Дополнување на моќи со природни експоненти. Својства на степени, формулации, докази, примери

Концептот за степен по математика е воведен во VII одделение на час по алгебра. И последователно, во текот на целиот курс на изучување математика, овој концепт активно се користи во неговите различни форми. Степените се прилично тешка тема, која бара меморирање на вредностите и способност за правилно и брзо броење. За да работат со степени побрзо и подобро, математичарите дошле до својства на степени. Тие помагаат да се намалат големите пресметки, да се претворат огромен пример во еден број до одреден степен. Нема толку многу својства, и сите од нив лесно се паметат и се применуваат во пракса. Затоа, написот ги разгледува основните својства на степенот, како и каде се применуваат.

Својства на степенот

Ќе разгледаме 12 својства на степени, вклучувајќи ги и својствата на степените со по истите основи, и ќе дадеме пример за секој имот. Секое од овие својства ќе ви помогне побрзо да ги решите проблемите со степени, а исто така ќе ве спаси од бројни грешки во пресметката.

1. сопственост.

Многу луѓе често забораваат на ова својство и прават грешки, претставувајќи број со нулта моќ како нула.

2. сопственост.

3. сопственост.

Мора да се запомни дека ова својство може да се користи само при множење броеви; не работи со збир! И не смееме да заборавиме дека ова и следните својства важат само за моќи со исти основи.

4-ти имот.

Ако некој број во именителот се подигне на негативна моќност, тогаш кога се одзема, степенот на именителот се зема во загради за правилно да се промени знакот во понатамошните пресметки.

Имотот работи само при делење, не важи при одземање!

5-ти имот.

6-ти имот.

Ова својство може да се примени и на задната страна. Единица поделена со број до одреден степен е тој број до минус моќ.

7-ми имот.

Ова својство не може да се примени на збир и разлика! Подигнувањето на збир или разлика на моќност користи скратени формули за множење наместо својства на моќност.

8-ми имот.

9-ти имот.

Ова својство работи за која било дробна моќ со броител еднаков на еден, формулата ќе биде иста, само моќта на коренот ќе се менува во зависност од именителот на моќта.

Ова својство често се користи и обратно. Коренот на која било сила на број може да се претстави како овој број до моќта на еден поделен со моќта на коренот. Ова својство е многу корисно во случаи кога коренот на број не може да се извлече.

10-ти имот.

Овој имот работи не само со квадратен корени втор степен. Ако степенот на коренот и степенот до кој е подигнат овој корен се совпаѓаат, тогаш одговорот ќе биде радикален израз.

11-ти имот.

Треба да можете навреме да го видите ова својство кога го решавате за да се спасите од огромните пресметки.

12-ти имот.

Секое од овие својства ќе се сретне повеќе од еднаш во задачите; може да се даде чиста форма, и може да бара некои трансформации и примена на други формули. Затоа за правилна одлукаНе е доволно да ги знаете само својствата; треба да вежбате и да вградите друго математичко знаење.

Примена на степени и нивните својства

Тие активно се користат во алгебрата и геометријата. Степените по математика имаат посебно, важно место. Со нивна помош се решаваат експоненцијални равенки и неравенки, а равенките и примерите поврзани со другите гранки на математиката често се комплицираат со моќи. Моќите помагаат да се избегнат големи и долги пресметки; моќите полесно се скратуваат и пресметуваат. Но за работа со големи дипломи, или со дипломи големи бројки, треба да ги знаете не само својствата на степените, туку и компетентно да работите со бази, да можете да ги разложувате за да си ја олесните задачата. За погодност, треба да го знаете и значењето на броевите подигнати на моќност. Ова ќе ви го намали времето при решавање, елиминирајќи ја потребата од долги пресметки.

Концептот на степен игра посебна улога во логаритмите. Бидејќи логаритмот, во суштина, е моќ на број.

Скратените формули за множење се уште еден пример за употреба на моќи. Својствата на степените не можат да се користат во нив, тие се разложуваат според посебни правила, но секоја скратена формула за множење секогаш содржи степени.

Степените исто така активно се користат во физиката и компјутерските науки. Сите конверзии во системот SI се прават со помош на моќи, а во иднина, при решавање на проблеми, се користат својствата на моќта. Во компјутерската наука, моќите на два активно се користат за практичноста на броењето и поедноставувањето на перцепцијата на броевите. Дополнителни пресметки за конвертирање мерни единици или пресметки на проблеми, исто како и во физиката, се случуваат со користење на својствата на степени.

Степените се исто така многу корисни во астрономијата, каде што ретко се гледа употребата на својствата на степенот, но самите степени активно се користат за скратување на означувањето на различните величини и растојанија.

Степените се користат и во обичен живот, при пресметување области, волумени, растојанија.

Степените се користат за снимање на многу големи и многу мали количини во која било област на науката.

Експоненцијални равенки и неравенки

Својствата на степените заземаат посебно место токму во експоненцијални равенкии нееднаквости. Овие задачи се многу чести, како во училишен курс, и на испити. Сите тие се решаваат со примена на својствата на степенот. Непознатото секогаш се наоѓа во самиот степен, така што познавањето на сите својства, решавањето на таква равенка или нееднаквост не е тешко.

Видео туторијал 2: Степен в природен индикатори неговите својства

Предавање:

Степен со природен индикатор

Под степеннекој број "А"со некој индикатор "n"да го разбере производот на број "А"сам по себе "n"еднаш.

Кога зборуваме за степен со природен експонент, тоа значи дека бројот "n"мора да биде цел број, а не негативен.

А- основата на степенот, која покажува кој број треба да се помножи сам по себе,

n- експонент - кажува колку пати треба да се помножи основата сама по себе.

На пример:

8 4 = 8 * 8 * 8 * 8 = 4096.

Во овој случај, основата на степенот се подразбира дека е бројот „8“, експонентот на степенот е бројот „4“, а вредноста на степенот е бројот „4096“.

Најголемата и најчеста грешка при пресметување на степен е множење на експонентот со основата - ОВА НЕ Е ТОЧНО!

Кога зборуваме за степен со природен експонент, мислиме дека само експонентот (n)тоа треба да биде природен број.

Можете да земете кој било број на бројната линија како основа.

На пример,

(-0,1) 3 = (-0,1) * (-0,1) * (-0,1) = (-0,001).

Математичката операција што се изведува врз основата и експонентот се нарекува степенување.

Собирањето\одземањето е математичка операција од првата фаза, множењето\делењето е дејство од втората фаза, подигањето моќ е математичко дејство од третата фаза, односно едно од највисоките.

Оваа хиерархија на математички операции го одредува редоследот во пресметката. Ако ова дејство се појави во задачи меѓу претходните две, тогаш тоа се прави прво.

На пример:

15 + 6 *2 2 = 39

Во овој пример, прво мора да подигнете 2 на моќност, т.е.

потоа помножете го резултатот со 6, т.е

Моќта со природен експонент се користи не само за специфични пресметки, туку и за практичноста за пишување големи броеви. Во овој случај, се користи и концептот „стандардна форма на број“. Оваа нотација вклучува множење на одреден број од 1 до 9 со моќ еднаква на 10 со одреден експонент.

На пример, за да го снимите радиусот на Земјата во стандардна форма, користете ја следната нотација:

6400000 m = 6,4 * 10 6 m,

а масата на Земјата, на пример, е напишана на следниов начин:

Својства на степенот

За погодност за решавање на примери со степени, треба да ги знаете нивните основни својства:

1. Ако треба да помножите две сили кои имаат иста основа, тогаш во овој случај основата мора да се остави непроменета и да се додадат експонентите.

a n * a m = a n+m

На пример:

5 2 * 5 4 = 5 6 .

2. Ако е потребно да се поделат два степени кои имаат исти основи, тогаш во овој случај основата мора да се остави непроменета и да се одземат експонентите. Имајте предвид дека за операции со моќи со природен експонент, експонентот на дивидендата мора да биде поголем од експонентот на делителот. Во спротивно, количникот на ова дејство ќе биде број со негативен експонент.

a n / a m = a n-m

На пример,

5 4 * 5 2 = 5 2 .

3. Ако е неопходно да се подигне една моќност на друга, истиот број останува основата на резултатот, а експонентите се множат.

(a n) m = a n*m

На пример,

4. Ако е неопходно да се подигне производот на произволни броеви до одредена моќност, тогаш можете да користите одреден дистрибутивен закон, според кој го добиваме производот од различни бази со иста моќност.

(a * b) m = a m * b m

На пример,

(5 * 8) 2 = 5 2 * 8 2 .

5. Слично својство може да се користи за да се подели моќите, со други зборови, да се подигне обичен двојник на моќ.

(a / b) m = a m / b м

6. Секој број што е подигнат на експонент еднаков на еден е еднаков на оригиналниот број.

a 1 = a

На пример,

7. Кога ќе се подигне кој било број на моќност со експонент нула, резултатот од оваа пресметка секогаш ќе биде еден.

и 0 = 1

На пример,

Час на тема: „Правила за множење и делење на силите со исти и различни експоненти. Примери“

Дополнителни материјали
Почитувани корисници, не заборавајте да ги оставите вашите коментари, критики, желби. Сите материјали се проверени со антивирусна програма.

Наставни помагала и симулатори во онлајн продавницата Интеграл за 7 одделение
Прирачник за учебник Ју.Н. Макаричева Прирачник за учебникот од А.Г. Мордкович

Цел на часот: научете да изведувате операции со моќи на броеви.

Прво, да се потсетиме на концептот на „моќта на бројот“. Израз на формата $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ може да се претстави како $a^n$.

Обратно е исто така точно: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Оваа еднаквост се нарекува „запишување на степенот како производ“. Тоа ќе ни помогне да одредиме како да ги множиме и делиме силите.
Запомнете:
а– основата на степенот.
n– експонент.
Ако n=1, што значи бројот Азеде еднаш и соодветно: $a^n= 1$.
Ако n= 0, потоа $a^0= 1$.

Можеме да дознаеме зошто тоа се случува кога ќе се запознаеме со правилата за множење и делење на силите.

Правила за множење

а) Ако се помножат силите со иста основа.
За да добиеме $a^n * a^m$, ги запишуваме степените како производ: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a ) _(m)$.
Сликата покажува дека бројот Аимаат преземено n+mпати, потоа $a^n * a^m = a^(n + m)$.

Пример.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Овој имот е погодно да се користи за да се поедностави работата кога се подига број на поголема моќност.
Пример.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

б) Ако се множат степени со различни основи, но ист експонент.
За да добиеме $a^n * b^n$, ги запишуваме степените како производ: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b ) _(m)$.
Ако ги замениме факторите и ги изброиме добиените парови, добиваме: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Значи $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Пример.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Правила за поделба

а) Основата на степенот е иста, индикаторите се различни.
Размислете за делење моќ со поголем експонент со делење моќ со помал експонент.

Значи, ни треба $\frac(a^n)(a^m)$, Каде n>m.

Да ги запишеме степените како дропка:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

За погодност, поделбата ја пишуваме како едноставна дропка.

Сега да ја намалиме фракцијата.

Излегува: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Средства, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Овој имот ќе помогне да се објасни ситуацијата со подигнување на број на нулта моќност. Да претпоставиме дека n=m, тогаш $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Примери.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

б) Основите на степенот се различни, индикаторите се исти.
Да речеме дека ни треба $\frac(a^n)(b^n)$. Ајде да ги запишеме силите на броевите како дропки:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace(b * b * \ldots * b )_(n))$.

За погодност, ајде да замислиме.

Користејќи го својството на дропки, ја делиме големата дропка на производ на мали, добиваме.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b))_(n)$.
Според тоа: $\frac(a^n)(b^n)=(\frac(a)(b))^n$.

Пример.
$\frac(4^3)(2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

Формулата подолу ќе биде дефиниција степени со природен експонент(a е основата на моќноста и факторот за повторување, а n е експонентот, кој покажува колку пати се повторува факторот):

Овој израз значи дека моќта на бројот a со природен експонент n е производ од n множители, и покрај тоа што секој од факторите е еднаков на a.

17^5=17 \cточка 17 \cточка 17 \cточка 17 \cточка 17=1\,419\,857

17 - основен степен,

5 - експонент,

1419857 — вредност на степенот.

Моќта со експонент нула е еднаква на 1, под услов a\neq 0:

a^0=1.

На пример: 2^0=1

Кога да се запише голем бројобично се користат моќи од 10.

На пример, еден од најстарите диносауруси на Земјата живеел пред околу 280 милиони години. Неговата возраст е напишана на следниов начин: 2,8 \cdot 10^8 .

Секој број поголем од 10 може да се запише како \cdot 10^n, под услов 1< a < 10 и n является положительным целым числом . Такую запись называют стандардна форма на број.

Примери за такви броеви: 6978=6,978 \cточка 10^3, 569000=5,69 \cточка 10^5.

Можете да кажете и „а до n-та сила“ и „n-та сила на бројот а“ и „а до n-тата сила“.

4^5 - „четири на моќ од 5“ или „4 до петта сила“ или можете исто така да кажете „петта сила од 4“

Во овој пример, 4 е основа, а 5 е експонент.

Сега да дадеме пример со дропки и негативни броеви. За да се избегне забуна, вообичаено е да се пишуваат други основи од природните броеви во загради:

(7,38)^2 , \лево(\frac 12 \десно)^7, (-1)^4, итн.

Забележете ја и разликата:

(-5)^6 - значи моќност на негативен број −5 со природен експонент 6.

5^6 - одговара на спротивниот број 5^6.

Својства на степени со природен експонент

Основно својство на степенот

a^n \cdot a^k = a^(n+k)

Основата останува иста, но експонентите се додаваат.

На пример: 2^3 \cdot 2^2 = 2^(3+2)=2^5

Својство на колични сили со исти основи

a^n: a^k=a^(n-k), ако n > k .

Експонентите се одземаат, но основата останува иста.

Ова ограничување n > k е воведено за да не се оди подалеку од природните експоненти. Навистина, за n > k експонентот a^(n-k) ќе биде природен број, во спротивно ќе биде или негативен број (k< n ), либо нулем (k-n ).

На пример: 2^3: 2^2 = 2^(3-2)=2^1

Својство на подигање на моќ на моќ

(a^n)^k=a^(nk)

Основата останува иста, само експонентите се множат.

На пример: (2^3)^6 = 2^(3 \cточка 6)=2^(18)

Својство на експоненција на производ

Секој фактор е подигнат до моќноста n.

a^n \cdot b^n = (ab)^n

На пример: 2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3=6^3

Својство на степенување на дропка

\frac(a^n)(b^n)=\left(\frac(a)(b) \десно) ^n, b \neq 0

И броителот и именителот на дропка се подигнат на моќност. \left(\frac(2)(5) \десно)^3=\frac(2^3)(5^3)=\frac(8)(125)

Откако ќе се утврди моќноста на некој број, логично е да се зборува степен својства. Во оваа статија ќе ги дадеме основните својства на моќта на бројот, додека допираме сè можни индикатористепени. Овде ќе обезбедиме докази за сите својства на степените, а исто така ќе покажеме како овие својства се користат при решавање на примери.

Навигација на страницата.

Својства на степени со природни експоненти

По дефиниција за моќност со природен експонент, моќноста a n е производ од n фактори, од кои секој е еднаков на a. Врз основа на оваа дефиниција, а исто така и користење својства на множење на реални броеви, можеме да го добиеме и оправдаме следново својства на степен со природен експонент:

1. главното својство на степенот a m ·a n =a m+n, неговата генерализација;
2. својство на колични сили со идентични основи a m:a n =a m−n ;
3. Својството на моќноста на производот (a·b) n =a n ·b n , неговото проширување;
4. својство на количникот на природен степен (a:b) n =a n:b n ;
5. подигање на степен до моќ (a m) n =a m·n, негова генерализација ((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
6. споредба на степенот со нула:
   • ако a>0, тогаш a n>0 за кој било природен број n;
   • ако a=0, тогаш a n =0;
   • ако<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 ако а<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
7. ако a и b се позитивни броеви и a
8. ако m и n се природни броеви такви што m>n , тогаш на 0 0 неравенството a m >a n е точно.

Веднаш да забележиме дека сите напишани еднаквости се идентичниво согласност со наведените услови, и нивниот десен и лев дел може да се заменат. На пример, главното својство на дропката a m ·a n =a m+n со поедноставување на изразичесто се користи во форма a m+n =a m ·a n .

Сега да го разгледаме секој од нив во детали.

Да почнеме со својството на производот на две сили со исти основи, кое се нарекува главното својство на степенот: за кој било реален број a и сите природни броеви m и n, вистинита е еднаквоста a m ·a n =a m+n.

Дозволете ни да го докажеме главното својство на степенот. Според дефиницијата за моќност со природен експонент, производот на силите со исти основи од формата a m ·a n може да се запише како производ. Поради својствата на множење, добиениот израз може да се напише како , и овој производ е моќност на бројот a со природен експонент m+n, односно m+n. Ова го комплетира доказот.

Дозволете ни да дадеме пример кој го потврдува главното својство на степенот. Да земеме степени со исти основи 2 и природни сили 2 и 3, користејќи го основното својство на степени можеме да го запишеме еднаквоста 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Ајде да ја провериме неговата валидност со пресметување на вредностите на изразите 2 2 · 2 3 и 2 5. Вршење на степенување, имаме 2 2 · 2 3 = (2 · 2) · (2 ​​· 2 · 2) = 4 · 8 = 32и 2 5 =2·2·2·2·2=32, бидејќи се добиваат еднакви вредности, тогаш еднаквоста 2 2 ·2 3 =2 5 е точна и го потврдува главното својство на степенот.

Основното својство на степенот, врз основа на својствата на множење, може да се генерализира на производ од три или повеќе сили со исти основи и природни експоненти. Значи, за кој било број k на природни броеви n 1, n 2, ..., n k следнава еднаквост е точно: a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

На пример, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Можеме да преминеме на следното својство на моќите со природен експонент - својство на колични сили со исти основи: за секој ненулти реален број a и произволни природни броеви m и n кои го задоволуваат условот m>n, вистинита е еднаквоста a m:a n =a m−n.

Пред да го претставиме доказот за ова својство, да разговараме за значењето на дополнителните услови во формулацијата. Условот a≠0 е неопходен за да се избегне делење со нула, бидејќи 0 n =0, а кога се запознавме со делењето, се договоривме дека не можеме да делиме со нула. Условот m>n се воведува за да не одиме подалеку од природните експоненти. Навистина, за m>n експонентот m−n е природен број, инаку ќе биде или нула (што се случува за m−n ) или негативен број (што се случува за m

Доказ. Главното својство на дропка ни овозможува да ја запишеме еднаквоста a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. Од добиената еднаквост a m−n ·a n =a m и следува дека m−n е количник од моќите a m и a n . Ова го докажува својството на колични сили со идентични основи.

Да дадеме пример. Да земеме два степени со исти основи π и природни експоненти 5 и 2, еднаквоста π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 одговара на разгледуваното својство на степенот.

Сега да размислиме имотот на моќноста на производот: природната моќност n на производот на кои било два реални броја a и b е еднаква на производот на силите a n и b n , односно (a·b) n =a n ·b n .

Навистина, според дефиницијата за степен со природен експонент имаме . Врз основа на својствата на множење, последниот производ може да се препише како , што е еднакво на a n · b n .

Еве еден пример: .

Ова својство се протега на моќта на производот од три или повеќе фактори. Односно, својството на природен степен n од производот на k фактори се запишува како (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n.

За јасност, ќе го прикажеме ова својство со пример. За производ од три множители со моќност од 7 имаме .

Следното својство е својство на количник во натура: количникот на реалните броеви a и b, b≠0 на природната моќност n е еднаков на количникот на силите a n и b n, односно (a:b) n =a n:b n.

Доказот може да се изврши со користење на претходниот имот. Значи (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, а од еднаквоста (a:b) n ·b n =a n следува дека (a:b) n е количник на a n поделен со b n .

Ајде да го напишеме ова својство користејќи специфични броеви како пример: .

Сега да го искажеме својство на подигање моќ на моќ: за кој било реален број a и сите природни броеви m и n, моќта на a m на моќта од n е еднаква на моќноста на бројот a со експонент m·n, односно (a m) n =a m·n.

На пример, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.

Доказот за својството од моќ до степен е следниот синџир на еднаквости: .

Разгледуваниот имот може да се прошири од степен до степен до степен, итн. На пример, за сите природни броеви p, q, r и s, еднаквоста . За поголема јасност, еве пример со конкретни бројки: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Останува да се задржиме на својствата на споредување степени со природен експонент.

Да почнеме со докажување на својството на споредување на нула и моќност со природен експонент.

Прво, да докажеме дека a n >0 за било кое a>0.

Производот на два позитивни броја е позитивен број, како што следува од дефиницијата за множење. Овој факт и својствата на множењето сугерираат дека резултатот од множење на кој било број позитивни броеви исто така ќе биде позитивен број. А моќта на бројот a со природен експонент n, по дефиниција, е производ од n множители, од кои секој е еднаков на a. Овие аргументи ни овозможуваат да тврдиме дека за која било позитивна основа a, степенот a n е позитивен број. Поради докажаното својство 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 и .

Сосема е очигледно дека за кој било природен број n со a=0 степенот на a n е нула. Навистина, 0 n =0·0·…·0=0 . На пример, 0 3 = 0 и 0 762 = 0.

Да преминеме на негативни основи на степен.

Да почнеме со случајот кога експонентот е парен број, да го означиме како 2·m, каде што m е природен број. Потоа . За секој од производите од формата a·a е еднаков на производот од модулите на броевите a и a, што значи дека е позитивен број. Затоа, производот исто така ќе биде позитивен и степен a 2·m. Да дадеме примери: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 и .

Конечно, кога основата a е негативен број, а експонентот е непарен број 2 m−1, тогаш . Сите производи a·a се позитивни броеви, производот од овие позитивни броеви е исто така позитивен, а неговото множење со преостанатите негативен број a резултира со негативен број. Поради ова својство (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Да преминеме на својството на споредување на моќи со исти природни експоненти, кое ја има следната формулација: од две сили со исти природни експоненти, n е помал од оној чија основа е помала, а поголема е онаа чија основа е поголема. . Да го докажеме тоа.

Неравенство a n својства на неравенкивистинита е и докажлива неравенка од формата a n .

Останува да се докаже последното од наведените својства на моќите со природни експоненти. Ајде да го формулираме. Од две сили со природни експоненти и идентични позитивни основи помали од еден, оној чијшто експонент е помал е поголем; а од две сили со природни експоненти и идентични основи поголеми од еден, поголем е оној чијшто експонент е поголем. Да продолжиме со докажувањето на овој имот.

Да докажеме дека за m>n и 0 0 поради почетната состојба m>n, што значи дека на 0

Останува да се докаже вториот дел од имотот. Да докажеме дека за m>n и a>1 a m >a n е точно. Разликата a m −a n по вадењето на n од заградите добива форма a n ·(a m−n −1) . Овој производ е позитивен, бидејќи за a>1 степенот a n е позитивен број, а разликата a m−n −1 е позитивен број, бидејќи m−n>0 поради почетната состојба, а за a>1 степенот a m−n е поголем од еден . Следствено, a m −a n >0 и a m >a n , што требаше да се докаже. Ова својство е илустрирано со неравенката 3 7 >3 2.

Својства на моќи со цели броеви експоненти

Бидејќи позитивните цели броеви се природни броеви, тогаш сите својства на силите со позитивни цели броеви точно се совпаѓаат со својствата на силите со природни експоненти наведени и докажани во претходниот став.

Дефиниравме степен со цел број негативен експонент, како и степен со нулта експонент, на тој начин што сите својства на степените со природни експоненти, изразени со еднаквости, останаа валидни. Според тоа, сите овие својства важат и за нула експоненти и за негативни експоненти, додека, се разбира, основите на моќите се различни од нула.

Значи, за сите реални и ненула броеви a и b, како и за сите цели броеви m и n, следново е точно: својства на моќи со целобројни експоненти:

1. a m ·a n =a m+n ;
2. a m:a n =a m−n ;
3. (a·b) n =a n ·b n ;
4. (a:b) n =a n:b n ;
5. (a m) n =a m·n ;
6. ако n е позитивен цел број, a и b се позитивни броеви, а a b−n ;
7. ако m и n се цели броеви, и m>n , тогаш на 0 1 важи неравенството a m >a n.

Кога a=0, моќите a m и a n имаат смисла само кога и m и n се позитивни цели броеви, односно природни броеви. Така, својствата штотуку напишани важат и за случаите кога a=0, а броевите m и n се позитивни цели броеви.

Докажувањето на секое од овие својства не е тешко; за да го направите ова, доволно е да се користат дефинициите за степени со природни и цели броеви експоненти, како и својствата на операциите со реални броеви. Како пример, да докажеме дека својството power-to-power важи и за позитивни цели и за непозитивни цели броеви. За да го направите ова, треба да покажете дека ако p е нула или природен број и q е нула или природен број, тогаш равенствата (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) и (a −p) −q =a (−p)·(−q). Ајде да го направиме тоа.

За позитивните p и q, еднаквоста (a p) q =a p·q беше докажана во претходниот став. Ако p=0, тогаш имаме (a 0) q =1 q =1 и a 0·q =a 0 =1, од каде (a 0) q =a 0·q. Слично, ако q=0, тогаш (a p) 0 =1 и a p·0 =a 0 =1, од каде (a p) 0 =a p·0. Ако и p=0 и q=0, тогаш (a 0) 0 =1 0 =1 и a 0·0 =a 0 =1, од каде (a 0) 0 =a 0·0.

Сега докажуваме дека (a −p) q =a (−p)·q . По дефиниција на моќ со негативен цел број експонент, тогаш . По својството на количници на моќи имаме . Бидејќи 1 p =1·1·…·1=1 и , тогаш . Последниот израз, по дефиниција, е моќ од формата a −(p·q), која, поради правилата за множење, може да се запише како (−p)·q.

Исто така .

И .

Користејќи го истиот принцип, можете да ги докажете сите други својства на степен со цел број експонент, запишан во форма на еднаквости.

Во претпоследната од евидентираните својства, вреди да се задржиме на доказот за неравенството a −n >b −n, кој важи за секој негативен цел број −n и секој позитивен a и b за кој условот a е исполнет. . Бидејќи по услов а 0 . Производот a n · b n е исто така позитивен како производ на позитивните броеви a n и b n . Тогаш добиената дропка е позитивна како количник на позитивните броеви b n −a n и a n ·b n . Затоа, од каде a −n >b −n , што требаше да се докаже.

Последното својство на силите со целобројни експоненти се докажува на ист начин како слично својство на силите со природни експоненти.

Својства на моќи со рационални експоненти

Дефиниравме степен со фракционо експонент со проширување на својствата на степен со цел број експонент кон него. Со други зборови, моќите со фракциони експоненти ги имаат истите својства како и моќите со целобројни експоненти. Имено:

Доказот за својствата на степените со дробни експоненти се заснова на дефиницијата на степен со фракционо експонент, а на својствата на степен со целоброен експонент. Дозволете ни да обезбедиме докази.

По дефиниција за моќност со дробен експонент и , тогаш . Својствата на аритметичкиот корен ни овозможуваат да ги напишеме следните еднаквости. Понатаму, користејќи го својството на степен со цел број експонент, добиваме , од кое, со дефиниција за степен со фракционо експонент, имаме , а индикаторот за добиениот степен може да се трансформира на следниот начин: . Ова го комплетира доказот.

Апсолутно сличен начин се докажува второто својство на силите со фракциони експоненти:

Останатите еднаквости се докажуваат со користење на слични принципи:

Ајде да продолжиме со докажување на следниот имот. Да докажеме дека за секое позитивно a и b, a б стр. Да го запишеме рационалниот број p како m/n, каде што m е цел број, а n е природен број. Услови стр<0 и p>0 во овој случај условите m<0 и m>0 соодветно. За m>0 и a

Слично на тоа, за м<0 имеем a m >b m , од каде што е, и a p >b p .

Останува да се докаже последното од наведените својства. Да докажеме дека за рационални броеви p и q, p>q на 0 0 – неравенство a p >a q . Секогаш можеме да ги намалиме рационалните броеви p и q на заеднички именител, дури и ако ги добиеме обичните дропки и , каде m 1 и m 2 се цели броеви, а n е природен број. Во овој случај, условот p>q ќе одговара на условот m 1 >m 2, што следи од. Потоа, со својството да се споредуваат моќи со исти основи и природни експоненти на 0 1 – неравенство a m 1 >a m 2 . Овие нееднаквости во својствата на корените може соодветно да се препишат како И . А дефиницијата за степен со рационален експонент ни овозможува да преминеме на нееднаквости и соодветно. Од тука го извлекуваме конечниот заклучок: за p>q и 0 0 – неравенство a p >a q .

Својства на моќи со ирационални експоненти

Од начинот на кој е дефиниран степенот со ирационален експонент, можеме да заклучиме дека тој ги има сите својства на степени со рационални експоненти. Значи, за кој било a>0, b>0 и ирационални броеви p и q следниве се вистинити својства на моќи со ирационални експоненти:

1. a p ·a q =a p+q ;
2. a p:a q =a p−q ;
3. (a·b) p =a p ·b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q =a p·q ;
6. за сите позитивни броеви a и b, a 0 неравенството a стр b p ;
7. за ирационални броеви p и q, p>q на 0 0 – неравенство a p >a q .

Од ова можеме да заклучиме дека моќите со кои било реални експоненти p и q за a>0 имаат исти својства.

Библиографија.

• Виленкин Н.Ја., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Учебник по математика за 5 одделение. генерално образовните институции.
• Макаричев Ју.Н., Миндјук Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за VII одделение. образовните институции.
• Макаричев Ју.Н., Миндјук Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 8 одделение. образовните институции.
• Макаричев Ју.Н., Миндјук Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 9 одделение. образовните институции.
• Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницин Ју.П. и други.Алгебра и почетоците на анализа: Учебник за 10 - 11 одделение на општообразовните установи.
• Гушев В.А., Мордкович А.Г. Математика (прирачник за оние кои влегуваат во техничките училишта).