Теоремын зэрэгцээ шугамууд нь тэнцүү сегментүүдийг таслав. Фалесийн теорем. Гурвалжны дунд шугам

Хичээлийн сэдэв

Хичээлийн зорилго

• Шинэ тодорхойлолтуудтай танилцаж, аль хэдийн судлагдсан заримыг эргэн сана.
• Дөрвөлжингийн шинж чанарыг томъёолж, нотлох, шинж чанарыг нь батлах.
• Бодлого шийдвэрлэхдээ дүрсийн шинж чанарыг ашиглаж сурах.
• Хөгжиж байна - сурагчдын анхаарал, тэсвэр тэвчээр, тэсвэр тэвчээр, логик сэтгэлгээ, математикийн яриаг хөгжүүлэх.
• Боловсрол - хичээлээр дамжуулан бие биедээ анхааралтай хандах хандлагыг төлөвшүүлэх, нөхдүүдийг сонсох, харилцан туслалцаа үзүүлэх, бие даасан байдлыг бий болгох.

Хичээлийн зорилго

• Сурагчдын асуудлыг шийдвэрлэх чадварыг шалгах.

Хичээлийн төлөвлөгөө

1. Түүхийн лавлагаа.
2. Фалес математикч ба түүний бүтээлүүд.
3. Санахад сайхан байна.

Түүхийн лавлагаа

• Далайн навигацид Фалесийн теоремыг одоог хүртэл ашигладаг бөгөөд хөлөг онгоцууд мөргөлдөж байна. тогтмол хурд, хэрэв хөлөг онгоцууд бие бие рүүгээ чиглэж байгаа бол энэ нь зайлшгүй юм.

• Орос хэл дээрх уран зохиолоос гадна Фалесийн теоремыг заримдаа планиметрийн өөр теорем гэж нэрлэдэг, тухайлбал тойргийн диаметр дээр үндэслэсэн бичээстэй өнцгийг зөв гэж үздэг. Энэ теоремыг нээсэн нь үнэхээр Фалестай холбоотой гэдгийг Проклус нотолж байна.

• Талес Египетийн геометрийн үндсийг ойлгосон.

Түүний зохиогчийн нээлт, гавьяа

Милетийн Фалес тухайн үеийн Грекийн хамгийн алдартай долоон мэргэдийн нэг байсныг та мэдэх үү. Тэрээр Ионы сургуулийг үүсгэн байгуулсан. Энэ сургуульд Фалесийн сурталчилсан санаа бол бүх зүйлийн нэгдмэл байдал юм. Бүх юмс үүссэн цорын ганц эх сурвалж байдаг гэж мэргэн итгэдэг байв.

Милетийн Талесын агуу гавьяа бол шинжлэх ухааны геометрийг бий болгосон явдал юм. Энэхүү агуу сургаал нь Египетийн хэмжилтийн урлагаас дедуктив геометрийг бий болгож чадсан бөгөөд үүний үндэс нь нийтлэг үндэслэл юм.

Талес геометрийн асар их мэдлэгээс гадна одон орон судлалыг маш сайн мэддэг байжээ. Эм анх нарны бүтэн хиртэлтийг урьдчилан таамагласан хүн юм. Гэхдээ ийм зүйл болоогүй орчин үеийн ертөнц, мөн 585 онд, бүр манай эриний өмнө.

Милетийн Фалес бол хойд зүгийг Бага Урса одны тусламжтайгаар нарийн тодорхойлж болохыг ойлгосон хүн юм. Гэхдээ тэр бас биш байсан. хамгийн сүүлийн үеийн нээлт, тэр жилийн уртыг нарийн тодорхойлж, гурван зуун жаран таван өдөр болгон хувааж, мөн тэнцэх цагийг тогтоож чадсан тул.

Thales үнэн хэрэгтээ иж бүрэн хөгжсөн байсан ба ухаалаг хүн. Гайхалтай математикч, физикч, одон орон судлаач гэдгээрээ алдартай байснаас гадна тэрээр жинхэнэ цаг уур судлаачийн хувьд оливын ургацыг маш нарийн урьдчилан таамаглах чадвартай байв.

Гэхдээ хамгийн гайхалтай нь Фалес мэдлэгээ зөвхөн шинжлэх ухаан, онолын талбараар хязгаарлаж байгаагүй, харин онолынхоо нотолгоог практикт нэгтгэхийг үргэлж хичээдэг байсан явдал юм. Хамгийн сонирхолтой нь агуу мэргэн өөрийн мэдлэгийн аль нэг талбарт анхаарлаа хандуулаагүй, түүний сонирхол өөр өөр чиглэлтэй байв.

Талесын нэр тэр үед ч мэргэн хүний ​​нэр болжээ. Грекийн хувьд түүний ач холбогдол, ач холбогдол нь Оросын хувьд Ломоносовын нэр шиг агуу байсан. Мэдээжийн хэрэг, түүний мэргэн ухааныг янз бүрээр тайлбарлаж болно. Гэхдээ түүнийг авхаалж самбаа, практик ур чадвар, тодорхой хэмжээгээр салангид зан чанараараа тодорхойлогддог байсан гэж бид тодорхой хэлж чадна.

Милетийн Фалес бол маш сайн математикч, гүн ухаантан, одон орон судлаач, аялах дуртай, худалдаачин, бизнес эрхэлдэг, худалдаа эрхэлдэг, бас сайн инженер, дипломатч, зөн билэгч байсан бөгөөд улс төрийн амьдралд идэвхтэй оролцдог байв.

Тэр ч байтугай таяг, сүүдрийн тусламжтайгаар пирамидын өндрийг тогтоож чадсан байна. Тэгээд ийм байсан. Нэгэн сайхан нартай өдөр Талес таягаа пирамидын сүүдэр төгсдөг хил дээр тавив. Дараа нь тэр таягныхаа сүүдрийн урт нь түүний өндөртэй тэнцэх хүртэл хүлээж, пирамидын сүүдрийн уртыг хэмжив. Тэгэхээр Фалес зүгээр л пирамидын өндрийг тодорхойлж, пирамидын өндөр нь таягны өндөртэй холбоотой байдаг шиг нэг сүүдрийн урт нь нөгөө сүүдрийн урттай хамааралтай болохыг нотолсон бололтой. Энэ нь Фараон Амасисыг өөрөө цохив.

Талесийн ачаар тухайн үед мэдэгдэж байсан бүх мэдлэгийг шинжлэх ухааны сонирхлын салбарт шилжүүлсэн. Тэрээр тодорхой багц ойлголтуудыг онцолж, үр дүнг шинжлэх ухааны хэрэглээнд тохирсон түвшинд хүргэж чадсан. Магадгүй Талесийн тусламжтайгаар эртний гүн ухааны дараагийн хөгжил эхэлсэн байх.

Фалесийн теорем нэгийг гүйцэтгэдэг чухал үүрэг гүйцэтгэдэгматематикт. Тэр зөвхөн дотор нь ч танигдаагүй Эртний Египетболон Вавилон зэрэг бусад улс орнуудад ч мөн адил математикийн хөгжлийн үндэс суурь болсон. Тийм ээ, мөн Өдөр тутмын амьдралБарилга, байгууламж, зам гэх мэт барилгын ажлын явцад Талесийн теоремгүйгээр хийх боломжгүй юм.

Соёл дахь Фалесийн теорем

Фалесийн теорем математикт алдаршсан төдийгүй соёлд нэвтэрсэн. Нэгэн удаа Аргентины Лес Лютиерс (Испани) хөгжмийн хамтлаг үзэгчдэд нэгэн дууг толилуулж, алдартай теоремд зориулжээ. Les Luthiers-ийн гишүүд пропорциональ сегментийн шууд теоремын нотолгоог видео клипэндээ, ялангуяа энэ дуунд зориулж өгсөн.

Асуултууд

1. Ямар шугамыг параллель гэж нэрлэдэг вэ?
2. Фалесийн теоремыг практикт хаана ашигладаг вэ?
3. Фалесийн теорем юуны тухай өгүүлдэг вэ?

Ашигласан эх сурвалжуудын жагсаалт

1. Хүүхдэд зориулсан нэвтэрхий толь бичиг. Т.11. Математик / Ерөнхий редактор М.Д.Аксенова.-м.: Аванта +, 2001.
2. “Улсын нэгдсэн шалгалт 2006. Математик. Оюутнуудыг бэлтгэх боловсрол, сургалтын материал / Рособрнадзор, ISOP - М .: Оюуны төв, 2006 "
3. Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Е.Г.Позняк, И.И.Юдина "Геометр, 7-9: боловсролын байгууллагуудад зориулсан сурах бичиг"

Сэдвүүд > Математик > Математик 8-р анги

Теорем дахь секантуудын харилцан зохицуулалтад хязгаарлалт байхгүй (энэ нь огтлолцсон шугамууд болон зэрэгцээ шугамуудын хувьд үнэн юм). Шугамын хэсгүүд нь таслагч дээр хаана байх нь бас хамаагүй.

Зэрэгцээ шугамын хувьд нотлох баримт

BC шугамыг зуръя. ABC ба BCD өнцгүүд нь AB ба CD параллель шугам ба BC зүсэлт дор байрлах дотоод хөндлөн огтлолтой, ACB ба CBD өнцөг нь AC ба BD параллель шулуунууд ба BC зүсэлт дор байрлах дотоод хөндлөн огтлолтой тэнцүү байна. Дараа нь гурвалжны тэгш байдлын хоёр дахь шалгуурын дагуу ABC ба DCB гурвалжнууд хоорондоо тохирч байна. Энэ нь AC = BD ба AB = CD гэсэн үг юм. ■

Мөн байдаг пропорционал сегментийн теорем:

Зэрэгцээ шугамууд нь пропорциональ сегментүүдийг таслав: $$

\ frac(A_1A_2)(B_1B_2)=\frac(A_2A_3)(B_2B_3)=\frac(A_1A_3)(B_1B_3).

Талесийн теорем нь пропорциональ сегментийн теоремын онцгой тохиолдол юм, учир нь тэнцүү сегментүүдийг пропорциональ коэффициент нь 1-тэй тэнцүү пропорциональ сегмент гэж үзэж болно.

Урвуу теорем

Хэрэв Фалесийн теоремд тэнцүү сегментүүд оройноос эхэлдэг бол (энэ томъёоллыг сургуулийн уран зохиолд ихэвчлэн ашигладаг) эсрэгээр теорем нь бас үнэн болж хувирна. огтлолцох секантуудын хувьд үүнийг дараах байдлаар томъёолсон болно.

Иймээс (зураг харна уу). $\backslash frac(CB\_1)(CA\_1)=\backslash frac(B\_1B\_2)(A\_1A\_2)=\backslash ldots\; =\; (\backslash rm\; idem)$шууд гэсэн үг $A\_1B\_1||A\_2B\_2||\backslash ldots$.

Хэрэв секантууд параллель байвал хоёр секант дээрх сегментүүдийн тэгш байдлыг хангах шаардлагатай, эс тэгвээс энэ мэдэгдэл буруу болно (эсрэг жишээ нь суурийн дунд цэгүүдийг дайран өнгөрөх шугамаар огтлолцсон трапец юм).

Хувилбар ба ерөнхий ойлголтууд

Дараах мэдэгдэл нь Соллертинскийн лемматай давхар байна.

Талесийн теоремыг өнөөг хүртэл далайн навигацид ашигладаг бөгөөд хэрэв хөлөг онгоцууд бие бие рүүгээ чиглэж байвал тогтмол хурдтай хөдөлж буй хөлөг онгоцууд мөргөлдөхөөс зайлсхийх боломжгүй байдаг. Орос хэл дээрх уран зохиолоос гадна Фалесийн теоремыг заримдаа планиметрийн өөр теорем гэж нэрлэдэг, тухайлбал тойргийн диаметр дээр үндэслэсэн бичээстэй өнцгийг зөв гэж үздэг. Энэ теоремыг нээсэн нь үнэхээр Фалестай холбоотой гэдгийг Проклус нотолж байна. "Талесийн теорем" өгүүлэлд тойм бичнэ үү. Уран зохиол Атанасян Л.С. болон бусад.Геометр 7-9. - Эд. 3 дахь. - М .: Гэгээрэл, 1992. Тэмдэглэл бас үзнэ үү Тойргийн диаметр дээр үндэслэсэн өнцгийн тухай Фалесийн теорем Фалесийн теоремыг тодорхойлсон ишлэл "Би юу ч бодохгүй байна, би зүгээр л ойлгохгүй байна ... - Хүлээгээрэй, Соня, чи бүгдийг ойлгох болно. Тэр ямар хүн болохыг хараарай. Миний болон түүний тухай муу зүйл битгий бодоорой. "Би хэн нэгний талаар муу зүйл боддоггүй: Би бүх хүнд хайртай, хүн бүрийг өрөвддөг. Гэхдээ би яах ёстой вэ? Соня Наташагийн өөрт нь хандсан эелдэг өнгөөрөө бууж өгсөнгүй. Наташагийн царай илүү зөөлөн, эрэлхийлэх тусам Сонягийн царай илүү ноцтой, ширүүн байв. "Наташа" гэж тэр хэлэв, "чи надтай ярихгүй байхыг гуйсан, би тэгээгүй, одоо та өөрөө эхэлсэн. Наташа, би түүнд итгэхгүй байна. Яагаад энэ нууц вэ? - Дахин, дахин! Наташа яриаг нь таслав. - Наташа, би чиний өмнөөс айж байна. -Юунаас айх вэ? "Чи өөрийгөө сүйрүүлэх вий гэж би айж байна" гэж Соня шийдэмгий хэлээд түүний хэлсэн үгнээс айж байв. Наташагийн царай дахин уур хилэнгээ илэрхийлэв. "Мөн би устгана, устгана, би өөрийгөө аль болох хурдан устгах болно. Танд хамаагүй. Чамд биш харин надад муу байх болно. Намайг орхи, намайг орхи. Би чамайг үзэн ядаж байна. - Наташа! Соня айсандаа дуудлаа. - Би үүнийг үзэн ядаж байна, би үүнийг үзэн ядаж байна! Мөн та миний үүрд дайсан юм! Наташа өрөөнөөс гүйн гарав. Наташа Сонятай дахин ярихгүй, түүнээс зайлсхийв. Бүсгүй гайхширсан, гэмт хэрэг үйлдсэн гэсэн ижил илэрхийлэлтэйгээр өрөөгөөр алхаж, эхлээд энэ, дараа нь өөр ажил хийж, тэр даруйд нь орхив. Соня хэчнээн хэцүү байсан ч найз руугаа харцаа салгасангүй. Тоолч ирэх ёстой өдрийн өмнөх өдөр Соня Наташа зочны өрөөний цонхны дэргэд өглөөжин сууж, ямар нэг зүйл хүлээж байгаа мэт сууж, хажуугаар өнгөрч буй цэргийн албан хаагч руу ямар нэгэн дохио өгснийг анзаарав. Соня түүнийг Анатол гэж андуурчээ. Соня найзыгаа улам анхааралтай ажиглаж, Наташа үдийн хоол, оройн цагаар үргэлж хачин, ер бусын байдалд байгааг анзаарав (тэр өөрт нь тавьсан асуултуудад зохисгүй хариулж, үг хэллэгээ эхлүүлж, дуусгалгүй, бүх зүйлийг инээв). Цайны дараа Соня Наташагийн үүдэнд түүнийг хүлээж буй аймхай шивэгчин бүсгүйг харав. Бүсгүй үүнийг оруулаад хаалга руу чагнаж байгаад захидлыг дахин өгсөн болохыг мэдэв. Гэнэт Соня Наташа энэ үдэш ямар нэгэн аймшигтай төлөвлөгөөтэй байсан нь тодорхой болов. Соня хаалгыг нь тогшив. Наташа түүнийг дотогш оруулаагүй. "Тэр түүнтэй хамт зугтах болно! гэж Соня бодов. Тэр юу ч хийх чадвартай. Өнөөдөр түүний царайнд үнэхээр өрөвдөлтэй, шийдэмгий зүйл харагдаж байв. Тэрээр авга ахтайгаа баяртай гэж хэлээд нулимс дуслуулсан гэж Соня дурсав. Тийм ээ, тэр түүнтэй хамт гүйдэг - гэхдээ би яах ёстой вэ? гэж Соня бодов, Наташа яагаад ямар нэгэн аймшигтай санаатай байсныг тодорхой нотолсон эдгээр шинж тэмдгүүдийг одоо санаж байна. "Тооцоо байхгүй. Би яах ёстой вэ, Курагин руу бичиж, түүнээс тайлбар шаардах уу? Гэхдээ түүнд хариулахыг хэн хэлэх вэ? Ханхүү Андрей ослын үед асуусан шиг Пьер рүү бичээрэй? ... Гэхдээ магадгүй тэр Болконскийг аль хэдийн татгалзсан байж магадгүй (тэр өчигдөр гүнж Марьяад захидал илгээсэн). Авга ах байхгүй!" Наташад маш их итгэдэг Марья Дмитриевнад хэлэх нь Сонягийн хувьд аймшигтай санагдаж байв. Гэхдээ нэг талаараа Соня харанхуй коридорт зогсож байхдаа бодлоо: Би тэдний гэр бүлийн сайн үйлсийг санаж, Николад хайртай гэдгээ батлах цаг одоо эсвэл хэзээ ч ирээгүй. Үгүй ээ, би дор хаяж гурван шөнө унтахгүй, гэхдээ би энэ коридороос гарахгүй, түүнийг хүчээр оруулахгүй, тэдний гэр бүлийг ичгүүрт оруулахгүй" гэж тэр бодов. Анатол сүүлийн үедДолохов руу нүүсэн. Ростовыг хулгайлах төлөвлөгөөг Долохов хэд хоногийн турш бодож, бэлтгэсэн байсан бөгөөд Соня Наташаг үүдэнд сонсоод түүнийг хамгаалахаар шийдсэн өдөр энэ төлөвлөгөөг хэрэгжүүлэх ёстой байв. Наташа оройн арван цагт арын үүдний танхимд Курагин руу гарна гэж амлав. Курагин түүнийг бэлтгэсэн тройкад суулгаж, Москвагаас 60 милийн зайтай Каменка тосгонд аваачиж, тэдэнтэй гэрлэх ёстой байв. Каменка хотод тэднийг Варшавская замд хүргэх угсралт бэлэн болсон бөгөөд тэнд тэд гадаадад шуудангаар явах ёстой байв. Анатолий паспорт, аялагч, эгчээсээ арван мянган мөнгө авч, Долоховоор дамжуулан арван мянган зээлсэн. Хоёр гэрч - Долохов, Макарин нар тоглож байсан бичиг хэргийн ажилтан асан Хвостиков, тэтгэвэрт гарсан хусар, сайхан сэтгэлтэй, сул дорой хүнКурагинд хязгааргүй хайртай байсан , анхны өрөөнд цай ууж суув. Долоховын хананаас тааз хүртэл перс хивс, баавгайн арьс, зэвсгээр чимэглэсэн том өрөөнд Долохов зөөврийн хувцас, гутал өмссөн нээлттэй товчооны өмнө сууж, дээр нь мөнгөн дэвсгэрт, ваартай байв. Анатолий товчгүй дүрэмт хувцсаа өмсөж, гэрчүүдийн сууж байсан өрөөнөөс ажлын өрөөгөөр дамжин арын өрөө рүү явж, Францын хөлийн хүн болон бусад хүмүүс сүүлчийн юмаа баглаж байв. Долохов мөнгө тоолж, бичжээ. "За" гэж тэр хэлэв, "Хвостиковт хоёр мянга өгөх хэрэгтэй. "За, надад зөвшөөрнө үү" гэж Анатол хэлэв. - Макарка (тэд Макарина гэж нэрлэдэг байсан), энэ нь танд хайхрамжгүй гал, усанд орох. За, оноо дууслаа, - гэж Долохов түүнд тэмдэглэл үзүүлэв. - Тэгэхээр? "Тийм ээ, мэдээжийн хэрэг ийм байна" гэж Анатоль Долоховыг сонсоогүй бололтой, нүүрнээс нь салдаггүй инээмсэглэлээр урагшаа харав.

1. 
   үг хэллэг;
2. 
   нотлох баримт;

1. 
   Пропорционал сегментүүдийн тухай теорем;
2. 
   Ceva-ийн теорем;

1. 
   үг хэллэг;
2. 
   нотлох баримт;

1. 
   Менелаусын теорем;

1. 
   үг хэллэг;
2. 
   нотлох баримт;

1. 
   Даалгавар, тэдгээрийн шийдэл;
2. 
   Дүгнэлт;
3. 
   Ашигласан эх сурвалж, уран зохиолын жагсаалт.

Оршил.

Бүх жижиг зүйл хэрэгтэй

Ач холбогдол өгөхийн тулд ...

I. Северянин
Энэхүү хураангуй нь параллель шугамын аргыг теоремыг батлах, асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглахад зориулагдсан болно. Бид яагаад энэ аргыг хэрэглэж байна вэ? Тэр нь хичээлийн жилСургуулийн математикийн олимпиадад геометрийн бодлого санал болгосон нь бидэнд маш хэцүү санагдсан. Энэ даалгавар нь сегментүүдийн уртын харьцааг олох асуудлыг шийдвэрлэхэд зэрэгцээ шугамын аргыг судлах, хөгжүүлэх ажлыг эхлүүлэхэд түлхэц өгсөн юм.

Аргын санаа нь өөрөө ерөнхийдөө Талесийн теоремыг ашиглахад суурилдаг. Наймдугаар ангид Фалесийн теорем, түүний ерөнхий ойлголт, "Зургийн ижил төстэй байдал" сэдвийг 9-р ангид, зөвхөн аравдугаар ангид танилцуулах төлөвлөгөөнд Цева, Менелаусын хоёр чухал теоремыг судалдаг. Хэсгүүдийн уртын харьцааг олохын тулд хэд хэдэн асуудлыг харьцангуй амархан шийддэг. Тиймээс суурь боловсролын түвшинд бид нэлээд шийдэж чадна нарийн тойрогЭнэхүү судалгааны материалын даалгавар. Хэдийгээр үндсэн сургуулийн курс болон USE-ийн математикийн төгсөлтийн гэрчилгээнд энэ сэдвээр даалгавруудыг (Талесын теорем. Гурвалжны ижил төстэй байдал, ижил төстэй байдлын коэффициент. Гурвалжны ижил төстэй байдлын шинж тэмдэг) шалгалтын хоёрдугаар хэсэгт санал болгож байна. цаас, нарийн төвөгтэй байдлын өндөр түвшинтэй.

Хураангуй дээр ажиллах явцад энэ сэдвээр мэдлэгээ гүнзгийрүүлэх боломжтой болсон. Гурвалжин дахь пропорциональ хэрчмүүдийн тухай теоремын баталгаа (теоремыг сургуулийн сургалтын хөтөлбөрт оруулаагүй) параллель шугамын аргад тулгуурладаг. Энэ теорем нь эргээд Цева, Менелаусын теоремуудыг батлах өөр аргыг санал болгох боломжийг бидэнд олгосон юм. Үүний үр дүнд бид сегментийн уртыг харьцуулах илүү өргөн хүрээний асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах боломжтой болсон. Энэ бол бидний ажлын ач холбогдол юм.

Фалесийн ерөнхий теорем.

Томъёо:

Өгөгдсөн хоёр шугамыг огтолж буй параллель шугамууд нь эдгээр шулуунууд дээр пропорциональ хэсгүүдийг таслав.
Өгөгдсөн:

Чигээрээ азэрэгцээ шугамаар таслах ( ГЭХДЭЭ 1 AT 1 , ГЭХДЭЭ 2 AT 2 , ГЭХДЭЭ 3 AT 3 ,…, ГЭХДЭЭ n Б n) сегментүүдэд хуваана ГЭХДЭЭ 1 ГЭХДЭЭ 2 , ГЭХДЭЭ 2 ГЭХДЭЭ 3 , …, А n -1 А n, ба шулуун шугам б- сегментүүдэд AT 1 AT 2 , AT 2 AT 3 , …, AT n -1 AT n .

Нотлох:

Нотолгоо:

Жишээлбэл, үүнийг баталъя

Хоёр тохиолдлыг авч үзье:

1 тохиолдол (Зураг b)

Шууд аболон бзэрэгцээ байна. Дараа нь дөрвөн өнцөгтүүд

ГЭХДЭЭ 1 ГЭХДЭЭ 2 AT 2 AT 1 болон ГЭХДЭЭ 2 ГЭХДЭЭ 3 AT 3 AT 2 - параллелограммууд. Тийм ч учраас

ГЭХДЭЭ 1 ГЭХДЭЭ 2 =AT 1 AT 2 болон ГЭХДЭЭ 2 ГЭХДЭЭ 3 =AT 2 AT 3 , үүнээс үүдэн үүнийг дагадаг

2 хайрцаг (зураг c)

a ба b шугамууд зэрэгцээ биш байна. Цэгээр дамжуулан ГЭХДЭЭ 1 шулуун шугам татъя -тай, шугамтай зэрэгцээ б. Тэр шугамыг давах болно ГЭХДЭЭ 2 AT 2 болон ГЭХДЭЭ 3 AT 3 зарим цэгүүдэд FROM 2 болон FROM 3 . гурвалжин ГЭХДЭЭ 1 ГЭХДЭЭ 2 FROM 2 болон ГЭХДЭЭ 1 ГЭХДЭЭ 3 FROM 3 хоёр өнцгөөр ижил төстэй (өнцөг ГЭХДЭЭ 1 - ерөнхий, өнцөг ГЭХДЭЭ 1 ГЭХДЭЭ 2 FROM 2 болон ГЭХДЭЭ 1 ГЭХДЭЭ 3 FROM 3 зэрэгцээ шугамын доорх харгалзахтай тэнцүү байна ГЭХДЭЭ 2 AT 2 болон ГЭХДЭЭ 3 AT 3 секант ГЭХДЭЭ 2 ГЭХДЭЭ 3 ), ийм учраас

1+

Эсвэл пропорцын шинж чанарын дагуу

Нөгөөтэйгүүр, эхний хэрэг дээр нотлогдсон зүйлээр бид нотлогдсон ГЭХДЭЭ 1 FROM 2 =AT 1 AT 2 , FROM 2 FROM 3 =AT 2 AT 3 . Пропорциональ байдлаар солих (1) ГЭХДЭЭ 1 FROM 2 дээр AT 1 AT 2 болон FROM 2 FROM 3 дээр AT 2 AT 3 , бид тэгш байдалд хүрнэ

Q.E.D.
Гурвалжин дахь пропорционал сегментүүдийн тухай теорем.

Хажуу талдаа АСболон Наргурвалжин ABCцэгүүдийг тэмдэглэв рууболон Мтийм AC:CS=м: n, Б.М: MC= х: q. Сегментүүд AMболон VCцэг дээр огтлолцоно О(Зураг 124б).

Нотлох:

Нотолгоо:
Цэгээр дамжуулан Мшулуун шугам татъя MD(Зураг 124a), зэрэгцээ VC. Тэр хажуу талыг гатлав АСцэг дээр Д, мөн Фалесийн теоремын ерөнхий дүгнэлтийн дагуу

Болъё АК=mx. Дараа нь асуудлын нөхцөл байдлын дагуу KS =nx, ба түүнээс хойш КД: DC= х: q, дараа нь бид Талесийн теоремын ерөнхий ойлголтыг дахин ашигладаг.

Үүний нэгэн адил энэ нь батлагдсан .

Цевагийн теорем.
Энэ теоремыг 1678 онд баталсан Италийн математикч Жованни Цевагийн нэрээр нэрлэсэн.

Томъёо:

Хэрэв ABC гурвалжны AB, BC, CA талуудад С цэгүүдийг тус тус авна 1 , ГЭХДЭЭ 1 болон Б 1 , дараа нь AA сегментүүд 1 , Б.Б 1 болон SS 1 зөвхөн нэг цэг дээр огтлолцоно

Өгөгдсөн:

Гурвалжин ABCба түүний хажуу талд AB, Нарболон АСцэгүүдийг тэмдэглэв FROM 1 ,ГЭХДЭЭ 1 болон AT 1 .

Нотлох:

2. зүсэх А А 1 , Б.Б 1 болон SS 1 нэг цэг дээр огтлолцоно.

Нотолгоо:
1. Хэсгүүдийг оруулъя АА 1 , Б.Б 1 болон SS 1 нэг цэг дээр огтлолцоно О. Тэгш байдал (3) байгаа гэдгийг баталцгаая. 1-р гурвалжин дахь пропорциональ сегментүүдийн теоремын дагуу бид дараах байдалтай байна.

Эдгээр тэгш байдлын зүүн хэсгүүд нь ижил тул баруун хэсгүүд нь тэнцүү байна. Тэдгээрийг адилтгавал бид олж авна

Хоёр хэсэг болгон хуваах баруун тал, бид тэгш байдалд хүрнэ (3).

2. Эсрэг заалтыг баталъя. Оноо өгье FROM 1 ,ГЭХДЭЭ 1 болон AT 1 тал дээр авсан AB, Нарболон SAИнгэснээр тэгш байдал (3) биелнэ. Хэсгүүд гэдгийг баталцгаая АА 1 , Б.Б 1 болон SS 1 нэг цэг дээр огтлолцоно. Үсгээр тэмдэглээрэй Осегментүүдийн огтлолцох цэг А А 1 болон Б.Б 1 ба шулуун шугам зур SO. Тэр хажуу талыг гатлав ABбидний тэмдэглэдэг зарим үед FROM 2 . Сегментүүдээс хойш АА 1 , Б.Б 1 болон SS 1 нэг цэг дээр огтлолцох, дараа нь эхний догол мөрөнд нотлогдсон зүйлээр

Тиймээс (3) ба (4) тэгшитгэлүүд биелнэ.

Тэдгээрийг харьцуулж үзвэл бид = тэгш байдалд хүрдэг бөгөөд энэ нь оноо байгааг харуулж байна C 1 болон C 2 талыг хуваалцах AB C 1 болон C 2 давхцаж, улмаар сегментүүд АА 1 , Б.Б 1 болон SS 1 цэг дээр огтлолцоно О.

Q.E.D.
Менелаусын теорем.

Томъёо:

Хэрэв АВ ба ВС талууд ба АС талын өргөтгөл (эсвэл АВ, ВС ба АС талуудын өргөтгөлүүд дээр) С цэгүүдийг тус тус авна. 1 , ГЭХДЭЭ 1 , АТ 1 , тэгвэл эдгээр цэгүүд нэг шулуун дээр оршдог, хэрэв зөвхөн бол

Өгөгдсөн:

Гурвалжин ABCба түүний хажуу талд AB, Нарболон АСцэгүүдийг тэмдэглэв FROM 1 ,ГЭХДЭЭ 1 болон AT 1 .

Нотлох:

2. оноо ГЭХДЭЭ 1 ,FROM 1 болон AT 1 нэг мөрөнд хэвтэх
Нотолгоо:
1. Оноо оруулъя ГЭХДЭЭ 1 ,FROM 1 болон AT 1 нэг мөрөнд хэвтэх. Тэгш байдал (5) байгаа гэдгийг баталцгаая. зарцуулцгаая МЭ,BEболон CFшулуун шугамтай зэрэгцээ AT 1 ГЭХДЭЭ 1 (цэг Дшулуун шугам дээр байрладаг Нар). Талесийн ерөнхий теоремын дагуу бид дараах байдалтай байна.

Эдгээр тэгшитгэлийн зүүн ба баруун хэсгийг үржүүлснээр бид олж авна

тэдгээр. тэгш байдал (5) байна.
2. Эсрэг заалтыг баталъя. Гол нь байя AT 1 үргэлжлэл талд авсан АС, болон оноо FROM 1 болон ГЭХДЭЭ 1 - хажуу тал дээр ABболон Нар, мөн тэгш байдал (5) хангагдсан байдлаар. Оноо гэдгийг баталцгаая ГЭХДЭЭ 1 ,FROM 1 болон AT 1 нэг мөрөнд хэвтэх. A 1 C 1 шулуун шугам нь АС талын үргэлжлэлийг B 2 цэг дээр огтолж, эхний догол мөрөнд нотлогдсон зүйлээр тодорхойлогдоно.

(5) ба (6)-г харьцуулж үзвэл бид = тэгш байдалд хүрнэ, энэ нь оноо байгааг харуулж байна AT 1 болон AT 2 талыг хуваалцах АСижил тал дээр. Тиймээс оноо AT 1 болон AT 2 давхцаж, улмаар цэгүүд ГЭХДЭЭ 1 ,FROM 1 болон AT 1 нэг мөрөнд хэвтэх. Гурван цэгийн хувьд эсрэг заалт нь ижил төстэй байдлаар нотлогддог ГЭХДЭЭ 1 ,FROM 1 болон AT 1 харгалзах талуудын өргөтгөл дээр хэвтэж байна.

Q.E.D.

Асуудал шийдэх.

Гурвалжин дахь сегментүүдийг пропорциональ хуваах хэд хэдэн асуудлыг авч үзэхийг санал болгож байна. Дээр дурдсанчлан, асуудалд шаардлагатай цэгүүдийн байршлыг тодорхойлох хэд хэдэн арга байдаг. Бид ажилдаа параллель шугамын арга дээр тогтсон. Энэ аргын онолын үндэс нь параллель шугамыг дамжуулах боломжийг олгодог ерөнхийлсөн Фалес теорем юм алдартай харилцааөнцгийн нэг талаас хоёр дахь тал хүртэл нь пропорциональ байх тул асуудлыг шийдэхийн тулд та зөвхөн эдгээр зэрэгцээ шугамуудыг зурах хэрэгтэй.
Тодорхой ажлуудыг авч үзье:
Даалгавар №1 М цэгийг ВС талын ABC гурвалжинд авснаар VM:MC=3:2. P цэг AM сегментийг 2:1 харьцаагаар хуваана. BP шугам нь АС талыг B цэг дээр огтолж байна 1 . Ямар талаараа В цэг юм 1 тал АС-ыг хуваадаг уу?

Шийдэл: AB 1: B 1 C харьцааг олох шаардлагатай, AC нь B 1 цэгийн орших хүссэн сегмент юм.

Зэрэгцээ арга нь дараах байдалтай байна.

1. 
   хүссэн сегментийг зэрэгцээ шугамаар таслана. Нэг BB 1 аль хэдийн байгаа бөгөөд хоёр дахь MN нь BB 1-тэй параллель M цэгээр татагдана.
2. 
   Мэдэгдэж буй харьцааг өнцгийн нэг талаас нөгөө тал руу нь шилжүүлэх, i.e. Эдгээр шулуун шугамаар таслагдсан хажуугийн өнцгийг анхаарч үзээрэй.

С өнцгийн талуудыг BB 1 ба MN шулуун шугамуудаар таслах ба Фалесийн ерөнхий теоремын дагуу бид дүгнэж байна. AT 1 Н=3r, NC=2p. MAC өнцгийн талууд нь PB 1 ба MN шугамуудыг огтолж, талуудыг 2: 1 харьцаагаар хуваадаг тул AB 1: B 1 N \u003d 2: 1, тиймээс AB 1 \u003d 2n, AT 1 Н= n. Учир нь AT 1 Н=3r, ба AT 1 Н= n, дараа нь 3p=n.

Бидний сонирхлын харьцаа руу шилжье AB 1: B 1 C \u003d AB 1: (B 1 N + NC) \u003d 2n: (3p + 2p) \u003d (2 * 3p): (5p) \u003d 6:5.

Хариулт: AB 1:B 1 C = 6:5.

Сэтгэгдэл: Энэ асуудлыг Менелаусын теорем ашиглан шийдэж болно. Үүнийг AMC гурвалжинд хэрэглэж байна. Дараа нь BB 1 шулуун нь гурвалжны хоёр талыг B 1 ба P цэгүүдээр, гурав дахь хэсгийн үргэлжлэлийг B цэг дээр огтолно. Тэгэхээр тэгш байдал хамаарна: , Үүний үр дүнд
Даалгаврын дугаар 2 ABC гурвалжинд AN нь медиан байна. Хувьсах гүйдлийн тал дээр M цэгийг авч AM: MC \u003d 1: 3. AN ба BM хэрчмүүд нь О цэг дээр огтлолцох ба CO туяа нь AB цэгийг K цэг дээр огтолж байна. K цэг нь AB сегментийг ямар харьцаагаар хуваадаг вэ.

Шийдэл:Бид АК ба КВ-ийн харьцааг олох хэрэгтэй.

1) SK шулуунтай параллель NN 1 шугам, VM шулуунтай параллель NN 2 шугамыг зур.

2) ABC өнцгийн талууд нь SC ба NN 1 шулуунуудаар огтлолцсон ба Фалесийн ерөнхий теоремын дагуу BN 1:N 1 K=1:1 эсвэл BN 1 = гэж дүгнэнэ. Н 1 К= y.

3) BCM өнцгийн талууд нь BM ба NN 2 шулуунуудаар огтлолцсон ба Фалесийн ерөнхий теоремын дагуу бид CN 2:N 2 M=1:1 эсвэл CN 2 = N 2 M=3:2= гэж дүгнэнэ. 1.5.

4) NAC өнцгийн талууд нь BM ба NN 2 шулуунуудаар огтлолцсон ба Фалесийн ерөнхий теоремын дагуу AO: ON=1:1.5 эсвэл AO=m ON=1.5m гэж дүгнэнэ.

5) BAN өнцгийн талууд нь SK ба NN 1 шулуун шугамуудаар огтлолцсон бөгөөд Талесийн ерөнхий теоремын дагуу бид AK: KN 1 \u003d 1: 1.5 эсвэл AK \u003d n гэж дүгнэж байна. КН 1 =1,5 n.

6) KN 1 \u003d y \u003d 1.5n.

Хариулт: AK:KV=1:3.

Сэтгэгдэл: Энэ асуудлыг Ceva-ийн теоремыг ABC гурвалжинд хэрэглэх замаар шийдэж болно. Нөхцөлөөр N, M, K цэгүүд ABC гурвалжны талууд дээр байрлах ба AN, CK, VM хэрчмүүд нэг цэгт огтлолцдог бөгөөд энэ нь тэгш байдал үнэн гэсэн үг юм. , бид мэдэгдэж буй харилцааг орлуулж, бид AK:KV=1:3 байна.

Даалгавар №3 ABC гурвалжны ВС талд BD: DC \u003d 2: 5 байхаар D цэгийг, AC тал дээр Е цэгийг авсан. . BE ба AD хэрчмүүд нь огтлолцсон К цэгт ямар харьцаагаар хуваагдах вэ?
Шийдэл: 1) AK:KD= олох хэрэгтэй байна уу? 2) VK:KE=?

1) BE шулуунтай параллель DD 1 шугамыг зур.

2) ALL өнцгийн талууд нь BE ба DD 1 шулуунуудаар огтлолцсон бөгөөд Фалесийн ерөнхий теоремын дагуу бид CD 1:D 1 E=5:2 буюу CD 1 = 5z, D 1 E=2z гэж дүгнэнэ.

3) AE:EC=1:2 нөхцлийн дагуу, өөрөөр хэлбэл. AE \u003d x, EC \u003d 2x, гэхдээ EC \u003d CD 1 + D 1 E, дараа нь 2y=5z+2 z=7 z, z=

4) DCA өнцгийн талууд нь BE ба DD 1 шулуунуудаар огтлолцсон бөгөөд Фалесийн ерөнхий теоремын дагуу бид дүгнэж байна.

5) VK: KE харьцааг тодорхойлохын тулд бид EE 1 шулуун шугамыг зурж, үүнтэй төстэй байдлаар маргаж, бид олж авна.

Хариулт: АК:КД=7:4; VK:KE=6:5.
Сэтгэгдэл:Энэ асуудлыг Менелаусын теоремыг ашиглан шийдэж болно. Үүнийг ЖИН гурвалжинд хэрэглэж байна. Дараа нь DA шулуун нь гурвалжны хоёр талыг D ба K цэгүүдээр, гурав дахь хэсгийн үргэлжлэлийг А цэг дээр огтолно. Тэгэхээр тэгш байдал хамаарна: , тиймээс VK:KE=6:5. ADC гурвалжны талаар үүнтэй адил маргаж, бид олж авна , АК:КД=7:4.
Бодлого No4 ∆ ABC-д AD биссектрис ВС талыг 2:1 харьцаагаар хуваана.СЭ медиан энэ биссектрисийг ямар харьцаагаар хуваадаг вэ?

Шийдэл: O цэгийг зааж өгнө үү AD биссектриса ба CE медиануудын огтлолцол. Бид AO:OD харьцааг олох хэрэгтэй.

1) CE шулуунтай параллель DD 1 шугамыг зур.

2) ABC өнцгийн талууд нь CE ба DD 1 шулуунуудаар огтлолцох ба Фалесийн ерөнхий теоремын дагуу бид BD 1:D 1 E=2:1 буюу BD 1 = 2p, D 1 E=p гэж дүгнэнэ.

3) Нөхцөлийн дагуу AE:EB=1:1, i.e. AE=y, EB=y, харин EB= BD 1 + D 1 E, тэгэхээр y=2х+ х=3 х, х =
4) BAD өнцгийн талууд нь OE ба DD 1 шулуунуудаар огтлолцсон бөгөөд Фалесийн ерөнхий теоремын дагуу бид дүгнэж байна. .

Хариулт: AO:OD=3:1.

Даалгавар №5 AB ба AC ∆ABC талуудад M ба N цэгүүдийг тус тус өгснөөр дараах тэгшитгэлүүд AM:MB=C хангагдана.Н: Н.А=1:2. BN ба CM хэрчмүүдийн огтлолцлын S цэг нь эдгээр сегмент бүрийг ямар харьцаагаар хуваадаг вэ?.

Бодлого №6 ABC гурвалжны AM медиан дээр K цэгийг авсан ба AK:KM=1:3. K цэгийг АС талтай параллель өнгөрөх шулуун ВС талыг хуваах харьцааг ол.

Шийдэл: M-ийг 1 цэг гэж үзье АС ба ВС талтай параллель K цэгийг дайран өнгөрөх шулууны огтлолцол. BM 1:M 1 C харьцааг олох шаардлагатай.

1) AMC өнцгийн талууд нь KM 1 ба AC шулуун шугамуудаар огтлолцсон бөгөөд Фалесийн ерөнхий теоремын дагуу бид MM 1: M 1 C = 3: 1 эсвэл MM 1 \u003d 3z, M 1 C \u003d гэж дүгнэж байна. z

2) Нөхцөлөөр VM:MS=1:1, өөрөөр хэлбэл VM=y, MC=y, гэхдээ MC=MM 1 + M 1 C, тэгэхээр у=3z+ z=4 z,

3) .

Хариулт: VM 1:M 1 C = 7:1.

Бодлого №7 ABC гурвалжин өгөгдсөн. АС талын өргөтгөл дээр С цэгийн цэгийг авнаН, болон CН=AC; K цэг нь AB талын дунд цэг юм. Ямар утгаараа К мөр байнаНBC талыг хуваана.

Сэтгэгдэл:Энэ асуудлыг Менелаусын теоремыг ашиглан шийдэж болно. Үүнийг ABC гурвалжинд хэрэглэж байна. Дараа нь KN шулуун шугам нь гурвалжны хоёр талыг K ба K 1 цэгээр, гурав дахь хэсгийн үргэлжлэлийг N цэг дээр огтолно. Тэгэхээр тэгш байдал хамаарна: , тиймээс VK 1:K 1 C=2:1.

Даалгавар №8

Сайтууд:

http://www.problems.ru

http://interneturok.ru/

Улсын нэгдсэн шалгалт 2011 Математикийн C4 даалгавар Р.К.Гордин М .: MTSNMO, 2011, - 148 с

Дүгнэлт:

Сегментүүдийн уртын харьцааг олох асуудал ба теоремуудын шийдэл нь Фалесийн ерөнхий теорем дээр суурилдаг. Бид Фалесийн теоремыг хэрэглэхгүйгээр параллель шугамыг ашиглах, мэдэгдэж буй пропорцийг өнцгийн нэг талаас нөгөө тал руу шилжүүлэх, улмаар шаардлагатай цэгүүдийн байршлыг олж, уртыг харьцуулах боломжийг олгодог аргыг боловсруулсан. Хийсвэрлэл дээр ажиллах нь геометрийн асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурахад бидэнд тусалсан өндөр түвшинхүндрэлүүд. Оросын нэрт яруу найрагч Игорь Северянины "Ач холбогдолгүй бүх зүйл чухал байх ёстой ..." гэсэн үгийн үнэн зөвийг бид ойлгосон бөгөөд Улсын нэгдсэн шалгалтаар бид санал болгож буй ажлуудын шийдлийг олох боломжтой гэдэгт итгэлтэй байна. зэрэгцээ шугамын арга.

1 Гурвалжин дахь пропорционал сегментүүдийн тухай теорем нь дээр дурдсан теорем юм.

Хэрэв өнцгийн талууд нь талуудын аль нэгийг хэд хэдэн сегмент болгон хуваах шулуун параллель шугамуудаар огтлолцсон бол хоёр дахь тал буюу шулуун шугамууд нь нөгөө талтай тэнцэх хэсгүүдэд хуваагдана.

Фалесийн теоремдараах зүйлийг нотолж байна: С 1 , С 2 , С 3 - эдгээр нь өнцгийн аль ч талд зэрэгцээ шугамууд огтлолцох газрууд юм. C 2 нь C 1 ба C 3-тай харьцуулахад дунд байна .. D 1 , D 2 , D 3 цэгүүд нь өнцгийн нөгөө талтай шулуунтай тохирч буй шугамуудын огтлолцох газрууд юм. C 1 C 2 \u003d C 2 C z, дараа нь D 1 D 2 \u003d D 2 D 3 гэдгийг бид баталж байна.
Бид C 1 C 3 хэсэгтэй параллель D 2 байранд KR шулуун сегментийг зурна. Параллелограммын шинж чанарт C 1 C 2 \u003d KD 2, C 2 C 3 \u003d D 2 P. Хэрэв C 1 C 2 \u003d C 2 C 3 байвал KD 2 \u003d D 2 P байна.

Үүссэн гурвалжин D 2 D 1 K ба D 2 D 3 P нь тэнцүү байна. Мөн баталгаагаар D 2 K=D 2 P байна. D 2 дээд цэгтэй өнцгүүд нь босоо, D 2 KD 1 ба D 2 PD 3 өнцөг нь C 1 D 1 ба C 3 D 3 зэрэгцээ орших, KP-ийг тусгаарлах дотоод хөндлөн огтлолтой тэнцүү байна.
D 1 D 2 =D 2 D 3 тул теорем нь гурвалжны талуудын тэгш байдалаар нотлогддог.

Тэмдэглэл: Хэрэв бид өнцгийн талыг биш, харин хоёр шулуун сегментийг авбал нотлох баримт нь ижил байх болно.
Бидний авч үзэж буй хоёр шулууныг огтолж, тэдгээрийн аль нэгийг нь ижил хэсгүүдэд хуваадаг бие биентэйгээ параллель шулуун шугамын сегментүүд хоёр дахьтай ижил зүйлийг хийнэ.

Хэд хэдэн жишээг харцгаая

Эхний жишээ

Даалгаврын нөхцөл нь CD мөрийг хуваах явдал юм Пижил сегментүүд.
Бид C цэгээс CD шулуун дээр оршдоггүй хагас c шугамыг зурна. Үүн дээр ижил хэмжээтэй хэсгүүдийг тэмдэглэе. SS 1, C 1 C 2, C 2 C 3 ..... C p-1 C p. Бид C p-г D-тэй холбоно. Бид C 1, C 2, ...., C p цэгүүдээс шулуун шугам татна. -1 нь C p D-тэй параллель байх болно. Шулуунууд CD-г D 1 D 2 D p-1 газруудаар огтолж, CD шугамыг n ижил сегмент болгон хуваана.

Хоёр дахь жишээ

ABC гурвалжны AB талд CK цэгийг тэмдэглэв. SK сегмент нь гурвалжны AM медианыг P цэг дээр огтолж байгаа бол AK = AP. VC ба RM-ийн харьцааг олох шаардлагатай.
Бид AB цэгийг D цэгээр огтолж буй SC-тэй параллель M цэгээр шулуун шугамыг татна

By Фалесийн теоремВD=КD
Пропорционал сегментийн теоремоор бид үүнийг олж авдаг
PM \u003d KD \u003d VK / 2, тиймээс VK: PM \u003d 2: 1
Хариулт: VK: RM = 2:1

Гурав дахь жишээ

ABC гурвалжинд ВС тал = 8 см.DE шугам нь AC-тай параллель AB ба BC талуудыг огтолж байна. Мөн МЭӨ тал дээр EU = 4 см сегментийг таслав. AD = DB гэдгийг батал.

BC = 8 см, ЕС = 4 см тул
BE = BC-EU, тиймээс BE = 8-4 = 4(см)
By Фалесийн теорем, AC нь DE ба EC \u003d BE-тэй параллель байдаг тул AD \u003d DB. Q.E.D.

AT эмэгтэйчүүдийн сэтгүүл- онлайнаар та маш их зүйлийг олох болно сонирхолтой мэдээлэлөөрийнхөө төлөө. Мөн Сергей Есениний бичсэн шүлгүүдэд зориулсан хэсэг байдаг. Ороод ир, чи харамсахгүй!

Зэрэгцээ ба таслалтын тухай.

Орос хэл дээрх уран зохиолоос гадна Фалесийн теоремыг заримдаа планиметрийн өөр теорем гэж нэрлэдэг, тухайлбал тойргийн диаметр дээр үндэслэсэн бичээстэй өнцгийг зөв гэж үздэг. Энэ теоремыг нээсэн нь үнэхээр Фалестай холбоотой гэдгийг Проклус нотолж байна.

Үг хэллэг

Хэрэв хоёр шулуун шугамын аль нэг дээр хэд хэдэн тэнцүү хэсгүүдийг дараалан байрлуулж, хоёр дахь шулуун шугамыг огтолж, тэдгээрийн төгсгөлд параллель шугамуудыг татвал хоёр дахь шулуун шугамын тэгш хэсгүүдийг таслана.

Илүү ерөнхий томъёоллыг бас нэрлэдэг пропорционал сегментийн теорем

Зэрэгцээ шугамууд нь пропорциональ сегментүүдийг таслав:

A 1 A 2 B 1 B 2 = A 2 A 3 B 2 B 3 = A 1 A 3 B 1 B 3 . (\ displaystyle (\ frac (A_(1)A_(2))(B_(1)B_(2)))=(\frac (A_(2)A_(3))(B_(2)B_(3)) ))=(\frac (A_(1)A_(3))(B_(1)B_(3))).)

Тайлбар

• Теорем дахь секантуудын харилцан зохицуулалтад хязгаарлалт байхгүй (энэ нь огтлолцсон шугамууд болон зэрэгцээ шугамуудын хувьд үнэн юм). Шугамын хэсгүүд нь таслагч дээр хаана байх нь бас хамаагүй.

• Талесийн теорем нь пропорциональ сегментийн теоремын онцгой тохиолдол юм, учир нь тэнцүү сегментүүдийг пропорциональ коэффициент нь 1-тэй тэнцүү пропорциональ сегмент гэж үзэж болно.

Секантын тохиолдолд нотлох баримт

Холбогдоогүй хос сегмент бүхий хувилбарыг авч үзье: өнцгийг шулуун шугамаар огтолцгооё. A A 1 | | B B 1 | | C C 1 | | D D 1 (\displaystyle AA_(1)||BB_(1)||CC_(1)||DD_(1))мөн тэнд A B = C D (\displaystyle AB=CD).

Зэрэгцээ шугамын хувьд нотлох баримт

Шулуун шугам зурцгаая МЭӨ. булангууд ABCболон BCDзэрэгцээ шулуун дээр байрлах дотоод загалмайтай тэнцүү байна ABболон CDба секант МЭӨ, болон өнцөг ACBболон CBDзэрэгцээ шулуун дээр байрлах дотоод загалмайтай тэнцүү байна АСболон Б.Дба секант МЭӨ. Дараа нь гурвалжингийн тэгш байдлын хоёр дахь шалгуурын дагуу гурвалжин ABCболон DCBтэнцүү байна. Тиймээс үүнийг дагадаг АС = Б.Дболон AB = CD. ■

Хувилбар ба ерөнхий ойлголтууд

Урвуу теорем

Хэрэв Фалесийн теоремд тэнцүү сегментүүд оройноос эхэлдэг бол (энэ томъёоллыг сургуулийн уран зохиолд ихэвчлэн ашигладаг) эсрэгээр теорем нь бас үнэн болж хувирна. огтлолцох секантуудын хувьд үүнийг дараах байдлаар томъёолсон болно.

Урвуу Фалес теоремд тэнцүү сегментүүд оройноос эхлэх нь чухал

Иймээс (зураг харна уу). C B 1 C A 1 = B 1 B 2 A 1 A 2 = … (\displaystyle (\frac (CB_(1))(CA_(1))))=(\frac (B_(1)B_(2))(A_) (1)A_(2)))=\ldots), үүнийг дагадаг A 1 B 1 | | A 2 B 2 | | … (\displaystyle A_(1)B_(1)||A_(2)B_(2)||\ldots).

Хэрэв секантууд параллель байвал хоёр секант дээрх сегментүүдийн тэгш байдлыг хангах шаардлагатай, эс тэгвээс энэ мэдэгдэл буруу болно (эсрэг жишээ нь суурийн дунд цэгүүдийг дайран өнгөрөх шугамаар огтлолцсон трапец юм).

Энэ теоремыг навигацид ашигладаг: нэг хөлөг онгоцноос нөгөө хөлөг рүү чиглэсэн чиглэлийг хадгалж байвал тогтмол хурдтай хөдөлж буй хөлөг онгоцууд мөргөлдөх нь зайлшгүй юм.

Соллертинскийн Лемма

Дараах мэдэгдэл нь Соллертинскийн лемматай давхар байна.

Болъё f (\displaystyle f)- шугамын цэгүүдийн хоорондох проекцийн захидал харилцаа l (\displaystyle l)ба шууд m (\displaystyle m). Дараа нь шугамын багц нь зарим (магадгүй доройтсон) конус хэсгийн шүргэгчийн багц болно.

Талесийн теоремын хувьд конус нь параллель шулуунуудын чиглэлд тохирсон хязгааргүй цэг байх болно.

Энэ мэдэгдэл нь эргээд дараахь мэдэгдлийн хязгаарлагдмал тохиолдол юм.

Болъё f (\displaystyle f)конус хэлбэрийн проекктив хувирал юм. Дараа нь шугамын багцын дугтуй X f (X) (\displaystyle Xf(X))конус байх болно (магадгүй доройтсон).