Областа на секоја основа на цилиндерот е π р 2, површината на двете основи ќе биде 2π р 2 (сл.).

Површината на страничната површина на цилиндерот е еднаква на плоштината на правоаголникот чија основа е 2π р, а висината е еднаква на висината на цилиндерот ч, односно 2π rh.

Вкупната површина на цилиндерот ќе биде: 2π р 2 + 2π rh= 2π р(р+ ч).

Областа на страничната површина на цилиндерот се зема како област за метењенеговата странична површина.

Затоа, површината на страничната површина на десниот кружен цилиндар е еднаква на површината на соодветниот правоаголник (сл.) и се пресметува со формулата

С п.н.е. = 2πRH, (1)

Ако ја додадеме површината на неговите две основи на површината на страничната површина на цилиндерот, ја добиваме вкупната површина на цилиндерот

С полни =2πRH + 2πR 2 = 2πR (H + R).

Волумен на правилен цилиндар

Теорема. Волумен на правилен цилиндар еднаков на производотповршина од нејзината основа до висина , т.е.

каде што Q е плоштината на основата, а H е висината на цилиндерот.

Бидејќи плоштината на основата на цилиндерот е Q, тогаш постојат низи од ограничени и впишани полигони со области Q nи П' nтакви што

\(\lim_(n \десна стрелка \infty)\) П n= \(\lim_(n \десна стрелка \infty)\) Q' n= П.

Дозволете ни да конструираме низа од призми чии основи се опишаните и впишаните многуаголници дискутирани погоре, и чии странични рабови се паралелни со генератриксот на дадениот цилиндар и имаат должина H. Овие призми се опкружени и впишани за дадениот цилиндар. Нивните волумени се наоѓаат според формулите

В n= П n H и V' n= П' nХ.

Оттука,

V= \(\lim_(n \десна стрелка \infty)\) П n H = \(\lim_(n \десна стрелка \infty)\) Q' n H = QH.

Последица.
Волуменот на десниот кружен цилиндар се пресметува со формулата

V = π R 2 H

каде што R е радиусот на основата и H е висината на цилиндерот.

Бидејќи основата на кружниот цилиндар е круг со радиус R, тогаш Q = π R 2, и затоа

Постои голем број напроблеми поврзани со цилиндерот. Во нив треба да го најдете радиусот и висината на телото или типот на неговиот пресек. Плус, понекогаш треба да ја пресметате површината на цилиндарот и неговиот волумен.

Кое тело е цилиндар?

Во училишната програма се изучува кружен цилиндар, односно еден во основата. Но, се разликува и елипсовидниот изглед на оваа фигура. Од името е јасно дека неговата основа ќе биде елипса или овална.

Цилиндерот има две основи. Тие се еднакви едни на други и се поврзани со отсечки кои ги комбинираат соодветните точки на основите. Тие се нарекуваат генератори на цилиндерот. Сите генератори се паралелни едни на други и еднакви. Тие ја сочинуваат страничната површина на телото.

Во принцип, цилиндарот е наклонето тело. Ако генераторите прават прав агол со основите, тогаш зборуваме за права фигура.

Интересно, кружен цилиндар е тело на револуција. Се добива со ротирање на правоаголник околу една од неговите страни.

Главните елементи на цилиндерот

Главните елементи на цилиндерот изгледаат вака.

1. Висина. Тоа е најкраткото растојание помеѓу основите на цилиндерот. Ако е исправен, тогаш висината се совпаѓа со генератриксот.
2. Радиус. Се совпаѓа со оној што може да се нацрта во основата.
3. Оска. Ова е права линија која ги содржи центрите на двете основи. Оската е секогаш паралелна со сите генератори. Во правилен цилиндар е нормално на основите.
4. Аксијален пресек. Се формира кога цилиндар се сече на рамнина што содржи оска.
5. Тангентна рамнина. Поминува низ една од генератриките и е нормална на аксијалниот пресек, кој се влече низ оваа генератрикс.

Како цилиндар е поврзан со призма впишан во него или опишан околу него?

Понекогаш има проблеми во кои треба да се пресмета плоштината на цилиндарот, но некои елементи од придружната призма се познати. Како се поврзани овие бројки?

Ако призмата е впишана во цилиндар, тогаш нејзините основи се еднакви многуаголници. Покрај тоа, тие се впишани во соодветните основи на цилиндерот. Страничните рабови на призмата се совпаѓаат со генераторите.

Опишаната призма има правилни многуаголници во својата основа. Тие се опишани околу круговите на цилиндерот, кои се неговите основи. Рамнините што ги содржат лицата на призмата го допираат цилиндерот долж нивните генератори.

На површината на страничната површина и основата за десен кружен цилиндар

Ако ја одвиткате страничната површина, ќе добиете правоаголник. Неговите страни ќе се совпаѓаат со генератриксот и обемот на основата. Затоа, страничната површина на цилиндерот ќе биде еднаква на производот на овие две количини. Ако ја запишете формулата, ќе го добиете следново:

S страна = l * n,

каде n е генератор, l е обемот.

Покрај тоа, последниот параметар се пресметува со формулата:

l = 2 π * r,

тука r е радиусот на кругот, π е бројот „pi“ еднаков на 3,14.

Бидејќи основата е круг, нејзината површина се пресметува со следниов израз:

S главна = π * r 2 .

На површината на целата површина на десниот кружен цилиндар

Бидејќи е формиран од две основи и странична површина, треба да ги додадете овие три количини. Тоа е, вкупната површина на цилиндерот ќе се пресмета со формулата:

S кат = 2 π * r * n + 2 π * r 2 .

Често се пишува во различна форма:

S кат = 2 π * r (n + r).

На површините на наклонет кружен цилиндар

Што се однесува до основите, сите формули се исти, бидејќи тие се сепак кругови. И тука странична површинаповеќе не произведува правоаголник.

За да ја пресметате површината на страничната површина на наклонет цилиндар, ќе треба да ги помножите вредностите на генератриксот и периметарот на делот, кој ќе биде нормален на избраната генератрица.

Формулата изгледа вака:

S страна = x * P,

каде што x е должината на генератриксот на цилиндерот, P е периметарот на пресекот.

Патем, подобро е да се избере дел таков што ќе формира елипса. Тогаш ќе се поедностават пресметките на неговиот периметар. Должината на елипсата се пресметува со формула која дава приближен одговор. Но, често е доволно за задачите на училишниот курс:

l = π * (a + b),

каде што „а“ и „б“ се полуоските на елипсата, односно растојанието од центарот до неговите најблиски и најоддалечени точки.

Површината на целата површина мора да се пресмета со следниов израз:

S кат = 2 π * r 2 + x * R.

Кои се некои делови од десниот кружен цилиндар?

Кога делот минува низ оската, неговата површина се одредува како производ на генератриксот и дијаметарот на основата. Ова се објаснува со фактот дека има форма на правоаголник, чии страни се совпаѓаат со назначените елементи.

За да ја пронајдете површината на пресек на цилиндар што е паралелна со аксијалниот, ќе ви треба и формула за правоаголник. Во оваа ситуација, една од неговите страни сепак ќе се совпадне со висината, а другата ќе биде еднаква на акордот на основата. Вториот се совпаѓа со линијата на пресекот долж основата.

Кога делот е нормален на оската, изгледа како круг. Покрај тоа, неговата површина е иста како онаа на основата на фигурата.

Исто така, можно е да се пресече под одреден агол на оската. Тогаш пресекот резултира со овална или дел од неа.

Примерок проблеми

Задача бр. 1.Даден е правилен цилиндар чија основна површина е 12,56 cm 2 . Неопходно е да се пресмета вкупната површина на цилиндерот ако неговата висина е 3 см.

Решение. Неопходно е да се користи формулата за вкупната површина на кружен правилен цилиндар. Но, му недостасуваат податоци, имено радиусот на основата. Но, областа на кругот е позната. Лесно е да се пресмета радиусот од ова.

Излегува дека е еднаков квадратен коренод количникот што се добива со делење на површината на основата со пи. Откако ќе се подели 12,56 со 3,14, резултатот е 4. Квадратниот корен од 4 е 2. Затоа, радиусот ќе ја има оваа вредност.

Одговор: S кат = 50,24 cm 2.

Задача бр. 2.Цилиндар со радиус од 5 cm се сече со рамнина паралелна на оската. Растојанието од пресекот до оската е 3 cm Висината на цилиндерот е 4 cm Треба да ја пронајдете површината на напречниот пресек.

Решение. Обликот на напречниот пресек е правоаголен. Една од неговите страни се совпаѓа со висината на цилиндерот, а другата е еднаква на акорд. Ако првата количина е позната, тогаш треба да се најде и втората.

За да го направите ова, мора да се направи дополнителна конструкција. Во основата цртаме два сегменти. И двајцата ќе започнат во центарот на кругот. Првиот ќе заврши во центарот на акордот и е еднаков на познатото растојание до оската. Вториот е на крајот од акордот.

Ќе добиете правоаголен триаголник. Во него се познати хипотенузата и едната нога. Хипотенузата се совпаѓа со радиусот. Вториот крак е еднаков на половина акорд. Непознатиот крак помножен со 2 ќе ја даде саканата должина на акорд. Ајде да ја пресметаме неговата вредност.

За да ја пронајдете непознатата катета, ќе треба да ги квадратите хипотенузата и познатата катета, да ја одземете втората од првата и да го земете квадратниот корен. Квадратите се 25 и 9. Нивната разлика е 16. По земањето на квадратниот корен останува 4. Ова е саканиот крак.

Акорд ќе биде еднаков на 4 * 2 = 8 (cm). Сега можете да ја пресметате површината на пресекот: 8 * 4 = 32 (cm 2).

Одговор: S крстот е еднаков на 32 cm 2.

Задача бр.3.Неопходно е да се пресмета површината аксијален пресекцилиндар. Познато е дека во неа е впишана коцка со раб од 10 см.

Решение. Аксијалниот пресек на цилиндерот се совпаѓа со правоаголник кој минува низ четирите темиња на коцката и ги содржи дијагоналите на нејзините основи. Страната на коцката е генератрикс на цилиндерот, а дијагоналата на основата се совпаѓа со дијаметарот. Производот од овие две количини ќе ја даде областа што треба да ја дознаете во проблемот.

За да го пронајдете дијаметарот, ќе треба да го искористите знаењето дека основата на коцката е квадрат, а нејзината дијагонала формира рамностран правоаголен триаголник. Неговата хипотенуза е саканата дијагонала на фигурата.

За да го пресметате, ќе ви треба формулата на Питагоровата теорема. Треба да ја квадратите страната на коцката, да ја помножите со 2 и да го земете квадратниот корен. Десет до втората сила е сто. Помножено со 2 е двесте. Квадратниот корен од 200 е 10√2.

Делот е повторно правоаголник со страни 10 и 10√2. Неговата површина може лесно да се пресмета со множење на овие вредности.

Одговори. S пресек = 100√2 cm 2.

Претставува геометриско тело, ограничен со две паралелни рамнини и цилиндрична површина.

Цилиндерот се состои од странична површина и две основи. Формулата за површината на цилиндар вклучува посебна пресметка на површината на основата и страничната површина. Бидејќи основите во цилиндерот се еднакви, неговата вкупна површина ќе се пресмета со формулата:

Ќе разгледаме пример за пресметување на површината на цилиндарот откако ќе ги знаеме сите потребни формули. Прво ни треба формулата за плоштината на основата на цилиндерот. Бидејќи основата на цилиндерот е круг, ќе треба да примениме:
Се сеќаваме дека во овие пресметки се користи константниот број Π = 3,1415926, кој се пресметува како однос на обемот на кругот до неговиот дијаметар. Овој број е математичка константа. Исто така, ќе разгледаме пример за пресметување на површината на основата на цилиндерот малку подоцна.

Површина на страничната површина на цилиндерот

Формулата за плоштината на страничната површина на цилиндерот е производ на должината на основата и нејзината висина:

Сега да погледнеме проблем во кој треба да ја пресметаме вкупната површина на цилиндарот. На дадената слика, висината е h = 4 cm, r = 2 cm. Да ја најдеме вкупната површина на цилиндерот.
Прво, да ја пресметаме областа на основите:
Сега да погледнеме на пример за пресметување на површината на страничната површина на цилиндарот. Кога ќе се прошири, тој претставува правоаголник. Неговата површина се пресметува со помош на горната формула. Ајде да ги замениме сите податоци во него:
Вкупната површина на кругот е збир од двојната површина на основата и страната:

Така, користејќи ги формулите за плоштината на основите и страничната површина на фигурата, успеавме да ја најдеме вкупната површина на цилиндерот.
Аксијалниот пресек на цилиндерот е правоаголник во кој страните се еднакви на висината и дијаметарот на цилиндерот.

Формулата за аксијалниот пресек на цилиндарот е изведена од формулата за пресметка:

Најдете ја областа на аксијалниот пресек нормално на основите на цилиндерот. Една од страните на овој правоаголник е еднаква на висината на цилиндерот, втората - на дијаметарот на основниот круг. Според тоа, површината на пресекот во овој случај ќе биде еднаква на производот на страните на правоаголникот. S=2R*h, каде што S е плоштината на напречниот пресек, R е радиусот на основната кружница, даден со условите на задачата, а h е висината на цилиндерот, исто така дадена со условите на задачата.

Ако делот е нормален на основите, но не поминува низ оската на ротација, правоаголникот нема да биде еднаков на дијаметарот на кругот. Треба да се пресмета. За да го направите ова, проблемот мора да каже на кое растојание од оската на ротација поминува рамнината на пресекот. За олеснување на пресметките, конструирајте круг на основата на цилиндерот, нацртајте радиус и нацртајте го на него растојанието на кое се наоѓа делот од центарот на кругот. Од оваа точка, нацртајте перпендикулари на нивното пресекување со кругот. Поврзете ги пресечните точки со центарот. Треба да ги пронајдете акордите. Најдете ја големината на половина акорд користејќи ја Питагоровата теорема. Тоа ќе биде еднакво на квадратниот корен на разликата помеѓу квадратите на радиусот на кругот од центарот до линијата на пресекот. a2=R2-b2. Целиот акорд, соодветно, ќе биде еднаков на 2а. Пресметај ја плоштината на напречниот пресек, која е еднаква на производот на страните на правоаголникот, односно S=2a*h.

Цилиндерот може да се исече без да помине низ рамнината на основата. Ако пресекот е нормален на оската на ротација, тогаш тоа ќе биде круг. Неговата површина во овој случај е еднаква на површината на базите, односно пресметана со формулата S = πR2.

Корисен совет

За попрецизно да го замислите делот, направете цртеж и дополнителни конструкции за него.

Извори:

• површина на пресек на цилиндарот

Линијата на пресек на површина со рамнина припаѓа и на површината и на рамнината на сечење. Линијата на пресек на цилиндрична површина со рамнина за сечење паралелна на права генератрикс е права линија. Ако рамнината за сечење е нормална на оската на површината на вртење, делот ќе биде круг. Во принцип, линијата на пресек на цилиндрична површина со рамнина за сечење е крива линија.

Ќе ви треба

• Молив, линијар, триаголник, обрасци, компас, метар.

Инструкции

На фронталната рамнина на проекции П2, линијата на пресекот се совпаѓа со проекцијата на рамнината за сечење Σ2 во форма на права линија.
Означете ги точките на пресек на генератриките на цилиндерот со проекцијата Σ2 12, 22, итн. до точките 10₂ и 11₂.

На рамнината P1 е круг. Точките 12, 22, итн. означени на рамнината на пресекот Σ2. со помош на проекциона линија за поврзување се проектираат на контурите на овој круг. Обележете ги нивните хоризонтални проекции симетрично во однос на хоризонталната оска на кругот.

Така, се одредуваат проекциите на саканиот дел: на рамнината P2 – права линија (точки 12, 22…102); на рамнината P1 – круг (точки 11, 21…101).

Користејќи два, конструирајте ја природната големина на пресекот на овој цилиндар со фронталната испакната рамнина Σ. За да го направите ова, користете го методот на проекција.

Нацртајте ја рамнината П₄ паралелна со проекцијата на рамнината Σ2. На оваа нова оска x24, означете ја точката 1₀. Растојанија помеѓу точките 12 – 22, 22 – 42, итн. од фронталната проекција на пресекот, поставете го на оската x24, повлечете тенки линии на проекциониот приклучок нормално на оската x24.

ВО овој методрамнината P4 се заменува со рамнината P1, затоа, од хоризонталната проекција, префрлете ги димензиите од оската до точките до оската на рамнината P4.

На пример, на P1 за точките 2 и 3 ова ќе биде растојанието од 21 и 31 до оската (точка А), итн.

Отстранувајќи ги означените растојанија од хоризонталната проекција, добивате точки 2₀, 3₀, 6₀, 7₀, 10₀, 11₀. Потоа, за поголема точност на конструкцијата, се одредуваат преостанатите меѓу точки.

Со поврзување на сите точки со крива на шаблон, ја добивате потребната природна големина на пресекот на цилиндерот од страна на фронталната рамнина што излегува.

Извори:

• како да се замени авион

Совет 3: Како да ја пронајдете областа на аксијалниот пресек на скратениот конус

За да го решите овој проблем, треба да запомните што е скратен конус и какви својства има. Бидете сигурни да направите цртеж. Ова ќе ви овозможи да одредите која геометриска фигура претставува делот. Сосема е можно после ова да не ви биде тешко да го решите проблемот.

Инструкции

Круг конус е тело добиено со ротирање на триаголник околу една од неговите краци. Прави линии што произлегуваат од врвот конуса вкрстувајќи ја неговата основа се нарекуваат генератори. Ако сите генератори се еднакви, тогаш конусот е исправен. Во основата на кругот конуслежи круг. Нормалната што се спушта на основата од темето е висината конус. На круг директно конусвисината се совпаѓа со неговата оска. Оската е права линија што се поврзува со центарот на основата. Ако хоризонталната рамнина на сечење на кружен конус, тогаш неговата горна основа е круг.

Бидејќи во изјавата за проблемот не е наведено дека конусот е даден во овој случај, можеме да заклучиме дека се работи за праволиниски скратен конус, чиј хоризонтален пресек е паралелен со основата. Неговиот аксијален пресек, т.е. вертикална рамнина, која низ оската на круг конус, е рамностран трапез. Сите аксијални деловитркалезни директно конуссе еднакви едни на други. Затоа, да се најде квадратаксијален делови, треба да најдете квадраттрапез, чии основи се дијаметри на основите на скратена конус, а страничните страни се негови составни делови. Висина на фрустум конусе и висината на трапезот.

Површината на трапезоидот се одредува со формулата: S = ½(a+b) h, каде што S - квадраттрапез; а - големината на долната основа на трапезот; б - големината на неговата горна основа; h - висината на трапезот.

Бидејќи условот не прецизира кои се дадени, можно е дијаметрите на двете основи на скратениот конуспознато: AD = d1 – дијаметар на долната основа на скратената конус;BC = d2 – дијаметар на неговата горна основа; EH = h1 – висина конус.Така, квадратаксијален деловискратена конуссе дефинира: S1 = ½ (d1+d2) h1

Извори:

• површина на скратен конус

Цилиндерот е просторна фигура и се состои од два еднакви основи, кои претставуваат кругови и странична површина што ги поврзува линиите што ги разграничуваат основите. Да се ​​пресмета квадрат цилиндар, најдете ги површините на сите негови површини и соберете ги.