Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM): definicja, przykłady i własności. Nod i nok liczb - największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność kilku liczb

Wyrażenia matematyczne i zadania wymagają dużo dodatkowej wiedzy. NOC jest jednym z głównych, szczególnie często używanych w temacie.Temat jest studiowany w szkole średniej, podczas gdy zrozumienie materiału nie jest szczególnie trudne, osoba zaznajomiona z potęgami i tabliczką mnożenia nie będzie trudna do wybrania niezbędne liczby i znaleźć wynik.

Definicja

Wspólna wielokrotność to liczba, którą można całkowicie podzielić na dwie liczby jednocześnie (a i b). Najczęściej liczbę tę uzyskuje się przez pomnożenie oryginalnych liczb a i b. Liczba musi być podzielna przez obie liczby jednocześnie, bez odchyleń.

NOC to krótka nazwa, która pochodzi od pierwszych liter.

Sposoby uzyskania numeru

Aby znaleźć LCM, metoda mnożenia liczb nie zawsze jest odpowiednia, znacznie lepiej nadaje się do prostych liczb jednocyfrowych lub dwucyfrowych. Zwyczajowo dzieli się na czynniki, im większa liczba, tym więcej będzie czynników.

Przykład 1

Dla najprostszego przykładu szkoły zwykle przyjmują liczby proste, jednocyfrowe lub dwucyfrowe. Na przykład musisz rozwiązać następujące zadanie, znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 7 i 3, rozwiązanie jest dość proste, wystarczy je pomnożyć. W rezultacie jest liczba 21, po prostu nie ma mniejszej liczby.

Przykład nr 2

Druga opcja jest znacznie trudniejsza. Podano numery 300 i 1260, znalezienie LCM jest obowiązkowe. Aby rozwiązać zadanie, zakłada się następujące działania:

Rozkład pierwszej i drugiej liczby na najprostsze czynniki. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Pierwszy etap został zakończony.

Drugi etap polega na pracy z już uzyskanymi danymi. Każda z otrzymanych liczb musi brać udział w obliczaniu wyniku końcowego. Dla każdego czynnika pobierana jest największa liczba wystąpień z pierwotnych liczb. NOC jest Łączna, więc czynniki z liczb należy powtarzać w nim do końca, nawet te, które występują w jednym przypadku. Obie liczby początkowe mają w swoim składzie cyfry 2, 3 i 5, w różne stopnie, 7 występuje tylko w jednym przypadku.

Aby obliczyć wynik końcowy, musisz wziąć każdą liczbę w największej z reprezentowanych przez nią potęg do równania. Pozostaje tylko pomnożyć i uzyskać odpowiedź, przy prawidłowym wypełnieniu zadanie mieści się w dwóch krokach bez wyjaśnienia:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOK = 6300.

To całe zadanie, jeśli spróbujesz obliczyć żądaną liczbę przez pomnożenie, odpowiedź na pewno nie będzie poprawna, ponieważ 300 * 1260 = 378 000.

Badanie:

6300 / 300 = 21 - prawda;

6300/1260 = 5 jest poprawne.

Poprawność wyniku określa się sprawdzając - dzieląc LCM przez obie liczby początkowe, jeśli w obu przypadkach liczba jest liczbą całkowitą, to odpowiedź jest poprawna.

Co oznacza NOC w matematyce

Jak wiecie, w matematyce nie ma ani jednej bezużytecznej funkcji, ta nie jest wyjątkiem. Najczęstszym celem tej liczby jest sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika. Czego zwykle uczy się w klasach 5-6 liceum. Jest to również dodatkowo wspólny dzielnik dla wszystkich wielokrotności, jeśli takie warunki występują w problemie. Takie wyrażenie może znaleźć wielokrotność nie tylko dwóch liczb, ale także znacznie większej liczby - trzech, pięciu i tak dalej. Jak więcej numerów- im więcej akcji w zadaniu, ale złożoność tego nie wzrasta.

Na przykład, biorąc pod uwagę liczby 250, 600 i 1500, musisz znaleźć ich całkowity LCM:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - ten przykład szczegółowo opisuje rozkład na czynniki, bez redukcji.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Aby ułożyć wyrażenie należy podać wszystkie czynniki, w tym przypadku podane są 2, 5, 3 - dla wszystkich tych liczb należy określić stopień maksymalny.

Uwaga: wszystkie mnożniki należy doprowadzić do pełnego uproszczenia, w miarę możliwości rozkładając je do poziomu pojedynczych cyfr.

Badanie:

1) 3000 / 250 = 12 - prawda;

2) 3000 / 600 = 5 - prawda;

3) 3000 / 1500 = 2 jest poprawne.

Ta metoda nie wymaga żadnych sztuczek ani zdolności na poziomie geniuszu, wszystko jest proste i jasne.

Inny sposób

W matematyce wiele jest ze sobą powiązanych, wiele można rozwiązać na dwa lub więcej sposobów, to samo dotyczy znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności, LCM. Następującą metodę można zastosować w przypadku prostych dwucyfrowych i pojedyncze cyfry. Tworzona jest tabela, w której mnożnik jest wprowadzany pionowo, mnożnik poziomo, a iloczyn jest wskazany w przecinających się komórkach kolumny. Możesz odzwierciedlić tabelę za pomocą linii, pobierana jest liczba i wyniki pomnożenia tej liczby przez liczby całkowite są zapisywane w rzędzie, od 1 do nieskończoności, czasami wystarczy 3-5 punktów, druga i kolejne liczby są poddawane do tego samego procesu obliczeniowego. Wszystko dzieje się, dopóki nie zostanie znaleziona wspólna wielokrotność.

Biorąc pod uwagę liczby 30, 35, 42, musisz znaleźć LCM, który łączy wszystkie liczby:

1) Wielokrotność liczby 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 itd.

2) Wielokrotności liczby 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 itd.

3) Wielokrotności liczby 42: 84, 126, 168, 210, 252 itd.

Można zauważyć, że wszystkie liczby są dość różne, jedyną wspólną liczbą wśród nich jest 210, więc będzie to LCM. Wśród procesów związanych z tym obliczeniem jest również największy wspólny dzielnik, który jest obliczany według podobnych zasad i jest często spotykany w sąsiednich problemach. Różnica jest niewielka, ale wystarczająco znacząca, LCM polega na obliczeniu liczby, która jest podzielna przez wszystkie podane wartości początkowe, a GCD zakłada obliczenie największej wartości, przez którą dzielą się liczby początkowe.

Ale wiele liczb naturalnych jest równo podzielnych przez inne liczby naturalne.

Na przykład:

Liczba 12 jest podzielna przez 1, przez 2, przez 3, przez 4, przez 6, przez 12;

Liczba 36 jest podzielna przez 1, przez 2, przez 3, przez 4, przez 6, przez 12, przez 18, przez 36.

Liczby, przez które liczba jest podzielna (dla 12 jest to 1, 2, 3, 4, 6 i 12) nazywamy dzielniki liczb. Dzielnik liczby naturalnej A jest liczbą naturalną, która dzieli podany numer A bez śladu. Nazywamy liczbę naturalną, która ma więcej niż dwa dzielniki złożony .

Zauważ, że liczby 12 i 36 mają wspólne dzielniki. Są to liczby: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Największym dzielnikiem tych liczb jest 12. Wspólny dzielnik tych dwóch liczb A I B jest liczbą, przez którą obie podane liczby są podzielne bez reszty A I B.

wspólna wielokrotność kilka liczb nazywa się liczbą, która jest podzielna przez każdą z tych liczb. Na przykład, liczby 9, 18 i 45 mają wspólną wielokrotność 180. Ale 90 i 360 są również ich wspólnymi wielokrotnościami. Wśród wszystkich j wspólnych wielokrotności zawsze jest najmniejsza, w tym przypadku jest to 90. Ta liczba nazywa się najmniejwspólna wielokrotność (LCM).

LCM jest zawsze liczbą naturalną, która musi być większa od największej z liczb, dla których jest zdefiniowana.

Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM). Nieruchomości.

Przemienność:

Asocjatywność:

W szczególności, jeśli i są liczbami względnie pierwszymi, to:

Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb całkowitych M I N jest dzielnikiem wszystkich innych wspólnych wielokrotności M I N. Ponadto zbiór wspólnych wielokrotności m, rz pokrywa się ze zbiorem wielokrotności dla LCM( m, rz).

Asymptotyki dla można wyrazić za pomocą niektórych funkcji teorii liczb.

Więc, Funkcja Czebyszewa. I:

Wynika to z definicji i własności funkcji Landaua g(n).

Co wynika z prawa dystrybucji liczby pierwsze.

Znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM).

NOC( a, b) można obliczyć na kilka sposobów:

1. Jeśli znany jest największy wspólny dzielnik, można wykorzystać jego związek z LCM:

2. Niech znany będzie kanoniczny rozkład obu liczb na czynniki pierwsze:

Gdzie p 1 ,..., str k są różnymi liczbami pierwszymi i re 1 ,...,d k I e 1 ,...,ek są nieujemnymi liczbami całkowitymi (mogą wynosić zero, jeśli odpowiednia liczba pierwsza nie znajduje się w rozkładzie).

Następnie LCM ( A,B) oblicza się ze wzoru:

Innymi słowy, rozwinięcie LCM zawiera wszystkie czynniki pierwsze, które są zawarte w co najmniej jednym rozwinięciu liczb a, b, i bierze się największy z dwóch wykładników tego czynnika.

Przykład:

Obliczenie najmniejszej wspólnej wielokrotności kilku liczb można sprowadzić do kilku kolejnych obliczeń LCM dwóch liczb:

Reguła. Aby znaleźć LCM szeregu liczb, potrzebujesz:

- rozkładać liczby na czynniki pierwsze;

- przenieść największą ekspansję na czynniki pożądanego produktu (iloczyn czynników duża liczba z podanych), a następnie dodać czynniki z rozkładu innych liczb, które nie występują w pierwszej liczbie lub występują w niej mniejszą liczbę razy;

- wynikowym iloczynem czynników pierwszych będzie LCM podanych liczb.

Dowolne dwa lub więcej liczby naturalne mieć własny NOC. Jeśli liczby nie są wielokrotnościami siebie lub nie mają tych samych czynników w rozwinięciu, to ich LCM jest równy iloczynowi tych liczb.

Czynniki pierwsze liczby 28 (2, 2, 7) zostały uzupełnione o czynnik 3 (liczba 21), otrzymany iloczyn (84) będzie najmniejsza liczba, która jest podzielna przez 21 i 28 .

Czynniki pierwsze największej liczby 30 zostały uzupełnione o współczynnik 5 liczby 25, otrzymany iloczyn 150 jest większy niż największa liczba 30 i jest podzielny przez wszystkie podane liczby bez reszty. Jest to najmniejszy możliwy iloczyn (150, 250, 300...), którego wielokrotnością są wszystkie podane liczby.

Liczby 2,3,11,37 są liczbami pierwszymi, więc ich LCM jest równy iloczynowi podanych liczb.

reguła. Aby obliczyć LCM liczb pierwszych, musisz pomnożyć wszystkie te liczby razem.

Inna opcja:

Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność (LCM) kilku liczb, potrzebujesz:

1) przedstawiają każdą liczbę jako iloczyn jej czynników pierwszych, na przykład:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) wypisz potęgi wszystkich czynników pierwszych:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) wypisz wszystkie dzielniki pierwsze (mnożniki) każdej z tych liczb;

4) wybrać największy stopień każdej z nich, występujący we wszystkich rozwinięciach tych liczb;

5) pomnóż te potęgi.

Przykład. Znajdź LCM liczb: 168, 180 i 3024.

Rozwiązanie. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Wypisujemy największe potęgi wszystkich pierwszych dzielników i mnożymy je:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Przedstawiony poniżej materiał jest logiczną kontynuacją teorii z artykułu pod nagłówkiem LCM – najmniejsza wspólna wielokrotność, definicja, przykłady, zależność pomiędzy LCM a NWD. Tutaj porozmawiamy o znajdowanie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM), I Specjalna uwaga Rzućmy okiem na przykłady. Najpierw pokażmy, jak oblicza się LCM dwóch liczb na podstawie NWD tych liczb. Następnie rozważ znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności przez rozłożenie liczb na czynniki pierwsze. Następnie skupimy się na znalezieniu LCM trzech lub więcej liczb, a także zwrócimy uwagę na obliczenie LCM liczb ujemnych.

Nawigacja po stronie.

Obliczanie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) przez gcd

Jednym ze sposobów znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności jest relacja między LCM i NWD. Istniejące połączenie między LCM a NWD pozwala obliczyć najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch dodatnich liczb całkowitych przez znany największy wspólny dzielnik. Odpowiednia formuła ma postać LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Rozważ przykłady znajdowania LCM według powyższego wzoru.

Przykład.

Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb 126 i 70 .

Rozwiązanie.

W tym przykładzie a=126 , b=70 . Skorzystajmy z zależności między LCM i NWD wyrażonej wzorem LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Oznacza to, że najpierw musimy znaleźć największy wspólny dzielnik liczb 70 i 126, po czym możemy obliczyć LCM tych liczb zgodnie z zapisanym wzorem.

Znajdź gcd(126, 70) za pomocą algorytmu Euklidesa: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , stąd gcd(126, 70)=14 .

Teraz znajdujemy wymaganą najmniejszą wspólną wielokrotność: LCM(126, 70)=126 70: LM(126, 70)= 126 70:14=630 .

Odpowiedź:

LCM(126, 70)=630 .

Przykład.

Co to jest LCM(68, 34)?

Rozwiązanie.

Ponieważ 68 jest równo podzielne przez 34 , to gcd(68, 34)=34 . Teraz obliczamy najmniejszą wspólną wielokrotność: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .

Odpowiedź:

LCM(68, 34)=68 .

Zauważ, że poprzedni przykład pasuje do następującej reguły znajdowania LCM dla dodatnich liczb całkowitych a i b : jeśli liczba a jest podzielna przez b , to najmniejszą wspólną wielokrotnością tych liczb jest a .

Znalezienie LCM przez rozłożenie liczb na czynniki pierwsze

Innym sposobem znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności jest rozłożenie liczb na czynniki pierwsze. Jeśli zrobimy iloczyn wszystkich czynników pierwszych tych liczb, po czym wykluczymy z tego iloczynu wszystkie wspólne czynniki pierwsze, które występują w rozwinięciach tych liczb, to wynikowy iloczyn będzie równy najmniejszej wspólnej wielokrotności tych liczb.

Ogłoszona reguła znajdowania LCM wynika z równości LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Rzeczywiście, iloczyn liczb aib jest równy iloczynowi wszystkich czynników zaangażowanych w rozwinięcia liczb aib. Z kolei gcd(a, b) jest równy produktowi wszystkie czynniki pierwsze, które są jednocześnie obecne w rozwinięciach liczb a i b (co jest opisane w części dotyczącej znajdowania NWD za pomocą rozkładu liczb na czynniki pierwsze).

Weźmy przykład. Powiedzmy, że 75=3 5 5 i 210=2 3 5 7 . Skomponuj iloczyn wszystkich czynników tych rozszerzeń: 2 3 3 5 5 5 7 . Teraz wyłączymy z tego iloczynu wszystkie czynniki, które występują zarówno w rozwinięciu liczby 75, jak iw rozwinięciu liczby 210 (takimi czynnikami są 3 i 5), wtedy iloczyn przyjmie postać 2 3 5 5 7 . Wartość tego iloczynu jest równa najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb 75 i 210, czyli LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Przykład.

Po rozłożeniu liczb 441 i 700 na czynniki pierwsze, znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność tych liczb.

Rozwiązanie.

Rozłóżmy liczby 441 i 700 na czynniki pierwsze:

Otrzymujemy 441=3 3 7 7 i 700=2 2 5 5 7 .

Teraz zróbmy iloczyn wszystkich czynników zaangażowanych w rozwinięcia tych liczb: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Wykluczmy z tego iloczynu wszystkie czynniki występujące jednocześnie w obu rozwinięciach (jest tylko jeden taki czynnik - jest to liczba 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Zatem, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Odpowiedź:

LCM(441, 700)= 44 100 .

Regułę znajdowania LCM na podstawie rozkładu liczb na czynniki pierwsze można sformułować nieco inaczej. Jeśli do czynników z rozwinięcia liczby a dodamy brakujące czynniki z rozwinięcia liczby b, to wartość otrzymanego iloczynu będzie równa najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb a i b.

Weźmy na przykład te same liczby 75 i 210, ich rozwinięcia na czynniki pierwsze są następujące: 75=3 5 5 i 210=2 3 5 7 . Do czynników 3, 5 i 5 z rozkładu liczby 75 dodamy brakujące czynniki 2 i 7 z rozkładu liczby 210, otrzymamy iloczyn 2 3 5 5 7 , którego wartość to LCM(75 , 210).

Przykład.

Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 84 i 648.

Rozwiązanie.

Najpierw otrzymujemy rozkład liczb 84 i 648 na czynniki pierwsze. Wyglądają jak 84=2 2 3 7 i 648=2 2 2 3 3 3 3 . Do czynników 2 , 2 , 3 i 7 z rozkładu liczby 84 dodajemy brakujące czynniki 2 , 3 , 3 i 3 z rozkładu liczby 648 , otrzymujemy iloczyn 2 2 2 3 3 3 3 7 , co równa się 4 536 . Zatem pożądana najmniejsza wspólna wielokrotność liczb 84 i 648 wynosi 4536.

Odpowiedź:

LCM(84, 648)=4 536 .

Znalezienie LCM trzech lub więcej liczb

Najmniejszą wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb można znaleźć, znajdując kolejno LCM dwóch liczb. Przypomnij sobie odpowiednie twierdzenie, które pozwala znaleźć LCM trzech lub więcej liczb.

Twierdzenie.

Niech dodatnie liczby całkowite a 1 , a 2 , …, a k to najmniejsza wspólna wielokrotność m k tych liczb znajduje się w obliczeniu sekwencyjnym m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , za k) .

Rozważ zastosowanie tego twierdzenia na przykładzie znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności czterech liczb.

Przykład.

Znajdź LCM czterech liczb 140 , 9 , 54 i 250 .

Rozwiązanie.

W tym przykładzie a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 .

Najpierw znajdujemy m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Aby to zrobić, używając algorytmu Euklidesa, wyznaczamy gcd(140, 9) , mamy 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , zatem gcd( 140, 9)=1 , skąd LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . To znaczy m 2 = 1 260 .

Teraz znajdujemy m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Obliczmy to za pomocą funkcji gcd(1 260, 54) , która jest również określona przez algorytm Euklidesa: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Wtedy gcd(1 260, 54)=18 , skąd LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . To znaczy m 3 \u003d 3 780.

Pozostało znaleźć m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Aby to zrobić, znajdujemy NWD(3 780, 250) za pomocą algorytmu Euklidesa: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Dlatego gcd(3 780, 250)=10 , skąd gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . To znaczy m 4 \u003d 94 500.

Tak więc najmniejszą wspólną wielokrotnością czterech oryginalnych liczb jest 94 500.

Odpowiedź:

LCM(140, 9, 54, 250)=94500.

W wielu przypadkach najmniejszą wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb można wygodnie znaleźć za pomocą rozkładu na czynniki pierwsze podanych liczb. W takim przypadku należy przestrzegać następującej zasady. Najmniejsza wspólna wielokrotność kilku liczb jest równa iloczynowi, który składa się z następujących elementów: brakujące czynniki z rozwinięcia drugiej liczby dodaje się do wszystkich czynników z rozwinięcia pierwszej liczby, brakujące czynniki z rozwinięcia do otrzymanych współczynników dodaje się trzecią liczbę i tak dalej.

Rozważmy przykład znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności za pomocą rozkładu liczb na czynniki pierwsze.

Przykład.

Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność pięciu liczb 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Rozwiązanie.

Najpierw otrzymujemy rozwinięcia tych liczb na czynniki pierwsze: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 czynników pierwszych) i 143=11 13 .

Aby znaleźć LCM tych liczb, do czynników pierwszej liczby 84 (są to 2 , 2 , 3 i 7 ) należy dodać brakujące czynniki z rozwinięcia drugiej liczby 6 . Rozwinięcie liczby 6 nie zawiera brakujących czynników, ponieważ zarówno 2, jak i 3 są już obecne w rozwinięciu pierwszej liczby 84 . Oprócz czynników 2 , 2 , 3 i 7 dodajemy brakujące czynniki 2 i 2 z rozwinięcia trzeciej liczby 48 , otrzymujemy zbiór czynników 2 , 2 , 2 , 2 , 3 i 7 . Nie ma potrzeby dodawania czynników do tego zestawu w następnym kroku, ponieważ 7 jest już w nim zawarte. Na koniec do czynników 2 , 2 , 2 , 2 , 3 i 7 dodajemy brakujące czynniki 11 i 13 z rozwinięcia liczby 143 . Otrzymujemy iloczyn 2 2 2 2 3 7 11 13 , co jest równe 48 048 .

Ale wiele liczb naturalnych jest równo podzielnych przez inne liczby naturalne.

Na przykład:

Liczba 12 jest podzielna przez 1, przez 2, przez 3, przez 4, przez 6, przez 12;

Liczba 36 jest podzielna przez 1, przez 2, przez 3, przez 4, przez 6, przez 12, przez 18, przez 36.

Liczby, przez które liczba jest podzielna (dla 12 jest to 1, 2, 3, 4, 6 i 12) nazywamy dzielniki liczb. Dzielnik liczby naturalnej A jest liczbą naturalną, która dzieli daną liczbę A bez śladu. Nazywamy liczbę naturalną, która ma więcej niż dwa dzielniki złożony .

LCM jest zawsze liczbą naturalną, która musi być większa od największej z liczb, dla których jest zdefiniowana.

Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM). Nieruchomości.

Przemienność:

Asocjatywność:

W szczególności, jeśli i są liczbami względnie pierwszymi, to:

Asymptotyki dla można wyrazić za pomocą niektórych funkcji teorii liczb.

Więc, Funkcja Czebyszewa. I:

Wynika to z definicji i własności funkcji Landaua g(n).

Co wynika z prawa dystrybucji liczb pierwszych.

Znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM).

NOC( a, b) można obliczyć na kilka sposobów:

1. Jeśli znany jest największy wspólny dzielnik, można wykorzystać jego związek z LCM:

2. Niech znany będzie kanoniczny rozkład obu liczb na czynniki pierwsze:

Następnie LCM ( A,B) oblicza się ze wzoru:

Innymi słowy, rozwinięcie LCM zawiera wszystkie czynniki pierwsze, które są zawarte w co najmniej jednym rozwinięciu liczb a, b, i bierze się największy z dwóch wykładników tego czynnika.

Przykład:

Obliczenie najmniejszej wspólnej wielokrotności kilku liczb można sprowadzić do kilku kolejnych obliczeń LCM dwóch liczb:

Reguła. Aby znaleźć LCM szeregu liczb, potrzebujesz:

- rozkładać liczby na czynniki pierwsze;

- przenieść największe rozwinięcie na czynniki pożądanego iloczynu (iloczyn czynników największej liczby podanych), a następnie dodać czynniki z rozwinięcia innych liczb, które nie występują w pierwszej liczbie lub są w niej mniejsza liczba razy;

- wynikowym iloczynem czynników pierwszych będzie LCM podanych liczb.

Dowolne dwie lub więcej liczb naturalnych ma swój własny LCM. Jeśli liczby nie są wielokrotnościami siebie lub nie mają tych samych czynników w rozwinięciu, to ich LCM jest równy iloczynowi tych liczb.

Czynniki pierwsze liczby 28 (2, 2, 7) zostały uzupełnione o współczynnik 3 (liczba 21), a wynikowy iloczyn (84) będzie najmniejszą liczbą podzielną przez 21 i 28.

Liczby 2,3,11,37 są liczbami pierwszymi, więc ich LCM jest równy iloczynowi podanych liczb.

reguła. Aby obliczyć LCM liczb pierwszych, musisz pomnożyć wszystkie te liczby razem.

Inna opcja:

Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność (LCM) kilku liczb, potrzebujesz:

1) przedstawiają każdą liczbę jako iloczyn jej czynników pierwszych, na przykład:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) wypisz potęgi wszystkich czynników pierwszych:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) wypisz wszystkie dzielniki pierwsze (mnożniki) każdej z tych liczb;

4) wybrać największy stopień każdej z nich, występujący we wszystkich rozwinięciach tych liczb;

5) pomnóż te potęgi.

Przykład. Znajdź LCM liczb: 168, 180 i 3024.

Rozwiązanie. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Wypisujemy największe potęgi wszystkich pierwszych dzielników i mnożymy je:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Jak znaleźć LCM (najmniejszą wspólną wielokrotność)

Wspólną wielokrotnością dwóch liczb całkowitych jest liczba całkowita, która jest podzielna przez obie podane liczby bez reszty.

Najmniejszą wspólną wielokrotnością dwóch liczb całkowitych jest najmniejsza ze wszystkich liczb całkowitych, która jest podzielna równomiernie i bez reszty przez obie podane liczby.

Metoda 1. Możesz z kolei znaleźć LCM dla każdej z podanych liczb, wypisując w porządku rosnącym wszystkie liczby otrzymane przez pomnożenie ich przez 1, 2, 3, 4 i tak dalej.

Przykład dla numerów 6 i 9.
Mnożymy liczbę 6 kolejno przez 1, 2, 3, 4, 5.
Otrzymujemy: 6, 12, 18 , 24, 30
Liczbę 9 mnożymy kolejno przez 1, 2, 3, 4, 5.
Otrzymujemy: 9, 18 , 27, 36, 45
Jak widać, LCM dla liczb 6 i 9 wyniesie 18.

Ta metoda jest wygodna, gdy obie liczby są małe i łatwo je pomnożyć przez ciąg liczb całkowitych. Istnieją jednak przypadki, w których trzeba znaleźć LCM dla liczb dwucyfrowych lub trzycyfrowych, a także gdy są trzy lub nawet więcej liczb początkowych.

Metoda 2. Możesz znaleźć LCM, rozkładając oryginalne liczby na czynniki pierwsze.
Po dekompozycji konieczne jest skreślenie tych samych liczb z otrzymanej serii czynników pierwszych. Pozostałe liczby pierwszej liczby będą czynnikami dla drugiej, a pozostałe liczby drugiej liczby będą czynnikami dla pierwszej.

Przykład dla numeru 75 i 60.
Najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 75 i 60 można znaleźć bez wypisywania wielokrotności tych liczb z rzędu. Aby to zrobić, rozkładamy 75 i 60 na czynniki pierwsze:
75 = 3 * 5 * 5 i
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Jak widać, czynniki 3 i 5 występują w obu wierszach. Psychicznie je „przekreślamy”.
Zapiszmy pozostałe czynniki zawarte w rozwinięciu każdej z tych liczb. Rozkładając liczbę 75 zostawiliśmy liczbę 5, a rozkładając liczbę 60 zostawiliśmy 2 * 2
Aby więc wyznaczyć LCM dla liczb 75 i 60, musimy pomnożyć pozostałe liczby z rozwinięcia liczby 75 (to jest 5) przez 60, a liczby pozostałe z rozwinięcia liczby 60 (to jest 2 * 2 ) pomnóż przez 75. To znaczy, dla ułatwienia zrozumienia, mówimy, że mnożymy „na krzyż”.
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
W ten sposób znaleźliśmy LCM dla liczb 60 i 75. To jest liczba 300.

Przykład. Wyznacz LCM dla liczb 12, 16, 24
W takim przypadku nasze działania będą nieco bardziej skomplikowane. Ale najpierw, jak zawsze, rozkładamy wszystkie liczby na czynniki pierwsze
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Aby poprawnie wyznaczyć LCM, wybieramy najmniejszą ze wszystkich liczb (jest to liczba 12) i kolejno przeglądamy jej czynniki, przekreślając je, jeśli przynajmniej jeden z pozostałych rzędów liczb ma ten sam czynnik, który nie został jeszcze przekreślony na zewnątrz.

Krok 1 . Widzimy, że 2 * 2 występuje we wszystkich szeregach liczb. Przekreślamy je.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Krok 2. W czynnikach pierwszych liczby 12 pozostaje tylko liczba 3. Ale jest ona obecna w czynnikach pierwszych liczby 24. Wykreślamy liczbę 3 z obu rzędów, podczas gdy dla liczby 16 nie oczekuje się żadnej akcji .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Jak widać rozkładając liczbę 12 „przekreśliliśmy” wszystkie liczby. Tak więc ustalenie NOC jest zakończone. Pozostaje tylko obliczyć jego wartość.
Dla liczby 12 bierzemy pozostałe czynniki z liczby 16 (najbliższa w porządku rosnącym)
12 * 2 * 2 = 48
To jest NOC

Jak widać, w tym przypadku znalezienie LCM było nieco trudniejsze, ale gdy trzeba go znaleźć dla trzech lub więcej liczb, Ta metoda pozwala zrobić to szybciej. Jednak oba sposoby znalezienia LCM są poprawne.