Obliczanie pola trapezu wzdłuż boków. Pole trapezu: wzory i metody obliczeniowe

Ten kalkulator obliczył 2192 problemów na temat "Pole trapezu"

POWIERZCHNIA TRAPEZIDU

Wybierz wzór na obliczenie pola trapezu, którego planujesz użyć do rozwiązania przypisanego Ci problemu:

Ogólna teoria obliczania pola trapezu.

Trapez - Jest to figura płaska składająca się z czterech punktów, z których trzy nie leżą na tej samej prostej, oraz czterech odcinków (boków) łączących te cztery punkty parami, w których dwa przeciwległe boki są równoległe (leżą na liniach równoległych), a pozostałe dwa nie są równoległe.

Punkty to tzw wierzchołki trapezu i są oznaczone dużymi literami łacińskimi.

Segmenty nazywane są boki trapezu i są oznaczone parą wielkich liter łacińskich odpowiadających wierzchołkom łączącym segmenty.

Nazywa się dwa równoległe boki trapezu podstawy trapezowe .

Nazywa się dwa nierównoległe boki trapezu boki trapezu .

Rysunek nr 1: Trapez ABCD

Rysunek 1 pokazuje trapez ABCD z wierzchołki A, B,C, D i boki AB, BC, CD, DA.

AB ǁ DC - podstawy trapezu ABCD.

AD, BC - boczne boki trapezu ABCD.

Kąt utworzony przez promienie AB i AD nazywa się kątem przy wierzchołku A. Oznacza się go jako ÐA, ÐBAD lub ÐDAB.

Kąt utworzony przez promienie BA i BC nazywany jest kątem przy wierzchołku B. Oznacza się go jako ÐB, ÐABC lub ÐCBA.

Kąt utworzony przez promienie CB i CD nazywany jest kątem wierzchołkowym C. Oznacza się go jako ÐC, ÐDCB lub ÐBCD.

Kąt utworzony przez promienie AD i CD nazywany jest kątem wierzchołkowym D. Oznacza się go jako ÐD, ÐADC lub ÐCDA.

Rysunek nr 2: Trapez ABCD

Na rysunku 2 nazywa się odcinek MN łączący środki boków bocznych linia środkowa trapezu.

Linia środkowa trapezu równoległe do podstaw i równe ich połowie sumy. To jest, .

Rysunek nr 3: Trapez równoramienny ABCD

Na rysunku 3 AD=BC.

Nazywa się trapez równoramienny (równoramienny), jeśli jego boki są równe.

Rysunek nr 4: Trapez prostokątny ABCD

Na rysunku nr 4 kąt D jest prosty (równy 90°).

Nazywa się trapez prostokątny, jeśli kąt z boku jest prosty.

Powierzchnia S mieszkanie figury, do których należy trapez, nazywane są ograniczoną zamkniętą przestrzenią na płaszczyźnie. Obszar płaskiej figury pokazuje rozmiar tej figury.

Obszar ma kilka właściwości:

1. Nie może być ujemna.

2. Jeśli podany jest pewien zamknięty obszar na płaszczyźnie, który składa się z kilku figur, które się nie przecinają (to znaczy figury nie mają wspólnych punktów wewnętrznych, ale mogą się stykać), wówczas obszar takiego obszaru jest równa sumie obszarów jego cyfr składowych.

3. Jeśli dwie figury są równe, ich pola są równe.

4. Powierzchnia kwadratu, na którym jest zbudowany segment jednostkowy, jest równe jeden.

Za jednostka pomiary obszar weź obszar kwadratu, którego bok jest równy jednostka pomiary segmenty.

Podczas rozwiązywania problemów często stosuje się następujące wzory do obliczania powierzchni trapezu:

1. Pole trapezu jest równe połowie sumy jego podstaw pomnożonej przez jego wysokość:

2. Pole trapezu jest równe iloczynowi jego linii środkowej i wysokości:

3. Znając długości podstaw i boków trapezu, jego pole można obliczyć ze wzoru:

4. Pole trapezu równoramiennego można obliczyć o znanej długości promienia okręgu wpisanego w trapez i znanej wartości kąta przy podstawie, korzystając ze wzoru:

Przykład 1: Oblicz pole trapezu o podstawach a=7, b=3 i wysokości h=15.

Rozwiązanie:

Odpowiedź:

Przykład 2: Znajdź bok podstawy trapezu o polu S = 35 cm 2, wysokości h = 7 cm i drugiej podstawie b = 2 cm.

Rozwiązanie:

Aby znaleźć bok podstawy trapezu, używamy wzoru na obliczenie pola:

Wyraźmy ze wzoru bok podstawy trapezu:

Zatem mamy co następuje:

Odpowiedź:

Przykład 3: Znajdź wysokość trapezu o polu S = 17 cm 2 i podstawach a = 30 cm, b = 4 cm.

Rozwiązanie:

Aby obliczyć wysokość trapezu, korzystamy ze wzoru na obliczenie pola:

Zatem mamy co następuje:

Odpowiedź:

Przykład 4: Oblicz pole trapezu o wysokości h=24 i linii środkowej m=5.

Rozwiązanie:

Aby znaleźć pole trapezu, używamy następującego wzoru do obliczenia pola:

Zatem mamy co następuje:

Odpowiedź:

Przykład 5: Znajdź wysokość trapezu o polu S = 48 cm 2 i linii środkowej m = 6 cm.

Rozwiązanie:

Aby znaleźć wysokość trapezu, używamy wzoru do obliczania pola trapezu:

Wyraźmy wysokość trapezu ze wzoru:

Zatem mamy co następuje:

Odpowiedź:

Przykład 6: Znajdź środek trapezu o polu S = 56 i wysokości h = 4.

Rozwiązanie:

Aby znaleźć linię środkową trapezu, używamy wzoru do obliczania pola trapezu:

Wyraźmy środkową linię trapezu ze wzoru:

Zatem mamy co następuje.

Istnieje wiele sposobów znalezienia obszaru trapezu. Zwykle nauczyciel matematyki zna kilka metod jej obliczania, przyjrzyjmy się im bardziej szczegółowo:
1) , gdzie AD i BC to podstawy, a BH to wysokość trapezu. Dowód: narysuj przekątną BD i wyraź pola trójkątów ABD i CDB przez połowę iloczynu ich podstaw i wysokości:

, gdzie DP jest wysokością zewnętrzną w

Dodajmy te równości wyraz po wyrazie i biorąc pod uwagę, że wysokości BH i DP są równe, otrzymamy:

Wyjmijmy to z nawiasów

co było do okazania

Wniosek ze wzoru na pole trapezu:
Ponieważ suma połówek podstaw jest równa MN - zatem linia środkowa trapezu

2) Zastosowanie wzoru ogólnego na pole czworoboku.
Pole czworokąta jest równe połowie iloczynu przekątnych pomnożonego przez sinus kąta między nimi
Aby to udowodnić, wystarczy podzielić trapez na 4 trójkąty, wyrazić pole każdego z nich w kategoriach „połowy iloczynu przekątnych i sinusa kąta między nimi” (przyjętego jako kąt, dodać wynikowy wyrażenia, usuń je z nawiasu i rozłóż ten nawias na czynniki, korzystając z metody grupowania, aby uzyskać równość wyrażenia Stąd

3) Metoda przesunięcia diagonalnego
To moje imię. Korepetytor matematyki nie spotka się z takim tytułem w podręcznikach szkolnych. Opis techniki można znaleźć jedynie w dodatku podręczniki jako przykład rozwiązania problemu. Zauważam, że większość interesujących i przydatne fakty Korepetytorzy matematyki odkrywają przed uczniami planimetrię w trakcie wykonywania zadań praktycznych. Jest to wyjątkowo nieoptymalne, ponieważ uczeń musi wydzielić je na osobne twierdzenia i nazwać je „wielkimi nazwiskami”. Jednym z nich jest „przesunięcie po przekątnej”. O czym to jest? Narysujmy prostą równoległą do AC przez wierzchołek B, aż przetnie się z dolną podstawą w punkcie E. W tym przypadku czworokąt EBCA będzie (z definicji) równoległobokiem, a zatem BC=EA i EB=AC. Pierwsza równość jest dla nas teraz ważna. Mamy:

Zauważ, że trójkąt ŁÓŻKO, którego powierzchnia jest równa powierzchni trapezu, ma kilka innych niezwykłych właściwości:
1) Jego powierzchnia jest równa powierzchni trapezu
2) Jego równoramienne występują jednocześnie z równoramiennymi samymi trapezami
3) Jego górny kąt w wierzchołku B jest równy kątowi między przekątnymi trapezu (co jest bardzo często wykorzystywane w zadaniach)
4) Jego mediana BK jest równa odległości QS pomiędzy środkami podstaw trapezu. Z wykorzystaniem tej właściwości spotkałem się niedawno, przygotowując studenta mechaniki i matematyki na Uniwersytecie Moskiewskim, korzystając z podręcznika Tkachuka, wersja z 1973 r. (zadanie podano na dole strony).

Specjalne techniki dla nauczyciela matematyki.

Czasem proponuję problemy wykorzystując bardzo podstępny sposób wyznaczania pola trapezu. Klasyfikuję ją jako technikę specjalną, ponieważ w praktyce korepetytor wykorzystuje ją niezwykle rzadko. Jeśli potrzebujesz przygotowania do Unified State Exam z matematyki tylko w części B, nie musisz o nich czytać. O innych powiem dalej. Okazuje się, że pole trapezu jest dwukrotnie większe od pola trójkąta z wierzchołkami na końcach jednego boku i środku drugiego, czyli trójkąta ABS na rysunku:
Dowód: narysuj wysokości SM i SN w trójkątach BCS i ADS i wyraź sumę pól tych trójkątów:

Ponieważ punkt S jest środkiem CD, to (udowodnij to sam). Znajdź sumę pól trójkątów:

Ponieważ suma ta okazała się równa połowie powierzchni trapezu, a następnie jego drugiej połowie. Itp.

Dodałbym do zbioru technik specjalnych nauczyciela formę obliczania pola trapezu równoramiennego wzdłuż jego boków: gdzie p jest półobwodem trapezu. Nie dam dowodu. W przeciwnym razie Twój nauczyciel matematyki zostanie bez pracy :). Chodź do klasy!

Problemy na obszarze trapezu:

Notatka nauczyciela matematyki: Poniższa lista nie stanowi metodologicznego uzupełnienia tematu, to jedynie niewielki wybór ciekawe zadania do metod omówionych powyżej.

1) Dolna podstawa trapezu równoramiennego wynosi 13, a górna 5. Znajdź obszar trapezu, jeśli jego przekątna jest prostopadła do boku.
2) Znajdź pole trapezu, jeśli jego podstawy mają długość 2 cm i 5 cm, a boki 2 cm i 3 cm.
3) W trapezie równoramiennym większa podstawa wynosi 11, bok wynosi 5, a przekątna to Znajdź obszar trapezu.
4) Przekątna trapezu równoramiennego wynosi 5 i Środkowa linia jest równe 4. Znajdź pole.
5) W trapezie równoramiennym podstawy wynoszą 12 i 20, a przekątne są wzajemnie prostopadłe. Oblicz pole trapezu
6) Przekątna trapezu równoramiennego tworzy kąt z jego dolną podstawą. Znajdź pole trapezu, jeśli jego wysokość wynosi 6 cm.
7) Pole trapezu wynosi 20, a jeden z jego boków ma długość 4 cm. Znajdź odległość do niego od środka przeciwnej strony.
8) Przekątna trapezu równoramiennego dzieli go na trójkąty o polach 6 i 14. Znajdź wysokość, jeśli bok boczny wynosi 4.
9) W trapezie przekątne są równe 3 i 5, a odcinek łączący środki podstaw jest równy 2. Znajdź obszar trapezu (Mekhmat MSU, 1970).

Nie wybrałem najlepszego złożone zadania(nie bójcie się wydziału mechaniki i matematyki!) z oczekiwaniem, że da się je rozwiązać samodzielnie. Zdecyduj się na swoje zdrowie! Jeśli potrzebujesz przygotowania do jednolitego egzaminu państwowego z matematyki, bez udziału w tym procesie mogą pojawić się wzory na obszar trapezu poważne problemy nawet w przypadku problemu B6, a tym bardziej w przypadku C4. Nie zaczynaj tematu i w razie jakichkolwiek trudności poproś o pomoc. Korepetytor matematyki zawsze chętnie Ci pomoże.

Kołpakow A.N.
Korepetytor matematyki w Moskwie, przygotowanie do Jednolitego Egzaminu Państwowego w Stroginie.

W matematyce znanych jest kilka rodzajów czworokątów: kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok. Wśród nich jest trapez – rodzaj wypukłego czworoboku, w którym dwa boki są równoległe, a pozostałe dwa nie. Równoległe przeciwległe boki nazywane są podstawami, a pozostałe dwa nazywane są bocznymi bokami trapezu. Odcinek łączący środki boków nazywa się linią środkową. Istnieje kilka rodzajów trapezów: równoramienny, prostokątny, krzywoliniowy. Dla każdego rodzaju trapezu istnieją wzory na znalezienie pola.

Powierzchnia trapezu

Aby znaleźć pole trapezu, musisz znać długość jego podstaw i wysokość. Wysokość trapezu to odcinek prostopadły do podstaw. Niech górna podstawa będzie równa a, dolna podstawa będzie b, a wysokość będzie h. Następnie możesz obliczyć pole S, korzystając ze wzoru:

S = ½ * (a+b) * godz

te. weź połowę sumy podstaw pomnożonej przez wysokość.

Możliwe będzie również obliczenie pola trapezu, jeśli znana będzie wysokość i linia środkowa. Oznaczmy linię środkową - m. Następnie

Rozwiążmy bardziej skomplikowany problem: znane są długości czterech boków trapezu - a, b, c, d. Następnie obszar zostanie znaleziony za pomocą wzoru:

Jeżeli znane są długości przekątnych i kąt między nimi, wówczas obszar przeszukiwany jest w następujący sposób:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

gdzie d z indeksami 1 i 2 są przekątnymi. W tym wzorze w obliczeniach podaje się sinus kąta.

Mając znane długości podstaw a i b oraz dwa kąty przy dolnej podstawie, pole oblicza się w następujący sposób:

S = ½ * (b2 - a2) * (sin α * sin β / sin(α + β))

Powierzchnia trapezu równoramiennego

Trapez równoramienny jest szczególny przypadek trapezoidy. Różnica polega na tym, że taki trapez jest wypukłym czworokątem, którego oś symetrii przechodzi przez środki dwóch przeciwległych boków. Jego boki są równe.

Istnieje kilka sposobów znalezienia obszaru trapezu równoramiennego.

Przez długości trzech boków. W takim przypadku długości boków będą się pokrywać, dlatego są one oznaczone jedną wartością - c oraz a i b - długości podstaw:

Jeżeli znana jest długość podstawy górnej, boku i kąt przy podstawie dolnej, wówczas powierzchnię oblicza się w następujący sposób:

S = do * grzech α * (a + c * cos α)

gdzie a jest górną podstawą, c jest bokiem.

Jeżeli zamiast górnej podstawy znana jest długość dolnej - b, powierzchnię oblicza się ze wzoru:

S = do * sin α * (b – c * cos α)

Jeżeli znane są dwie podstawy i kąt przy dolnej podstawie, pole oblicza się poprzez tangens kąta:

S = ½ * (b2 – a2) * tan α

Pole oblicza się również na podstawie przekątnych i kąta między nimi. W tym przypadku przekątne są równej długości, dlatego każdą oznaczamy literą d bez indeksów dolnych:

S = ½ * d2 * sin α

Obliczmy pole trapezu, znając długość boku, linię środkową i kąt przy dolnej podstawie.

Niech bok będzie c, linia środkowa m, a kąt a, wtedy:

S = m * do * grzech α

Czasami w trapez równoboczny można wpisać okrąg, którego promień będzie wynosić r.

Wiadomo, że w dowolny trapez można wpisać okrąg, jeśli suma długości jego podstaw jest równa sumie długości jego boków. Następnie obszar można znaleźć poprzez promień okręgu wpisanego i kąt przy dolnej podstawie:

S = 4r2 / sin α

To samo obliczenie przeprowadza się na podstawie średnicy D okręgu wpisanego (nawiasem mówiąc, pokrywa się ona z wysokością trapezu):

Znając podstawę i kąt, pole trapezu równoramiennego oblicza się w następujący sposób:

S = a * b / grzech α

(ten i kolejne wzory obowiązują tylko dla trapezów z wpisanym okręgiem).

Korzystając z podstaw i promienia okręgu, pole obliczamy w następujący sposób:

Jeśli znane są tylko podstawy, wówczas pole oblicza się ze wzoru:

Przez podstawy i linię boczną pole trapezu z wpisanym okręgiem oraz przez podstawy i linię środkową - m oblicza się w następujący sposób:

Pole prostokątnego trapezu

Trapez nazywa się prostokątnym, w którym jeden z boków jest prostopadły do podstaw. W tym przypadku długość boku pokrywa się z wysokością trapezu.

Trapez prostokątny składa się z kwadratu i trójkąta. Po znalezieniu obszaru każdej z figur zsumuj wyniki i uzyskaj całkowitą powierzchnię figury.

Nadaje się również do obliczania pola prostokątnego trapezu ogólne formuły obliczyć pole trapezu.

Jeżeli znane są długości podstaw i wysokość (lub bok prostopadły), to pole obliczamy ze wzoru:

S = (a + b) * godz / 2

Strona boczna c może pełnić funkcję h (wysokość). Wtedy formuła wygląda następująco:

S = (a + b) * do / 2

Innym sposobem obliczenia powierzchni jest pomnożenie długości linii środkowej przez wysokość:

lub przez długość bocznego prostopadłego boku:

Następny sposób obliczenia polega na przeliczeniu połowy iloczynu przekątnych i sinusa kąta między nimi:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

Jeżeli przekątne są prostopadłe, wzór upraszcza się do postaci:

S = ½ * d1 * d2

Innym sposobem obliczenia jest półobwód (suma długości dwóch przeciwległych boków) i promień okręgu wpisanego.

Wzór ten obowiązuje dla zasad. Jeśli weźmiemy długości boków, wówczas jeden z nich będzie równy dwukrotności promienia. Formuła będzie wyglądać następująco:

S = (2r + c) * r

Jeżeli w trapez wpisano okrąg, to jego pole oblicza się w ten sam sposób:

gdzie m jest długością linii środkowej.

Powierzchnia zakrzywionego trapezu

Trapez krzywoliniowy to figura płaska ograniczona wykresem nieujemnej funkcji ciągłej y = f(x), określonej na odcinku, osi odciętych i prostych x = a, x = b. Zasadniczo dwa jego boki są do siebie równoległe (podstawy), trzeci bok jest prostopadły do podstaw, a czwarty jest krzywą odpowiadającą wykresowi funkcji.

Pole trapezu krzywoliniowego wyznacza się poprzez całkę za pomocą wzoru Newtona-Leibniza:

W ten sposób obliczane są pola różne rodzaje trapez. Ale oprócz właściwości boków trapezy mają te same właściwości kątów. Podobnie jak wszystkie istniejące czworokąty, suma kątów wewnętrznych trapezu wynosi 360 stopni. A suma kątów przylegających do boku wynosi 180 stopni.

Trapez nazywa się czworokątem, którego tylko dwa boki są do siebie równoległe.

Nazywa się je podstawami figury, pozostałe nazywane są bokami. Równoległoboki są uważane za szczególne przypadki figury. Istnieje również zakrzywiony trapez, który zawiera wykres funkcji. Wzory na powierzchnię trapezu obejmują prawie wszystkie jego elementy i Najlepsza decyzja jest wybierany w zależności od określonych wartości.
Główne role w trapezie przypisane są wysokości i linii środkowej. Środkowa linia- To jest linia łącząca środki boków. Wysokość Trapez jest rysowany pod kątem prostym od górnego rogu do podstawy.
Pole trapezu na jego wysokości jest równe iloczynowi połowy sumy długości podstaw pomnożonej przez wysokość:

Jeśli znana jest linia średnia zgodnie z warunkami, wówczas wzór ten jest znacznie uproszczony, ponieważ jest równy połowie sumy długości podstaw:

Jeśli zgodnie z warunkami podane są długości wszystkich boków, możemy rozważyć przykład obliczenia pola trapezu na podstawie tych danych:

Załóżmy, że mamy trapez o podstawach a = 3 cm, b = 7 cm i bokach c = 5 cm, d = 4 cm. Znajdźmy pole figury:

Powierzchnia trapezu równoramiennego

Trapez równoramienny lub, jak to się nazywa, trapez równoramienny, jest uważany za odrębny przypadek.
Szczególnym przypadkiem jest znalezienie pola trapezu równobocznego. Formuła jest wyprowadzana różne sposoby– przez przekątne, przez kąty przylegające do podstawy i promień okręgu wpisanego.
Jeśli długość przekątnych zostanie określona zgodnie z warunkami i znany jest kąt między nimi, można skorzystać ze wzoru:

Pamiętaj, że przekątne trapezu równoramiennego są sobie równe!

Oznacza to, że znając jedną z ich podstaw, bok i kąt, możesz łatwo obliczyć pole.

Powierzchnia zakrzywionego trapezu

Szczególnym przypadkiem jest zakrzywiony trapez. Znajduje się na osi współrzędnych i jest ograniczony wykresem ciągłej funkcji dodatniej.

Jego podstawa znajduje się na osi X i ogranicza się do dwóch punktów:
Całki pomagają obliczyć powierzchnię zakrzywionego trapezu.
Formuła jest zapisana w następujący sposób:

Rozważmy przykład obliczenia pola zakrzywionego trapezu. Formuła wymaga pewnej wiedzy do pracy pewne całki. Najpierw spójrzmy na wartość całki oznaczonej:

Tutaj F(a) jest wartością funkcja pierwotna f(x) w punkcie a, F(b) jest wartością tej samej funkcji f(x) w punkcie b.

Teraz rozwiążmy problem. Rysunek przedstawia zakrzywiony trapez ograniczony funkcją. Funkcjonować
Musimy znaleźć pole wybranej figury, która jest trapezem krzywoliniowym ograniczonym powyżej wykresem, po prawej stronie prostą x =(-8), po lewej stronie prostą x =(-10 ) i oś OX poniżej.
Pole tej figury obliczymy za pomocą wzoru:

Warunki problemu dają nam funkcję. Za jego pomocą znajdziemy wartości funkcji pierwotnej w każdym z naszych punktów:

Teraz
Odpowiedź: Pole danego zakrzywionego trapezu wynosi 4.

Obliczenie tej wartości nie jest skomplikowane. Ważna jest tylko duża ostrożność w obliczeniach.