Skisse av grafen til en funksjon. Skisse av grafen til en funksjon (ved å bruke eksempelet på en brøk-kvadratisk funksjon). Beskyttelse av personopplysninger

1. Metodikk for å konstruere skisser av funksjonsgrafer

2. Løsning av eksempel nr. 1

3. Løsning på eksempel nr. 2

Innsamling og bruk av personopplysninger

Utlevering av informasjon til tredjeparter

Beskyttelse av personopplysninger

Respekter ditt privatliv på bedriftsnivå


Plotte funksjonsgrafer. . . . . . . . . . . .
1. Plan for å studere funksjonen når du konstruerer en graf. .
2. Grunnleggende begreper og stadier av funksjonsforskning. . . .
1. Domene til funksjonen D f og sett
verdier for funksjonen E f . Spesielle egenskaper
funksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Studie av asymptoter. . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Vertikale asymptoter. . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Skrå (horisontale) asymptoter. . . . . . .
2.3. Metoder for å studere ikke-vertikale asymptoter. .
2.4. Relativ plassering av funksjonsgrafen
og dens asymptoter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Skissere en graf over funksjonen. . . . . . . . . .
4. Seksjoner av økende og minkende funksjoner
Minimum og maksimum poeng. . . . . . . . . . . . . . .
5. Konveks funksjon opp og ned
Bøyningspunkter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Differensiering av en funksjon, analytisk
hvis uttrykk inneholder en modul. . . . . . . . . . . . .
4. Grunnleggende krav til forskningsresultater
og plotting. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Eksempler på funksjonsforskning og konstruksjon
funksjonsgrafer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eksempel 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eksempel 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eksempel 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eksempel 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eksempel 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eksempel 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tegner kurver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.Plan for forskning og konstruksjon av kurver. . . . . . . . . .

2. Grunnleggende konsepter og stadier av kurveforskning. . . . .
	Studie av funksjoner x x t og y y t. . . . . . .
	Bruk av forskningsresultater x x t . .
2.1. Vertikale asymptoter av kurven. . . . . . . . . . .
2.2. Skrånende (horisontale) asymptoter av en kurve. .
	Analyse av resultater og oppbygging av skisse
funksjonsgrafikk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Utsnitt av økende og minkende kurve
Minimum og maksimum poeng av funksjoner
x x y og y y x , cusp-punkter for kurven. . . . . . .
	Konveks funksjon opp og ned. Bøyningspunkter. .
3. Konstruksjon av parametrisk spesifiserte kurver. . . . . .
Eksempel 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eksempel 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eksempel 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problemer for uavhengig løsning. . . . . .
Svar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Grafiske funksjoner

1. Plan for å studere en funksjon når du konstruerer en graf

1. Finn definisjonsdomenet til funksjonen. Det er ofte nyttig å vurdere flere verdier for en funksjon. Utforsk spesielle egenskaper for en funksjon: partall, oddetall; periodisitet, symmetriegenskaper.

2. Utforsk asymptotene til grafen til en funksjon: vertikal, skrå. Analyser den relative posisjonen til grafen til en funksjon og dens skråstilte (horisontale) asymptoter.

3. Tegn en skisse av grafen.

4. Finn områder med monotonitet av funksjonen: økende og avtagende. Finn ytterpunktene til funksjonen: minimum og maksimum.

Finn ensidige deriverte ved diskontinuitetspunktene til funksjonens deriverte og ved grensepunktene til funksjonens definisjonsdomene (hvis det finnes ensidige deriverte).

5. Finn konveksitetsintervallene til funksjonen og bøyningspunktene.

2. Grunnleggende begreper og stadier av funksjonsforskning

1. Funksjonsdomene D f og mange betydninger

sjon av funksjonen E f . Spesialfunksjonsegenskaper

Angi definisjonsdomenet til funksjonen, merk det på abscisseaksen med grensepunkter og punkterte punkter, og angi abscissen til disse punktene. Det er ikke nødvendig å finne definisjonsdomenet til en funksjon.

Det er ikke nødvendig å finne flere funksjonsverdier. Enkelt studerte egenskaper til et sett med verdier: ikke-negativitet, avgrensethet nedenfra eller over, etc., brukes til å konstruere en skisse av en graf, kontrollere resultatene av studien og grafens korrekthet.

x liker

Grafen til en jevn funksjon er symmetrisk om ordinataksen Oy. Grafen til en oddetallsfunksjon er symmetrisk om opprinnelsen. Partall og oddetallsfunksjoner undersøkes på den positive halvdelen av definisjonsdomenet.

En periodisk funksjon studeres på en periode, og

Diagrammet vises på 2-3 perioder.
2. Studie av asymptoter
2.1. Vertikale asymptoter
Definisjon 1.				x x0		kalt		vertikal
asymptote av grafen til funksjonen				y f x,			hvis fullført
en av betingelsene:			lim f x 1				lim f x.
			x x0 0				x x0 0
2.2. Skrå (horisontale) asymptoter

noah) asymptote av grafen til funksjonen					y f x ved x,
lim f x kx b 0 .
					på x
	definisjon av asymptote
klim		b lim f x kx . Beregner tilsvarende


grenser, får vi asymptoteligningen y kx b .
Et lignende utsagn er sant i tilfelle når

Hvis k 0, kalles asymptoten skrå.
k 0 , deretter asymptoten			y b kalles horisontal.
Begrepene skrå og horisontal introduseres på samme måte.
asymptoter av grafen til funksjonen y f x						på x.

2.3. Metoder for å studere ikke-vertikale asymptoter Studie av asymptoter for x og for

regelen utføres separat.

1 Vi vil bruke symbolet til å bety oppfyllelsen av ett tilfelle, heller

I noen spesielle tilfeller er det mulig å i fellesskap studere asymptotene ved x og ved x, for eksempel for

1) rasjonelle funksjoner;

2) partalls- og oddetallsfunksjoner, for grafene som studien kan utføres på en del av definisjonsdomenet.

Metode for å velge hoveddelen. For å finne asymptoten, velg hoveddelen av funksjonen ved x. På samme måte for x.

Hoveddelen av en brøkrasjonell funksjon Det er praktisk å finne ved å markere hele delen av brøken:

Eksempel 1. Finn de skråstilte asymptotene til grafen til en funksjon

f x 2 x 3 x 2. x 1

f x 2 x 5					o 1 kl	x , deretter rett

May y 2 x 5 er den ønskede asymptoten. ◄

Hoveddelen av den irrasjonelle funksjonen når du løser praktiske eksempler, er det praktisk å finne metoder for å representere en funksjon ved hjelp av Taylor-formelen for x.

Eksempel 2. Finn den skrå asymptoten til grafen til en funksjon

x4 3 x 1

på x.

x 4 o1

for x, deretter den rette linjen		y x 4 er den ønskede asymptoten.

		irrasjonell
		f x 3		praktisk å finne
	ax2 bx c og		ax3 bx2 cx d

bruk metoden for å isolere henholdsvis en fullstendig firkant eller en komplett kube av det radikale uttrykket.

Eksempel 3. Finn skråasymptotene til grafen til funksjonen f x x 2 6 x 14 for x og x.

I det radikale uttrykket velger vi en komplett firkant

x 3 2

5 . Siden grafen til funksjonen

f x er symmetrisk

i forhold til rett linje x 3 og

deretter f x ~

på x.

x 3 2 5

Så det er rett

y x 3 er

asymptote ved x, og rett linje y 3 x

Asymptote kl

x. ◄

For å finne asymptoter kan du bruke metoden for å isolere hoveddelen.

Eksempel 4. Finn asymptotene til grafen til funksjonen f x 4 x 2 x 2 .

f x 2

Det er funksjonen

har en asymptote

y 2 x

og asymptote

y 2 x

ved x .◄

For transcendentale funksjoner begge metodene er akseptable

følge asymptoter ved løsning av praktiske eksempler.

Merknad 1. Ved studier av asymptoter irrasjonelle, transcendentale funksjoner, og funksjoner hvis analytiske uttrykk inneholder en modul, Det er tilrådelig å vurdere to tilfeller: x og x. En felles studie av asymptoter ved x og ved x kan føre til feil i studien. Når du skal finne grensene eller hoveddelen av x, er det nødvendig å endre variabelen x t.

2.4. Den relative plasseringen av grafen til en funksjon og dens asymptoter

a) Hvis funksjonen y f x har en asymptote ved x,

er differensierbar og strengt konveks nedover på strålen x x 0, deretter grafen

funksjonens fic ligger over asymptoten (fig. 1.1).

b) Hvis funksjonen y f x har en asymptote ved x,

er differensierbar og strengt konveks oppover på strålen x x 0, da

grafen til funksjonen ligger under asymptoten (fig. 1.2).

c) Det kan være andre tilfeller av oppførsel av grafen til en funksjon ettersom den har en tendens til en asymptote. For eksempel er det mulig at grafen til en funksjon skjærer asymptoten et uendelig antall ganger (fig. 1.3 og 1.4).

Et lignende utsagn gjelder for x.

Før du studerer egenskapene til konveksitet til en funksjonsgraf, kan de relative posisjonene til funksjonsgrafen og dens asymptoter bestemmes av tegnet o 1 i metoden for å isolere hoveddelen.

Eksempel 5. Bestem den relative posisjonen til grafen

funksjon f x 2 x 2 3 x 2 og dens asymptoter. x 1

0 ved x, så ligger grafen til funksjonen under det asymptotiske

du y 2 x 5. ◄

Eksempel 6. Bestem den relative posisjonen til grafen

funksjoner f x

x4 3 x 1

og dens asymptoter for x.

x 2 1

Fra likestilling

x følger det at grafen til funksjonen ligger under asymptoten y x 4 . ◄

Eksempel 7. Bestem den relative posisjonen til grafen til funksjonen f x x 2 6 x 14 og dens asymptoter.

Siden f x x 3 (se eksempel 3), da

x 3 2 5 x 3

grafen til funksjonen ligger over asymptoten y x 3 ved x og ved x. ◄

Eksempel 8. Bestem den relative posisjonen til grafen

f x 3 x 3 6 x 2 2 x 14 og dens asymptoter.

som x 3 6 x 2

2 x 14 x 2 3 14 x 6, deretter bruk

a x 2 3 14 x 6 ,

b x 2 3 , vi får f x x 2

14x6

3 x 2 3 14x 6 2

x 2 3

x 2 3 14 x 6

x 2 2

forskjellen er positiv ved x

og negativ ved x

Derfor, ved x, ligger grafen til funksjonen under asymptoten y x 2, og ved x, over asymptoten y x 2.◄

Metoden for å beregne grenser for å studere asymptoter tillater ikke å estimere den relative posisjonen til grafen til en funksjon og dens asymptoter.

3. Skissere en graf for en funksjonÅ konstruere en skisse av en graf, vertikal og

skråstilte asymptoter, skjæringspunkter for grafen til en funksjon med aksene. Under hensyntagen til den relative plasseringen av grafen til funksjonen og asymptotene, konstrueres en skisse av grafen. Hvis grafen til en funksjon ligger over (under) asymptoten ved x, så, forutsatt at

det eksisterer et punkt x 0 slik at blant punktene x x 0 er det ingen bøyningspunkter,

vi finner at funksjonen er konveks nedover (oppover), det vil si til en asymptote. På samme måte kan man forutsi retningen av konveksitet til asymptoten for vertikale asymptoter og for asymptoten ved x. Imidlertid, som eksemplet ovenfor viser

funksjon y x sin 2 x , slike forutsetninger er kanskje ikke x

4. Områder med økende og minkende funksjon. Minimum og maksimum poeng

Definisjon 3.	Funksjonen f x kalles	økende
(avtagende) på intervallet a, b, hvis for noen		x1, x2 a, b,
slik at x 1 x 2	det er ulikhet	f x1 f x2
(f x1 f x2 ).

Funksjon f x differensierbar på intervallet a, b

smelter (minker) på intervallet a, b, hvis og bare hvis

funksjon f x .

En nødvendig betingelse for et ekstremum. Hvis

Punkt eks-

tremum av funksjonen f x , så på dette tidspunktet heller

f x 0 0, eller

derivat eksisterer ikke.

Tilstrekkelige forhold for et ekstremum.

f x differensial

1. La det eksistere 0 slik at funksjonen

er utstrålebar i et punktert -nabolag til punktet x 0

og kontinuerlig

ved punkt x 0. Deretter,

a) hvis dens deriverte endrer fortegn minus til pluss ved re-

fremgang gjennom punktet		x 0,

			x x 0 , x 0 , så er x 0 maksimumspunktet
	x 0 for noen
funksjoner f x ;
	b) hvis dens deriverte endrer fortegn pluss til minus når re-
fremgang gjennom punktet		x 0,
			de. f x 0 for alle x x 0 , x 0 ,
			x x 0 , x 0 , så er x 0 minimumspunktet
	x 0 for noen

funksjoner f x .

Modelleksempler inkluderer y x (fig. 2.1) og

Å opprettholde personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Se gjennom vår personvernpraksis og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.

Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon samler vi inn:

Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, e-postadresse osv.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

Personopplysningene vi samler inn lar oss kontakte deg med unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige meldinger og kommunikasjoner.
Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende kampanje, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Vi utleverer ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

Om nødvendig - i samsvar med loven, rettslig prosedyre, i rettslige prosesser og/eller på grunnlag av offentlige forespørsler eller forespørsler fra offentlige organer i Den russiske føderasjonen - for å avsløre din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige viktige formål.
I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til gjeldende etterfølger tredjepart.

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetsstandarder til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.

I denne leksjonen skal vi se på teknikken for å konstruere en skisse av en graf for en funksjon og gi forklarende eksempler.

Tema: Repetisjon

Leksjon: Skissere grafen til en funksjon (ved å bruke eksempelet på en brøk-kvadratisk funksjon)

Målet vårt er å skissere grafen til en brøkkvadratfunksjon. La oss for eksempel ta en funksjon vi allerede er kjent med:

En brøkfunksjon er gitt, hvis teller og nevner inneholder kvadratiske funksjoner.

Skisseteknikken er som følger:

1. Velg intervaller med konstant fortegn og bestem fortegnet for funksjonen på hver (Figur 1)

Vi undersøkte i detalj og fant ut at en funksjon som er kontinuerlig i en ODZ kan endre fortegn bare når argumentet går gjennom røttene og bruddpunktene til ODZ.

Den gitte funksjonen y er kontinuerlig i sin ODZ; la oss indikere ODZ:

La oss finne røttene:

La oss fremheve intervallene for tegnkonstans. Vi har funnet røttene til funksjonen og bruddpunktene til definisjonsdomenet – røttene til nevneren. Det er viktig å merke seg at innenfor hvert intervall bevarer funksjonen sitt fortegn.

Ris. 1. Intervaller med konstant fortegn for en funksjon

For å bestemme tegnet til en funksjon på hvert intervall, kan du ta et hvilket som helst punkt som hører til intervallet, erstatte det med funksjonen og bestemme fortegnet. For eksempel:

På intervallet har funksjonen et plusstegn

På intervallet har funksjonen et minustegn.

Dette er fordelen med intervallmetoden: vi bestemmer fortegnet ved et enkelt prøvepunkt og konkluderer med at funksjonen vil ha samme fortegn over hele det valgte intervallet.

Du kan imidlertid stille inn fortegnene automatisk, uten å beregne funksjonsverdiene, for å gjøre dette, bestemme fortegnet ved det ekstreme intervallet og deretter alternere fortegnene.

1. La oss bygge en graf i nærheten av hver rot. Husk at røttene til denne funksjonen og:

Ris. 2. Graf i nærheten av røttene

Siden fortegnet for funksjonen på et punkt endres fra pluss til minus, er kurven først over aksen, går deretter gjennom null og er deretter plassert under x-aksen. Det er motsatt på punktet.

2. La oss konstruere en graf i nærheten av hver ODZ-diskontinuitet. Husk at røttene til nevneren til denne funksjonen og:

Ris. 3. Graf over funksjonen i nærheten av diskontinuitetspunktene til ODZ

Når eller nevneren til en brøk er praktisk talt lik null, betyr det at når verdien av argumentet har en tendens til disse tallene, har verdien av brøken en tendens til uendelig. I dette tilfellet, når argumentet nærmer seg trippelen til venstre, er funksjonen positiv og har en tendens til pluss uendelig, til høyre er funksjonen negativ og går utover minus uendelig. Rundt fire, tvert imot, til venstre har funksjonen en tendens til minus uendelig, og til høyre forlater den pluss uendelig.

I henhold til den konstruerte skissen kan vi gjette arten av funksjonens oppførsel i noen intervaller.

Ris. 4. Skisse av funksjonsgrafen

La oss vurdere følgende viktige oppgave - å konstruere en skisse av grafen til en funksjon i nærheten av punkter ved uendelig, det vil si når argumentet har en tendens til pluss eller minus uendelig. I dette tilfellet kan konstante vilkår neglisjeres. Vi har:

Noen ganger kan du finne denne registreringen av dette faktum:

Ris. 5. Skisse av grafen til en funksjon i nærheten av punkter ved uendelig

Vi har fått en omtrentlig oppførsel av funksjonen over hele dens definisjonsdomene; så må vi avgrense konstruksjonen ved å bruke den deriverte.

Eksempel 1 - skisser en graf av en funksjon:

Vi har tre punkter som funksjonen kan endre fortegn gjennom når argumentet passerer.

Vi bestemmer funksjonens tegn på hvert intervall. Vi har pluss på det ekstreme høyre intervallet, så veksler tegnene, siden alle røtter har første grad.

Vi konstruerer en skisse av grafen i nærheten av røttene og bruddpunktene til ODZ. Vi har: siden fortegnet for funksjonen på et punkt endres fra pluss til minus, er kurven først over aksen, går deretter gjennom null og er deretter plassert under x-aksen. Når eller nevneren til en brøk er praktisk talt lik null, betyr det at når verdien av argumentet har en tendens til disse tallene, har verdien av brøken en tendens til uendelig. I dette tilfellet, når argumentet nærmer seg minus to til venstre, er funksjonen negativ og har en tendens til minus uendelig, til høyre er funksjonen positiv og forlater pluss uendelig. Omtrent to er det samme.

La oss finne den deriverte av funksjonen:

Det er klart at den deriverte alltid er mindre enn null, derfor reduseres funksjonen i alle seksjoner. Så, i seksjonen fra minus uendelig til minus to, reduseres funksjonen fra null til minus uendelig; i seksjonen fra minus to til null, reduseres funksjonen fra pluss uendelig til null; i seksjonen fra null til to synker funksjonen fra null til minus uendelig; i seksjonen fra to til pluss uendelig avtar funksjonen fra pluss uendelig til null.

La oss illustrere:

Ris. 6. Skisse av grafen til en funksjon, for eksempel 1

ved x, deretter gra-

y 2 x 5. Fordi

fic funksjoner ligger

over asymptoten

Eksempel 2 - skisser en graf av en funksjon:

Vi bygger en skisse av grafen til en funksjon uten å bruke en derivert.

La oss først undersøke den gitte funksjonen:

Vi har et enkelt punkt der funksjonen kan endre fortegn når argumentet passerer.

Merk at den gitte funksjonen er merkelig.

Vi bestemmer funksjonens tegn på hvert intervall. Vi har pluss på det ekstreme høyre intervallet, så endres fortegnet, siden roten har første grad.

Vi konstruerer en skisse av grafen i nærheten av roten. Vi har: siden fortegnet for funksjonen på et punkt endres fra minus til pluss, er kurven først under aksen, går deretter gjennom null og er deretter plassert over x-aksen.

Nå bygger vi en skisse av grafen til funksjonen i nærheten av punkter ved uendelig, det vil si når argumentet har en tendens til pluss eller minus uendelig. I dette tilfellet kan konstante vilkår neglisjeres. Vi har:

Etter å ha utført trinnene ovenfor, forestiller vi oss allerede grafen til funksjonen, men vi må avklare den ved å bruke den deriverte.

"Derivative problemer" - ?f(x) = f(x) - f(x0). x0 x0+?x. Hvordan forestiller du deg øyeblikkelig hastighet? Øyeblikkelig hastighetsproblem. y. Hvordan forestiller du deg øyeblikkelig hastighet? ?X=x-x0. Det som er sagt skrives ned i skjemaet. Først definerte vi "territoriet" til vår forskning. A l g o r i t m. Hastigheten v øker gradvis.

"Studie av den deriverte funksjonen" - Kanonen skyter i en vinkel mot horisonten. Alternativ 1 A B D Alternativ 2 G B B. Kommunal utdanningsinstitusjon Meshkovskaya Secondary School Matematikklærer Kovaleva T.V. Funksjonen er definert på segmentet [-4;4]. Hvordan er derivert og funksjon relatert? Svar: ANVENDELSE AV DERIVATET PÅ STUDIE AV FUNKSJONEN: økende og reduserende funksjoner. OPPGAVE Husker du historien om Baron Munchausen?

"Derivat av en kompleks funksjon" - Kompleks funksjon. Regelen for å finne den deriverte av en kompleks funksjon. Avledet av en enkel funksjon. Derivat av en kompleks funksjon. Kompleks funksjon: Eksempler:

"Anvendelse av den deriverte til studiet av funksjoner" - 6. -1. 8. Identifiser de kritiske punktene til funksjonen ved å bruke grafen til den deriverte av funksjonen. 1. =. 1. juli 1646 - 14. november 1716, oppvarming. Et tegn på økende og minkende funksjoner. Bestem tegnet til den deriverte av funksjonen på intervaller.

"Leksjon om den deriverte av en kompleks funksjon" - Den deriverte av en kompleks funksjon. Beregn hastigheten til punktet: a) ved tidspunkt t; b) i øyeblikket t=2 s. Finn de deriverte av funksjonene: , If. Brooke Taylor. Finn differensialen til funksjonen: Ved hvilke verdier av x holder likheten. Punktet beveger seg rettlinjet i henhold til loven s(t) = s(t) = (s er banen i meter, t er tid i sekunder).

"Definisjon av derivert" - 1. Bevis: f(x+ ?x). La u(x), v(x) og w(x) være differensierbare funksjoner i et eller annet intervall (a; b), C er en konstant. f(x). Ligning av en rett linje med en vinkelkoeffisient: Ved å bruke Newtons binomiale formel har vi: Teorem. Deretter: Derivert av en kompleks funksjon.

Det er totalt 31 presentasjoner

I denne leksjonen skal vi se på teknikken for å konstruere en skisse av en graf for en funksjon og gi forklarende eksempler.

Tema: Repetisjon

Leksjon: Skissere grafen til en funksjon (ved å bruke eksempelet på en brøk-kvadratisk funksjon)

Målet vårt er å skissere grafen til en brøkkvadratfunksjon. La oss for eksempel ta en funksjon vi allerede er kjent med:

En brøkfunksjon er gitt, hvis teller og nevner inneholder kvadratiske funksjoner.

Skisseteknikken er som følger:

1. Velg intervaller med konstant fortegn og bestem fortegnet for funksjonen på hver (Figur 1)

Vi undersøkte i detalj og fant ut at en funksjon som er kontinuerlig i en ODZ kan endre fortegn bare når argumentet går gjennom røttene og bruddpunktene til ODZ.

Den gitte funksjonen y er kontinuerlig i sin ODZ; la oss indikere ODZ:

La oss finne røttene:

Ris. 1. Intervaller med konstant fortegn for en funksjon

For å bestemme tegnet til en funksjon på hvert intervall, kan du ta et hvilket som helst punkt som hører til intervallet, erstatte det med funksjonen og bestemme fortegnet. For eksempel:

På intervallet har funksjonen et plusstegn

På intervallet har funksjonen et minustegn.

Dette er fordelen med intervallmetoden: vi bestemmer fortegnet ved et enkelt prøvepunkt og konkluderer med at funksjonen vil ha samme fortegn over hele det valgte intervallet.

Du kan imidlertid stille inn fortegnene automatisk, uten å beregne funksjonsverdiene, for å gjøre dette, bestemme fortegnet ved det ekstreme intervallet og deretter alternere fortegnene.

1. La oss bygge en graf i nærheten av hver rot. Husk at røttene til denne funksjonen og:

Ris. 2. Graf i nærheten av røttene

Siden fortegnet for funksjonen på et punkt endres fra pluss til minus, er kurven først over aksen, går deretter gjennom null og er deretter plassert under x-aksen. Det er motsatt på punktet.

2. La oss konstruere en graf i nærheten av hver ODZ-diskontinuitet. Husk at røttene til nevneren til denne funksjonen og:

Ris. 3. Graf over funksjonen i nærheten av diskontinuitetspunktene til ODZ

I henhold til den konstruerte skissen kan vi gjette arten av funksjonens oppførsel i noen intervaller.

Ris. 4. Skisse av funksjonsgrafen

La oss vurdere følgende viktige oppgave - å konstruere en skisse av grafen til en funksjon i nærheten av punkter ved uendelig, dvs. når argumentet har en tendens til pluss eller minus uendelig. I dette tilfellet kan konstante vilkår neglisjeres. Vi har:

Noen ganger kan du finne denne registreringen av dette faktum:

Ris. 5. Skisse av grafen til en funksjon i nærheten av punkter ved uendelig

Vi har fått en omtrentlig oppførsel av funksjonen over hele dens definisjonsdomene; så må vi avgrense konstruksjonen ved å bruke den deriverte.

Eksempel 1 - skisser en graf av en funksjon:

Vi har tre punkter som funksjonen kan endre fortegn gjennom når argumentet passerer.

Vi bestemmer funksjonens tegn på hvert intervall. Vi har pluss på det ekstreme høyre intervallet, så veksler tegnene, siden alle røtter har første grad.

La oss finne den deriverte av funksjonen:

La oss illustrere:

Ris. 6. Skisse av grafen til en funksjon, for eksempel 1

Eksempel 2 - skisser en graf av en funksjon:

Vi bygger en skisse av grafen til en funksjon uten å bruke en derivert.

La oss først undersøke den gitte funksjonen:

Vi har et enkelt punkt der funksjonen kan endre fortegn når argumentet passerer.

Merk at den gitte funksjonen er merkelig.

Vi bestemmer funksjonens tegn på hvert intervall. Vi har pluss på det ekstreme høyre intervallet, så endres fortegnet, siden roten har første grad.

Nå konstruerer vi en skisse av grafen til funksjonen i nærheten av punkter ved uendelig, dvs. når argumentet har en tendens til pluss eller minus uendelig. I dette tilfellet kan konstante vilkår neglisjeres. Vi har:

Etter å ha utført trinnene ovenfor, forestiller vi oss allerede grafen til funksjonen, men vi må avklare den ved å bruke den deriverte.

La oss finne den deriverte av funksjonen:

Vi velger intervaller med konstant fortegn for den deriverte: ved . ODZ her. Dermed har vi tre intervaller med konstant fortegn for den deriverte og tre seksjoner av monotonisitet til den opprinnelige funksjonen. La oss bestemme tegnene til den deriverte på hvert intervall. Når den deriverte er positiv, funksjonen øker; når den deriverte er negativ, er funksjonen synkende. I dette tilfellet - minimumspunktet, fordi den deriverte endrer fortegn fra minus til pluss; tvert imot, maksimumspunktet.