Jak podzielić ułamki niewłaściwe o różnych mianownikach. Dzielenie ułamka przez liczbę naturalną


Ułamek to jedna lub więcej części całości, która jest zwykle traktowana jako jednostka (1). Podobnie jak w przypadku liczb naturalnych, możesz wykonywać wszystkie podstawowe operacje arytmetyczne na ułamkach (dodawanie, odejmowanie, dzielenie, mnożenie), w tym celu musisz znać funkcje pracy z ułamkami i rozróżniać ich rodzaje. Istnieje kilka rodzajów ułamków: dziesiętne i zwykłe lub proste. Każdy rodzaj ułamków ma swoją specyfikę, ale kiedy już raz dokładnie zrozumiesz, jak sobie z nimi radzić, będziesz w stanie rozwiązać dowolne przykłady z ułamkami, ponieważ poznasz podstawowe zasady wykonywania obliczeń arytmetycznych na ułamkach. Przyjrzyjmy się przykładom dzielenia ułamka przez liczbę całkowitą przy użyciu różnych typów ułamków.

Jak podzielić prosty ułamek przez Liczba naturalna?
Zwykłe lub proste ułamki nazywane są ułamkami, które są zapisywane jako taki stosunek liczb, w którym dywidenda (licznik) jest wskazana na górze ułamka, a dzielnik (mianownik) ułamka jest wskazany poniżej. Jak podzielić taki ułamek przez liczbę całkowitą? Spójrzmy na przykład! Powiedzmy, że musimy podzielić 8/12 przez 2.


W tym celu musimy wykonać szereg czynności:
Tak więc, jeśli staniemy przed zadaniem podzielenia ułamka przez liczbę całkowitą, schemat rozwiązania będzie wyglądał mniej więcej tak:


Podobnie możesz podzielić dowolny zwykły (prosty) ułamek przez liczbę całkowitą.

Jak podzielić ułamek dziesiętny przez liczbę całkowitą?
Ułamek dziesiętny to ułamek, który otrzymuje się dzieląc jednostkę na dziesięć, tysiąc itd. części. Operacje arytmetyczne na ułamkach dziesiętnych są dość proste.

Rozważ przykład dzielenia ułamka przez liczbę całkowitą. Powiedzmy, że musimy podzielić ułamek dziesiętny 0,925 przez liczbę naturalną 5.


Podsumowując, skupimy się na dwóch głównych punktach, które są ważne podczas wykonywania operacji dzielenia ułamków dziesiętnych przez liczbę całkowitą:
  • oddzielić Ułamek dziesiętny podział na kolumny dotyczy liczby naturalnej;
  • przecinek jest umieszczany w prywatnym, gdy dzielenie części całkowitej dywidendy jest zakończone.
Stosowanie tych proste zasady, zawsze możesz łatwo podzielić dowolny ułamek dziesiętny lub zwykły przez liczbę całkowitą.

) i mianownik przez mianownik (otrzymujemy mianownik iloczynu).

Wzór na mnożenie ułamków:

Na przykład:

Przed przystąpieniem do mnożenia liczników i mianowników należy sprawdzić możliwość redukcji ułamka. Jeśli uda ci się zmniejszyć ułamek, łatwiej będzie ci kontynuować obliczenia.

Dzielenie ułamka zwykłego przez ułamek zwykły.

Dzielenie ułamków z wykorzystaniem liczby naturalnej.

To nie jest takie straszne, jak się wydaje. Podobnie jak w przypadku dodawania zamieniamy liczbę całkowitą na ułamek z jednostką w mianowniku. Na przykład:

Mnożenie ułamków mieszanych.

Zasady mnożenia ułamków zwykłych (mieszane):

  • zamień ułamki mieszane na niewłaściwe;
  • pomnożyć liczniki i mianowniki ułamków;
  • zmniejszamy ułamek;
  • jeśli nie otrzymano Prawidłowa frakcja, to zamieniamy ułamek niewłaściwy na mieszany.

Notatka! Aby pomnożyć ułamek mieszany przez inny ułamek mieszany, należy najpierw doprowadzić je do postaci ułamków niewłaściwych, a następnie pomnożyć zgodnie z zasadą mnożenia ułamków zwykłych.

Drugi sposób mnożenia ułamka przez liczbę naturalną.

Bardziej wygodne jest użycie drugiej metody mnożenia ułamka zwykłego przez liczbę.

Notatka! Aby pomnożyć ułamek przez liczbę naturalną, należy podzielić mianownik ułamka przez tę liczbę i pozostawić licznik bez zmian.

Z powyższego przykładu widać, że ta opcja jest wygodniejsza w użyciu, gdy mianownik ułamka dzieli się bez reszty przez liczbę naturalną.

Ułamki wielopoziomowe.

W liceum często spotyka się trzypiętrowe (lub więcej) frakcje. Przykład:

Aby doprowadzić taki ułamek do jego zwykłej postaci, stosuje się podział przez 2 punkty:

Notatka! Podczas dzielenia ułamków bardzo ważna jest kolejność dzielenia. Uważaj, tutaj łatwo się pomylić.

Notatka, Na przykład:

Dzieląc jeden przez dowolny ułamek, wynikiem będzie ten sam ułamek, tylko odwrócony:

Praktyczne wskazówki dotyczące mnożenia i dzielenia ułamków zwykłych:

1. Najważniejszą rzeczą w pracy z wyrażeniami ułamkowymi jest dokładność i uważność. Wszystkie obliczenia wykonuj ostrożnie i dokładnie, skoncentrowanie i wyraźnie. Lepiej napisać kilka dodatkowych linijek w szkicu, niż pogubić się w obliczeniach w głowie.

2. W zadaniach z różne rodzaje ułamki - przejdź do postaci ułamków zwykłych.

3. Skracamy wszystkie ułamki do momentu, gdy redukcja nie jest już możliwa.

4. Wielokondygnacyjny wyrażenia ułamkowe sprowadzamy do postaci zwykłych, stosując podział przez 2 punkty.

5. Dzielimy jednostkę na ułamek w naszym umyśle, po prostu obracając ułamek.

Za pomocą ułamków możesz wykonywać wszystkie czynności, w tym dzielenie. W tym artykule pokazano dzielenie ułamków zwykłych. Podane zostaną definicje, rozważone zostaną przykłady. Zastanówmy się nad podziałem ułamków przez liczby naturalne i odwrotnie. Rozważony zostanie podział zwykłego ułamka przez liczbę mieszaną.

Dzielenie ułamków zwykłych

Dzielenie jest odwrotnością mnożenia. Podczas dzielenia nieznany czynnik znajduje się w słynne dzieło i inny czynnik, w którym jego nadane znaczenie jest zachowane za pomocą zwykłych ułamków.

Jeśli konieczne jest podzielenie zwykłego ułamka a b przez c d, to aby określić taką liczbę, należy pomnożyć przez dzielnik c d, to ostatecznie da dywidendę a b. Znajdźmy liczbę i zapiszmy ją a b · d c , gdzie d c jest odwrotnością liczby c d. Równości można zapisać korzystając z własności mnożenia, a mianowicie: a b d c c d = a b d c c d = a b 1 = a b , gdzie wyrażenie a b d c jest ilorazem dzielenia a b przez c d .

Stąd otrzymujemy i formułujemy zasadę dzielenia ułamków zwykłych:

Definicja 1

Aby podzielić zwykły ułamek a b przez c d, należy pomnożyć dywidendę przez odwrotność dzielnika.

Zapiszmy regułę jako wyrażenie: a b: c d = a b d c

Zasady dzielenia sprowadzają się do mnożenia. Aby się tego trzymać, musisz być dobrze zorientowany w wykonywaniu mnożenia ułamków zwykłych.

Przejdźmy do dzielenia ułamków zwykłych.

Przykład 1

Wykonaj podział 9 7 przez 5 3 . Zapisz wynik w postaci ułamka.

Rozwiązanie

Liczba 5 3 jest odwrotnością liczby 3 5 . Musisz użyć reguły dzielenia ułamków zwykłych. Piszemy to wyrażenie w następujący sposób: 9 7: 5 3 \u003d 9 7 3 5 \u003d 9 3 7 5 \u003d 27 35.

Odpowiedź: 9 7: 5 3 = 27 35 .

Skracając ułamki, należy podświetlić całą część, jeśli licznik jest większy niż mianownik.

Przykład 2

Podziel 8 15: 24 65 . Zapisz odpowiedź w postaci ułamka.

Rozwiązanie

Rozwiązaniem jest przejście z dzielenia na mnożenie. Zapisujemy to w takiej postaci: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Konieczne jest dokonanie redukcji, a odbywa się to w następujący sposób: 8 65 15 24 \u003d 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 \u003d 13 3 3 \u003d 13 9

Wybieramy część całkowitą i otrzymujemy 13 9 = 1 4 9 .

Odpowiedź: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

Dzielenie ułamka nadzwyczajnego przez liczbę naturalną

Korzystamy z zasady dzielenia ułamka przez liczbę naturalną: aby podzielić a b przez liczbę naturalną n wystarczy pomnożyć tylko mianownik przez n. Stąd otrzymujemy wyrażenie: a b: n = a b · n .

Reguła dzielenia jest konsekwencją zasady mnożenia. Dlatego przedstawienie liczby naturalnej jako ułamka da równość tego typu: a b: n \u003d a b: n 1 \u003d a b 1 n \u003d a b n.

Rozważmy dzielenie ułamka przez liczbę.

Przykład 3

Podziel ułamek 1645 przez liczbę 12.

Rozwiązanie

Zastosuj regułę dzielenia ułamka przez liczbę. Otrzymujemy wyrażenie takie jak 16 45: 12 = 16 45 12 .

Skróćmy ułamek. Otrzymujemy 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135 .

Odpowiedź: 16 45: 12 = 4 135 .

Dzielenie liczby naturalnej przez ułamek zwykły

Zasada podziału jest podobna O zasada dzielenia liczby naturalnej przez ułamek zwykły: aby podzielić liczbę naturalną n przez zwykłą a b , należy pomnożyć liczbę n przez odwrotność ułamka a b .

Na podstawie reguły mamy n: a b \u003d n b a, a dzięki zasadzie mnożenia liczby naturalnej przez ułamek zwykły otrzymujemy nasze wyrażenie w postaci n: a b \u003d n b a. Konieczne jest rozważenie tego podziału na przykładzie.

Przykład 4

Podziel 25 przez 15 28 .

Rozwiązanie

Musimy przejść od dzielenia do mnożenia. Piszemy w formie wyrażenia 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15 . Skróćmy ułamek i uzyskajmy wynik w postaci ułamka 46 2 3 .

Odpowiedź: 25: 15 28 = 46 2 3 .

Dzielenie ułamka zwykłego przez liczbę mieszaną

Dzieląc ułamek zwykły przez liczbę mieszaną, możesz łatwo zabłysnąć w dzieleniu ułamków zwykłych. Musisz zamienić liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy.

Przykład 5

Podziel ułamek 35 16 przez 3 1 8 .

Rozwiązanie

Ponieważ 3 1 8 jest liczbą mieszaną, przedstawmy ją jako ułamek niewłaściwy. Wtedy otrzymujemy 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8 . Teraz podzielmy ułamki. Otrzymujemy 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10

Odpowiedź: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

Dzielenie liczby mieszanej odbywa się w taki sam sposób, jak zwykłe liczby.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

T typ klasy: ONZ (odkrywanie nowej wiedzy - zgodnie z technologią działania metoda nauczania).

Podstawowe cele:

  1. Wydedukować metody dzielenia ułamka przez liczbę naturalną;
  2. Aby stworzyć umiejętność wykonywania podziału ułamka przez liczbę naturalną;
  3. Powtórz i skonsoliduj podział ułamków;
  4. Trenuj umiejętność zmniejszania ułamków, analizowania i rozwiązywania problemów.

Materiał demonstracyjny sprzętu:

1. Zadania aktualizacji wiedzy:

Porównaj wyrażenia:

Odniesienie:

2. Zadanie próbne (indywidualne).

1. Wykonaj podział:

2. Wykonaj dzielenie bez wykonywania całego łańcucha obliczeń: .

Bibliografia:

  • Dzieląc ułamek przez liczbę naturalną, możesz pomnożyć mianownik przez tę liczbę i pozostawić licznik bez zmian.

  • Jeśli licznik jest podzielny przez liczbę naturalną, to dzieląc ułamek przez tę liczbę, możesz podzielić licznik przez liczbę i pozostawić mianownik bez zmian.

Podczas zajęć

I. Motywacja (samostanowienie) do działań edukacyjnych.

Cel etapu:

  1. Zorganizować aktualizację wymagań wobec ucznia ze strony zajęć edukacyjnych („must”);
  2. Organizowanie działań uczniów w celu ustalenia ram tematycznych („Mogę”);
  3. Stworzenie warunków, aby uczeń miał wewnętrzną potrzebę włączenia w działania edukacyjne („chcę”).

Organizacja proces edukacyjny na I etapie

Cześć! Cieszę się, że widzę was wszystkich na lekcji matematyki. Mam nadzieję, że z wzajemnością.

Chłopaki, jaką nową wiedzę zdobyliście na ostatniej lekcji? (Podziel ułamki).

Prawidłowy. Co pomaga w dzieleniu ułamków zwykłych? (Reguła, właściwości).

Gdzie potrzebujemy tej wiedzy? (W przykładach równania, zadania).

Dobrze zrobiony! Dobrze ci poszło na ostatniej lekcji. Chciałbyś sam odkryć nową wiedzę już dziś? (Tak).

Więc idź! A mottem lekcji jest stwierdzenie „Matematyki nie można się nauczyć obserwując, jak robi to sąsiad!”.

II. Aktualizacja wiedzy i utrwalenie indywidualnej trudności w działaniu próbnym.

Cel etapu:

  1. Zorganizować aktualizację badanych metod działania, wystarczającą do zbudowania nowej wiedzy. Napraw te metody werbalnie (w mowie) i symbolicznie (standardowo) i uogólnij je;
  2. Organizować aktualizację operacji umysłowych i procesów poznawczych wystarczających do budowania nowej wiedzy;
  3. Motywowanie do akcji próbnej oraz jej samodzielna realizacja i uzasadnienie;
  4. Przedstawić indywidualne zadanie do akcji próbnej i przeanalizować je w celu identyfikacji nowych treści edukacyjnych;
  5. Zorganizuj ustalenie celu edukacyjnego i tematu lekcji;
  6. Zorganizujemy wykonanie akcji próbnej i naprawienie trudności;
  7. Zorganizuj analizę otrzymanych odpowiedzi i odnotuj indywidualne trudności w wykonaniu czynności próbnej lub jej uzasadnieniu.

Organizacja procesu edukacyjnego na etapie II.

Frontalnie za pomocą tabletów (pojedyncze plansze).

1. Porównaj wyrażenia:

(Te wyrażenia są równe)

Jakie ciekawe rzeczy zauważyłeś? (Licznik i mianownik dzielnej, licznik i mianownik dzielnika w każdym wyrażeniu wzrosły o tę samą liczbę razy. Zatem dzielne i dzielniki w wyrażeniach są reprezentowane przez ułamki, które są sobie równe).

Znajdź znaczenie wyrażenia i zapisz je na tabliczce. (2)

Jak zapisać tę liczbę w postaci ułamka zwykłego?

Jak wykonałeś akcję dzielenia? (Dzieci wymawiają regułę, nauczyciel zawiesza litery na tablicy)

2. Oblicz i zapisz tylko wyniki:

3. Dodaj swoje wyniki i zapisz odpowiedź. (2)

Jak nazywa się liczba uzyskana w zadaniu 3? (Naturalny)

Myślisz, że możesz podzielić ułamek przez liczbę naturalną? (Tak, spróbujemy)

Spróbuj tego.

4. Zadanie indywidualne (próbne).

Wykonaj dzielenie: (tylko przykład a)

Jakiej zasady użyłeś do podziału? (Zgodnie z zasadą dzielenia ułamka przez ułamek)

Teraz podziel ułamek przez liczbę naturalną w prosty sposób, bez wykonywania całego łańcucha obliczeń: (przykład b). Daję ci na to 3 sekundy.

Komu nie udało się wykonać zadania w 3 sekundy?

Kto to zrobił? (takich nie ma)

Dlaczego? (Nie znamy drogi)

Co dostałeś? (Trudność)

Jak myślisz, co będziemy robić na zajęciach? (Podziel ułamki przez liczby naturalne)

Zgadza się, otwórz swoje zeszyty i zapisz temat lekcji „Dzielenie ułamka przez liczbę naturalną”.

Dlaczego ten temat wydaje się nowy, skoro już wiesz, jak dzielić ułamki zwykłe? (Potrzebuję nowej drogi)

Prawidłowy. Dzisiaj ustalimy technikę, która upraszcza dzielenie ułamka przez liczbę naturalną.

III. Identyfikacja lokalizacji i przyczyny trudności.

Cel etapu:

  1. Zorganizuj przywrócenie wykonanych operacji i ustal (werbalnie i symbolicznie) miejsce – krok, operację, w której powstała trudność;
  2. Uporządkowanie korelacji działań uczniów z zastosowaną metodą (algorytmem) i utrwalenie w mowie zewnętrznej przyczyny trudności - tej konkretnej wiedzy, umiejętności lub zdolności, które nie wystarczą do rozwiązania początkowego problemu tego typu.

Organizacja procesu edukacyjnego na etapie III.

Jakie zadanie musiałeś wykonać? (Podziel ułamek przez liczbę naturalną bez wykonywania całego łańcucha obliczeń)

Co sprawiło ci trudność? (Nie mogłem się zdecydować na Krótki czas szybki sposób)

Jaki jest cel naszej lekcji? (Znajdować szybki sposób dzielenie ułamka przez liczbę naturalną)

Co Ci pomoże? (Już znana zasada dzielenia ułamków)

IV. Budowa projektu wyjścia z trudności.

Cel etapu:

  1. Wyjaśnienie celu projektu;
  2. Wybór metody (wyjaśnienie);
  3. Definicja funduszy (algorytm);
  4. Budowanie planu osiągnięcia celu.

Organizacja procesu edukacyjnego na etapie IV.

Wróćmy do przypadku testowego. Czy powiedziałeś, że dzielisz według zasady dzielenia ułamków? (Tak)

Aby to zrobić, zamień liczbę naturalną na ułamek? (Tak)

Jak myślisz, które kroki możesz pominąć?

(Łańcuch rozwiązań jest otwarty na tablicy:

Przeanalizuj i wyciągnij wnioski. (Krok 1)

Jeśli nie ma odpowiedzi, podsumowujemy za pomocą pytań:

Gdzie się podział naturalny dzielnik? (do mianownika)

Licznik się zmienił? (NIE)

Jaki więc krok można „pominąć”? (Krok 1)

Plan działania:

  • Pomnóż mianownik ułamka przez liczbę naturalną.
  • Licznik się nie zmienia.
  • Otrzymujemy nowy ułamek.

V. Realizacja wykonanego projektu.

Cel etapu:

  1. Organizować interakcję komunikacyjną w celu realizacji skonstruowanego projektu mającego na celu pozyskanie brakującej wiedzy;
  2. Zorganizuj utrwalenie skonstruowanej metody działania w mowie i znakach (za pomocą standardu);
  3. Zorganizuj rozwiązanie pierwotnego problemu i odnotuj przezwyciężenie trudności;
  4. Zorganizuj wyjaśnienie ogólnego charakteru nowej wiedzy.

Organizacja procesu edukacyjnego na etapie V.

Teraz szybko uruchom przypadek testowy w nowy sposób.

Czy jesteś teraz w stanie szybko wykonać zadanie? (Tak)

Wyjaśnij, jak to zrobiłeś? (Dzieci mówią)

Oznacza to, że otrzymaliśmy nową wiedzę: zasadę dzielenia ułamka przez liczbę naturalną.

Dobrze zrobiony! Powiedz to w parach.

Następnie jeden uczeń przemawia do klasy. Algorytm reguł ustalamy werbalnie oraz w formie standardu na tablicy.

Teraz wprowadź oznaczenia literowe i zapisz formułę naszej reguły.

Uczeń zapisuje na tablicy, wypowiadając zasadę: dzieląc ułamek przez liczbę naturalną, można pomnożyć mianownik przez tę liczbę, a licznik pozostawić bez zmian.

(Wszyscy zapisują formułę w zeszytach).

A teraz jeszcze raz przeanalizuj łańcuch rozwiązywania zadania próbnego przez odwrócenie Specjalna uwaga odpowiedzieć. Co oni zrobili? (Licznik ułamka 15 został podzielony (zmniejszony) przez liczbę 3)

Co to za numer? (Naturalny, dzielnik)

Jak inaczej podzielić ułamek przez liczbę naturalną? (Sprawdź: jeśli licznik ułamka jest podzielny przez tę liczbę naturalną, to możesz podzielić licznik przez tę liczbę, wynik wpisać do licznika nowego ułamka, a mianownik pozostawić bez zmian)

Zapisz tę metodę w postaci formuły. (Uczeń zapisuje regułę na tablicy. Wszyscy zapisują formułę w zeszytach.)

Wróćmy do pierwszej metody. Czy można go użyć, jeśli a:n? (Tak to ogólny sposób)

A kiedy druga metoda jest wygodna w użyciu? (Gdy licznik ułamka jest podzielny przez liczbę naturalną bez reszty)

VI. Konsolidacja pierwotna z wymową w mowie zewnętrznej.

Cel etapu:

  1. Zorganizowanie przyswajania przez dzieci nowej metody działania przy rozwiązywaniu typowych problemów z ich wymową w mowie zewnętrznej (frontalnie, w parach lub grupach).

Organizacja procesu edukacyjnego na etapie VI.

Oblicz w nowy sposób:

  • Nr 363 (a; d) - występ przy tablicy, wymawiając regułę.
  • Nr 363 (d; f) - parami z czekiem na próbce.

VII. Samodzielna praca z autotestem zgodnie ze standardem.

Cel etapu:

  1. Zorganizować samodzielną realizację zadań dla nowego trybu działania;
  2. Zorganizuj autotest na podstawie porównania ze standardem;
  3. Zgodnie z wynikami wdrożenia niezależna praca zorganizować refleksję asymilacji nowego sposobu działania.

Organizacja procesu edukacyjnego na etapie VII.

Oblicz w nowy sposób:

  • nr 363 (b; c)

Uczniowie sprawdzają standard, zwracają uwagę na poprawność wykonania. Analizowane są przyczyny błędów i korygowane błędy.

Nauczyciel pyta tych uczniów, którzy popełnili błędy, jaki jest tego powód?

Na tym etapie ważne jest, aby każdy uczeń samodzielnie sprawdził swoją pracę.

VIII. Włączenie w system wiedzy i powtórzeń.

Cel etapu:

  1. Zorganizuj identyfikację granic zastosowania nowej wiedzy;
  2. Organizowanie powtarzania treści edukacyjnych niezbędnych do zapewnienia znaczącej ciągłości.

Organizacja procesu edukacyjnego na etapie VIII.

  • Zorganizuj utrwalenie nierozwiązanych trudności na lekcji jako kierunek przyszłych działań edukacyjnych;
  • Zorganizuj dyskusję i nagrywaj pracę domową.

    • Organizacja procesu edukacyjnego na etapie IX.

    1. Dialog:

    Kochani, jaką nową wiedzę dzisiaj odkryliście? (Nauczyliśmy się w prosty sposób dzielić ułamek przez liczbę naturalną)

    Sformułuj ogólny sposób. (Mówią)

    W jaki sposób iw jakich przypadkach nadal możesz go używać? (Mówią)

    Jaka jest zaleta nowej metody?

    Czy osiągnęliśmy cel lekcji? (Tak)

    Jakiej wiedzy użyłeś do osiągnięcia celu? (Mówią)

    Czy ci się udało?

    Jakie były trudności?

    2. Praca domowa: punkt 3.2.4.; nr 365 (l, n, o, p); nr 370.

    3. Nauczyciel: Cieszę się, że dzisiaj wszyscy byli aktywni, udało się znaleźć wyjście z trudności. A co najważniejsze, nie byli sąsiadami, kiedy nowy został otwarty i skonsolidowany. Dzięki za lekcję dzieciaki!

    § 87. Dodawanie ułamków.

    Dodawanie ułamków ma wiele podobieństw do dodawania liczb całkowitych. Dodawanie ułamków to czynność polegająca na tym, że kilka podanych liczb (wyrazów) łączy się w jedną liczbę (sumę), która zawiera wszystkie jednostki i ułamki jednostek wyrazów.

    Rozpatrzymy po kolei trzy przypadki:

    1. Dodawanie ułamków za pomocą same mianowniki.
    2. Dodawanie ułamków za pomocą różne mianowniki.
    3. Dodawanie liczb mieszanych.

    1. Dodawanie ułamków o tych samych mianownikach.

    Rozważmy przykład: 1 / 5 + 2 / 5 .

    Weź odcinek AB (ryc. 17), weź go jako jednostkę i podziel na 5 równych części, wtedy część AC tego segmentu będzie równa 1/5 odcinka AB, a część tego samego segmentu CD będzie równy 2/5 AB.

    Z rysunku widać, że jeśli weźmiemy odcinek AD, to będzie on równy 3/5 AB; ale odcinek AD jest dokładnie sumą odcinków AC i CD. Możemy więc napisać:

    1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

    Biorąc pod uwagę te warunki i otrzymaną kwotę, widzimy, że licznik sumy uzyskano przez dodanie liczników warunków, a mianownik pozostał niezmieniony.

    Otrzymujemy stąd następującą regułę: Aby dodać ułamki o tych samych mianownikach, musisz dodać ich liczniki i pozostawić ten sam mianownik.

    Rozważ przykład:

    2. Dodawanie ułamków o różnych mianownikach.

    Dodajmy ułamki: 3/4 + 3/8 Najpierw trzeba je sprowadzić do najniższego wspólnego mianownika:

    Link pośredni 6/8 + 3/8 nie mógł zostać napisany; napisaliśmy to tutaj dla większej przejrzystości.

    Tak więc, aby dodać ułamki o różnych mianownikach, należy najpierw doprowadzić je do najniższego wspólnego mianownika, dodać ich liczniki i podpisać wspólny mianownik.

    Rozważmy przykład (na odpowiednich ułamkach napiszemy dodatkowe czynniki):

    3. Dodawanie liczb mieszanych.

    Dodajmy liczby: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.

    Najpierw sprowadźmy części ułamkowe naszych liczb do wspólnego mianownika i przepiszmy je ponownie:

    Teraz dodaj kolejno części całkowite i ułamkowe:

    § 88. Odejmowanie ułamków zwykłych.

    Odejmowanie ułamków jest definiowane w taki sam sposób jak odejmowanie liczb całkowitych. Jest to działanie, dzięki któremu, biorąc pod uwagę sumę dwóch wyrazów i jednego z nich, znajduje się inny wyraz. Rozpatrzmy po kolei trzy przypadki:

    1. Odejmowanie ułamków o tych samych mianownikach.
    2. Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach.
    3. Odejmowanie liczb mieszanych.

    1. Odejmowanie ułamków o tych samych mianownikach.

    Rozważ przykład:

    13 / 15 - 4 / 15

    Weźmy odcinek AB (ryc. 18), weźmy go jako jednostkę i podzielmy na 15 równych części; wtedy część AC tego odcinka będzie wynosić 1/15 AB, a część AD tego samego odcinka będzie odpowiadać 13/15 AB. Odłóżmy na bok kolejny odcinek ED, równy 4/15 AB.

    Musimy odjąć 4/15 od 13/15. Na rysunku oznacza to, że odcinek ED należy odjąć od odcinka AD. W rezultacie pozostanie odcinek AE, który stanowi 9/15 segmentu AB. Możemy więc napisać:

    Z wykonanego przez nas przykładu wynika, że ​​licznik różnicy uzyskano przez odjęcie liczników, a mianownik pozostał ten sam.

    Dlatego, aby odjąć ułamki o tych samych mianownikach, musisz odjąć licznik odejmowanej części od licznika odjętego i pozostawić ten sam mianownik.

    2. Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach.

    Przykład. 3/4 - 5/8

    Najpierw sprowadźmy te ułamki do najmniejszego wspólnego mianownika:

    Link pośredni 6 / 8 - 5 / 8 jest tutaj zapisany dla jasności, ale można go pominąć w przyszłości.

    Tak więc, aby odjąć ułamek od ułamka, należy najpierw doprowadzić je do najmniejszego wspólnego mianownika, następnie odjąć licznik odejmowania od licznika odliczenia i podpisać wspólny mianownik pod ich różnicą.

    Rozważ przykład:

    3. Odejmowanie liczb mieszanych.

    Przykład. 10 3 / 4 - 7 2 / 3 .

    Sprowadźmy części ułamkowe miniuendy i odejmowanej części do najniższego wspólnego mianownika:

    Od całości odjęliśmy całość, a od ułamka ułamek. Ale zdarzają się przypadki, gdy ułamkowa część odejmowania jest większa niż ułamkowa część odejmowania. W takich przypadkach musisz wziąć jedną jednostkę z całkowitej części zredukowanej, podzielić ją na te części, w których wyrażona jest część ułamkowa, i dodać do części ułamkowej zredukowanej. Następnie odejmowanie zostanie wykonane w taki sam sposób, jak w poprzednim przykładzie:

    § 89. Mnożenie ułamków zwykłych.

    Studiując mnożenie ułamków, rozważymy następne pytania:

    1. Mnożenie ułamka przez liczbę całkowitą.
    2. Znalezienie ułamka podanej liczby.
    3. Mnożenie liczby całkowitej przez ułamek.
    4. Mnożenie ułamka przez ułamek.
    5. Mnożenie liczb mieszanych.
    6. Pojęcie interesu.
    7. Znajdowanie procentów podanej liczby. Rozważmy je po kolei.

    1. Mnożenie ułamka przez liczbę całkowitą.

    Mnożenie ułamka przez liczbę całkowitą ma takie samo znaczenie jak mnożenie liczby całkowitej przez liczbę całkowitą. Mnożenie ułamka (mnożnika) przez liczbę całkowitą (mnożnik) oznacza złożenie sumy identycznych wyrazów, w których każdy wyraz jest równy mnożnikowi, a liczba wyrazów jest równa mnożnikowi.

    Tak więc, jeśli chcesz pomnożyć 1/9 przez 7, możesz to zrobić w następujący sposób:

    Wynik uzyskaliśmy z łatwością, ponieważ czynność została zredukowana do dodawania ułamków o tych samych mianownikach. Stąd,

    Rozważenie tego działania pokazuje, że pomnożenie ułamka przez liczbę całkowitą jest równoważne zwiększeniu tego ułamka tyle razy, ile jest jednostek w liczbie całkowitej. A ponieważ wzrost ułamka osiąga się albo przez zwiększenie jego licznika

    lub zmniejszając jego mianownik , to możemy albo pomnożyć licznik przez liczbę całkowitą, albo podzielić przez nią mianownik, jeśli taki podział jest możliwy.

    Stąd otrzymujemy regułę:

    Aby pomnożyć ułamek przez liczbę całkowitą, musisz pomnożyć licznik przez tę liczbę całkowitą i pozostawić mianownik bez zmian lub, jeśli to możliwe, podzielić mianownik przez tę liczbę, pozostawiając licznik bez zmian.

    Podczas mnożenia możliwe są skróty, na przykład:

    2. Znalezienie ułamka podanej liczby. Istnieje wiele problemów, w których musisz znaleźć lub obliczyć część danej liczby. Różnica między tymi zadaniami a innymi polega na tym, że podają liczbę niektórych obiektów lub jednostki miary i musisz znaleźć część tej liczby, która jest tutaj również wskazana przez określony ułamek. Aby ułatwić zrozumienie, najpierw podamy przykłady takich problemów, a następnie przedstawimy metodę ich rozwiązania.

    Zadanie 1. Miałem 60 rubli; 1/3 tych pieniędzy wydałam na zakup książek. Ile kosztowały książki?

    Zadanie 2. Pociąg musi pokonać odległość między miastami A i B, równą 300 km. Pokonał już 2/3 tego dystansu. Ile to jest kilometrów?

    Zadanie 3. We wsi jest 400 domów, z czego 3/4 to murowane, reszta to drewniane. Ile jest domów murowanych?

    Oto niektóre z wielu problemów, z którymi musimy się uporać, aby znaleźć ułamek danej liczby. Nazywa się je zwykle problemami ze znalezieniem ułamka danej liczby.

    Rozwiązanie problemu 1. Od 60 rubli. 1/3 wydałam na książki; Aby więc znaleźć koszt książek, musisz podzielić liczbę 60 przez 3:

    Rozwiązanie zadania 2. Znaczenie problemu polega na tym, że musisz znaleźć 2/3 z 300 km. Oblicz pierwszą 1/3 z 300; osiąga się to dzieląc 300 km przez 3:

    300: 3 = 100 (czyli 1/3 z 300).

    Aby znaleźć dwie trzecie z 300, musisz podwoić wynikowy iloraz, czyli pomnożyć przez 2:

    100 x 2 = 200 (czyli 2/3 z 300).

    Rozwiązanie problemu 3. Tutaj musisz określić liczbę domów murowanych, które wynoszą 3/4 z 400. Najpierw znajdźmy 1/4 z 400,

    400: 4 = 100 (czyli 1/4 z 400).

    Aby obliczyć trzy czwarte z 400, wynikowy iloraz należy potroić, to znaczy pomnożyć przez 3:

    100 x 3 = 300 (czyli 3/4 z 400).

    Na podstawie rozwiązania tych problemów możemy wyprowadzić następującą regułę:

    Aby znaleźć wartość ułamka danej liczby, należy podzielić tę liczbę przez mianownik ułamka i pomnożyć otrzymany iloraz przez jego licznik.

    3. Mnożenie liczby całkowitej przez ułamek.

    Wcześniej (§ 26) ustalono, że mnożenie liczb całkowitych należy rozumieć jako dodawanie identycznych wyrazów (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). W tym akapicie (ust. 1) ustalono, że pomnożenie ułamka przez liczbę całkowitą oznacza znalezienie sumy identycznych wyrazów równej temu ułamkowi.

    W obu przypadkach mnożenie polegało na znalezieniu sumy identycznych wyrazów.

    Teraz przechodzimy do mnożenia liczby całkowitej przez ułamek. Tutaj spotkamy się np. z mnożeniem: 9 2/3. Jest całkiem oczywiste, że poprzednia definicja mnożenia nie ma zastosowania w tym przypadku. Wynika to jasno z faktu, że takiego mnożenia nie możemy zastąpić dodawaniem równych liczb.

    Z tego powodu będziemy musieli podać nową definicję mnożenia, czyli innymi słowy odpowiedzieć na pytanie, co należy rozumieć przez mnożenie przez ułamek, jak należy rozumieć to działanie.

    Znaczenie mnożenia liczby całkowitej przez ułamek wynika z następującej definicji: pomnożyć liczbę całkowitą (mnożnik) przez ułamek (mnożnik) oznacza znaleźć ten ułamek mnożnika.

    Mianowicie pomnożenie 9 przez 2/3 oznacza znalezienie 2/3 z dziewięciu jednostek. W poprzednim akapicie takie problemy zostały rozwiązane; więc łatwo się domyślić, że otrzymamy 6.

    Ale teraz jest interesujące i ważne pytanie: dlaczego takie na pierwszy rzut oka różne aktywności, jak znalezienie sumy równych liczb i znalezienie ułamka liczby, w arytmetyce nazywa się tym samym słowem „mnożenie”?

    Dzieje się tak, ponieważ poprzednia czynność (kilkakrotne powtórzenie liczby z wyrazami) i nowa czynność (znalezienie ułamka liczby) dają odpowiedź na jednorodne pytania. Oznacza to, że wychodzimy tutaj z rozważań, że jednorodne pytania lub zadania rozwiązuje się za pomocą jednego i tego samego działania.

    Aby to zrozumieć, rozważmy następujący problem: „1 m tkaniny kosztuje 50 rubli. Ile kosztują 4 metry takiej tkaniny?

    Ten problem rozwiązuje się, mnożąc liczbę rubli (50) przez liczbę metrów (4), tj. 50 x 4 = 200 (rubli).

    Weźmy ten sam problem, ale w nim ilość tkaniny zostanie wyrażona jako liczba ułamkowa: „1 m tkaniny kosztuje 50 rubli. Ile będzie kosztować 3/4m takiej tkaniny?

    Ten problem należy również rozwiązać, mnożąc liczbę rubli (50) przez liczbę metrów (3/4).

    Możesz też kilka razy zmienić w nim liczby bez zmiany znaczenia problemu, na przykład wziąć 9/10 m lub 2 3/10 m itp.

    Ponieważ problemy te mają tę samą treść i różnią się tylko liczbami, działania stosowane w ich rozwiązaniu nazywamy tym samym słowem - mnożeniem.

    Jak mnoży się liczbę całkowitą przez ułamek?

    Weźmy liczby napotkane w ostatnim problemie:

    Zgodnie z definicją musimy znaleźć 3/4 z 50. Najpierw znajdujemy 1/4 z 50, a następnie 3/4.

    1/4 z 50 to 50/4;

    3/4 z 50 to .

    Stąd.

    Rozważmy inny przykład: 12 5 / 8 = ?

    1/8 z 12 to 12/8,

    5/8 liczby 12 to .

    Stąd,

    Stąd otrzymujemy regułę:

    Aby pomnożyć liczbę całkowitą przez ułamek, musisz pomnożyć liczbę całkowitą przez licznik ułamka i uczynić ten iloczyn licznikiem, a mianownik danego ułamka podpisać jako mianownik.

    Piszemy tę regułę za pomocą liter:

    Aby ta zasada była całkowicie jasna, należy pamiętać, że ułamek można traktować jako iloraz. Dlatego warto porównać znalezioną regułę z regułą mnożenia liczby przez iloraz, o której mowa w § 38

    Należy pamiętać, że przed wykonaniem mnożenia należy zrobić (jeśli to możliwe) cięcia, Na przykład:

    4. Mnożenie ułamka przez ułamek. Mnożenie ułamka przez ułamek ma takie samo znaczenie jak mnożenie liczby całkowitej przez ułamek, to znaczy mnożąc ułamek przez ułamek, musisz znaleźć ułamek w mnożniku z pierwszego ułamka (mnożnik).

    Mianowicie pomnożenie 3/4 przez 1/2 (pół) oznacza znalezienie połowy z 3/4.

    Jak pomnożyć ułamek przez ułamek?

    Weźmy przykład: 3/4 razy 5/7. Oznacza to, że musisz znaleźć 5 / 7 z 3 / 4 . Znajdź najpierw 1/7 z 3/4, a następnie 5/7

    1/7 z 3/4 byłoby wyrażone w ten sposób:

    5/7 cyfry 3/4 wyrażą się następująco:

    Zatem,

    Inny przykład: 5/8 razy 4/9.

    1/9 z 5/8 to ,

    4/9 numery 5/8 są .

    Zatem,

    Z tych przykładów można wywnioskować następującą regułę:

    Aby pomnożyć ułamek przez ułamek, musisz pomnożyć licznik przez licznik, a mianownik przez mianownik i uczynić pierwszy iloczyn licznikiem, a drugi iloczyn mianownikiem iloczynu.

    To jest reguła w ogólna perspektywa można zapisać tak:

    Podczas mnożenia konieczne jest dokonanie (jeśli to możliwe) redukcji. Rozważ przykłady:

    5. Mnożenie liczb mieszanych. Ponieważ liczby mieszane można łatwo zastąpić ułamkami niewłaściwymi, ta okoliczność jest zwykle używana przy mnożeniu liczb mieszanych. Oznacza to, że w przypadkach, gdy mnożnik, mnożnik lub oba czynniki są wyrażone jako liczby mieszane, wówczas są one zastępowane ułamkami niewłaściwymi. Pomnóż na przykład liczby mieszane: 2 1/2 i 3 1/5. Każdy z nich zamieniamy na ułamek niewłaściwy, a następnie otrzymane ułamki będziemy mnożyć zgodnie z zasadą mnożenia ułamka przez ułamek:

    Reguła. Aby pomnożyć liczby mieszane, należy je najpierw zamienić na ułamki niewłaściwe, a następnie pomnożyć zgodnie z zasadą mnożenia ułamka przez ułamek.

    Notatka. Jeżeli jeden z czynników jest liczbą całkowitą, to mnożenie można przeprowadzić na podstawie prawa dystrybucji w następujący sposób:

    6. Pojęcie interesu. Rozwiązując problemy i wykonując różne praktyczne obliczenia, używamy wszelkiego rodzaju ułamków. Trzeba jednak pamiętać, że wiele wielkości dopuszcza nie jakiekolwiek, ale naturalne podpodziały. Na przykład możesz wziąć jedną setną (1/100) rubla, będzie to grosz, dwie setne to 2 kopiejki, trzy setne to 3 kopiejki. Możesz wziąć 1/10 rubla, będzie to „10 kopiejek lub dziesięciocentówka. Możesz wziąć ćwierć rubla, tj. 25 kopiejek, pół rubla, tj. 50 kopiejek (pięćdziesiąt kopiejek). Ale oni praktycznie nie Weźmy na przykład 2/7 rubla, ponieważ rubel nie dzieli się na części siódme.

    Jednostka miary wagi, czyli kilogram, pozwala przede wszystkim na podziały dziesiętne, np. 1/10 kg, czy 100 g. A takie ułamki kilograma jak 1/6, 1/11, 1/13 są rzadkością.

    Ogólnie rzecz biorąc, nasze (metryczne) miary są dziesiętne i pozwalają na podziały dziesiętne.

    Należy jednak zauważyć, że niezwykle przydatne i wygodne w wielu różnych przypadkach jest stosowanie tej samej (jednolitej) metody podziału wielkości. Wieloletnie doświadczenie pokazało, że takim dobrze uzasadnionym podziałem jest podział „setkowy”. Rozważmy kilka przykładów związanych z najróżniejszymi obszarami ludzkiej praktyki.

    1. Cena książek spadła o 12/100 poprzedniej ceny.

    Przykład. Poprzednia cena książki to 10 rubli. Spadła o 1 rubel. 20 kop.

    2. Kasy oszczędnościowe wypłacają w ciągu roku deponentom 2/100 kwoty włożonej na oszczędności.

    Przykład. Do kasy wkłada się 500 rubli, dochód z tej kwoty za rok wynosi 10 rubli.

    3. Liczba absolwentów jednej szkoły wynosiła 5/100 ogółu uczniów.

    PRZYKŁAD W szkole uczyło się zaledwie 1200 uczniów, z czego 60 ukończyło szkołę.

    Setna część liczby nazywa się procentem..

    Słowo „procent” zostało zapożyczone z łacina a jego rdzeń „cent” oznacza sto. Wraz z przyimkiem (pro centum) słowo to oznacza „za sto”. Znaczenie tego wyrażenia wynika z faktu, że początkowo w starożytny Rzym odsetki były pieniędzmi, które dłużnik płacił pożyczkodawcy „za każdą setkę”. Słowo „cent” słychać w tak znanych słowach: centner (sto kilogramów), centymetr (mówią centymetr).

    Na przykład, zamiast mówić, że fabryka wyprodukowała 1/100 wszystkich produktów wyprodukowanych przez nią w ciągu ostatniego miesiąca, powiemy tak: fabryka wyprodukowała jeden procent odrzutów w ciągu ostatniego miesiąca. Zamiast mówić: zakład wyprodukował o 4/100 więcej wyrobów niż zakładał plan, powiemy: zakład przekroczył plan o 4 proc.

    Powyższe przykłady można wyrazić inaczej:

    1. Cena książek spadła o 12 procent w stosunku do poprzedniej ceny.

    2. Kasy oszczędnościowe wypłacają deponentom 2 procent rocznie od kwoty zgromadzonych oszczędności.

    3. Liczba absolwentów jednej szkoły wynosiła 5 procent liczby wszystkich uczniów w szkole.

    Aby skrócić literę, zwykle pisze się znak% zamiast słowa „procent”.

    Należy jednak pamiętać, że znak % zwykle nie jest zapisywany w obliczeniach, można go zapisać w opisie zadania iw wyniku końcowym. Podczas wykonywania obliczeń należy zapisać ułamek o mianowniku 100 zamiast liczby całkowitej z tą ikoną.

    Musisz umieć zamienić liczbę całkowitą z określoną ikoną na ułamek o mianowniku 100:

    I odwrotnie, musisz przyzwyczaić się do pisania liczby całkowitej ze wskazaną ikoną zamiast ułamka o mianowniku 100:

    7. Znajdowanie procentów podanej liczby.

    Zadanie 1. Szkoła otrzymała 200 metrów sześciennych. m drewna opałowego, z czego drewno brzozowe stanowi 30%. Ile było drewna brzozowego?

    Sens tego problemu polega na tym, że brzozowe drewno opałowe stanowiło tylko część drewna opałowego dostarczonego do szkoły i ta część jest wyrażona jako ułamek 30/100. Mamy więc do czynienia z zadaniem znalezienia ułamka liczby. Aby go rozwiązać, musimy pomnożyć 200 przez 30/100 (zadania polegające na znalezieniu ułamka liczby rozwiązuje się, mnożąc liczbę przez ułamek.).

    Więc 30% z 200 równa się 60.

    Występujący w tym problemie ułamek 30/100 można pomniejszyć o 10. Redukcję tę można by przeprowadzić od samego początku; rozwiązanie problemu nie uległoby zmianie.

    Zadanie 2. W obozie przebywało 300 dzieci Różne wieki. Dzieci w wieku 11 lat stanowiły 21%, dzieci w wieku 12 lat – 61%, a wreszcie 13-latków – 18%. Ile dzieci w każdym wieku było w obozie?

    W tym zadaniu należy wykonać trzy obliczenia, czyli kolejno znaleźć liczbę dzieci w wieku 11 lat, następnie 12 lat, a na końcu 13 lat.

    Tak więc tutaj konieczne będzie trzykrotne znalezienie ułamka liczby. Zróbmy to:

    1) Ile dzieci miało 11 lat?

    2) Ile dzieci miało 12 lat?

    3) Ile dzieci miało 13 lat?

    Po rozwiązaniu problemu warto dodać znalezione liczby; ich suma powinna wynosić 300:

    63 + 183 + 54 = 300

    Należy również zwrócić uwagę na fakt, że suma procentów podanych w warunku problemu wynosi 100:

    21% + 61% + 18% = 100%

    To sugeruje, że Łączna dzieci przebywających w obozie przyjęto jako 100%.

    3 da cha 3. Robotnik otrzymywał 1200 rubli miesięcznie. Z tego 65% wydał na jedzenie, 6% na mieszkanie i ogrzewanie, 4% na gaz, prąd i radio, 10% na potrzeby kulturalne, a 15% zaoszczędził. Ile pieniędzy wydano na potrzeby wskazane w zadaniu?

    Aby rozwiązać ten problem, musisz 5 razy znaleźć ułamek liczby 1200. Zróbmy to.

    1) Ile pieniędzy wydaje się na jedzenie? Zadanie mówi, że wydatek ten to 65% wszystkich zarobków, czyli 65/100 z liczby 1200. Zróbmy obliczenia:

    2) Ile zapłacono za mieszkanie z ogrzewaniem? Argumentując podobnie jak poprzednio, dochodzimy do następującego obliczenia:

    3) Ile zapłaciłeś za gaz, prąd i radio?

    4) Ile pieniędzy wydaje się na potrzeby kulturalne?

    5) Ile pieniędzy zaoszczędził pracownik?

    W celu weryfikacji warto dodać liczby znalezione w tych 5 pytaniach. Kwota powinna wynosić 1200 rubli. Wszystkie zarobki są traktowane jako 100%, co łatwo sprawdzić, sumując wartości procentowe podane w opisie problemu.

    Rozwiązaliśmy trzy problemy. Pomimo tego, że zadania te dotyczyły różnych rzeczy (dostawa drewna opałowego do szkoły, liczba dzieci w różnym wieku, wydatki pracownika), rozwiązywano je w ten sam sposób. Stało się tak, ponieważ we wszystkich zadaniach trzeba było znaleźć kilka procent podanych liczb.

    § 90. Dzielenie ułamków.

    Studiując podział ułamków, rozważymy następujące pytania:

    1. Podziel liczbę całkowitą przez liczbę całkowitą.
    2. Dzielenie ułamka przez liczbę całkowitą
    3. Dzielenie liczby całkowitej przez ułamek.
    4. Dzielenie ułamka przez ułamek.
    5. Dzielenie liczb mieszanych.
    6. Znalezienie liczby na podstawie jej ułamka.
    7. Znalezienie liczby według jej procentu.

    Rozważmy je po kolei.

    1. Podziel liczbę całkowitą przez liczbę całkowitą.

    Jak wskazano w części dotyczącej liczb całkowitych, dzielenie jest działaniem polegającym na tym, że biorąc pod uwagę iloczyn dwóch czynników (dzielna) i jednego z tych czynników (dzielnik), znajduje się inny czynnik.

    Dzielenie liczby całkowitej przez liczbę całkowitą rozważaliśmy w dziale liczb całkowitych. Spotkaliśmy tam dwa przypadki dzielenia: dzielenie bez reszty, czyli „całkowicie” (150: 10 = 15), oraz dzielenie z resztą (100: 9 = 11 i 1 w reszcie). Można zatem powiedzieć, że w dziedzinie liczb całkowitych dokładny podział nie zawsze jest możliwy, ponieważ dzielna nie zawsze jest iloczynem dzielnika i liczby całkowitej. Po wprowadzeniu mnożenia przez ułamek możemy uznać za możliwy dowolny przypadek dzielenia liczb całkowitych (wykluczone jest tylko dzielenie przez zero).

    Na przykład dzielenie 7 przez 12 oznacza znalezienie liczby, której iloczyn razy 12 wyniósłby 7. Ta liczba jest ułamkiem 7/12, ponieważ 7/12 12 = 7. Inny przykład: 14: 25 = 14/25, ponieważ 14/25 25 = 14.

    Tak więc, aby podzielić liczbę całkowitą przez liczbę całkowitą, musisz utworzyć ułamek, którego licznik jest równy dywidendzie, a mianownik jest dzielnikiem.

    2. Dzielenie ułamka przez liczbę całkowitą.

    Podziel ułamek 6/7 przez 3. Zgodnie z podaną powyżej definicją podziału mamy tutaj iloczyn (6/7) i jeden z dzielników (3); należy znaleźć taki drugi czynnik, który po pomnożeniu przez 3 dałby danemu produktowi 6/7. Oczywiście powinien być trzy razy mniejszy niż ten produkt. Oznacza to, że postawione przed nami zadanie polegało na 3-krotnym zmniejszeniu ułamka 6/7.

    Wiemy już, że skrócenie ułamka można wykonać albo zmniejszając jego licznik, albo zwiększając jego mianownik. Dlatego możesz napisać:

    W tym przypadku licznik 6 jest podzielny przez 3, więc licznik należy zmniejszyć 3 razy.

    Weźmy inny przykład: 5 / 8 podzielone przez 2. Tutaj licznik 5 nie jest podzielny przez 2, co oznacza, że ​​mianownik będzie musiał zostać pomnożony przez tę liczbę:

    Na tej podstawie możemy sformułować regułę: Aby podzielić ułamek przez liczbę całkowitą, musisz podzielić licznik ułamka przez tę liczbę całkowitą(Jeśli to możliwe), pozostawiając ten sam mianownik lub pomnóż mianownik ułamka przez tę liczbę, pozostawiając ten sam licznik.

    3. Dzielenie liczby całkowitej przez ułamek.

    Niech trzeba będzie podzielić 5 przez 1/2, czyli znaleźć liczbę, która po pomnożeniu przez 1/2 da iloczyn 5. Oczywiście liczba ta musi być większa od 5, bo 1/2 to ułamek właściwy, a przy mnożeniu liczby przez ułamek właściwy iloczyn musi być mniejszy niż mnożna. Dla jasności napiszmy nasze działania w następujący sposób: 5: 1 / 2 = X , więc x 1/2 \u003d 5.

    Musimy znaleźć taką liczbę X , co pomnożone przez 1/2 dałoby 5. Ponieważ pomnożenie pewnej liczby przez 1/2 oznacza znalezienie 1/2 tej liczby, to zatem 1/2 nieznanej liczby X to 5 i liczba całkowita X dwa razy więcej, tj. 5 2 \u003d 10.

    Więc 5: 1/2 = 5 2 = 10

    Sprawdźmy:

    Rozważmy jeszcze jeden przykład. Niech będzie wymagane dzielenie 6 przez 2 / 3 . Spróbujmy najpierw znaleźć pożądany wynik za pomocą rysunku (ryc. 19).

    Ryc.19

    Narysuj odcinek AB równy 6 pewnym jednostkom i podziel każdą jednostkę na 3 równe części. W każdej jednostce trzy trzecie (3/3) w całym segmencie AB jest 6 razy większe, tj. e. 18/3. Łączymy za pomocą małych nawiasów 18 uzyskanych segmentów po 2; Będzie tylko 9 segmentów. Oznacza to, że ułamek 2/3 jest zawarty w jednostkach b 9 razy, czyli innymi słowy ułamek 2/3 jest 9 razy mniejszy niż 6 jednostek całkowitych. Stąd,

    Jak uzyskać ten wynik bez rysunku za pomocą samych obliczeń? Będziemy argumentować w następujący sposób: wymagane jest podzielenie 6 przez 2/3, tj. Należy odpowiedzieć na pytanie, ile razy 2/3 zawiera się w 6. Dowiedzmy się najpierw: ile razy jest 1/3 zawarte w 6? W całej jednostce - 3 trzecie, aw 6 jednostkach - 6 razy więcej, tj. 18 trzecich; aby znaleźć tę liczbę, musimy pomnożyć 6 przez 3. Stąd 1/3 mieści się w jednostkach b 18 razy, a 2/3 mieści się w jednostkach b nie 18 razy, ale o połowę mniej, czyli 18: 2 = 9 Dlatego przy dzieleniu 6 przez 2 / 3 zrobiliśmy następujące czynności:

    Stąd otrzymujemy regułę dzielenia liczby całkowitej przez ułamek. Aby podzielić liczbę całkowitą przez ułamek, należy tę liczbę całkowitą pomnożyć przez mianownik danego ułamka i czyniąc ten iloczyn licznikiem podzielić przez licznik danego ułamka.

    Piszemy regułę za pomocą liter:

    Aby ta zasada była całkowicie jasna, należy pamiętać, że ułamek można traktować jako iloraz. Dlatego warto porównać znalezioną regułę z regułą dzielenia liczby przez iloraz, o której mowa w § 38. Zauważ, że uzyskano tam ten sam wzór.

    Podczas dzielenia możliwe są skróty, na przykład:

    4. Dzielenie ułamka przez ułamek.

    Niech będzie wymagane podzielenie 3/4 przez 3/8. Co będzie oznaczać liczbę, która zostanie uzyskana w wyniku dzielenia? Odpowie na pytanie, ile razy ułamek 3/8 zawiera się w ułamku 3/4. Aby zrozumieć ten problem, zróbmy rysunek (ryc. 20).

    Weź odcinek AB, weź go jako całość, podziel go na 4 równe części i zaznacz 3 takie części. Odcinek AC będzie równy 3/4 odcinka AB. Podzielmy teraz każdy z czterech początkowych odcinków na pół, wtedy odcinek AB zostanie podzielony na 8 równych części, a każda taka część będzie równa 1/8 odcinka AB. Łączymy 3 takie odcinki łukami, wtedy każdy z odcinków AD i DC będzie równy 3/8 odcinka AB. Rysunek pokazuje, że odcinek równy 3/8 zawiera się w odcinku równym 3/4 dokładnie 2 razy; Zatem wynik dzielenia można zapisać w następujący sposób:

    3 / 4: 3 / 8 = 2

    Rozważmy jeszcze jeden przykład. Niech będzie wymagane podzielenie 15/16 przez 3/32:

    Możemy rozumować w ten sposób: musimy znaleźć liczbę, która po pomnożeniu przez 3/32 da iloczyn równy 15/16. Zapiszmy obliczenia w ten sposób:

    15 / 16: 3 / 32 = X

    3 / 32 X = 15 / 16

    3/32 nieznany numer X makijaż 15/16

    1/32 nieznany numer X Jest ,

    32/32 numery X makijaż .

    Stąd,

    Zatem, aby podzielić ułamek przez ułamek, należy pomnożyć licznik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego, pomnożyć mianownik pierwszego ułamka przez licznik drugiego i zrobić pierwszy iloczyn licznikiem, a drugi mianownik.

    Napiszmy regułę za pomocą liter:

    Podczas dzielenia możliwe są skróty, na przykład:

    5. Dzielenie liczb mieszanych.

    Podczas dzielenia liczb mieszanych należy je najpierw zamienić na ułamki niewłaściwe, następnie podziel otrzymane ułamki zgodnie z zasadami dzielenia liczby ułamkowe. Rozważ przykład:

    Zamień liczby mieszane na ułamki niewłaściwe:

    Teraz podzielmy się:

    Zatem aby podzielić liczby mieszane, należy je zamienić na ułamki niewłaściwe, a następnie podzielić zgodnie z regułą dzielenia ułamków zwykłych.

    6. Znalezienie liczby na podstawie jej ułamka.

    Wśród różne zadania na ułamkach, czasami zdarzają się takie, w których podana jest wartość jakiegoś ułamka nieznanej liczby i wymagane jest znalezienie tej liczby. Ten typ problemu będzie odwrotny do problemu znalezienia ułamka danej liczby; tam podano liczbę i należało znaleźć jakiś ułamek tej liczby, tutaj podano ułamek liczby i trzeba było znaleźć samą tę liczbę. Ta idea stanie się jeszcze jaśniejsza, jeśli przejdziemy do rozwiązania tego typu problemu.

    Zadanie 1. Pierwszego dnia szklarze oszkleli 50 okien, co stanowi 1/3 wszystkich okien budowanego domu. Ile okien jest w tym domu?

    Rozwiązanie. Problem mówi, że 50 przeszklonych okien to 1/3 wszystkich okien w domu, co oznacza, że ​​w sumie okien jest 3 razy więcej, tj.

    Dom miał 150 okien.

    Zadanie 2. W sklepie sprzedano 1500 kg mąki, co stanowi 3/8 całkowitego zapasu mąki w sklepie. Jaka była początkowa dostawa mąki do sklepu?

    Rozwiązanie. Ze stanu problemu wynika, że ​​sprzedane 1500 kg mąki stanowi 3/8 całego zapasu; oznacza to, że 1/8 tego zapasu będzie 3 razy mniejsza, tj. aby to obliczyć, musisz zmniejszyć 1500 o 3 razy:

    1500: 3 = 500 (jest to 1/8 zapasu).

    Oczywiście cały zapas będzie 8 razy większy. Stąd,

    500 8 \u003d 4000 (kg).

    Początkowy zapas mąki w sklepie wynosił 4000 kg.

    Z rozważań nad tym problemem można wywnioskować następującą regułę.

    Aby znaleźć liczbę przez daną wartość jej ułamka, wystarczy podzielić tę wartość przez licznik ułamka i pomnożyć wynik przez mianownik ułamka.

    Rozwiązaliśmy dwa zadania polegające na znalezieniu liczby z podaniem jej ułamka. Problemy takie, jak widać szczególnie dobrze z ostatniego, rozwiązuje się za pomocą dwóch działań: dzielenia (po znalezieniu jednej części) i mnożenia (po znalezieniu całej liczby).

    Jednak po przestudiowaniu dzielenia ułamków, powyższe problemy można rozwiązać za pomocą jednej czynności, a mianowicie: dzielenia przez ułamek.

    Na przykład ostatnie zadanie można rozwiązać w jednej akcji w następujący sposób:

    W przyszłości rozwiążemy problem znalezienia liczby przez jej ułamek w jednej akcji - dzieleniu.

    7. Znalezienie liczby według jej procentu.

    W tych zadaniach będziesz musiał znaleźć liczbę, znając kilka procent tej liczby.

    Zadanie 1. Na początku tego roku otrzymałem z kasy oszczędnościowej 60 rubli. dochód z kwoty, którą rok temu odłożyłem na oszczędności. Ile pieniędzy włożyłem do kasy oszczędnościowej? (Kasy dają deponentom 2% dochodu rocznie.)

    Znaczenie problemu polega na tym, że pewna suma pieniędzy została przeze mnie włożona do kasy oszczędnościowej i leżała tam przez rok. Po roku otrzymałem od niej 60 rubli. dochód, który stanowi 2/100 wpłaconych przeze mnie pieniędzy. Ile pieniędzy wpłaciłem?

    Dlatego znając część tych pieniędzy, wyrażoną na dwa sposoby (w rublach i ułamkach), musimy znaleźć całą, nieznaną jeszcze kwotę. Jest to zwykły problem polegający na znalezieniu liczby na podstawie jej ułamka. Następujące zadania są rozwiązywane przez podział:

    Tak więc 3000 rubli zostało wrzuconych do kasy oszczędnościowej.

    Zadanie 2. W ciągu dwóch tygodni rybacy zrealizowali miesięczny plan o 64%, przygotowując 512 ton ryb. Jaki był ich plan?

    Ze stanu problemu wiadomo, że rybacy zrealizowali część planu. Ta część to 512 ton, co stanowi 64% planu. Ile ton ryb trzeba odłowić zgodnie z planem, nie wiemy. Rozwiązanie problemu będzie polegało na znalezieniu tej liczby.

    Takie zadania rozwiązuje się, dzieląc:

    Czyli zgodnie z planem trzeba przygotować 800 ton ryb.

    Zadanie 3. Pociąg jechał z Rygi do Moskwy. Kiedy minął 276. kilometr, jeden z pasażerów zapytał przejeżdżającego konduktora, ile podróży już przebyli. Na to konduktor odpowiedział: „Przebyliśmy już 30% całej podróży”. Jaka jest odległość z Ryga do Moskwa?

    Ze stanu problemu wynika, że ​​30% podróży z Rygi do Moskwy to 276 km. Musimy znaleźć całą odległość między tymi miastami, czyli dla tej części znaleźć całość:

    § 91. Liczby odwrotne. Zastąpienie dzielenia mnożeniem.

    Weź ułamek 2/3 i przestaw licznik na miejsce mianownika, otrzymamy 3/2. Mamy ułamek, odwrotność tego.

    Aby otrzymać ułamek odwrotny danego ułamka, należy w miejsce mianownika wstawić jego licznik, a w miejsce licznika mianownik. W ten sposób możemy otrzymać ułamek będący odwrotnością dowolnego ułamka. Na przykład:

    3 / 4 , wstecz 4 / 3 ; 5 / 6 , odwróć 6 / 5

    Nazywamy dwa ułamki, które mają tę właściwość, że licznik pierwszego jest mianownikiem drugiego, a mianownik pierwszego jest licznikiem drugiego wzajemnie odwrotne.

    Zastanówmy się teraz, jaki ułamek będzie odwrotnością 1/2. Oczywiście będzie to 2/1 lub po prostu 2. Szukając odwrotności tego, otrzymaliśmy liczbę całkowitą. I ten przypadek nie jest odosobniony; wręcz przeciwnie, dla wszystkich ułamków o liczniku 1 (jeden) odwrotności będą liczbami całkowitymi, na przykład:

    1/3, odwrotność 3; 1 / 5, odwróć 5

    Ponieważ przy znajdowaniu odwrotności spotkaliśmy się również z liczbami całkowitymi, w przyszłości nie będziemy mówić o odwrotnościach, ale o odwrotnościach.

    Zastanówmy się, jak napisać odwrotność liczby całkowitej. W przypadku ułamków jest to rozwiązane po prostu: musisz umieścić mianownik w miejscu licznika. W ten sam sposób możesz uzyskać odwrotność liczby całkowitej, ponieważ dowolna liczba całkowita może mieć mianownik 1. Dlatego odwrotność 7 będzie wynosić 1/7, ponieważ 7 \u003d 7/1; dla liczby 10 odwrotność wynosi 1/10, ponieważ 10 = 10/1

    Pomysł ten można wyrazić w inny sposób: odwrotność danej liczby uzyskuje się dzieląc jeden przez podany numer . To stwierdzenie jest prawdziwe nie tylko dla liczb całkowitych, ale także dla ułamków zwykłych. Rzeczywiście, jeśli chcesz napisać liczbę będącą odwrotnością ułamka 5/9, to możemy wziąć 1 i podzielić przez 5/9, tj.

    Teraz zwróćmy uwagę na jedną nieruchomość wzajemnie odwrotne liczby, które będą nam przydatne: iloczyn wzajemnie odwrotnych liczb jest równy jeden. Rzeczywiście:

    Korzystając z tej właściwości, możemy znaleźć odwrotności w następujący sposób. Znajdźmy odwrotność liczby 8.

    Oznaczmy to literą X , potem 8 X = 1, stąd X = 1 / 8 . Znajdźmy inną liczbę, odwrotność 7/12, oznaczmy ją literą X , potem 7 / 12 X = 1, stąd X = 1:7 / 12 lub X = 12 / 7 .

    Wprowadziliśmy tutaj pojęcie liczb odwrotnych, aby nieco uzupełnić informacje o dzieleniu ułamków zwykłych.

    Kiedy dzielimy liczbę 6 przez 3/5, wykonujemy następujące czynności:

    Zwróć szczególną uwagę na wyrażenie i porównaj je z podanym: .

    Jeśli weźmiemy wyrażenie osobno, bez związku z poprzednim, nie można rozwiązać pytania, skąd się wzięło: z podzielenia 6 przez 3/5 lub z pomnożenia 6 przez 5/3. W obu przypadkach wynik jest taki sam. Więc możemy powiedzieć że dzielenie jednej liczby przez inną można zastąpić przez pomnożenie dzielnej przez odwrotność dzielnika.

    Przykłady, które podajemy poniżej, w pełni potwierdzają ten wniosek.

    @ 2023 wowway.ru - Diety i odżywianie. Diagnostyka i analizy. Leki. cholesterol. Miażdżyca tętnic