Pagbabago ng mga fractional na expression na naglalaman ng pagkilos ng multiplikasyon. Pagbabago ng ekspresyon. Detalyadong Teorya (2019)

Sa nakaraang aralin, ang konsepto ng isang makatwirang pagpapahayag ay ipinakilala na, sa aralin ngayon ay patuloy tayong nagtatrabaho sa mga makatwirang ekspresyon at nakatuon sa kanilang mga pagbabago. Gamit ang mga partikular na halimbawa, isasaalang-alang namin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa pagbabago ng mga makatwirang ekspresyon at pagpapatunay ng mga pagkakakilanlan na nauugnay sa kanila.

Paksa:Mga algebraic fraction. Mga operasyon ng aritmetika sa mga algebraic fraction

Aralin:Pag-convert ng Rational Expressions

Alalahanin muna natin ang kahulugan ng isang makatwirang pagpapahayag.

Kahulugan.Makatuwiranpagpapahayag- isang algebraic expression na hindi naglalaman ng mga ugat at kasama lamang ang mga operasyon ng karagdagan, pagbabawas, pagpaparami at paghahati (exponentiation).

Sa pamamagitan ng terminong "ibahin ang anyo ng isang makatwirang pagpapahayag" ibig sabihin namin, una sa lahat, ang pagpapasimple nito. At ito ay isinasagawa sa pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na kilala sa amin: una, mga aksyon sa mga bracket, pagkatapos produkto ng mga numero(exponentiation), dibisyon ng mga numero, at pagkatapos ay mga operasyon ng karagdagan / pagbabawas.

Ang pangunahing layunin ng aralin ngayon ay upang makakuha ng karanasan sa paglutas ng higit pa mapaghamong mga gawain upang gawing simple ang mga makatwirang ekspresyon.

Halimbawa 1

Solusyon. Sa una ay tila maaaring bawasan ang mga fraction na ito, dahil ang mga expression sa mga numerator ng mga fraction ay halos kapareho sa mga formula para sa buong parisukat ng kanilang mga katumbas na denominator. Sa kasong ito, mahalaga na huwag magmadali, ngunit hiwalay na suriin kung ito ay totoo.

Suriin natin ang numerator ng unang fraction: . Ngayon ang pangalawang numerator: .

Tulad ng nakikita mo, ang aming mga inaasahan ay hindi makatwiran, at ang mga expression sa mga numerator ay hindi perpektong mga parisukat, dahil wala silang pagdodoble ng produkto. Ang ganitong mga expression, kung naaalala natin ang kurso ng ika-7 baitang, ay tinatawag na hindi kumpletong mga parisukat. Dapat kang maging maingat sa mga ganitong kaso, dahil nakakalito ang buong parisukat na formula na may hindi kumpleto karaniwang pagkakamali, at ang mga ganitong halimbawa ay sumusubok sa pagkaasikaso ng estudyante.

Dahil imposible ang pagbabawas, gagawin namin ang pagdaragdag ng mga fraction. Ang mga denominator ay walang mga karaniwang kadahilanan, kaya ang mga ito ay pinarami lamang upang makuha ang pinakamababang karaniwang denamineytor, at ang karagdagang kadahilanan para sa bawat fraction ay ang denominator ng iba pang fraction.

Siyempre, maaari mong buksan ang mga bracket at pagkatapos ay magdala ng mga katulad na termino, gayunpaman, sa kasong ito, maaari kang makakuha ng mas kaunting pagsisikap at mapansin na sa numerator ang unang termino ay ang formula para sa kabuuan ng mga cube, at ang pangalawa ay ang pagkakaiba ng mga cube. Para sa kaginhawahan, naaalala namin ang mga formula na ito sa pangkalahatang anyo:

Sa aming kaso, ang mga expression sa numerator ay nakatiklop bilang mga sumusunod:

, ang pangalawang expression ay magkatulad. Meron kami:

Sagot..

Halimbawa 2 Pasimplehin ang Rational Expression .

Solusyon. Ang halimbawang ito ay katulad ng nauna, ngunit agad na malinaw na may mga hindi kumpletong parisukat sa mga numerator ng mga fraction, kaya ang pagbawas ng paunang yugto ang mga solusyon ay imposible. Katulad ng nakaraang halimbawa, nagdaragdag kami ng mga fraction:

Dito namin, katulad ng pamamaraan na ipinahiwatig sa itaas, napansin at na-collapse ang mga expression ayon sa mga formula para sa kabuuan at pagkakaiba ng mga cube.

Sagot..

Halimbawa 3 Pasimplehin ang makatuwirang pagpapahayag.

Solusyon. Makikita mo na ang denominator ng pangalawang fraction ay nabubulok sa mga salik ayon sa sum of cubes formula. Tulad ng alam na natin, ang mga factoring denominator ay kapaki-pakinabang para sa karagdagang paghahanap ng pinakamababang karaniwang denominator ng mga fraction.

Ipinapahiwatig namin ang hindi bababa sa karaniwang denominator ng mga fraction, ito ay katumbas ng:, dahil ito ay hinati sa denominator ng ikatlong fraction, at ang unang expression sa pangkalahatan ay isang integer, at anumang denominator ay angkop para dito. Nang maipahiwatig ang malinaw na karagdagang mga kadahilanan, isinulat namin:

Sagot.

Isaalang-alang ang isang mas kumplikadong halimbawa na may mga "multi-storeyed" na fraction.

Halimbawa 4 Patunayan ang pagkakakilanlan para sa lahat ng mga tinatanggap na halaga ng variable.

Patunay. Upang patunayan ang pagkakakilanlan na ito, susubukan naming gawing simple ito kaliwang bahagi(mahirap) dati simpleng anyo na kinakailangan sa atin. Upang gawin ito, gagawin namin ang lahat ng mga aksyon na may mga fraction sa numerator at denominator, at pagkatapos ay hatiin ang mga fraction at pasimplehin ang resulta.

Napatunayan para sa lahat ng tinatanggap na mga halaga ng variable.

Napatunayan.

Sa susunod na aralin, titingnan natin ang higit pa kumplikadong mga halimbawa sa pagbabago ng mga makatwirang ekspresyon.

Bibliograpiya

1. Bashmakov M.I. Algebra ika-8 baitang. - M.: Enlightenment, 2004.

2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. et al. Algebra 8. - 5th ed. - M.: Edukasyon, 2010.

3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra ika-8 baitang. Tutorial para sa institusyong pang-edukasyon. - M.: Edukasyon, 2006.

2. Pagbuo ng aralin, mga presentasyon, mga tala sa klase ().

Takdang aralin

1. Bilang 96-101. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. et al. Algebra 8. - 5th ed. - M.: Edukasyon, 2010.

2. Pasimplehin ang pagpapahayag .

3. Pasimplehin ang pagpapahayag.

4. Patunayan ang pagkakakilanlan.

>>Math: Pagbabago ng mga makatwirang ekspresyon

Pag-convert ng Rational Expressions

Binubuo ng talatang ito ang lahat ng sinabi namin mula noong ika-7 baitang tungkol sa wikang matematika, simbolismo sa matematika, mga numero, variable, kapangyarihan, polynomial, at algebraic fractions. Ngunit una, gawin natin ang isang maikling paglihis sa nakaraan.

Alalahanin kung paano ang mga bagay sa pag-aaral ng mga numero at mga numeric na expression.

At, sabihin nating, isang label lamang ang maaaring ilakip sa isang fraction - isang rational na numero.

Ang sitwasyon ay katulad ng algebraic expression: ang unang yugto ng kanilang pag-aaral ay mga numero, variable, degree ("mga numero"); ang ikalawang yugto ng kanilang pag-aaral ay monomials ("natural na mga numero"); ang ikatlong yugto ng kanilang pag-aaral ay polynomials ("buong mga numero"); ang ikaapat na yugto ng kanilang pag-aaral - mga algebraic fraction
("mga makatwirang numero"). Bukod dito, ang bawat susunod na yugto, tulad ng dati, ay sumisipsip ng nauna: halimbawa, ang mga numero, variable, degree ay mga espesyal na kaso ng monomials; monomials ay mga espesyal na kaso ng polynomials; polynomials - mga espesyal na kaso algebraic fractions. Sa pamamagitan ng paraan, ang mga sumusunod na termino ay minsan ginagamit sa algebra: ang polynomial ay isang integer pagpapahayag, ang isang algebraic fraction ay isang fractional na expression (ito ay nagpapalakas lamang sa pagkakatulad).

Ipagpatuloy natin ang pagkakatulad sa itaas. Alam mo na ang anumang numeric na expression, pagkatapos isagawa ang lahat ng mga pagpapatakbo ng aritmetika na kasama dito, ay tumatagal ng isang tiyak na halaga ng numero - isang makatwirang numero (siyempre, maaari itong maging natural na numero, at isang integer, at isang fraction - hindi mahalaga). Katulad nito, anumang algebraic expression na binubuo ng mga numero at variable gamit ang mga operasyong arithmetic at pagtaas sa natural degree, pagkatapos ng mga pagbabagong-anyo, ito ay tumatagal sa anyo ng isang algebraic fraction at muli, sa partikular, ito ay maaaring lumabas na hindi isang fraction, ngunit isang polynomial o kahit isang monomial). Para sa mga ganitong expression sa algebra, ginagamit ang terminong rational expression.

Halimbawa. Patunayan ang Pagkakakilanlan

Solusyon.
Upang patunayan ang isang pagkakakilanlan ay nangangahulugan na itatag na para sa lahat ng mga tinatanggap na halaga ng mga variable, ang kaliwa at kanang bahagi nito ay magkaparehong mga expression. Sa algebra, nagpapatunay ang mga pagkakakilanlan iba't ibang paraan:

1) magsagawa ng mga pagbabago sa kaliwang bahagi at makuha ang kanang bahagi bilang isang resulta;

2) magsagawa ng mga pagbabago sa kanang bahagi at makuha ang kaliwang bahagi bilang isang resulta;

3) hiwalay na i-convert ang kanan at kaliwang bahagi at makuha ang parehong expression sa una at pangalawang kaso;

4) gawin ang pagkakaiba sa pagitan ng kaliwa at tamang bahagi at bilang isang resulta ng mga pagbabagong-anyo nito ay makakakuha ng zero.

Aling paraan ang pipiliin ay depende sa partikular na uri pagkakakilanlan na hinihiling sa iyo na patunayan. Sa halimbawang ito, ipinapayong piliin ang unang paraan.

Upang i-convert ang mga makatwirang expression, ang parehong pamamaraan ay pinagtibay tulad ng para sa pag-convert ng mga numeric na expression. Nangangahulugan ito na una ang mga aksyon sa mga bracket ay ginanap, pagkatapos ay ang mga aksyon ng pangalawang yugto (multiplikasyon, paghahati, exponentiation), pagkatapos ay ang mga aksyon ng unang yugto (pagdaragdag, pagbabawas).

Magsagawa tayo ng mga pagbabago sa pamamagitan ng mga aksyon, batay sa mga panuntunang iyon, mga algorithm na binuo sa mga nakaraang talata.

Gaya ng nakikita mo, nagawa naming baguhin ang kaliwang bahagi ng pagkakakilanlan sa ilalim ng pagsubok sa anyo ng kanang bahagi. Ibig sabihin, napatunayan na ang pagkakakilanlan. Gayunpaman, naaalala namin na ang pagkakakilanlan ay may bisa lamang para sa mga tinatanggap na halaga ng mga variable. Ang mga nasa halimbawang ito ay anumang mga halaga ng a at b, maliban sa mga nagiging zero ang denominator ng mga fraction. Nangangahulugan ito na ang anumang mga pares ng mga numero (a; b) ay tinatanggap, maliban sa mga kung saan ang hindi bababa sa isa sa mga pagkakapantay-pantay ay nasiyahan:

2a - b = 0, 2a + b = 0, b = 0.

Mordkovich A. G., Algebra. Baitang 8: Proc. para sa pangkalahatang edukasyon mga institusyon - 3rd ed., tinatapos. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 p.: may sakit.

Isang kumpletong listahan ng mga paksa ayon sa klase, isang plano sa kalendaryo ayon sa kurikulum ng paaralan sa matematika online, materyal ng video sa matematika para sa pag-download ng grade 8

Nilalaman ng aralin buod ng aralin suporta frame lesson presentation accelerative methods interactive na mga teknolohiya Magsanay mga gawain at pagsasanay mga workshop sa pagsusuri sa sarili, pagsasanay, kaso, quests homework discussion questions retorikal na mga tanong mula sa mga mag-aaral Mga Ilustrasyon audio, mga video clip at multimedia mga larawan, mga larawang graphics, mga talahanayan, mga scheme ng katatawanan, mga anekdota, mga biro, mga parabula sa komiks, mga kasabihan, mga crossword puzzle, mga quote Mga add-on mga abstract articles chips for inquisitive cheat sheets textbooks basic and additional glossary of terms other Pagpapabuti ng mga aklat-aralin at mga aralinpagwawasto ng mga pagkakamali sa aklat-aralin pag-update ng isang fragment sa aklat-aralin na mga elemento ng pagbabago sa aralin na pinapalitan ng mga bago ang hindi na ginagamit na kaalaman Para lamang sa mga guro perpektong mga aralin plano sa kalendaryo para sa taon mga alituntunin mga programa sa talakayan Pinagsanib na Aralin

Ang artikulo ay nagsasabi tungkol sa pagbabago ng mga makatwirang expression. Isaalang-alang ang mga uri ng mga makatwirang expression, ang kanilang mga pagbabago, pagpapangkat, bracketing ang karaniwang kadahilanan. Alamin natin kung paano kumatawan sa mga fractional rational expression bilang rational fractions.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kahulugan at mga halimbawa ng mga makatwirang ekspresyon

Kahulugan 1

Ang mga expression na binubuo ng mga numero, variable, bracket, degree na may mga aksyon ng karagdagan, pagbabawas, pagpaparami, paghahati na may presensya ng isang fraction bar ay tinatawag mga makatwirang ekspresyon.

Halimbawa, mayroon tayong 5 , 2 3 x - 5 , - 3 a b 3 - 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 - b) , (x + 1) (y - 2) x 5 - 5 x y 2 - 1 11 x 3 .

Ibig sabihin, ito ay mga expression na walang dibisyon sa mga expression na may mga variable. Ang pag-aaral ng mga rational expression ay nagsisimula sa grade 8, kung saan sila ay tinatawag na fractional rational expression.

Ito ay nagpapahintulot sa amin na magpatuloy sa pagbabago ng mga rational fraction ng isang arbitrary na anyo. Ang ganitong expression ay maaaring ituring bilang isang expression na may pagkakaroon ng mga rational fraction at integer na expression na may mga palatandaan ng aksyon.

Ang mga pangunahing uri ng mga pagbabagong-anyo ng mga makatwirang expression

Ang mga makatwirang ekspresyon ay ginagamit upang magsagawa ng magkatulad na mga pagbabagong-anyo, pagpapangkat, pagbabawas ng mga katulad, pagsasagawa ng iba pang mga operasyon na may mga numero. Ang layunin ng gayong mga ekspresyon ay pasimplehin.

Halimbawa 1

I-convert ang rational expression 3 · x x · y - 1-2 · x x · y - 1 .

Solusyon

Makikita na ang ganitong rational expression ay ang pagkakaiba 3 · x x · y - 1 at 2 · x x · y - 1 . Pansinin na mayroon silang parehong denominator. Nangangahulugan ito na ang pagbabawas ng mga katulad na termino ay nasa anyo

3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 3 - 2 = x x y - 1

Sagot: 3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 .

Halimbawa 2

Isagawa ang pagbabagong-anyo 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) .

Solusyon

Sa una, nagsasagawa kami ng mga aksyon sa mga bracket 3 · x − x = 2 · x . Ang expression na ito ay kinakatawan bilang 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = 2 x y 4 (- 4) x 2: 2 x. Dumating tayo sa isang expression na naglalaman ng mga aksyon na may isang yugto, iyon ay, mayroon itong karagdagan at pagbabawas.

Alisin ang mga panaklong sa pamamagitan ng paggamit ng division property. Pagkatapos ay makukuha natin na 2 x y 4 (- 4) x 2: 2 x = 2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x .

Pinagpangkat namin ang mga numerical factor na may variable na x, pagkatapos nito ay makakapagsagawa kami ng mga operasyon na may mga kapangyarihan. Nakukuha namin iyon

2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x = (2 (- 4) : 2) (x x 2: x) y 4 = - 4 x 2 y 4

Sagot: 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = - 4 x 2 y 4 .

Halimbawa 3

I-convert ang isang expression ng anyong x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 .

Solusyon

Una, i-convert natin ang numerator at denominator. Pagkatapos ay makakakuha tayo ng expression ng form (x (x + 3) - (3 x + 1)): 1 2 x 4 + 2, at ang mga aksyon sa mga bracket ay ginagawa muna. Sa numerator, ang mga aksyon ay isinasagawa at ang mga kadahilanan ay pinagsama-sama. Pagkatapos ay makakakuha tayo ng expression ng anyong x (x + 3) - (3 x + 1) 1 2 x 4 + 2 = x 2 + 3 x - 3 x - 1 1 2 4 x + 2 = x 2 - 1 2 x + 2 .

Binabago namin ang formula para sa pagkakaiba ng mga parisukat sa numerator, pagkatapos ay nakuha namin iyon

x 2 - 1 2 x + 2 = (x - 1) (x + 1) 2 (x + 1) = x - 1 2

Sagot: x (x + 3) - (3 x + 1) 1 2 x 4 + 2 = x - 1 2 .

Representasyon bilang isang rational fraction

Ang isang algebraic fraction ay kadalasang napapailalim sa pagpapasimple kapag nilulutas. Bawat makatwiran ay nabawasan dito iba't ibang paraan. Kailangang gawin ang lahat mga kinakailangang aksyon na may mga polynomial upang ang rational expression ay makapagbibigay ng rational fraction.

Halimbawa 4

Ipahayag bilang rational fraction a + 5 a (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a .

Solusyon

Ang expression na ito ay maaaring katawanin bilang isang 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a . Ang pagpaparami ay isinasagawa una sa lahat ayon sa mga patakaran.

Dapat tayong magsimula sa multiplikasyon, pagkatapos makuha natin iyon

a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = a - 5 (a + 5) a + 3 1 a (a + 5) = a - 5 (a + 5) 1 ( a + 3) a (a + 5) = a - 5 (a + 3) a

Gumagawa kami ng representasyon ng resultang nakuha kasama ng orihinal. Nakukuha namin iyon

a + 5 a (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = a + 5 a a - 3 - a - 5 a + 3 a

Ngayon gawin natin ang pagbabawas:

a + 5 a a - 3 - a - 5 a + 3 a = a + 5 a + 3 a (a - 3) (a + 3) - (a - 5) (a - 3) (a + 3) a ( a - 3) = = a + 5 a + 3 - (a - 5) (a - 3) a (a - 3) (a + 3) = a 2 + 3 a + 5 a + 15 - (a 2 - 3 a - 5 a + 15) a (a - 3) (a + 3) = = 16 a a (a - 3) (a + 3) = 16 a - 3 (a + 3) = 16 a 2 - 9

Pagkatapos nito, malinaw na ang orihinal na expression ay kukuha ng anyo 16 a 2 - 9 .

Sagot: a + 5 a (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = 16 a 2 - 9 .

Halimbawa 5

Ipahayag ang x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x bilang rational fraction.

Solusyon

Ang ibinigay na expression ay nakasulat bilang isang fraction, sa numerator kung saan mayroong x x + 1 + 1, at sa denominator 2 x - 1 1 + x. Kinakailangang gumawa ng mga pagbabagong-anyo x x + 1 + 1 . Upang gawin ito, kailangan mong magdagdag ng isang fraction at isang numero. Nakukuha natin na x x + 1 + 1 = x x + 1 + 1 1 = x x + 1 + 1 (x + 1) 1 (x + 1) = x x + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1 x + 1 = 2 x + 1 x + 1

Kasunod nito na x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 2 x - 1 1 + x

Ang resultang fraction ay maaaring isulat bilang 2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x .

Pagkatapos ng paghahati, nakarating kami sa isang rational fraction ng form

2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 (1 + x) (x + 1) (2 x - 1 ) = 2 x + 1 2 x - 1

Maaari mong malutas ito nang iba.

Sa halip na hatiin sa 2 x - 1 1 + x, i-multiply natin sa reciprocal ng 1 + x 2 x - 1 . Ang paglalapat ng ari-arian ng pamamahagi, nakukuha namin iyon

x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1: 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = = x x + 1 1 + x 2 x - 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = x 1 + x (x + 1) 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = = x 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = x + 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 2 x - 1

Sagot: x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 2 x - 1 .

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Aralin at presentasyon sa paksa: "Pagbabago ng mga makatwirang ekspresyon. Mga halimbawa ng paglutas ng problema"

Mga karagdagang materyales
Minamahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, puna, mungkahi. Ang lahat ng mga materyales ay sinuri ng isang antivirus program.

Mga pantulong sa pagtuturo at simulator sa online na tindahan na "Integral" para sa grade 8
Manwal para sa aklat-aralin na Muravina G.K. Manwal para sa aklat-aralin na Makarychev Yu.N.

Ang konsepto ng rasyonal na pagpapahayag

Ang konsepto ng "rational expression" ay katulad ng konsepto ng "rational fraction". Ang expression ay kinakatawan din bilang isang fraction. Sa ating mga numerator lamang ay hindi mga numero, ngunit iba't ibang uri ng mga expression. Kadalasan ito ay isang polynomial. Ang algebraic fraction ay isang fractional expression na binubuo ng mga numero at variable.

Kapag nilulutas ang maraming problema sa elementarya, pagkatapos magsagawa ng mga pagpapatakbo ng aritmetika, nakatanggap kami ng mga partikular na halaga ng numero, kadalasang mga fraction. Ngayon, pagkatapos isagawa ang mga operasyon, makakatanggap kami ng mga algebraic fraction. Guys, tandaan: upang makuha ang tamang sagot, kailangan mong gawing simple ang expression kung saan ka nagtatrabaho hangga't maaari. Dapat makuha ng isa ang pinakamaliit na antas na posible; dapat bawasan ang magkaparehong expression sa numerator at denominator; na may mga expression na maaaring i-collapse, dapat mong gawin ito. Iyon ay, pagkatapos magsagawa ng isang serye ng mga aksyon, dapat nating makuha ang pinakasimpleng posibleng algebraic fraction.

Pagkakasunud-sunod ng mga operasyon na may mga makatwirang expression

Ang pamamaraan para sa pagsasagawa ng mga operasyon na may mga makatwirang expression ay kapareho ng para sa mga pagpapatakbo ng aritmetika. Una, isinasagawa ang mga operasyon sa mga bracket, pagkatapos ay multiplikasyon at paghahati, exponentiation, at panghuli ang pagdaragdag at pagbabawas.

Upang patunayan ang isang pagkakakilanlan ay nangangahulugan na ipakita na para sa lahat ng mga halaga ng mga variable, ang kanan at kaliwang panig ay pantay. Mayroong maraming mga halimbawa na may patunay ng mga pagkakakilanlan.

Ang mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga pagkakakilanlan ay:

• Baguhin ang kaliwang bahagi sa pagkakapantay-pantay sa kanan.
• Ibahin ang kanang bahagi sa pagkakapantay-pantay sa kaliwa.
• Ibahin ang anyo ng kaliwa at kanang bahagi nang hiwalay hanggang sa makuha ang parehong expression.
• Ang kanang bahagi ay ibabawas mula sa kaliwang bahagi, at ang resulta ay dapat na zero.

Pagbabago ng mga makatwirang ekspresyon. Mga halimbawa ng paglutas ng problema

Halimbawa 1
Patunayan ang pagkakakilanlan:

$(\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)):(\frac(a^2+5a)(1-5a))+\frac(a ^2+5)(a+1)=a-1$.

Solusyon.
Malinaw, kailangan nating baguhin ang kaliwang bahagi.
Gawin muna natin ang mga panaklong:

1) $\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)=\frac((a+5)(a+1)+(a+5)(5a -1))((a+1)(5a-1))=$
$=\frac((a+5)(a+1+5a-1))((a+1)(5a-1))=\frac((a+5)(6a))((a+1 )(5a-1))$

.

Kinakailangang subukang kunin ang mga karaniwang multiplier sa maximum.
2) Ibahin natin ang ekspresyon kung saan tayo naghahati:

$\frac(a^2+5a)(1-5a)=\frac(a(a+5))((1-5a)=\frac(a(a+5))(-(5a-1) )$

.
3) Isagawa ang operasyon ng paghahati:

$\frac((a+5)(6a))((a+1)(5a-1)):\frac(a(a+5))(-(5a-1))=\frac((a +5)(6a))((a+1)(5a-1))*\frac(-(5a-1))(a(a+5))=\frac(-6)(a+1) $.

4) Isagawa ang operasyon ng karagdagan:

$\frac(-6)(a+1)+\frac(a^2+5)(a+1)=\frac(a^2-1)(a+1)=\frac((a-1) )(a+1))(a+))=a-1$.

Nagtugma ang kanan at kaliwang bahagi. Kaya napatunayan ang pagkakakilanlan.
Guys, kapag nilulutas ang halimbawang ito, kailangan namin ng kaalaman sa maraming mga formula at operasyon. Nakita natin na pagkatapos ng pagbabago, ang malaking ekspresyon ay naging isang ganap na maliit. Kapag nilulutas ang halos lahat ng mga problema, ang mga pagbabago ay karaniwang humahantong sa mga simpleng expression.

Halimbawa 2
Pasimplehin ang expression:

$(\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)):(\frac(a)(a+b)-\frac( a^2)(a^2-b^2))$.

Solusyon.
Magsimula tayo sa mga unang bracket.

1. $\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)=\frac(a^2)(a+b)-\frac (a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2(a+b)-a^3)((a+b)^2)=$
$=\frac(a^3+a^2 b-a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2b)((a+b)^2)$.

2. Ibahin natin ang pangalawang bracket.

$\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)(a^2-b^2)=\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)((a-b )(a+b))=\frac(a(a-b)-a^2)((a-b)(a+b))=$
$=\frac(a^2-ab-a^2)((a-b)(a+b))=\frac(-ab)((a-b)(a+b))$.

3. Gawin natin ang paghahati.

$\frac(a^2b)((a+b)^2):\frac(-ab)((a-b)(a+b))=\frac(a^2b)((a+b)^2 )*\frac((a-b)(a+b))((-ab))=$
$=-\frac(a(a-b))(a+b)$

.

Sagot: $-\frac(a(a-b))(a+b)$.

Halimbawa 3
Sundin ang mga hakbang:

$\frac(k-4)(k-2):(\frac(80k)((k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-\frac(k-16 )(2-k))-\frac(6k+4)((4-k)^2)$.

Solusyon.
Gaya ng nakasanayan, magsimula sa mga panaklong.

1. $\frac(80k)(k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-\frac(k-16)(2-k)=\frac(80k)( (k-2)(k^2+2k+4)) +\frac(2k)(k^2+2k+4)+\frac(k-16)(k-2)=$

$=\frac(80k+2k(k-2)+(k-16)(k^2+2k+4))((k-2)(k^2+2k+4))=\frac(80k +2k^2-4k+k^3+2k^2+4k-16k^2-32k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=$

$=\frac(k^3-12k^2+48k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=\frac((k-4)^3)((k-2) )(k^2+2k+4))$.

2. Ngayon gawin natin ang paghahati.

$\frac(k-4)(k-2):\frac((k-4)^3)((k-2)(k^2+2k+4))=\frac(k-4)( k-2)*\frac((k-2)(k^2+2k+4))((k-4)^3)=\frac((k^2+2k+4))((k- 4)^2)$.

3. Gamitin natin ang property: $(4-k)^2=(k-4)^2$.
4. Isagawa natin ang operasyon ng pagbabawas.

$\frac((k^2+2k+4))((k-4)^2)-\frac(6k+4)((k-4)^2)=\frac(k^2-4k) ((k-4)^2)=\frac(k(k-4))((k-4)^2)=\frac(k)(k-4)$.

Tulad ng sinabi namin kanina, kinakailangan na gawing simple ang fraction hangga't maaari.
Sagot: $\frac(k)(k-4)$.

Mga gawain para sa malayang solusyon

1. Patunayan ang pagkakakilanlan:

$\frac(b^2-14)(b-4)-(\frac(3-b)(7b-4)+\frac(b-3)(b-4))*\frac(4-7b )(9b-3b^2)=b+4$.

2. Pasimplehin ang expression:

$\frac(4(z+4)^2)(z-2)*(\frac(z)(2z-4)-\frac(z^2+4)(2z^2-8)-\frac (2)(z^2+2z))$.

3. Sundin ang mga hakbang:

$(\frac(a-b)(a^2+2ab+b^2)-\frac(2a)((a-b)(a+b))+\frac(a-b)((a-b)^2))*\ frac(a^4-b^4)(8ab^2)+\frac(2b^2)(a^2-b^2)$.

Mula sa kursong algebra ng kurikulum ng paaralan, bumaling tayo sa mga detalye. Sa artikulong ito, pag-aaralan natin nang detalyado ang isang espesyal na uri ng mga makatwirang ekspresyon − rational fractions, at suriin din kung anong katangian ang magkapareho pagbabago ng rational fractions mangyari.

Napansin namin kaagad na ang mga rational fraction sa kahulugan kung saan namin tinukoy ang mga ito sa ibaba ay tinatawag na algebraic fraction sa ilang algebra textbook. Ibig sabihin, sa artikulong ito mauunawaan natin ang parehong bagay sa ilalim ng rational at algebraic fractions.

Gaya ng dati, nagsisimula tayo sa isang kahulugan at mga halimbawa. Susunod, pag-usapan natin ang pagdadala ng rational fraction sa isang bagong denominator at tungkol sa pagbabago ng mga palatandaan ng mga miyembro ng fraction. Pagkatapos nito, susuriin natin kung paano ginagawa ang pagbabawas ng mga fraction. Sa wakas, pag-isipan natin ang representasyon ng rational fraction bilang kabuuan ng ilang fraction. Ibibigay namin ang lahat ng impormasyon na may mga halimbawa na may detalyadong paglalarawan mga solusyon.

Pag-navigate sa pahina.

Kahulugan at mga halimbawa ng mga rational fraction

Ang mga rational fraction ay pinag-aaralan sa mga aralin sa algebra sa ika-8 baitang. Gagamitin natin ang kahulugan ng rational fraction, na ibinigay sa algebra textbook para sa grade 8 ni Yu. N. Makarychev at iba pa.

Ang kahulugan na ito ay hindi tumutukoy kung ang mga polynomial sa numerator at denominator ng isang rational fraction ay dapat na polynomial ng karaniwang anyo o hindi. Samakatuwid, ipagpalagay natin na ang mga rational fraction ay maaaring maglaman ng parehong standard at non-standard polynomial.

Narito ang ilan mga halimbawa ng rational fraction. Kaya , x/8 at - rational fractions. At mga fraction at hindi magkasya sa tunog na kahulugan ng isang rational fraction, dahil sa una sa mga ito ang numerator ay hindi isang polynomial, at sa pangalawa ang numerator at ang denominator ay naglalaman ng mga expression na hindi polynomial.

Pag-convert ng numerator at denominator ng isang rational fraction

Ang numerator at denominator ng anumang fraction ay sapat sa sarili mga pagpapahayag ng matematika, sa kaso ng mga rational fraction, ito ay mga polynomial, sa isang partikular na kaso, monomials at numero. Samakatuwid, sa numerator at denominator ng isang rational fraction, tulad ng anumang expression, maaaring isagawa ang magkaparehong pagbabago. Sa madaling salita, ang expression sa numerator ng isang rational fraction ay maaaring mapalitan ng isang expression na kapareho nito, tulad ng denominator.

Sa numerator at denominator ng isang rational fraction, maaaring maisagawa ang magkaparehong pagbabago. Halimbawa, sa numerator, maaari mong pangkatin at bawasan ang mga katulad na termino, at sa denominator, ang produkto ng ilang numero ay maaaring mapalitan ng halaga nito. At dahil ang numerator at denominator ng isang rational fraction ay mga polynomial, posible na magsagawa ng mga pagbabagong katangian ng polynomial sa kanila, halimbawa, pagbawas sa isang karaniwang anyo o representasyon bilang isang produkto.

Para sa kalinawan, isaalang-alang ang mga solusyon ng ilang mga halimbawa.

Halimbawa.

I-convert ang Rational Fraction upang ang numerator ay isang polynomial ng karaniwang anyo, at ang denominator ay ang produkto ng polynomials.

Solusyon.

Ang pagbabawas ng mga rational fraction sa isang bagong denominator ay pangunahing ginagamit kapag nagdaragdag at nagbabawas ng mga rational fraction.

Pagbabago ng mga palatandaan sa harap ng isang fraction, gayundin sa numerator at denominator nito

Ang pangunahing katangian ng isang fraction ay maaaring gamitin upang baguhin ang mga palatandaan ng mga tuntunin ng fraction. Sa katunayan, ang pagpaparami ng numerator at denominator ng isang rational fraction sa -1 ay katumbas ng pagbabago ng kanilang mga palatandaan, at ang resulta ay isang fraction na magkaparehong katumbas ng ibinigay. Ang ganitong pagbabago ay kailangang gamitin nang madalas kapag nagtatrabaho sa mga rational fraction.

Kaya, kung sabay-sabay mong babaguhin ang mga palatandaan ng numerator at denominator ng isang fraction, makakakuha ka ng fraction na katumbas ng orihinal. Ang pahayag na ito ay tumutugma sa pagkakapantay-pantay.

Kumuha tayo ng isang halimbawa. Ang rational fraction ay maaaring palitan ng isang magkatulad na pantay na fraction na may mga reverse sign ng numerator at denominator ng form.

Sa mga praksyon, ang isa pang magkatulad na pagbabagong-anyo ay maaaring isagawa, kung saan ang tanda ay binago alinman sa numerator o sa denominator. Pag-usapan natin ang naaangkop na tuntunin. Kung papalitan mo ang sign ng isang fraction kasama ang sign ng numerator o denominator, makakakuha ka ng fraction na kapareho ng orihinal. Ang nakasulat na pahayag ay tumutugma sa mga pagkakapantay-pantay at .

Hindi mahirap patunayan ang mga pagkakapantay-pantay na ito. Ang patunay ay batay sa mga katangian ng pagpaparami ng mga numero. Patunayan natin ang una sa kanila: . Sa tulong ng mga katulad na pagbabago, napatunayan din ang pagkakapantay-pantay.

Halimbawa, ang isang fraction ay maaaring palitan ng isang expression o .

Upang tapusin ang subsection na ito, nagpapakita kami ng dalawa pang kapaki-pakinabang na pagkakapantay-pantay at . Iyon ay, kung babaguhin mo ang tanda ng numerator lamang o ang denominator lamang, pagkatapos ay babaguhin ng fraction ang tanda nito. Halimbawa, At .

Ang itinuturing na mga pagbabagong-anyo, na nagpapahintulot sa pagbabago ng tanda ng mga termino ng isang fraction, ay kadalasang ginagamit kapag binabago ang mga fractionally rational na expression.

Pagbawas ng mga rational fraction

Ang sumusunod na pagbabagong-anyo ng mga rational fraction, na tinatawag na pagbabawas ng mga rational fraction, ay batay sa parehong pangunahing katangian ng isang fraction. Ang pagbabagong ito ay tumutugma sa pagkakapantay-pantay , kung saan ang a , b at c ay ilang polynomial, at ang b at c ay hindi zero.

Mula sa pagkakapantay-pantay sa itaas, nagiging malinaw na ang pagbawas ng isang rational fraction ay nagpapahiwatig ng pag-alis ng karaniwang salik sa numerator at denominator nito.

Halimbawa.

Bawasan ang rational fraction.

Solusyon.

Ang karaniwang kadahilanan 2 ay makikita kaagad, bawasan natin ito (kapag nagsusulat, ito ay maginhawa upang i-cross out ang mga karaniwang kadahilanan kung saan ang pagbabawas ay ginawa). Meron kami . Dahil x 2 \u003d x x at y 7 \u003d y 3 y 4 (tingnan kung kinakailangan), malinaw na ang x ay isang karaniwang kadahilanan ng numerator at denominator ng nagresultang bahagi, tulad ng y 3 . Bawasan natin sa pamamagitan ng mga salik na ito: . Kinukumpleto nito ang pagbabawas.

Sa itaas, isinagawa namin ang pagbabawas ng isang rational fraction nang sunud-sunod. At posible na isagawa ang pagbawas sa isang hakbang, agad na bawasan ang fraction ng 2·x·y 3 . Sa kasong ito, ang solusyon ay magiging ganito: .

Sagot:

.

Kapag binabawasan ang mga rational fraction, ang pangunahing problema ay ang karaniwang kadahilanan ng numerator at denominator ay hindi palaging nakikita. Bukod dito, hindi ito palaging umiiral. Upang makahanap ng isang karaniwang kadahilanan o matiyak na hindi ito umiiral, kailangan mong i-factor ang numerator at denominator ng isang rational fraction. Kung walang karaniwang kadahilanan, kung gayon ang orihinal na rational fraction ay hindi kailangang bawasan, kung hindi, ang pagbawas ay isinasagawa.

Sa proseso ng pagbabawas ng mga rational fraction, maaaring lumitaw ang iba't ibang mga nuances. Ang mga pangunahing subtlety na may mga halimbawa at mga detalye ay tinalakay sa artikulong pagbabawas ng mga algebraic fraction.

Sa pagtatapos ng pag-uusap tungkol sa pagbawas ng mga rational fraction, napapansin namin na ang pagbabagong ito ay magkapareho, at ang pangunahing kahirapan sa pagpapatupad nito ay nakasalalay sa factorization ng polynomials sa numerator at denominator.

Representasyon ng isang rational fraction bilang kabuuan ng mga fraction

Medyo tiyak, ngunit sa ilang mga kaso lubhang kapaki-pakinabang, ay ang pagbabago ng isang rational fraction, na binubuo sa representasyon nito bilang ang kabuuan ng ilang mga fraction, o ang kabuuan ng isang integer expression at isang fraction.

Ang rational fraction, sa numerator kung saan mayroong polynomial, na siyang kabuuan ng ilang monomials, ay maaaring palaging isulat bilang kabuuan ng mga fraction na may parehong denominador, na ang mga numerator ay naglalaman ng kaukulang monomial. Halimbawa, . Ang representasyong ito ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng tuntunin ng pagdaragdag at pagbabawas ng mga algebraic fraction na may parehong denominator.

Sa pangkalahatan, ang anumang rational fraction ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng mga fraction sa maraming iba't ibang paraan. Halimbawa, ang fraction a/b ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng dalawang fraction - isang arbitrary fraction c/d at isang fraction na katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng mga fraction a/b at c/d. Ang pahayag na ito ay totoo, dahil ang pagkakapantay-pantay . Halimbawa, ang rational fraction ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng mga fraction sa iba't ibang paraan: Kinakatawan namin ang orihinal na fraction bilang kabuuan ng isang integer expression at isang fraction. Pagkatapos hatiin ang numerator sa denominator sa pamamagitan ng isang hanay, makukuha natin ang pagkakapantay-pantay . Ang halaga ng expression n 3 +4 para sa anumang integer n ay isang integer. At ang halaga ng isang fraction ay isang integer kung at kung ang denominator nito ay 1, −1, 3, o −3. Ang mga halagang ito ay tumutugma sa mga halaga n=3 , n=1 , n=5 at n=−1 ayon sa pagkakabanggit.

Sagot:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Bibliograpiya.

• Algebra: aklat-aralin para sa 8 mga cell. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teleyakovsky. - ika-16 na ed. - M. : Edukasyon, 2008. - 271 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. ika-7 baitang. Sa 2 pm Bahagi 1. Isang aklat-aralin para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon / A. G. Mordkovich. - ika-13 ed., Rev. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 p.: may sakit. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. ika-8 baitang. Sa 2 pm Bahagi 1. Isang aklat-aralin para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon / A. G. Mordkovich. - 11th ed., nabura. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: may sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Mathematics (isang manwal para sa mga aplikante sa mga teknikal na paaralan): Proc. allowance.- M.; Mas mataas paaralan, 1984.-351 p., may sakit.