Do kanału youtube naszej witryny, aby być świadomym wszystkich nowych lekcji wideo.

Najpierw przypomnijmy sobie podstawowe wzory stopni i ich właściwości.

Produkt liczby A dzieje się na sobie n razy, możemy zapisać to wyrażenie jako a… a=a n

1. za 0 = 1 (za ≠ 0)

3. za n za m = za n + m

4. (a n) m = a nm

5. za n b n = (ab) n

7. za n / za m \u003d za n - m

Równania potęgowe lub wykładnicze- są to równania, w których zmienne są potęgami (lub wykładnikami), a podstawą jest liczba.

Przykłady równania wykładnicze:

W tym przykładzie liczba 6 jest podstawą, jest zawsze na dole i zmienną X stopień lub miarę.

Podajmy więcej przykładów równań wykładniczych.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

Przyjrzyjmy się teraz, jak rozwiązuje się równania wykładnicze?

Weźmy proste równanie:

2 x = 2 3

Taki przykład można rozwiązać nawet w umyśle. Widać, że x=3. W końcu, aby lewa i prawa strona były równe, musisz wstawić liczbę 3 zamiast x.
Zobaczmy teraz, jak należy podjąć tę decyzję:

2 x = 2 3
x = 3

Aby rozwiązać to równanie, usunęliśmy te same podstawy(czyli dwójki) i zapisał to, co zostało, są to stopnie. Otrzymaliśmy odpowiedź, której szukaliśmy.

Podsumujmy teraz nasze rozwiązanie.

Algorytm rozwiązywania równania wykładniczego:
1. Trzeba sprawdzić ten sam czy podstawy równania po prawej i po lewej stronie. Jeśli podstawy nie są takie same, szukamy opcji rozwiązania tego przykładu.
2. Gdy podstawy są takie same, zrównać stopnia i rozwiązać wynikowe nowe równanie.

Teraz rozwiążmy kilka przykładów:

Zacznijmy prosto.

Podstawy po lewej i prawej stronie są równe liczbie 2, co oznacza, że ​​możemy odrzucić podstawę i zrównać ich stopnie.

x+2=4 Wyszło najprostsze równanie.
x=4 - 2
x=2
Odpowiedź: x=2

W poniższym przykładzie widać, że podstawy są różne, są to 3 i 9.

3 3x - 9x + 8 = 0

Na początek przenosimy dziewięć na prawą stronę, otrzymujemy:

Teraz musisz zrobić te same podstawy. Wiemy, że 9=3 2 . Użyjmy wzoru na potęgę (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Otrzymujemy 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 teraz możesz to zobaczyć po lewej i prawa strona podstawy są takie same i równe trzem, co oznacza, że ​​możemy je odrzucić i zrównać stopnie.

3x=2x+16 ma najprostsze równanie
3x-2x=16
x=16
Odpowiedź: x=16.

Spójrzmy na następujący przykład:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Przede wszystkim patrzymy na podstawy, podstawy są różne dwa i cztery. I musimy być tacy sami. Przekształcamy poczwórne zgodnie ze wzorem (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

Używamy również jednego wzoru a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Dodaj do równania:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Podaliśmy przykład z tych samych powodów. Ale przeszkadzają nam inne liczby 10 i 24. Co z nimi zrobić? Jeśli przyjrzysz się uważnie, zobaczysz, że po lewej stronie powtarzamy 2 2x, oto odpowiedź - możemy wyciąć 2 2x z nawiasów:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Obliczmy wyrażenie w nawiasach:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Całe równanie dzielimy przez 6:

Wyobraź sobie 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 podstawy są takie same, odrzuć je i zrównaj stopnie.
2x \u003d 2 okazało się najprostszym równaniem. Dzielimy to przez 2, otrzymujemy
x = 1
Odpowiedź: x = 1.

Rozwiążmy równanie:

9 x - 12*3 x +27= 0

przekształćmy:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Otrzymujemy równanie:
3 2x - 12 3x +27 = 0

Nasze podstawy są takie same, równe 3. W tym przykładzie widać wyraźnie, że pierwsza trójka ma stopień dwukrotnie (2x) niż druga (tylko x). W takim przypadku możesz zdecydować metoda zastępcza. Liczbę o najmniejszym stopniu zastępuje się przez:

Następnie 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Zamieniamy wszystkie stopnie na x w równaniu z t:

t 2 - 12 t + 27 \u003d 0
dostajemy równanie kwadratowe. Rozwiązujemy przez dyskryminację, otrzymujemy:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Powrót do zmiennej X.

Przyjmujemy t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

To jest,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Znaleziono jeden korzeń. Szukamy drugiego, od t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Odpowiedź: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

Na stronie możesz w dziale POMOC ZDECYDOWAĆ zadać interesujące pytania, na pewno Ci odpowiemy.

Dołącz do grupy

Ta lekcja jest przeznaczona dla tych, którzy dopiero zaczynają uczyć się równań wykładniczych. Jak zwykle zacznijmy od definicji i prostych przykładów.

Jeśli czytasz tę lekcję, to podejrzewam, że masz już przynajmniej minimalne zrozumienie najprostszych równań - liniowego i kwadratowego: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ itd. Umiejętność rozwiązywania takich konstrukcji jest absolutnie konieczna, aby nie „zawiesić się” w temacie, który zostanie teraz omówiony.

A więc równania wykładnicze. Pozwolę sobie podać kilka przykładów:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Niektóre z nich mogą ci się wydawać bardziej skomplikowane, niektóre wręcz przeciwnie, są zbyt proste. Ale jedno łączy ich wszystkich ważna cecha: w ich notacji występuje funkcja wykładnicza $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Wprowadzamy zatem definicję:

Równanie wykładnicze to dowolne równanie zawierające funkcję wykładniczą, tj. wyrażenie postaci $((a)^(x))$. Oprócz określonej funkcji, takie równania mogą zawierać dowolne inne konstrukcje algebraiczne - wielomiany, pierwiastki, trygonometrię, logarytmy itp.

w porządku. Zrozumiałem definicję. Teraz pytanie brzmi: jak rozwiązać to całe gówno? Odpowiedź jest jednocześnie prosta i złożona.

Zacznijmy od dobrych wiadomości: z mojego doświadczenia z wieloma studentami mogę powiedzieć, że dla większości z nich równania wykładnicze są znacznie łatwiejsze niż te same logarytmy, a tym bardziej trygonometria.

Ale są też złe wieści: czasami kompilatorów problemów do wszelkiego rodzaju podręczników i egzaminów nawiedza „inspiracja”, a ich narkotyczny mózg zaczyna produkować tak brutalne równania, że ​​rozwiązanie ich staje się problematyczne nie tylko dla uczniów - nawet wielu nauczycieli tkwi w takich problemach.

Nie mówmy jednak o smutnych rzeczach. I wróćmy do tych trzech równań, które zostały podane na samym początku historii. Spróbujmy rozwiązać każdy z nich.

Pierwsze równanie: $((2)^(x))=4$. Do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 2, aby otrzymać liczbę 4? Może drugi? W końcu $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — i otrzymaliśmy poprawną równość liczbową, tj. faktycznie $x=2$. Cóż, dzięki, cap, ale to równanie było tak proste, że nawet mój kot by je rozwiązał. :)

Spójrzmy na następujące równanie:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Ale tutaj jest trochę trudniej. Wielu uczniów wie, że $((5)^(2))=25$ to tabliczka mnożenia. Niektórzy podejrzewają również, że $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ jest zasadniczo definicją ujemnych wykładników (podobnie jak wzór $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

Wreszcie, tylko nieliczni zgadują, że te fakty można połączyć, a wynikiem jest następujący wynik:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Zatem nasze pierwotne równanie zostanie przepisane w następujący sposób:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\strzałka w prawo ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

A teraz jest to już całkowicie rozwiązane! Po lewej stronie równania jest funkcja wykładnicza, po prawej funkcja wykładnicza, nigdzie indziej nie ma nic poza nimi. Dlatego można „odrzucić” podstawy i głupio zrównać wskaźniki:

Mamy najprostsze równanie liniowe, które każdy uczeń może rozwiązać w zaledwie kilku wierszach. Ok, w czterech linijkach:

\[\begin(wyrównaj)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(wyrównaj)\]

Jeśli nie zrozumiałeś, co działo się w ostatnich czterech wierszach, koniecznie wróć do tematu „ równania liniowe' i powtórz to. Ponieważ bez jasnego przyswojenia tego tematu jest za wcześnie, aby zająć się równaniami wykładniczymi.

\[((9)^(x))=-3\]

Cóż, jak decydujesz? Pierwsza myśl: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, więc pierwotne równanie można zapisać w następujący sposób:

\[((\lewo(((3)^(2)) \prawo))^(x))=-3\]

Następnie przypominamy sobie, że podnosząc stopień do potęgi, wskaźniki są mnożone:

\[((\left((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\strzałka w prawo ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(wyrównaj)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(wyrównaj)\]

I za taką decyzję dostajemy uczciwie zasłużoną dwójkę. Ponieważ my, ze spokojem Pokémona, wysłaliśmy znak minus przed trójką do potęgi tej właśnie trójki. I nie możesz tego zrobić. I własnie dlatego. Spojrzeć na różne stopnie trojaczki:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrix)\]

Kompilując ten tablet, nie zboczyłem tak szybko, jak to zrobiłem: rozważałem stopnie dodatnie i ujemne, a nawet ułamkowe ... no cóż, gdzie tu jest przynajmniej jedna liczba ujemna? On nie jest! A tak być nie może, ponieważ funkcja wykładnicza $y=((a)^(x))$, po pierwsze, zawsze przyjmuje tylko wartości dodatnie (nieważne ile pomnożysz jeden lub podzielisz przez dwa, i tak będzie to liczba dodatnia), a po drugie, podstawa takiej funkcji, liczba $a$, jest z definicji liczbą dodatnią!

No bo jak w takim razie rozwiązać równanie $((9)^(x))=-3$? Nie, nie ma korzeni. I w tym sensie równania wykładnicze są bardzo podobne do równań kwadratowych - może też nie być pierwiastków. Ale jeśli w równaniach kwadratowych liczbę pierwiastków określa dyskryminator (wyróżnik jest dodatni - 2 pierwiastki, ujemny - brak pierwiastków), to w równaniach wykładniczych wszystko zależy od tego, co jest na prawo od znaku równości.

W ten sposób formułujemy kluczowy wniosek: najprostsze równanie wykładnicze postaci $((a)^(x))=b$ ma pierwiastek wtedy i tylko wtedy, gdy $b>0$. Znając ten prosty fakt, możesz łatwo ustalić, czy zaproponowane ci równanie ma pierwiastki, czy nie. Te. czy w ogóle warto to rozwiązywać, czy od razu napisać, że nie ma korzeni.

Ta wiedza przyda nam się wielokrotnie, gdy będziemy musieli rozwiązywać bardziej złożone problemy. A tymczasem dość tekstów - czas przestudiować podstawowy algorytm rozwiązywania równań wykładniczych.

Jak rozwiązywać równania wykładnicze

Sformułujmy więc problem. Konieczne jest rozwiązanie równania wykładniczego:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Zgodnie z „naiwnym” algorytmem, którego użyliśmy wcześniej, konieczne jest przedstawienie liczby $b$ jako potęgi liczby $a$:

Dodatkowo, jeśli zamiast zmiennej $x$ pojawi się jakieś wyrażenie, otrzymamy nowe równanie, które można już rozwiązać. Na przykład:

\[\begin(wyrównaj)& ((2)^(x))=8\Strzałka w prawo ((2)^(x))=((2)^(3))\Strzałka w prawo x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Strzałka w prawo ((3)^(-x))=((3)^(4))\Strzałka w prawo -x=4\Strzałka w prawo x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Strzałka w prawo ((5)^(2x))=((5)^(3))\Strzałka w prawo 2x=3\Strzałka w prawo x=\frac(3)( 2). \\\koniec(wyrównaj)\]

Co dziwne, ten schemat działa w około 90% przypadków. A co z pozostałymi 10% w takim razie? Pozostałe 10% to nieco „schizofreniczne” równania wykładnicze postaci:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Do jakiej potęgi trzeba podnieść 2 aby otrzymać 3? Na początku? Ale nie: $((2)^(1))=2$ to za mało. W sekundę? Żadne: $((2)^(2))=4$ to nie za dużo. Co wtedy?

Doświadczeni studenci prawdopodobnie już się domyślili: w takich przypadkach, gdy nie można rozwiązać „pięknie”, do sprawy podłączona jest „ciężka artyleria” - logarytmy. Przypomnę, że za pomocą logarytmów dowolną liczbę dodatnią można przedstawić jako potęgę dowolnej innej liczby dodatniej (z wyjątkiem jedynki):

Pamiętasz tę formułę? Kiedy mówię moim studentom o logarytmach, zawsze ich ostrzegam: ta formuła (jest też główną tożsamość logarytmiczna lub, jeśli wolisz, definicja logarytmu) będzie cię prześladować przez bardzo długi czas i „pojawi się” w najbardziej nieoczekiwane miejsca. Cóż, ujawniła się. Spójrzmy na nasze równanie i ten wzór:

\[\begin(wyrównaj)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(wyrównaj) \]

Jeśli założymy, że $a=3$ to nasza pierwotna liczba po prawej stronie, a $b=2$ to sama podstawa funkcji wykładniczej, do której tak bardzo chcemy się sprowadzić prawa strona, to otrzymujemy co następuje:

\[\begin(wyrównaj)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Strzałka w prawo 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Strzałka w prawo ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Strzałka w prawo x=( (\log )_(2))3. \\\koniec(wyrównaj)\]

Otrzymaliśmy nieco dziwną odpowiedź: $x=((\log )_(2))3$. W innym zadaniu, z taką odpowiedzią, wielu zwątpiłoby i zaczęło dwukrotnie sprawdzać swoje rozwiązanie: a co, jeśli gdzieś jest błąd? Spieszę cię zadowolić: nie ma tu błędu, a logarytmy w pierwiastkach równań wykładniczych to dość typowa sytuacja. Więc przyzwyczaj się :)

Teraz rozwiązujemy analogicznie pozostałe dwa równania:

\[\begin(wyrównaj)& ((5)^(x))=15\Strzałka w prawo ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Strzałka w prawo x=((\log)_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Strzałka w prawo ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Strzałka w prawo 2x=( (\log)_(4))11\Strzałka w prawo x=\frac(1)(2)((\log)_(4))11. \\\koniec(wyrównaj)\]

To wszystko! Nawiasem mówiąc, ostatnią odpowiedź można zapisać inaczej:

To my wprowadziliśmy mnożnik do argumentu logarytmu. Ale nikt nie zabrania nam dodawać do bazy tego czynnika:

W tym przypadku wszystkie trzy opcje są poprawne - to po prostu Różne formy rekordy o tym samym numerze. Który wybrać i zapisać w tej decyzji, zależy od Ciebie.

W ten sposób nauczyliśmy się rozwiązywać dowolne równania wykładnicze postaci $((a)^(x))=b$, gdzie liczby $a$ i $b$ są ściśle dodatnie. Jednak surowa rzeczywistość naszego świata jest taka, że ​​taka proste zadania będzie cię spotykać bardzo, bardzo rzadko. Częściej spotkasz coś takiego:

\[\begin(wyrównaj)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\koniec(wyrównaj)\]

Cóż, jak decydujesz? Czy to w ogóle da się rozwiązać? A jeśli tak, to jak?

Bez paniki. Wszystkie te równania są szybko i prosto redukowane do tych prostych wzorów, które już rozważaliśmy. Wystarczy umieć zapamiętać kilka sztuczek z kursu algebry. I oczywiście nie ma tutaj żadnych zasad pracy ze stopniami naukowymi. O tym wszystkim opowiem teraz. :)

Transformacja równań wykładniczych

Pierwszą rzeczą do zapamiętania jest to, że każde równanie wykładnicze, bez względu na to, jak złożone może być, w taki czy inny sposób, musi zostać sprowadzone do najprostszych równań - tych, które już rozważaliśmy i które wiemy, jak rozwiązać. Innymi słowy, schemat rozwiązywania dowolnego równania wykładniczego wygląda następująco:

1. Zapisz oryginalne równanie. Na przykład: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Zrób coś głupiego. Lub nawet jakieś gówno zwane „przekształceniem równania”;
3. Na wyjściu uzyskaj najprostsze wyrażenia, takie jak $((4)^(x))=4$ lub coś podobnego. Co więcej, jedno początkowe równanie może dać kilka takich wyrażeń jednocześnie.

Z pierwszym punktem wszystko jasne - nawet mój kot może napisać równanie na liściu. Z trzecim punktem też wydaje się, że jest to mniej więcej jasne - powyżej rozwiązaliśmy już całą masę takich równań.

Ale co z drugim punktem? Jakie są przekształcenia? Co przekonwertować na co? I jak?

Cóż, zastanówmy się. Przede wszystkim chciałbym zwrócić uwagę na następującą rzecz. Wszystkie równania wykładnicze są podzielone na dwa typy:

1. Równanie składa się z funkcji wykładniczych o tej samej podstawie. Przykład: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=(4)^(x+1))-11$;
2. Formuła zawiera funkcje wykładnicze o różnych podstawach. Przykłady: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ i $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09$.

Zacznijmy od równań pierwszego typu - są one najłatwiejsze do rozwiązania. A w ich rozwiązaniu pomoże nam taka technika jak dobór wyrażeń stabilnych.

Podkreślenie stabilnej wypowiedzi

Spójrzmy jeszcze raz na to równanie:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Co widzimy? Cztery są podniesione do różnych stopni. Ale wszystkie te potęgi są prostymi sumami zmiennej $x$ z innymi liczbami. Dlatego należy pamiętać o zasadach pracy ze stopniami:

\[\begin(wyrównaj)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a) )^(y))). \\\koniec(wyrównaj)\]

Mówiąc najprościej, dodawanie wykładników można zamienić na iloczyn potęg, a odejmowanie można łatwo zamienić na dzielenie. Spróbujmy zastosować te wzory do potęg z naszego równania:

\[\begin(wyrównaj)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))((4)^(1)))=(4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\koniec(wyrównaj)\]

Przepisujemy oryginalne równanie, biorąc pod uwagę ten fakt, a następnie zbieramy wszystkie wyrazy po lewej stronie:

\[\begin(wyrównaj)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -jedenaście; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\koniec(wyrównaj)\]

Pierwsze cztery wyrazy zawierają element $((4)^(x))$ — wyjmijmy go z nawiasu:

\[\begin(wyrównaj)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\koniec(wyrównaj)\]

Pozostaje podzielić obie części równania przez ułamek $-\frac(11)(4)$, tj. zasadniczo pomnóż przez odwrócony ułamek - $-\frac(4)(11)$. Otrzymujemy:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\koniec(wyrównaj)\]

To wszystko! Zredukowaliśmy pierwotne równanie do najprostszego i otrzymaliśmy ostateczną odpowiedź.

Jednocześnie w trakcie rozwiązywania odkryliśmy (a nawet wyjęliśmy z nawiasu) wspólny czynnik $((4)^(x))$ - to jest wyrażenie stabilne. Można ją wyznaczyć jako nową zmienną lub po prostu dokładnie ją wyrazić i uzyskać odpowiedź. W każdym razie kluczowa zasada rozwiązania jest następująca:

Znajdź w oryginalnym równaniu stabilne wyrażenie zawierające zmienną, którą łatwo odróżnić od wszystkich funkcji wykładniczych.

Dobrą wiadomością jest to, że prawie każde równanie wykładnicze dopuszcza takie stabilne wyrażenie.

Ale są też złe wieści: takie wyrażenia mogą być bardzo trudne, a rozróżnienie ich może być dość trudne. Spójrzmy więc na inny problem:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Być może ktoś będzie miał teraz pytanie: „Pasza, czy jesteś naćpany? Oto różne bazy - 5 i 0,2. Ale spróbujmy przekonwertować potęgę o podstawie 0,2. Na przykład pozbądźmy się ułamka dziesiętnego, doprowadzając go do zwykłego:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10 ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

Jak widać, cyfra 5 nadal się pojawiała, choć w mianowniku. Jednocześnie wskaźnik został przepisany na ujemny. A teraz pamiętamy jeden z zasadnicze zasady praca ze stopniami:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Strzałka w prawo ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=(5)^(x+1))\ ]

Tutaj oczywiście trochę oszukałem. Ponieważ dla pełnego zrozumienia formuła pozbycia się negatywnych wskaźników musiała zostać zapisana w następujący sposób:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\strzałka w prawo ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ prawo))^(x+1))=(5)^(x+1))\]

Z drugiej strony nic nie stało na przeszkodzie, aby pracować tylko z jedną frakcją:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ prawo))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

Ale w tym przypadku musisz być w stanie podnieść stopień do innego stopnia (przypominam: w tym przypadku wskaźniki są sumowane). Ale nie musiałem „odwracać” ułamków - może dla kogoś będzie to łatwiejsze. :)

W każdym razie oryginalne równanie wykładnicze zostanie przepisane jako:

\[\begin(wyrównaj)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\koniec(wyrównaj)\]

Okazuje się więc, że pierwotne równanie jest jeszcze łatwiejsze do rozwiązania niż poprzednio rozważane: tutaj nie trzeba nawet wyróżniać stabilnego wyrażenia - wszystko samo się zmniejszyło. Pozostaje tylko pamiętać, że $1=(5)^(0))$, skąd otrzymujemy:

\[\begin(wyrównaj)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\koniec(wyrównaj)\]

To całe rozwiązanie! Otrzymaliśmy ostateczną odpowiedź: $x=-2$. Jednocześnie chciałbym zwrócić uwagę na jedną sztuczkę, która znacznie uprościła nam wszystkie obliczenia:

W równaniach wykładniczych należy się ich pozbyć ułamki dziesiętne, zamień je na normalne. Umożliwi to zobaczenie tych samych podstaw stopni i znacznie uprości rozwiązanie.

Przejdźmy teraz do bardziej złożonych równań, w których istnieją różne podstawy, których generalnie nie można sprowadzić do siebie za pomocą potęg.

Korzystanie z właściwości wykładnika

Przypomnę, że mamy jeszcze dwa szczególnie trudne równania:

\[\begin(wyrównaj)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\koniec(wyrównaj)\]

Główna trudność polega tutaj na tym, że nie jest jasne, co i na jakiej podstawie prowadzić. Gdzie są stałe wyrażenia? Gdzie są wspólne podstawy? Nic z tego nie ma.

Spróbujmy jednak pójść w drugą stronę. Jeśli nie ma gotowych identycznych baz, możesz spróbować je znaleźć, rozkładając dostępne bazy na czynniki.

Zacznijmy od pierwszego równania:

\[\begin(wyrównaj)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\strzałka w prawo ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\koniec(wyrównaj)\]

Ale przecież możesz zrobić coś przeciwnego - uzupełnić liczbę 21 z liczb 7 i 3. Szczególnie łatwo jest to zrobić po lewej stronie, ponieważ wskaźniki obu stopni są takie same:

\[\begin(wyrównaj)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\&x=3. \\\koniec(wyrównaj)\]

To wszystko! Wyjąłeś wykładnik z iloczynu i natychmiast otrzymałeś piękne równanie, które można rozwiązać w kilku liniach.

Zajmijmy się teraz drugim równaniem. Tutaj wszystko jest znacznie bardziej skomplikowane:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

W tym przypadku ułamki okazały się nieredukowalne, ale jeśli coś można było zredukować, koniecznie to zredukuj. Często skutkuje to interesującymi podstawami, z którymi możesz już pracować.

Niestety nic nie wymyśliliśmy. Ale widzimy, że wykładniki po lewej stronie w produkcie są przeciwne:

Przypomnę: aby pozbyć się znaku minus w wykładniku, wystarczy „odwrócić” ułamek. Przepiszmy więc pierwotne równanie:

\[\begin(wyrównaj)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\koniec(wyrównaj)\]

W drugim wierszu właśnie wzięliśmy w nawias sumę z iloczynu zgodnie z regułą $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right ))^ (x))$, aw tym drugim po prostu pomnożyli liczbę 100 przez ułamek.

Teraz zauważ, że liczby po lewej stronie (u podstawy) i po prawej są nieco podobne. Jak? Tak, oczywiście: są to potęgi tej samej liczby! Mamy:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \right))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \po prawej))^(2)). \\\koniec(wyrównaj)\]

Zatem nasze równanie zostanie przepisane w następujący sposób:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10) \right))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

Jednocześnie po prawej stronie można również uzyskać stopień o tej samej podstawie, dla którego wystarczy „odwrócić” ułamek:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Ostatecznie nasze równanie przyjmie postać:

\[\begin(wyrównaj)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\koniec(wyrównaj)\]

To całe rozwiązanie. Jej główna idea sprowadza się do tego, że nawet z różnych powodów próbujemy haczykiem lub oszustwem sprowadzić te powody do tego samego. Pomagają nam w tym elementarne przekształcenia równań i zasady pracy z potęgami.

Ale jakie zasady i kiedy stosować? Jak zrozumieć, że w jednym równaniu trzeba podzielić obie strony przez coś, aw innym - rozłożyć podstawę funkcji wykładniczej na czynniki?

Odpowiedź na to pytanie przyjdzie wraz z doświadczeniem. Najpierw spróbuj swoich sił w prostych równaniach, a następnie stopniowo komplikuj zadania - a już wkrótce twoje umiejętności wystarczą do rozwiązania dowolnego równania wykładniczego z tego samego USE lub dowolnej niezależnej / testowej pracy.

Aby pomóc Ci w tym trudnym zadaniu, sugeruję pobranie zestawu równań z mojej strony internetowej w celu samodzielnego rozwiązania. Wszystkie równania mają odpowiedzi, więc zawsze możesz sam sprawdzić.

Pierwszy poziom

równania wykładnicze. Kompleksowy przewodnik (2019)

Cześć! Dzisiaj omówimy z tobą, jak rozwiązywać równania, które mogą być zarówno elementarne (a mam nadzieję, że po przeczytaniu tego artykułu prawie wszystkie z nich będą dla ciebie takie), jak i te, którym zwykle podaje się „zapełnienie”. Najwyraźniej, aby całkowicie zasnąć. Ale postaram się zrobić wszystko, co w mojej mocy, aby teraz nie wpaść w kłopoty w obliczu tego typu równań. Nie będę już owijał w bawełnę, ale od razu zdradzę mały sekret: dzisiaj będziemy się uczyć równania wykładnicze.

Zanim przejdę do analizy sposobów ich rozwiązania, od razu nakreślę Ci krąg pytań (dość mały), które powinieneś powtórzyć, zanim rzucisz się na szturm na ten temat. A więc zdobyć najlepszy wynik, Proszę, powtarzać:

1. właściwości i
2. Rozwiązanie i równania

Powtarzający się? Niesamowity! Wtedy nie będzie ci trudno zauważyć, że pierwiastek równania jest liczbą. Jesteś pewien, że rozumiesz, jak to zrobiłem? Czy to prawda? Następnie kontynuujemy. A teraz odpowiedz mi na pytanie, ile równa się trzeciej potędze? Masz całkowitą rację: . Osiem to jaka potęga dwójki? Właśnie - trzeci! Ponieważ. Cóż, spróbujmy teraz rozwiązać następujący problem: Pozwólcie, że pomnożę tę liczbę raz przez samą siebie i otrzymam wynik. Pytanie brzmi, ile razy pomnożyłam przez siebie? Możesz to oczywiście sprawdzić bezpośrednio:

\begin(wyrównaj) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( wyrównywać)

Wtedy możesz wywnioskować, że pomnożyłem razy przez siebie. Jak inaczej można to zweryfikować? A oto jak: bezpośrednio przez definicję stopnia: . Ale musisz przyznać, że gdybym zapytał, ile razy dwa należy pomnożyć przez siebie, aby otrzymać, powiedzmy, odpowiedziałbyś mi: nie będę się oszukiwał i mnożył przez siebie, aż zsinieję na twarzy. I miałby absolutną rację. Bo jak możesz zapisz krótko wszystkie czynności(a zwięzłość jest siostrą talentu)

gdzie - to jest bardzo "czasy" kiedy mnożysz przez siebie.

Myślę, że wiesz (a jeśli nie wiesz, to pilnie, bardzo pilnie powtórz stopnie!), że wtedy mój problem będzie zapisany w postaci:

Jak możesz rozsądnie stwierdzić, że:

Więc po cichu zapisałem najprostsze równanie wykładnicze:

A nawet znalazł źródło. Czy nie wydaje ci się, że wszystko jest dość trywialne? Dokładnie też tak myślę. Oto kolejny przykład dla Ciebie:

Ale co robić? W końcu nie można go zapisać jako stopnia (rozsądnej) liczby. Nie rozpaczajmy i zauważmy, że obie te liczby są doskonale wyrażone potęgą tej samej liczby. Co? Prawidłowy: . Następnie pierwotne równanie przekształca się do postaci:

Skąd, jak już zrozumiałeś, . Nie ciągnijmy już i zapisujmy definicja:

W naszym przypadku z tobą: .

Równania te rozwiązuje się sprowadzając je do postaci:

z późniejszym rozwiązaniem równania

W rzeczywistości zrobiliśmy to w poprzednim przykładzie: mamy to. I rozwiązaliśmy z tobą najprostsze równanie.

Wydaje się, że to nic skomplikowanego, prawda? Poćwiczmy najpierw na najprostszym. przykłady:

Ponownie widzimy, że prawa i lewa strona równania muszą być reprezentowane jako potęga jednej liczby. To prawda, że ​​\u200b\u200bzostało to już zrobione po lewej stronie, ale po prawej jest liczba. Ale w końcu jest w porządku, a moje równanie w cudowny sposób przekształca się w to:

Co musiałem tutaj zrobić? Jaka zasada? Reguła władzy do władzy który brzmi:

Co jeśli:

Zanim odpowiemy na to pytanie, wypełnijmy razem z Tobą poniższą tabelę:

Nietrudno nam zauważyć, że im mniejsza, tym mniejsza wartość, niemniej jednak wszystkie te wartości są większe od zera. I TAK BĘDZIE ZAWSZE!!! Ta sama właściwość jest prawdziwa DLA DOWOLNEJ BAZY Z DOWOLNYM INDEKSEM!! (dla dowolnego i). Co zatem możemy wywnioskować na temat równania? A oto jeden: to nie ma korzeni! Tak jak każde równanie nie ma pierwiastków. Teraz poćwiczmy i Rozwiążmy kilka prostych przykładów:

Sprawdźmy:

1. Niczego tu od Ciebie nie wymagamy, poza znajomością własności potęg (co notabene prosiłem o powtórzenie!) Z reguły wszystko prowadzi do najmniejszej podstawy: , . Wtedy oryginalne równanie będzie równoważne następującemu: Wszystko, czego potrzebuję, to użyć właściwości potęg: przy mnożeniu liczb o tej samej podstawie wykładniki są dodawane, a przy dzieleniu są odejmowane. Wtedy dostanę: No to teraz z czystym sumieniem przejdę od równania wykładniczego do liniowego: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(wyrównaj)

2. W drugim przykładzie musisz być bardziej ostrożny: problem polega na tym, że po lewej stronie nie będziemy w stanie przedstawić tej samej liczby jako potęgi. W tym przypadku czasami jest to przydatne przedstawiają liczby jako iloczyn potęg o różnych podstawach, ale tych samych wykładnikach:

Lewa strona równania przyjmie postać: Co nam to dało? A oto co: Liczby o różnych podstawach, ale o tym samym wykładniku można pomnożyć.W tym przypadku podstawy są mnożone, ale wykładnik się nie zmienia:

Zastosowane do mojej sytuacji da to:

\begin(wyrównaj)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400, \\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400, \\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(wyrównaj)

Nieźle, prawda?

3. Nie lubię, gdy po jednej stronie równania są dwa wyrazy, a po drugiej żaden (czasami oczywiście jest to uzasadnione, ale teraz tak nie jest). Przesuń składnik minus w prawo:

Teraz, tak jak poprzednio, napiszę wszystko przez potęgi potrójne:

Dodaję potęgi po lewej stronie i otrzymuję równoważne równanie

Możesz łatwo znaleźć jego korzeń:

4. Podobnie jak w przykładzie trzecim, wyraz z minusem - miejsce po prawej stronie!

Po lewej prawie wszystko jest ze mną w porządku, z wyjątkiem czego? Tak, „niewłaściwy stopień” dwójki mnie niepokoi. Ale mogę to łatwo naprawić, pisząc: . Eureka - po lewej wszystkie podstawy są różne, ale wszystkie stopnie są takie same! Szybko się rozmnażamy!

Tutaj znowu wszystko jest jasne: (jeśli nie zrozumiałeś, jak magicznie uzyskałem ostatnią równość, zrób sobie przerwę na minutę, zrób sobie przerwę i ponownie bardzo uważnie przeczytaj właściwości stopnia. Kto powiedział, że możesz pominąć stopień z ujemnym wykładnikiem? Cóż, tutaj jestem mniej więcej taki sam jak nikt). Teraz dostanę:

\begin(wyrównaj)
& ((2)^(4\left((x) -9 \right)))=((2)^(-1)) \\
&4((x) -9)=-1 \\
&x=\frac(35)(4). \\
\end(wyrównaj)

Oto zadania do przećwiczenia, na które podam tylko odpowiedzi (ale w formie „mieszanej”). Rozwiąż je, sprawdź, a my będziemy kontynuować nasze badania!

Gotowy? Odpowiedzi jak te:

1. Jakikolwiek numer

Dobra, dobra, żartowałem! Oto zarysy rozwiązań (niektóre są dość krótkie!)

Czy nie sądzisz, że to nie przypadek, że jedna frakcja po lewej stronie jest „odwróconą” drugą? Grzechem byłoby nie skorzystać z tego:

Ta zasada jest bardzo często używana przy rozwiązywaniu równań wykładniczych, zapamiętaj ją dobrze!

Wtedy oryginalne równanie staje się:

Rozwiązując to równanie kwadratowe, otrzymasz następujące pierwiastki:

2. Inne rozwiązanie: podzielenie obu części równania przez wyrażenie po lewej (lub po prawej). Podzielę przez to, co jest po prawej stronie, wtedy otrzymam:

Gdzie dlaczego?!)

3. Nawet nie chcę się powtarzać, wszystko zostało już tak bardzo „przeżute”.

4. odpowiednik równania kwadratowego, pierwiastki

5. Musisz użyć formuły podanej w pierwszym zadaniu, wtedy otrzymasz, że:

Równanie zamieniło się w trywialną tożsamość, która jest prawdziwa dla każdego. Wtedy odpowiedzią jest dowolna liczba rzeczywista.

Cóż, tutaj jesteś i ćwiczyłeś, aby zdecydować najprostsze równania wykładnicze. Teraz chcę ci trochę dać przykłady z życia, które pomogą ci zrozumieć, dlaczego są one potrzebne w zasadzie. Tutaj podam dwa przykłady. Jeden z nich jest dość codzienny, ale drugi jest bardziej naukowy niż praktyczny.

Przykład 1 (handlowy) Niech masz ruble, ale chcesz zamienić je na ruble. Bank oferuje ci odebranie tych pieniędzy według rocznej stopy procentowej z miesięczną kapitalizacją odsetek (miesięczne rozliczenia międzyokresowe). Pytanie, na ile miesięcy trzeba otworzyć lokatę, aby zebrać pożądaną kwotę końcową? Dość prozaiczne zadanie, prawda? Niemniej jednak jego rozwiązanie wiąże się z budową odpowiedniego równania wykładniczego: Niech - kwota początkowa, - kwota końcowa, - oprocentowanie na okres, - liczba okresów. Następnie:

W naszym przypadku (jeśli stawka jest roczna, to jest obliczana miesięcznie). Dlaczego dzieli się na? Jeśli nie znasz odpowiedzi na to pytanie, pamiętaj o temacie „”! Otrzymujemy wtedy następujące równanie:

To równanie wykładnicze można już rozwiązać tylko za pomocą kalkulatora (jego wygląd wskazuje na to, a to wymaga znajomości logarytmów, z którymi zapoznamy się nieco później), co zrobię: ... Tak więc, aby otrzymać milion, będziemy musieli dokonać wpłaty na miesiąc ( niezbyt szybko, prawda?).

Przykład 2 (raczej naukowy). Mimo swojej, pewnej "izolacji" polecam zwrócić na niego uwagę: regularnie "wślizguje się na egzamin!! (zadanie wzięte z wersji „rzeczywistej”) Podczas rozpadu izotopu promieniotwórczego jego masa maleje zgodnie z prawem, gdzie (mg) to początkowa masa izotopu, (min.) to czas, jaki upłynął od moment początkowy (min.) to okres półtrwania. W początkowej chwili masa izotopu wynosi mg. Jego okres półtrwania wynosi min. Po ilu minutach masa izotopu będzie równa mg? W porządku: po prostu bierzemy i zastępujemy wszystkie dane w zaproponowanym nam wzorze:

Podzielmy obie części przez „w nadziei”, że po lewej dostaniemy coś strawnego:

Cóż, mamy wielkie szczęście! Stoi on po lewej stronie, a następnie przejdźmy do równoważnego równania:

Gdzie min.

Jak widać, równania wykładnicze mają bardzo realne zastosowanie w praktyce. Teraz chcę omówić z tobą inny (prosty) sposób rozwiązywania równań wykładniczych, który polega na wyjęciu wspólnego czynnika z nawiasów, a następnie pogrupowaniu wyrazów. Nie bój się moich słów, zetknąłeś się już z tą metodą w 7 klasie, kiedy uczyłeś się wielomianów. Na przykład, jeśli musisz rozłożyć wyrażenie na czynniki:

Pogrupujmy: pierwszy i trzeci termin, a także drugi i czwarty. Oczywiste jest, że pierwsza i trzecia to różnica kwadratów:

a drugi i czwarty mają wspólny czynnik trzech:

Wtedy oryginalne wyrażenie jest równoważne temu:

Gdzie wyjęcie wspólnego czynnika nie jest już trudne:

Stąd,

W przybliżeniu tak będziemy postępować przy rozwiązywaniu równań wykładniczych: poszukaj „wspólności” wśród terminów i wyjmij ją z nawiasów, a następnie - niech się dzieje, wierzę, że będziemy mieli szczęście =)) Na przykład:

Po prawej jest daleko od potęgi siódemki (sprawdziłem!), A po lewej - trochę lepiej, możesz oczywiście „odciąć” czynnik a od pierwszego wyrazu i od drugiego, a następnie zająć się co otrzymaliście, ale obchodźmy się z wami roztropniej. Nie chcę zajmować się ułamkami, które nieuchronnie powstają w wyniku „selekcji”, więc czy nie lepiej byłoby, gdybym wytrwał? Wtedy nie będę miał ułamków: jak mówią, zarówno wilki są pełne, jak i owce są bezpieczne:

Policz wyrażenie w nawiasach. Magicznie, magicznie okazuje się, że (o dziwo, choć czego innego możemy się spodziewać?).

Następnie zmniejszamy obie strony równania o ten czynnik. Dostajemy: gdzie.

Oto bardziej skomplikowany przykład (naprawdę całkiem sporo):

Oto problem! Nie mamy tu wspólnej płaszczyzny! Nie do końca wiadomo, co teraz zrobić. I zróbmy, co w naszej mocy: najpierw przesuniemy „czwórki” w jednym kierunku, a „piątki” w drugim:

Teraz wyjmijmy „wspólne” po lewej i prawej stronie:

Co teraz? Jaki jest pożytek z takiego głupiego grupowania? Na pierwszy rzut oka w ogóle tego nie widać, ale spójrzmy głębiej:

No to teraz zróbmy tak, żeby po lewej stronie było tylko wyrażenie c, a po prawej wszystko inne. Jak możemy to zrobić? A oto jak to zrobić: najpierw podziel obie strony równania przez (aby pozbyć się wykładnika po prawej), a następnie podziel obie strony przez (aby pozbyć się czynnika liczbowego po lewej). Ostatecznie otrzymujemy:

Niesamowity! Po lewej stronie mamy wyrażenie, a po prawej - po prostu. Wtedy od razu to stwierdzamy

Oto kolejny przykład do wzmocnienia:

Podam jego krótkie rozwiązanie (nie zawracając sobie głowy wyjaśnianiem), spróbuj samodzielnie odkryć wszystkie „subtelności” rozwiązania.

Teraz ostateczna konsolidacja omówionego materiału. Spróbuj samodzielnie rozwiązać poniższe problemy. tylko przyniosę krótkie zalecenia i wskazówki, jak je rozwiązać:

1. Wyjmijmy wspólny czynnik z nawiasów:
2. Reprezentujemy pierwsze wyrażenie w postaci: , dzielimy obie części przez i otrzymujemy to
3. , to oryginalne równanie jest konwertowane do postaci: Cóż, teraz podpowiedź - poszukaj, gdzie ty i ja już rozwiązaliśmy to równanie!
4. Wyobraź sobie, jak, ah, no cóż, podziel obie części przez, żeby otrzymać najprostsze równanie wykładnicze.
5. Wyjmij to z nawiasów.
6. Wyjmij to z nawiasów.

RÓWNANIA EKSPOZYCYJNE. ŚREDNI POZIOM

Zakładam, że po przeczytaniu pierwszego artykułu, który powiedział co to są równania wykładnicze i jak je rozwiązywać, opanowałeś niezbędne minimum wiedzy potrzebnej do rozwiązania najprostszych przykładów.

Teraz przeanalizuję inną metodę rozwiązywania równań wykładniczych, to jest

„sposób wprowadzenia nowej zmiennej” (lub podstawienia). Rozwiązuje większość "trudnych" problemów z zakresu równań wykładniczych (i nie tylko równań). Metoda ta jest jedną z najczęściej stosowanych w praktyce. Na początek polecam zapoznać się z tematem.

Jak już zrozumiałeś z nazwy, istotą tej metody jest wprowadzenie takiej zmiany zmiennej, że Twoje równanie wykładnicze w cudowny sposób zamieni się w takie, które już możesz łatwo rozwiązać. Wszystko, co pozostaje ci po rozwiązaniu tego bardzo „uproszczonego równania”, to dokonanie „odwrotnej zamiany”, czyli powrotu od zastąpionego do zastąpionego. Zilustrujmy to, co właśnie powiedzieliśmy, bardzo prostym przykładem:

Przykład 1:

To równanie rozwiązuje się przez „proste podstawienie”, jak lekceważąco nazywają to matematycy. Rzeczywiście, zastąpienie jest tutaj najbardziej oczywiste. To po prostu trzeba zobaczyć

Wtedy oryginalne równanie staje się:

Jeśli dodatkowo wyobrazimy sobie, jak, to jest całkiem jasne, co należy wymienić: oczywiście . Co zatem staje się pierwotnym równaniem? A oto co:

Możesz łatwo znaleźć jego korzenie na własną rękę:. Co powinniśmy teraz zrobić? Czas wrócić do oryginalnej zmiennej. Co zapomniałem dołączyć? Mianowicie: przy zamianie pewnego stopnia na nową zmienną (czyli przy zamianie typu) będę zainteresowany tylko pozytywne korzenie! Sam możesz łatwo odpowiedzieć dlaczego. Dlatego nie jesteśmy tobą zainteresowani, ale drugi korzeń jest dla nas całkiem odpowiedni:

Więc gdzie.

Odpowiedź:

Jak widać, w poprzednim przykładzie zastępca prosił o nasze ręce. Niestety, nie zawsze tak jest. Nie przechodźmy jednak od razu do smutku, tylko przećwiczmy jeszcze jeden przykład z dość prostym zamiennikiem

Przykład 2

Oczywiste jest, że najprawdopodobniej konieczne będzie podmiany (jest to najmniejsza z potęg zawartych w naszym równaniu), jednak przed wprowadzeniem podmiany należy „przygotować” do niej nasze równanie, a mianowicie: , . Następnie możesz zastąpić, w wyniku otrzymam następujące wyrażenie:

O zgrozo: równanie sześcienne z absolutnie okropnymi wzorami jego rozwiązania (cóż, mówiąc w ogólna perspektywa). Ale nie rozpaczajmy od razu, ale zastanówmy się, co powinniśmy zrobić. Sugeruję oszukiwanie: wiemy, że aby uzyskać „piękną” odpowiedź, musimy uzyskać potęgę trzech (po co, co?). I spróbujmy odgadnąć przynajmniej jeden pierwiastek naszego równania (zacznę zgadywać od potęg trzech).

Pierwsze przypuszczenie. nie jest korzeniem. Ach i ach...

.
Lewa strona jest równa.
Prawa część: !
Jeść! Odgadł pierwszy pierwiastek. Teraz będzie łatwiej!

Czy znasz schemat podziału „narożnik”? Oczywiście wiesz, używasz go, gdy dzielisz jedną liczbę przez drugą. Ale niewiele osób wie, że to samo można zrobić z wielomianami. Jest jedno cudowne twierdzenie:

Odnosząc się do mojej sytuacji, mówi mi, co jest podzielne bez reszty przez. Jak przebiega podział? Właśnie tak:

Patrzę, który jednomian powinienem pomnożyć, aby uzyskać Clear, a następnie:

Odejmuję wynikowe wyrażenie od, otrzymuję:

Teraz, co muszę pomnożyć, aby otrzymać? Oczywiste jest, że dalej, wtedy dostanę:

i ponownie odejmij wynikowe wyrażenie od pozostałego:

Cóż, ostatni krok, mnożę przez i odejmuję od pozostałego wyrażenia:

Brawo, koniec podziału! Co zgromadziliśmy prywatnie? Samodzielnie: .

Następnie otrzymaliśmy następujące rozwinięcie pierwotnego wielomianu:

Rozwiążmy drugie równanie:

Ma korzenie:

Następnie oryginalne równanie:

ma trzy pierwiastki:

Oczywiście odrzucamy ostatni pierwiastek, ponieważ jest on mniejszy od zera. A pierwsze dwa po odwrotnej zamianie dadzą nam dwa pierwiastki:

Odpowiedź: ..

Tym przykładem wcale nie chciałem cię straszyć, a raczej postawiłem sobie za cel pokazanie, że chociaż mieliśmy dość prostą zamianę, to jednak doprowadziło to do raczej złożone równanie, którego rozwiązanie wymagało od nas specjalnych umiejętności. Cóż, nikt nie jest na to odporny. Ale zmiana w tym przypadku była dość oczywista.

Oto przykład z nieco mniej oczywistym zastąpieniem:

Wcale nie jest jasne, co powinniśmy zrobić: problem polega na tym, że w naszym równaniu są dwie różne podstawy i nie można uzyskać jednej podstawy z drugiej, podnosząc ją do jakiejkolwiek (rozsądnej, naturalnie) potęgi. Co jednak widzimy? Obie podstawy różnią się tylko znakiem, a ich iloczyn jest różnicą kwadratów równą jeden:

Definicja:

Zatem liczby będące podstawami w naszym przykładzie są sprzężone.

W takim przypadku mądrym posunięciem byłoby pomnóż obie strony równania przez liczbę sprzężoną.

Na przykład, wtedy lewa strona równania stanie się równa, a prawa strona. Jeśli dokonamy zamiany, wówczas nasze pierwotne równanie z tobą będzie wyglądało następująco:

jego korzenie, a zatem, ale pamiętając o tym, rozumiemy to.

Odpowiedź: , .

Z reguły metoda zastępcza wystarcza do rozwiązania większości „szkolnych” równań wykładniczych. Następujące zadania pochodzą z USE C1 ( podwyższony poziom trudności). Jesteś już wystarczająco biegły w czytaniu, aby samodzielnie rozwiązać te przykłady. Dam tylko wymaganą wymianę.

1. Rozwiązać równanie:
2. Znajdź pierwiastki równania:
3. Rozwiązać równanie: . Znajdź wszystkie pierwiastki tego równania, które należą do segmentu:

A teraz krótkie wyjaśnienia i odpowiedzi:

1. Tu wystarczy zauważyć, że i. Wtedy oryginalne równanie będzie równoważne temu: To równanie jest rozwiązane przez zastąpienie Wykonaj samodzielnie następujące obliczenia. Ostatecznie twoje zadanie zostanie zredukowane do rozwiązania najprostszego trygonometrycznego (w zależności od sinusa lub cosinusa). Rozwiązanie takich przykładów omówimy w innych sekcjach.
2. Tutaj możesz nawet obejść się bez zastępowania: po prostu przesuń odejmowanie w prawo i przedstaw obie podstawy za pomocą potęg dwójki: a następnie natychmiast przejdź do równania kwadratowego.
3. Trzecie równanie jest również rozwiązywane w dość standardowy sposób: wyobraź sobie, jak. Następnie, zastępując, otrzymujemy równanie kwadratowe: wtedy,

   Czy wiesz już, co to jest logarytm? NIE? Następnie pilnie przeczytaj temat!

   Pierwszy pierwiastek oczywiście nie należy do segmentu, a drugi jest niezrozumiały! Ale przekonamy się już wkrótce! Skoro więc (jest to własność logarytmu!) Porównajmy:

   Odejmij od obu części, a następnie otrzymamy:

   lewa strona można przedstawić jako:

   pomnóż obie strony przez:

   można więc pomnożyć

   Następnie porównajmy:

   od tego czasu:

   Wtedy drugi pierwiastek należy do żądanego przedziału

   Odpowiedź:

Jak widzicie, dobór pierwiastków równań wykładniczych wymaga dość głębokiej znajomości własności logarytmów, więc radzę zachować jak największą ostrożność przy rozwiązywaniu równań wykładniczych. Jak wiecie, w matematyce wszystko jest ze sobą powiązane! Jak mawiał mój nauczyciel matematyki: „Nie da się z dnia na dzień czytać matematyki jak historii”.

Z reguły wszystkie trudność w rozwiązaniu problemów C1 polega właśnie na doborze pierwiastków równania. Poćwiczmy z innym przykładem:

Oczywiste jest, że samo równanie można rozwiązać w prosty sposób. Po dokonaniu podstawienia redukujemy nasze pierwotne równanie do następującego:

Najpierw spójrzmy na pierwszy korzeń. Porównaj i: od, więc. (własność funkcji logarytmicznej, at). Wtedy jasne jest, że pierwszy pierwiastek również nie należy do naszego przedziału. Teraz drugi pierwiastek: . Jest oczywiste, że (ponieważ funkcja jest rosnąca). Pozostaje porównać i

od, wtedy, w tym samym czasie. W ten sposób mogę „wbić kołek” między i. Ten kołek to liczba. Pierwsze wyrażenie jest mniejsze niż, a drugie większe niż. Wtedy drugie wyrażenie jest większe niż pierwsze, a pierwiastek należy do przedziału.

Odpowiedź: .

Podsumowując, spójrzmy na inny przykład równania, w którym zamiana jest raczej niestandardowa:

Zacznijmy od razu od tego, co możesz, a co - w zasadzie możesz, ale lepiej tego nie robić. Jest to możliwe - reprezentować wszystko za pomocą potęg trzech, dwóch i sześciu. Dokąd prowadzi? Tak, i do niczego nie doprowadzi: galimatiasu stopni, z których niektórych trudno będzie się pozbyć. Co w takim razie jest potrzebne? Zauważmy, że a A co nam to da? I fakt, że możemy zredukować rozwiązanie tego przykładu do rozwiązania dość prostego równania wykładniczego! Najpierw przepiszmy nasze równanie jako:

Teraz dzielimy obie strony wynikowego równania na:

Eureko! Teraz możemy wymienić, otrzymujemy:

Cóż, teraz twoja kolej na rozwiązywanie problemów do demonstracji, a ja dam im tylko krótkie komentarze, abyś nie zbłądził właściwy sposób! Powodzenia!

1. Najtrudniejszy! Widzenie tutaj zastępstwa jest och, jak brzydkie! Niemniej jednak ten przykład można całkowicie rozwiązać za pomocą wybór pełnego kwadratu. Aby go rozwiązać, wystarczy zauważyć, że:

Oto twój zamiennik:

(Zauważ, że tutaj, z naszym zastąpieniem, nie możemy odrzucić ujemnego pierwiastka!!! A jak myślisz, dlaczego?)

Teraz, aby rozwiązać przykład, musisz rozwiązać dwa równania:

Oba rozwiązuje „standardowa wymiana” (ale druga w jednym przykładzie!)

2. Zauważ to i dokonaj podstawienia.

3. Rozwiń liczbę na czynniki względnie pierwsze i uprość otrzymane wyrażenie.

4. Podziel licznik i mianownik ułamka przez (lub jeśli wolisz) i dokonaj podstawienia lub.

5. Zauważ, że liczby i są sprzężone.

RÓWNANIA EKSPOZYCYJNE. POZIOM ZAAWANSOWANY

Ponadto spójrzmy na inny sposób - rozwiązywanie równań wykładniczych metodą logarytmiczną. Nie mogę powiedzieć, że rozwiązywanie równań wykładniczych tą metodą jest bardzo popularne, ale tylko w niektórych przypadkach może nas doprowadzić do Dobra decyzja nasze równanie. Szczególnie często służy do rozwiązywania tzw. równania mieszane': czyli takie, w których występują funkcje różnych typów.

Na przykład równanie takie jak:

w ogólnym przypadku można to rozwiązać tylko poprzez logarytm obu części (na przykład przez podstawę), w którym pierwotne równanie zmienia się w następujący sposób:

Rozważmy następujący przykład:

Oczywiste jest, że interesuje nas tylko ODZ funkcji logarytmicznej. Wynika to jednak nie tylko z ODZ logarytmu, ale z innego powodu. Myślę, że nie będzie wam trudno zgadnąć, który.

Weźmy logarytm obu stron naszego równania do podstawy:

Jak widać, logarytmowanie naszego pierwotnego równania szybko doprowadziło nas do poprawnej (i pięknej!) odpowiedzi. Poćwiczmy z innym przykładem:

Tutaj również nie ma się czym martwić: bierzemy logarytm obu stron równania pod względem podstawy, a następnie otrzymujemy:

Zróbmy zamiennik:

Coś nam jednak umknęło! Zauważyłeś gdzie zrobiłem błąd? W końcu wtedy:

który nie spełnia wymagania (pomyśl, skąd się wziął!)

Odpowiedź:

Spróbuj zapisać rozwiązanie poniższych równań wykładniczych:

Teraz sprawdź swoje rozwiązanie za pomocą tego:

1. Logarytmujemy obie części do podstawy, biorąc pod uwagę, że:

(drugi korzeń nam nie pasuje ze względu na wymianę)

2. Logarytm do podstawy:

Przekształćmy wynikowe wyrażenie do następującej postaci:

RÓWNANIA EKSPOZYCYJNE. KRÓTKI OPIS I PODSTAWOWA FORMUŁA

równanie wykładnicze

Wpisz równanie:

zwany najprostsze równanie wykładnicze.

Właściwości stopnia

Podejścia do rozwiązań

• Przesyłanie do ta sama podstawa
• Redukcja do tego samego wykładnika
• Podstawianie zmiennych
• Uprość wyrażenie i zastosuj jedno z powyższych.

Przykłady:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Jak rozwiązywać równania wykładnicze

Rozwiązując dowolne równanie wykładnicze, staramy się doprowadzić je do postaci \(a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \), a następnie przejść do równości wskaźników, czyli:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Na przykład:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Ważny! Z tej samej logiki wynikają dwa wymagania dotyczące takiego przejścia:
- numer w lewa i prawa powinny być takie same;
- stopnie w lewo i w prawo muszą być „czyste”, czyli nie powinno być żadnych mnożeń, dzieleń itp.

Na przykład:

Aby doprowadzić równanie do postaci \(a^(f(x))=a^(g(x))\) i są używane.

Przykład . Rozwiąż równanie wykładnicze \(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Rozwiązanie:

\(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Wiemy, że \(27 = 3^3\). Mając to na uwadze, przekształcamy równanie.
\(\sqrt(3^3) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Z własności korzenia \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) otrzymujemy, że \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). Dalej, używając własności stopnia \((a^b)^c=a^(bc)\), otrzymujemy \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^( 3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Wiemy również, że \(a^b a^c=a^(b+c)\). Stosując to do lewej strony, otrzymujemy: \(3^(\frac(3)(2)) 3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)=3 ^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Teraz pamiętaj, że: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Ta formuła może być również stosowana w Odwrotna strona: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Wtedy \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\)		Stosując własność \((a^b)^c=a^(bc)\) na prawą stronę, otrzymujemy: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)		A teraz mamy równe podstawy i nie ma współczynników zakłócających itp. Więc możemy dokonać przejścia.
		Przykład . Rozwiąż równanie wykładnicze \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Rozwiązanie: \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Ponownie używamy własności stopnia \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) w przeciwnym kierunku. \(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\) Teraz pamiętaj, że \(4=2^2\). \((2^2)^x (2^2)^(0,5)-5 2^x+2=0\) Korzystając z własności stopnia, przekształcamy: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0,5)=2^(2 0,5)=2^1=2.\) \(2 (2^x)^2-5 2^x+2=0\) Przyglądamy się uważnie równaniu i widzimy, że zastąpienie \(t=2^x\) sugeruje się tutaj. \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) Znaleźliśmy jednak wartości \(t\) i potrzebujemy \(x\). Wracamy do X, dokonując podstawienia odwrotnego. \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) Przekształcamy drugie równanie za pomocą własności stopień negatywny… \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ...i rozwiązuj aż do uzyskania odpowiedzi. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) Odpowiedź : \(-1; 1\). Pozostaje pytanie - jak zrozumieć, kiedy zastosować jaką metodę? To przychodzi z doświadczeniem. W międzyczasie nie zasłużyłeś na to, użyj ogólne zalecenie rozwiązywać złożone problemy – „jeśli nie wiesz, co robić – rób, co możesz”. To znaczy, poszukaj, jak zasadniczo możesz przekształcić równanie, i spróbuj to zrobić - a co, jeśli wyjdzie? Najważniejsze jest, aby wykonywać tylko uzasadnione matematycznie przekształcenia. równania wykładnicze bez rozwiązań Przyjrzyjmy się jeszcze dwóm sytuacjom, które często wprawiają uczniów w zakłopotanie: - liczba dodatnia do potęgi równa się zeru, np. \(2^x=0\); - liczba dodatnia do potęgi jest równa liczbie ujemnej, np. \(2^x=-4\). Spróbujmy rozwiązać go brutalnie. Jeśli x jest liczbą dodatnią, to wraz ze wzrostem x cała potęga \(2^x\) będzie rosła tylko: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\). \(x=0\); \(2^0=1\) Także przeszłość. Istnieją ujemne x. Pamiętając właściwość \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), sprawdzamy: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1)=\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) Pomimo tego, że liczba ta zmniejsza się z każdym krokiem, nigdy nie osiągnie zera. Więc negatywny stopień też nas nie uratował. Dochodzimy do logicznego wniosku: Liczba dodatnia podniesiona do dowolnej potęgi pozostanie liczbą dodatnią. Zatem oba powyższe równania nie mają rozwiązań. równania wykładnicze o różnych podstawach W praktyce czasami istnieją równania wykładnicze o różnych podstawach, których nie można do siebie zredukować, a jednocześnie z tymi samymi wykładnikami. Wyglądają tak: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), gdzie \(a\) i \(b\) są liczbami dodatnimi. Na przykład: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) Takie równania można łatwo rozwiązać, dzieląc przez dowolną część równania (zwykle dzieląc przez prawą stronę, czyli przez \ (b ^ (f (x)) \). Możesz dzielić w ten sposób, ponieważ a liczba dodatnia jest dodatnia w dowolnym stopniu (to znaczy nie dzielimy przez zero). Otrzymujemy: \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) Przykład . Rozwiąż równanie wykładnicze \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Rozwiązanie: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Tutaj nie możemy zamienić piątki w trójkę lub odwrotnie (przynajmniej bez użycia). Nie możemy więc dojść do postaci \(a^(f(x))=a^(g(x))\). Jednocześnie wskaźniki są takie same. Podzielmy równanie przez prawą stronę, czyli przez \(3^(x+7)\) (możemy to zrobić, bo wiemy, że trójka nie będzie równa zeru w żadnym stopniu). \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) Teraz zapamiętaj właściwość \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) i użyj jej od lewej strony w przeciwnym kierunku. Po prawej stronie po prostu zmniejszamy ułamek. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) Nie wydawało się, żeby było lepiej. Ale pamiętajmy o innej własności stopnia: \(a^0=1\), innymi słowy: "dowolna liczba do potęgi zerowej jest równa \(1\)". Odwrotność jest również prawdziwa: „jednostkę można przedstawić jako dowolną liczbę podniesioną do potęgi zero”. Używamy tego, czyniąc podstawę po prawej stronie taką samą jak po lewej. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) Voila! Pozbywamy się fundamentów. Piszemy odpowiedź. Odpowiedź : \(-7\). Czasami „jednakowość” wykładników nie jest oczywista, ale umiejętne wykorzystanie właściwości stopnia rozwiązuje ten problem. Przykład . Rozwiąż równanie wykładnicze \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Rozwiązanie: \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Równanie wygląda dość smutno... Nie dość, że podstaw nie da się sprowadzić do tej samej liczby (siedem nie równa się \(\frac(1)(3)\)), to jeszcze wskaźniki są różne... Użyjmy jednak wykładnika lewego stopnia dwójki. \(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Pamiętając o własności \((a^b)^c=a^(b c)\) , przekształć po lewej stronie: \(7^(2(x-2))=7^(2 (x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\). \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Teraz, pamiętając o ujemnej potęgowej własności \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), przekształcamy po prawej stronie: \((\frac(1)(3))^(- x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) Alleluja! Oceny są takie same! Działając zgodnie ze znanym nam schematem, decydujemy przed odpowiedzią. Odpowiedź : \(2\).