Własności logarytmu i wykładnika. Logarytm naturalny i liczba e. Wyrażenia poprzez liczby zespolone

Całkiem nieźle, prawda? Podczas gdy matematycy szukają słów, aby podać długą i zagmatwaną definicję, przyjrzyjmy się bliżej tej prostej i jasnej.

Liczba e oznacza wzrost

Liczba e oznacza ciągły wzrost. Jak widzieliśmy w poprzednim przykładzie, ex pozwala nam powiązać odsetki i czas: 3 lata przy 100% wzroście to to samo, co 1 rok przy 300%, przy założeniu „procentu składanego”.

Możesz zastąpić dowolne wartości procentowe i czasowe (50% na 4 lata), ale dla wygody lepiej ustawić procent na 100% (okazuje się, że 100% na 2 lata). Przechodząc do 100%, możemy skupić się wyłącznie na komponencie czasowym:

mi x = e procent * czas = e 1,0 * czas = e czas

Oczywiście ex oznacza:

o ile wzrośnie mój wkład po x jednostkach czasu (zakładając 100% ciągłego wzrostu).
np. po 3 odstępach czasowych otrzymam e 3 = 20,08 razy więcej „rzeczy”.

e x to współczynnik skalujący, który pokazuje, do jakiego poziomu dojdziemy w x czasie.

Logarytm naturalny oznacza czas

Logarytm naturalny jest odwrotnością e, fantazyjnym określeniem przeciwieństwa. Mówiąc o dziwactwach; po łacinie nazywa się to logarithmus naturali, stąd skrót ln.

A co oznacza ta inwersja lub przeciwieństwo?

ex pozwala nam zastąpić czas i uzyskać wzrost.
ln(x) pozwala nam wziąć wzrost lub dochód i dowiedzieć się, ile czasu potrzeba na jego wygenerowanie.

Na przykład:

e 3 równa się 20,08. Po trzech okresach będziemy mieli 20,08 razy więcej niż na początku.
ln(08/20) będzie wynosić w przybliżeniu 3. Jeśli interesuje Cię wzrost 20,08 razy, będziesz potrzebować 3 okresów (ponownie zakładając 100% ciągłego wzrostu).

Nadal czytasz? Logarytm naturalny pokazuje czas potrzebny do osiągnięcia pożądanego poziomu.

To niestandardowe liczenie logarytmiczne

Czy przeszedłeś przez logarytmy - to dziwne stworzenia. Jak udało im się zamienić mnożenie w dodawanie? A co z dzieleniem przez odejmowanie? Przyjrzyjmy się.

Ile wynosi ln(1)? Intuicyjnie pojawia się pytanie: jak długo powinienem czekać, aby otrzymać 1x więcej niż mam?

Zero. Zero. Zupełnie nie. Już raz to masz. Przejście z poziomu 1 na poziom 1 nie zajmuje dużo czasu.

log(1) = 0

OK, a co z wartością ułamkową? Po jakim czasie zostanie nam 1/2 dostępnej ilości? Wiemy, że przy 100% ciągłym wzroście ln(2) oznacza czas potrzebny na podwojenie. Jeśli my cofnijmy czas(tj. poczekaj ujemną ilość czasu), wtedy otrzymamy połowę tego, co mamy.

ln(1/2) = -ln(2) = -0,693

Logiczne, prawda? Jeśli cofniemy się (w czasie) do 0,693 sekundy, znajdziemy połowę dostępnej kwoty. Ogólnie rzecz biorąc, możesz odwrócić ułamek i przyjąć wartość ujemną: ln(1/3) = -ln(3) = -1,09. Oznacza to, że jeśli cofniemy się w czasie do 1,09 razy, znajdziemy tylko jedną trzecią aktualnej liczby.

OK, a co z logarytmem liczby ujemnej? Ile czasu zajmuje „wyhodowanie” kolonii bakterii od 1 do -3?

To jest niemożliwe! Nie można uzyskać ujemnej liczby bakterii, prawda? Możesz uzyskać maksymalnie (hm… minimum) zero, ale w żaden sposób nie możesz uzyskać liczby ujemnej z tych małych stworzeń. Ujemna liczba bakterii po prostu nie ma sensu.

ln(liczba ujemna) = niezdefiniowana

„Niezdefiniowany” oznacza, że nie ma czasu, który musiałby czekać, aby uzyskać wartość ujemną.

Mnożenie logarytmiczne jest po prostu zabawne

Ile czasu zajmie czterokrotny wzrost? Oczywiście możesz po prostu wziąć ln(4). Ale to jest zbyt proste, pójdziemy w drugą stronę.

Możesz myśleć o poczwórnym wzroście jako o podwojeniu (wymagającym ln(2) jednostek czasu), a następnie ponownym podwojeniu (wymagającym kolejnych ln(2) jednostek czasu):

Czas na wzrost 4 razy = ln(4) = czas na podwojenie, a następnie ponowne podwojenie = ln(2) + ln(2)

Ciekawy. Każdą stopę wzrostu, powiedzmy 20, można uznać za podwojenie zaraz po 10-krotnym wzroście. Lub wzrost 4-krotny, a następnie 5-krotny. Lub potrojenie, a następnie zwiększenie o 6,666 razy. Widzisz wzór?

ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

Logarytm A razy B to log(A) + log(B). Zależność ta od razu nabiera sensu, jeśli spojrzeć na nią w kategoriach wzrostu.

Jeśli interesuje Cię 30-krotny wzrost, możesz poczekać ln(30) na jednym posiedzeniu lub poczekać ln(3) na potrojenie, a następnie kolejne ln(10) na 10x. Wynik końcowy jest taki sam, więc oczywiście czas musi pozostać stały (i tak się dzieje).

A co z podziałem? W szczególności ln(5/3) oznacza: ile czasu zajmie wzrost 5 razy, a następnie uzyskanie 1/3 tego?

Świetnie, wzrost 5-krotny wynosi ln(5). Zwiększenie o 1/3 zajmie -ln(3) jednostek czasu. Więc,

ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

Oznacza to: pozwól mu urosnąć 5 razy, a następnie „cofnij się w czasie” do momentu, w którym pozostanie już tylko jedna trzecia tej kwoty, czyli uzyskasz wzrost 5/3. Ogólnie rzecz biorąc, okazuje się

ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Mam nadzieję, że dziwna arytmetyka logarytmów zaczyna mieć dla ciebie sens: mnożenie tempa wzrostu oznacza dodawanie jednostek czasu wzrostu, a dzielenie oznacza odejmowanie jednostek czasu. Nie musisz zapamiętywać zasad, spróbuj je zrozumieć.

Korzystanie z logarytmu naturalnego dla dowolnego wzrostu

Cóż, oczywiście” – mówisz – „wszystko jest w porządku, jeśli wzrost wynosi 100%, ale co z tymi 5%, które dostaję?”

Bez problemu. „Czas”, który obliczamy za pomocą ln(), jest w rzeczywistości kombinacją stopy procentowej i czasu, tym samym X z równania ex. Postanowiliśmy dla uproszczenia ustawić wartość procentową na 100%, ale możemy dowolnie używać dowolnych liczb.

Powiedzmy, że chcemy osiągnąć 30-krotny wzrost: weź ln(30) i uzyskaj 3,4. Oznacza to:

mi x = wzrost
mi 3,4 = 30

Oczywiście to równanie oznacza, że „100% zwrotu w ciągu 3,4 roku daje 30-krotny wzrost”. Równanie to możemy zapisać w następujący sposób:

e x = e stawka*czas
e 100% * 3,4 roku = 30

Możemy zmienić wartości „zakładu” i „czasu”, o ile zakład * czas pozostaje 3,4. Na przykład, jeśli interesuje nas 30-krotny wzrost, jak długo będziemy musieli czekać przy stopie procentowej wynoszącej 5%?

ln(30) = 3,4
stawka * czas = 3,4
0,05 * czas = 3,4
czas = 3,4 / 0,05 = 68 lat

Rozumuję w ten sposób: „ln(30) = 3,4, więc przy 100% wzroście zajmie to 3,4 roku. Jeśli podwoję tempo wzrostu, wymagany czas zmniejszy się o połowę”.

100% przez 3,4 roku = 1,0 * 3,4 = 3,4
200% w ciągu 1,7 roku = 2,0 * 1,7 = 3,4
50% przez 6,8 roku = 0,5 * 6,8 = 3,4
5% powyżej 68 lat = 0,05 * 68 = 3,4.

Świetnie, prawda? Logarytm naturalny można stosować przy dowolnej stopie procentowej i czasie, ponieważ ich iloczyn pozostaje stały. Możesz przenosić wartości zmiennych tak bardzo, jak chcesz.

Fajny przykład: Reguła siedemdziesięciu dwóch

Reguła siedemdziesięciu dwóch to technika matematyczna, która pozwala oszacować, ile czasu zajmie podwojenie Twoich pieniędzy. Teraz go wydedukujemy (tak!), a ponadto spróbujemy zrozumieć jego istotę.

Ile czasu zajmie podwojenie pieniędzy przy oprocentowaniu 100% kapitalizowanym rocznie?

Ups. Użyliśmy logarytmu naturalnego w przypadku ciągłego wzrostu, a teraz mówisz o składaniu rocznym? Czy w takim przypadku ta formuła nie byłaby nieodpowiednia? Tak, ale w przypadku realnych stóp procentowych, takich jak 5%, 6%, a nawet 15%, różnica między roczną kapitalizacją a ciągłym wzrostem będzie niewielka. Zatem przybliżone oszacowanie działa, hm, z grubsza, więc będziemy udawać, że mamy całkowicie ciągły przyrost.

Teraz pytanie jest proste: jak szybko możesz podwoić swoją działalność przy 100% wzroście? ln(2) = 0,693. Podwojenie naszej kwoty przy ciągłym wzroście o 100% zajmuje 0,693 jednostki czasu (w naszym przypadku lat).

A co, jeśli stopa procentowa nie wynosi 100%, ale powiedzmy 5% lub 10%?

Łatwo! Ponieważ zakład * czas = 0,693, podwoimy kwotę:

stawka * czas = 0,693
czas = 0,693 / zakład

Okazuje się, że jeśli wzrost wyniesie 10%, podwojenie zajmie 0,693 / 0,10 = 6,93 roku.

Aby uprościć obliczenia, pomnóżmy obie strony przez 100 i wtedy będziemy mogli powiedzieć „10” zamiast „0,10”:

czas do podwojenia = 69,3 / zakład, gdzie zakład jest wyrażony w procentach.

Teraz nadszedł czas na podwojenie w tempie 5%, 69,3 / 5 = 13,86 lat. Jednak 69,3 nie jest najwygodniejszą dywidendą. Wybierzmy bliską liczbę 72, którą wygodnie jest podzielić przez 2, 3, 4, 6, 8 i inne liczby.

czas na podwojenie = 72 / zakład

co jest zasadą siedemdziesięciu dwóch. Wszystko jest zakryte.

Jeśli chcesz znaleźć czas na potrojenie, możesz użyć ln(3) ~ 109,8 i uzyskać

czas na potrojenie = 110 / zakład

To kolejna przydatna zasada. „Zasada 72” ma zastosowanie do wzrostu stóp procentowych, wzrostu populacji, kultur bakteryjnych i wszystkiego, co rośnie wykładniczo.

Co dalej?

Mamy nadzieję, że logarytm naturalny ma teraz dla ciebie sens — pokazuje, ile czasu potrzeba, aby dowolna liczba wzrosła wykładniczo. Myślę, że nazywa się to naturalnym, ponieważ e jest uniwersalną miarą wzrostu, więc ln można uznać za uniwersalny sposób określenia czasu potrzebnego na wzrost.

Za każdym razem, gdy zobaczysz ln(x), pamiętaj „czas potrzebny na wzrost X razy”. W nadchodzącym artykule opiszę e i ln w połączeniu, aby świeży zapach matematyki wypełnił powietrze.

Dodatek: Logarytm naturalny e

Szybki quiz: co to jest ln(e)?

robot matematyczny powie: skoro są one zdefiniowane jako wzajemne odwrotności, oczywiste jest, że ln(e) = 1.
rozumiejąca osoba: ln(e) to liczba czasu potrzebna do wzrostu „e” razy (około 2,718). Jednak sama liczba e jest miarą wzrostu o współczynnik 1, więc ln(e) = 1.

Jasno myśleć.

9 września 2013 r

Lekcja i prezentacja na tematy: „Logarity naturalne. Podstawa logarytmu naturalnego. Logarytm liczby naturalnej”

Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, recenzji i życzeń! Wszystkie materiały zostały sprawdzone programem antywirusowym.

Pomoce dydaktyczne i symulatory w sklepie internetowym Integral dla klasy 11
Podręcznik interaktywny dla klas 9–11 „Trygonometria”
Podręcznik interaktywny dla klas 10–11 „Logarity”

Co to jest logarytm naturalny

Kochani, na ostatniej lekcji nauczyliśmy się nowej, specjalnej liczby - e. Dzisiaj będziemy kontynuować pracę z tą liczbą.
Uczyliśmy się logarytmów i wiemy, że podstawą logarytmu może być wiele liczb większych niż 0. Dzisiaj przyjrzymy się również logarytmowi, którego podstawą jest liczba e. Taki logarytm nazywany jest zwykle logarytmem naturalnym. Ma swoją własną notację: $\ln(n)$ to logarytm naturalny. Ten wpis jest odpowiednikiem wpisu: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Funkcje wykładnicze i logarytmiczne są odwrotnościami, wówczas logarytm naturalny jest odwrotnością funkcji: $y=e^x$.
Funkcje odwrotne są symetryczne względem prostej $y=x$.
Wykreślmy logarytm naturalny, wykreślając funkcję wykładniczą względem prostej $y=x$.

Warto zauważyć, że kąt nachylenia stycznej do wykresu funkcji $y=e^x$ w punkcie (0;1) wynosi 45°. Wtedy kąt nachylenia stycznej do wykresu logarytmu naturalnego w punkcie (1;0) również będzie równy 45°. Obie te styczne będą równoległe do prostej $y=x$. Narysujmy styczne:

Własności funkcji $y=\ln(x)$

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. Nie jest ani parzysty, ani nieparzysty.
3. Przyrosty w całym zakresie definicji.
4. Nieograniczony z góry, nieograniczony z dołu.
5. Nie ma wartości największej ani wartości minimalnej.
6. Ciągłe.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Wypukły ku górze.
9. Różniczkowo wszędzie.

Udowodniono to w trakcie matematyki wyższej pochodna funkcji odwrotnej jest odwrotnością pochodnej danej funkcji.
Nie ma sensu zagłębiać się w dowód, napiszmy po prostu wzór: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

Przykład.
Oblicz wartość pochodnej funkcji: $y=\ln(2x-7)$ w punkcie $x=4$.
Rozwiązanie.
Generalnie naszą funkcję reprezentuje funkcja $y=f(kx+m)$, możemy obliczyć pochodne takich funkcji.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Obliczmy wartość pochodnej w wymaganym punkcie: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Odpowiedź: 2.

Przykład.
Narysuj styczną do wykresu funkcji $y=ln(x)$ w punkcie $х=е$.
Rozwiązanie.
Dobrze pamiętamy równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie $x=a$.
$y=f(a)+f”(a)(x-a)$.
Kolejno obliczamy wymagane wartości.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
Równanie styczne w punkcie $x=e$ jest funkcją $y=\frac(x)(e)$.
Narysujmy logarytm naturalny i linię styczną.

Przykład.
Zbadaj funkcję pod kątem monotoniczności i ekstremów: $y=x^6-6*ln(x)$.
Rozwiązanie.
Dziedzina definicji funkcji $D(y)=(0;+∞)$.
Znajdźmy pochodną danej funkcji:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Pochodna istnieje dla każdego x z dziedziny definicji, wówczas nie ma punktów krytycznych. Znajdźmy punkty stacjonarne:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
6 USD* x ^ 6-6 = 0 USD.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
Punkt $х=-1$ nie należy do dziedziny definicji. Wtedy mamy jeden punkt stacjonarny $x=1$. Znajdźmy przedziały zwiększania i zmniejszania:

Punkt $x=1$ jest punktem minimalnym, wówczas $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Odpowiedź: Funkcja maleje na odcinku (0;1], funkcja rośnie na półprostej $)