Ang formula para sa kabuuan ng isang algebraic progression. Algebraic progression. Kabuuan ng algebraic progression - formula

Uri ng aralin: pag-aaral ng bagong materyal.

Layunin ng Aralin:

pagpapalawak at pagpapalalim ng mga ideya ng mga mag-aaral tungkol sa mga gawaing nalutas gamit pag-unlad ng aritmetika; organisasyon ng aktibidad sa paghahanap ng mga mag-aaral kapag kumukuha ng pormula para sa kabuuan ng unang n miyembro ng isang pag-unlad ng aritmetika;
pag-unlad ng mga kasanayan upang malayang makakuha ng bagong kaalaman, gumamit ng nakuha na kaalaman upang makamit ang gawain;
pag-unlad ng pagnanais at pangangailangan na gawing pangkalahatan ang mga katotohanang nakuha, ang pag-unlad ng kalayaan.

Mga gawain:

gawing pangkalahatan at gawing sistematiko ang umiiral na kaalaman sa paksang "Arithmetic progression";
kumuha ng mga formula para sa pagkalkula ng kabuuan ng unang n miyembro ng isang pag-unlad ng arithmetic;
ituro kung paano ilapat ang mga nakuhang formula sa paglutas iba't ibang gawain;
maakit ang atensyon ng mga mag-aaral sa pamamaraan para sa paghahanap ng halaga ng isang numerical expression.

Kagamitan:

card na may mga gawain para sa trabaho sa mga grupo at pares;
papel ng pagsusuri;
pagtatanghal"Aritmetikong pag-unlad".

I. Aktwalisasyon ng pangunahing kaalaman.

1. Pansariling gawain dalawahan.

1st option:

Tukuyin ang isang pag-unlad ng aritmetika. Sumulat ng isang recursive formula na tumutukoy sa isang pag-unlad ng arithmetic. Magbigay ng halimbawa ng pag-unlad ng aritmetika at ipahiwatig ang pagkakaiba nito.

2nd option:

Isulat ang formula para sa ika-n na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic. Hanapin ang ika-100 termino ng isang pag-unlad ng arithmetic ( isang n}: 2, 5, 8 …
Sa oras na ito, dalawang estudyante reverse side ang mga board ay naghahanda ng mga sagot sa parehong mga tanong.
Sinusuri ng mga mag-aaral ang gawain ng kapareha sa pamamagitan ng paghahambing nito sa pisara. (Ang mga leaflet na may mga sagot ay ibibigay).

2. sandali ng laro.

Ehersisyo 1.

Guro. Naglihi ako ng ilang pag-unlad ng aritmetika. Magtanong sa akin ng dalawang tanong lamang upang pagkatapos ng mga sagot ay mabilis mong pangalanan ang ika-7 miyembro ng pag-unlad na ito. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Mga tanong mula sa mga mag-aaral.

Ano ang ikaanim na termino ng pag-unlad at ano ang pagkakaiba?
Ano ang ikawalong termino ng pag-unlad at ano ang pagkakaiba?

Kung wala nang mga katanungan, maaari silang pasiglahin ng guro - isang "pagbabawal" sa d (pagkakaiba), iyon ay, hindi pinapayagan na magtanong kung ano ang pagkakaiba. Maaari kang magtanong: ano ang ika-6 na termino ng pag-unlad at ano ang ika-8 termino ng pag-unlad?

Gawain 2.

Mayroong 20 numero na nakasulat sa pisara: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Nakatalikod ang guro sa pisara. Sinasabi ng mga estudyante ang numero ng numero, at agad na tinawag ng guro ang numero mismo. Ipaliwanag kung paano ko ito magagawa?

Naaalala ng guro ang pormula ng ika-n na termino isang n \u003d 3n - 2 at, pinapalitan ang ibinigay na mga halaga ng n, hinahanap ang kaukulang mga halaga a n .

II. Pahayag ng gawaing pang-edukasyon.

Iminumungkahi kong lutasin ang isang lumang problema noong ika-2 milenyo BC, na matatagpuan sa Egyptian papyri.

Gawain:“Sabihin sa inyo: hatiin ang 10 takal ng barley sa pagitan ng 10 tao, ang pagkakaiba ng bawat tao at ng kanyang kapwa ay 1/8 ng sukat.”

Paano nauugnay ang problemang ito sa paksa ng pag-unlad ng aritmetika? (Ang bawat susunod na tao ay makakakuha ng 1/8 ng sukat ng higit pa, kaya ang pagkakaiba ay d=1/8, 10 tao, kaya n=10.)
Ano sa palagay mo ang ibig sabihin ng numero 10? (Ang kabuuan ng lahat ng miyembro ng progression.)
Ano pa ang kailangan mong malaman para maging madali at simple ang paghahati ng barley ayon sa kondisyon ng problema? (Ang unang termino ng pag-unlad.)

Layunin ng aralin- pagkuha ng dependence ng kabuuan ng mga tuntunin ng pag-unlad sa kanilang numero, ang unang termino at ang pagkakaiba, at pagsuri kung ang problema ay nalutas nang tama sa sinaunang panahon.

Bago makuha ang formula, tingnan natin kung paano nalutas ng mga sinaunang Egyptian ang problema.

At nalutas nila ito tulad nito:

1) 10 sukat: 10 = 1 sukat - average na bahagi;
2) 1 sukat ∙ = 2 sukat - nadoble karaniwan ibahagi.
nadoble karaniwan ang bahagi ay ang kabuuan ng mga bahagi ng ika-5 at ika-6 na tao.
3) 2 sukat - 1/8 sukat = 1 7/8 sukat - dalawang beses ang bahagi ng ikalimang tao.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - ang bahagi ng ikalima; at iba pa, mahahanap mo ang bahagi ng bawat nauna at kasunod na tao.

Nakukuha namin ang pagkakasunud-sunod:

III. Ang solusyon sa gawain.

1. Magpangkat-pangkat

1st group: Hanapin ang kabuuan ng 20 magkakasunod na natural na numero: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

SA pangkalahatang pananaw

II pangkat: Hanapin ang kabuuan ng mga natural na numero mula 1 hanggang 100 (Alamat ng Little Gauss).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Konklusyon:

III pangkat: Hanapin ang kabuuan ng mga natural na numero mula 1 hanggang 21.

Solusyon: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Konklusyon:

IV pangkat: Hanapin ang kabuuan ng mga natural na numero mula 1 hanggang 101.

Konklusyon:

Ang pamamaraang ito ng paglutas ng mga itinuturing na problema ay tinatawag na "Gauss method".

2. Ang bawat pangkat ay naglalahad ng solusyon sa suliranin sa pisara.

3. Paglalahat ng mga iminungkahing solusyon para sa isang di-makatwirang pag-unlad ng arithmetic:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Nahanap namin ang kabuuan na ito sa pamamagitan ng pagtatalo nang katulad:

4. Nalutas na ba natin ang gawain?(Oo.)

IV. Pangunahing pag-unawa at paggamit ng mga nakuhang formula sa paglutas ng mga problema.

1. Sinusuri ang solusyon ng isang lumang problema sa pamamagitan ng formula.

2. Paglalapat ng pormula sa paglutas ng iba't ibang suliranin.

3. Mga pagsasanay para sa pagbuo ng kakayahang magamit ang formula sa paglutas ng mga problema.

A) Blg. 613

binigay :( at n) - pag-unlad ng aritmetika;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Hanapin: S 1500

Solusyon: , at 1 = 1, at 1500 = 1500,

B) Ibinigay: ( at n) - pag-unlad ng aritmetika;
(at n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

Hanapin: n
Solusyon:

V. Independiyenteng trabaho na may mutual na pagpapatunay.

Nagtrabaho si Denis bilang isang courier. Sa unang buwan, ang kanyang suweldo ay 200 rubles, sa bawat kasunod na buwan ay tumaas ito ng 30 rubles. Magkano ang kinita niya sa isang taon?

binigay :( at n) - pag-unlad ng aritmetika;
a 1 = 200, d=30, n=12
Hanapin: S 12
Solusyon:

Sagot: Nakatanggap si Denis ng 4380 rubles para sa taon.

VI. Pagtuturo sa takdang-aralin.

p. 4.3 - alamin ang derivation ng formula.
№№ 585, 623 .
Bumuo ng isang problema na malulutas gamit ang pormula para sa kabuuan ng unang n termino ng isang pag-unlad ng aritmetika.

VII. Pagbubuod ng aralin.

1. Iskor sheet

2. Ipagpatuloy ang mga pangungusap

Ngayon sa klase natutunan ko...
Mga Natutunang Formula...
Naniniwala ako na…

3. Mahahanap mo ba ang kabuuan ng mga numero mula 1 hanggang 500? Anong paraan ang iyong gagamitin upang malutas ang problemang ito?

Bibliograpiya.

1. Algebra, ika-9 na baitang. Tutorial para sa institusyong pang-edukasyon. Ed. G.V. Dorofeeva. Moscow: Enlightenment, 2009.

Pansin!
May mga karagdagang
materyal sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga malakas na "hindi masyadong..."
At para sa mga "sobra...")

Ang pag-unlad ng arithmetic ay isang serye ng mga numero kung saan ang bawat numero ay mas malaki (o mas kaunti) kaysa sa nauna sa pamamagitan ng parehong halaga.

Ang paksang ito ay kadalasang mahirap at hindi maintindihan. Mga index ng titik, ika-1 miyembro mga pag-unlad, ang pagkakaiba sa pag-unlad - lahat ng ito ay kahit papaano ay nakakalito, oo ... Alamin natin ang kahulugan ng pag-unlad ng aritmetika at lahat ay gagana kaagad.)

Ang konsepto ng pag-unlad ng aritmetika.

Ang pag-unlad ng aritmetika ay isang napakasimple at malinaw na konsepto. Pagdududa? Walang kabuluhan.) Tingnan mo ang iyong sarili.

Magsusulat ako ng hindi natapos na serye ng mga numero:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Maaari mo bang pahabain ang linyang ito? Anong mga numero ang susunod, pagkatapos ng lima? Lahat ... uh ..., sa madaling salita, malalaman ng lahat na ang mga numero 6, 7, 8, 9, atbp.

Gawin nating kumplikado ang gawain. Nagbibigay ako ng hindi natapos na serye ng mga numero:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Maaari mong makuha ang pattern, pahabain ang serye, at pangalanan ikapito numero ng hilera?

Kung naisip mo na ang numerong ito ay 20 - binabati kita! Hindi mo lang naramdaman pangunahing puntos pag-unlad ng aritmetika, ngunit matagumpay ding nagamit ang mga ito sa negosyo! Kung hindi mo maintindihan, basahin mo.

Ngayon, isalin natin ang mga pangunahing punto mula sa mga sensasyon sa matematika.)

Unang mahalagang punto.

Ang pag-unlad ng aritmetika ay tumatalakay sa mga serye ng mga numero. Ito ay nakalilito sa una. Nakasanayan na namin ang paglutas ng mga equation, pagbuo ng mga graph at lahat ng iyon ... At pagkatapos ay pahabain ang serye, hanapin ang bilang ng serye ...

ayos lang. Ito ay lamang na ang mga pag-unlad ay ang unang kakilala sa isang bagong sangay ng matematika. Ang seksyon ay tinatawag na "Serye" at gumagana sa mga serye ng mga numero at expression. Masanay ka na.)

Pangalawang pangunahing punto.

Sa isang pag-unlad ng aritmetika, ang anumang numero ay naiiba sa nauna sa parehong halaga.

Sa unang halimbawa, ang pagkakaibang ito ay isa. Anuman ang bilang na kunin mo, ito ay higit pa ng isa kaysa sa nauna. Sa pangalawa - tatlo. Ang anumang numero ay tatlong beses na mas malaki kaysa sa nauna. Sa totoo lang, ito ang sandaling ito na nagbibigay sa amin ng pagkakataon na mahuli ang pattern at kalkulahin ang kasunod na mga numero.

Pangatlong pangunahing punto.

Ang sandaling ito ay hindi kapansin-pansin, oo ... Ngunit napaka, napakahalaga. Narito siya: bawat isa numero ng pag-unlad nakatayo sa pwesto nito. Mayroong unang numero, mayroong ikapito, mayroong apatnapu't lima, at iba pa. Kung malito mo sila nang biglaan, mawawala ang pattern. Mawawala din ang arithmetic progression. Ito ay isang serye lamang ng mga numero.

Iyon ang buong punto.

Siyempre, sa bagong paksa lalabas ang mga bagong termino at notasyon. Kailangan nilang malaman. Kung hindi, hindi mo maiintindihan ang gawain. Halimbawa, kailangan mong magpasya tulad ng:

Isulat ang unang anim na termino ng arithmetic progression (a n) kung a 2 = 5, d = -2.5.

Nakaka-inspire ba ito?) Mga liham, ilang mga index... At ang gawain, sa pamamagitan ng paraan, ay hindi maaaring maging mas madali. Kailangan mo lamang na maunawaan ang kahulugan ng mga termino at notasyon. Ngayon ay pag-uusapan natin ang bagay na ito at babalik sa gawain.

Mga tuntunin at pagtatalaga.

Arithmetic progression ay isang serye ng mga numero kung saan ang bawat numero ay iba sa nauna sa parehong halaga.

Ang halagang ito ay tinatawag . Pag-usapan natin ang konseptong ito nang mas detalyado.

Pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika.

Pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika ay ang halaga kung saan ang anumang numero ng pag-unlad higit pa ang nauna.

Isa mahalagang punto. Mangyaring bigyang-pansin ang salita "higit pa". Sa matematika, nangangahulugan ito na ang bawat numero ng pag-unlad ay nakuha pagdaragdag ang pagkakaiba ng isang arithmetic progression sa nakaraang numero.

Upang makalkula, sabihin natin pangalawa mga numero ng hilera, ito ay kinakailangan upang una numero idagdag ang mismong pagkakaibang ito ng isang pag-unlad ng aritmetika. Para sa pagkalkula panglima- kailangan ang pagkakaiba idagdag Upang pang-apat mabuti, atbp.

Pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika Maaaring positibo pagkatapos ang bawat numero ng serye ay magiging totoo higit pa sa nauna. Ang pag-unlad na ito ay tinatawag dumarami. Halimbawa:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Narito ang bawat numero pagdaragdag positibong numero, +5 sa nauna.

Ang pagkakaiba ay maaaring negatibo pagkatapos ay ang bawat numero sa serye ay magiging mas mababa kaysa sa nauna. Ang pag-unlad na ito ay tinatawag na (hindi ka maniniwala!) bumababa.

Halimbawa:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Dito nakuha din ang bawat numero pagdaragdag sa dati, ngunit negatibong numero na, -5.

Sa pamamagitan ng paraan, kapag nagtatrabaho sa isang pag-unlad, ito ay lubhang kapaki-pakinabang upang agad na matukoy ang kalikasan nito - kung ito ay tumataas o bumababa. Malaki ang maitutulong upang mahanap ang iyong mga paniniwala sa desisyon, upang matukoy ang iyong mga pagkakamali at itama ang mga ito bago maging huli ang lahat.

Pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika karaniwang tinutukoy ng titik d.

Paano hanapin d? Napakasimple. Ito ay kinakailangan upang ibawas mula sa anumang bilang ng mga serye dati numero. Ibawas. Sa pamamagitan ng paraan, ang resulta ng pagbabawas ay tinatawag na "pagkakaiba".)

Tukuyin natin, halimbawa, d para sa pagtaas ng pag-unlad ng aritmetika:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Kinukuha namin ang anumang numero ng row na gusto namin, halimbawa, 11. Ibawas dito ang dating numero mga. 8:

Ito ang tamang sagot. Para sa pag-unlad ng arithmetic na ito, ang pagkakaiba ay tatlo.

Pwede ka na lang kumuha anumang bilang ng mga pag-unlad, kasi para sa isang tiyak na pag-unlad d-palaging pareho. Kahit saan sa simula ng row, kahit sa gitna, kahit saan. Hindi mo maaaring kunin lamang ang pinakaunang numero. Dahil lang sa pinakaunang numero walang nauna.)

Sa pamamagitan ng paraan, alam iyon d=3, ang paghahanap ng ikapitong numero ng pag-unlad na ito ay napakasimple. Nagdaragdag kami ng 3 sa ikalimang numero - nakukuha namin ang ikaanim, ito ay magiging 17. Nagdaragdag kami ng tatlo sa ikaanim na numero, nakuha namin ang ikapitong numero - dalawampu't.

Tukuyin natin d para sa isang bumababang pag-unlad ng aritmetika:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Ipinaaalala ko sa iyo na, anuman ang mga palatandaan, upang matukoy d kailangan mula sa anumang numero tanggalin ang nauna. Pinipili namin ang anumang bilang ng pag-unlad, halimbawa -7. Ang dati niyang numero ay -2. Pagkatapos:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Ang pagkakaiba ng isang arithmetic progression ay maaaring maging anumang numero: integer, fractional, irrational, any.

Iba pang mga termino at pagtatalaga.

Ang bawat numero sa serye ay tinatawag miyembro ng isang arithmetic progression.

Ang bawat miyembro ng pag-unlad may number niya. Ang mga numero ay mahigpit na nakaayos, nang walang anumang mga trick. Una, pangalawa, pangatlo, pang-apat, atbp. Halimbawa, sa progression 2, 5, 8, 11, 14, ... dalawa ang unang miyembro, lima ang pangalawa, labing-isa ang pang-apat, well, naiintindihan mo ...) Mangyaring malinaw na maunawaan - ang mga numero mismo maaaring maging ganap na anuman, buo, fractional, negatibo, anuman, ngunit pagnunumero- mahigpit sa pagkakasunud-sunod!

Paano magsulat ng isang pag-unlad sa pangkalahatang anyo? Walang problema! Ang bawat numero sa serye ay nakasulat bilang isang titik. Upang tukuyin ang isang pag-unlad ng aritmetika, bilang panuntunan, ginagamit ang titik a. Ang numero ng miyembro ay ipinahiwatig ng index sa kanang ibaba. Ang mga miyembro ay isinusulat na pinaghihiwalay ng mga kuwit (o semicolon), tulad nito:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

a 1 ay ang unang numero a 3- pangatlo, atbp. Walang nakakalito. Maaari mong isulat ang seryeng ito nang maikli tulad nito: (isang n).

May mga pag-unlad may hangganan at walang hanggan.

Ultimate ang pag-unlad ay may limitadong bilang ng mga miyembro. Lima, tatlumpu't walo, anuman. Ngunit ito ay isang may hangganang numero.

Walang katapusang progression - may walang katapusang bilang ng mga miyembro, gaya ng maaari mong hulaan.)

Maaari kang magsulat ng panghuling pag-unlad sa pamamagitan ng seryeng tulad nito, lahat ng miyembro at isang tuldok sa dulo:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .

O tulad nito, kung maraming miyembro:

a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .

Sa isang maikling entry, kailangan mong ipahiwatig din ang bilang ng mga miyembro. Halimbawa (para sa dalawampung miyembro), tulad nito:

(a n), n = 20

Ang isang walang katapusang pag-unlad ay maaaring makilala ng ellipsis sa dulo ng hilera, tulad ng sa mga halimbawa sa araling ito.

Ngayon ay maaari mo nang lutasin ang mga gawain. Ang mga gawain ay simple, para lamang sa pag-unawa sa kahulugan ng pag-unlad ng arithmetic.

Mga halimbawa ng mga gawain para sa pag-unlad ng aritmetika.

Tingnan natin ang gawain sa itaas:

1. Isulat ang unang anim na miyembro ng arithmetic progression (a n), kung a 2 = 5, d = -2.5.

Isinasalin namin ang gawain sa naiintindihang wika. Dahil sa walang katapusang pag-unlad ng aritmetika. Ang pangalawang bilang ng pag-unlad na ito ay kilala: a 2 = 5. Kilalang pagkakaiba sa pag-unlad: d = -2.5. Kailangan nating hanapin ang una, ikatlo, ikaapat, ikalima at ikaanim na miyembro ng pag-unlad na ito.

Para sa kalinawan, magsusulat ako ng isang serye ayon sa kondisyon ng problema. Ang unang anim na miyembro, kung saan ang pangalawang miyembro ay lima:

a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,....

a 3 = a 2 + d

Pinapalitan namin sa expression a 2 = 5 At d=-2.5. Huwag kalimutan ang minus!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Ang ikatlong termino ay mas mababa kaysa sa pangalawa. Ang lahat ay lohikal. Kung ang bilang ay mas malaki kaysa sa nauna negatibo halaga, kaya ang numero mismo ay magiging mas mababa kaysa sa nauna. Bumababa ang progreso. Okay, isaalang-alang natin ito.) Isinasaalang-alang namin ang ikaapat na miyembro ng aming serye:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

isang 5 = a 4 + d

isang 5=0+(-2,5)= - 2,5

isang 6 = isang 5 + d

isang 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Kaya, ang mga termino mula sa ikatlo hanggang sa ikaanim ay nakalkula. Nagresulta ito sa isang serye:

a 1 , 5 , 2.5 , 0 , -2.5 , -5 , ....

Ito ay nananatiling hanapin ang unang termino a 1 ayon sa kilalang pangalawa. Ito ay isang hakbang sa kabilang direksyon, sa kaliwa.) Kaya, ang pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika d hindi dapat idagdag sa a 2, A alisin:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Hanggang dito na lang. Tugon sa gawain:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Sa pagpasa, tandaan ko na nalutas namin ang gawaing ito paulit-ulit paraan. Ang kakila-kilabot na salitang ito ay nangangahulugang, tanging, ang paghahanap para sa isang miyembro ng pag-unlad sa pamamagitan ng nakaraang (katabing) numero. Tatalakayin sa ibang pagkakataon ang iba pang mga paraan upang gumana sa pag-unlad.

Isang mahalagang konklusyon ang maaaring makuha mula sa simpleng gawaing ito.

Tandaan:

Kung alam natin ang kahit isang miyembro at ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng aritmetika, mahahanap natin ang sinumang miyembro ng pag-unlad na ito.

Tandaan? Ang simpleng derivation na ito ay nagpapahintulot sa amin na malutas ang karamihan sa mga problema kurso sa paaralan sa paksang ito. Ang lahat ng mga gawain ay umiikot sa tatlong pangunahing mga parameter: miyembro ng isang aritmetika progression, pagkakaiba ng isang progression, bilang ng isang miyembro ng isang progression. Lahat.

Siyempre, ang lahat ng nakaraang algebra ay hindi kinansela.) Ang mga hindi pagkakapantay-pantay, mga equation, at iba pang mga bagay ay nakakabit sa pag-unlad. Pero ayon sa pag-unlad- lahat ay umiikot sa tatlong parameter.

Halimbawa, isaalang-alang ang ilang mga tanyag na gawain sa paksang ito.

2. Isulat ang huling pag-unlad ng arithmetic bilang isang serye kung n=5, d=0.4, at isang 1=3.6.

Simple lang ang lahat dito. Lahat binigay na. Kailangan mong tandaan kung paano kinakalkula, binibilang, at isinulat ang mga miyembro ng isang pag-unlad ng aritmetika. Maipapayo na huwag laktawan ang mga salita sa kondisyon ng gawain: "pangwakas" at " n=5". Upang hindi na mabilang hanggang sa ganap kang asul ang mukha.) Mayroon lamang 5 (limang) miyembro sa pag-unlad na ito:

isang 2 \u003d isang 1 + d \u003d 3.6 + 0.4 \u003d 4

isang 3 \u003d isang 2 + d \u003d 4 + 0.4 \u003d 4.4

a 4 = a 3 + d = 4.4 + 0.4 = 4.8

isang 5 = a 4 + d = 4.8 + 0.4 = 5.2

Ito ay nananatiling isulat ang sagot:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Isa pang gawain:

3. Tukuyin kung ang numero 7 ay magiging miyembro ng isang arithmetic progression (a n) kung isang 1 \u003d 4.1; d = 1.2.

Hmm... Sinong nakakaalam? Paano tukuyin ang isang bagay?

Paano-paano ... Oo, isulat ang pag-unlad sa anyo ng isang serye at tingnan kung magkakaroon ng pito o wala! Naniniwala kami:

isang 2 \u003d isang 1 + d \u003d 4.1 + 1.2 \u003d 5.3

isang 3 \u003d isang 2 + d \u003d 5.3 + 1.2 \u003d 6.5

a 4 = a 3 + d = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Ngayon ay malinaw na nakikita na kami ay pito lamang nakalusot sa pagitan ng 6.5 at 7.7! Ang pito ay hindi nakapasok sa aming serye ng mga numero, at, samakatuwid, ang pito ay hindi magiging miyembro ng ibinigay na pag-unlad.

Sagot: hindi.

At narito ang isang gawain batay sa isang tunay na bersyon ng GIA:

4. Ilang magkakasunod na miyembro ng arithmetic progression ang nakasulat:

...; 15; X; 9; 6; ...

Narito ang isang serye na walang katapusan at simula. Walang numero ng miyembro, walang pagkakaiba d. ayos lang. Upang malutas ang problema, sapat na upang maunawaan ang kahulugan ng isang pag-unlad ng aritmetika. Tingnan natin at tingnan kung ano ang magagawa natin para malaman mula sa linyang ito? Ano ang mga parameter ng tatlong pangunahing mga?

Mga numero ng miyembro? Walang kahit isang numero dito.

Ngunit mayroong tatlong numero at - pansin! - salita "magkasunod" nasa kondisyon. Nangangahulugan ito na ang mga numero ay mahigpit na nakaayos, walang mga puwang. Dalawa ba sa row na ito? kapitbahay mga kilalang numero? Oo meron ako! Ito ay 9 at 6. Para makalkula natin ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng arithmetic! Ibawas namin sa anim dati numero, i.e. siyam:

May natitira pang mga bakanteng espasyo. Anong numero ang magiging nauna para sa x? labinlima. Kaya ang x ay madaling mahanap sa pamamagitan ng simpleng karagdagan. Sa 15 idagdag ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng aritmetika:

Iyon lang. Sagot: x=12

Kami mismo ang nagresolba ng mga sumusunod na problema. Tandaan: ang mga puzzle na ito ay hindi para sa mga formula. Purely para sa pag-unawa sa kahulugan ng isang arithmetic progression.) Nagsusulat lang kami ng isang serye ng mga numero-titik, tingnan at isipin.

5. Hanapin ang unang positive term ng arithmetic progression kung a 5 = -3; d = 1.1.

6. Ito ay kilala na ang numero 5.5 ay isang miyembro ng arithmetic progression (a n), kung saan a 1 = 1.6; d = 1.3. Tukuyin ang bilang n ng terminong ito.

7. Ito ay kilala na sa isang arithmetic progression isang 2 = 4; isang 5 \u003d 15.1. Maghanap ng 3.

8. Ilang magkakasunod na miyembro ng arithmetic progression ang nakasulat:

...; 15.6; X; 3.4; ...

Hanapin ang termino ng progression, na tinutukoy ng titik x.

9. Nagsimulang gumalaw ang tren mula sa istasyon, unti-unting tumataas ang bilis nito ng 30 metro kada minuto. Ano ang magiging bilis ng tren sa loob ng limang minuto? Ibigay ang iyong sagot sa km/h.

10. Ito ay kilala na sa isang arithmetic progression isang 2 = 5; a 6 = -5. Maghanap ng 1.

Mga sagot (magulo): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; 4.

Nagtagumpay ang lahat? Kahanga-hanga! Maaari mong master ang arithmetic progression para sa higit pa mataas na lebel, sa susunod na mga aralin.

Hindi ba naging maayos ang lahat? Walang problema. Sa Espesyal na Seksyon 555, ang lahat ng mga puzzle na ito ay pinaghiwa-hiwalay.) At, siyempre, isang simpleng praktikal na pamamaraan ay inilarawan na agad na nagha-highlight sa solusyon ng naturang mga gawain nang malinaw, malinaw, tulad ng sa iyong palad!

Sa pamamagitan ng paraan, sa palaisipan tungkol sa tren mayroong dalawang mga problema kung saan ang mga tao ay madalas na natitisod. Isa - puro sa pamamagitan ng pag-unlad, at ang pangalawa - karaniwan sa anumang mga gawain sa matematika, at physics din. Isa itong pagsasalin ng mga sukat mula sa isa't isa. Ipinapakita nito kung paano dapat lutasin ang mga problemang ito.

Sa araling ito, sinuri namin ang elementarya na kahulugan ng isang pag-unlad ng arithmetic at ang mga pangunahing parameter nito. Ito ay sapat na upang malutas ang halos lahat ng mga problema sa paksang ito. Idagdag d sa mga numero, magsulat ng isang serye, ang lahat ay magpapasya.

Ang solusyon sa daliri ay mahusay na gumagana para sa napakaikling piraso ng serye, tulad ng sa mga halimbawa sa araling ito. Kung mas mahaba ang serye, magiging mas kumplikado ang mga kalkulasyon. Halimbawa, kung sa problema 9 sa tanong, palitan "limang minuto" sa "tatlumpu't limang minuto" lalala ang problema.)

At mayroon ding mga gawain na simple sa kakanyahan, ngunit lubos na walang katotohanan sa mga tuntunin ng mga kalkulasyon, halimbawa:

Binigyan ng aritmetika na pag-unlad (a n). Maghanap ng 121 kung ang isang 1 =3 at d=1/6.

At ano, dadagdagan natin ng 1/6 ng marami, maraming beses?! Posible bang magpakamatay!?

Maaari mo.) Kung hindi mo alam ang isang simpleng pormula kung saan maaari mong malutas ang mga naturang gawain sa isang minuto. Ang pormula na ito ay nasa susunod na aralin. At ang problemang iyon ay nalutas doon. Sa isang minuto.)

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)

maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

Pagtuturo

Ang pag-unlad ng aritmetika ay isang pagkakasunod-sunod ng anyong a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Bilang d hakbang mga pag-unlad.Malinaw, ang kabuuan ng isang arbitrary nth term ng arithmetic mga pag-unlad ay may anyo: An = A1+(n-1)d. Pagkatapos ay kilala ang isa sa mga miyembro mga pag-unlad, miyembro mga pag-unlad at hakbang mga pag-unlad, ay maaaring , iyon ay, ang bilang ng termino ng pag-unlad. Malinaw, ito ay matutukoy ng formula n = (An-A1+d)/d.

Hayaan ang mth term na malaman ngayon mga pag-unlad at ilang iba pang miyembro mga pag-unlad- n-th, ngunit n , tulad ng sa nakaraang kaso, ngunit ito ay kilala na ang n at m ay hindi magkatugma.Hakbang mga pag-unlad maaaring kalkulahin sa pamamagitan ng formula: d = (An-Am)/(n-m). Pagkatapos n = (An-Am+md)/d.

Kung ang kabuuan ng ilang elemento ng isang arithmetic mga pag-unlad, pati na rin ang una at huli nito , pagkatapos ay maaari ding matukoy ang bilang ng mga elementong ito. Ang kabuuan ng arithmetic mga pag-unlad ay magiging katumbas ng: S = ((A1+An)/2)n. Pagkatapos n = 2S/(A1+An) ay chdenov mga pag-unlad. Gamit ang katotohanan na An = A1+(n-1)d, ang formula na ito ay maaaring muling isulat bilang: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Mula sa isang ito ay maaaring ipahayag n sa pamamagitan ng paglutas quadratic equation.

Ang pagkakasunud-sunod ng aritmetika ay tulad ng isang nakaayos na hanay ng mga numero, ang bawat miyembro nito, maliban sa una, ay naiiba sa nauna sa parehong halaga. Ang pare-parehong ito ay tinatawag na pagkakaiba ng progression o ang hakbang nito at maaaring kalkulahin mula sa mga kilalang miyembro ng arithmetic progression.

Pagtuturo

Kung ang mga halaga ng una at pangalawa o anumang iba pang pares ng mga kalapit na termino ay kilala mula sa mga kondisyon ng problema, upang kalkulahin ang pagkakaiba (d), ibawas lamang ang nakaraang termino mula sa susunod na termino. Ang resultang halaga ay maaaring maging positibo o negatibong numero- ito ay depende sa kung ang pag-unlad ay tumataas. SA pangkalahatang anyo isulat ang solusyon para sa isang di-makatwirang pares (aᵢ at aᵢ₊₁) ng mga kalapit na miyembro ng progression gaya ng sumusunod: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Para sa isang pares ng mga miyembro ng naturang pag-unlad, ang isa sa mga ito ay ang una (a₁), at ang isa ay anumang iba pang arbitraryong napili, maaari ding gumawa ng isang pormula para sa paghahanap ng pagkakaiba (d). Gayunpaman, sa kasong ito dapat itong malaman serial number(i) isang arbitraryong napiling miyembro ng sequence. Upang kalkulahin ang pagkakaiba, idagdag ang parehong mga numero, at hatiin ang resulta sa ordinal na numero ng isang arbitrary na termino na binawasan ng isa. Sa pangkalahatan, isulat ang formula na ito tulad ng sumusunod: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Kung, bilang karagdagan sa isang di-makatwirang miyembro ng pag-unlad ng arithmetic na may ordinal na numero i, ang isa pang miyembro na may ordinal na numerong u ay kilala, baguhin ang formula mula sa nakaraang hakbang nang naaayon. Sa kasong ito, ang pagkakaiba (d) ng pag-unlad ay ang kabuuan ng dalawang terminong ito na hinati sa pagkakaiba sa kanilang mga ordinal na numero: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Ang formula para sa pagkalkula ng pagkakaiba (d) ay nagiging mas kumplikado kung ang halaga ng unang miyembro nito (a₁) at ang kabuuan (Sᵢ) ng isang naibigay na numero (i) ng mga unang miyembro ng arithmetic sequence ay ibinibigay sa mga kondisyon ng ang problema. Upang makuha ang nais na halaga, hatiin ang kabuuan sa bilang ng mga terminong bumubuo nito, ibawas ang halaga ng unang numero sa pagkakasunud-sunod, at i-double ang resulta. Hatiin ang nagresultang halaga sa bilang ng mga termino na bumubuo sa kabuuan na binawasan ng isa. Sa pangkalahatan, isulat ang formula para sa pagkalkula ng discriminant gaya ng sumusunod: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

Kung bawat natural na numero n tumugma sa isang tunay na numero isang n , tapos sinasabi nila na binigay pagkakasunod-sunod ng numero :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , isang n , . . . .

Kaya, ang isang numerical sequence ay isang function ng isang natural na argumento.

Numero a 1 tinawag ang unang miyembro ng sequence , numero a 2 — ang pangalawang miyembro ng sequence , numero a 3 — pangatlo at iba pa. Numero isang n tinawag ika-1 miyembro mga pagkakasunod-sunod , at ang natural na numero n — number niya .

Mula sa dalawang magkalapit na miyembro isang n At isang n +1 mga pagkakasunud-sunod ng miyembro isang n +1 tinawag kasunod (patungo isang n ), A isang n — dati (patungo isang n +1 ).

Upang tukuyin ang isang sequence, dapat kang tumukoy ng isang paraan na nagbibigay-daan sa iyong makahanap ng isang miyembro ng sequence na may anumang numero.

Kadalasan ang pagkakasunod-sunod ay ibinibigay sa nth term formula , iyon ay, isang formula na nagbibigay-daan sa iyong matukoy ang isang miyembro ng sequence sa pamamagitan ng numero nito.

Halimbawa,

ang pagkakasunod-sunod ng mga positibong kakaibang numero ay maaaring ibigay ng formula

isang n= 2n- 1,

at ang pagkakasunod-sunod ng alternating 1 At -1 - pormula

b n = (-1)n +1 . ◄

Maaaring matukoy ang pagkakasunud-sunod paulit-ulit na formula, iyon ay, isang pormula na nagpapahayag ng sinumang miyembro ng pagkakasunud-sunod, simula sa ilan, sa pamamagitan ng nakaraang (isa o higit pa) na mga miyembro.

Halimbawa,

Kung a 1 = 1 , A isang n +1 = isang n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Kung a 1= 1, a 2 = 1, isang n +2 = isang n + isang n +1 , pagkatapos ay ang unang pitong termino pagkakasunod-sunod ng numero itakda ang mga sumusunod:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

isang 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Ang mga pagkakasunud-sunod ay maaaring pangwakas At walang katapusan .

Ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag panghuli kung ito ay may hangganan na bilang ng mga miyembro. Ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag walang katapusan kung ito ay may walang katapusang maraming miyembro.

Halimbawa,

pagkakasunud-sunod ng dalawang-digit na natural na mga numero:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

pangwakas.

Prime number sequence:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

walang katapusan. ◄

Ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag dumarami , kung ang bawat isa sa mga miyembro nito, simula sa pangalawa, ay mas malaki kaysa sa nauna.

Ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag humihina , kung ang bawat miyembro nito, simula sa pangalawa, ay mas mababa kaysa sa nauna.

Halimbawa,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . ay isang pataas na pagkakasunod-sunod;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . ay isang pababang pagkakasunod-sunod. ◄

Ang isang pagkakasunud-sunod na ang mga elemento ay hindi bumababa sa pagtaas ng bilang, o, sa kabaligtaran, ay hindi tumataas, ay tinatawag monotonous sequence .

Ang mga monotonic na sequence, sa partikular, ay ang pagtaas ng mga sequence at ang pagbaba ng mga sequence.

Arithmetic progression

Arithmetic progression tinatawag ang isang sequence, ang bawat miyembro kung saan, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nauna, kung saan idinaragdag ang parehong numero.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , isang n, . . .

ay isang arithmetic progression kung para sa alinman natural na numero n natugunan ang kondisyon:

isang n +1 = isang n + d,

saan d - ilang numero.

Kaya, ang pagkakaiba sa pagitan ng susunod at naunang mga miyembro ng isang naibigay na pag-unlad ng arithmetic ay palaging pare-pareho:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = isang n +1 - isang n = d.

Numero d tinawag ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng aritmetika.

Upang magtakda ng pag-unlad ng aritmetika, sapat na upang tukuyin ang unang termino at pagkakaiba nito.

Halimbawa,

Kung a 1 = 3, d = 4 , pagkatapos ay ang unang limang termino ng pagkakasunud-sunod ay matatagpuan tulad ng sumusunod:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Para sa isang pag-unlad ng arithmetic na may unang termino a 1 at pagkakaiba d kanya n

isang n = a 1 + (n- 1)d.

Halimbawa,

hanapin ang ika-tatlumpung termino ng isang pag-unlad ng aritmetika

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

isang 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

isang n-1 = a 1 + (n- 2)d,

isang n= a 1 + (n- 1)d,

isang n +1 = a 1 + nd,

tapos obvious naman

isang n=	isang n-1 + isang n+1
	2

bawat miyembro ng arithmetic progression, simula sa pangalawa, ay katumbas ng arithmetic mean ng nauna at kasunod na mga miyembro.

Ang mga numero a, b at c ay magkakasunod na miyembro ng ilang pag-unlad ng aritmetika kung at kung ang isa sa mga ito ay katumbas ng arithmetic mean ng dalawa pa.

Halimbawa,

isang n = 2n- 7 , ay isang arithmetic progression.

Gamitin natin ang pahayag sa itaas. Meron kami:

isang n = 2n- 7,

isang n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

isang n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Kaya naman,

isang n+1 + isang n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = isang n,
2		2

◄

Tandaan na n -th miyembro ng isang arithmetic progression ay matatagpuan hindi lamang sa pamamagitan ng a 1 , ngunit pati na rin ang anumang nakaraan isang k

isang n = isang k + (n- k)d.

Halimbawa,

Para sa a 5 maaaring isulat

isang 5 = a 1 + 4d,

isang 5 = a 2 + 3d,

isang 5 = a 3 + 2d,

isang 5 = a 4 + d. ◄

isang n = isang n-k + kd,

isang n = isang n+k - kd,

tapos obvious naman

isang n=	a n-k + a n+k
	2

sinumang miyembro ng isang pag-unlad ng aritmetika, simula sa pangalawa, ay katumbas ng kalahati ng kabuuan ng mga miyembro ng pag-unlad ng aritmetika na ito na pantay na may pagitan dito.

Bilang karagdagan, para sa anumang pag-unlad ng aritmetika, ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Halimbawa,

sa pag-unlad ng aritmetika

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = isang 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) isang 10= 28 = (19 + 37)/2 = (isang 7 + isang 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, kasi

isang 2 + isang 12= 4 + 34 = 38,

isang 5 + isang 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ isang n,

una n ang mga miyembro ng isang arithmetic progression ay katumbas ng produkto ng kalahati ng kabuuan ng mga extreme terms sa bilang ng mga termino:

Mula dito, sa partikular, ito ay sumusunod na kung ito ay kinakailangan upang sum ang mga tuntunin

isang k, isang k +1 , . . . , isang n,

pagkatapos ay pinapanatili ng nakaraang formula ang istraktura nito:

Halimbawa,

sa pag-unlad ng aritmetika 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Kung ang isang pag-unlad ng aritmetika ay ibinigay, kung gayon ang mga dami a 1 , isang n, d, n AtS n naka-link ng dalawang formula:

Samakatuwid, kung ang mga halaga ng tatlo sa mga dami na ito ay ibinigay, kung gayon ang mga katumbas na halaga ng iba pang dalawang dami ay tinutukoy mula sa mga formula na ito na pinagsama sa isang sistema ng dalawang equation na may dalawang hindi alam.

Ang pag-unlad ng aritmetika ay isang monotonic sequence. kung saan:

Kung d > 0 , pagkatapos ito ay tumataas;
Kung d < 0 , pagkatapos ito ay bumababa;
Kung d = 0 , kung gayon ang pagkakasunod-sunod ay magiging nakatigil.

Geometric na pag-unlad

geometric na pag-unlad tinatawag ang isang sequence, ang bawat termino kung saan, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nauna, na pinarami ng parehong numero.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

ay isang geometric na pag-unlad kung para sa anumang natural na numero n natugunan ang kondisyon:

b n +1 = b n · q,

saan q ≠ 0 - ilang numero.

Kaya, ang ratio ng susunod na termino ng geometric na pag-unlad na ito sa nauna ay isang pare-parehong numero:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Numero q tinawag denominator ng isang geometric na pag-unlad.

Upang magtakda ng isang geometric na pag-unlad, sapat na upang tukuyin ang unang termino at denominator nito.

Halimbawa,

Kung b 1 = 1, q = -3 , pagkatapos ay ang unang limang termino ng pagkakasunud-sunod ay matatagpuan tulad ng sumusunod:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 at denominador q kanya n -th term ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

b n = b 1 · q n -1 .

Halimbawa,

hanapin ang ikapitong termino ng isang geometric progression 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

tapos obvious naman

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

bawat miyembro ng geometric progression, simula sa pangalawa, ay katumbas ng geometric mean (proporsyonal) ng nauna at kasunod na mga miyembro.

Dahil ang kabaligtaran ay totoo rin, ang sumusunod na pahayag ay nagtataglay:

Ang mga numero a, b at c ay magkakasunod na miyembro ng ilang geometric na pag-unlad kung at kung ang parisukat lamang ng isa sa mga ito ay katumbas ng produkto ang dalawa pa, ibig sabihin, ang isa sa mga numero ay ang geometric na ibig sabihin ng dalawa pa.

Halimbawa,

patunayan natin na ang sequence na ibinigay ng formula b n= -3 2 n , ay isang geometric na pag-unlad. Gamitin natin ang pahayag sa itaas. Meron kami:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Kaya naman,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

na nagpapatunay sa kinakailangang paninindigan. ◄

Tandaan na n ika kataga ng isang geometric progression ay matatagpuan hindi lamang sa pamamagitan ng b 1 , ngunit gayundin ang anumang nakaraang termino b k , kung saan sapat na ang paggamit ng formula

b n = b k · q n - k.

Halimbawa,

Para sa b 5 maaaring isulat

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

tapos obvious naman

b n 2 = b n - k· b n + k

ang parisukat ng sinumang miyembro ng isang geometric na progression, simula sa pangalawa, ay katumbas ng produkto ng mga miyembro ng progression na ito na katumbas ng layo mula dito.

Bilang karagdagan, para sa anumang geometric na pag-unlad, ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Halimbawa,

exponentially

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , kasi

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

una n mga miyembro ng geometric progression na may denominator q ≠ 0 kinakalkula ng formula:

At kailan q = 1 - ayon sa formula

S n= n.b. 1

Tandaan na kung kailangan nating buuin ang mga tuntunin

b k, b k +1 , . . . , b n,

pagkatapos ay ginamit ang formula:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

Halimbawa,

exponentially 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Kung ang isang geometric na pag-unlad ay ibinigay, kung gayon ang mga dami b 1 , b n, q, n At S n naka-link ng dalawang formula:

Samakatuwid, kung ang mga halaga ng alinman sa tatlo sa mga dami na ito ay ibinigay, kung gayon ang mga katumbas na halaga ng iba pang dalawang dami ay tinutukoy mula sa mga formula na ito na pinagsama sa isang sistema ng dalawang equation na may dalawang hindi alam.

Para sa isang geometric na pag-unlad na may unang termino b 1 at denominador q magaganap ang mga sumusunod mga katangian ng monotonicity :

ang pag-unlad ay tumataas kung ang isa sa mga sumusunod na kondisyon ay natutugunan:

b 1 > 0 At q> 1;

b 1 < 0 At 0 < q< 1;

Ang isang pag-unlad ay bumababa kung ang isa sa mga sumusunod na kundisyon ay natutugunan:

b 1 > 0 At 0 < q< 1;

b 1 < 0 At q> 1.

Kung q< 0 , pagkatapos ay ang geometric progression ay sign-alternating: ang odd-numbered terms nito ay may parehong sign sa unang termino nito, at even-numbered terms ay may kabaligtaran na sign. Ito ay malinaw na ang isang alternating geometric progression ay hindi monotonic.

Produkto ng una n Ang mga tuntunin ng isang geometric na pag-unlad ay maaaring kalkulahin ng formula:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Halimbawa,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad

Walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad ay tinatawag na infinite geometric progression na ang denominator modulus ay mas mababa sa 1 , yan ay

|q| < 1 .

Tandaan na ang isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad ay maaaring hindi isang pababang pagkakasunod-sunod. Ito ay akma sa kaso

1 < q< 0 .

Sa ganoong denominator, ang sequence ay sign-alternating. Halimbawa,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Ang kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad pangalanan ang numero kung saan ang kabuuan ng una n mga tuntunin ng pag-unlad na may walang limitasyong pagtaas sa bilang n . Ang bilang na ito ay palaging may hangganan at ipinapahayag ng formula

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Halimbawa,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Relasyon sa pagitan ng arithmetic at geometric progressions

Ang mga aritmetika at geometric na pag-unlad ay malapit na nauugnay. Isaalang-alang natin ang dalawang halimbawa lamang.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , Iyon

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Halimbawa,

1, 3, 5, . . . — pag-unlad ng aritmetika na may pagkakaiba 2 At

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . ay isang geometric progression na may denominator 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . ay isang geometric progression na may denominator q , Iyon

mag-log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — pag-unlad ng aritmetika na may pagkakaiba log aq .

Halimbawa,

2, 12, 72, . . . ay isang geometric progression na may denominator 6 At

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — pag-unlad ng aritmetika na may pagkakaiba lg 6 . ◄

Ang mga problema sa pag-unlad ng aritmetika ay umiral na mula noong sinaunang panahon. Nagpakita sila at humingi ng solusyon, dahil mayroon silang praktikal na pangangailangan.

Kaya, sa isa sa mga papiro sinaunang Ehipto, na mayroong mathematical content - ang Rhind papyrus (XIX century BC) - ay naglalaman ng sumusunod na gawain: hatiin ang sampung sukat ng tinapay sa sampung tao, sa kondisyon na ang pagkakaiba sa pagitan ng bawat isa sa kanila ay isang ikawalo ng isang sukat.

At sa mga gawaing matematika ng mga sinaunang Griyego ay may mga eleganteng teorema na may kaugnayan sa pag-unlad ng aritmetika. Kaya, ang Gipsicles ng Alexandria (II siglo, na umabot ng marami mga kawili-wiling gawain at idinagdag ang ikalabing-apat na aklat sa Euclid's Elements, ay bumalangkas ng ideya: "Sa isang pag-unlad ng aritmetika na may pantay na bilang ng mga miyembro, ang kabuuan ng mga miyembro ng 2nd half ay mas malaki kaysa sa kabuuan ng mga miyembro ng 1st sa pamamagitan ng parisukat ng 1 /2 ng bilang ng mga miyembro."

Ang pagkakasunud-sunod an ay tinutukoy. Ang mga numero ng pagkakasunud-sunod ay tinatawag na mga miyembro nito at karaniwang tinutukoy ng mga titik na may mga indeks na nagpapahiwatig ng serial number ng miyembrong ito (a1, a2, a3 ... basahin: "a 1st", "a 2nd", "a 3rd" at iba pa).

Ang pagkakasunud-sunod ay maaaring walang katapusan o may hangganan.

Ano ang pag-unlad ng arithmetic? Ito ay nauunawaan bilang nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng nakaraang termino (n) na may parehong bilang d, na siyang pagkakaiba ng pag-unlad.

Kung d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, kung gayon ang gayong pag-unlad ay itinuturing na tumataas.

Ang isang pag-unlad ng aritmetika ay sinasabing may hangganan kung iilan lamang sa mga unang termino nito ang isasaalang-alang. Sa napaka sa malaking bilang ang mga miyembro ay isa nang walang katapusang pag-unlad.

Ang anumang pag-unlad ng arithmetic ay ibinibigay ng sumusunod na formula:

an =kn+b, habang ang b at k ay ilang numero.

Ang pahayag, na kung saan ay ang kabaligtaran, ay ganap na totoo: kung ang pagkakasunud-sunod ay ibinigay ng isang katulad na formula, kung gayon ito ay eksaktong isang pag-unlad ng aritmetika, na may mga katangian:

Ang bawat miyembro ng progression ay ang arithmetic mean ng nakaraang miyembro at ng susunod.
Ang kabaligtaran: kung, simula sa ika-2, ang bawat termino ay ang arithmetic mean ng nakaraang termino at ang susunod, i.e. kung ang kundisyon ay natutugunan, ang ibinigay na sequence ay isang arithmetic progression. Ang pagkakapantay-pantay na ito ay kasabay ng isang tanda ng pag-unlad, kaya karaniwang tinatawag itong katangian ng pag-unlad.
Sa parehong paraan, ang theorem na sumasalamin sa property na ito ay totoo: ang isang sequence ay isang arithmetic progression lamang kung ang pagkakapantay-pantay na ito ay totoo para sa alinman sa mga miyembro ng sequence, simula sa ika-2.

Ang katangiang katangian para sa anumang apat na numero ng isang pag-unlad ng aritmetika ay maaaring ipahayag sa pamamagitan ng formula na an + am = ak + al kung n + m = k + l (m, n, k ang mga numero ng pag-unlad).

Sa isang arithmetic progression, ang anumang kinakailangang (Nth) na termino ay makikita sa pamamagitan ng paglalapat ng sumusunod na formula:

Halimbawa: ang unang termino (a1) sa isang pag-unlad ng aritmetika ay ibinigay at katumbas ng tatlo, at ang pagkakaiba (d) ay katumbas ng apat. Kailangan mong hanapin ang ikaapatnapu't limang termino ng pag-unlad na ito. a45 = 1+4(45-1)=177

Binibigyang-daan ka ng formula na an = ak + d(n - k) na matukoy ang n-th na miyembro ng isang arithmetic progression sa pamamagitan ng alinman sa k-th na miyembro nito, basta't kilala ito.

Ang kabuuan ng mga miyembro ng isang arithmetic progression (ipagpalagay na ang 1st n miyembro ng huling progression) ay kinakalkula tulad ng sumusunod:

Sn = (a1+an) n/2.

Kung kilala rin ang 1st term, kung gayon ang isa pang formula ay maginhawa para sa pagkalkula:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Ang kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika na naglalaman ng n termino ay kinakalkula tulad ng sumusunod:

Ang pagpili ng mga formula para sa mga kalkulasyon ay depende sa mga kondisyon ng mga gawain at ang paunang data.

Natural na serye ng anumang numero tulad ng 1,2,3,...,n,...- ang pinakasimpleng halimbawa pag-unlad ng aritmetika.

Bilang karagdagan sa pag-unlad ng aritmetika, mayroon ding isang geometriko, na may sariling mga katangian at katangian.