Podstawa logarytmu naturalnego e jest równa. Co to jest logarytm? Rozwiązywanie logarytmów. Przykłady. Własności logarytmów

Logarytm podany numer nazywa się wykładnikiem, do którego należy podnieść inną liczbę, tzw podstawa logarytm, aby uzyskać tę liczbę. Na przykład logarytm o podstawie 10 ze 100 wynosi 2. Innymi słowy, 10 należy podnieść do kwadratu, aby otrzymać 100 (10 2 = 100). Jeśli N– podana liczba, B– podstawa i l– zatem logarytm b l = n. Numer N zwany także antylogarytmem bazowym B liczby l. Na przykład antylogarytm liczby 2 do podstawy 10 jest równy 100. Można to zapisać w postaci dziennika relacji b n = l i antylog b l = N.

Podstawowe własności logarytmów:

Za podstawę logarytmów może służyć każda liczba dodatnia inna niż jeden, ale niestety okazuje się, że jeśli B I N są liczbami wymiernymi, to w rzadkich przypadkach istnieje taka liczba wymierna l, Co b l = n. Można jednak zdefiniować liczbę niewymierną l na przykład tak, że 10 l= 2; to liczba niewymierna l można aproksymować z dowolną wymaganą dokładnością liczbami wymiernymi. Okazuje się, że w podanym przykładzie l jest w przybliżeniu równe 0,3010 i to przybliżenie logarytmu przy podstawie 10 z 2 można znaleźć w czterocyfrowych tablicach logarytmów dziesiętnych. Logarytmy o podstawie 10 (lub logarytmy o podstawie 10) są tak powszechnie używane w obliczeniach, że nazywa się je zwykły logarytmy i zapisywane jako log2 = 0,3010 lub log2 = 0,3010, z pominięciem wyraźnego wskazania podstawy logarytmu. Logarytmy do podstawy mi, liczba przestępna w przybliżeniu równa 2,71828 naturalny logarytmy. Można je znaleźć głównie w pracach poświęconych analizie matematycznej i jej zastosowaniom w różnych naukach. Logarytmy naturalne są również zapisywane bez wyraźnego wskazania podstawy, ale przy użyciu specjalnego zapisu ln: na przykład ln2 = 0,6931, ponieważ mi 0,6931 = 2.

Korzystanie z tablic logarytmów zwyczajnych.

Logarytm regularny liczby to wykładnik, do którego należy podnieść 10, aby otrzymać daną liczbę. Ponieważ 10 0 = 1, 10 1 = 10 i 10 2 = 100, natychmiast otrzymujemy, że log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2 itd. dla zwiększenia potęg całkowitych 10. Podobnie 10 –1 = 0,1, 10 –2 = 0,01, a zatem log0,1 = –1, log0,01 = –2 itd. dla wszystkich liczb całkowitych negatywne moce 10. Zwykłe logarytmy pozostałych liczb zawarte są pomiędzy logarytmami najbliższych potęg całkowitych liczby 10; log2 musi mieścić się w przedziale od 0 do 1, log20 musi mieścić się w przedziale od 1 do 2, a log0.2 musi mieścić się w przedziale od -1 do 0. Zatem logarytm składa się z dwóch części, liczby całkowitej i dziesiętny, zawarty pomiędzy 0 i 1. Część całkowita jest wywoływana Charakterystyka logarytm i jest określony przez samą liczbę, nazywa się część ułamkową mantysa i można je znaleźć w tabelach. Ponadto log20 = log(2`10) = log2 + log10 = (log2) + 1. Logarytm liczby 2 wynosi 0,3010, więc log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Podobnie log0,2 = log(2о10) = log2 – log10 = (log2) – 1 = 0,3010 – 1. Po odjęciu otrzymujemy log0,2 = – 0,6990. Jednak wygodniej jest przedstawić log0,2 jako 0,3010 – 1 lub jako 9,3010 – 10; można sformułować i główna zasada: wszystkie liczby otrzymane z danej liczby przez pomnożenie przez potęgę 10 mają tę samą mantysę, równą mantysie danej liczby. Większość tabel pokazuje mantysy liczb z zakresu od 1 do 10, ponieważ mantysy wszystkich pozostałych liczb można uzyskać z podanych w tabeli.

Większość tabel podaje logarytmy z czterema lub pięcioma miejscami po przecinku, chociaż istnieją tabele siedmiocyfrowe i tabele z jeszcze większą liczbą miejsc po przecinku. Najłatwiej nauczyć się korzystania z takich tabel na przykładach. Aby znaleźć log3,59, najpierw zauważamy, że liczba 3,59 mieści się w przedziale od 10 0 do 10 1, więc jej charakterystyka wynosi 0. Znajdujemy liczbę 35 (po lewej) w tabeli i przechodzimy wzdłuż wiersza do kolumna z liczbą 9 na górze; przecięcie tej kolumny i wiersza 35 wynosi 5551, więc log3,59 = 0,5551. Aby znaleźć mantysę liczby składającej się z czterech cyfr znaczących, należy zastosować interpolację. W niektórych tabelach interpolację ułatwiają proporcje podane w ostatnich dziewięciu kolumnach po prawej stronie każdej strony tabel. Znajdźmy teraz log736.4; liczba 736,4 leży pomiędzy 10 2 a 10 3, zatem charakterystyka jej logarytmu wynosi 2. W tabeli znajdujemy wiersz, na lewo od którego znajduje się liczba 73, oraz kolumnę 6. Na przecięciu tego wiersza i tej kolumny znajduje się liczbę 8669. Wśród części liniowych znajdujemy kolumnę 4 . Na przecięciu wiersza 73 i kolumny 4 znajduje się liczba 2. Dodając 2 do 8669, otrzymujemy mantysę - jest ona równa 8671. Zatem log736,4. = 2,8671.

Logarytmy naturalne.

Tablice i właściwości logarytmów naturalnych są podobne do tablic i właściwości logarytmów zwykłych. Główna różnica między obydwoma polega na tym, że całkowita część logarytmu naturalnego nie ma znaczenia przy określaniu położenia przecinka dziesiętnego, dlatego różnica między mantysą a charakterystyką nie odgrywa szczególnej roli. Logarytmy naturalne liczb 5,432; 54,32 i 543,2 wynoszą odpowiednio 1,6923; 3,9949 i 6,2975. Zależność między tymi logarytmami stanie się oczywista, jeśli rozważymy różnice między nimi: log543,2 – log54,32 = 6,2975 – 3,9949 = 2,3026; ostatnia liczba to nic innego jak logarytm naturalny liczby 10 (zapisany w ten sposób: ln10); log543,2 – log5,432 = 4,6052; ostatnia liczba to 2ln10. Ale 543,2 = 10-54,32 = 10 2-5,432. Zatem logarytm naturalny danej liczby A możesz znaleźć logarytmy naturalne liczb, równe produktom liczby A na dowolny stopień N cyfry 10, jeśli do ln A dodaj ln10 pomnożone przez N, tj. ln( Aґ10N) = log A + N ln10 = ln A + 2,3026N. Na przykład ln0,005432 = ln(5,432-10 –3) = ln5,432 – 3ln10 = 1,6923 – (3-szczy2,3026) = – 5,2155. Dlatego tablice logarytmów naturalnych, podobnie jak tablice logarytmów zwykłych, zawierają zwykle tylko logarytmy liczb od 1 do 10. W systemie logarytmów naturalnych można mówić o antylogarytmach, ale częściej mówi się o funkcji wykładniczej lub wykładniku. Jeśli X= log y, To y = były, I y zwany wykładnikiem X(dla wygody typograficznej często piszą y= doświadczenie X). Wykładnik pełni rolę antylogarytmu liczby X.

Korzystając z tablic logarytmów dziesiętnych i naturalnych, można tworzyć tablice logarytmów o dowolnej podstawie innej niż 10 i mi. Jeśli log b.a = X, To bx = A, a zatem log cbx=log ok Lub X dziennik c b=log ok, Lub X=log ok/dziennik c b=log b.a. Dlatego użyj tej formuły inwersji z tabeli logarytmów podstawowych C możesz budować tablice logarytmów o dowolnej innej podstawie B. Mnożnik 1/log c b zwany moduł przejściowy z podstawy C do bazy B. Nic nie stoi na przeszkodzie, aby np. skorzystać ze wzoru inwersyjnego lub przejść z jednego systemu logarytmów na inny, znaleźć logarytmy naturalne z tablicy logarytmów zwyczajnych lub dokonać przejścia odwrotnego. Na przykład log105.432 = log mi 5,432/log mi 10 = 1,6923/2,3026 = 1,6923-0,4343 = 0,7350. Liczba 0,4343, przez którą należy pomnożyć logarytm naturalny danej liczby, aby otrzymać logarytm zwyczajny, jest modułem przejścia do systemu logarytmów zwyczajnych.

Specjalne stoły.

Logarytmy zostały pierwotnie wymyślone po to, aby korzystając z ich właściwości logować ok=log A+ log B i zaloguj się A/B=log A- dziennik B, zamień produkty w sumy, a ilorazy w różnice. Innymi słowy, jeśli log A i zaloguj się B są znane, to stosując dodawanie i odejmowanie możemy łatwo znaleźć logarytm iloczynu i ilorazu. Jednak w astronomii często podaje się wartości log A i zaloguj się B muszę znaleźć dziennik ( A + B) lub log( A – B). Oczywiście można to najpierw znaleźć w tabelach logarytmów A I B, następnie wykonaj wskazane dodawanie lub odejmowanie i ponownie odwołując się do tabel, znajdź wymagane logarytmy, ale takie postępowanie wymagałoby trzykrotnego odniesienia się do tabel. Z. Leonelli w 1802 roku opublikował tablice tzw. Logarytmy Gaussa– logarytmy dodawania sum i różnic – co pozwoliło ograniczyć się do jednego dostępu do tabel.

W 1624 r. I. Kepler zaproponował tablice logarytmów proporcjonalnych, tj. logarytmy liczb A/X, Gdzie A– pewna dodatnia wartość stała. Tabele te są używane głównie przez astronomów i nawigatorów.

Logarytmy proporcjonalne w A= 1 są wywoływane kologarytmy i są używane w obliczeniach, gdy mamy do czynienia z iloczynami i ilorazami. Koloarytm liczby N równy logarytmowi liczba odwrotna; te. woda kolońska N= log1/ N= – log N. Jeśli log2 = 0,3010, to colog2 = – 0,3010 = 0,6990 – 1. Zaletą stosowania kolologarytmów jest to, że przy obliczaniu wartości logarytmu wyrażeń takich jak pk/R potrójna suma dodatnich liczb dziesiętnych P+ log Q+kololog R jest łatwiejszy do znalezienia niż mieszany dziennik sumy i różnic P+ log Q- dziennik R.

Fabuła.

Zasada leżąca u podstaw każdego systemu logarytmów jest znana od bardzo dawna i wywodzi się ze starożytnej matematyki babilońskiej (około 2000 roku p.n.e.). W tamtych czasach do obliczania odsetek składanych stosowano interpolację między wartościami tabelarycznymi dodatnich potęg całkowitych liczb całkowitych. Znacznie później Archimedes (287–212 p.n.e.) użył potęgi 108, aby znaleźć górną granicę liczby ziaren piasku potrzebnych do całkowitego wypełnienia znanego wówczas Wszechświata. Archimedes zwrócił uwagę na właściwość wykładników, która leży u podstaw efektywności logarytmów: iloczyn potęg odpowiada sumie wykładników. Pod koniec średniowiecza i na początku ery nowożytnej matematycy coraz częściej zaczęli zwracać się w stronę związku między postępem geometrycznym i arytmetycznym. M. Stiefel w swoim eseju Arytmetyka liczb całkowitych(1544) podał tabelę dodatnich i ujemnych potęg liczby 2:

Stiefel zauważył, że suma dwóch liczb w pierwszym wierszu (wiersz wykładniczy) jest równa wykładnikowi dwójki odpowiadającemu iloczynowi dwóch odpowiednich liczb w dolnym rzędzie (wiersz wykładniczy). W nawiązaniu do tej tabeli Stiefel sformułował cztery reguły równoważne czterem współczesnym regułom operacji na wykładnikach lub czterem regułom operacji na logarytmach: suma w górnym wierszu odpowiada iloczynowi w dolnym wierszu; odejmowanie w górnej linii odpowiada dzieleniu w dolnej linii; mnożenie w górnej linii odpowiada potęgowaniu w dolnej linii; podział w górnej linii odpowiada ukorzenianiu w dolnej linii.

Najwyraźniej reguły podobne do reguł Stiefla skłoniły J. Napera do formalnego wprowadzenia w swojej pracy pierwszego systemu logarytmów Opis niesamowitej tabeli logarytmów, opublikowany w 1614 r. Jednak myśli Napiera były zajęte problemem przeliczania iloczynów na sumy, odkąd na ponad dziesięć lat przed publikacją swojego dzieła Napier otrzymał wiadomość z Danii, że w Obserwatorium Tycho Brahe jego asystenci dysponowali metodą, która możliwe jest przeliczenie produktów na sumy. Metoda omówiona w wiadomości otrzymanej przez Napiera opierała się na wykorzystaniu wzorów trygonometrycznych m.in

dlatego tablice Napera składały się głównie z logarytmów funkcji trygonometrycznych. Choć pojęcie podstawy nie zostało ujęte wprost w definicji zaproponowanej przez Napiera, rolę równoważną podstawie układu logarytmów w jego systemie pełniła liczba (1 – 10 –7) `10 7, w przybliżeniu równa 1/ mi.

Niezależnie od Napera i niemal jednocześnie z nim system logarytmów dość podobnego typu wymyślił i opublikował w Pradze J. Bürgi, wydany w 1620 r. Tablice progresji arytmetycznej i geometrycznej. Były to tablice antylogarytmów o podstawie (1 + 10 –4) `10 4, dość dobre przybliżenie liczby mi.

W systemie Napera logarytm liczby 10 7 przyjęto jako zero, a w miarę zmniejszania się liczb logarytmy wzrastały. Kiedy G. Briggs (1561–1631) odwiedził Napiera, obaj zgodzili się, że wygodniej byłoby użyć liczby 10 jako podstawy i przyjąć logarytm jedynki za zero. Następnie, wraz ze wzrostem liczb, ich logarytmy wzrosną. Więc mamy nowoczesny system logarytmy dziesiętne, których tabelę Briggs opublikował w swojej pracy Arytmetyka logarytmiczna(1620). Logarytmy do podstawy mi, choć nie dokładnie te wprowadzone przez Napera, często nazywane są Naperem. Terminy „charakterystyczny” i „mantysa” zostały zaproponowane przez Briggsa.

Obowiązują pierwsze logarytmy powodów historycznych zastosowałem przybliżenia liczb 1/ mi I mi. Nieco później ideę logarytmów naturalnych zaczęto wiązać z badaniem obszarów pod hiperbolą xy= 1 (ryc. 1). W XVII wieku wykazano, że obszar ograniczony tą krzywą to oś X i rzędy X= 1 i X = A(na ryc. 1 obszar ten jest pokryty grubszymi i rzadkimi kropkami) zwiększa się postęp arytmetyczny, Gdy A rośnie wykładniczo. Właśnie ta zależność pojawia się w zasadach operacji na wykładnikach i logarytmach. Doprowadziło to do nazwania logarytmów Napera „logarytmami hiperbolicznymi”.

Funkcja logarytmiczna.

Był czas, gdy logarytmy traktowano wyłącznie jako środek obliczeniowy, ale w XVIII wieku, głównie dzięki pracom Eulera, powstało pojęcie funkcji logarytmicznej. Wykres takiej funkcji y= log X, którego rzędne rosną w postępie arytmetycznym, natomiast odcięte w postępie geometrycznym, przedstawiono na rys. 2, A. Wykres funkcji odwrotnej lub wykładniczej y = mi x, których rzędne rosną w postępie geometrycznym, a odcięte rosną w postępie arytmetycznym, przedstawiono odpowiednio na ryc. 2, B. (Krzywe y=log X I y = 10X podobny kształtem do krzywizn y= log X I y = były.) Zaproponowano także alternatywne definicje funkcji logarytmicznej, np.

kpi ; i podobnie logarytmy naturalne liczby -1 są liczbami zespolonymi postaci (2 k + 1)Liczba Pi, Gdzie k- Liczba całkowita. Podobne stwierdzenia dotyczą logarytmów ogólnych lub innych systemów logarytmów. Ponadto definicję logarytmów można uogólnić przy użyciu tożsamości Eulera, aby uwzględnić złożone logarytmy liczb zespolonych.

Alternatywną definicję funkcji logarytmicznej dostarcza analiza funkcjonalna. Jeśli F(X) – ciągła funkcja liczby rzeczywistej X, posiadający następujące trzy właściwości: F (1) = 0, F (B) = 1, F (UV) = F (ty) + F (w), To F(X) definiuje się jako logarytm liczby X oparte na B. Definicja ta ma wiele zalet w porównaniu z definicją podaną na początku tego artykułu.

Aplikacje.

Logarytmy były pierwotnie używane wyłącznie w celu uproszczenia obliczeń, a to zastosowanie jest nadal jednym z najważniejszych. Obliczanie iloczynów, ilorazów, potęg i pierwiastków ułatwia nie tylko szeroka dostępność publikowanych tablic logarytmów, ale także zastosowanie tzw. suwak logarytmiczny – narzędzie obliczeniowe, którego zasada działania opiera się na własnościach logarytmów. Linijka wyposażona jest w skalę logarytmiczną, tj. odległość od liczby 1 do dowolnej liczby X wybrany jako równy log X; Przesuwając jedną skalę względem drugiej, można wykreślić sumy lub różnice logarytmów, co pozwala bezpośrednio odczytać ze skali iloczyny lub ilorazy odpowiednich liczb. Możesz także skorzystać z zalet przedstawiania liczb w formie logarytmicznej. papier logarytmiczny do sporządzania wykresów (papier z nadrukowanymi skalami logarytmicznymi na obu osiach współrzędnych). Jeśli funkcja spełnia zasadę potęgi postaci y = kxn, to jego wykres logarytmiczny wygląda jak linia prosta, ponieważ dziennik y=log k + N dziennik X– równanie liniowe względem log y i zaloguj X. I odwrotnie, jeśli wykres logarytmiczny jakiejś zależności funkcjonalnej wygląda jak linia prosta, to zależność ta jest prawem potęgowym. Papier półlogarytmiczny (gdzie oś y ma skalę logarytmiczną, a oś x ma skalę jednolitą) jest przydatny, gdy trzeba zidentyfikować funkcje wykładnicze. Równania postaci y = kb rx występuje zawsze, gdy ilość, taka jak populacja, ilość materiału radioaktywnego lub saldo bankowe, zmniejsza się lub zwiększa w tempie proporcjonalnym do dostępnego ten moment liczba mieszkańców, substancja radioaktywna lub pieniądze. Jeśli taką zależność wykreślimy na papierze półlogarytmicznym, wykres będzie wyglądał jak linia prosta.

Funkcja logarytmiczna powstaje w związku z szeroką gamą form naturalnych. Kwiaty w kwiatostanach słonecznika ułożone są w spirale logarytmiczne, muszle mięczaków są skręcone Łodzik, rogi owiec górskich i dzioby papug. Wszystkie te naturalne kształty mogą służyć jako przykłady krzywej znanej jako spirala logarytmiczna, ponieważ w biegunowym układzie współrzędnych jej równanie ma postać r = ae bq lub ln R= log A + bq. Krzywą taką opisuje ruchomy punkt, którego odległość od bieguna rośnie w postępie geometrycznym, a kąt opisany jej wektorem promienia rośnie w postępie arytmetycznym. Wszechobecność takiej krzywej, a co za tym idzie funkcji logarytmicznej, dobrze ilustruje fakt, że pojawia się ona w tak odległych i zupełnie różne obszary, jak kontur mimośrodowej krzywki i trajektoria niektórych owadów lecących w stronę światła.

Naturalny logarytm

Wykres funkcji logarytmu naturalnego. W miarę wzrostu funkcja powoli zbliża się do dodatniej nieskończoności X i szybko zbliża się do ujemnej nieskończoności, gdy X ma tendencję do 0 („wolno” i „szybko” w porównaniu do dowolnego funkcja zasilania z X).

Naturalny logarytm jest logarytmem podstawy , Gdzie mi- niewymierna stała równa w przybliżeniu 2,718281 828. Logarytm naturalny jest zwykle zapisywany jako ln( X), dziennik mi (X) lub czasami po prostu log( X), jeśli podstawa mi ukryty.

Logarytm naturalny liczby X(napisane jako ln(x)) jest wykładnikiem, do którego należy podnieść liczbę mi, Pozyskać X. Na przykład, ln(7389...) równa się 2, ponieważ mi 2 =7,389... . Logarytm naturalny samej liczby mi (ln(e)) jest równe 1, ponieważ mi 1 = mi, a logarytm naturalny wynosi 1 ( ln(1)) jest równe 0, ponieważ mi 0 = 1.

Logarytm naturalny można zdefiniować dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej A jako pole pod krzywą y = 1/X od 1 do A. Prostota tej definicji, zgodna z wieloma innymi wzorami wykorzystującymi logarytm naturalny, doprowadziła do nazwy „naturalny”. Definicję tę można rozszerzyć na liczby zespolone, jak omówiono poniżej.

Jeśli uznamy logarytm naturalny za funkcję rzeczywistą zmiennej rzeczywistej, to jest to funkcja odwrotna funkcji wykładniczej, co prowadzi do tożsamości:

Podobnie jak wszystkie logarytmy, logarytm naturalny odwzorowuje mnożenie na dodawanie:

Zatem funkcja logarytmiczna jest izomorfizmem grupy dodatnich liczb rzeczywistych pod względem mnożenia przez grupę liczb rzeczywistych pod względem dodawania, co można przedstawić w postaci funkcji:

Logarytm można zdefiniować dla dowolnej podstawy dodatniej innej niż 1, nie tylko mi, ale logarytmy dla innych zasad różnią się od logarytmu naturalnego tylko o stały czynnik i są zwykle definiowane w kategoriach logarytmu naturalnego. Logarytmy są przydatne do rozwiązywania równań, których wykładnikami są niewiadome. Na przykład logarytmy służą do znajdowania stałej rozpadu dla znanego okresu półtrwania lub do znajdowania czasu zaniku w rozwiązywaniu problemów radioaktywności. Oni grają ważna rola w wielu obszarach matematyki i nauk stosowanych, są wykorzystywane w finansach do rozwiązywania wielu problemów, w tym do znajdowania odsetek składanych.

Fabuła

Pierwszą wzmiankę o logarytmie naturalnym poczynił w swojej pracy Mikołaj Mercator Logarytmmotechnika, opublikowany w 1668 r., chociaż nauczyciel matematyki John Spidell sporządził tabelę logarytmów naturalnych już w 1619 r. Wcześniej nazywano go logarytmem hiperbolicznym, ponieważ odpowiada on obszarowi pod hiperbolą. Czasami nazywany jest logarytmem Napiera, chociaż pierwotne znaczenie tego terminu było nieco inne.

Konwencje wyznaczania

Logarytm naturalny jest zwykle oznaczany przez „ln( X)”, logarytm o podstawie 10 - poprzez „lg( X)”, a inne przyczyny są zwykle wyraźnie oznaczone symbolem „log”.

W wielu pracach z zakresu matematyki dyskretnej, cybernetyki i informatyki autorzy posługują się zapisem „log( X)” dla logarytmów o podstawie 2, ale konwencja ta nie jest ogólnie przyjęta i wymaga wyjaśnienia albo w wykazie używanych oznaczeń, albo (w przypadku braku takiego wykazu) w przypisie lub komentarzu przy pierwszym użyciu.

Nawiasy wokół argumentu logarytmów (o ile nie prowadzi to do błędnego odczytania wzoru) są zwykle pomijane, a podnosząc logarytm do potęgi, wykładnik przypisuje się bezpośrednio do znaku logarytmu: ln 2 ln 3 4 X 5 = [ ln ( 3 )] 2 .

System angloamerykański

Matematycy, statystycy i niektórzy inżynierowie zwykle używają do oznaczenia logarytmu naturalnego lub „log( X)” lub „ln( X)”, a do oznaczenia logarytmu dziesiętnego - „log 10 ( X)».

Niektórzy inżynierowie, biolodzy i inni specjaliści zawsze piszą „ln( X)” (lub czasami „log e ( X)”), gdy mają na myśli logarytm naturalny, a zapis „log( X)” mają na myśli log 10 ( X).

dziennik mi jest logarytmem „naturalnym”, ponieważ występuje automatycznie i pojawia się bardzo często w matematyce. Rozważmy na przykład problem pochodnej funkcji logarytmicznej:

Jeśli baza B równa się mi, to pochodna wynosi po prostu 1/ X, i kiedy X= 1 ta pochodna jest równa 1. Kolejny powód, dla którego podstawa mi Najbardziej naturalną cechą logarytmu jest to, że można go zdefiniować w prosty sposób za pomocą prostej całki lub szeregu Taylora, czego nie można powiedzieć o innych logarytmach.

Dalsze uzasadnienia naturalności nie są związane z notacją. Na przykład istnieje kilka prostych szeregów z logarytmami naturalnymi. Wezwali ich Pietro Mengoli i Nicholas Mercator logarytm naturalny kilka dziesięcioleci, aż Newton i Leibniz opracowali rachunek różniczkowy i całkowy.

Definicja

Formalnie ln( A) można zdefiniować jako pole pod krzywą wykresu 1/ X od 1 do A, tj. jako całka:

Jest to naprawdę logarytm, ponieważ spełnia podstawową właściwość logarytmu:

Można to wykazać zakładając, co następuje:

Wartość numeryczna

Aby obliczyć wartość liczbową logarytmu naturalnego liczby, możesz skorzystać z rozwinięcia szeregu Taylora w postaci:

Aby uzyskać lepszy współczynnik zbieżności, możesz użyć następującej tożsamości:

pod warunkiem że y = (X−1)/(X+1) i X > 0.

Dla ln( X), Gdzie X> 1, im bliżej wartości X do 1, tym szybszy stopień konwergencji. Tożsamości związane z logarytmem można wykorzystać do osiągnięcia celu:

Metody te stosowano jeszcze przed pojawieniem się kalkulatorów, dla których stosowano tablice liczbowe i dokonywano manipulacji podobnych do opisanych powyżej.

Wysoka celność

Do obliczania logarytmu naturalnego z dużą liczbą precyzyjnych cyfr szereg Taylora nie jest skuteczny, ponieważ jego zbieżność jest powolna. Alternatywą jest zastosowanie metody Newtona do odwrócenia funkcji wykładniczej, której szereg zbiega się szybciej.

Alternatywą dla bardzo dużej dokładności obliczeń jest wzór:

Gdzie M oznacza średnią arytmetyczno-geometryczną 1 i 4/s, oraz

M tak wybrane P osiągnięto znaki dokładności. (W większości przypadków wystarczająca jest wartość m dla 8). W rzeczywistości, jeśli zostanie zastosowana ta metoda, odwrotność logarytmu naturalnego Newtona może zostać zastosowana do wydajnego obliczenia funkcji wykładniczej. (Stałe ln 2 i pi można wstępnie obliczyć z żądaną dokładnością, korzystając z dowolnego znanego szeregu szybko zbieżnego.)

Złożoność obliczeniowa

Złożoność obliczeniowa logarytmów naturalnych (przy użyciu średniej arytmetyczno-geometrycznej) wynosi O( M(N) ln N). Tutaj N jest liczbą cyfr dokładności, dla których należy obliczyć logarytm naturalny, oraz M(N) to złożoność obliczeniowa mnożenia przez dwa N-cyfrowe liczby.

Ciąg dalszy ułamków

Chociaż nie ma prostych ułamków ciągłych reprezentujących logarytm, można zastosować kilka uogólnionych ułamków ciągłych, w tym:

Złożone logarytmy

Funkcję wykładniczą można rozszerzyć do funkcji, która daje liczbę zespoloną w postaci mi X dla dowolnej liczby zespolonej X, w tym przypadku nieskończony szereg ze złożonym X. Tę funkcję wykładniczą można odwrócić, tworząc logarytm zespolony, który będzie miał większość właściwości logarytmów zwykłych. Są jednak dwie trudności: nie ma X, dla którego mi X= 0 i okazuje się, że mi 2πi = 1 = mi 0. Ponieważ właściwość multiplikatywności jest ważna dla złożonej funkcji wykładniczej, wówczas mi z = mi z+2nπi dla wszystkich złożonych z i całe N.

Logarytmu nie można zdefiniować na całej płaszczyźnie zespolonej, a mimo to jest on wielowartościowy - każdy logarytm zespolony można zastąpić logarytmem „równoważnym”, dodając dowolną liczbę całkowitą wielokrotności 2 πi. Logarytm zespolony może mieć pojedynczą wartość tylko na wycinku płaszczyzny zespolonej. Na przykład ln I = 1/2 πi lub 5/2 πi lub -3/2 πi itp., i chociaż I 4 = 1,4 log I można zdefiniować jako 2 πi lub 10 πi lub -6 πi, i tak dalej.

Zobacz też

John Napier – wynalazca logarytmów

Notatki

Matematyka dla chemii fizycznej. - 3. - Academic Press, 2005. - s. 9. - ISBN 0-125-08347-5,Wyciąg ze strony 9
JJO”Connor i EF Robertson Liczba E. Archiwum historii matematyki MacTutor (wrzesień 2001). Zarchiwizowane
Cajori Florian Historia matematyki, wyd. 5. - Księgarnia AMS, 1991. - s. 152. - ISBN 0821821024
Flashman, Martin Szacowanie całek za pomocą wielomianów. Zarchiwizowane od oryginału w dniu 12 lutego 2012 r.

Instrukcje

Zapisz podane wyrażenie logarytmiczne. Jeżeli w wyrażeniu używany jest logarytm z liczby 10, to jego zapis ulega skróceniu i wygląda następująco: lg b jest logarytm dziesiętny. Jeżeli logarytm ma za podstawę liczbę e, to zapisz wyrażenie: ln b – logarytm naturalny. Rozumie się, że wynikiem any jest potęga, do której należy podnieść liczbę podstawową, aby otrzymać liczbę b.

Gdy znajdujesz sumę dwóch funkcji, wystarczy je rozróżnić i dodać wyniki: (u+v)" = u"+v";

Szukając pochodnej iloczynu dwóch funkcji należy pomnożyć pochodną pierwszej funkcji przez drugą i dodać pochodną drugiej funkcji pomnożoną przez pierwszą funkcję: (u*v)" = u"*v +v"*u;

Aby znaleźć pochodną ilorazu dwóch funkcji, należy od iloczynu pochodnej dzielnej pomnożonej przez funkcję dzielnika odjąć iloczyn pochodnej dzielnika pomnożonej przez funkcję dzielnej i podzielić wszystko to przez funkcję dzielnika do kwadratu. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Jeśli podano złożona funkcja, to należy pomnożyć pochodną funkcja wewnętrzna i pochodną zewnętrznej. Niech y=u(v(x)), wtedy y"(x)=y"(u)*v"(x).

Korzystając z wyników uzyskanych powyżej, można rozróżnić prawie każdą funkcję. Spójrzmy więc na kilka przykładów:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *X));
Istnieją również problemy związane z obliczaniem pochodnej w punkcie. Niech będzie podana funkcja y=e^(x^2+6x+5), należy znaleźć wartość funkcji w punkcie x=1.
1) Znajdź pochodną funkcji: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Oblicz wartość funkcji w dany punkt y"(1)=8*e^0=8

Wideo na ten temat

Pomocna rada

Poznaj tabelę elementarnych pochodnych. Pozwoli to znacznie zaoszczędzić czas.

Źródła:

pochodna stałej

Jaka jest więc różnica między racjonalne równanie od racjonalnego? Jeśli nieznana zmienna znajduje się pod znakiem pierwiastek kwadratowy, wówczas równanie uważa się za niewymierne.

Instrukcje

Główną metodą rozwiązywania takich równań jest metoda konstruowania obu stron równania w kwadrat. Jednakże. jest to naturalne, pierwszą rzeczą, którą musisz zrobić, to pozbyć się znaku. Metoda ta nie jest trudna technicznie, lecz czasem może przysporzyć kłopotów. Na przykład równanie ma postać v(2x-5)=v(4x-7). Podnosząc obie strony do kwadratu, otrzymasz 2x-5 = 4x-7. Rozwiązanie takiego równania nie jest trudne; x=1. Ale numer 1 nie zostanie podany równania. Dlaczego? Podstaw jeden do równania zamiast wartości x. Prawa i lewa strona będą zawierać wyrażenia, które nie mają sensu. Ta wartość nie dotyczy pierwiastka kwadratowego. Dlatego 1 jest obcym pierwiastkiem i dlatego to równanie nie ma pierwiastków.

Zatem irracjonalne równanie rozwiązuje się metodą podniesienia obu jego stron do kwadratu. Po rozwiązaniu równania konieczne jest odcięcie obcych korzeni. Aby to zrobić, podstaw znalezione pierwiastki do pierwotnego równania.

Rozważ inny.
2х+vх-3=0
Oczywiście równanie to można rozwiązać za pomocą tego samego równania, co poprzednie. Przesuń związki równania, które nie mają pierwiastka kwadratowego, w prawa strona a następnie zastosuj metodę kwadratury. rozwiązać powstałe racjonalne równanie i pierwiastki. Ale także inny, bardziej elegancki. Wprowadź nową zmienną; vх=y. W związku z tym otrzymasz równanie w postaci 2y2+y-3=0. To znaczy to, co zwykle równanie kwadratowe. Znajdź swoje korzenie; y1=1 i y2=-3/2. Następnie rozwiąż dwa równania vх=1; vх=-3/2. Drugie równanie nie ma pierwiastków; z pierwszego wynika, że x=1. Nie zapomnij sprawdzić korzeni.

Rozwiązywanie tożsamości jest dość proste. Aby to zrobić, musisz to zrobić przemiany tożsamości aż do osiągnięcia celu. W ten sposób za pomocą prostych operacji arytmetycznych postawione zadanie zostanie rozwiązane.

Będziesz potrzebować

- papier;
- długopis.

Instrukcje

Najprostszymi tego typu przekształceniami są algebraiczne skrócone mnożenia (takie jak kwadrat sumy (różnicy), różnica kwadratów, suma (różnica), sześcian sumy (różnica)). Ponadto istnieje wiele wzorów trygonometrycznych, które są zasadniczo tymi samymi tożsamościami.

Rzeczywiście, kwadrat sumy dwóch wyrazów jest równy kwadratowi pierwszego plus dwukrotność iloczynu pierwszego przez drugi plus kwadrat drugiego, czyli (a+b)^2= (a+b )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Uprość oba

Ogólne zasady rozwiązania

Powtórz z podręcznika analizy matematycznej lub wyższej matematyki, czym jest całka oznaczona. Jak wiadomo, rozwiązanie określona całka istnieje funkcja, której pochodna daje całkę. Ta funkcja nazywa się funkcją pierwotną. W oparciu o tę zasadę konstruowane są całki podstawowe.
Określ na podstawie rodzaju całki, która z całek tabeli jest odpowiednia w tym przypadku. Nie zawsze da się to od razu ustalić. Często postać tabelaryczna staje się zauważalna dopiero po kilku przekształceniach w celu uproszczenia całki.

Zmienna metoda wymiany

Jeżeli całką jest funkcja trygonometryczna, której argumentem jest wielomian, to spróbuj zastosować metodę zmiany zmiennych. W tym celu należy zastąpić wielomian w argumencie całki jakąś nową zmienną. Na podstawie relacji pomiędzy nową i starą zmienną wyznacz nowe granice całkowania. Różniczkując to wyrażenie, znajdź nową różnicę w . Więc dostaniesz nowy rodzaj poprzedniej całki, zbliżoną lub nawet odpowiadającą dowolnej całce tabelarycznej.

Rozwiązywanie całek drugiego rodzaju

Jeśli całka jest całką drugiego rodzaju, czyli wektorową formą całki, wówczas będziesz musiał skorzystać z zasad przejścia od tych całek do całek skalarnych. Jedną z takich reguł jest relacja Ostrogradskiego-Gaussa. Prawo to pozwala nam przejść od strumienia wirnika określonej funkcji wektorowej do całki potrójnej po rozbieżności danego pola wektorowego.

Podstawienie granic całkowych

Po znalezieniu funkcji pierwotnej należy podstawić granice całkowania. Najpierw podstaw wartość górnej granicy do wyrażenia funkcji pierwotnej. Dostaniesz jakiś numer. Następnie odejmij od otrzymanej liczby inną liczbę uzyskaną z dolnej granicy do funkcji pierwotnej. Jeśli jedną z granic całkowania jest nieskończoność, to przy podstawieniu jej do funkcja pierwotna trzeba dojść do granic i znaleźć to, do czego dąży ekspresja.
Jeśli całka jest dwuwymiarowa lub trójwymiarowa, wówczas będziesz musiał geometrycznie przedstawić granice całkowania, aby zrozumieć, jak obliczyć całkę. Rzeczywiście, w przypadku, powiedzmy, całki trójwymiarowej, granicami całkowania mogą być całe płaszczyzny ograniczające całkowaną objętość.

Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres E-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą w sprawie wyjątkowych ofert, promocji i innych wydarzeń oraz nadchodzących wydarzeń.
Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawienia rekomendacji dotyczących naszych usług.
Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.

Ujawnianie informacji osobom trzecim

Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.

Wyjątki:

Jeżeli zaistnieje konieczność – zgodnie z przepisami prawa, procedurą sądową, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie wniosków publicznych lub wniosków organów rządowych na terytorium Federacji Rosyjskiej – ujawnienia Twoich danych osobowych. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

Naturalny logarytm jest logarytmem podstawy , Gdzie mi (\ displaystyle e)- niewymierna stała równa w przybliżeniu 2,72. Jest oznaczony jako ln ⁡ x (\ displaystyle \ ln x), log mi ⁡ x (\ Displaystyle \ log _ (e) x) lub czasami po prostu log ⁡ x (\ displaystyle \ log x), jeśli podstawa mi (\ displaystyle e) sugerowane. Innymi słowy, logarytm naturalny liczby X- jest to wykładnik, do którego należy podnieść liczbę mi, Pozyskać X. Definicję tę można rozszerzyć na liczby zespolone.

ln ⁡ mi = 1 (\ displaystyle \ ln e = 1), ponieważ mi 1 = mi (\ displaystyle e ^ (1) = e); ln ⁡ 1 = 0 (\ displaystyle \ ln 1 = 0), ponieważ mi 0 = 1 (\ displaystyle e ^ (0) = 1).

Logarytm naturalny można również zdefiniować geometrycznie dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej A jako pole pod krzywą y = 1 x (\ Displaystyle y = (\ Frac (1) (x))) pomiędzy [ 1 ; za ] (\ displaystyle). Prostota tej definicji, zgodna z wieloma innymi wzorami wykorzystującymi ten logarytm, wyjaśnia pochodzenie nazwy „naturalny”.

Jeśli uznamy logarytm naturalny za funkcję rzeczywistą zmiennej rzeczywistej, to jest to funkcja odwrotna funkcji wykładniczej, co prowadzi do tożsamości:

mi ln ⁡ za = za (a > 0) ; (\ Displaystyle e ^ (\ ln a) = a \ quad (a> 0);) ln ⁡ mi za = za (a > 0) . (\ Displaystyle \ ln e ^ (a) = a \ quad (a> 0).)

Podobnie jak wszystkie logarytmy, logarytm naturalny odwzorowuje mnożenie na dodawanie:

ln ⁡ x y = ln ⁡ x + ln ⁡ y . (\ Displaystyle \ ln xy = \ ln x + \ ln y.)