Least common multiple (LCM): kahulugan, mga halimbawa at katangian. Paano mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng dalawang numero

Ngunit maraming natural na numero ang pantay na nahahati ng iba pang natural na numero.

Halimbawa:

Ang bilang na 12 ay nahahati ng 1, ng 2, ng 3, ng 4, ng 6, ng 12;

Ang bilang na 36 ay nahahati ng 1, ng 2, ng 3, ng 4, ng 6, ng 12, ng 18, ng 36.

Ang mga numero kung saan ang numero ay nahahati (para sa 12 ito ay 1, 2, 3, 4, 6 at 12) ay tinatawag mga divisors ng numero. Divisor ng isang natural na numero a ay ang natural na bilang na naghahati binigay na numero a walang bakas. Ang isang natural na numero na may higit sa dalawang mga kadahilanan ay tinatawag pinagsama-sama .

Tandaan na ang mga numero 12 at 36 ay may mga karaniwang divisors. Ito ang mga numero: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ang pinakamalaking divisor ng mga numerong ito ay 12. Ang karaniwang divisor ng dalawang numerong ito a at b ay ang bilang kung saan ang parehong ibinigay na mga numero ay nahahati nang walang natitira a at b.

karaniwang maramihan ilang mga numero ang tinatawag na bilang na nahahati sa bawat isa sa mga numerong ito. Halimbawa, ang mga numerong 9, 18 at 45 ay may common multiple na 180. Ngunit 90 at 360 din ang kanilang common multiple. Sa lahat ng jcommon multiples, palaging may pinakamaliit, sa kasong ito ito ay 90. Ang numerong ito ay tinatawag hindi bababa sacommon multiple (LCM).

Ang LCM ay palaging isang natural na numero, na dapat na mas malaki kaysa sa pinakamalaki sa mga numero kung saan ito tinukoy.

Least common multiple (LCM). Ari-arian.

Commutativity:

Pagkakaisa:

Sa partikular, kung at mga coprime na numero , kung gayon:

Hindi bababa sa karaniwang maramihang ng dalawang integer m at n ay isang divisor ng lahat ng iba pang common multiples m at n. Bukod dito, ang hanay ng mga karaniwang multiple m,n tumutugma sa hanay ng mga multiple para sa LCM( m,n).

Ang mga asymptotics para sa ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng ilang mga function ng number-theoretic.

Kaya, Pag-andar ng Chebyshev. Pati na rin ang:

Ito ay sumusunod mula sa kahulugan at mga katangian ng Landau function g(n).

Ano ang sumusunod mula sa batas ng pamamahagi ng mga prime number.

Paghahanap ng least common multiple (LCM).

NOC( a, b) ay maaaring kalkulahin sa maraming paraan:

1. Kung kilala ang pinakamalaking karaniwang divisor, maaari mong gamitin ang kaugnayan nito sa LCM:

2. Hayaang malaman ang canonical decomposition ng parehong mga numero sa prime factor:

saan p 1 ,...,p k ay iba't ibang prime number, at d 1 ,...,d k at e 1 ,...,ek ay mga di-negatibong integer (maaari silang maging zero kung ang kaukulang prime ay wala sa decomposition).

Pagkatapos LCM ( a,b) ay kinakalkula ng formula:

Sa madaling salita, ang pagpapalawak ng LCM ay naglalaman ng lahat ng pangunahing salik na kasama sa kahit isa sa mga pagpapalawak ng numero a, b, at ang pinakamalaki sa dalawang exponent ng salik na ito ay kinuha.

Halimbawa:

Ang pagkalkula ng hindi bababa sa karaniwang multiple ng ilang numero ay maaaring bawasan sa ilang sunud-sunod na kalkulasyon ng LCM ng dalawang numero:

Panuntunan. Upang mahanap ang LCM ng isang serye ng mga numero, kailangan mo:

- mabulok ang mga numero sa pangunahing mga kadahilanan;

- ilipat ang pinakamalaking pagpapalawak sa mga kadahilanan ng nais na produkto (ang produkto ng mga kadahilanan ng isang malaking bilang mula sa mga ibinigay), at pagkatapos ay magdagdag ng mga kadahilanan mula sa pagkabulok ng iba pang mga numero na hindi nangyayari sa unang numero o nasa loob nito ng mas maliit na bilang ng beses;

- ang magreresultang produkto ng prime factor ay ang LCM ng mga ibinigay na numero.

Anumang dalawa o higit pa natural na mga numero may sariling NOC. Kung ang mga numero ay hindi multiple ng bawat isa o walang parehong mga salik sa pagpapalawak, ang kanilang LCM ay katumbas ng produkto ng mga numerong ito.

Ang mga pangunahing salik ng numerong 28 (2, 2, 7) ay dinagdagan ng salik na 3 (bilang 21), ang resultang produkto (84) ang magiging pinakamaliit na bilang na mahahati ng 21 at 28.

Ang mga pangunahing kadahilanan ng pinakamalaking bilang 30 ay dinagdagan ng isang kadahilanan na 5 ng bilang 25, ang nagresultang produkto 150 ay mas malaki kaysa sa pinakamalaking bilang 30 at nahahati sa lahat ng ibinigay na mga numero nang walang natitira. Ito ang pinakamaliit na posibleng produkto (150, 250, 300...) na ang lahat ng ibinigay na numero ay multiple.

Ang mga numerong 2,3,11,37 ay prime, kaya ang kanilang LCM ay katumbas ng produkto ng mga ibinigay na numero.

tuntunin. Upang kalkulahin ang LCM ng mga prime number, kailangan mong i-multiply ang lahat ng mga numerong ito nang sama-sama.

Iba pang Pagpipilian:

Upang mahanap ang least common multiple (LCM) ng ilang numero kailangan mo:

1) kinakatawan ang bawat numero bilang produkto ng mga pangunahing salik nito, halimbawa:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) isulat ang mga kapangyarihan ng lahat ng pangunahing mga kadahilanan:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) isulat ang lahat ng prime divisors (multipliers) ng bawat isa sa mga numerong ito;

4) piliin ang pinakamalaking antas ng bawat isa sa kanila, na makikita sa lahat ng pagpapalawak ng mga numerong ito;

5) paramihin ang mga kapangyarihang ito.

Halimbawa. Hanapin ang LCM ng mga numero: 168, 180 at 3024.

Solusyon. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Isinulat namin ang pinakamalaking kapangyarihan ng lahat ng pangunahing divisors at i-multiply ang mga ito:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Ang materyal na ipinakita sa ibaba ay isang lohikal na pagpapatuloy ng teorya mula sa artikulo sa ilalim ng heading na LCM - least common multiple, kahulugan, mga halimbawa, relasyon sa pagitan ng LCM at GCD. Dito natin pag-uusapan paghahanap ng least common multiple (LCM), at Espesyal na atensyon Tingnan natin ang mga halimbawa. Ipakita muna natin kung paano kinakalkula ang LCM ng dalawang numero sa mga tuntunin ng GCD ng mga numerong ito. Susunod, isaalang-alang ang paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang maramihang sa pamamagitan ng pag-factor ng mga numero sa prime factor. Pagkatapos nito, tututukan namin ang paghahanap ng LCM ng tatlo o higit pang mga numero, at bibigyan din ng pansin ang pagkalkula ng LCM ng mga negatibong numero.

Pag-navigate sa pahina.

Pagkalkula ng least common multiple (LCM) sa pamamagitan ng gcd

Ang isang paraan upang mahanap ang least common multiple ay batay sa relasyon sa pagitan ng LCM at GCD. Kasalukuyang koneksyon sa pagitan ng LCM at GCD ay nagbibigay-daan sa iyong kalkulahin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng dalawang positive integer sa pamamagitan ng kilalang pinakadakilang karaniwang divisor. Ang kaukulang formula ay may anyo LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Isaalang-alang ang mga halimbawa ng paghahanap ng LCM ayon sa formula sa itaas.

Halimbawa.

Hanapin ang least common multiple ng dalawang numero 126 at 70 .

Solusyon.

Sa halimbawang ito a=126 , b=70 . Gamitin natin ang kaugnayan sa pagitan ng LCM at GCD na ipinahayag ng formula LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Iyon ay, una kailangan nating hanapin ang pinakadakilang karaniwang divisor ng mga numero 70 at 126, pagkatapos nito ay maaari nating kalkulahin ang LCM ng mga numerong ito ayon sa nakasulat na formula.

Hanapin ang gcd(126, 70) gamit ang algorithm ni Euclid: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , kaya gcd(126, 70)=14 .

Ngayon nakita namin ang kinakailangang hindi bababa sa karaniwang maramihang: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14=630 .

Sagot:

LCM(126, 70)=630 .

Halimbawa.

Ano ang LCM(68, 34) ?

Solusyon.

kasi Ang 68 ay pantay na nahahati ng 34 , pagkatapos ay gcd(68, 34)=34 . Ngayon kinakalkula namin ang hindi bababa sa karaniwang maramihang: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .

Sagot:

LCM(68, 34)=68 .

Tandaan na ang nakaraang halimbawa ay umaangkop sa sumusunod na panuntunan para sa paghahanap ng LCM para sa mga positibong integer na a at b : kung ang numero a ay nahahati sa b , kung gayon ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numerong ito ay a .

Paghahanap ng LCM sa pamamagitan ng Factoring Numbers into Prime Factors

Ang isa pang paraan upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ay batay sa mga numero ng factoring sa prime factor. Kung gagawin namin ang isang produkto ng lahat ng prime factor ng mga numerong ito, pagkatapos nito ay ibubukod namin mula sa produktong ito ang lahat ng karaniwang prime factor na naroroon sa mga pagpapalawak ng mga numerong ito, ang resultang produkto ay magiging katumbas ng hindi bababa sa common multiple ng mga numerong ito.

Ang inihayag na panuntunan para sa paghahanap ng LCM ay sumusunod sa pagkakapantay-pantay LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Sa katunayan, ang produkto ng mga numerong a at b ay katumbas ng produkto ng lahat ng mga salik na kasangkot sa pagpapalawak ng mga numerong a at b. Sa turn, gcd(a, b) ay katumbas ng produkto lahat ng prime factor na sabay-sabay na naroroon sa pagpapalawak ng mga numerong a at b (na inilalarawan sa seksyon sa paghahanap ng GCD gamit ang decomposition ng mga numero sa prime factor).

Kumuha tayo ng isang halimbawa. Ipaalam sa amin na 75=3 5 5 at 210=2 3 5 7 . Buuin ang produkto ng lahat ng salik ng mga pagpapalawak na ito: 2 3 3 5 5 5 7 . Ngayon ay ibinubukod namin mula sa produktong ito ang lahat ng mga kadahilanan na naroroon kapwa sa pagpapalawak ng numero 75 at sa pagpapalawak ng bilang 210 (ang mga naturang kadahilanan ay 3 at 5), pagkatapos ay kukuha ang produkto sa anyo 2 3 5 5 7 . Ang halaga ng produktong ito ay katumbas ng hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero 75 at 210, iyon ay, LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Halimbawa.

Pagkatapos i-factor ang mga numerong 441 at 700 sa prime factor, hanapin ang least common multiple ng mga numerong ito.

Solusyon.

I-decompose natin ang mga numerong 441 at 700 sa prime factors:

Nakukuha natin ang 441=3 3 7 7 at 700=2 2 5 5 7 .

Ngayon, gumawa tayo ng produkto ng lahat ng mga salik na kasangkot sa pagpapalawak ng mga bilang na ito: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Ibukod natin sa produktong ito ang lahat ng mga salik na sabay-sabay na naroroon sa parehong mga pagpapalawak (mayroong isa lamang salik na ito - ito ang numero 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Sa ganitong paraan, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Sagot:

LCM(441, 700)= 44 100 .

Ang panuntunan para sa paghahanap ng LCM gamit ang decomposition ng mga numero sa prime factor ay maaaring mabuo nang medyo naiiba. Kung idaragdag natin ang mga nawawalang salik mula sa pagpapalawak ng bilang b sa mga salik mula sa pagpapalawak ng bilang a, kung gayon ang halaga ng resultang produkto ay magiging katumbas ng hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numerong a at b.

Halimbawa, kunin natin ang lahat ng parehong numero 75 at 210, ang kanilang mga pagpapalawak sa prime factor ay ang mga sumusunod: 75=3 5 5 at 210=2 3 5 7 . Sa mga salik 3, 5 at 5 mula sa agnas ng numerong 75, idinaragdag namin ang nawawalang mga salik 2 at 7 mula sa agnas ng numerong 210, nakukuha namin ang produkto 2 3 5 5 7 , ang halaga nito ay LCM(75). , 210).

Halimbawa.

Hanapin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng 84 at 648.

Solusyon.

Una nating makuha ang agnas ng mga numerong 84 at 648 sa pangunahing mga kadahilanan. Sila ay parang 84=2 2 3 7 at 648=2 2 2 3 3 3 3 . Sa mga salik 2 , 2 , 3 at 7 mula sa agnas ng numerong 84 idinaragdag namin ang nawawalang salik 2 , 3 , 3 at 3 mula sa agnas ng numerong 648 , nakukuha namin ang produkto 2 2 2 3 3 3 3 7 , na katumbas ng 4 536 . Kaya, ang nais na hindi bababa sa karaniwang maramihang ng mga numero 84 at 648 ay 4,536.

Sagot:

LCM(84, 648)=4 536 .

Paghahanap ng LCM ng tatlo o higit pang mga numero

Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng tatlo o higit pang mga numero ay makikita sa pamamagitan ng sunud-sunod na paghahanap ng LCM ng dalawang numero. Alalahanin ang kaukulang theorem, na nagbibigay ng paraan upang mahanap ang LCM ng tatlo o higit pang mga numero.

Teorama.

Hayaang ibigay ang mga positive integer a 1 , a 2 , …, a k, ang hindi bababa sa karaniwang multiple m k ng mga numerong ito ay makikita sa sequential kalkulasyon m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2, a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Isaalang-alang ang aplikasyon ng theorem na ito sa halimbawa ng paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang maramihang ng apat na numero.

Halimbawa.

Hanapin ang LCM ng apat na numero 140 , 9 , 54 at 250 .

Solusyon.

Sa halimbawang ito a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 .

Una naming mahanap m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Upang gawin ito, gamit ang Euclidean algorithm, tinutukoy namin ang gcd(140, 9) , mayroon kaming 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , samakatuwid, gcd( 140, 9)=1 , kung saan LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Ibig sabihin, m 2 =1 260 .

Ngayon nahanap namin m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Kalkulahin natin ito sa pamamagitan ng gcd(1 260, 54) , na tinutukoy din ng Euclid algorithm: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Pagkatapos gcd(1 260, 54)=18 , kung saan LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Iyon ay, m 3 \u003d 3 780.

Kaliwa para hanapin m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Upang gawin ito, makikita natin ang GCD(3 780, 250) gamit ang Euclid algorithm: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Samakatuwid, gcd(3 780, 250)=10 , kung saan gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Iyon ay, m 4 \u003d 94 500.

Kaya ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng orihinal na apat na numero ay 94,500.

Sagot:

LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.

Sa maraming mga kaso, ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng tatlo o higit pang mga numero ay madaling makita gamit ang mga prime factorization ng mga ibinigay na numero. Sa kasong ito, dapat sundin ang sumusunod na patakaran. Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng ilang mga numero ay katumbas ng produkto, na binubuo ng mga sumusunod: ang nawawalang mga salik mula sa pagpapalawak ng pangalawang numero ay idinaragdag sa lahat ng mga salik mula sa pagpapalawak ng unang numero, ang nawawalang mga salik mula sa pagpapalawak ng ang ikatlong numero ay idinagdag sa nakuha na mga kadahilanan, at iba pa.

Isaalang-alang ang isang halimbawa ng paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang maramihang gamit ang decomposition ng mga numero sa prime factor.

Halimbawa.

Hanapin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng limang numero 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Solusyon.

Una, nakukuha natin ang mga pagpapalawak ng mga numerong ito sa prime factor: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 prime factor) at 143=11 13 .

Upang mahanap ang LCM ng mga numerong ito, sa mga salik ng unang numero 84 (sila ay 2 , 2 , 3 at 7 ) kailangan mong idagdag ang nawawalang mga salik mula sa pagpapalawak ng pangalawang numero 6 . Ang pagpapalawak ng numero 6 ay hindi naglalaman ng mga nawawalang mga kadahilanan, dahil ang parehong 2 at 3 ay naroroon na sa pagpapalawak ng unang numero 84 . Dagdag pa sa mga salik 2 , 2 , 3 at 7 idinaragdag namin ang nawawalang salik 2 at 2 mula sa pagpapalawak ng ikatlong numero 48 , nakakakuha kami ng isang hanay ng mga salik 2 , 2 , 2 , 2 , 3 at 7 . Hindi na kailangang magdagdag ng mga salik sa set na ito sa susunod na hakbang, dahil ang 7 ay nakapaloob na dito. Sa wakas, sa mga salik 2 , 2 , 2 , 2 , 3 at 7 idinaragdag namin ang nawawalang salik 11 at 13 mula sa pagpapalawak ng bilang na 143 . Nakukuha namin ang produkto 2 2 2 2 3 7 11 13 , na katumbas ng 48 048 .

Ang multiple ng isang numero ay isang numero na nahahati sa isang naibigay na numero nang walang natitira. Ang least common multiple (LCM) ng isang pangkat ng mga numero ay ang pinakamaliit na bilang na pantay na nahahati ng bawat numero sa pangkat. Upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang, kailangan mong hanapin ang mga pangunahing kadahilanan ng mga ibinigay na numero. Gayundin, maaaring kalkulahin ang LCM gamit ang ilang iba pang mga pamamaraan na naaangkop sa mga pangkat ng dalawa o higit pang mga numero.

Mga hakbang

Isang serye ng mga multiple

Tingnan ang mga numerong ito. Ang pamamaraang inilarawan dito ay pinakamahusay na ginagamit kapag ang dalawang numero ay ibinigay, bawat isa ay mas mababa sa 10. Kung ibinigay malalaking numero, gumamit ng ibang paraan.

• Halimbawa, hanapin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero 5 at 8. Ang mga ito ay maliliit na numero, kaya maaaring gamitin ang paraang ito.

1. Ang multiple ng isang numero ay isang numero na nahahati sa isang naibigay na numero nang walang natitira. Maramihang mga numero ay matatagpuan sa talahanayan ng pagpaparami.

   • Halimbawa, ang mga numero na multiple ng 5 ay: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Isulat ang isang serye ng mga numero na multiple ng unang numero. Gawin ito sa ilalim ng multiple ng unang numero upang paghambingin ang dalawang hanay ng mga numero.

   • Halimbawa, ang mga numero na multiple ng 8 ay: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, at 64.

3. Hanapin ang pinakamaliit na numero na lumilitaw sa parehong serye ng mga multiple. Maaaring kailanganin mong magsulat ng mahabang serye ng mga multiple upang mahanap kabuuang bilang. Ang pinakamaliit na numero na lumilitaw sa parehong serye ng mga multiple ay ang hindi bababa sa karaniwang maramihang.

   • Halimbawa, ang pinakamaliit na numero na lumilitaw sa serye ng mga multiple ng 5 at 8 ay 40. Samakatuwid, ang 40 ay ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng 5 at 8.

   Prime factorization

   1. Tingnan ang mga numerong ito. Ang pamamaraang inilarawan dito ay pinakamahusay na ginagamit kapag binigyan ng dalawang numero na parehong mas malaki sa 10. Kung mas maliit na mga numero ang ibinigay, gumamit ng ibang paraan.

      • Halimbawa, hanapin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero 20 at 84. Ang bawat isa sa mga numero ay mas malaki sa 10, kaya maaaring gamitin ang paraang ito.

   2. I-factor ang unang numero. Iyon ay, kailangan mong hanapin ang mga naturang prime number, kapag pinarami, makakakuha ka ng isang naibigay na numero. Kapag natagpuan ang pangunahing mga kadahilanan, isulat ang mga ito bilang isang pagkakapantay-pantay.

      • Halimbawa, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20) at 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Kaya, ang mga pangunahing kadahilanan ng bilang 20 ay ang mga numero 2, 2 at 5. Isulat ang mga ito bilang isang expression: .

   3. I-factor ang pangalawang numero sa prime factor. Gawin ito sa parehong paraan tulad ng pag-factor mo sa unang numero, iyon ay, hanapin ang mga prime number na, kapag pinarami, ay makakakuha ng numerong ito.

      • Halimbawa, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42) at 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Kaya, ang mga pangunahing kadahilanan ng bilang 84 ay ang mga numero 2, 7, 3 at 2. Isulat ang mga ito bilang isang expression: .

   4. Isulat ang mga salik na karaniwan sa parehong mga numero. Isulat ang mga salik bilang pagpaparami. Habang isinusulat mo ang bawat salik, ekis ito sa parehong mga expression (mga expression na naglalarawan sa pagkabulok ng mga numero sa mga pangunahing kadahilanan).

      • Halimbawa, ang karaniwang kadahilanan para sa parehong mga numero ay 2, kaya isulat 2 × (\displaystyle 2\beses ) at ekis ang 2 sa parehong expression.
      • Ang karaniwang kadahilanan para sa parehong mga numero ay isa pang kadahilanan ng 2, kaya sumulat 2 × 2 (\displaystyle 2\beses 2) at ekis ang pangalawang 2 sa parehong mga expression.

   5. Idagdag ang natitirang mga kadahilanan sa pagpaparami. Ito ang mga salik na hindi natatanggal sa parehong mga expression, iyon ay, mga salik na hindi karaniwan sa parehong mga numero.

      • Halimbawa, sa expression 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\beses 2\beses 5) parehong dalawa (2) ang ekis dahil ang mga ito ay karaniwang mga kadahilanan. Ang kadahilanan 5 ay hindi na-cross out, kaya isulat ang pagpaparami ng operasyon tulad ng sumusunod: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\beses 2\beses 5)
      • Sa ekspresyon 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\beses 7\beses 3\beses 2) parehong deuces (2) ay ekis din. Ang mga salik 7 at 3 ay hindi natatanggal, kaya isulat ang pagpaparami bilang sumusunod: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).

   6. Kalkulahin ang hindi bababa sa karaniwang maramihang. Upang gawin ito, i-multiply ang mga numero sa nakasulat na multiplication operation.

      • Halimbawa, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\beses 2\beses 5\beses 7\beses 3=420). Kaya ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng 20 at 84 ay 420.

   Paghahanap ng mga karaniwang divisors

   1. Gumuhit ng grid tulad ng gagawin mo para sa isang laro ng tic-tac-toe. Ang nasabing grid ay binubuo ng dalawang parallel na linya na nagsa-intersect (sa tamang mga anggulo) sa dalawang iba pang parallel na linya. Magreresulta ito sa tatlong row at tatlong column (ang grid ay kamukha ng # sign). Isulat ang unang numero sa unang hanay at ikalawang hanay. Isulat ang pangalawang numero sa unang hanay at ikatlong hanay.

      • Halimbawa, hanapin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng 18 at 30. Isulat ang 18 sa unang hanay at ikalawang hanay, at isulat ang 30 sa unang hanay at ikatlong hanay.

   2. Hanapin ang divisor na karaniwan sa parehong mga numero. Isulat ito sa unang hanay at unang hanay. Mas mainam na maghanap ng mga pangunahing divisors, ngunit hindi ito isang kinakailangan.

      • Halimbawa, ang 18 at 30 ay mga numerong pantay, kaya ang kanilang karaniwang divisor ay 2. Kaya't isulat ang 2 sa unang hanay at unang hanay.

   3. Hatiin ang bawat numero sa unang divisor. Isulat ang bawat quotient sa ilalim ng katumbas na numero. Ang quotient ay ang resulta ng paghahati ng dalawang numero.

      • Halimbawa, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), kaya sumulat ng 9 sa ilalim ng 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), kaya sumulat ng 15 sa ilalim ng 30.

   4. Maghanap ng divisor na karaniwan sa parehong quotient. Kung walang ganoong divisor, laktawan ang susunod na dalawang hakbang. Kung hindi, isulat ang divisor sa ikalawang hanay at unang hanay.

      • Halimbawa, ang 9 at 15 ay nahahati sa 3, kaya isulat ang 3 sa pangalawang hanay at unang hanay.

   5. Hatiin ang bawat quotient sa pangalawang divisor. Isulat ang bawat resulta ng paghahati sa ilalim ng katumbas na quotient.

      • Halimbawa, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), kaya sumulat ng 3 sa ilalim ng 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), kaya sumulat ng 5 sa ilalim ng 15.

   6. Kung kinakailangan, dagdagan ang grid na may karagdagang mga cell. Ulitin ang mga hakbang sa itaas hanggang sa magkaroon ng karaniwang divisor ang mga quotient.

   7. Bilugan ang mga numero sa unang hanay at huling hilera ng grid. Pagkatapos ay isulat ang mga naka-highlight na numero bilang isang multiplication operation.

      • Halimbawa, ang mga numero 2 at 3 ay nasa unang hanay, at ang mga numero 3 at 5 ay nasa huling hilera, kaya't isulat ang pagpaparami nang ganito: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\beses 3\beses 3\beses 5).

   8. Hanapin ang resulta ng pagpaparami ng mga numero. Kakalkulahin nito ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng dalawang ibinigay na numero.

      • Halimbawa, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\beses 3\beses 3\beses 5=90). Kaya ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng 18 at 30 ay 90.

   Ang algorithm ni Euclid

   1. Alalahanin ang terminolohiya na nauugnay sa operasyon ng paghahati. Ang dibidendo ay ang bilang na hinahati. Ang divisor ay ang numero kung saan hahatiin. Ang quotient ay ang resulta ng paghahati ng dalawang numero. Ang natitira ay ang numerong natitira kapag hinati ang dalawang numero.

      • Halimbawa, sa expression 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) magpahinga. 3:
        15 ang mahahati
        6 ang divisor
        2 ay pribado
        3 ang natitira.

Simulan nating pag-aralan ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng dalawa o higit pang mga numero. Sa seksyon, magbibigay kami ng kahulugan ng termino, isaalang-alang ang isang theorem na nagtatatag ng isang relasyon sa pagitan ng hindi bababa sa karaniwang maramihang at ang pinakamalaking karaniwang divisor, at magbibigay ng mga halimbawa ng paglutas ng mga problema.

Common multiples - kahulugan, mga halimbawa

Sa paksang ito, magiging interesado lamang kami sa mga karaniwang multiple ng integer maliban sa zero.

Kahulugan 1

Common multiple ng integers ay isang integer na isang multiple ng lahat ng ibinigay na numero. Sa katunayan, ito ay anumang integer na maaaring hatiin ng alinman sa mga ibinigay na numero.

Ang kahulugan ng common multiples ay tumutukoy sa dalawa, tatlo, o higit pang mga integer.

Halimbawa 1

Ayon sa ibinigay na kahulugan sa itaas para sa bilang na 12, ang mga karaniwang multiple ay 3 at 2. Gayundin ang numerong 12 ay magiging isang karaniwang multiple ng mga numerong 2, 3 at 4. Ang mga numerong 12 at -12 ay karaniwang multiple ng mga numero ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

Kasabay nito, ang common multiple para sa mga numero 2 at 3 ay ang mga numerong 12 , 6 , − 24 , 72 , 468 , − 100 010 004 at isang numero ng anumang iba pa.

Kung kukuha kami ng mga numero na nahahati sa unang numero ng isang pares at hindi nahahati sa pangalawa, kung gayon ang mga numerong iyon ay hindi magiging common multiple. Kaya, para sa mga numero 2 at 3, ang mga numero 16 , − 27 , 5009 , 27001 ay hindi magiging common multiple.

Ang 0 ay isang karaniwang multiple ng anumang hanay ng mga non-zero integer.

Kung ating aalalahanin ang ari-arian ng divisibility na may kinalaman sa magkasalungat na numero, pagkatapos ay lumalabas na ang ilang integer k ay magiging isang karaniwang multiple ng mga numerong ito sa parehong paraan tulad ng numero - k . Nangangahulugan ito na ang mga karaniwang divisors ay maaaring maging positibo o negatibo.

Posible bang makahanap ng LCM para sa lahat ng numero?

Ang common multiple ay makikita para sa anumang integer.

Halimbawa 2

Kumbaga bibigyan tayo k mga integer a 1 , a 2 , … , a k. Ang bilang na nakukuha natin sa panahon ng pagpaparami ng mga numero a 1 a 2 … a k ayon sa divisibility property, hahatiin ito ng bawat isa sa mga salik na kasama sa orihinal na produkto. Nangangahulugan ito na ang produkto ng mga numero a 1 , a 2 , … , a k ay ang pinakamaliit na karaniwang multiple ng mga numerong ito.

Ilang karaniwang multiple ang maaaring magkaroon ng mga integer na ito?

Ang isang pangkat ng mga integer ay maaaring magkaroon malaking bilang ng karaniwang maramihan. Sa katunayan, ang kanilang bilang ay walang hanggan.

Halimbawa 3

Ipagpalagay na mayroon kaming ilang numero k . Pagkatapos ang produkto ng mga numero k · z , kung saan ang z ay isang integer, ay magiging isang karaniwang multiple ng mga numero k at z . Dahil ang bilang ng mga numero ay walang katapusan, ang bilang ng mga karaniwang multiple ay walang katapusan.

Least Common Multiple (LCM) - Kahulugan, Simbolo at Mga Halimbawa

Tandaan natin ang konsepto ang pinakamaliit na bilang mula sa isang ibinigay na hanay ng mga numero, na aming isinasaalang-alang sa seksyong Paghahambing ng mga Integer. Sa pag-iisip ng konseptong ito, bumalangkas tayo ng kahulugan ng least common multiple, na may pinakamalaking praktikal na halaga sa lahat ng common multiple.

Kahulugan 2

Pinakamababang karaniwang multiple ng mga ibinigay na integer ay ang hindi bababa sa positibong common multiple ng mga numerong ito.

Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ay umiiral para sa anumang bilang ng mga ibinigay na numero. Ang abbreviation na NOK ay ang pinakakaraniwang ginagamit upang magtalaga ng isang konsepto sa reference na literatura. Shorthand para sa Least Common Multiple para sa Mga Numero a 1 , a 2 , … , a k magiging parang LCM (a 1 , a 2 , … , a k).

Halimbawa 4

Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng 6 at 7 ay 42. Yung. LCM(6, 7) = 42. Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng apat na numero - 2 , 12 , 15 at 3 ay magiging katumbas ng 60 . Ang shorthand ay magiging LCM (- 2 , 12 , 15 , 3) ​​​​= 60 .

Hindi para sa lahat ng pangkat ng mga ibinigay na numero, ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ay halata. Kadalasan kailangan itong kalkulahin.

Relasyon sa pagitan ng NOC at NOD

Ang hindi bababa sa karaniwang maramihang at ang pinakamalaking karaniwang divisor ay magkakaugnay. Ang relasyon sa pagitan ng mga konsepto ay itinatag ng teorama.

Teorama 1

Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng dalawang positibong integer a at b ay katumbas ng produkto ng mga numerong a at b na hinati ng pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong a at b , ibig sabihin, LCM (a , b) = a b: gcd (a , b).

Patunay 1

Ipagpalagay na mayroon kaming ilang numero M na isang maramihang mga numero a at b . Kung ang numerong M ay nahahati sa a , mayroon ding ilang integer z , sa ilalim kung saan ang pagkakapantay-pantay M = isang k. Ayon sa kahulugan ng divisibility, kung ang M ay nahahati din ng b, kaya pagkatapos isang k hinati ng b.

Kung magpapakilala kami ng bagong notasyon para sa gcd (a , b) bilang d, pagkatapos ay magagamit natin ang mga pagkakapantay-pantay a = a 1 d at b = b 1 · d . Sa kasong ito, ang parehong pagkakapantay-pantay ay magiging magkapareho mga pangunahing numero.

Na-establish na namin sa itaas iyon isang k hinati ng b. Ngayon ang kundisyong ito ay maaaring isulat bilang mga sumusunod:
isang 1 d k hinati ng b 1 d, na katumbas ng kundisyon isang 1k hinati ng b 1 ayon sa mga katangian ng divisibility.

Ayon sa pag-aari ng medyo prime number, kung a 1 at b 1 ay parehong prime number, a 1 hindi mahahati ng b 1 sa kabila ng katotohanan na isang 1k hinati ng b 1, pagkatapos b 1 dapat ibahagi k.

Sa kasong ito, magiging angkop na ipagpalagay na mayroong isang numero t, para sa k = b 1 t, at mula noon b1=b:d, pagkatapos k = b: d t.

Ngayon sa halip na k ilagay sa pagkakapantay-pantay M = isang k pagpapahayag ng anyo b: d t. Ito ay nagpapahintulot sa amin na makarating sa pagkakapantay-pantay M = a b: d t. Sa t=1 maaari nating makuha ang hindi bababa sa positibong karaniwang multiple ng a at b , pantay isang b: d, sa kondisyon na ang mga numerong a at b positibo.

Kaya napatunayan namin na ang LCM (a , b) = a b: GCD (a,b).

Ang pagtatatag ng koneksyon sa pagitan ng LCM at GCD ay nagbibigay-daan sa iyong mahanap ang least common multiple sa pamamagitan ng pinakamalaking common divisor ng dalawa o higit pang ibinigay na numero.

Kahulugan 3

Ang teorama ay may dalawang mahalagang kahihinatnan:

• ang mga multiple ng hindi bababa sa karaniwang multiple ng dalawang numero ay kapareho ng mga karaniwang multiple ng dalawang numerong iyon;
• ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng coprime positive na mga numerong a at b ay katumbas ng kanilang produkto.

Hindi mahirap patunayan ang dalawang katotohanang ito. Anumang karaniwang multiple ng M na numero a at b ay tinutukoy ng pagkakapantay-pantay na M = LCM (a, b) t para sa ilang integer value na t. Dahil ang a at b ay coprime, kung gayon ang gcd (a, b) = 1, samakatuwid, LCM (a, b) = a b: gcd (a, b) = a b: 1 = a b.

Hindi bababa sa karaniwang multiple ng tatlo o higit pang mga numero

Upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng ilang mga numero, dapat mong sunud-sunod na hanapin ang LCM ng dalawang numero.

Teorama 2

Magpanggap na tayo a 1 , a 2 , … , a k ay ilang positibong integer. Upang kalkulahin ang LCM m k ang mga numerong ito, kailangan nating kalkulahin nang sunud-sunod m 2 = LCM(a 1 , a 2), m 3 = NOC(m 2 , a 3) , … , m k = NOC(m k - 1 , isang k) .

Patunay 2

Ang unang corollary ng unang theorem na tinalakay sa paksang ito ay makakatulong sa atin na patunayan ang kawastuhan ng pangalawang theorem. Ang pangangatwiran ay binuo ayon sa sumusunod na algorithm:

• karaniwang multiple ng mga numero a 1 at a 2 coincided with multiples ng kanilang LCM, in fact, they coincided with multiples of the number m2;
• karaniwang multiple ng mga numero a 1, a 2 at a 3 m2 at a 3 m 3;
• karaniwang multiple ng mga numero a 1 , a 2 , … , a k tumutugma sa karaniwang multiple ng mga numero m k - 1 at isang k, samakatuwid, ay tumutugma sa mga multiple ng numero m k;
• dahil sa katotohanan na ang pinakamaliit na positibong multiple ng numero m k ay ang numero mismo m k, pagkatapos ay ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng mga numero a 1 , a 2 , … , a k ay m k.

Kaya napatunayan namin ang teorama.

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng dalawang numero ay direktang nauugnay sa pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong iyon. Ito link sa pagitan ng GCD at NOC ay tinukoy ng sumusunod na teorama.

Teorama.

Ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng dalawang positibong integer na a at b ay katumbas ng produkto ng a at b na hinati ng pinakamalaking karaniwang divisor ng a at b, iyon ay, LCM(a, b)=a b: GCM(a, b).

Patunay.

Hayaan Ang M ay ilang multiple ng mga numerong a at b. Iyon ay, ang M ay nahahati ng a, at sa pamamagitan ng kahulugan ng divisibility, mayroong ilang integer k na ang pagkakapantay-pantay na M=a·k ay totoo. Ngunit ang M ay nahahati din ng b, pagkatapos ang isang k ay nahahati ng b.

Tukuyin ang gcd(a, b) bilang d . Pagkatapos ay maaari nating isulat ang mga pagkakapantay-pantay na a=a 1 ·d at b=b 1 ·d, at ang a 1 =a:d at b 1 =b:d ay magiging mga coprime na numero. Samakatuwid, ang kundisyong nakuha sa nakaraang talata na ang a k ay nahahati ng b ay maaaring reformulated tulad ng sumusunod: a 1 d k ay nahahati ng b 1 d , at ito, dahil sa mga katangian ng divisibility, ay katumbas ng kondisyon na a 1 k ay nahahati sa b isa .

Kailangan din nating isulat ang dalawang mahalagang corollaries mula sa itinuturing na teorama.

Ang mga karaniwang multiple ng dalawang numero ay kapareho ng mga multiple ng kanilang hindi bababa sa karaniwang maramihang.

Totoo ito, dahil ang anumang karaniwang multiple ng M na numero a at b ay tinutukoy ng pagkakapantay-pantay na M=LCM(a, b) t para sa ilang integer value t .

Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng coprime positive na mga numerong a at b ay katumbas ng kanilang produkto.

Ang katwiran para sa katotohanang ito ay medyo halata. Dahil ang a at b ay coprime, kung gayon gcd(a, b)=1 , samakatuwid, LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

Hindi bababa sa karaniwang multiple ng tatlo o higit pang mga numero

Ang paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang multiple ng tatlo o higit pang mga numero ay maaaring bawasan sa sunud-sunod na paghahanap ng LCM ng dalawang numero. Kung paano ito ginagawa ay ipinahiwatig sa sumusunod na teorama: a 1 , a 2 , …, a k coincide with common multiples of numbers m k-1 at a k , samakatuwid, coincided with multiples of m k . At dahil ang hindi bababa sa positibong multiple ng numerong m k ay ang numerong m k mismo, kung gayon ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero a 1 , a 2 , …, a k ay m k .

Bibliograpiya.

• Vilenkin N.Ya. atbp. Matematika. Baitang 6: aklat-aralin para sa mga institusyong pang-edukasyon.
• Vinogradov I.M. Mga Batayan ng teorya ng numero.
• Mikhelovich Sh.Kh. Teorya ng numero.
• Kulikov L.Ya. at iba pa. Koleksyon ng mga problema sa algebra at teorya ng numero: Pagtuturo para sa mga mag-aaral ng pisika at matematika. mga espesyalidad ng mga institusyong pedagogical.