Pangatlong ugat na hinango ng x. Derivative ng isang kumplikadong function. Mga halimbawa ng solusyon

Derivation ng formula para sa derivative ng isang power function (x sa kapangyarihan ng a). Ang mga derivatives ng mga ugat mula sa x ay isinasaalang-alang. Ang formula para sa derivative ng mas mataas na order na power function. Mga halimbawa ng pagkalkula ng mga derivatives.

Ang derivative ng x sa kapangyarihan ng a ay isang beses na x sa kapangyarihan ng isang minus one:
(1) .

Ang derivative ng nth root ng x sa mth power ay:
(2) .

Derivation ng formula para sa derivative ng isang power function

Case x > 0

Isaalang-alang ang isang power function ng variable x na may exponent a :
(3) .
Narito ang isang arbitrary real number. Isaalang-alang muna natin ang kaso.

Upang mahanap ang derivative ng function (3), ginagamit namin ang mga katangian ng power function at ibahin ito sa sumusunod na anyo:
.

Ngayon nahanap namin ang derivative sa pamamagitan ng paglalapat:
;
.
Dito .

Ang formula (1) ay napatunayan.

Derivation ng formula para sa derivative ng root ng degree n ng x hanggang sa degree m

Ngayon isaalang-alang ang isang function na ang ugat ng sumusunod na form:
(4) .

Upang mahanap ang derivative, i-convert namin ang root sa isang power function:
.
Kung ikukumpara sa formula (3), nakikita natin iyon
.
Pagkatapos
.

Sa pamamagitan ng formula (1) nakita natin ang derivative:
(1) ;
;
(2) .

Sa pagsasagawa, hindi na kailangang isaulo ang formula (2). Ito ay mas maginhawa upang unang i-convert ang mga ugat sa mga function ng kapangyarihan, at pagkatapos ay hanapin ang kanilang mga derivatives gamit ang formula (1) (tingnan ang mga halimbawa sa dulo ng pahina).

Kaso x = 0

Kung , kung gayon ang exponential function ay tinukoy din para sa halaga ng variable x = 0 . Hanapin natin ang derivative ng function (3) para sa x = 0 . Upang gawin ito, ginagamit namin ang kahulugan ng isang derivative:
.

Palitan ang x = 0 :
.
Sa kasong ito, ang ibig sabihin ng derivative ay ang kanang-kamay na limitasyon kung saan .

Kaya natagpuan namin:
.
Mula dito makikita na sa , .
Sa , .
Sa , .
Ang resulta na ito ay nakuha din sa pamamagitan ng formula (1):
(1) .
Samakatuwid, ang formula (1) ay wasto din para sa x = 0 .

kaso x< 0

Isaalang-alang muli ang function (3):
(3) .
Para sa ilang mga halaga ng pare-pareho ang a , ito ay tinukoy din para sa mga negatibong halaga variable x . Ibig sabihin, hayaan ang isang maging isang makatwirang numero. Pagkatapos ay maaari itong katawanin bilang isang hindi mababawasang bahagi:
,
kung saan ang m at n ay mga integer na wala karaniwang divisor.

Kung ang n ay kakaiba, ang exponential function ay tinukoy din para sa mga negatibong halaga ng variable x. Halimbawa, para sa n = 3 at m = 1 meron kami ugat ng kubo mula sa x:
.
Tinukoy din ito para sa mga negatibong halaga ng x .

Hanapin natin ang derivative ng power function (3) para sa at para sa mga makatwirang halaga ng constant a , kung saan ito ay tinukoy. Upang gawin ito, kinakatawan namin ang x sa sumusunod na anyo:
.
tapos ,
.
Nahanap namin ang derivative sa pamamagitan ng pag-alis ng pare-pareho sa sign ng derivative at paglalapat ng panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong function:

.
Dito . Pero
.
Simula noon
.
Pagkatapos
.
Iyon ay, ang formula (1) ay may bisa din para sa:
(1) .

Derivatives ng mas mataas na mga order

Ngayon nakita namin ang mas mataas na pagkakasunud-sunod na mga derivatives ng power function
(3) .
Natagpuan na namin ang unang order derivative:
.

Ang pag-alis ng pare-parehong a sa tanda ng derivative, makikita natin ang pangalawang-order na derivative:
.
Katulad nito, nakakahanap kami ng mga derivatives ng ikatlo at ikaapat na order:
;

.

Mula dito ay malinaw na derivative ng isang arbitrary nth order ay may sumusunod na anyo:
.

pansinin mo yan kung ang isang ay natural na numero , , kung gayon ang nth derivative ay pare-pareho:
.
Pagkatapos ang lahat ng kasunod na derivatives ay katumbas ng zero:
,
sa .

Mga Halimbawa ng Derivative

Halimbawa

Hanapin ang derivative ng function:
.

Desisyon

I-convert natin ang mga ugat sa mga kapangyarihan:
;
.
Pagkatapos ang orihinal na function ay tumatagal ng form:
.

Nakahanap kami ng mga derivatives ng mga degree:
;
.
Ang derivative ng isang pare-pareho ay zero:
.

Ang operasyon ng paghahanap ng derivative ay tinatawag na differentiation.

Bilang resulta ng paglutas ng mga problema sa paghahanap ng mga derivatives para sa pinakasimpleng (at hindi masyadong simple) na mga function, sa pamamagitan ng pagtukoy sa derivative bilang limitasyon ng ratio ng increment sa increment ng argumento, lumitaw ang isang table ng derivatives at eksakto. ilang mga tuntunin pagkakaiba-iba. Sina Isaac Newton (1643-1727) at Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) ang unang nagtrabaho sa larangan ng paghahanap ng mga derivatives.

Samakatuwid, sa ating panahon, upang mahanap ang derivative ng anumang function, hindi kinakailangang kalkulahin ang nabanggit na limitasyon ng ratio ng pagtaas ng function sa pagtaas ng argument, ngunit kailangan lamang gamitin ang talahanayan. ng mga derivatives at ang mga patakaran ng pagkita ng kaibhan. Ang sumusunod na algorithm ay angkop para sa paghahanap ng derivative.

Upang mahanap ang derivative, kailangan mo ng expression sa ilalim ng stroke sign hatiin ang mga simpleng function at tukuyin kung anong mga aksyon (produkto, kabuuan, quotient) magkaugnay ang mga function na ito. Dagdag pa, makikita natin ang mga derivatives ng elementary functions sa talahanayan ng mga derivatives, at ang mga formula para sa derivatives ng produkto, sum at quotient - sa mga patakaran ng pagkita ng kaibhan. Ang talahanayan ng mga derivatives at mga panuntunan sa pagkakaiba-iba ay ibinigay pagkatapos ng unang dalawang halimbawa.

Halimbawa 1 Hanapin ang derivative ng isang function

Desisyon. Mula sa mga patakaran ng pagkita ng kaibhan nalaman natin na ang hinango ng kabuuan ng mga pag-andar ay ang kabuuan ng mga derivatives ng mga pag-andar, i.e.

Mula sa talahanayan ng mga derivatives, nalaman namin na ang derivative ng "X" ay katumbas ng isa, at ang derivative ng sine ay cosine. Pinapalitan namin ang mga halagang ito sa kabuuan ng mga derivatives at hanapin ang derivative na kinakailangan ng kondisyon ng problema:

Halimbawa 2 Hanapin ang derivative ng isang function

Desisyon. I-differentiate bilang derivative ng kabuuan, kung saan ang pangalawang termino na may pare-parehong salik, maaari itong alisin sa tanda ng derivative:

Kung mayroon pa ring mga katanungan tungkol sa kung saan nagmula ang isang bagay, sila, bilang panuntunan, ay nagiging malinaw pagkatapos basahin ang talahanayan ng mga derivatives at ang pinakasimpleng mga patakaran ng pagkita ng kaibhan. Pupunta kami sa kanila ngayon.

Talaan ng mga derivatives ng mga simpleng function

1. Derivative ng isang pare-pareho (numero). Anumang numero (1, 2, 5, 200...) na nasa expression ng function. Laging zero. Napakahalagang tandaan ito, dahil madalas itong kinakailangan
2. Derivative ng independent variable. Kadalasan ay "x". Laging katumbas ng isa. Mahalaga rin itong tandaan
3. Derivative ng degree. Kapag nilulutas ang mga problema, kailangan mong i-convert ang mga di-square na ugat sa isang kapangyarihan.
4. Derivative ng isang variable sa kapangyarihan ng -1
5. Derivative parisukat na ugat
6. Sine derivative
7. Cosine derivative
8. Tangent derivative
9. Derivative ng cotangent
10. Derivative ng arcsine
11. Derivative ng arc cosine
12. Derivative ng arc tangent
13. Derivative ng inverse tangent
14. Derivative ng natural logarithm
15. Derivative ng isang logarithmic function
16. Derivative ng exponent
17. Derivative ng exponential function

Mga panuntunan sa pagkakaiba-iba

1. Derivative ng kabuuan o pagkakaiba
2. Derivative ng isang produkto
2a. Derivative ng isang expression na pinarami ng isang pare-parehong kadahilanan
3. Derivative ng quotient
4. Derivative ng isang kumplikadong function

Panuntunan 1Kung functions

ay differentiable sa ilang mga punto , pagkatapos ay sa parehong punto ang mga function

at

mga. ang derivative ng algebraic sum of functions ay algebraic sum derivatives ng mga function na ito.

Bunga. Kung ang dalawang naiba-iba na pag-andar ay naiiba sa pamamagitan ng isang pare-pareho, kung gayon ang kanilang mga derivatives ay, ibig sabihin.

Panuntunan 2Kung functions

ay naiba sa isang punto , pagkatapos ang kanilang produkto ay naiba-iba din sa parehong punto

at

mga. ang derivative ng produkto ng dalawang function ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng bawat isa sa mga function na ito at ang derivative ng isa pa.

Bunga 1. Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa tanda ng derivative:

Bunga 2. Ang derivative ng produkto ng ilang differentiable function ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng derivative ng bawat salik at lahat ng iba pa.

Halimbawa, para sa tatlong multiplier:

Panuntunan 3Kung functions

naiba sa isang punto at , pagkatapos sa puntong ito ang kanilang quotient ay din differentiable.u/v , at

mga. ang derivative ng isang quotient ng dalawang function ay katumbas ng isang fraction na ang numerator ay ang pagkakaiba sa pagitan ng mga produkto ng denominator at ang derivative ng numerator at numerator at ang derivative ng denominator, at ang denominator ay ang parisukat ng dating numerator .

Kung saan titingin sa ibang mga pahina

Kapag nahanap ang derivative ng produkto at ang quotient sa mga totoong problema, palaging kinakailangan na maglapat ng ilang mga panuntunan sa pagkita ng kaibhan nang sabay-sabay, kaya higit pang mga halimbawa sa mga derivatives na ito ang nasa artikulo."Ang derivative ng isang produkto at isang quotient".

Magkomento. Hindi mo dapat malito ang isang pare-pareho (iyon ay, isang numero) bilang isang termino sa kabuuan at bilang isang pare-parehong kadahilanan! Sa kaso ng isang termino, ang derivative nito ay katumbas ng zero, at sa kaso ng isang pare-parehong kadahilanan, ito ay kinuha mula sa tanda ng mga derivatives. ito tipikal na pagkakamali, na nangyayari sa paunang yugto pag-aaral ng mga derivatives, ngunit habang nilulutas nila ang ilang isa-dalawang bahagi na halimbawa, ang karaniwang mag-aaral ay hindi na gumagawa ng pagkakamaling ito.

At kung, kapag iniiba ang isang produkto o isang quotient, mayroon kang termino u"v, kung saan u- isang numero, halimbawa, 2 o 5, iyon ay, isang pare-pareho, kung gayon ang derivative ng numerong ito ay magiging katumbas ng zero at, samakatuwid, ang buong termino ay magiging katumbas ng zero (ang ganitong kaso ay sinusuri sa halimbawa 10) .

Iba pa karaniwang pagkakamali- mekanikal na solusyon ng derivative ng isang kumplikadong function bilang isang derivative ng isang simpleng function. samakatuwid derivative ng isang kumplikadong function nakatuon sa isang hiwalay na artikulo. Ngunit matututunan muna nating maghanap ng mga derivatives ng mga simpleng function.

Kasama ang paraan, hindi mo magagawa nang walang mga pagbabagong-anyo ng mga expression. Upang gawin ito, maaaring kailanganin mong buksan sa bagong mga manual ng windows Mga aksyon na may kapangyarihan at ugat at Mga aksyon na may mga fraction .

Kung naghahanap ka ng mga solusyon sa mga derivatives na may mga kapangyarihan at ugat, iyon ay, kapag ang function ay mukhang , pagkatapos ay sundan ang aralin na " Derivative of the sum of fractions with powers and roots".

Kung mayroon kang gawain tulad ng , kung gayon ikaw ay nasa aralin na "Derivatives of simple trigonometric functions".

Hakbang-hakbang na mga halimbawa - kung paano hanapin ang derivative

Halimbawa 3 Hanapin ang derivative ng isang function

Desisyon. Tinutukoy namin ang mga bahagi ng expression ng function: ang buong expression ay kumakatawan sa produkto, at ang mga salik nito ay mga kabuuan, sa pangalawa kung saan ang isa sa mga termino ay naglalaman ng pare-parehong kadahilanan. Inilapat namin ang panuntunan sa pagkakaiba-iba ng produkto: ang derivative ng produkto ng dalawang function ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng bawat isa sa mga function na ito at ang derivative ng isa pa:

Susunod, inilalapat namin ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng kabuuan: ang derivative ng algebraic sum ng mga function ay katumbas ng algebraic sum ng mga derivatives ng mga function na ito. Sa aming kaso, sa bawat kabuuan, ang pangalawang termino na may minus sign. Sa bawat kabuuan, makikita natin ang parehong independiyenteng variable, ang derivative nito ay katumbas ng isa, at isang pare-pareho (number), ang derivative nito ay katumbas ng zero. Kaya, ang "x" ay nagiging isa, at minus 5 - sa zero. Sa pangalawang expression, ang "x" ay pinarami ng 2, kaya pinarami namin ang dalawa sa parehong yunit bilang derivative ng "x". Nakukuha namin ang mga sumusunod na halaga ng mga derivatives:

Pinapalitan namin ang mga nahanap na derivatives sa kabuuan ng mga produkto at nakuha ang derivative ng buong function na kinakailangan ng kondisyon ng problema:

Halimbawa 4 Hanapin ang derivative ng isang function

Desisyon. Kinakailangan nating hanapin ang derivative ng quotient. Inilapat namin ang pormula para sa pagkakaiba-iba ng quotient: ang derivative ng isang quotient ng dalawang function ay katumbas ng isang fraction na ang numerator ay ang pagkakaiba sa pagitan ng mga produkto ng denominator at derivative ng numerator at numerator at ang derivative ng denominator, at ang denominator ay ang parisukat ng dating numerator. Nakukuha namin:

Natagpuan na natin ang derivative ng mga salik sa numerator sa Halimbawa 2. Huwag din nating kalimutan na ang produkto, na siyang pangalawang salik sa numerator sa kasalukuyang halimbawa, ay kinuha gamit ang minus sign:

Kung naghahanap ka ng mga solusyon sa mga ganitong problema kung saan kailangan mong hanapin ang derivative ng isang function, kung saan mayroong tuluy-tuloy na tumpok ng mga ugat at degree, tulad ng, halimbawa, pagkatapos ay maligayang pagdating sa klase "Ang derivative ng kabuuan ng mga fraction na may kapangyarihan at ugat" .

Kung kailangan mong matuto nang higit pa tungkol sa mga derivatives ng mga sine, cosine, tangent at iba pang trigonometric function, iyon ay, kapag ang function ay parang , tapos may lesson ka "Derivatives ng simpleng trigonometriko function" .

Halimbawa 5 Hanapin ang derivative ng isang function

Desisyon. Sa function na ito, nakikita natin ang isang produkto, ang isa sa mga kadahilanan kung saan ay ang square root ng independent variable, na may derivative kung saan pamilyar tayo sa talahanayan ng mga derivatives. Ayon sa panuntunan sa pagkakaiba-iba ng produkto at ang halaga ng tabular ng derivative ng square root, nakukuha natin:

Halimbawa 6 Hanapin ang derivative ng isang function

Desisyon. Sa function na ito, makikita natin ang quotient, na ang dibidendo ay ang square root ng independent variable. Ayon sa panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng quotient, na inulit namin at inilapat sa halimbawa 4, at ang halaga ng tabular ng derivative ng square root, nakukuha namin:

Upang maalis ang fraction sa numerator, i-multiply ang numerator at denominator sa .

Kung saan sinuri namin ang pinakasimpleng mga derivatives, at nakilala din ang mga patakaran ng pagkita ng kaibhan at ilang mga diskarte para sa paghahanap ng mga derivatives. Kaya, kung hindi ka masyadong mahusay sa mga derivatives ng mga function o ilang mga punto ng artikulong ito ay hindi lubos na malinaw, pagkatapos ay basahin muna ang aralin sa itaas. Mangyaring tune in sa isang seryosong mood - ang materyal ay hindi madali, ngunit susubukan ko pa ring ipakita ito nang simple at malinaw.

Sa pagsasagawa, kailangan mong harapin ang derivative ng isang kumplikadong function nang napakadalas, sasabihin ko kahit na halos palagi, kapag binigyan ka ng mga gawain upang makahanap ng mga derivatives.

Tinitingnan namin sa talahanayan ang panuntunan (No. 5) para sa pagkakaiba ng isang kumplikadong function:

Nakakaintindi kami. Una sa lahat, tingnan natin ang notasyon. Narito mayroon kaming dalawang function - at , at ang function, sa makasagisag na pagsasalita, ay naka-nest sa function . Ang isang function ng ganitong uri (kapag ang isang function ay nested sa loob ng isa pa) ay tinatawag na isang kumplikadong function.

Tatawagin ko ang function panlabas na pag-andar, at ang function – panloob (o nested) function.

! Ang mga kahulugang ito ay hindi teoretikal at hindi dapat lumabas sa panghuling disenyo ng mga takdang-aralin. magaapply ako mga impormal na pagpapahayag"panlabas na pag-andar", "panloob" na pag-andar lamang upang gawing mas madali para sa iyo na maunawaan ang materyal.

Upang linawin ang sitwasyon, isaalang-alang:

Halimbawa 1

Hanapin ang derivative ng isang function

Sa ilalim ng sine, mayroon kaming hindi lamang titik na "x", ngunit ang buong expression, kaya ang paghahanap ng hinalaw kaagad mula sa talahanayan ay hindi gagana. Napansin din namin na imposibleng ilapat ang unang apat na panuntunan dito, tila may pagkakaiba, ngunit ang katotohanan ay imposibleng "punitin" ang sine:

Sa halimbawang ito, malinaw na malinaw mula sa aking mga paliwanag na ang isang function ay isang kumplikadong function, at ang polynomial ay panloob na pag-andar(pag-embed), at - isang panlabas na function.

Unang hakbang, na dapat gawin kapag hinahanap ang derivative ng isang kumplikadong function ay to maunawaan kung aling function ang panloob at kung alin ang panlabas.

Kailan mga simpleng halimbawa tila malinaw na ang isang polynomial ay nakapugad sa ilalim ng sine. Pero paano kung hindi halata? Paano matukoy nang eksakto kung aling function ang panlabas at alin ang panloob? Upang gawin ito, ipinapanukala kong gamitin ang sumusunod na pamamaraan, na maaaring isagawa sa pag-iisip o sa isang draft.

Isipin natin na kailangan nating kalkulahin ang halaga ng expression gamit ang isang calculator (sa halip na isa, maaaring mayroong anumang numero).

Ano ang una nating kalkulahin? Una sa lahat ay kailangang gawin susunod na aksyon: , kaya ang polynomial ang magiging panloob na function :

Pangalawa kakailanganin mong hanapin, kaya ang sine - ay magiging isang panlabas na function:

Pagkatapos nating UNAWAIN na may mga panloob at panlabas na pag-andar, oras na upang ilapat ang panuntunan sa pagkakaiba-iba ng compound function .

Magsisimula kaming magdesisyon. Mula sa aralin Paano mahahanap ang derivative? naaalala namin na ang disenyo ng solusyon ng anumang derivative ay palaging nagsisimula tulad nito - isinasama namin ang expression sa mga bracket at naglalagay ng isang stroke sa kanang tuktok:

Una hanapin ang derivative panlabas na pag-andar(sine), tingnan ang talahanayan ng mga derivatives ng elementarya function at pansinin na . Ang lahat ng mga formula sa tabular ay naaangkop kahit na ang "x" ay pinalitan ng isang kumplikadong expression, sa kasong ito:

Tandaan na ang panloob na pag-andar ay hindi nagbago, hindi namin ito ginagalaw.

Well, ito ay medyo halata na

Ang resulta ng paglalapat ng formula malinis ang hitsura nito:

Ang pare-parehong kadahilanan ay karaniwang inilalagay sa simula ng expression:

Kung mayroong anumang hindi pagkakaunawaan, isulat ang desisyon sa papel at basahin muli ang mga paliwanag.

Halimbawa 2

Hanapin ang derivative ng isang function

Halimbawa 3

Hanapin ang derivative ng isang function

Gaya ng nakasanayan, isinusulat namin:

Inaalam namin kung saan mayroon kaming panlabas na function, at kung saan ang panloob. Upang gawin ito, sinusubukan namin (sa isip o sa isang draft) na kalkulahin ang halaga ng expression para sa . Ano ang kailangang gawin muna? Una sa lahat, kailangan mong kalkulahin kung ano ang katumbas ng base:, na nangangahulugang ang polynomial ay ang panloob na pag-andar:

At, pagkatapos lamang maisagawa ang exponentiation, samakatuwid, ang power function ay isang panlabas na function:

Ayon sa formula , kailangan mo munang hanapin ang derivative ng panlabas na function, sa kasong ito, ang degree. Hinahanap namin ang nais na formula sa talahanayan:. Ulitin namin muli: anumang tabular formula ay may bisa hindi lamang para sa "x", ngunit para din sa isang kumplikadong expression. Kaya, ang resulta ng paglalapat ng panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong function susunod:

Muli kong binibigyang-diin na kapag kinuha natin ang derivative ng panlabas na function, ang panloob na function ay hindi nagbabago:

Ngayon ay nananatili itong makahanap ng isang napaka-simpleng derivative ng panloob na pag-andar at "suklayin" ang resulta nang kaunti:

Halimbawa 4

Hanapin ang derivative ng isang function

Ito ay isang halimbawa para sa paglutas sa sarili (sagutin sa katapusan ng aralin).

Upang pagsamahin ang pag-unawa sa derivative ng isang kumplikadong pag-andar, magbibigay ako ng isang halimbawa nang walang mga komento, subukang malaman ito sa iyong sarili, dahilan, nasaan ang panlabas at nasaan ang panloob na pag-andar, bakit nalutas ang mga gawain sa ganoong paraan?

Halimbawa 5

a) Hanapin ang derivative ng isang function

b) Hanapin ang derivative ng function

Halimbawa 6

Hanapin ang derivative ng isang function

Dito mayroon tayong ugat, at upang maiiba ang ugat, dapat itong irepresenta bilang isang degree. Kaya, dinadala muna namin ang function sa tamang anyo para sa pagkita ng kaibhan:

Pag-aaral ng function, dumating tayo sa konklusyon na ang kabuuan ng tatlong termino ay isang panloob na function, at ang exponentiation ay isang panlabas na function. Inilapat namin ang panuntunan ng pagkita ng kaibahan ng isang kumplikadong function :

Ang antas ay muling kinakatawan bilang isang radikal (ugat), at para sa derivative ng panloob na pag-andar, nag-aaplay kami ng isang simpleng panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng kabuuan:

handa na. Maaari mo ring dalhin ang expression sa isang common denominator sa mga bracket at isulat ang lahat bilang isang fraction. Maganda ito, siyempre, ngunit kapag nakuha ang masalimuot na mahabang derivatives, mas mahusay na huwag gawin ito (madaling malito, gumawa ng hindi kinakailangang pagkakamali, at magiging abala para sa guro na suriin).

Halimbawa 7

Hanapin ang derivative ng isang function

Ito ay isang halimbawa para sa paglutas sa sarili (sagutin sa katapusan ng aralin).

Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na kung minsan, sa halip na ang panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng isang kumplikadong function, ang isa ay maaaring gumamit ng panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng isang kusyente , ngunit ang ganitong solusyon ay magmumukhang hindi pangkaraniwan na perversion. Narito ang isang tipikal na halimbawa:

Halimbawa 8

Hanapin ang derivative ng isang function

Dito maaari mong gamitin ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng quotient , ngunit ito ay higit na kumikita upang mahanap ang derivative sa pamamagitan ng panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong function:

Inihahanda namin ang function para sa pagkita ng kaibhan - kinuha namin ang minus sign ng derivative, at itinaas ang cosine sa numerator:

Ang cosine ay isang panloob na pag-andar, ang exponentiation ay isang panlabas na pag-andar.
Gamitin natin ang ating panuntunan :

Nahanap namin ang derivative ng panloob na function, i-reset ang cosine pabalik pababa:

handa na. Sa isinasaalang-alang na halimbawa, mahalagang huwag malito sa mga palatandaan. Sa pamamagitan ng paraan, subukang lutasin ito gamit ang panuntunan , dapat magkatugma ang mga sagot.

Halimbawa 9

Hanapin ang derivative ng isang function

Ito ay isang halimbawa para sa paglutas sa sarili (sagutin sa katapusan ng aralin).

Sa ngayon, isinasaalang-alang namin ang mga kaso kung saan mayroon lang kaming isang nesting sa isang kumplikadong function. Sa mga praktikal na gawain, madalas kang makakahanap ng mga derivatives, kung saan, tulad ng mga nesting doll, isa sa loob ng isa, 3 o kahit 4-5 na function ay nakapugad nang sabay-sabay.

Halimbawa 10

Hanapin ang derivative ng isang function

Naiintindihan namin ang mga attachment ng function na ito. Sinusubukan naming suriin ang expression gamit ang pang-eksperimentong halaga. Paano tayo mabibilang sa isang calculator?

Una kailangan mong hanapin, na nangangahulugang ang arcsine ay ang pinakamalalim na pugad:

Ang arcsine ng pagkakaisa na ito ay dapat na kuwadrado:

At sa wakas, itinataas natin ang pito sa kapangyarihan:

Iyon ay, sa halimbawang ito mayroon tayong tatlong magkakaibang function at dalawang nesting, habang ang pinakaloob na function ay ang arcsine, at ang pinakalabas na function ay ang exponential function.

Magsisimula kaming magdesisyon

Ayon sa tuntunin kailangan mo munang kunin ang derivative ng panlabas na function. Tinitingnan namin ang talahanayan ng mga derivatives at hinahanap ang derivative ng exponential function: Ang pagkakaiba lamang ay sa halip na "x" mayroon kaming isang kumplikadong expression, na hindi binabalewala ang bisa ng formula na ito. Kaya, ang resulta ng paglalapat ng panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong function susunod.