Egenskaper til logaritme og eksponent. Naturlig logaritme og tall e. Uttrykk gjennom komplekse tall

Ikke verst i det hele tatt, ikke sant? Mens matematikere søker etter ord for å gi deg en lang, forvirrende definisjon, la oss se nærmere på denne enkle og klare.

Tallet e betyr vekst

Tallet e betyr kontinuerlig vekst. Som vi så i forrige eksempel, tillater e x oss å koble rente og tid: 3 år ved 100 % vekst er det samme som 1 år ved 300 %, forutsatt "sammensatt rente".

Du kan erstatte en hvilken som helst prosent- og tidsverdi (50 % i 4 år), men det er bedre å sette prosentandelen til 100 % for enkelhets skyld (det viser seg 100 % i 2 år). Ved å gå over til 100 % kan vi fokusere utelukkende på tidskomponenten:

e x = e prosent * tid = e 1,0 * tid = e tid

Åpenbart betyr e x:

hvor mye vil mitt bidrag vokse etter x tidsenheter (forutsatt 100 % kontinuerlig vekst).
for eksempel, etter 3 tidsintervaller vil jeg motta e 3 = 20,08 ganger flere "ting".

e x er en skaleringsfaktor som viser hvilket nivå vi vil vokse til i løpet av x tid.

Naturlig logaritme betyr tid

Den naturlige logaritmen er inversen til e, en fancy term for motsatt. Apropos særheter; på latin heter det logarithmus naturali, derav forkortelsen ln.

Og hva betyr denne inversjonen eller det motsatte?

e x lar oss erstatte tid og få vekst.
ln(x) lar oss ta vekst eller inntekt og finne ut tiden det tar å generere den.

For eksempel:

e 3 tilsvarer 20.08. Etter tre perioder vil vi ha 20,08 ganger mer enn det vi startet med.
ln(08/20) vil være omtrent 3. Hvis du er interessert i vekst på 20,08 ganger, trenger du 3 tidsperioder (igjen, forutsatt 100 % kontinuerlig vekst).

Leser du fortsatt? Den naturlige logaritmen viser tiden det tar å nå ønsket nivå.

Dette ikke-standard logaritmiske antallet

Har du gått gjennom logaritmer - de er rare skapninger. Hvordan klarte de å gjøre multiplikasjon til addisjon? Hva med divisjon i subtraksjon? La oss ta en titt.

Hva er ln(1) lik? Intuitivt er spørsmålet: hvor lenge skal jeg vente for å få 1x mer enn det jeg har?

Null. Null. Ikke i det hele tatt. Du har det allerede en gang. Det tar ikke lang tid å gå fra nivå 1 til nivå 1.

ln(1) = 0

Ok, hva med brøkverdien? Hvor lang tid vil det ta før vi har 1/2 av tilgjengelig mengde igjen? Vi vet at med 100 % kontinuerlig vekst betyr ln(2) tiden det tar å doble seg. Hvis vi la oss skru tiden tilbake(dvs. vent en negativ tid), så får vi halvparten av det vi har.

ln(1/2) = -ln(2) = -0,693

Logisk, ikke sant? Går vi tilbake (tid tilbake) til 0,693 sekunder, finner vi halve beløpet tilgjengelig. Generelt kan du snu brøken og ta en negativ verdi: ln(1/3) = -ln(3) = -1,09. Det betyr at hvis vi går tilbake i tid til 1,09 ganger, vil vi kun finne en tredjedel av dagens antall.

Ok, hva med logaritmen til et negativt tall? Hvor lang tid tar det å "dyrke" en koloni av bakterier fra 1 til -3?

Dette er umulig! Du kan vel ikke få et negativt bakterietall? Du kan få et maksimum (eh...minimum) på null, men det er ingen måte du kan få et negativt tall fra disse små dyrene. Et negativt antall bakterier gir rett og slett ikke mening.

ln(negativt tall) = udefinert

"Udefinert" betyr at det ikke er noen tid som må vente for å få en negativ verdi.

Logaritmisk multiplikasjon er bare morsomt

Hvor lang tid vil det ta å vokse firedoblet? Selvfølgelig kan du bare ta ln(4). Men dette er for enkelt, vi går den andre veien.

Du kan tenke på firedobbel vekst som dobling (krever ln(2) tidsenheter) og deretter dobling igjen (krever ytterligere ln(2) tidsenheter):

Tid til å vokse 4 ganger = ln(4) = Tid til å doble og deretter doble igjen = ln(2) + ln(2)

Interessant. Enhver vekstrate, for eksempel 20, kan betraktes som en dobling rett etter en 10x økning. Eller vekst med 4 ganger, og deretter med 5 ganger. Eller tredoble og deretter øke med 6.666 ganger. Ser du mønsteret?

ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

Logaritmen til A ganger B er log(A) + log(B). Dette forholdet gir umiddelbart mening når det sees i form av vekst.

Hvis du er interessert i 30x vekst, kan du vente ln(30) i en gang, eller vente ln(3) for tredobling, og deretter en annen ln(10) for 10x. Sluttresultatet er det samme, så selvfølgelig må tiden forbli konstant (og det gjør den).

Hva med deling? Nærmere bestemt betyr ln(5/3): hvor lang tid vil det ta å vokse 5 ganger og deretter få 1/3 av det?

Flott, vekst med 5 ganger er ln(5). En økning på 1/3 ganger vil ta -ln(3) tidsenheter. Så,

ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

Dette betyr: la det vokse 5 ganger, og deretter "gå tilbake i tid" til det punktet hvor bare en tredjedel av den mengden gjenstår, slik at du får 5/3 vekst. Generelt viser det seg

ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Jeg håper at den merkelige aritmetikken til logaritmer begynner å gi mening for deg: å multiplisere veksthastigheter blir å legge til veksttidsenheter, og å dele blir å subtrahere tidsenheter. Du trenger ikke å huske reglene, prøv å forstå dem.

Bruke den naturlige logaritmen for vilkårlig vekst

Vel, selvfølgelig," sier du, "det er bra hvis veksten er 100 %, men hva med de 5 % jeg mottar?"

Ikke noe problem. "Tiden" vi beregner med ln() er faktisk en kombinasjon av rente og tid, samme X fra e x-ligningen. Vi bestemte oss nettopp for å sette prosentandelen til 100 % for enkelhets skyld, men vi står fritt til å bruke alle tall.

La oss si at vi ønsker å oppnå 30x vekst: ta ln(30) og få 3,4 Dette betyr:

e x = høyde
e 3,4 = 30

Åpenbart betyr denne ligningen "100 % avkastning over 3,4 år gir 30x vekst." Vi kan skrive denne ligningen som følger:

e x = e rate*tid
e 100 % * 3,4 år = 30

Vi kan endre verdiene for "bet" og "time", så lenge innsatsen * tiden forblir 3,4. For eksempel, hvis vi er interessert i 30x vekst, hvor lenge må vi vente med en rente på 5 %?

ln(30) = 3,4
rate * tid = 3,4
0,05 * tid = 3,4
tid = 3,4 / 0,05 = 68 år

Jeg resonnerer slik: "ln(30) = 3,4, så ved 100 % vekst vil det ta 3,4 år. Hvis jeg dobler veksthastigheten, halveres tiden som kreves."

100 % i 3,4 år = 1,0 * 3,4 = 3,4
200 % på 1,7 år = 2,0 * 1,7 = 3,4
50 % i 6,8 år = 0,5 * 6,8 = 3,4
5 % over 68 år = ,05 * 68 = 3,4.

Flott, ikke sant? Den naturlige logaritmen kan brukes med hvilken som helst rente og tid fordi produktet deres forblir konstant. Du kan flytte variabelverdier så mye du vil.

Kult eksempel: Regel om syttito

Rule of Seventy-Two er en matematisk teknikk som lar deg anslå hvor lang tid det vil ta før pengene dine dobles. Nå skal vi utlede det (ja!), og dessuten vil vi prøve å forstå essensen.

Hvor lang tid vil det ta å doble pengene dine til 100 % rente sammensatt årlig?

Oops. Vi brukte den naturlige logaritmen for tilfellet med kontinuerlig vekst, og nå snakker du om årlig sammensetning? Ville ikke denne formelen blitt uegnet for et slikt tilfelle? Ja, det vil det, men for realrenter som 5 %, 6 % eller til og med 15 %, vil forskjellen mellom årlig sammensetning og kontinuerlig vekst være liten. Så det grove anslaget fungerer, um, omtrent, så vi vil late som om vi har en helt kontinuerlig periodisering.

Nå er spørsmålet enkelt: Hvor raskt kan du doble med 100 % vekst? ln(2) = 0,693. Det tar 0,693 tidsenheter (år i vårt tilfelle) å doble beløpet vårt med en kontinuerlig økning på 100 %.

Så, hva om renten ikke er 100 %, men si 5 % eller 10 %?

Enkelt! Siden innsats * tid = 0,693, dobler vi beløpet:

rate * tid = 0,693
tid = 0,693 / innsats

Det viser seg at dersom veksten er 10 % vil det ta 0,693 / 0,10 = 6,93 år å doble seg.

For å forenkle beregningene, la oss multiplisere begge sider med 100, så kan vi si "10" i stedet for "0,10":

tid til dobling = 69,3 / innsats, hvor innsatsen er uttrykt i prosent.

Nå er det på tide å doble med en hastighet på 5 %, 69,3 / 5 = 13,86 år. 69,3 er imidlertid ikke det mest praktiske utbyttet. La oss velge et nært tall, 72, som er praktisk å dele på 2, 3, 4, 6, 8 og andre tall.

tid til å doble = 72 / innsats

som er regelen for syttito. Alt er dekket.

Hvis du trenger å finne tiden til å tredoble, kan du bruke ln(3) ~ 109.8 og få

tid til å tredoble = 110 / innsats

Noe som er en annen nyttig regel. «Rule of 72» gjelder vekst i renter, befolkningsvekst, bakteriekulturer og alt som vokser eksponentielt.

Hva blir det neste?

Forhåpentligvis gir den naturlige logaritmen nå mening for deg - den viser tiden det tar før et tall vokser eksponentielt. Jeg tror det kalles naturlig fordi e er et universelt mål på vekst, så ln kan betraktes som en universell måte å bestemme hvor lang tid det tar å vokse.

Hver gang du ser ln(x), husk "tiden det tar å vokse X ganger". I en kommende artikkel vil jeg beskrive e og ln i sammenheng slik at den friske duften av matematikk skal fylle luften.

Tillegg: Naturlig logaritme av e

Rask quiz: hva er ln(e)?

en matematikkrobot vil si: siden de er definert som invers av hverandre, er det åpenbart at ln(e) = 1.
forstå person: ln(e) er antall ganger det tar å vokse "e" ganger (omtrent 2.718). Imidlertid er tallet e i seg selv et mål på vekst med en faktor på 1, så ln(e) = 1.

Tenk klart.

9. september 2013

Leksjon og presentasjon om temaene: "Naturlige logaritmer. Grunnlaget for den naturlige logaritmen. Logaritmen til et naturlig tall"

Ytterligere materialer
Kjære brukere, ikke glem å legge igjen kommentarer, anmeldelser, ønsker! Alt materiale er sjekket av et antivirusprogram.

Læremidler og simulatorer i Integral nettbutikk for 11. klasse
Interaktiv manual for klasse 9–11 "Trigonometri"
Interaktiv manual for klasse 10–11 "Logarithms"

Hva er naturlig logaritme

Gutter, i den siste leksjonen lærte vi et nytt, spesielt nummer - e. I dag skal vi fortsette å jobbe med dette nummeret.
Vi har studert logaritmer og vi vet at basisen til en logaritme kan være mange tall som er større enn 0. I dag skal vi også se på en logaritme hvis grunntall er tallet e. En slik logaritme kalles vanligvis den naturlige logaritmen. Den har sin egen notasjon: $\ln(n)$ er den naturlige logaritmen. Denne oppføringen tilsvarer oppføringen: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Eksponentielle og logaritmiske funksjoner er invers, så er den naturlige logaritmen inversen av funksjonen: $y=e^x$.
Inverse funksjoner er symmetriske med hensyn til den rette linjen $y=x$.
La oss plotte den naturlige logaritmen ved å plotte eksponentialfunksjonen med hensyn til den rette linjen $y=x$.

Det er verdt å merke seg at helningsvinkelen til tangenten til grafen til funksjonen $y=e^x$ i punktet (0;1) er 45&grader. Da vil helningsvinkelen til tangenten til grafen til den naturlige logaritmen i punktet (1;0) også være lik 45&grader. Begge disse tangentene vil være parallelle med linjen $y=x$. La oss diagramme tangentene:

Egenskaper for funksjonen $y=\ln(x)$

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. Er verken partall eller oddetall.
3. Øker gjennom hele definisjonsdomenet.
4. Ikke begrenset ovenfra, ikke begrenset nedenfra.
5. Det er ingen største verdi, ingen minimumsverdi.
6. Kontinuerlig.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Konveks oppover.
9. Differensierbar overalt.

I løpet av høyere matematikk er det bevist at den deriverte av en invers funksjon er den inverse av den deriverte av en gitt funksjon.
Det er ikke mye vits i å gå inn på beviset, la oss bare skrive formelen: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

Eksempel.
Beregn verdien av den deriverte av funksjonen: $y=\ln(2x-7)$ i punktet $x=4$.
Løsning.
Generelt er funksjonen vår representert av funksjonen $y=f(kx+m)$; vi kan beregne deriverte av slike funksjoner.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
La oss beregne verdien av den deriverte ved det nødvendige punktet: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Svar: 2.

Eksempel.
Tegn en tangent til grafen til funksjonen $y=ln(x)$ i punktet $х=е$.
Løsning.
Vi husker godt likningen av tangenten til grafen til en funksjon i punktet $x=a$.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Vi beregner de nødvendige verdiene sekvensielt.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
Tangentligningen i punktet $x=e$ er funksjonen $y=\frac(x)(e)$.
La oss plotte den naturlige logaritmen og tangentlinjen.

Eksempel.
Undersøk funksjonen for monotonisitet og ekstrema: $y=x^6-6*ln(x)$.
Løsning.
Definisjonsdomenet til funksjonen $D(y)=(0;+∞)$.
La oss finne den deriverte av den gitte funksjonen:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Den deriverte eksisterer for alle x fra definisjonsdomenet, da er det ingen kritiske punkter. La oss finne stasjonære punkter:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
Punktet $х=-1$ tilhører ikke definisjonsdomenet. Da har vi ett stasjonært punkt $x=1$. La oss finne intervallene for økning og reduksjon:

Punkt $x=1$ er minimumspunktet, deretter $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Svar: Funksjonen avtar på segmentet (0;1), funksjonen øker på strålen $)