Од каде забраната за делење со нула? Лекции по математика: зошто не можете да делите со нула

На училиште не учат сите едноставно правило, што не може да се подели со нула. Во исто време, кога го поставуваме прашањето: „Зошто?“, тие ни одговараат: „Ова е само правило и треба да го знаете“. Во оваа статија ќе се обидам да ви објаснам зошто не можете да делите со нула. Зошто грешат оние луѓе кои велат дека може да се подели со нула и потоа да се добие бесконечност?

Зошто не можете да поделите со нула?

Формално, во математиката има само две дејства. Собирање и множење на броеви. Па што е со одземањето и делењето? Да го разгледаме овој пример. 7-4=3, сите знаеме дека седум минус четири ќе бидат еднакви на три. Всушност, овој пример формално може да се смета како начин за решавање на равенката x+4=7. Односно, избираме број кој, кога ќе се додаде на четири, ќе даде 7. Тогаш нема долго да размислуваме и да сфатиме дека овој број е еднаков на три. Исто е и со поделбата. Да речеме 12/3. Ова ќе биде исто како x*3=12.

Избираме број кој, кога ќе се помножи со 3, ќе ни даде 12. Во овој случај, ќе биде четири. Ова е прилично очигледно. Што е со примери како 7/0. Што ќе се случи ако напишеме седум поделени со нула? Тоа значи дека се чини дека решаваме равенка од формата 0*x=7. Но, оваа равенка нема решение, бидејќи ако нулата се помножи со кој било број, резултатот секогаш е нула. Односно нема решение. Ова се пишува или со зборовите нема решенија, или со икона што значи празен сет.

Со други зборови

Ова е значењето на ова правило. Не можете да делите со нула затоа што соодветната равенка, нула пати x е еднаква на седум или кој било број што се обидуваме да го поделиме со нула, нема решенија. Највнимателните можат да кажат дека ако ја поделиме нулата со нула, ќе испадне сосема фер ако 0*X=0. Се е супер, нулата ја множиме со некој број, добиваме нула. Но, тогаш нашето решение може да биде кој било број. Ако погледнеме x=1, 0*1=0, x=100500, 0*100500=0. Било кој број ќе направи тука.

Па зошто да избереме некој од нив? Навистина немаме никакви размислувања со кои можеме да земеме еден од овие бројки и да кажеме дека тоа се решенија на равенките. Затоа, има бескрајно многу решенија и ова е исто така двосмислен проблем за кој се верува дека нема решенија.

Бесконечност

Погоре ти ги кажав причините зошто не можеш да се делиш, сега сакам да разговарам со тебе. Ајде да се обидеме со претпазливост да пристапиме кон операцијата поделба со нула. Ајде прво да го поделиме бројот 5 на два. Знаеме што ќе се случи децимална 2.5. Сега ќе го намалиме делителот и ќе поделиме 5 со 1, ќе биде 5. Сега ќе поделиме 5 со 0,5. Ова е исто како пет поделени со една половина, или исто како 5 * 2, тогаш ќе биде 10. Имајте предвид дека резултатот од поделбата, односно количникот, се зголемува: 2,5, 5, 10.

Сега да поделиме 5 со 0,1, ова ќе биде исто како 5*10=50, количникот повторно се зголеми. Во исто време, го намаливме делителот. Ако поделиме 5 со 0,01, ќе биде исто како 5*100=500. Погледнете. Колку е помал делителот, толку количникот станува поголем. Ако поделиме 5 со 0,00001, добиваме 500000.

Сумирајте

Што е тогаш делење со нула, ако го погледнете во оваа смисла? Забележете како го намаливме нашиот коефициент? Ако нацртате оска, на неа можете да видите дека прво имавме два, потоа една, потоа 0,5, 0,1 итн. Десно се приближувавме до нулата, но никогаш не стигнавме до нула. Земаме се помалку помал броји подели го нашиот количник со него. Станува се поголем и поголем. Во овој случај тие пишуваат дека делиме 5 со X, каде што x е бескрајно мал. Односно, таа е се поблиску и поблиску до нулата. Само во овој случај, кога делиме пет со X, добиваме бесконечност. Бескрајно голем број. Тука се појавува една нијанса.

Ако се приближиме до нула од десно, тогаш ова бесконечно мало ќе биде позитивно и добиваме плус бесконечност. Ако му пријдеме на X од лево, односно ако прво поделиме со -2, потоа со -1, со -0,5, со -0,1 и така натаму. Ќе добиеме негативен количник. И тогаш пет поделени со x, каде што x ќе биде бесконечно мало, но лево, ќе биде еднакво на минус бесконечност. Во овој случај тие пишуваат: x се стреми кон нула од десно, 0+0, покажувајќи дека имаме тенденција на нула од десно. Да речеме, ако целиме кон тројка од десната страна, во овој случај пишуваме дека X е насочен кон лево. Соодветно на тоа, ние би се стремеле кон три лево, пишувајќи го ова како x се стреми кон 3-0.

Како може да помогне графикот на функции

Графикот на функцијата што ја проучувавме во училиште ни помага подобро да го разбереме ова. Функцијата се нарекува обратна врска, а неговиот график е хипербола. Хиперболата изгледа вака: Ова е крива чии асимптоти се x-оската и y-оската. Асимптота е линија кон која кривата се стреми, но никогаш не ја достигнува. Таква е математичката драма. Гледаме дека колку поблиску се приближуваме до нула, толку нашата вредност станува поголема. Помалиот X станува, односно како што X се стреми кон нула десно, играта станува се поголема и поголема и брза кон плус бесконечност. Според тоа, кога x се стреми кон нула од лево, кога x се стреми кон нула од лево, т.е. x се стреми кон 0-0, ние се стремиме кон минус бесконечност. Точно вака е напишано. Y се стреми кон минус бесконечност, со X тенденција на нула лево. Соодветно на тоа, пишуваме дека y има тенденција кон плус бесконечност, а x има тенденција на нула десно. Тоа е, во суштина, ние не делиме со нула, ние делиме со бесконечно мала вредност.

А тие што велат дека може да се дели со нула, ние едноставно добиваме бесконечност, тие едноставно мислат дека не може да се дели со нула, туку може да се дели со број блиску до нула, односно со бесконечно мала вредност. Тогаш добиваме плус бесконечност ако делиме со бесконечно мала позитива и минус бесконечност делиме со бесконечно мала негатива.

Се надевам дека оваа статија ви помогна да го разберете прашањето што ги мачи повеќето луѓе уште од детството, зошто не можете да делите со нула. Зошто сме принудени да научиме некое правило, но ништо не се објаснува. Се надевам дека статијата ви помогна да разберете дека навистина не можете да делите со нула, а оние кои велат дека можете да делите со нула всушност значат дека можете да поделите со бесконечно мала вредност.

Зошто не можете да делите со нула? „Не можете да делите со нула! - Повеќето ученици ова правило го учат напамет, без да поставуваат прашања. Сите деца знаат што е „не можеш“ и што ќе се случи ако прашаш како одговор на тоа: „Зошто? Но, всушност, многу е интересно и важно да се знае зошто тоа не е можно. Работата е во тоа што четирите операции на аритметиката - собирање, одземање, множење и делење - се всушност нееднакви. Математичарите препознаваат само две од нив како валидни - собирање и множење. Овие операции и нивните својства се вклучени во самата дефиниција на концептот број. Сите други дејства се изградени на еден или друг начин од овие две. Размислете, на пример, одземање. Што значи 5-3? Ученикот ќе одговори на ова едноставно: треба да земете пет предмети, да земете (отстранете) три од нив и да видите колку остануваат. Но, математичарите на овој проблем гледаат сосема поинаку. Нема одземање, има само собирање. Затоа, ознаката 5 – 3 значи број кој, кога ќе се додаде на бројот 3, ќе го даде бројот 5. Односно, 5 – 3 е едноставно стенографија на равенката: x + 3 = 5. Нема одземање во оваа равенка. Има само задача - да се најде соодветен број.Истото важи и за множење и делење. Записот 8:4 може да се сфати како резултат на делење на осум ставки на четири еднакви купови. Но, тоа е навистина само скратена форма на равенката 4 x = 8.Ова е местото каде што станува јасно зошто е невозможно (или подобро невозможно) да се подели со нула. Записот 5: 0 е кратенка за 0 x = 5. Односно, оваа задача е да се најде број кој, кога ќе се помножи со 0, ќе даде 5. Но, знаеме дека кога ќе се помножи со 0, резултатот е секогаш 0. е инхерентно својство на нула, строго кажано, дел од нејзината дефиниција.Не постои таков број што кога ќе се помножи со 0 ќе даде нешто друго освен нула. Односно нашиот проблем нема решение. (Да, ова се случува; не секој проблем има решение.) Ова значи дека записот 5:0 не одговара на некоја конкретна бројка, и едноставно не значи ништо и затоа нема никакво значење. Бесмисленоста на овој запис е накратко изразена со велејќи дека не може да се дели со нула.Највнимателните читатели на ова место сигурно ќе прашаат: дали е можно да се подели нула со нула? Навистина, равенката 0 x = 0 може безбедно да се реши. На пример, можеме да земеме x = 0, а потоа да добиеме 0 · 0 = 0. Значи, 0: 0=0? Но, да не брзаме. Ајде да се обидеме да земеме x = 1. Добиваме 0 · 1 = 0. Точно? Значи 0:0 = 1? Но, на овој начин можете да земете кој било број и да добиете 0: 0 = 5, 0: 0 = 317, итн.Но, ако некој број е погоден, тогаш немаме причина да избереме некој од нив. Односно, не можеме да кажеме на кој број одговара записот 0:0. И ако е така, тогаш сме принудени да признаеме дека и овој запис нема смисла. Излегува дека дури и нулата не може да се подели со нула. (Во математичката анализа има случаи кога, поради дополнителни услови на проблемот, може да се даде предност на една од можни опциирешенија на равенката 0 x = 0; Во такви случаи, математичарите зборуваат за „развиена несигурност“, но таквите случаи не се случуваат во аритметиката.)Ова е особеноста на операцијата на поделба. Поточно, операцијата множење и бројот поврзан со него имаат нула. Па, најпрецизните, откако прочитале вака, може да прашаат: зошто се случува да не можете да делите со нула, но можете да одземете нула? Во извесна смисла, тука започнува вистинската математика. Можете да одговорите само ако се запознаете со формалните математички дефиниции на нумерички множества и операции на нив. Не е толку тешко, но поради некоја причина не се учи на училиште. Но, на предавањата по математика на универзитетот, ова е она што прво ќе ве учат.

„Не можете да делите со нула! - Повеќето ученици ова правило го учат напамет, без да поставуваат прашања. Сите деца знаат што е „не можеш“ и што ќе се случи ако прашаш како одговор на тоа: „Зошто? Но, всушност, многу е интересно и важно да се знае зошто тоа не е можно.

Работата е во тоа што четирите операции на аритметиката - собирање, одземање, множење и делење - се всушност нееднакви. Математичарите препознаваат само две од нив како валидни - собирање и множење. Овие операции и нивните својства се вклучени во самата дефиниција на концептот број. Сите други дејства се изградени на еден или друг начин од овие две.

Размислете, на пример, одземање. Што значи 5-3? Ученикот ќе одговори на ова едноставно: треба да земете пет предмети, да земете (отстранете) три од нив и да видите колку остануваат. Но, математичарите на овој проблем гледаат сосема поинаку. Нема одземање, има само собирање. Затоа, ознаката 5 – 3 значи број кој, кога ќе се додаде на бројот 3, ќе го даде бројот 5. Односно, 5 – 3 е едноставно стенографија на равенката: x + 3 = 5. Нема одземање во оваа равенка. Има само задача - да се најде соодветен број.

Истото важи и за множење и делење. Записот 8:4 може да се сфати како резултат на делење на осум ставки на четири еднакви купови. Но, во реалноста, тоа е само стенографија на равенката 4 x = 8.

Ова е местото каде што станува јасно зошто е невозможно (или подобро невозможно) да се подели со нула. Записот 5: 0 е кратенка за 0 x = 5. Односно, оваа задача е да се најде број кој, кога ќе се помножи со 0, ќе даде 5. Но, знаеме дека кога ќе се помножи со 0, резултатот е секогаш 0. е инхерентно својство на нула, строго кажано, дел од нејзината дефиниција.

Не постои таков број што кога ќе се помножи со 0 ќе даде нешто друго освен нула. Односно нашиот проблем нема решение. (Да, ова се случува; не секој проблем има решение.) Ова значи дека записот 5:0 не одговара на некоја конкретна бројка, и едноставно не значи ништо, и затоа нема никакво значење. Бесмисленоста на овој запис е накратко изразена со велејќи дека не може да се дели со нула.

Највнимателните читатели на ова место сигурно ќе прашаат: дали е можно да се подели нула со нула? Всушност, равенката 0 x = 0 може безбедно да се реши. На пример, можеме да земеме x = 0, а потоа да добиеме 0 0 = 0. Значи, 0: 0=0? Но, да не брзаме. Ајде да се обидеме да земеме x = 1. Добиваме 0 1 = 0. Точно? Значи 0:0 = 1? Но, на овој начин можете да земете кој било број и да добиете 0: 0 = 5, 0: 0 = 317, итн.

Но, ако некој број е погоден, тогаш немаме причина да избереме некој од нив. Односно, не можеме да кажеме на кој број одговара записот 0:0. И ако е така, тогаш сме принудени да признаеме дека и овој запис нема смисла. Излегува дека дури и нулата не може да се подели со нула. (Во математичката анализа, постојат случаи кога, поради дополнителни услови на проблемот, може да се даде предност на едно од можните решенија на равенката 0 x = 0; во такви случаи, математичарите зборуваат за „објавување на несигурност“, но во аритметички такви случаи не се случуваат.)

Ова е особеноста на операцијата на поделба. Поточно, операцијата множење и бројот поврзан со него имаат нула.

Па, најпрецизните, откако прочитале вака, може да прашаат: зошто се случува да не можете да делите со нула, но можете да одземете нула? Во извесна смисла, тука започнува вистинската математика. Можете да одговорите само ако се запознаете со формалните математички дефиниции на нумерички множества и операции на нив. Не е толку тешко, но поради некоја причина не се учи на училиште. Но, на предавањата по математика на универзитетот, пред сè, тие ќе ве научат токму на ова.

Доброволен придонес на читателот за поддршка на проектот

Самата нула е многу интересна бројка. Само по себе значи празнина, недостаток на значење, а покрај друг број 10 пати го зголемува своето значење. Сите броеви со нулта моќ секогаш даваат 1. Овој знак се користел во цивилизацијата на Маите, а исто така го означувал концептот „почеток, причина“. Дури и календарот започна со нула ден. Оваа бројка се поврзува и со строга забрана.

Уште од нашите основни школски години, сите јасно го научивме правилото „не може да се дели со нула“. Но, ако во детството земате многу работи за верата и зборовите на возрасен ретко предизвикуваат сомнежи, тогаш со текот на времето понекогаш сè уште сакате да ги разберете причините, да разберете зошто се воспоставени одредени правила.

Зошто не можете да поделите со нула? Би сакал да добијам јасно логично објаснување за ова прашање. Во прво одделение наставниците не можеа да го направат тоа, бидејќи во математиката правилата се објаснуваат со помош на равенки, а на таа возраст немавме поим што е тоа. И сега е време да го сфатите тоа и да добиете јасно логично објаснување зошто не можете да делите со нула.

Факт е дека во математиката само две од четирите основни операции (+, -, x, /) со броеви се препознаваат како независни: множење и собирање. Останатите операции се сметаат за деривати. Ајде да погледнеме едноставен пример.

Кажи ми, колку ќе добиеш ако од 20 одземе 18? Природно, одговорот веднаш ни се појавува во главата: ќе биде 2. Како дојдовме до овој резултат? Ова прашање некому ќе му изгледа чудно - на крајот на краиштата, сè е јасно дека резултатот ќе биде 2, некој ќе објасни дека земал 18 од 20 копејки и добил два копејка. Логично, сите овие одговори не се сомнеж, но од математичка гледна точка, овој проблем треба да се реши поинаку. Да потсетиме уште еднаш дека главните операции во математиката се множење и собирање, и затоа во нашиот случај одговорот лежи во решавањето на следнава равенка: x + 18 = 20. Од што произлегува дека x = 20 - 18, x = 2 . Се чини, зошто да опишете сè толку детално? На крајот на краиштата, сè е толку едноставно. Сепак, без ова е тешко да се објасни зошто не може да се дели со нула.

Сега да видиме што ќе се случи ако сакаме да поделиме 18 со нула. Ајде повторно да ја создадеме равенката: 18: 0 = x. Бидејќи операцијата за делење е извод на постапката за множење, трансформирајќи ја нашата равенка добиваме x * 0 = 18. Тука започнува ќорсокакот. Секој број на местото на X кога ќе се помножи со нула ќе даде 0 и нема да можеме да добиеме 18. Сега станува исклучително јасно зошто не може да се дели со нула. Самата нула може да се подели со кој било број, но обратно - за жал, тоа е невозможно.

Што ќе се случи ако ја поделите нулата сама по себе? Ова може да се запише на следниов начин: 0: 0 = x, или x * 0 = 0. Оваа равенка има бесконечен број решенија. Затоа, крајниот резултат е бесконечност. Затоа, операцијата во овој случај исто така нема смисла.

Поделбата со 0 е основата на многу имагинарни математички шеги кои можат да се искористат за да се загатка секој неук по желба. На пример, земете ја равенката: 4*x - 20 = 7*x - 35. Да земеме 4 од заградите на левата страна и 7 од десната страна. Добиваме: 4*(x - 5) = 7*(x - 5). Сега да го помножиме левото и десна странаравенки за дропката 1/(x - 5). Равенката ќе ја има следната форма: 4*(x - 5)/(x - 5) = 7*(x - 5)/ (x - 5). Да ги намалиме дропките за (x - 5) и излегува дека 4 = 7. Од ова можеме да заклучиме дека 2*2 = 7! Се разбира, уловот овде е дека е еднаков на 5 и беше невозможно да се поништат фракциите, бидејќи тоа доведе до поделба со нула. Затоа, кога ги намалувате дропките, секогаш мора да проверувате дали нулата случајно не заврши во именителот, инаку резултатот ќе биде целосно непредвидлив.

Секој од нас научи барем две непоколебливи правила од училиште: „жи и ши - пишувај со буквата I“ и „ Не можете да делите со нула“. И ако првото правило може да се објасни со особеноста на рускиот јазик, тогаш второто покренува сосема логично прашање: „Зошто?

Зошто не можете да поделите со нула?

Не е сосема јасно зошто не зборуваат за ова во училиште, но од аритметичка гледна точка, одговорот е многу едноставен.

Ајде да земеме број 10 и поделете го со 2 . Ова имплицира дека зедовме 10 кои било предмети и ги подредиле според 2 еднакви групи, т.е 10: 2 = 5 (од страна на 5 ставки во групата). Истиот пример може да се напише со помош на равенката x * 2 = 10(И Xтука ќе биде еднакво 5 ).

Сега, ајде да замислиме за секунда дека можете да поделите со нула и да се обидеме 10 подели со 0 .

Ќе го добиете следново: 10: 0 = x, оттука x * 0 = 10. Но, нашите пресметки не можат да бидат точни, бидејќи кога се множи кој било број со 0 секогаш успева 0 . Во математиката не постои таков број што, кога ќе се помножи со 0 би дал нешто друго освен 0 . Според тоа, равенките 10: 0 = xИ x * 0 = 10немаат решение. Со оглед на тоа, тие велат дека не може да се дели со нула.

Кога може да се подели со нула?

Постои опција во која делењето со нула сè уште има смисла. Ако ја поделиме самата нула, го добиваме следново 0: 0 = x, што значи x * 0 = 0.

Ајде да се преправаме дека x=0, тогаш равенката не покренува никакви прашања, сè се вклопува совршено 0: 0 = 0 , а со тоа и 0 * 0 = 0 .

Но, што ако X≠ 0 ? Ајде да се преправаме дека x = 9? Потоа 9 * 0 = 0 И 0: 0 = 9 ? И ако x=45, Тоа 0: 0 = 45 .

Навистина можеме да споделиме 0 на 0 . Но, оваа равенка ќе има бесконечен број решенија, бидејќи 0: 0 = било што.

Зошто 0: 0 = NaN

Дали некогаш сте се обиделе да поделите 0 на 0 на паметен телефон? Бидејќи нулата поделена со нула дава апсолутно секој број, програмерите мораа да бараат излез од оваа ситуација, бидејќи калкулаторот не може да ги игнорира вашите барања. И тие најдоа единствен излез: кога ќе поделите нула со нула, добивате NaN (не бројка).

Зошто x: 0 =∞ А x: -0 = — ∞

Ако се обидете да поделите кој било број со нула на вашиот паметен телефон, одговорот ќе биде еднаков на бесконечност. Работата е во тоа што во математиката 0 понекогаш се смета не како „ништо“, туку како „бесконечно мала количина“. Затоа, ако некој број се подели со бесконечно мала вредност, резултатот е бесконечно голема вредност (∞) .

Значи, дали е можно да се подели со нула?

Одговорот, како што често се случува, е двосмислен. На училиште, најдобро е да го забележите тоа на вашиот нос Не можете да делите со нула- ова ќе ве спаси од непотребни компликации. Но, ако се запишете на математичкиот отсек на факултет, сепак ќе треба да делите со нула.