Собирање, одземање, множење и делење на силите. Како да подигнете број на негативна моќност - примери со описи во Excel

Изградба во негативен степен– еден од основните елементи на математиката, кој често се среќава при решавање на алгебарски задачи. Подолу се детални инструкции.

Како да се подигне на негативна моќ - теорија

Кога ќе подигнеме број на обична јачина, ја множиме неговата вредност неколку пати. На пример, 3 3 = 3×3×3 = 27. Со негативна дропка спротивното е точно. Општата форма на формулата ќе биде како што следува: a -n = 1/a n. Така, за да се подигне број на негативна моќност, треба да се подели еден со дадениот број, но со позитивна моќност.

Како да се подигне до негативна моќност - примери на обични броеви

Имајќи го предвид горенаведеното правило, да решиме неколку примери.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Одговор: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Одговор -4 -2 = 1/16.

Но, зошто одговорите во првиот и вториот пример се исти? Факт е дека кога негативен број е подигнат на парна моќност (2, 4, 6, итн.), знакот станува позитивен. Ако степенот беше рамномерен, тогаш минусот ќе останеше:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Како да ги подигнете броевите од 0 на 1 на негативна моќност

Потсетете се дека кога број помеѓу 0 и 1 се подига на позитивна моќност, вредноста се намалува како што се зголемува моќноста. Така на пример, 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Пример 3: Пресметај 0,5 -2
Решение: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Одговор: 0,5 -2 = 4

Анализа (низа на дејства):

• Претворете ја децималната дропка 0,5 во дробната дропка 1/2. Така е полесно.
  Подигнете 1/2 на негативна моќност. 1/(2) -2. Поделете 1 со 1/(2) 2, добиваме 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Пример 4: Пресметај 0,5 -3
Решение: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Пример 5: Пресметај -0,5 -3
Решение: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Одговор: -0,5 -3 = -8

Врз основа на 4-тиот и 5-тиот пример, можеме да извлечеме неколку заклучоци:

• За позитивен број во опсег од 0 до 1 (пример 4), подигнат на негативна моќност, без разлика дали моќта е парна или непарна не е важна, вредноста на изразот ќе биде позитивна. Покрај тоа, колку е поголем степенот, толку е поголема вредноста.
• За негативен број во опсег од 0 до 1 (пример 5), подигнат до негативна моќност, без разлика дали моќноста е парна или непарна не е важна, вредноста на изразот ќе биде негативна. Во овој случај, колку е поголем степенот, толку е помала вредноста.

Како да се подигне до негативна моќност - моќност во форма на фракционен број

Изразите од овој тип ја имаат следната форма: a -m/n, каде што a е правилен број, m е броител на степенот, n е именителот на степенот.

Ајде да погледнеме на пример:
Пресметај: 8 -1/3

Решение (низа на дејства):

• Да се ​​потсетиме на правилото за подигање на број до негативна моќност. Добиваме: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• Забележете дека именителот го има бројот 8 во дробна моќност. Општата форма на пресметување на фракционата моќност е следна: a m/n = n √8 m.
• Така, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Добиваме коцка коренод осум, што е еднакво на 2. Оттука, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Одговор: 8 -1/3 = 2

Моќта се користи за да се поедностави операцијата за множење број сам по себе. На пример, наместо да пишувате, можете да пишувате 4 5 (\displaystyle 4^(5))(објаснување за оваа транзиција е дадено во првиот дел од овој член). Степените го олеснуваат пишувањето долги или сложени изрази или равенки; моќите исто така лесно се собираат и одземаат, што резултира со поедноставен израз или равенка (на пример, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Забелешка:ако треба да одлучите експоненцијална равенка(во таква равенка непознатата е во експонентот), прочитајте.

Чекори

Решавање едноставни проблеми со степени

Помножете ја основата на експонентот со себе неколку пати еднаков на експонентот.Ако треба рачно да решите проблем со моќноста, препишете ја моќноста како операција за множење, каде што основата на моќноста се множи сама по себе. На пример, дадена диплома 3 4 (\displaystyle 3^(4)). Во овој случај, основата на моќноста 3 мора да се помножи со себе 4 пати: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Еве други примери:

Прво, помножете ги првите два броја.На пример, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\приказ стил 4*4*4*4*4). Не грижете се - процесот на пресметка не е толку комплициран како што изгледа на прв поглед. Прво помножете ги првите две четири, а потоа заменете ги со резултатот. Како ова:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Помножете го резултатот (16 во нашиот пример) со следниот број.Секој следен резултат ќе се зголемува пропорционално. Во нашиот пример, помножете 16 со 4. Вака:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Продолжете со множење на резултатот од првите два броја со следниот број додека не го добиете конечниот одговор. За да го направите ова, помножете ги првите два броја, а потоа помножете го добиениот резултат со следниот број во низата. Овој метод важи за кој било степен. Во нашиот пример треба да добиете: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Решете ги следните проблеми.Проверете го вашиот одговор користејќи калкулатор.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. На вашиот калкулатор, побарајте го клучот со ознака „exp“ или „ x n (\displaystyle x^(n))", или "^".Користејќи го овој клуч, ќе подигнете број на моќност. Речиси е невозможно рачно да се пресмета степенот со голем индикатор (на пример, степенот 9 15 (\displaystyle 9^(15))), но калкулаторот лесно може да се справи со оваа задача. Во Windows 7, стандардниот калкулатор може да се префрли во инженерски режим; За да го направите ова, кликнете на „Прикажи“ -> „Инженерство“. За да се префрлите во нормален режим, кликнете „Прикажи“ -> „Нормално“.

   • Проверете го одговорот што го добивте користејќи пребарувач (Google или Yandex). Користејќи го копчето „^“ на тастатурата на вашиот компјутер, внесете го изразот во пребарувачот, кој веднаш ќе го прикаже точниот одговор (и можеби ќе ви предложи слични изрази за проучување).

   Собирање, одземање, множење на силите

   1. Можете да собирате и одземате степени само ако тие имаат исти основи.Ако треба да додадете степени со по истите основии експоненти, тогаш операцијата за собирање можете да ја замените со операцијата за множење. На пример, со оглед на изразот 4 5 + 4 5 (\стил на приказ 4^(5)+4^(5)). Запомнете дека степенот 4 5 (\displaystyle 4^(5))може да се претстави во форма 1 ∗ 4 5 (\приказ стил 1*4^(5)); Така, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\приказ на стил 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(каде 1 +1 =2). Односно, брои го бројот на слични степени, а потоа помножи го тој степен и овој број. Во нашиот пример, подигнете го 4 на петтата моќност, а потоа помножете го добиениот резултат со 2. Запомнете дека операцијата за собирање може да се замени со операцијата за множење, на пример, 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\приказ стил 3+3=2*3). Еве други примери:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\приказ стил 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\приказ на стил 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\приказ стил 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. Кога се множат силите со иста основа, се додаваат нивните експоненти (основата не се менува).На пример, со оглед на изразот x 2 ∗ x 5 (\приказ на стил x^(2)*x^(5)). Во овој случај, само треба да ги додадете индикаторите, оставајќи ја основата непроменета. Така, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\приказ на стил x^(2)*x^(5)=x^(7)). Еве визуелно објаснување на ова правило:

      При подигање на моќност на моќност, експонентите се множат.На пример, се дава диплома. Бидејќи експонентите се множат, тогаш (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\стил на приказ (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Поентата на ова правило е дека се множите со моќи (x 2) (\displaystyle (x^(2)))на себе пет пати. Како ова:

      • (x 2) 5 (\приказ стил (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\приказ на стил (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Бидејќи основата е иста, експонентите едноставно се собираат: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\приказ (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Моќта со негативен експонент треба да се претвори во дропка (обратна моќност).Не е важно ако не знаеш што е реципрочна диплома. Ако ви е даден степен со негативен експонент, на пр. 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), запишете го овој степен во именителот на дропката (ставете 1 во броителот) и направете го експонентот позитивен. Во нашиот пример: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Еве други примери:

      Кога се делат степени со иста основа, нивните експоненти се одземаат (основата не се менува).Операцијата на делење е спротивна на операцијата за множење. На пример, со оглед на изразот 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Одземете го експонентот во именителот од експонентот во броителот (не ја менувајте основата). Така, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • Моќта во именителот може да се запише на следниов начин: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). Запомнете дека дропка е број (моќ, израз) со негативен експонент.

   4. Подолу се дадени неколку изрази кои ќе ви помогнат да научите да решавате проблеми со експоненти.Дадените изрази го опфаќаат материјалот претставен во овој дел. За да го видите одговорот, едноставно изберете го празното место по знакот за еднаквост.

   Решавање задачи со дробни експоненти

   Моќта со фракционо експонент (на пример, ) се претвора во операција на коренот.Во нашиот пример: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x (\displaystyle (\sqrt (x))). Овде не е важно кој број е во именителот на дробниот експонент. На пример, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))- е четвртиот корен од „x“, т.е x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. Ако експонентот е неправилна дропка, тогаш таков степен може да се разложи на два степени за да се поедностави решението на проблемот. Нема ништо комплицирано во ова - само запомнете го правилото за множење на силите. На пример, се дава диплома. Претворете ја таквата моќност во корен чија моќност е еднаква на именителот на дробниот показател, а потоа подигнете го овој корен на моќност еднаква на броителот на дробниот показател. За да го направите ова, запомнете го тоа 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). Во нашиот пример:

      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   2. Некои калкулатори имаат копче за пресметување на експоненти (прво мора да ја внесете основата, потоа да го притиснете копчето и потоа да го внесете експонентот). Се означува како ^ или x^y.
   3. Запомнете дека секој број со првата моќност е еднаков на себе, на пример, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.)Згора на тоа, секој број помножен или поделен со еден е еднаков на самиот себе, на пр. 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5)И 5 / 1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
   4. Знајте дека моќноста 0 0 не постои (таква моќност нема решение). Ако се обидете да решите таков степен на калкулатор или на компјутер, ќе добиете грешка. Но запомнете дека секој број со нулта моќност е 1, на пример, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
   5. Во вишата математика, која работи со имагинарни броеви: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), Каде i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e е константа приближно еднаква на 2,7; a е произволна константа. Доказот за оваа еднаквост може да се најде во секој учебник по виша математика.

   Предупредувања

   • Како што се зголемува експонентот, неговата вредност значително се зголемува. Значи, ако одговорот ви изгледа погрешен, тој всушност е точен. Можете да го тестирате ова со исцртување на која било експоненцијална функција, како што е 2 x.

Во овој материјал ќе погледнеме што е моќ на број. Покрај основните дефиниции, ќе формулираме кои се моќи со природни, целобројни, рационални и ирационални експоненти. Како и секогаш, сите концепти ќе бидат илустрирани со примери на проблеми.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Прво ја формулираме основната дефиниција за степенот в природен индикатор. За да го направите ова, треба да ги запомниме основните правила на множење. Однапред да разјасниме дека за сега ќе земеме реален број како основа (означен со буквата а), а природен број како индикатор (означен со буквата n).

Дефиниција 1

Моќта на бројот a со природен експонент n е производ на n-тиот број на фактори, од кои секој е еднаков на бројот a. Степенот е напишан вака: a n, а во форма на формула неговиот состав може да се претстави на следниов начин:

На пример, ако експонентот е 1, а основата е a, тогаш првата моќност на a се запишува како а 1. Со оглед на тоа што a е вредноста на факторот, а 1 е бројот на фактори, можеме да заклучиме дека a 1 = a.

Во принцип, можеме да кажеме дека диплома е погодна формарекорди големо количествоеднакви фактори. Значи, запис на формата 8 8 8 8може да се скрати на 8 4 . На ист начин, едно дело ни помага да избегнеме снимање голем бројтермини (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4); веќе разговаравме за ова во написот за множење природни броеви.

Како правилно да го прочитате записот за диплома? Општо прифатената опција е „а до јачината на n“. Или можете да кажете „n-та сила на a“ или „anth моќта“. Ако, да речеме, во примерот наидовме на записот 8 12 , можеме да прочитаме „8 до 12-ти степен“, „8 до сила од 12“ или „12-ти степен од 8“.

Втората и третата сила на броевите имаат свои воспоставени имиња: квадрат и коцка. Ако ја видиме втората моќност, на пример, бројот 7 (7 2), тогаш можеме да кажеме „7 квадрат“ или „квадрат од бројот 7“. Слично на тоа, третиот степен се чита вака: 5 3 - ова е „коцка од бројот 5“ или „5 коцки“. Сепак, можете да ја користите и стандардната формулација „до втора/трета сила“; ова нема да биде грешка.

Пример 1

Ајде да погледнеме пример за степен со природен експонент: за 5 7 пет ќе биде основата, а седум ќе биде експонент.

Основата не мора да биде цел број: за степенот (4 , 32) 9 основата ќе биде дропот 4, 32, а експонентот ќе биде девет. Обрнете внимание на заградите: оваа ознака е направена за сите сили чии основи се разликуваат од природните броеви.

На пример: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

За што служат заградите? Тие помагаат да се избегнат грешките во пресметките. Да речеме дека имаме два записи: (− 2) 3 И − 2 3 . Првиот од нив значи негативен број минус два подигнат до моќ со природен експонент три; вториот е бројот што одговара на спротивната вредност на степенот 2 3 .

Понекогаш во книгите можете да најдете малку поинаков правопис на моќта на бројот - a^n(каде што a е основа, а n е експонент). Тоа е, 4^9 е исто како 4 9 . Во случајот n е повеќецифрен број, се зема во загради. На пример, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Но, ние ќе ја користиме ознаката a nкако почести.

Лесно е да се погоди како да се пресмета вредноста на експонент со природен експонент од неговата дефиниција: само треба да помножите n-ти број пати. Напишавме повеќе за ова во друга статија.

Концептот на степен е обратен на друг математички концепт- коренот на бројот. Ако ја знаеме вредноста на моќноста и експонентот, можеме да ја пресметаме неговата основа. Степенот има некои специфични својства кои се корисни за решавање проблеми, за кои разговаравме во посебен материјал.

Експонентите можат да вклучуваат не само природни броеви, туку и сите цели броеви воопшто, вклучително и негативни и нули, бидејќи тие исто така припаѓаат на множеството цели броеви.

Дефиниција 2

Моќта на број со позитивен цел број експонент може да се претстави како формула: .

Во овој случај, n е кој било позитивен цел број.

Ајде да го разбереме концептот на нула степен. За да го направиме ова, користиме пристап кој го зема предвид својството количник за моќи со подеднакво. Формулиран е вака:

Дефиниција 3

Еднаквост a m: a n = a m − nќе биде точно под следните услови: m и n се природни броеви, m< n , a ≠ 0 .

Последниот услов е важен бидејќи избегнува делење со нула. Ако вредностите на m и n се еднакви, тогаш го добиваме следниот резултат: a n: a n = a n − n = a 0

Но, во исто време a n: a n = 1 е количник еднакви броеви a nи а. Излегува дека нултата моќност на кој било број што не е нула е еднаква на еден.

Сепак, таквиот доказ не важи за нула до нулта моќност. За да го направите ова, ни треба уште едно својство на моќта - својство на производи на моќи со еднакви основи. Изгледа вака: a m · a n = a m + n .

Ако n е еднакво на 0, тогаш a m · a 0 = a m(ова еднаквост ни го докажува и тоа а 0 = 1). Но, ако и е исто така еднакво на нула, нашата еднаквост добива форма 0 m · 0 0 = 0 m, Тоа ќе биде точно за секоја природна вредност на n, и не е важно колку точно вредноста на степенот е еднаква на 0 0 , односно може да биде еднаков на кој било број, а тоа нема да влијае на точноста на еднаквоста. Затоа, нотација на формата 0 0 нема свое посебно значење и нема да му го припишеме.

Ако сакате, лесно е да се провери тоа а 0 = 1конвергира со својството степен (a m) n = a m nпод услов основата на степенот да не е нула. Така, моќта на кој било ненулта број со експонент нула е еден.

Пример 2

Ајде да погледнеме пример со конкретни бројки: Значи, 5 0 - единица, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , и вредноста 0 0 недефинирано.

По нултата степен, само треба да откриеме што е негативен степен. За да го направите ова, ни треба истото својство на производот на моќи со еднакви основи што веќе ги користевме погоре: a m · a n = a m + n.

Да го воведеме условот: m = − n, тогаш a не треба да биде еднаков на нула. Го следи тоа a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1. Излегува дека n и a−nимаме меѓусебни реципрочни броеви.

Како резултат на тоа, a до негативната цела моќност не е ништо повеќе од дропот 1 a n.

Оваа формулација потврдува дека за степен со цел број негативен експонент важат сите исти својства што ги има степенот со природен експонент (под услов основата да не е еднаква на нула).

Пример 3

Моќта a со негативен цел број експонент n може да се претстави како дропка 1 a n . Така, a - n = 1 a n предмет на a ≠ 0а n е секој природен број.

Дозволете ни да ја илустрираме нашата идеја со конкретни примери:

Пример 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

Во последниот дел од параграфот, ќе се обидеме да прикажеме сè што е јасно кажано во една формула:

Дефиниција 4

Моќта на број со природен експонент z е: a z = a z, e со l и z - позитивен цел број 1, z = 0 и a ≠ 0, (за z = 0 и a = 0 резултатот е 0 0, вредностите на изразот 0 0 не се дефинирани) 1 a z, ако и z е негативен цел број и a ≠ 0 (ако z е негативен цел број и a = 0 добивате 0 z, egoz вредноста е неодредена)

Што се моќи со рационален експонент?

Испитавме случаи кога експонентот содржи цел број. Сепак, можете да подигнете број на моќ дури и кога неговиот експонент содржи дробен број. Ова се нарекува моќ со рационален експонент. Во овој дел ќе докажеме дека ги има истите својства како и другите моќи.

Што се рационални броеви? Нивното множество вклучува и цели и дробни броеви, а дробните броеви можат да се претстават како обични дропки (и позитивни и негативни). Дозволете ни да ја формулираме дефиницијата за моќноста на бројот a со фракционо експонент m / n, каде што n е природен број, а m е цел број.

Имаме одреден степен со дробен експонент a m n . За да може својството за моќ за напојување да важи, еднаквоста a m n n = a m n · n = a m мора да биде вистинита.

Со оглед на дефиницијата за n-тиот корен и дека m n n = a m, можеме да го прифатиме условот a m n = a m n ако m n има смисла за дадените вредности на m, n и a.

Горенаведените својства на степен со цел број експонент ќе бидат вистинити под услов a m n = a m n .

Главниот заклучок од нашето размислување е ова: моќноста на одреден број a со фракционо експонент m / n е n-тиот корен од бројот a до моќноста m. Ова е точно ако, за дадени вредности на m, n и a, изразот a m n останува значаен.

1. Можеме да ја ограничиме вредноста на основата на степенот: да земеме a, која за позитивни вредности на m ќе биде поголема или еднаква на 0, а за негативни вредности - строго помала (бидејќи за m ≤ 0 добиваме 0 m, но таков степен не е дефиниран). Во овој случај, дефиницијата за степен со фракционен експонент ќе изгледа вака:

Моќта со дробен експонент m/n за некој позитивен број a е n-тиот корен на a подигнат на моќноста m. Ова може да се изрази како формула:

За моќност со нулта основа, оваа одредба е исто така погодна, но само ако нејзиниот експонент е позитивен број.

Моќта со основна нула и фракционо позитивен експонент m/n може да се изрази како

0 m n = 0 m n = 0 под услов m е позитивен цел број, а n е природен број.

За негативен сооднос m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Да забележиме една точка. Бидејќи го воведовме условот дека a е поголемо или еднакво на нула, на крајот отфрливме некои случаи.

Изразот a m n понекогаш сè уште има смисла за некои негативни вредности на a и некои m. Така, точните записи се (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, во кои основата е негативна.

2. Вториот пристап е да се разгледа одделно коренот a m n со парни и непарни експоненти. Тогаш ќе треба да воведеме уште еден услов: степенот a, во чијшто експонент има редуцирана обична дропка, се смета дека е степенот a, во чијшто експонент има соодветната нередуцирана дропка. Подоцна ќе објасниме зошто ни е потребна оваа состојба и зошто е толку важна. Така, ако ја имаме ознаката a m · k n · k , тогаш можеме да ја намалиме на m n и да ги поедноставиме пресметките.

Ако n е непарен број, а вредноста на m е позитивна, а a е кој било ненегативен број, тогаш a m n има смисла. Условот a да биде ненегативен е неопходен бидејќи корен со парен степен не може да се извлече од негативен број. Ако вредноста на m е позитивна, тогаш a може да биде и негативна и нула, бидејќи Непарниот корен може да се земе од кој било реален број.

Ајде да ги комбинираме сите горенаведени дефиниции во еден запис:

Овде m/n значи нередуцирана дропка, m е кој било цел број, а n е кој било природен број.

Дефиниција 5

За секоја обична редуцирана дропка m · k n · k степенот може да се замени со m n .

Моќта на бројот a со нередуциран дробен експонент m / n - може да се изрази како m n во следниве случаи: - за секој реален a, позитивни цели броеви m и непарни природни вредности n. Пример: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

За сите не-нула реални a, цели броеви негативни вредности m и непарни вредности на n, на пример, 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

За секој ненегативен a, позитивен цел број m и парен n, на пример, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

За секој позитивен a, негативен цел број m и парен n, на пример, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .

Во случај на други вредности, степенот со фракционен експонент не е одреден. Примери за такви степени: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Сега да ја објасниме важноста на условот дискутиран погоре: зошто да се замени дропка со редуциран експонент со дропка со несмалувачки експонент. Ако не го направивме ова, ќе ги имавме следните ситуации, да речеме, 6/10 = 3/5. Тогаш треба да биде точно (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , но - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 и (- 1) 3 5 = (- 1 ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

Дефиницијата за степен со фракционо експонент, која ја претставивме прво, е попогодна за употреба во пракса од втората, па затоа ќе продолжиме да ја користиме.

Дефиниција 6

Така, моќта на позитивен број a со фракционо експонент m/n се дефинира како 0 m n = 0 m n = 0. Во случај на негативно аознаката a m n нема смисла. Сила на нула за позитивни фракциони експоненти m/nсе дефинира како 0 m n = 0 m n = 0 , за негативни фракциони експоненти не го дефинираме степенот на нула.

Во заклучоците, забележуваме дека секој фракционен индикатор може да се напише во форма мешан број, и во форма децимална: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .

Кога се пресметува, подобро е да се замени експонентот обична дропкаи продолжи да ја користи дефиницијата за степен со фракционен експонент. За горните примери добиваме:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Што се моќи со ирационални и реални експоненти?

Кои се реалните броеви? Нивниот сет вклучува и рационални и ирационални броеви. Затоа, за да разбереме што е степен со реален експонент, треба да дефинираме степени со рационални и ирационални експоненти. Погоре веќе спомнавме рационални. Ајде да се справиме со ирационалните индикатори чекор по чекор.

Пример 5

Да претпоставиме дека имаме ирационален број a и низа од неговите децимални приближувања a 0 , a 1 , a 2 , . . . . На пример, да ја земеме вредноста a = 1,67175331. . . , Потоа

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1,67, a 1 = 1,6717, a 2 = 1,671753, . . .

Можеме да ги поврземе низите од приближувања со низа од степени a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Ако се потсетиме на она што го кажавме претходно за подигање на бројките до рационални сили, тогаш можеме сами да ги пресметаме вредностите на овие моќи.

Да земеме на пример a = 3, потоа a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . . итн.

Низата моќи може да се сведе на број, кој ќе биде вредноста на моќта со основа a и ирационален експонент a. Како резултат на тоа: степен со ирационален експонент на формата 3 1, 67175331. . може да се намали на бројот 6, 27.

Дефиниција 7

Моќта на позитивен број a со ирационален експонент a се пишува како a . Неговата вредност е граница на низата a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , каде што 0 , a 1 , a 2 , . . . се последователни децимални апроксимации на ирационалниот број a. Степен со нулта основа може да се дефинира и за позитивни ирационални експоненти, со 0 a = 0 Значи, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Но, ова не може да се направи за негативни, бидејќи, на пример, вредноста 0 - 5, 0 - 2 π не е дефинирана. Единицата подигната на која било ирационална моќ останува единица, на пример, и 1 2, 1 5 во 2 и 1 - 5 ќе биде еднаква на 1.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter

Една од главните карактеристики во алгебрата и во целата математика е степенот. Се разбира, во 21 век, сите пресметки можат да се направат на онлајн калкулатор, но подобро е развојот на мозокот да научи како да го направи тоа сами.

Во оваа статија ќе разгледаме најмногу важни прашањаповрзани со оваа дефиниција. Имено, да разбереме што е тоа воопшто и кои се неговите главни функции, какви својства има во математиката.

Ајде да погледнеме примери за тоа како изгледа пресметката и кои се основните формули. Да ги погледнеме главните типови на количини и како тие се разликуваат од другите функции.

Ајде да разбереме како да решиме користејќи ја оваа количина различни задачи. Ќе покажеме со примери како да се подигне на нулта моќност, ирационално, негативно итн.

Онлајн калкулатор за експоненција

Што е моќ на број

Што се подразбира под изразот „подигнете број на јачина“?

Моќта n на еден број е производ на фактори со големина a n пати по ред.

Математички изгледа вака:

a n = a * a * a * …a n .

На пример:

• 2 3 = 2 во третиот степен. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 до чекор. два = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 до чекор. четири = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 = 10 во 5 чекори. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 10 4 = 10 во 4 чекори. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Подолу е табела со квадрати и коцки од 1 до 10.

Табела со степени од 1 до 10

Подолу се прикажани резултатите од подигањето на природните броеви до позитивни сили - „од 1 до 100“.

Ч-ло	2-ри ул.	3-та фаза
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Својства на степени

Што е карактеристично за таква математичка функција? Да ги погледнеме основните својства.

Научниците го утврдија следново знаци карактеристични за сите степени:

• a n * a m = (a) (n+m) ;
• a n: a m = (a) (n-m) ;
• (а б) m =(а) (б*м) .

Ајде да провериме со примери:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Од друга страна, 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Слично: 2 3: 2 2 = 8 / 4 =2. Инаку 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Што ако е различно? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Како што можете да видите, правилата функционираат.

Но, што со со собирање и одземање? Едноставно е. Прво се врши степенување, а потоа собирање и одземање.

Ајде да погледнеме примери:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Ве молиме имајте предвид: правилото нема да важи ако прво одземете: (5 – 3) 2 = 2 2 = 4.

Но, во овој случај, прво треба да го пресметате собирањето, бидејќи има дејства во загради: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Како да се произведе пресметки во посложени случаи? Редоследот е ист:

• ако има загради, треба да започнете со нив;
• потоа степенување;
• потоа извршете ги операциите множење и делење;
• по собирање, одземање.

Постојат специфични својства кои не се карактеристични за сите степени:

1. n-тиот корен од бројот a до степен m ќе се запише како: a m / n.
2. При подигање на дропка до моќ: и броителот и неговиот именител се предмет на оваа постапка.
3. При изградба на дело различни броевина моќ, изразот ќе одговара на производот од овие броеви на дадената моќност. Тоа е: (a * b) n = a n * b n .
4. Кога подигате број на негативна моќност, треба да поделите 1 со број во истиот век, но со знак „+“.
5. Ако именителот на дропка е со негативна моќност, тогаш овој израз ќе биде еднаков на производот на броителот и именителот на позитивна моќност.
6. Било кој број на моќност 0 = 1, и на моќ. 1 = за себе.

Овие правила се важни во некои случаи; ние ќе ги разгледаме подетално подолу.

Степен со негативен експонент

Што да се прави со минус степен, односно кога индикаторот е негативен?

Врз основа на својствата 4 и 5(види точка погоре), излегува:

A (- n) = 1 / A n, 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.

И обратно:

1 / A (- n) = A n, 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.

Што ако е дропка?

(A / B) (- n) = (B / A) n, (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Степен со природен индикатор

Се подразбира како степен со експоненти еднакви на цели броеви.

Работи што треба да се запамети:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1...итн.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3...итн.

Дополнително, ако (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2...тогаш резултатот ќе биде со знак „+“. Ако негативен број се подигне на непарна моќност, тогаш обратно.

Општи својства и тоа е тоа специфични знаци, опишани погоре, се исто така карактеристични за нив.

Дробен степен

Овој тип може да се напише како шема: A m / n. Читај како: n-ти корен од бројот A до моќта m.

Можете да правите што сакате со фракционо индикатор: намалете го, поделете го на делови, подигнете го на друга моќност итн.

Степен со ирационален експонент

Нека α е ирационален број и A ˃ 0.

За да се разбере суштината на диплома со таков индикатор, Ајде да погледнеме во различни можни случаи:

• A = 1. Резултатот ќе биде еднаков на 1. Бидејќи постои аксиома - 1 во сите моќи е еднаква на една;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 – рационални броеви;

• 0˂А˂1.

Во овој случај, тоа е обратно: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 под истите услови како во вториот пасус.

На пример, експонентот е бројот π.Тоа е рационално.

r 1 - во овој случај е еднакво на 3;

r 2 - ќе биде еднакво на 4.

Потоа, за A = 1, 1 π = 1.

A = 2, потоа 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, потоа (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Ваквите степени се карактеризираат со сите математички операции и специфични својства опишани погоре.

Заклучок

Да резимираме - за што се потребни овие количини, кои се предностите на таквите функции? Се разбира, пред сè, тие го поедноставуваат животот на математичарите и програмерите при решавање на примери, бидејќи им овозможуваат да ги минимизираат пресметките, да ги скратат алгоритмите, да ги систематизираат податоците и многу повеќе.

Каде на друго место може да биде корисно ова знаење? Во која било работна специјалност: медицина, фармакологија, стоматологија, градежништво, технологија, инженерство, дизајн итн.

може да се најде со множење. На пример: 5+5+5+5+5+5=5x6. За таков израз се вели дека збирот на еднакви членови се преклопува во производ. И обратно, ако ја прочитаме оваа еднаквост од десно кон лево, ќе откриеме дека сме го прошириле збирот на еднакви членови. Слично, можете да го склопите производот на неколку еднакви множители 5x5x5x5x5x5=5 6.

Односно, наместо да множат шест идентични фактори 5x5x5x5x5x5, тие пишуваат 5 6 и велат „пет до шеста сила“.

Изразот 5 6 е моќ на број, каде што:

5 - степен база;

6 - експонент.

Се нарекуваат дејства со кои производот од еднакви множители се сведува на моќност подигање на моќ.

ВО општ погледстепен со основа „а“ и експонент „n“ се пишува вака

Подигнувањето на бројот a на моќта n значи наоѓање производ од n фактори, од кои секој е еднаков на a

Ако основата на степенот „а“ е еднаква на 1, тогаш вредноста на степенот за кој било природен број n ќе биде еднаква на 1. На пример, 1 5 =1, 1 256 =1

Ако го подигнете бројот „а“ на прв степен, тогаш го добиваме самиот број a: a 1 = a

Ако подигнете кој било број на нула степен, тогаш како резултат на пресметките добиваме еден. а 0 = 1

Втората и третата моќ на некој број се сметаат за посебни. Им смислија имиња: се вика вториот степен квадрат на бројот, трето - коцкаовој број.

Секој број може да се подигне до моќ - позитивен, негативен или нула. Во овој случај, следниве правила не се применуваат:

Кога се наоѓа моќта на позитивен број, резултатот е позитивен број.

Кога се пресметува нула во природен степендобиваме нула.

x m · x n = x m + n

на пример: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7+(- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

До подели овластувања со исти основиНе ја менуваме основата, туку ги одземаме експонентите:

x m / x n = x m - n , Каде, m > n,

на пример: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

При пресметување подигање на моќ на моќНе ја менуваме основата, туку ги множиме експонентите еден со друг.

(на м ) n = y m n

на пример: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · y) n = x n · год м ,

на пример:(2 3) 3 = 2 n 3 m,

При вршење на пресметки според подигање на дропка на моќностброителот и именителот на дропката ги подигаме на дадена моќност

(x/y)n = x n / y n

на пример: (2 / 5) 3 = (2 / 5) · (2 ​​/ 5) · (2 ​​/ 5) = 2 3 / 5 3.

Редоследот на пресметки при работа со изрази кои содржат степен.

Кога вршат пресметки на изрази без загради, но кои содржат моќи, пред сè, вршат операции за степенување, потоа множење и делење и дури потоа операции за собирање и одземање.

Ако треба да пресметате израз кој содржи загради, тогаш прво направете ги пресметките во заградите по редоследот наведен погоре, а потоа останатите дејства во истиот редослед од лево кон десно.

Многу широко во практичните пресметки, готови табели на моќности се користат за поедноставување на пресметките.