Дериват од корен од коцка. Извод на функција за моќност (моќи и корени)

Изведување на дериватната формула функција за напојување(х со сила на а). Се разгледуваат деривати од корените на x. Формула за дериват на функција на моќност од повисок ред. Примери за пресметување на деривати.

Изводот на x на моќта на a е еднаков на x пати на моќта на минус еден:
(1) .

Изводот на n-тиот корен на x на mth моќта е:
(2) .

Изведување на формулата за извод на функција на моќност

Случај x > 0

Размислете за функција на моќност на променливата x со експонент a:
(3) .
Еве a е произволен реален број. Ајде прво да го разгледаме случајот.

За да го пронајдеме изводот на функцијата (3), ги користиме својствата на функцијата моќност и ја трансформираме во следнава форма:
.

Сега го наоѓаме дериватот користејќи:
;
.
Еве .

Формулата (1) е докажана.

Изведување на формулата за дериват на корен од степен n од x до степен од m

Сега разгледајте ја функцијата што е коренот на следната форма:
(4) .

За да го најдеме изводот, го трансформираме коренот во функција на моќност:
.
Споредувајќи со формулата (3) гледаме дека
.
Потоа
.

Користејќи ја формулата (1) го наоѓаме дериватот:
(1) ;
;
(2) .

Во пракса, нема потреба да се меморира формулата (2). Многу е попогодно прво да се трансформираат корените во функции за напојување, а потоа да се најдат нивните деривати со помош на формулата (1) (види примери на крајот од страницата).

Случај x = 0

Ако , тогаш функцијата моќност е дефинирана за вредноста на променливата x = 0 . Да го најдеме изводот на функцијата (3) на x = 0 . За да го направите ова, ја користиме дефиницијата за дериват:
.

Да го замениме x = 0 :
.
Во овој случај, под извод ја подразбираме десната граница за која .

Така најдовме:
.
Од ова е јасно дека за , .
Во , .
Во , .
Овој резултат е исто така добиен од формулата (1):
(1) .
Според тоа, формулата (1) важи и за x = 0 .

Случај x< 0

Повторно разгледајте ја функцијата (3):
(3) .
За одредени вредности на константата a, таа е дефинирана и за негативни вредностипроменлива x. Имено, нека a е рационален број. Тогаш може да се претстави како нередуцирана дропка:
,
каде m и n се цели броеви без заеднички делител.

Ако n е непарен, тогаш функцијата за моќност е дефинирана и за негативните вредности на променливата x. На пример, кога n = 3 и m = 1 го имаме коцканиот корен на x:
.
Дефинирано е и за негативните вредности на променливата x.

Да го најдеме изводот на функцијата моќност (3) за и за рационалните вредности на константата a за која е дефинирана. За да го направите ова, да го претставиме x во следнава форма:
.
Потоа,
.
Изводот го наоѓаме со ставање на константата надвор од знакот на изводот и примена на правилото за диференцијација на сложена функција:

.
Еве . Но
.
Од тогаш
.
Потоа
.
Односно, формулата (1) важи и за:
(1) .

Деривати од повисок ред

Сега да најдеме изводи од повисок ред на функцијата моќност
(3) .
Веќе го најдовме дериватот од прв ред:
.

Земајќи ја константата a надвор од знакот на изводот, го наоѓаме изводот од втор ред:
.
Слично на тоа, наоѓаме деривати од третиот и четвртиот ред:
;

.

Од ова е јасно дека извод од произволен n-ти редја има следната форма:
.

забележи, тоа ако а е природен број , тогаш n-тиот извод е константен:
.
Тогаш сите следни деривати се еднакви на нула:
,
во .

Примери за пресметување на деривати

Пример

Најдете го изводот на функцијата:
.

Решение

Ајде да ги претвориме корените во моќи:
;
.
Тогаш оригиналната функција ја добива формата:
.

Наоѓање деривати на моќи:
;
.
Изводот на константата е нула:
.

Операцијата за наоѓање на изводот се нарекува диференцијација.

Како резултат на решавање на проблеми за пронаоѓање на изводи на наједноставните (и не многу едноставни) функции со дефинирање на изводот како граница на односот на зголемувањето на зголемувањето на аргументот, се појави табела на деривати и точно одредени правиладиференцијација. Први кои работеле на полето на пронаоѓање деривати биле Исак Њутн (1643-1727) и Готфрид Вилхелм Лајбниц (1646-1716).

Затоа, во нашево време, за да го пронајдете изводот на која било функција, не треба да ја пресметате горенаведената граница на односот на зголемувањето на функцијата кон зголемувањето на аргументот, туку треба да ја користите само табелата на деривати и правила на диференцијација. Следниот алгоритам е погоден за наоѓање на дериватот.

Да се ​​најде изводот, потребен ви е израз под знакот прв разложи едноставни функции на компонентии одреди кои дејствија (производ, збир, количник)овие функции се поврзани. Следно, изводите на елементарните функции ги наоѓаме во табелата со деривати, а формулите за дериватите на производот, збирот и количникот - во правилата за диференцијација. Табелата за деривати и правилата за диференцијација се дадени по првите два примери.

Пример 1.Најдете го изводот на функцијата

Решение. Од правилата на диференцијација дознаваме дека изводот на збир на функции е збир на изводи на функции, т.е.

Од табелата со деривати дознаваме дека изводот на „x“ е еднаков на еден, а изводот на синус е еднаков на косинус. Ги заменуваме овие вредности во збир на деривати и го наоѓаме изводот што го бара состојбата на проблемот:

Пример 2.Најдете го изводот на функцијата

Решение. Диференцираме како извод на збир во кој вториот член има постојан фактор, може да се извади од знакот на изводот:

Ако сè уште се појавуваат прашања за тоа од каде доаѓа нешто, тие обично се расчистуваат откако ќе се запознаете со табелата на деривати и наједноставните правила на диференцијација. Во моментов продолжуваме кон нив.

Табела на деривати на едноставни функции

1. Извод на константа (број). Било кој број (1, 2, 5, 200...) што е во функционалниот израз. Секогаш еднаква на нула. Ова е многу важно да се запамети, бидејќи се бара многу често
2. Извод на независната променлива. Најчесто „Х“. Секогаш еднаков на еден. Ова е исто така важно да се запамети долго време
3. Извод на степен. Кога решавате проблеми, треба да ги претворите неквадратните корени во моќи.
4. Извод на променлива со моќност -1
5. Дериват квадратен корен
6. Дериват на синус
7. Извод на косинус
8. Извод на тангента
9. Дериват на котангенс
10. Дериват на арсин
11. Извод на лачен косинус
12. Дериват на арктангенс
13. Дериват на лак котангенс
14. Извод на природниот логаритам
15. Извод на логаритамска функција
16. Извод на експонентот
17. Извод на експоненцијална функција

Правила за диференцијација

1. Извод на збир или разлика
2. Дериват на производот
2а. Извод на израз помножен со константен фактор
3. Извод на количник
4. Извод на сложена функција

Правило 1.Доколку функциите

се диференцијабилни во одреден момент, тогаш функциите се диференцијабилни во истата точка

и

тие. изводот на алгебарскиот збир на функции е еднаков на алгебарски збирдеривати на овие функции.

Последица. Ако две диференцијабилни функции се разликуваат за константен член, тогаш нивните изводи се еднакви, т.е.

Правило 2.Доколку функциите

се разликуваат во одреден момент, тогаш нивниот производ е диференцијабилен во истата точка

и

тие. Изводот на производот на две функции е еднаков на збирот на производите на секоја од овие функции и изводот на другата.

Заклучок 1. Константниот фактор може да се извади од знакот на дериватот:

Заклучок 2. Изводот на производот на неколку диференцијабилни функции е еднаков на збирот на производите на изводот на секој фактор и на сите други.

На пример, за три множители:

Правило 3.Доколку функциите

може да се разликува во одреден момент И , тогаш во овој момент нивниот количник е исто така диференцијабиленu/v и

тие. изводот на количникот на две функции е еднаков на дропка, чиј броител е разликата помеѓу производите на именителот и изводот на броителот и броителот и изводот на именителот, а именителот е квадратот на поранешниот броител.

Каде да барате работи на други страници

При наоѓање на дериват на производ и количник во реални проблеми, секогаш е неопходно да се применат неколку правила за диференцијација одеднаш, така што има повеќе примери за овие деривати во статијата„Дериват на производот и количник на функции“.

Коментар.Не треба да мешате константа (односно бројка) како член во збир и како константен фактор! Во случај на член, неговиот извод е еднаков на нула, а во случај на постојан фактор, тој се вади од знакот на изводите. Ова типична грешка, што се јавува на почетна фазапроучувајќи ги изводите, но додека решаваат неколку едноделни и дводелни примери, просечниот студент повеќе не ја прави оваа грешка.

И ако, кога разликувате производ или количник, имате термин u"v, во која u- број, на пример, 2 или 5, односно константа, тогаш изводот на овој број ќе биде еднаков на нула и, според тоа, целиот член ќе биде еднаков на нула (овој случај се дискутира во примерот 10).

Друго вообичаена грешка- механичко решение на изводот на сложена функција како извод на проста функција. Затоа извод на сложена функцијае посветена посебна статија. Но, прво ќе научиме да наоѓаме деривати на едноставни функции.

На патот, не можете без да ги трансформирате изразите. За да го направите ова, можеби ќе треба да го отворите прирачникот во нови прозорци. Дејства со моќ и корениИ Операции со дропки .

Ако барате решенија за деривати на дропки со сили и корени, односно кога функцијата изгледа како , потоа следете ја лекцијата „Дериват на збирови на дропки со сили и корени“.

Ако имате задача како , потоа ќе ја земете лекцијата „Деривати на едноставни тригонометриски функции“.

Примери чекор-по-чекор - како да се најде изводот

Пример 3.Најдете го изводот на функцијата

Решение. Ги дефинираме деловите на функционалниот израз: целиот израз претставува производ, а неговите фактори се збирови, од кои во вториот еден од поимите содржи константен фактор. Го применуваме правилото за диференцијација на производот: изводот на производот од две функции е еднаков на збирот на производите на секоја од овие функции со изводот на другата:

Следно, го применуваме правилото за диференцијација на збирот: изводот на алгебарскиот збир на функции е еднаков на алгебарскиот збир на изводите на овие функции. Во нашиот случај, во секоја сума вториот член има знак минус. Во секој збир гледаме и независна променлива, чиј извод е еднаков на еден, и константа (број), чиј извод е еднаков на нула. Значи, „Х“ се претвора во едно, а минус 5 се претвора во нула. Во вториот израз, „x“ се множи со 2, па множиме два со иста единица како изводот на „x“. Ги добиваме следните изводни вредности:

Пронајдените деривати ги заменуваме во збир на производи и го добиваме изводот на целата функција што ја бара состојбата на проблемот:

Пример 4.Најдете го изводот на функцијата

Решение. Од нас се бара да го најдеме изводот на количникот. Ја применуваме формулата за диференцијација на количникот: изводот на количникот на две функции е еднаков на дропка, чиј броител е разликата помеѓу производите на именителот и изводот на броителот и броителот и изводот на именителот, а именителот е квадратот на поранешниот броител. Добиваме:

Веќе го најдовме изводот на множителите во броителот во примерот 2. Да не заборавиме и дека производот, кој е втор фактор во броителот во тековниот пример, се зема со знак минус:

Ако барате решенија за проблеми во кои треба да го пронајдете изводот на функцијата, каде што има континуиран куп корени и моќи, како на пример, , тогаш добредојдовте на час „Дериват на збирови на дропки со сили и корени“ .

Ако треба да дознаете повеќе за дериватите на синусите, косинусите, тангентите и другите тригонометриски функции, односно кога функцијата изгледа како , тогаш лекција за вас „Деривати на едноставни тригонометриски функции“ .

Пример 5.Најдете го изводот на функцијата

Решение. Во оваа функција гледаме производ, чиј еден од факторите е квадратниот корен на независната променлива, чиј извод се запознавме во табелата со деривати. Користејќи го правилото за разликување на производот и табеларната вредност на дериватот на квадратниот корен, добиваме:

Пример 6.Најдете го изводот на функцијата

Решение. Во оваа функција гледаме количник чија дивиденда е квадратен корен на независната променлива. Користејќи го правилото за диференцијација на количниците, кое го повторивме и применивме во примерот 4, и табеларната вредност на изводот на квадратниот корен, добиваме:

За да се ослободите од дропка во броителот, помножете ги броителот и именителот со .

На кој ги испитавме наједноставните деривати, а се запознавме и со правилата на диференцијација и некои технички техники за пронаоѓање на деривати. Така, ако не сте многу добри со деривати на функции или некои точки во оваа статија не се целосно јасни, тогаш прво прочитајте ја горната лекција. Ве молам сериозно да се расположите - материјалот не е едноставен, но сепак ќе се обидам да го претставам едноставно и јасно.

Во пракса со дериват комплексна функцијамораш да се соочуваш многу често, дури би рекол, скоро секогаш, кога ти се даваат задачи да најдеш изводи.

Ја гледаме табелата на правилото (бр. 5) за диференцијација на сложена функција:

Ајде да го сфатиме. Пред сè, да обрнеме внимание на записот. Овде имаме две функции - и , а функцијата, фигуративно кажано, е вгнездена во функцијата. Функцијата од овој тип (кога една функција е вгнездена во друга) се нарекува комплексна функција.

Ќе ја повикам функцијата надворешна функција, и функцијата – внатрешна (или вгнездена) функција.

! Овие дефиниции не се теоретски и не треба да се појавуваат во конечниот дизајн на задачите. Аплицирам неформални изрази„надворешна функција“, „внатрешна“ функција само за полесно да го разберете материјалот.

За да ја разјасните ситуацијата, размислете:

Пример 1

Најдете го изводот на функцијата

Под синусот ја немаме само буквата „Х“, туку цел израз, така што наоѓањето на дериватот веднаш од табелата нема да работи. Забележуваме и дека е невозможно да се применат првите четири правила овде, се чини дека има разлика, но факт е дека синусот не може да се „искине на парчиња“:

Во овој пример, веќе интуитивно е јасно од моите објаснувања дека функцијата е сложена функција, а полиномот е внатрешна функција(инвестиција), и – надворешна функција.

Првиот чекорона што треба да го направите кога го наоѓате изводот на сложената функција е да разберете која функција е внатрешна, а која надворешна.

Кога едноставни примериСе чини јасно дека полиномот е вграден под синусот. Но, што ако сè не е очигледно? Како точно да се одреди која функција е надворешна, а која внатрешна? За да го направите ова, предлагам да ја користите следнава техника, која може да се направи ментално или во нацрт.

Да замислиме дека треба да ја пресметаме вредноста на изразот at на калкулатор (наместо еден може да има кој било број).

Што прво ќе пресметаме? Најпрвоќе треба да се направи следната акција: , затоа полиномот ќе биде внатрешна функција:

Второќе треба да се најде, па синус - ќе биде надворешна функција:

Откако ние ПРОДАДЕНОсо внатрешни и надворешни функции, време е да се примени правилото за диференцијација на сложените функции .

Да почнеме да одлучуваме. Од лекцијата Како да се најде дериватот?се сеќаваме дека дизајнот на решение за кој било дериват секогаш започнува вака - го ставаме изразот во загради и ставаме удар горе десно:

Првонајдете го изводот надворешна функција(синус), погледнете ја табелата со изводи на елементарните функции и забележите дека . Сите формули за табели се исто така применливи ако „x“ се замени со сложен израз, во овој случај:

Ве молиме имајте предвид дека внатрешната функција не е променето, не го допираме.

Па, сосема е очигледно дека

Резултатот од примената на формулата во последната форма изгледа вака:

Константниот фактор обично се става на почетокот на изразот:

Доколку дојде до недоразбирање, запишете го решението на хартија и повторно прочитајте ги објаснувањата.

Пример 2

Најдете го изводот на функцијата

Пример 3

Најдете го изводот на функцијата

Како и секогаш, запишуваме:

Ајде да откриеме каде имаме надворешна функција, а каде внатрешна. За да го направите ова, се обидуваме (ментално или во нацрт) да ја пресметаме вредноста на изразот во . Што треба прво да направите? Пред сè, треба да пресметате на што е еднаква основата: затоа, полиномот е внатрешната функција:

И само тогаш се врши степенувањето, затоа, функцијата за моќност е надворешна функција:

Според формулата , прво треба да го пронајдете дериватот на надворешната функција, во овој случај, степенот. Ја бараме потребната формула во табелата: . Повторуваме повторно: секоја табеларна формула е валидна не само за „X“, туку и за сложен израз. Така, резултатот од примената на правилото за диференцирање на сложена функција следно:

Повторно нагласувам дека кога ќе го земеме изводот на надворешната функција, нашата внатрешна функција не се менува:

Сега останува само да се најде многу едноставен дериват на внатрешната функција и малку да се измени резултатот:

Пример 4

Најдете го изводот на функцијата

Ова е пример за да го решите сами (одговорете на крајот од лекцијата).

За да го консолидирам вашето разбирање за изводот на сложена функција, ќе дадам пример без коментари, обидете се сами да го сфатите, причина каде е надворешната, а каде внатрешната функција, зошто задачите се решаваат на овој начин?

Пример 5

а) Најдете го изводот на функцијата

б) Најдете го изводот на функцијата

Пример 6

Најдете го изводот на функцијата

Овде имаме корен, а за да се разликува коренот, тој мора да биде претставен како моќ. Така, прво ја внесуваме функцијата во форма соодветна за диференцијација:

Анализирајќи ја функцијата, доаѓаме до заклучок дека збирот на трите члена е внатрешна функција, а подигањето до моќ е надворешна функција. Го применуваме правилото за диференцијација на сложените функции :

Повторно го претставуваме степенот како радикал (корен), а за изводот на внатрешната функција применуваме едноставно правило за диференцирање на збирот:

Подготвени. Можете исто така да го намалите изразот на заеднички именител во загради и да запишете сè како една дропка. Убаво е, се разбира, но кога ќе добиете незгодни долги деривати, подобро е да не го правите ова (лесно е да се збуните, да направите непотребна грешка и ќе биде незгодно наставникот да провери).

Пример 7

Најдете го изводот на функцијата

Ова е пример за да го решите сами (одговорете на крајот од лекцијата).

Интересно е да се забележи дека понекогаш наместо правилото за диференцијација на сложена функција, можете да го користите правилото за диференцијација на количник , но таквото решение ќе изгледа како необична перверзија. Еве типичен пример:

Пример 8

Најдете го изводот на функцијата

Овде можете да го користите правилото за диференцијација на количникот , но многу поисплатливо е да се најде изводот преку правилото за диференцијација на сложена функција:

Ја подготвуваме функцијата за диференцијација - го поместуваме минусот од дериватниот знак и го креваме косинусот во броителот:

Косинусот е внатрешна функција, степенувањето е надворешна функција.
Да го искористиме нашето правило :

Го наоѓаме дериватот на внатрешната функција и го ресетираме косинусот надолу:

Подготвени. Во разгледаниот пример, важно е да не се мешате во знаците. Патем, обидете се да го решите користејќи го правилото , одговорите мора да се совпаѓаат.

Пример 9

Најдете го изводот на функцијата

Ова е пример за да го решите сами (одговорете на крајот од лекцијата).

Досега разгледавме случаи кога имавме само едно гнездење во сложена функција. Во практичните задачи, често можете да најдете деривати, каде што, како куклите за гнездење, една во друга, 3 или дури 4-5 функции се вгнездени одеднаш.

Пример 10

Најдете го изводот на функцијата

Ајде да ги разбереме прилозите на оваа функција. Ајде да се обидеме да го пресметаме изразот користејќи ја експерименталната вредност. Како би сметале на калкулатор?

Прво треба да го пронајдете, што значи дека лакот е најдлабокото вградување:

Овој лак од еден треба да се квадрира:

И, конечно, креваме седум на моќ:

Односно, во овој пример имаме три различни функции и две вградувања, додека највнатрешната функција е лакот, а најоддалечената функција е експоненцијалната функција.

Да почнеме да одлучуваме

Според правилото Прво треба да го земете дериватот на надворешната функција. Ја гледаме табелата со изводи и го наоѓаме изводот на експоненцијалната функција: Единствената разлика е во тоа што наместо „x“ имаме сложен израз, кој не ја негира валидноста на оваа формула. Значи, резултатот од примената на правилото за диференцијација на сложена функција следно.