноставниот проблем за наоѓање заеднички делител на броевите а 2 и а 3 .

Ако а 3 ≠0, тогаш можеме да поделиме а 2 на а 3. Потоа

Каде м 1 и а 4 се некои цели броеви, ( а 4 преостанати од поделбата а 2 на а 3 (а 4 <а 3)). Со слично расудување доаѓаме до заклучок дека заеднички делители на броеви а 3 и а 4 се совпаѓа со заеднички делители на броеви а 2 и а 3, а исто така и со заеднички делители а 1 и а 2. Бидејќи а 1 , а 2 , а 3 , а 4, ... се броеви кои постојано се намалуваат, а бидејќи има конечен број цели броеви помеѓу а 2 и 0, потоа на некој чекор n, остатокот од поделбата а n на а n+1 ќе биде еднакво на нула ( а n+2 =0).

Секој заеднички делител λ броеви а 1 и а 2 е исто така делител на броеви а 2 и а 3 , а 3 и а 4 , .... а n и а n+1 . Вистина е и обратното, заеднички делители на броеви а n и а n+1 се и делители на броеви а n−1 и а n , .... , а 2 и а 3 , а 1 и а 2. Но заедничкиот делител на броевите а n и а n+1 е број а n+1 , бидејќи а n и а n+1 се делат со а n+1 (запомнете дека а n+2 =0). Оттука а n+1 е и делител на броеви а 1 и а 2 .

Забележете дека бројот а n+1 е најголемиот делител на броевите а n и а n+1 , бидејќи најголемиот делител а n+1 е самиот себе а n+1 . Ако а n+1 може да се претстави како производ од цели броеви, тогаш овие броеви се и заеднички делители на броеви а 1 и а 2. Број а n+1 се нарекува најголемиот заеднички делителброеви а 1 и а 2 .

Броеви а 1 и а 2 може да биде или позитивни или негативни броеви. Ако еден од броевите е еднаков на нула, тогаш најголемиот заеднички делител на овие броеви ќе биде еднаков на апсолутната вредност на другиот број. Најголемиот заеднички делител на нула броеви е недефиниран.

Горенаведениот алгоритам се нарекува Евклидов алгоритамда се најде најголемиот заеднички делител на два цели броеви.

Пример за наоѓање на најголемиот заеднички делител на два броја

Најдете го најголемиот заеднички делител на два броја 630 и 434.

Чекор 1. Поделете го бројот 630 со 434. Остатокот е 196.
Чекор 2. Поделете го бројот 434 со 196. Остатокот е 42.
Чекор 3. Поделете го бројот 196 со 42. Остатокот е 28.
Чекор 4. Поделете го бројот 42 со 28. Остатокот е 14.
Чекор 5. Поделете го бројот 28 со 14. Остатокот е 0.

Во чекор 5, остатокот од делењето е 0. Затоа, најголемиот заеднички делител на броевите 630 и 434 е 14. Забележете дека броевите 2 и 7 се исто така делители на броевите 630 и 434.

Копрости броеви

Дефиниција 1. Нека најголемиот заеднички делител на броевите а 1 и а 2 е еднакво на еден. Тогаш се повикуваат овие броеви копрости броеви, без заеднички делител.

Теорема 1. Ако а 1 и а 2 сопрости броеви и λ некој број, потоа секој заеднички делител на броеви λa 1 и а 2 е исто така заеднички делител на броеви λ И а 2 .

Доказ. Размислете за Евклидов алгоритам за наоѓање на најголемиот заеднички делител на броевите а 1 и а 2 (види погоре).

Од условите на теоремата произлегува дека најголемиот заеднички делител на броевите а 1 и а 2 и затоа а n и а n+1 е 1. Тоа е а n+1 =1.

Ајде да ги помножиме сите овие еднаквости со λ , Потоа

Нека заедничкиот делител а 1 λ И а 2 да δ . Потоа δ е вклучен како множител во а 1 λ , м 1 а 2 λ и во а 1 λ -м 1 а 2 λ =а 3 λ (види „Деливост на броеви“, изјава 2). Понатаму δ е вклучен како множител во а 2 λ И м 2 а 3 λ , и, според тоа, е фактор во а 2 λ -м 2 а 3 λ =а 4 λ .

Расудувајќи вака, ние сме убедени дека δ е вклучен како множител во а n−1 λ И м n−1 а n λ , а со тоа и во а n−1 λ −м n−1 а n λ =а n+1 λ . Бидејќи а n+1 =1, тогаш δ е вклучен како множител во λ . Затоа бројот δ е заеднички делител на броевите λ И а 2 .

Да разгледаме посебни случаи на теорема 1.

Последица 1. Нека аИ вПростите броеви се релативно б. Потоа нивниот производ аке прост број во однос на б.

Навистина. Од теорема 1 акИ бги имаат истите заеднички делители како вИ б. Но, бројките вИ брелативно едноставно, т.е. имаат единствен заеднички делител 1. Тогаш акИ бимаат и единствен заеднички делител 1. Затоа акИ бзаемно едноставно.

Последица 2. Нека аИ бкопрости броеви и нека бдели ак. Потоа бдели и к.

Навистина. Од условот за одобрување акИ бимаат заеднички делител б. Врз основа на теорема 1, бмора да биде заеднички делител бИ к. Оттука бдели к.

Заклучокот 1 може да се генерализира.

Последица 3. 1. Нека ги броевите а 1 , а 2 , а 3 , ..., а m се прости во однос на бројот б. Потоа а 1 а 2 , а 1 а 2 · а 3 , ..., а 1 а 2 а 3 ··· а m, производот на овие броеви е прост во однос на бројот б.

2. Да имаме два реда броеви

така што секој број од првата серија е прост во односот на секој број од втората серија. Потоа производот

Треба да најдете броеви кои се деливи со секој од овие броеви.

Ако некој број се дели со а 1, тогаш ја има формата са 1 каде снекој број. Ако qе најголемиот заеднички делител на броевите а 1 и а 2, тогаш

Каде с 1 е некој цел број. Потоа

е најмалку заеднички множители на броеви а 1 и а 2 .

а 1 и а 2 се релативно прости, тогаш најмалиот заеднички множител на броевите а 1 и а 2:

Треба да го најдеме најмалиот заеднички множител од овие броеви.

Од горенаведеното произлегува дека секој множител на броеви а 1 , а 2 , а 3 мора да биде множител на броеви ε И а 3 и назад. Нека најмал заеднички множител од броевите ε И а 3 да ε 1 . Следно, множители на броеви а 1 , а 2 , а 3 , а 4 мора да биде множител на броеви ε 1 и а 4 . Нека најмал заеднички множител од броевите ε 1 и а 4 да ε 2. Така, дознавме дека сите множители на броеви а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m се совпаѓаат со множители на одреден број ε n, што се нарекува најмал заеднички множител на дадените броеви.

Во посебниот случај кога броевите а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m се релативно прости, тогаш најмалиот заеднички множител на броевите а 1 , а 2, како што е прикажано погоре, ја има формата (3). Следно, бидејќи а 3 прости во однос на броевите а 1 , а 2 тогаш а 3 прост број а 1 · а 2 (Заклучок 1). Означува најмал заеднички множител на броеви а 1 ,а 2 ,а 3 е број а 1 · а 2 · а 3. Расудувајќи на сличен начин, доаѓаме до следните изјави.

Изјава 1. Најмал заеднички множител на сопростите броеви а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m е еднаков на нивниот производ а 1 · а 2 · а 3 ··· ам.

Изјава 2. Секој број што е делив со секој од простите броеви а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m е исто така делив со нивниот производ а 1 · а 2 · а 3 ··· ам.

Да го продолжиме разговорот за најмалиот заеднички множител, кој го започнавме во делот „LCM - најмал заеднички множител, дефиниција, примери“. Во оваа тема ќе разгледаме начини за наоѓање на LCM за три или повеќе броеви, а ќе го разгледаме и прашањето како да се најде LCM на негативен број.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Пресметување на најмалку заедничко повеќекратно (LCM) преку GCD

Веќе ја утврдивме врската помеѓу најмалиот заеднички множител и најголемиот заеднички делител. Сега да научиме како да го одредиме LCM преку GCD. Прво, ајде да дознаеме како да го направиме тоа за позитивни бројки.

Дефиниција 1

Можете да го најдете најмалиот заеднички множител преку најголемиот заеднички делител користејќи ја формулата LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

Пример 1

Треба да го пронајдете LCM на броевите 126 и 70.

Решение

Да земеме a = 126, b = 70. Ајде да ги замениме вредностите во формулата за пресметување на најмалиот заеднички множител преку најголемиот заеднички делител LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Го наоѓа gcd на броевите 70 и 126. За ова ни треба Евклидов алгоритам: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, затоа GCD (126 , 70) = 14 .

Ајде да го пресметаме LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Одговор: LCM(126, 70) = 630.

Пример 2

Најдете ги бројот 68 и 34.

Решение

GCD во овој случај не е тешко да се најде, бидејќи 68 е делив со 34. Да го пресметаме најмалиот заеднички множител користејќи ја формулата: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Одговор: LCM(68, 34) = 68.

Во овој пример, го користевме правилото за наоѓање на најмал заеднички множител на позитивните цели броеви a и b: ако првиот број е делив со вториот, LCM на тие броеви ќе биде еднаков на првиот број.

Наоѓање на LCM со факторингирање на броеви во прости множители

Сега да го погледнеме методот за наоѓање на LCM, кој се заснова на факторингирање на броеви во прости множители.

Дефиниција 2

За да го најдеме најмалиот заеднички множител, треба да извршиме неколку едноставни чекори:

го составуваме производот на сите прости множители на броевите за кои треба да го најдеме LCM;
ги исклучуваме сите основни фактори од нивните добиени производи;
производот добиен по елиминирање на заедничките прости множители ќе биде еднаков на LCM на дадените броеви.

Овој метод за наоѓање на најмал заеднички множител се заснова на еднаквоста LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Ако ја погледнете формулата, ќе ви стане јасно: производот на броевите a и b е еднаков на производот на сите фактори кои учествуваат во разградувањето на овие два броја. Во овој случај, gcd на два броја е еднаков на производот на сите прости множители кои се истовремено присутни во факторизациите на овие два броја.

Пример 3

Имаме два броја 75 и 210. Можеме да ги факторизираме на следниов начин: 75 = 3 5 5И 210 = 2 3 5 7. Ако го составите производот од сите множители на двата оригинални броеви, ќе добиете: 2 3 3 5 5 5 7.

Ако ги исклучиме факторите заеднички за двата броја 3 и 5, добиваме производ од следнава форма: 2 3 5 5 7 = 1050. Овој производ ќе биде нашиот LCM за броевите 75 и 210.

Пример 4

Најдете го LCM на броеви 441 И 700 , факторингирајќи ги двата броја во прости множители.

Решение

Да ги најдеме сите прости множители на броевите дадени во условот:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Добиваме два синџири на броеви: 441 = 3 3 7 7 и 700 = 2 2 5 5 7.

Производот на сите фактори кои учествувале во разградувањето на овие броеви ќе има форма: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Ајде да најдеме заеднички фактори. Ова е бројот 7. Да го исклучиме од вкупниот производ: 2 2 3 3 5 5 7 7. Излегува дека НОК (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Одговор: LOC(441, 700) = 44.100.

Да дадеме уште една формулација на методот за пронаоѓање на LCM со разложување на броевите во прости множители.

Дефиниција 3

Претходно, ние исклучивме од вкупниот број на фактори заеднички за двата броја. Сега ќе го направиме поинаку:

Да ги факторизираме двата броја во прости множители:
на производот на простите множители на првиот број додадете ги множителите што недостасуваат од вториот број;
го добиваме производот, кој ќе биде саканиот LCM од два броја.

Пример 5

Да се вратиме на броевите 75 и 210, за кои веќе го баравме LCM во еден од претходните примери. Ајде да ги поделиме на едноставни фактори: 75 = 3 5 5И 210 = 2 3 5 7. На производот од факторите 3, 5 и 5 броеви 75 додадете ги факторите што недостасуваат 2 И 7 броеви 210. Добиваме: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 .Ова е LCM на броевите 75 и 210.

Пример 6

Неопходно е да се пресмета LCM на броевите 84 и 648.

Решение

Да ги факторизираме броевите од условот во едноставни фактори: 84 = 2 2 3 7И 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Да ги додадеме на производот факторите 2, 2, 3 и 7 броеви 84 недостасуваат фактори 2, 3, 3 и
3 броеви 648. Го добиваме производот 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536.Ова е најмалиот заеднички множител од 84 и 648.

Одговор: LCM (84, 648) = 4.536.

Наоѓање на LCM на три или повеќе броеви

Без оглед на тоа со колку броеви имаме работа, алгоритмот на нашите дејства секогаш ќе биде ист: последователно ќе го најдеме LCM на два броја. Постои теорема за овој случај.

Теорема 1

Да претпоставиме дека имаме цели броеви a 1 , a 2 , ... , a k. НОК m kовие броеви се наоѓаат со секвенцијално пресметување на m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).

Сега да погледнеме како теоремата може да се примени за да се решат конкретни проблеми.

Пример 7

Треба да го пресметате најмалиот заеднички множител од четирите броеви 140, 9, 54 и 250 .

Решение

Да ја воведеме ознаката: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Да почнеме со пресметување на m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Да го примениме Евклидов алгоритам за да го пресметаме GCD на броевите 140 и 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Добиваме: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1.260. Затоа, m 2 = 1.260.

Сега да пресметаме користејќи го истиот алгоритам m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). При пресметките добиваме m 3 = 3 780.

Треба само да пресметаме m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Го следиме истиот алгоритам. Добиваме m 4 = 94 500.

LCM на четирите броеви од условот на примерот е 94500.

Одговор:НОК (140, 9, 54, 250) = 94.500.

Како што можете да видите, пресметките се едноставни, но доста трудоинтензивни. За да заштедите време, можете да одите на друг начин.

Дефиниција 4

Ви го нудиме следниов алгоритам на дејства:

ги разложуваме сите броеви на прости множители;
на производот од множителите од првиот број ги додаваме множителите што недостасуваат од производот на вториот број;
на производот добиен во претходната фаза ги додаваме факторите што недостасуваат од третиот број итн.;
добиениот производ ќе биде најмалиот заеднички множител од сите броеви од условот.

Пример 8

Треба да го пронајдете LCM на пет броеви 84, 6, 48, 7, 143.

Решение

Да ги пресметаме сите пет броеви во прости множители: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Простите броеви, што е бројот 7, не можат да се вклучат во прости множители. Таквите броеви се совпаѓаат со нивното распаѓање на прости множители.

Сега да го земеме производот на простите множители 2, 2, 3 и 7 од бројот 84 и да ги додадеме множителите што недостасуваат од вториот број. Бројот 6 го разложивме на 2 и 3. Овие фактори се веќе во производот од првиот број. Затоа, ги испуштаме.

Продолжуваме да ги собираме множителите што недостасуваат. Да преминеме на бројот 48, од производот на чии прости множители земаме 2 и 2. Потоа го собираме простиот фактор 7 од четвртиот број и множителите 11 и 13 од петтиот. Добиваме: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Ова е најмалиот заеднички множител од оригиналните пет броеви.

Одговор: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.

Наоѓање на најмал заеднички множител на негативни броеви

За да се најде најмалиот заеднички множител на негативните броеви, овие броеви мора прво да се заменат со броеви со спротивен знак, а потоа да се извршат пресметките со помош на горенаведените алгоритми.

Пример 9

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) и LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Ваквите дејствија се дозволени поради фактот што ако го прифатиме тоа аИ − а- спротивни броеви,
тогаш множеството множители на некој број асе совпаѓа со множеството множители на некој број − а.

Пример 10

Неопходно е да се пресмета LCM на негативни броеви − 145 И − 45 .

Решение

Да ги замениме бројките − 145 И − 45 на нивните спротивни броеви 145 И 45 . Сега, користејќи го алгоритмот, го пресметуваме LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1.305, откако претходно го одредивме GCD користејќи го Евклидов алгоритам.

Добиваме дека LCM на броевите е − 145 и − 45 еднакви 1 305 .

Одговор: LCM (− 145, − 45) = 1.305.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter

Дефиниција.Се вика најголемиот природен број со кој се делат броевите a и b без остаток најголем заеднички делител (GCD)овие бројки.

Да го најдеме најголемиот заеднички делител на броевите 24 и 35.
Делителите на 24 се броевите 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, а делители на 35 се броевите 1, 5, 7, 35.
Гледаме дека броевите 24 и 35 имаат само еден заеднички делител - бројот 1. Таквите броеви се нарекуваат меѓусебно премиер.

Дефиниција.Се нарекуваат природни броеви меѓусебно премиер, ако нивниот најголем заеднички делител (GCD) е 1.

Најголем заеднички делител (GCD)може да се најде без да се запишат сите делители на дадените броеви.

Факторирајќи ги броевите 48 и 36, добиваме:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Од факторите вклучени во проширувањето на првиот од овие броеви, ги прецртуваме оние што не се вклучени во проширувањето на вториот број (т.е. две двојки).
Факторите што преостануваат се 2 * 2 * 3. Нивниот производ е еднаков на 12. Овој број е најголемиот заеднички делител на броевите 48 и 36. Се наоѓа и најголемиот заеднички делител на три или повеќе броеви.

Да најде најголемиот заеднички делител

2) од факторите вклучени во проширувањето на еден од овие броеви, пречкртајте ги оние што не се вклучени во проширувањето на другите броеви;
3) најдете го производот од преостанатите фактори.

Ако сите дадени броеви се деливи со еден од нив, тогаш овој број е најголемиот заеднички делителдадени бројки.
На пример, најголемиот заеднички делител на броевите 15, 45, 75 и 180 е бројот 15, бидејќи сите други броеви се деливи со него: 45, 75 и 180.

Најмалку заеднички множител (LCM)

Дефиниција. Најмалку заеднички множител (LCM)природните броеви a и b е најмалиот природен број кој е множител и на a и b. Најмалата заедничка множина (LCM) од броевите 75 и 60 може да се најде без да се запишат множителите на овие броеви по ред. За да го направите ова, ајде да ги факторизираме 75 и 60 во прости множители: 75 = 3 * 5 * 5 и 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Ајде да ги запишеме факторите вклучени во проширувањето на првиот од овие броеви и да ги додадеме факторите 2 и 2 што недостасуваат од проширувањето на вториот број (т.е. ги комбинираме факторите).
Добиваме пет фактори 2 * 2 * 3 * 5 * 5, чиј производ е 300. Овој број е најмалиот заеднички множител на броевите 75 и 60.

Тие исто така го наоѓаат најмалиот заеднички множител од три или повеќе броеви.

До најдете најмал заеднички множителнеколку природни броеви, потребни ви се:
1) фактори ги во прости фактори;
2) запишете ги факторите вклучени во проширувањето на еден од броевите;
3) на нив додадете ги факторите што недостасуваат од проширувањата на преостанатите броеви;
4) најдете го производот од добиените фактори.

Забележете дека ако еден од овие броеви е делив со сите други броеви, тогаш овој број е најмалиот заеднички множител од овие броеви.
На пример, најмалиот заеднички множител на броевите 12, 15, 20 и 60 е 60 бидејќи е делив со сите тие броеви.

Питагора (VI век п.н.е.) и неговите ученици го проучувале прашањето за деливоста на броевите. Бројот еднаков на збирот на сите негови делители (без самиот број) го нарекоа совршен број. На пример, броевите 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) се совршени. Следните совршени броеви се 496, 8128, 33,550,336. Питагорејците ги знаеле само првите три совршени броеви. Четвртиот - 8128 година - стана познат во 1 век. n. д. Петтиот - 33.550.336 - е пронајден во 15 век. До 1983 година веќе беа познати 27 совршени броеви. Но, научниците сè уште не знаат дали постојат непарни совршени броеви или дали постои најголем совршен број.
Интересот на античките математичари за простите броеви се должи на фактот дека секој број е или прост или може да се претстави како производ на прости броеви, односно простите броеви се како тули од кои се изградени останатите природни броеви.
Веројатно забележавте дека простите броеви во серијата природни броеви се појавуваат нерамномерно - во некои делови од серијата ги има повеќе, во други - помалку. Но, колку подалеку се движиме по серијата броеви, толку се поретки простите броеви. Се поставува прашањето: дали постои последен (најголем) прост број? Античкиот грчки математичар Евклид (3 век п.н.е.), во својата книга „Елементи“, која била главен учебник по математика две илјади години, докажал дека има бесконечно многу прости броеви, односно зад секој прост број има уште поголем прост број. број.
За да ги пронајде простите броеви, друг грчки математичар од исто време, Ератостен, го смислил овој метод. Ги запишал сите броеви од 1 до некој број, а потоа пречкртал еден, кој не е ниту прост ниту композитен број, а потоа преку еден ги прецртал сите броеви кои доаѓаат по 2 (броеви кои се множители на 2, т.е. 4, 6, 8, итн.). Првиот преостанат број по 2 беше 3. Потоа, по два, сите броеви кои доаѓаа по 3 (броеви кои беа множители на 3, т.е. 6, 9, 12, итн.) беа пречкртани. на крајот само простите броеви останаа непрекрстени.

Математичките изрази и задачи бараат многу дополнителни знаења. NOC е еден од главните, особено често се користи во Темата се изучува во средно училиште и не е особено тешко да се разбере материјалот; личноста запознаена со моќите и табелата за множење нема да има потешкотии да ги идентификува потребните броеви и да ги открие резултат.

Дефиниција

Заеднички множител е број кој може целосно да се подели на два броја во исто време (а и б). Најчесто овој број се добива со множење на оригиналните броеви a и b. Бројот мора да биде делив со двата броја одеднаш, без отстапувања.

NOC е краткото име усвоено за ознаката, собрани од првите букви.

Начини да се добие број

Методот на множење броеви не е секогаш погоден за наоѓање на LCM, тој е многу посоодветен за едноставни едноцифрени или двоцифрени броеви. Вообичаено е да се делат на фактори; колку е поголем бројот, толку повеќе фактори ќе има.

Пример #1

За наједноставниот пример, училиштата обично користат прости, едноцифрени или двоцифрени броеви. На пример, треба да ја решите следната задача, да го пронајдете најмалиот заеднички множител од броевите 7 и 3, решението е прилично едноставно, само помножете ги. Како резултат на тоа, постои број 21, едноставно нема помал број.

Пример бр. 2

Втората верзија на задачата е многу потешка. Дадени се броевите 300 и 1260, наоѓањето на LOC е задолжително. За да се реши проблемот, се претпоставуваат следниве активности:

Разложување на првиот и вториот број на едноставни фактори. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Првата фаза е завршена.

Втората фаза вклучува работа со веќе добиени податоци. Секој од добиените броеви мора да учествува во пресметувањето на конечниот резултат. За секој фактор, најголемиот број на појави се зема од оригиналните броеви. LCM е општ број, така што факторите на броевите мора да се повторат во него, секој еден, дури и оние што се присутни во една копија. Двата почетни броеви ги содржат броевите 2, 3 и 5, со различни сили; 7 е присутен само во еден случај.

За да го пресметате конечниот резултат, треба да го земете секој број во најголемата од моќните претставени во равенката. Останува само да се множи и да се добие одговорот; ако е точно пополнета, задачата се вклопува во два чекори без објаснување:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOC = 6300.

Тоа е целиот проблем, ако се обидете да го пресметате потребниот број со множење, тогаш одговорот дефинитивно нема да биде точен, бидејќи 300 * 1260 = 378.000.

Испитување:

6300 / 300 = 21 - точно;

6300 / 1260 = 5 - точно.

Точноста на добиениот резултат се одредува со проверка - делење на LCM со двата оригинални броја, ако бројот е цел број во двата случаи, тогаш одговорот е точен.

Што значи NOC во математиката?

Како што знаете, нема ниту една бескорисна функција во математиката, оваа не е исклучок. Најчеста цел на овој број е да ги намали дропките на заеднички именител. Она што обично се изучува во 5-6 одделение од средно училиште. Дополнително е и заеднички делител за сите множители, доколку такви услови се присутни во проблемот. Таквиот израз може да најде множител не само на два броја, туку и на многу поголем број - три, пет и така натаму. Колку повеќе бројки, толку повеќе дејства во задачата, но сложеноста не се зголемува.

На пример, со оглед на броевите 250, 600 и 1500, треба да го пронајдете нивниот заеднички LCM:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - овој пример детално ја опишува факторизацијата, без намалување.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

За да се состави израз, потребно е да се споменат сите фактори, во овој случај се дадени 2, 5, 3 - за сите овие бројки потребно е да се одреди максималниот степен.

Внимание: сите фактори мора да се доведат до точка на целосно поедноставување, доколку е можно, да се разложат до ниво на едноцифрени.

Испитување:

1) 3000 / 250 = 12 - точно;

2) 3000 / 600 = 5 - точно;

3) 3000 / 1500 = 2 - точно.

Овој метод не бара никакви трикови или способности на генијално ниво, сè е едноставно и јасно.

Друг начин

Во математиката многу работи се поврзани, многу работи можат да се решат на два или повеќе начини, истото важи и за наоѓање на најмалиот заеднички множител, LCM. Следниот метод може да се користи во случај на едноставни двоцифрени и едноцифрени броеви. Се составува табела во која мултипликантот се внесува вертикално, мултипликаторот хоризонтално, а производот е означен во пресечните ќелии на колоната. Можете да ја рефлектирате табелата користејќи линија, да земете број и да ги запишете резултатите од множењето на овој број со цели броеви, од 1 до бесконечност, понекогаш се доволни 3-5 точки, вториот и следните броеви се подложени на истиот пресметковен процес. Сè се случува додека не се најде заеднички множител.

Со оглед на броевите 30, 35, 42, треба да го најдете LCM што ги поврзува сите броеви:

1) Множества од 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 итн.

2) Множење од 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 итн.

3) Множење од 42: 84, 126, 168, 210, 252 итн.

Забележливо е дека сите бројки се сосема различни, единствениот заеднички број меѓу нив е 210, па тоа ќе биде НОК. Меѓу процесите вклучени во оваа пресметка има и најголем заеднички делител, кој се пресметува според слични принципи и често се среќава во соседните проблеми. Разликата е мала, но доста значајна, LCM вклучува пресметување на бројот што се дели со сите дадени почетни вредности, а GCD вклучува пресметување на најголемата вредност со која се делат оригиналните броеви.