Експоненцијални равенки и неравенки. Решавање експоненцијални неравенки: основни методи
Мнозинска одлука математички проблемие некако поврзана со трансформација на нумерички, алгебарски или функционални изрази. Горенаведеното особено се однесува на одлуката. Во верзиите на Единствениот државен испит по математика, овој тип на проблем ја вклучува, особено, задачата C3. Учењето да се решаваат задачите C3 е важно не само за целта на успешно завршувањеУнифициран државен испит, но и од причина што оваа вештина ќе биде корисна при изучување на курс по математика во високото училиште.
Кога ги завршувате задачите C3, треба да одлучите различни видовиравенки и неравенки. Меѓу нив се рационални, ирационални, експоненцијални, логаритамски, тригонометриски, кои содржат модули ( апсолутни вредности), како и комбинирани. Оваа статија ги разгледува главните типови на експоненцијални равенки и неравенки, како и различни методинивните одлуки. Прочитајте за решавање на други видови равенки и неравенки во делот „“ во написите посветени на методите за решавање проблеми C3 од Обединетиот државен испит по математика.
Пред да почнеме да анализираме конкретни експоненцијални равенки и неравенки, како тутор по математика, ви предлагам да научите некој теоретски материјал што ќе ни треба.
Експоненцијална функција
Што е експоненцијална функција?
Функција на формата y = а x, Каде а> 0 и аСе вика ≠ 1 експоненцијална функција.
Основни својства на експоненцијална функција y = а x:
График на експоненцијална функција
Графикот на експоненцијалната функција е експонент:
Графикони на експоненцијални функции (експоненти)
Решавање експоненцијални равенки
Индикативносе нарекуваат равенки во кои непознатата променлива се наоѓа само во експоненти на некои моќи.
За решенија експоненцијални равенкитреба да ја знаете и да можете да ја користите следната едноставна теорема:
Теорема 1. Експоненцијална равенка а ѓ(x) = а е(x) (Каде а > 0, а≠ 1) е еквивалентно на равенката ѓ(x) = е(x).
Покрај тоа, корисно е да се запаметат основните формули и операции со степени:
Title="Изведено од QuickLaTeX.com">!}
Пример 1.Реши ја равенката:
Решение:Ги користиме горенаведените формули и замена:
Равенката тогаш станува:
Дискриминантата на добиената квадратна равенка е позитивна:
Title="Изведено од QuickLaTeX.com">!}
Ова значи дека оваа равенка има два корени. Ги наоѓаме:
Преминувајќи кон обратна замена, добиваме:
Втората равенка нема корени, бидејќи експоненцијалната функција е строго позитивна во целиот домен на дефиниција. Ајде да го решиме второто:
Земајќи го предвид она што беше кажано во теорема 1, преминуваме на еквивалентната равенка: x= 3. Ова ќе биде одговорот на задачата.
Одговор: x = 3.
Пример 2.Реши ја равенката:
Решение:Равенката нема ограничувања за опсегот на дозволените вредности, бидејќи радикалниот израз има смисла за која било вредност x(експоненцијална функција y = 9 4 -хпозитивни и не еднакви на нула).
Равенката ја решаваме со еквивалентни трансформации користејќи ги правилата за множење и делење на силите:
Последната транзиција беше извршена во согласност со теорема 1.
Одговор:x= 6.
Пример 3.Реши ја равенката:
Решение:двете страни на првобитната равенка може да се поделат со 0,2 x. Оваа транзиција ќе биде еквивалентна, бидејќи овој израз е поголем од нула за која било вредност x(експоненцијалната функција е строго позитивна во својот домен на дефиниција). Тогаш равенката ја добива формата:
Одговор: x = 0.
Пример 4.Реши ја равенката:
Решение:ја поедноставуваме равенката на елементарна со помош на еквивалентни трансформации користејќи ги правилата за делење и множење на силите дадени на почетокот на статијата:
Поделете ги двете страни на равенката со 4 x, како и во претходниот пример, е еквивалентна трансформација, бидејќи овој израз не е еднаков на нула за која било вредност x.
Одговор: x = 0.
Пример 5.Реши ја равенката:
Решение:функција y = 3x, стои на левата страна од равенката, се зголемува. Функција y = —x-2/3 на десната страна на равенката се намалува. Тоа значи дека ако графиконите на овие функции се сечат, тогаш најмногу една точка. Во овој случај, лесно е да се погоди дека графиконите се сечат во точката x= -1. Нема да има други корени.
Одговор: x = -1.
Пример 6.Реши ја равенката:
Решение:ја поедноставуваме равенката со помош на еквивалентни трансформации, имајќи на ум насекаде дека експоненцијалната функција е строго поголема од нула за која било вредност xи користејќи ги правилата за пресметување на производот и количникот на моќи дадени на почетокот на статијата:
Одговор: x = 2.
Решавање на експоненцијални неравенки
Индикативносе нарекуваат неравенки во кои непознатата променлива е содржана само во експоненти на некои моќи.
За решенија експоненцијални неравенки Потребно е познавање на следната теорема:
Теорема 2.Ако а> 1, потоа нееднаквоста а ѓ(x) > а е(x) е еквивалентно на неравенство со исто значење: ѓ(x) > е(x). Ако 0< а < 1, то показательное неравенство а ѓ(x) > а е(x) е еквивалентно на неравенка со спротивно значење: ѓ(x) < е(x).
Пример 7.Решете ја неравенството:
Решение:Да ја прикажеме оригиналната нееднаквост во форма:
Ајде да ги поделиме двете страни на оваа неравенка со 3 2 x, во овој случај (поради позитивноста на функцијата y= 3 2x) знакот за нееднаквост нема да се промени:
Ајде да ја искористиме замената:
Тогаш неравенството ќе ја добие формата:
Значи, решението на неравенството е интервалот:
преминувајќи на обратна замена, добиваме:
Поради позитивноста на експоненцијалната функција, левата неравенка се задоволува автоматски. Користејќи го добро познатото својство на логаритмот, преминуваме на еквивалентната неравенка:
Бидејќи основата на степенот е број поголем од еден, еквивалентно (со теорема 2) е преминот кон следната неравенка:
Значи, конечно добиваме одговор:
Пример 8.Решете ја неравенството:
Решение:Користејќи ги својствата на множење и делење на силите, ја препишуваме неравенството во форма:
Ајде да воведеме нова променлива:
Земајќи ја предвид оваа замена, нееднаквоста ја добива формата:
Помножувајќи ги броителот и именителот на дропката со 7, ја добиваме следната еквивалентна неравенка:
Значи, следните вредности на променливата ја задоволуваат нееднаквоста т:
Потоа, преминувајќи на обратна замена, добиваме:
Бидејќи основата на степенот овде е поголема од еден, преминот кон неравенството ќе биде еквивалентен (со теорема 2):
Конечно добиваме одговор:
Пример 9.Решете ја неравенството:
Решение:
Двете страни на неравенството ги делиме со изразот:
Секогаш е поголем од нула (поради позитивноста на експоненцијалната функција), така што нема потреба да се менува знакот за неравенство. Добиваме:
t лоциран во интервалот:
Преминувајќи кон обратната замена, откриваме дека првобитната нееднаквост се дели на два случаи:
Првата неравенка нема решенија поради позитивноста на експоненцијалната функција. Ајде да го решиме второто:
Пример 10.Решете ја неравенството:
Решение:
Гранки на парабола y = 2x+2-x 2 се насочени надолу, затоа е ограничен одозгора со вредноста што ја достигнува на своето теме:
Гранки на парабола y = x 2 -2x+2 во индикаторот се насочени нагоре, што значи дека е ограничен од долу со вредноста што ја достигнува на неговото теме:
Во исто време, функцијата исто така се покажува дека е ограничена одоздола y = 3 x 2 -2x+2, што е на десната страна од равенката. Таа ја достигнува својата најмала вредност во истата точка како параболата во експонентот, а оваа вредност е 3 1 = 3. Значи, првобитната неравенка може да биде вистинита само ако функцијата лево и функцијата од десната страна ја земат вредноста , еднакво на 3 (пресекот на опсезите на вредностите на овие функции е само овој број). Овој услов е задоволен во една точка x = 1.
Одговор: x= 1.
За да научиме да одлучуваме експоненцијални равенки и неравенки,потребно е постојано да се тренира за нивно решавање. Различни работи можат да ви помогнат во оваа тешка задача. методолошки прирачници, проблематични книги по основна математика, збирки на натпреварувачки задачи, часови по математика на училиште, како и индивидуални часови со професионален тутор. Искрено ви посакувам успех во подготовката и одлични резултати на испитот.
Сергеј Валериевич
P.S. Почитувани гости! Ве молиме не пишувајте барања за решавање на вашите равенки во коментарите. За жал, немам апсолутно време за ова. Ваквите пораки ќе бидат избришани. Ве молиме прочитајте ја статијата. Можеби во него ќе најдете одговори на прашања кои не ви дозволија сами да ја решите вашата задача.
Во оваа лекција ќе разгледаме различни експоненцијални неравенки и ќе научиме како да ги решиме, врз основа на техниката за решавање на наједноставните експоненцијални неравенки
1. Дефиниција и својства на експоненцијална функција
Да се потсетиме на дефиницијата и основните својства на експоненцијалната функција. Решението на сите експоненцијални равенки и неравенки се заснова на овие својства.
Експоненцијална функцијае функција од формата , каде што основата е степенот и овде x е независната променлива, аргумент; y е зависната променлива, функција.
Ориз. 1. График на експоненцијална функција
Графикот покажува растечки и намалувачки експоненти, илустрирајќи ја експоненцијалната функција со основа поголема од една и помала од една, но поголема од нула, соодветно.
Двете кривини минуваат низ точката (0;1)
Својства на експоненцијалната функција:
Домен: ;
Опсег на вредности: ;
Функцијата е монотона, се зголемува со, се намалува со.
Монотоната функција ја зема секоја нејзина вредност со една вредност на аргументот.
Кога , кога аргументот се зголемува од минус до плус бесконечност, функцијата се зголемува од нула инклузивна до плус бесконечност, т.е., за дадените вредности на аргументот имаме монотоно растечка функција (). Напротив, кога аргументот се зголемува од минус до плус бесконечност, функцијата се намалува од бесконечност на нула инклузивна, т.е., за дадените вредности на аргументот имаме монотоно опаѓачка функција ().
2. Наједноставни експоненцијални неравенки, метод на решение, пример
Врз основа на горенаведеното, презентираме метод за решавање едноставни експоненцијални неравенки:
Техника за решавање на неравенки:
Изедначете ги основите на степени;
Споредете ги индикаторите со одржување или менување на знакот за нееднаквост на спротивниот.
Решението на сложените експоненцијални неравенки обично се состои во нивно сведување на наједноставните експоненцијални неравенки.
Основата на степенот е поголема од една, што значи дека знакот за нееднаквост е зачуван:
Ајде да се трансформираме десна странаспоред својствата на степенот:
Основата на степенот е помала од еден, знакот за нееднаквост мора да се смени:
За да ја решиме квадратната неравенка, ја решаваме соодветната квадратна равенка:
Користејќи ја теоремата на Виета, ги наоѓаме корените:
Гранките на параболата се насочени нагоре.
Така, имаме решение за нееднаквоста:
Лесно е да се погоди дека десната страна може да се претстави како моќност со експонент нула:
Основата на степенот е поголема од еден, знакот за нееднаквост не се менува, добиваме:
Да се потсетиме на техниката за решавање на вакви неравенки.
Размислете за фракционо-рационална функција:
Го наоѓаме доменот на дефиниција:
Наоѓање на корените на функцијата:
Функцијата има еден корен, 
Избираме интервали со постојан знак и ги одредуваме знаците на функцијата на секој интервал:
Ориз. 2. Интервали на постојаност на знакот
Така, го добивме одговорот.
Одговор: 
3. Решавање на стандардни експоненцијални неравенки
Да ги разгледаме нееднаквостите со исти показатели, но различни основи.
Едно од својствата на експоненцијалната функција е тоа што за која било вредност на аргументот зема строго позитивни вредности, што значи дека може да се подели на експоненцијална функција. Да ја поделиме дадената неравенка со нејзината десна страна:
Основата на степенот е поголема од една, знакот за нееднаквост е зачуван.
Да го илустрираме решението:
На слика 6.3 се прикажани графикони на функции и . Очигледно, кога аргументот е поголем од нула, графикот на функцијата е повисок, оваа функција е поголема. Кога вредностите на аргументите се негативни, функцијата оди пониско, таа е помала. Ако аргументот е еднаков, функциите се еднакви, што значи дека и оваа точка е решение за дадената неравенка.
Ориз. 3. Илустрација на пример 4
Да ја трансформираме дадената неравенка според својствата на степенот:
Еве неколку слични термини:
Да ги поделиме двата дела на:
Сега продолжуваме да решаваме слично како примерот 4, поделете ги двата дела со:
Основата на степенот е поголема од еден, знакот за нееднаквост останува:
4. Графичко решение на експоненцијални неравенки
Пример 6 - Решете ја неравенството графички:
Ајде да ги погледнеме функциите на левата и десната страна и да изградиме график за секоја од нив.
Функцијата е експоненцијална и се зголемува во целиот нејзин домен на дефиниција, т.е. за сите реални вредности на аргументот.
Функцијата е линеарна и се намалува низ целиот нејзин домен на дефиниција, т.е. за сите реални вредности на аргументот.
Ако овие функции се вкрстуваат, односно системот има решение, тогаш таквото решение е единствено и лесно може да се погоди. За да го направите ова, повторуваме преку цели броеви ()
Лесно е да се види дека коренот на овој систем е:
Така, графиците на функциите се сечат во точка со аргумент еднаков на еден.
Сега треба да добиеме одговор. Значењето на дадената неравенка е дека експонентот мора да биде поголем или еднаков на линеарната функција, односно да биде поголем или да се совпаѓа со неа. Одговорот е очигледен: (Слика 6.4)
Ориз. 4. Илустрација на пример 6
Значи, разгледавме решавање на различни стандардни експоненцијални неравенки. Следно, продолжуваме да разгледуваме посложени експоненцијални неравенки.
Библиографија
Мордкович А.Г. Алгебра и почетоците на математичката анализа. - М.: Мнемозина. Муравин Г. К., Муравин О. В. Алгебра и почетоците на математичката анализа. - М.: Бустард. Колмогоров А. - М.: Просветителство.
Математика. мд. Математика-повторување. com. Дифур. кемсу. ru.
Домашна работа
1. Алгебра и почетоците на анализата, оценки 10-11 (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ју. П. Дудницин) 1990 година, бр. 472, 473;
2. Решете ја неравенството:
3. Решете ја нееднаквоста.
Час и презентација на тема: „Експоненцијални равенки и експоненцијални неравенки“
Дополнителни материјали
Почитувани корисници, не заборавајте да ги оставите вашите коментари, критики, желби! Сите материјали се проверени со антивирусна програма.
Наставни средства и симулатори во онлајн продавницата Integral за 11 одделение
Интерактивен прирачник за 9-11 одделение „Тригонометрија“
Интерактивен прирачник за 10-11 одделение „Логаритми“
Дефиниција на експоненцијални равенки
Момци, ги проучувавме експоненцијалните функции, ги научивме нивните својства и изградивме графикони, анализиравме примери на равенки во кои беа пронајдени експоненцијални функции. Денес ќе ги проучуваме експоненцијалните равенки и неравенки.Дефиниција. Равенките од формата: $a^(f(x))=a^(g(x))$, каде што $a>0$, $a≠1$ се нарекуваат експоненцијални равенки.
Потсетувајќи се на теоремите што ги проучувавме во темата „Експоненцијална функција“, можеме да воведеме нова теорема:
Теорема. Експоненцијалната равенка $a^(f(x))=a^(g(x))$, каде што $a>0$, $a≠1$ е еквивалентна на равенката $f(x)=g(x) $.
Примери на експоненцијални равенки
Пример.Решавање на равенки:
а) $3^(3x-3)=27$.
б) $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
в) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
Решение.
а) Добро знаеме дека $27=3^3$.
Ајде да ја преработиме нашата равенка: $3^(3x-3)=3^3$.
Користејќи ја горната теорема, откриваме дека нашата равенка се сведува на равенката $3x-3=3$; решавајќи ја оваа равенка, добиваме $x=2$.
Одговор: $x=2$.
Б) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
Тогаш нашата равенка може да се препише: $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5) ) =((\frac(2)(3)))^(0,2)$.
$2х+0,2=0,2$.
$x=0$.
Одговор: $x=0$.
В) Оригиналната равенка е еквивалентна на равенката: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ и $x_2=-3$.
Одговор: $x_1=6$ и $x_2=-3$.
Пример.
Решете ја равенката: $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=16*((0,0625))^(x+1)$.
Решение:
Ајде да извршиме низа дејства последователно и да ги доведеме двете страни на нашата равенка на исти основи.
Ајде да извршиме голем број операции на левата страна:
1) $((0,25))^(x-0,5)=((\frac(1)(4)))^(x-0,5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0,5+0,5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
Ајде да продолжиме на десната страна:
4) $16=4^2$.
5) $((0,0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) 16 $*((0,0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x)= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Оригиналната равенка е еквивалентна на равенката:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Одговор: $x=0$.
Пример.
Решете ја равенката: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Решение:
Ајде да ја преработиме нашата равенка: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Ајде да направиме промена на променливите, нека $a=3^x$.
Во ново променлива равенкаќе има форма: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ и $a_2=3$.
Да ја извршиме обратната промена на променливите: $3^x=-12$ и $3^x=3$.
Во последната лекција научивме дека експоненцијалните изрази можат да земат само позитивни вредности, запомнете го графикот. Ова значи дека првата равенка нема решенија, втората равенка има едно решение: $x=1$.
Одговор: $x=1$.
Ајде да потсетиме како да решаваме експоненцијални равенки:
1. Графички метод.Ги претставуваме двете страни на равенката во форма на функции и ги градиме нивните графикони, ги наоѓаме точките на пресек на графиконите. (Го користевме овој метод во последната лекција).
2. Принципот на еднаквост на индикаторите.Принципот се заснова на фактот дека два изрази со по истите основисе еднакви ако и само ако степените (показателите) на овие основи се еднакви. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Метод на замена на променлива.Овој метод треба да се користи ако равенката, при замена на променливите, ја поедноставува својата форма и е многу полесна за решавање.
Пример.
Решете го системот равенки: $\begin (случаи) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \крај (случаи)$.
Решение.
Ајде да ги разгледаме двете равенки на системот одделно:
$27^y*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
Размислете за втората равенка:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Да го користиме методот за промена на променливи, нека $y=2^(x+y)$.
Тогаш равенката ќе ја добие формата:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ и $y_2=-3$.
Да преминеме на почетните променливи, од првата равенка добиваме $x+y=2$. Втората равенка нема решенија. Тогаш нашиот почетен систем на равенки е еквивалентен на системот: $\begin (случаи) x+3y=0, \\ x+y=2. \крај (случаи)$.
Од првата равенка се одзема втората, добиваме: $\begin (случаи) 2y=-2, \\ x+y=2. \крај (случаи)$.
$\почеток (случаи) y=-1, \\ x=3. \крај (случаи)$.
Одговор: $(3;-1)$.
Експоненцијални неравенки
Да преминеме на нееднаквости. При решавање на нееднаквости, потребно е да се обрне внимание на основата на степенот. Постојат две можни сценарија за развој на настани при решавање на нееднаквости.Теорема. Ако $a>1$, тогаш експоненцијалната неравенка $a^(f(x))>a^(g(x))$ е еквивалентна на неравенката $f(x)>g(x)$.
Ако $0
Пример.
Решавање на неравенки:
а) $3^(2x+3)>81$.
б) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) в) $(0.3)^(x^2+6x)≤(0.3)^(4x+15)$.
Решение.
а) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
Нашата нееднаквост е еквивалентна на нееднаквоста:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0,5 $.
Б) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) Во нашата равенка, основата е кога степенот е помала од 1, тогаш При замена на неравенство со еквивалентна, потребно е да се смени знакот.
$2x-4>2$.
$x>3$.
В) Нашата нееднаквост е еквивалентна на неравенката:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Ајде да го користиме методот на интервално решение:
Одговор: $(-∞;-5]U)