Qauss metodu... Qauss metodunun əksi
Burada xətti tənliklər sistemini pulsuz həll edə bilərsiniz Gauss metodu online böyük ölçülərçox ətraflı həlli ilə kompleks ədədlərdə. Kalkulyatorumuz sonsuz sayda həlli olan Qauss metodundan istifadə edərək həm adi müəyyən, həm də qeyri-müəyyən xətti tənlik sistemlərini onlayn həll edə bilər. Bu halda, cavabda bəzi dəyişənlərin digər, sərbəst olanlar vasitəsilə asılılığını alacaqsınız. Siz həmçinin Gauss həllindən istifadə edərək onlayn tənliklər sistemini ardıcıllıq üçün yoxlaya bilərsiniz.
Metod haqqında
Xətti tənliklər sistemini həll edərkən onlayn üsul Gauss aşağıdakı addımlar yerinə yetirilir.
- Genişləndirilmiş matrisi yazırıq.
- Əslində, həll Gauss metodunun irəli və geri addımlarına bölünür. Qauss metodunun birbaşa yanaşması matrisin mərhələli formaya endirilməsidir. Qauss metodunun əksi matrisin xüsusi pilləli formaya salınmasıdır. Ancaq praktikada sözügedən elementin həm yuxarısında, həm də altında olanı dərhal sıfırlamaq daha rahatdır. Kalkulyatorumuz məhz bu yanaşmadan istifadə edir.
- Qeyd etmək vacibdir ki, Gauss metodundan istifadə edərək həll edərkən, matrisdə sıfır DEYİL olan ən azı bir sıfır sırasının olması sağ tərəf(sərbəst üzvlərin sütunu) sistemin uyğunsuzluğunu göstərir. Həll xətti sistem bu halda mövcud deyil.
Qauss alqoritminin onlayn necə işlədiyini daha yaxşı başa düşmək üçün istənilən nümunəni daxil edin, "çox ətraflı həlli" və onun həllini onlayn axtarın.
1. Xətti cəbri tənliklər sistemi
1.1 Xətti cəbri tənliklər sistemi anlayışı
Tənliklər sistemi bir neçə dəyişənə münasibətdə bir neçə tənliyin eyni vaxtda yerinə yetirilməsindən ibarət şərtdir. m tənlik və n naməlum olan xətti cəbri tənliklər sistemi (bundan sonra SLAE) aşağıdakı formada sistem adlanır:
burada a ij ədədləri sistem əmsalları, b i ədədləri sərbəst terminlər adlanır, a ij Və b i(i=1,…, m; b=1,…, n) bəzi məlum ədədləri və x-i təmsil edir 1 ,…, x n- naməlum. Əmsalların təyin edilməsində a ij birinci indeks i tənliyin sayını, ikinci j isə bu əmsalın dayandığı naməlumun nömrəsini bildirir. x n ədədləri tapılmalıdır. Belə bir sistemi kompakt matris şəklində yazmaq rahatdır: AX=B. Burada A əsas matris adlanan sistem əmsallarının matrisidir;
– xj naməlumların sütun vektoru. sərbəst şərtlərin sütun vektorudur bi.
A*X matrislərinin hasili müəyyən edilir, çünki A matrisində X matrisində sətirlərin sayı qədər sütun var (n ədəd).
Sistemin genişləndirilmiş matrisi, sərbəst şərtlər sütunu ilə tamamlanan sistemin A matrisidir.
1.2 Xətti cəbri tənliklər sisteminin həlli
Tənliklər sisteminin həlli nizamlı ədədlər toplusudur (dəyişənlərin dəyərləri), onları dəyişənlərin əvəzinə əvəz etdikdə sistemin hər bir tənliyi həqiqi bərabərliyə çevrilir.
Sistemin həlli x1=c1, x2=c2,…, xn=cn naməlumların n qiymətidir, əvəz edildikdə sistemin bütün tənlikləri həqiqi bərabərliyə çevrilir. Sistemin istənilən həlli sütun matrisi kimi yazıla bilər
Tənliklər sistemi ən azı bir həlli varsa ardıcıl, heç bir həlli yoxdursa uyğunsuz adlanır.
Ardıcıl sistemin tək həlli varsa müəyyən, birdən çox həlli varsa qeyri-müəyyən sistem deyilir. Sonuncu halda onun hər bir həlli sistemin xüsusi həlli adlanır. Bütün xüsusi həllər toplusuna ümumi həll deyilir.
Sistemin həlli onun uyğun və ya uyğunsuz olduğunu öyrənmək deməkdir. Sistem ardıcıldırsa, onun ümumi həllini tapın.
İki sistem eyni ümumi həllə malikdirsə, ekvivalent (ekvivalent) adlanır. Başqa sözlə, sistemlərdən birinin hər bir həlli digərinin həlli olarsa və əksinə sistemlər ekvivalentdir.
Tətbiqi sistemi çevirən transformasiya yeni sistem, orijinala ekvivalent, ekvivalent və ya ekvivalent çevrilmə adlanır. Ekvivalent çevrilmələrə misal olaraq aşağıdakı çevrilmələri göstərmək olar: sistemin iki tənliyinin dəyişdirilməsi, bütün tənliklərin əmsalları ilə birlikdə iki naməlumun dəyişdirilməsi, sistemin istənilən tənliyinin hər iki tərəfinin sıfırdan fərqli ədədə vurulması.
Bütün sərbəst şərtlər sıfıra bərabərdirsə, xətti tənliklər sistemi homojen adlanır:
Homojen sistem həmişə ardıcıldır, çünki x1=x2=x3=…=xn=0 sistemin həllidir. Bu həll sıfır və ya əhəmiyyətsiz adlanır.
2. Qauss aradan qaldırılması üsulu
2.1 Qauss eliminasiya metodunun mahiyyəti
Xətti cəbri tənliklər sistemlərinin həlli üçün klassik üsul naməlumların ardıcıl aradan qaldırılması üsuludur - Qauss üsulu(buna Qauss eliminasiya üsulu da deyilir). Bu, elementar çevrilmələrdən istifadə edərək, tənliklər sistemi bütün digər dəyişənlərin sonuncudan başlayaraq ardıcıl olaraq tapıldığı pilləli (və ya üçbucaqlı) formanın ekvivalent sisteminə endirildikdə dəyişənlərin ardıcıl aradan qaldırılması üsuludur. sayı) dəyişənləri.
Gauss metodundan istifadə edərək həll prosesi iki mərhələdən ibarətdir: irəli və geri hərəkətlər.
1. Birbaşa vuruş.
Birinci mərhələdə, sözdə birbaşa hərəkət, cərgələr üzərində elementar çevrilmələr vasitəsilə sistem pilləli və ya mərhələli bir vəziyyətə gətirildikdə həyata keçirilir. üçbucaqlı forma, və ya sistemin uyğunsuzluğunu müəyyən edin. Məhz, matrisin birinci sütununun elementləri arasında sıfırdan fərqli birini seçin, cərgələri yenidən yerləşdirməklə onu ən yuxarı mövqeyə aparın və nəticədə yaranan birinci sətiri yenidən düzüldükdən sonra qalan sətirlərdən çıxarın, onu dəyərə vurun. bu sətirlərin hər birinin birinci elementinin birinci sətrin birinci elementinə nisbətinə bərabərdir, beləliklə onun altındakı sütun sıfırlanır.
Göstərilən çevrilmələr tamamlandıqdan sonra, birinci sətir və birinci sütun əqli olaraq kəsilir və sıfır ölçülü bir matris qalana qədər davam etdirilir. Hər hansı iterasiyada birinci sütunun elementləri arasında sıfırdan fərqli element yoxdursa, növbəti sütuna keçin və oxşar əməliyyatı yerinə yetirin.
Birinci mərhələdə (birbaşa vuruş) sistem pilləli (xüsusən də üçbucaqlı) formaya endirilir.
Aşağıdakı sistemin mərhələli forması var:
,
aii əmsalları sistemin əsas (aparıcı) elementləri adlanır.
(a11=0 olarsa, matrisin cərgələrini elə düzəldin ki a 11 0-a bərabər deyildi. Bu həmişə mümkündür, çünki əks halda matrisdə sıfır sütun var, onun determinantı sıfıra bərabərdir və sistem uyğunsuzdur).Birincidən başqa bütün tənliklərdə naməlum x1-i aradan qaldıraraq sistemi çevirək (sistemin elementar çevrilmələrindən istifadə etməklə). Bunu etmək üçün birinci tənliyin hər iki tərəfini çarpın
və sistemin ikinci tənliyi ilə müddətə həddi əlavə edin (və ya ikinci tənlikdən müddətə bölünərək birinciyə vurularaq). Sonra birinci tənliyin hər iki tərəfini vururuq və sistemin üçüncü tənliyinə əlavə edirik (yaxud üçüncüdən birincinin çarpanını çıxarırıq). Beləliklə, ardıcıl olaraq birinci sətri bir ədədə vururuq və əlavə edirik i ci xətt, üçün i= 2, 3, …,n.Bu prosesi davam etdirərək, ekvivalent bir sistem əldə edirik:
– sistemin son m-1 tənliklərində naməlumlar və sərbəst şərtlər üçün əmsalların düsturlarla müəyyən edilən yeni qiymətləri: Beləliklə, ilk addımda a 11-in birinci aparıcı elementinin altında yatan bütün əmsallar məhv edilir
0, ikinci addımda ikinci aparıcı elementin altında yatan elementlər a 22 (1) məhv edilir (əgər 22 (1) 0) və s. Bu prosesi daha da davam etdirərək, nəhayət, (m-1) addımda orijinal sistemi üçbucaqlı sistemə endiririk.Sistemin pilləli bir formaya salınması prosesində sıfır tənliklər görünürsə, yəni. 0=0 formasındakı bərabərliklər atılır. Formanın tənliyi görünsə
onda bu sistemin uyğunsuzluğunu göstərir. Gauss metodunun bilavasitə irəliləyişinin sona çatdığı yer budur.
2. Əks vuruş.
İkinci mərhələdə sözdə tərs hərəkət həyata keçirilir, bunun mahiyyəti nəticədə bütün əsas dəyişənləri qeyri-əsaslar baxımından ifadə etmək və əsas həllər sistemi qurmaq və ya bütün dəyişənlər əsasdırsa. , onda xətti tənliklər sisteminin yeganə həllini ədədi ilə ifadə edin.
Bu prosedur, müvafiq əsas dəyişənin ifadə olunduğu (onda yalnız bir var) və əvvəlki tənliklərlə əvəz olunduğu və "addımları" yuxarı qalxan sonuncu tənlikdən başlayır.
Hər bir sətir tam olaraq bir əsas dəyişənə uyğundur, buna görə də sonuncu (ən yuxarı) istisna olmaqla, hər addımda vəziyyət sonuncu sətrin vəziyyətini tam olaraq təkrarlayır.
Qeyd: praktikada sistemlə deyil, onun sətirlərində bütün elementar çevrilmələri yerinə yetirərək genişləndirilmiş matrisi ilə işləmək daha rahatdır. a11 əmsalının 1-ə bərabər olması əlverişlidir (tənlikləri yenidən təşkil edin və ya tənliyin hər iki tərəfini a11-ə bölün).
2.2 Qauss metodundan istifadə etməklə SLAE-lərin həlli nümunələri
Bu bölmədə üç var müxtəlif nümunələr Qauss metodunun SLAE-ni necə həll edə biləcəyini göstərək.
Misal 1. 3-cü dərəcəli SLAE həll edin.
Gəlin əmsalları sıfırlayaq
ikinci və üçüncü sətirlərdə. Bunu etmək üçün onları müvafiq olaraq 2/3 və 1-ə vurun və birinci sətirə əlavə edin:
Həll edilməli olan xətti cəbri tənliklər sistemi verilsin (sistemin hər bir tənliyini bərabərliyə çevirən xi naməlumlarının belə qiymətlərini tapın).
Biz bilirik ki, xətti cəbri tənliklər sistemi:
1) Heç bir həll yolu yoxdur (olsun birgə olmayan).
2) Sonsuz bir çox həll yolu var.
3) Tək bir həll yolu var.
Xatırladığımız kimi, Kramer qaydası və matris üsulu sistemin sonsuz sayda həlli olduğu və ya uyğunsuz olduğu hallarda uyğun deyil. Gauss üsulu – istənilən xətti tənliklər sisteminin həllini tapmaq üçün ən güclü və çox yönlü vasitədir, hansı hər halda bizi cavaba aparacaq! Metod alqoritminin özü hər üç halda eyni işləyir. Əgər Kramer və matris metodları determinantlar haqqında bilik tələb edirsə, o zaman Gauss metodunu tətbiq etmək üçün sadəcə hesab əməliyyatları haqqında bilik lazımdır ki, bu da onu hətta ibtidai sinif şagirdləri üçün də əlçatan edir.
Artırılmış matris çevrilmələri ( bu sistemin matrisidir - yalnız naməlumların əmsallarından ibarət matris, üstəgəl sərbəst şərtlər sütunu) Gauss metodunda xətti cəbri tənliklər sistemləri:
1) ilə troki matrislər Bacarmaq yenidən təşkil etmək bəzi yerlərdə.
2) matrisdə mütənasib olanlar görünsə (və ya mövcuddursa). xüsusi hal– eyni) sətirlər, sonra onun ardınca gəlir silin Biri istisna olmaqla, bütün bu sətirlər matrisdəndir.
3) transformasiyalar zamanı matrisdə sıfır cərgə görünürsə, o da olmalıdır silin.
4) matrisin sırası ola bilər çoxaltmaq (bölmək) sıfırdan başqa istənilən ədədə.
5) matrisin cərgəsinə keçə bilərsiniz nömrə ilə vurulan başqa bir sətir əlavə edin, sıfırdan fərqli.
Qauss metodunda elementar çevrilmələr tənliklər sisteminin həllini dəyişmir.
Gauss metodu iki mərhələdən ibarətdir:
- "Birbaşa hərəkət" - elementar çevrilmələrdən istifadə edərək, xətti cəbri tənliklər sisteminin genişləndirilmiş matrisini "üçbucaqlı" addım formasına gətirin: əsas diaqonalın altında yerləşən genişləndirilmiş matrisin elementləri sıfıra bərabərdir (yuxarıdan aşağıya hərəkət). Məsələn, bu növə:
Bunu etmək üçün aşağıdakı addımları yerinə yetirin:
1) Xətti cəbri tənliklər sisteminin birinci tənliyini nəzərdən keçirək və x 1 üçün əmsalı K-yə bərabərdir. İkinci, üçüncü və s. tənlikləri aşağıdakı kimi çeviririk: hər bir tənliyi (məlum olmayanların əmsalları, o cümlədən sərbəst şərtləri) hər bir tənlikdə olan naməlum x 1 əmsalına bölürük və K-ə vururuq. Bundan sonra birincini çıxarırıq. ikinci tənlik (naməlumların və sərbəst şərtlərin əmsalları). İkinci tənlikdə x 1 üçün biz 0 əmsalı alırıq. Üçüncü çevrilmiş tənlikdən birincidən başqa bütün tənliklər, naməlum x 1 üçün 0 əmsalı olana qədər birinci tənliyi çıxırıq.
2) Gəlin növbəti tənliyə keçək. Qoy bu ikinci tənlik və x 2 üçün M-ə bərabər olan əmsal olsun. Yuxarıda təsvir olunduğu kimi bütün “aşağı” tənliklərlə davam edirik. Beləliklə, naməlum x 2-nin “altında” bütün tənliklərdə sıfırlar olacaqdır.
3) Son bir naməlum olana və çevrilmiş sərbəst termin qalana qədər növbəti tənliyə keçin və s.
- Gauss metodunun “əks hərəkəti” xətti cəbri tənliklər sisteminin (“aşağıdan yuxarı” hərəkət) həllini əldə etməkdir. Son "aşağı" tənlikdən bir birinci həlli - naməlum x n -i alırıq. Bunun üçün A * x n = B elementar tənliyini həll edirik. Yuxarıda verilmiş misalda x 3 = 4. Tapılan qiyməti növbəti “yuxarı” tənliyə əvəz edirik və növbəti naməlumla bağlı həll edirik. Məsələn, x 2 – 4 = 1, yəni. x 2 = 5. Bütün naməlumları tapana qədər və s.
Misal.
Bəzi müəlliflərin tövsiyə etdiyi kimi, Gauss metodundan istifadə edərək xətti tənliklər sistemini həll edək:
Sistemin uzadılmış matrisini yazaq və elementar çevrilmələrdən istifadə edərək onu mərhələli formaya gətirək:
Biz yuxarı sol "addım" baxırıq. Orada birimiz olmalıdır. Problem ondadır ki, birinci sütunda ümumiyyətlə vahidlər yoxdur, ona görə də sətirlərin yenidən təşkili heç nəyi həll etməyəcək. Belə hallarda vahid elementar transformasiyadan istifadə edərək təşkil edilməlidir. Bu adətən bir neçə yolla edilə bilər. Gəlin, bunu edək:
1 addım
. Birinci sətirə -1-ə vurulan ikinci sətri əlavə edirik. Yəni zehni olaraq ikinci sətri –1-ə vurub birinci və ikinci sətirləri əlavə etdik, ikinci sətir isə dəyişmədi.
İndi yuxarı solda "mənfi bir" var ki, bu da bizə çox uyğun gəlir. +1 almaq istəyən hər kəs əlavə bir hərəkət edə bilər: birinci sətri –1-ə vurun (işarəsini dəyişdirin).
Addım 2 . 5-ə vurulan birinci sətir ikinci sətirə, 3-ə vurulan birinci sətir üçüncü sətirə əlavə edildi.
Addım 3 . Birinci sətir -1-ə vuruldu, prinsipcə, bu gözəllik üçündür. Üçüncü sətrin işarəsi də dəyişdirildi və ikinci yerə köçürüldü ki, ikinci “addım”da bizə lazım olan vahid gəldi.
Addım 4 . Üçüncü sətir ikinci sətirə əlavə edildi, 2-yə vuruldu.
Addım 5 . Üçüncü xətt 3-ə bölündü.
Hesablamalarda səhvi göstərən işarə (daha nadir hallarda yazı səhvi) “pis” nəticədir. Yəni, aşağıda (0 0 11 |23) kimi bir şey əldə etdiksə və müvafiq olaraq 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, onda ilə böyük pay ehtimalla, elementar çevrilmələr zamanı xətaya yol verildiyini iddia etmək olar.
Əksini edək; nümunələrin dizaynında sistemin özü çox vaxt yenidən yazılmır, lakin tənliklər “birbaşa verilmiş matrisdən götürülür”. Tərs hərəkət, sizə xatırladıram, aşağıdan yuxarıya doğru işləyir. Bu nümunədə nəticə hədiyyə oldu:
x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, buna görə də x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1
Cavab verin:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.
Təklif olunan alqoritmdən istifadə edərək eyni sistemi həll edək. alırıq
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
İkinci tənliyi 5-ə, üçüncüsü isə 3-ə bölün. Alırıq:
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
İkinci və üçüncü tənlikləri 4-ə vuraraq, əldə edirik:
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
İkinci və üçüncü tənliklərdən birinci tənliyi çıxarırıq, bizdə:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
Üçüncü tənliyi 0,64-ə bölün:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
Üçüncü tənliyi 0,4-ə vurun
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
Üçüncü tənlikdən ikincini çıxararaq, "addımlı" uzadılmış matris alırıq:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
Beləliklə, hesablamalar zamanı səhv yığıldığından x 3 = 0,96 və ya təxminən 1 alırıq.
x 2 = 3 və x 1 = –1.
Bu şəkildə həll etməklə, siz heç vaxt hesablamalarda çaşqın olmayacaqsınız və hesablama səhvlərinə baxmayaraq, nəticə əldə edəcəksiniz.
Xətti cəbri tənliklər sisteminin həllinin bu üsulunu proqramlaşdırmaq asandır və nəzərə alınmır spesifik xüsusiyyətlər naməlumlar üçün əmsallar, çünki praktikada (iqtisadi və texniki hesablamalarda) tam olmayan əmsallarla məşğul olmaq lazımdır.
Sənə uğurlar arzu edirəm! Sinifdə görüşənədək! Tərbiyəçi Dmitri Aystraxanov.
vebsayt, materialı tam və ya qismən köçürərkən mənbəyə keçid tələb olunur.
Bu məqalədə metod xətti tənliklər sistemlərinin (SLAE) həlli üçün bir üsul kimi nəzərdən keçirilir. Metod analitikdir, yəni həll alqoritmini yazmağa imkan verir ümumi görünüş, və sonra oradakı xüsusi nümunələrdən dəyərləri əvəz edin. Matris metodundan və ya Kramer düsturlarından fərqli olaraq, Gauss metodundan istifadə edərək xətti tənliklər sistemini həll edərkən, sonsuz sayda həlli olanlarla da işləyə bilərsiniz. Yoxsa onlarda ümumiyyətlə yoxdur.
Qauss metodundan istifadə edərək həll etmək nə deməkdir?
Əvvəlcə tənliklər sistemimizi bu şəkildə yazmalıyıq. Sistemi götürün:
Əmsallar cədvəl şəklində, sərbəst şərtlər isə sağda ayrıca sütunda yazılır. Sərbəst şərtləri olan sütun rahatlıq üçün ayrılır.Bu sütunu ehtiva edən matris genişləndirilmiş adlanır.
Sonra, əmsalları olan əsas matris yuxarı üçbucaq formasına endirilməlidir. Qauss metodundan istifadə edərək sistemin həllinin əsas məqamı budur. Sadəcə olaraq, müəyyən manipulyasiyalardan sonra matris elə görünməlidir ki, onun aşağı sol hissəsində yalnız sıfırlar var:
Sonra, yeni matrisi yenidən tənliklər sistemi kimi yazsanız, görəcəksiniz ki, axırıncı cərgədə artıq köklərdən birinin qiyməti var, sonra yuxarıdakı tənliyə əvəzlənir, başqa bir kök tapılır və s.
Bu, ən çox Gauss metodu ilə həllin təsviridir ümumi kontur. Birdən sistem heç bir həll tapmasa nə olar? Yoxsa onların sonsuz çoxluğu var? Bu və bir çox digər suallara cavab vermək üçün Qauss metodunun həllində istifadə olunan bütün elementləri ayrıca nəzərdən keçirmək lazımdır.
Matrislər, onların xassələri
Matrisdə heç bir gizli məna yoxdur. Bu sadədir rahat yol onlarla sonrakı əməliyyatlar üçün məlumatların qeyd edilməsi. Hətta məktəblilərin də onlardan qorxması lazım deyil.
Matris həmişə düzbucaqlıdır, çünki daha rahatdır. Hətta hər şeyin üçbucaqlı bir matrisin qurulmasına gəldiyi Gauss metodunda, girişdə bir düzbucaqlı görünür, yalnız nömrələrin olmadığı yerdə sıfırlarla. Sıfırlar yazılmaya bilər, lakin onlar nəzərdə tutulur.
Matrisin ölçüsü var. Onun “en”i sətirlərin sayıdır (m), “uzunluğu” sütunların sayıdır (n). Sonra A matrisinin ölçüsü (onları işarələmək üçün adətən böyük latın hərflərindən istifadə olunur) A m×n kimi işarələnəcək. Əgər m=n olarsa, bu matris kvadratdır, m=n isə onun sırasıdır. Müvafiq olaraq, A matrisinin istənilən elementi onun sətir və sütun nömrələri ilə işarələnə bilər: a xy ; x - sıra nömrəsi, dəyişikliklər, y - sütun nömrəsi, dəyişikliklər.
B qərarın əsas məqamı deyil. Prinsipcə, bütün əməliyyatlar birbaşa tənliklərin özləri ilə həyata keçirilə bilər, lakin qeydlər daha çətin olacaq və onda çaşqınlıq daha asan olacaq.
Müəyyənedici
Matris də müəyyənediciyə malikdir. Bu çox mühüm xüsusiyyət. İndi onun mənasını öyrənməyə ehtiyac yoxdur, sadəcə olaraq onun necə hesablandığını göstərə və sonra matrisin hansı xassələrini müəyyən etdiyini deyə bilərsiniz. Determinantı tapmağın ən asan yolu diaqonallardan keçir. Matrisdə xəyali diaqonallar çəkilir; onların hər birində yerləşən elementlər çoxaldılır və sonra yaranan məhsullar əlavə olunur: sağa yamaclı diaqonallar - artı işarəsi ilə, sola bir yamac ilə - mənfi işarəsi ilə.
Qeyd etmək son dərəcə vacibdir ki, determinant yalnız kvadrat matris üçün hesablana bilər. Düzbucaqlı matris üçün aşağıdakıları edə bilərsiniz: sıraların və sütunların sayından ən kiçiyini seçin (k olsun) və sonra matrisdə təsadüfi olaraq k sütun və k sətri qeyd edin. Seçilmiş sütun və cərgələrin kəsişməsindəki elementlər yeni kvadrat matrisa əmələ gətirəcək. Belə bir matrisin təyinedicisi sıfırdan fərqli bir ədəddirsə, o, orijinal düzbucaqlı matrisin əsas minoru adlanır.
Gauss metodundan istifadə edərək tənliklər sistemini həll etməyə başlamazdan əvvəl determinantı hesablamaq zərər vermir. Əgər sıfır olarsa, o zaman dərhal deyə bilərik ki, matrisin ya sonsuz sayda həlli var, ya da heç biri yoxdur. Belə bir kədərli vəziyyətdə, daha da irəli getmək və matrisin dərəcəsini öyrənmək lazımdır.
Sistemin təsnifatı
Matrisin rütbəsi kimi bir şey var. Bu, onun sıfırdan fərqli determinantının maksimum sırasıdır (əgər biz əsas minor haqqında xatırlasaq, matrisin rütbəsinin əsas minorun sırası olduğunu deyə bilərik).
Rütbə ilə bağlı vəziyyətə əsasən, SLAE aşağıdakılara bölünə bilər:
- Birgə. U Birgə sistemlərdə əsas matrisin dərəcəsi (yalnız əmsallardan ibarətdir) genişləndirilmiş matrisin dərəcəsi ilə (sərbəst şərtlər sütunu ilə) üst-üstə düşür. Bu cür sistemlərin bir həlli var, lakin mütləq bir deyil, buna görə də əlavə olaraq birgə sistemlər bölünür:
- - müəyyən- vahid həll yolu var. Müəyyən sistemlərdə matrisin dərəcəsi və naməlumların sayı (və ya eyni şey olan sütunların sayı) bərabərdir;
- - qeyri-müəyyən - sonsuz sayda həll yolu ilə. Belə sistemlərdə matrislərin rütbəsi naməlumların sayından azdır.
- Uyğun deyil. U Belə sistemlərdə əsas və genişləndirilmiş matrislərin dərəcələri üst-üstə düşmür. Uyğun olmayan sistemlərin həlli yoxdur.
Gauss metodu yaxşıdır, çünki həll zamanı ya sistemin uyğunsuzluğunun birmənalı sübutunu (böyük matrislərin determinantlarını hesablamadan) və ya sonsuz sayda həlli olan bir sistem üçün ümumi formada həll etməyə imkan verir.
Elementar çevrilmələr
Sistemin həllinə birbaşa davam etməzdən əvvəl, onu daha az çətinləşdirə və hesablamalar üçün daha rahat edə bilərsiniz. Bu, elementar çevrilmələr vasitəsilə əldə edilir - onların həyata keçirilməsi yekun cavabı heç bir şəkildə dəyişdirməsin. Qeyd etmək lazımdır ki, verilmiş elementar çevrilmələrin bəziləri yalnız mənbəyi SLAE olan matrislər üçün etibarlıdır. Bu çevrilmələrin siyahısı:
- Xətlərin yenidən təşkili. Aydındır ki, sistem qeydindəki tənliklərin sırasını dəyişdirsəniz, bu heç bir şəkildə həllə təsir etməyəcək. Nəticə etibarilə, bu sistemin matrisindəki sətirlər də dəyişdirilə bilər, əlbəttə ki, sərbəst şərtlər sütununu unutmadan.
- Sətin bütün elementlərinin müəyyən bir əmsala vurulması. Çox faydalıdır! Qısaltmaq üçün istifadə edilə bilər böyük rəqəmlər matrisdə və ya sıfırları çıxarın. Bir çox qərarlar, həmişə olduğu kimi, dəyişməyəcək, lakin sonrakı əməliyyatlar daha rahat olacaq. Əsas odur ki, əmsal sıfıra bərabər deyil.
- Proporsional amillərlə sıraların çıxarılması. Bu, qismən əvvəlki bənddən irəli gəlir. Matrisdəki iki və ya daha çox sətir mütənasib əmsallara malikdirsə, o zaman cərgələrdən biri mütənasiblik əmsalı ilə vurulduqda/bölündükdə iki (və ya yenə də daha çox) tamamilə eyni cərgə əldə edilir və əlavələr çıxarıla bilər. yalnız bir.
- Boş xəttin silinməsi. Transformasiya zamanı bütün elementlərin, o cümlədən sərbəst terminin sıfır olduğu yerdə bir sıra əldə edilərsə, belə bir sıra sıfır adlandırıla bilər və matrisdən kənara atılır.
- Bir cərgənin elementlərinə digərinin elementlərinin əlavə edilməsi (müvafiq sütunlarda), müəyyən bir əmsala vurulur. Ən gözə çarpmayan və ən vacib çevrilmə. Bunun üzərində daha ətraflı dayanmağa dəyər.
Bir əmsala vurulan bir sətir əlavə etmək
Anlamaq asanlığı üçün bu prosesi addım-addım parçalamağa dəyər. Matrisdən iki cərgə götürülür:
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a 21 a 22 ... a 2n | b 2
Tutaq ki, birincini ikinciyə əlavə etmək lazımdır, "-2" əmsalı ilə vurulur.
a" 21 = a 21 + -2×a 11
a" 22 = a 22 + -2×a 12
a" 2n = a 2n + -2×a 1n
Sonra matrisdəki ikinci sıra yenisi ilə əvəz olunur və birincisi dəyişməz qalır.
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2
Qeyd etmək lazımdır ki, vurma əmsalı elə seçilə bilər ki, iki cərgənin toplanması nəticəsində yeni cərgənin elementlərindən biri sıfıra bərabər olsun. Buna görə də, daha az bilinməyən bir sistemdə bir tənlik əldə etmək mümkündür. Və iki belə tənlik əldə etsəniz, əməliyyat yenidən edilə bilər və iki daha az naməlum olan bir tənlik əldə edilə bilər. Hər dəfə orijinaldan aşağı olan bütün cərgələrin bir əmsalını sıfıra çevirsəniz, pilləkənlər kimi matrisin ən aşağısına enə və bir naməlum olan bir tənlik əldə edə bilərsiniz. Buna Qauss metodundan istifadə edərək sistemin həlli deyilir.
Ümumiyyətlə
Qoy sistem olsun. Onun m tənliyi və n naməlum kökü var. Bunu aşağıdakı kimi yaza bilərsiniz:
Əsas matris sistem əmsallarından tərtib edilir. Sərbəst şərtlər sütunu genişləndirilmiş matrisə əlavə edilir və rahatlıq üçün sətirlə ayrılır.
- matrisin birinci cərgəsi k = (-a 21 /a 11) əmsalı ilə vurulur;
- matrisin birinci dəyişdirilmiş sırası və ikinci sıra əlavə olunur;
- ikinci sətir əvəzinə əvvəlki abzasdan əlavənin nəticəsi matrisə daxil edilir;
- indi yeni ikinci cərgədə birinci əmsal 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0-dır.
İndi eyni çevrilmə seriyası həyata keçirilir, yalnız birinci və üçüncü sıralar iştirak edir. Müvafiq olaraq, alqoritmin hər addımında a 21 elementi 31 ilə əvəz olunur. Sonra hər şey 41, ... a m1 üçün təkrarlanır. Nəticə sətirlərdəki birinci elementin sıfır olduğu bir matrisdir. İndi bir nömrəli sətri unutmalı və ikinci sətirdən başlayaraq eyni alqoritmi yerinə yetirməlisiniz:
- əmsalı k = (-a 32 /a 22);
- ikinci dəyişdirilmiş sətir “cari” sətirə əlavə edilir;
- əlavənin nəticəsi üçüncü, dördüncü və s. sətirlərlə əvəz edilir, birinci və ikinci isə dəyişməz qalır;
- matrisin sətirlərində ilk iki element artıq sıfıra bərabərdir.
Alqoritm k = (-a m,m-1 /a mm) əmsalı görünənə qədər təkrarlanmalıdır. Bu o deməkdir ki, sonuncu dəfə alqoritm yalnız aşağı tənlik üçün icra edilib. İndi matris üçbucağa bənzəyir və ya pilləli formaya malikdir. Aşağı sətirdə a mn × x n = b m bərabərliyi var. Əmsal və sərbəst termin məlumdur və kök onların vasitəsilə ifadə olunur: x n = b m /a mn. X n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 tapmaq üçün yaranan kök yuxarı sətirdə əvəz olunur. Bənzətmə ilə və s.: hər növbəti sətirdə yeni bir kök var və sistemin "yuxarısına" çatdıqdan sonra bir çox həll yolu tapa bilərsiniz. Bu tək olacaq.
Həll yolları olmadıqda
Əgər matris sətirlərindən birində sərbəst termindən başqa bütün elementlər sıfıra bərabərdirsə, bu cərgəyə uyğun gələn tənlik 0 = b kimi görünür. Bunun həlli yoxdur. Və belə bir tənlik sistemə daxil olduğundan, bütün sistemin həllər toplusu boşdur, yəni degenerativdir.
Sonsuz sayda həll yolu olduqda
Ola bilər ki, verilmiş üçbucaqlı matrisdə tənliyin bir əmsal elementi və bir sərbəst üzvü olan cərgələr yoxdur. Yalnız sətirlər var ki, onlar yenidən yazıldığında iki və ya daha çox dəyişəni olan tənliyə bənzəyəcək. Bu o deməkdir ki, sistemin sonsuz sayda həlli var. Bu halda cavab ümumi həll şəklində verilə bilər. Bunu necə etmək olar?
Matrisdəki bütün dəyişənlər əsas və sərbəst bölünür. Əsas olanlar addım matrisindəki cərgələrin "kənarında" duranlardır. Qalanları pulsuzdur. Ümumi həlldə əsas dəyişənlər sərbəst olanlar vasitəsilə yazılır.
Rahatlıq üçün matris əvvəlcə tənliklər sisteminə yenidən yazılır. Sonra onlardan yalnız bir əsas dəyişənin qaldığı yerdə bir tərəfdə qalır, qalan hər şey digərinə keçir. Bu, bir əsas dəyişəni olan hər bir tənlik üçün edilir. Sonra qalan tənliklərdə, mümkün olduqda, əsas dəyişən əvəzinə onun üçün alınan ifadə əvəz olunur. Əgər nəticə yenə yalnız bir əsas dəyişəni ehtiva edən ifadədirsə, hər bir əsas dəyişən sərbəst dəyişənlərlə ifadə kimi yazılana qədər yenidən oradan ifadə edilir və s. Bu, SLAE-nin ümumi həllidir.
Sistemin əsas həllini də tapa bilərsiniz - pulsuz dəyişənlərə istənilən dəyərləri verin və sonra bu xüsusi vəziyyət üçün əsas dəyişənlərin dəyərlərini hesablayın. Verilə bilən sonsuz sayda xüsusi həllər var.
Xüsusi nümunələrlə həll
Budur tənliklər sistemi.
Rahatlıq üçün dərhal onun matrisini yaratmaq daha yaxşıdır
Məlumdur ki, Qauss üsulu ilə həll edildikdə birinci sıraya uyğun gələn tənlik çevrilmələrin sonunda dəyişməz qalacaq. Ona görə də sol olsa daha sərfəli olar üst element matris ən kiçik olacaq - sonra əməliyyatlardan sonra qalan sətirlərin ilk elementləri sıfıra çevriləcəkdir. Bu o deməkdir ki, tərtib edilmiş matrisdə birincinin yerinə ikinci cərgənin qoyulması sərfəlidir.
ikinci sətir: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3
a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0
a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7
a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11
b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24
üçüncü sətir: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5
a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0
a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9
a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18
b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57
İndi çaşqınlıq yaratmamaq üçün çevrilmələrin aralıq nəticələri ilə matris yazmaq lazımdır.
Aydındır ki, belə bir matris müəyyən əməliyyatlardan istifadə edərək qavrayış üçün daha rahat edilə bilər. Məsələn, hər bir elementi "-1"-ə vurmaqla ikinci sətirdən bütün "mənfiləri" silə bilərsiniz.
Onu da qeyd etmək lazımdır ki, üçüncü sətirdə bütün elementlər üçə çoxluq təşkil edir. Sonra hər bir elementi "-1/3"-ə vuraraq xətti bu rəqəmlə qısalda bilərsiniz (mənfi - eyni zamanda silmək üçün mənfi dəyərlər).
Çox daha gözəl görünür. İndi birinci sətri tək buraxıb ikinci və üçüncü ilə işləmək lazımdır. Tapşırıq ikinci sətri üçüncü sətirə əlavə etməkdir, belə bir əmsala vurulur ki, a 32 elementi sıfıra bərabər olsun.
k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (bəzi çevrilmələr zamanı cavab tam ədəd olmadıqda, çıxmaq üçün hesablamaların düzgünlüyünü qorumaq tövsiyə olunur. formasında “olduğu kimi” adi fraksiya, və yalnız bundan sonra, cavablar alındıqda, yuvarlaqlaşdırıb başqa qeyd formasına çevirmək qərarına gəlin)
a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0
a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7
b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7
Matris yenidən yeni dəyərlərlə yazılır.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Göründüyü kimi, nəticədə alınan matrisin artıq pilləli forması var. Buna görə də, Qauss metodundan istifadə edərək sistemin əlavə transformasiyası tələb olunmur. Burada edilə bilən üçüncü sətirdən çıxarmaqdır ümumi əmsal "-1/7".
İndi hər şey gözəldir. Sadəcə matrisi yenidən tənliklər sistemi şəklində yazmaq və kökləri hesablamaq qalır.
x + 2y + 4z = 12 (1)
7y + 11z = 24 (2)
İndi köklərin tapılacağı alqoritmə Qauss metodunda tərs hərəkət deyilir. Tənlik (3) z dəyərini ehtiva edir:
y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9
Və birinci tənlik x tapmağa imkan verir:
x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3
Bizim belə bir sistemi müştərək, hətta müəyyən, yəni unikal həlli olan adlandırmaq haqqımız var. Cavab aşağıdakı formada yazılır:
x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.
Qeyri-müəyyən bir sistemin nümunəsi
Müəyyən bir sistemin Gauss metodundan istifadə edərək həlli variantı təhlil edilmişdir, indi sistemin qeyri-müəyyən olması halını nəzərdən keçirmək lazımdır, yəni bunun üçün sonsuz sayda həll yolları tapıla bilər.
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)
x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)
Sistemin görünüşü artıq həyəcan vericidir, çünki naməlumların sayı n = 5-dir və sistem matrisinin dərəcəsi artıq bu rəqəmdən tam olaraq azdır, çünki cərgələrin sayı m = 4-dür, yəni. determinant-kvadratın ən böyük sırası 4-dür. Bu o deməkdir ki, sonsuz sayda həll var və onun ümumi görünüşünü axtarmaq lazımdır. Xətti tənliklər üçün Gauss metodu bunu etməyə imkan verir.
Birincisi, həmişə olduğu kimi, genişləndirilmiş bir matris tərtib edilir.
İkinci sətir: əmsal k = (-a 21 /a 11) = -3. Üçüncü sətirdə birinci element çevrilmələrdən əvvəldir, ona görə də heç bir şeyə toxunmaq lazım deyil, onu olduğu kimi tərk etməlisiniz. Dördüncü sətir: k = (-a 4 1 /a 11) = -5
Birinci cərgənin elementlərini növbə ilə onların əmsallarının hər birinə vurub tələb olunan sətirlərə əlavə etməklə aşağıdakı formada matris əldə edirik:
Göründüyü kimi, ikinci, üçüncü və dördüncü sıralar bir-birinə mütənasib olan elementlərdən ibarətdir. İkinci və dördüncü ümumiyyətlə eynidir, buna görə də onlardan biri dərhal çıxarıla bilər, qalanı isə “-1” əmsalı ilə vurularaq 3-cü sətir alına bilər. Yenə də iki eyni sətirdən birini buraxın.
Nəticə belə bir matrisdir. Sistem hələ yazılmamış olsa da, burada əsas dəyişənləri müəyyən etmək lazımdır - a 11 = 1 və a 22 = 1 əmsallarında duranları və boş olanları - qalanları.
İkinci tənlikdə yalnız bir əsas dəyişən var - x 2. Bu o deməkdir ki, sərbəst olan x 3 , x 4 , x 5 dəyişənləri vasitəsilə onu oradan yazmaqla ifadə etmək olar.
Nəticə ifadəsini birinci tənliyə əvəz edirik.
Nəticə yeganə əsas dəyişənin x 1 olduğu tənlikdir. Onunla da x 2 ilə eyni şeyi edək.
İkisi olan bütün əsas dəyişənlər üç sərbəst ilə ifadə edilir, indi cavabı ümumi formada yaza bilərik.
Siz həmçinin sistemin xüsusi həllərindən birini təyin edə bilərsiniz. Belə hallar üçün adətən sıfırlar pulsuz dəyişənlər üçün dəyərlər kimi seçilir. Sonra cavab belə olacaq:
16, 23, 0, 0, 0.
Kooperativ olmayan sistemin nümunəsi
Qauss metodundan istifadə edərək uyğun olmayan tənlik sistemlərinin həlli ən sürətlidir. Mərhələlərdən birində həlli olmayan tənlik əldə edilən kimi dərhal bitir. Yəni kifayət qədər uzun və yorucu olan köklərin hesablanması mərhələsi aradan qaldırılır. Aşağıdakı sistem hesab olunur:
x + y - z = 0 (1)
2x - y - z = -2 (2)
4x + y - 3z = 5 (3)
Həmişə olduğu kimi, matris tərtib edilir:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
Və o, addım-addım formaya salınır:
k 1 = -2k 2 = -4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Birinci transformasiyadan sonra üçüncü sətir formanın tənliyini ehtiva edir
həll olmadan. Nəticədə, sistem uyğunsuzdur və cavab boş dəst olacaq.
Metodun üstünlükləri və mənfi cəhətləri
SLAE-ləri kağız üzərində qələmlə həll etməyin hansı üsulunu seçsəniz, bu məqalədə müzakirə olunan üsul ən cəlbedici görünür. Elementar çevrilmələrdə çaşqın olmaq determinantı və ya bəzi çətin tərs matrisi əl ilə axtarmaqdan daha çətindir. Bununla belə, əgər siz bu tip verilənlərlə, məsələn, elektron cədvəllərlə işləmək üçün proqramlardan istifadə edirsinizsə, onda məlum olur ki, belə proqramlarda artıq matrislərin əsas parametrlərinin - determinant, kiçik, tərs və s. hesablanması üçün alqoritmlər var. Əgər maşının bu dəyərləri özü hesablayacağına və səhv etməyəcəyinə əminsinizsə, matris metodundan və ya Kramer düsturlarından istifadə etmək daha məqsədəuyğundur, çünki onların tətbiqi determinantların və tərs matrislərin hesablanması ilə başlayır və bitir. .
Ərizə
Gauss həlli bir alqoritm olduğundan və matris əslində iki ölçülü massiv olduğundan, proqramlaşdırmada istifadə edilə bilər. Ancaq məqalə özünü "dummies üçün" bələdçi kimi yerləşdirdiyindən, metodu yerləşdirmək üçün ən asan yerin elektron cədvəllər, məsələn, Excel olduğunu söyləmək lazımdır. Yenə də, matris şəklində cədvələ daxil edilmiş hər hansı SLAE Excel tərəfindən iki ölçülü massiv kimi qəbul ediləcək. Və onlarla əməliyyatlar üçün çoxlu gözəl əmrlər var: əlavə (yalnız eyni ölçülü matrisləri əlavə edə bilərsiniz!), ədədə vurma, matrisləri vurma (həmçinin müəyyən məhdudiyyətlərlə), tərs və köçürülmüş matrisləri tapmaq və ən əsası , determinantın hesablanması. Bu vaxt aparan tapşırıq tək bir əmrlə əvəz olunarsa, matrisin rütbəsini daha tez müəyyən etmək və buna görə də onun uyğunluğunu və ya uyğunsuzluğunu müəyyən etmək mümkündür.
Sistem verilsin, ∆≠0. (1)Gauss üsulu naməlumların ardıcıl aradan qaldırılması üsuludur.
Gauss metodunun mahiyyəti (1)-i üçbucaqlı matrisli bir sistemə çevirməkdir, bundan sonra bütün naməlumların dəyərləri ardıcıl olaraq (əks istiqamətdə) alınır. Hesablama sxemlərindən birini nəzərdən keçirək. Bu dövrə tək bölməli dövrə adlanır. Beləliklə, bu diaqrama baxaq. 11 ≠0 (aparıcı element) birinci tənliyi 11-ə bölsün. alırıq
(2)
(2) tənliyindən istifadə edərək, sistemin qalan tənliklərindən x 1 naməlumlarını aradan qaldırmaq asandır (bunun üçün hər bir tənlikdən əvvəllər x 1 üçün müvafiq əmsala vurulan (2) tənliyini çıxarmaq kifayətdir) , yəni ilk addımda əldə edirik
.
Başqa sözlə, 1-ci addımda, ikincidən başlayaraq sonrakı cərgələrin hər bir elementi ilkin element ilə onun birinci sütuna və birinci (çevirilmiş) cərgəyə “proyeksiyasının” məhsulu arasındakı fərqə bərabərdir.
Bundan sonra, birinci tənliyi tək buraxaraq, birinci addımda alınan sistemin qalan tənlikləri üzərində oxşar çevrilmə həyata keçiririk: onların arasından aparıcı elementi olan tənliyi seçirik və onun köməyi ilə qalanlardan x 2-ni çıxarırıq. tənliklər (addım 2).
n addımdan sonra (1) əvəzinə ekvivalent sistem əldə edirik 
(3)
Beləliklə, birinci mərhələdə üçbucaq sistemi əldə edirik (3). Bu mərhələ irəli vuruş adlanır.
İkinci mərhələdə (əks) ardıcıl olaraq (3) x n, x n -1, ..., x 1 dəyərlərini tapırıq.
Nəticə həllini x 0 kimi işarə edək. Onda fərq ε=b-A x 0 olur qalıq adlanır.
Əgər ε=0 olarsa, onda tapılmış həll x 0 düzgündür.
Gauss metodundan istifadə edərək hesablamalar iki mərhələdə aparılır:
- Birinci mərhələ irəli metod adlanır. Birinci mərhələdə orijinal sistem üçbucaqlı formaya çevrilir.
- İkinci mərhələ tərs vuruş adlanır. İkinci mərhələdə orijinala ekvivalent olan üçbucaqlı sistem həll edilir.
Hər addımda aparıcı elementin sıfırdan fərqli olduğu qəbul edildi. Əgər belə deyilsə, onda sistemin tənliklərini yenidən təşkil edən kimi istənilən başqa element aparıcı element kimi istifadə oluna bilər.
Gauss metodunun məqsədi
Gauss metodu xətti tənliklər sistemlərinin həlli üçün nəzərdə tutulmuşdur. Birbaşa həll üsullarına istinad edir.Qauss metodunun növləri
- Klassik Qauss metodu;
- Gauss metodunun modifikasiyası. Gauss metodunun modifikasiyalarından biri əsas elementin seçimi ilə sxemdir. Əsas elementin seçimi ilə Gauss metodunun bir xüsusiyyəti, tənliklərin elə yenidən qurulmasıdır ki, k-ci addımda aparıcı element k-ci sütunda ən böyük elementə çevrilir.
- Jordano-Gauss metodu;
Gəlin fərqi təsvir edək Jordano-Gauss metodu Qauss metodundan nümunələrlə.
Gauss metodundan istifadə edərək həll nümunəsi
Sistemi həll edək: 
Hesablama asanlığı üçün xətləri dəyişdirək: 
2-ci sətri (2) ilə vuraq. 2-ci sətirə 3-cü sətri əlavə edin 
2-ci sətri (-1) ilə vurun. 1-ci sətirə 2-ci sətri əlavə edin 
1-ci sətirdən x 3-ü ifadə edirik:
2-ci sətirdən x 2 ifadə edirik:
3-cü sətirdən x 1 ifadə edirik:
Jordano-Gauss metodundan istifadə edərək həll nümunəsi
Eyni SLAE-ni Jordano-Gauss metodundan istifadə edərək həll edək. 
Matrisin əsas diaqonalında yerləşən RE həlledici elementini ardıcıl olaraq seçəcəyik.
Qətnamə elementi (1) bərabərdir.
NE = SE - (A*B)/RE
RE - həlledici element (1), A və B - STE və RE elementləri ilə düzbucaqlı təşkil edən matris elementləri.
Hər bir elementin hesablanmasını cədvəl şəklində təqdim edək:
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
| 1 / 1 = 1 | 2 / 1 = 2 | -2 / 1 = -2 | 1 / 1 = 1 |
Həlledici element (3) bərabərdir.
Həlledici elementin yerinə 1 alırıq və sütunun özündə sıfırları yazırıq.
B sütununun elementləri daxil olmaqla matrisin bütün digər elementləri düzbucaqlı qaydası ilə müəyyən edilir.
Bunun üçün biz düzbucaqlının təpələrində yerləşən və həmişə həlledici element RE olan dörd ədədi seçirik.
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
| 0 / 3 = 0 | 3 / 3 = 1 | 1 / 3 = 0.33 | 4 / 3 = 1.33 |
Qətnamə elementi (-4) təşkil edir.
Həlledici elementin yerinə 1 alırıq və sütunun özündə sıfırları yazırıq.
B sütununun elementləri daxil olmaqla matrisin bütün digər elementləri düzbucaqlı qaydası ilə müəyyən edilir.
Bunun üçün biz düzbucaqlının təpələrində yerləşən və həmişə həlledici element RE olan dörd ədədi seçirik.
Hər bir elementin hesablanmasını cədvəl şəklində təqdim edək:
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
| 0 / -4 = 0 | 0 / -4 = 0 | -4 / -4 = 1 | -4 / -4 = 1 |
Cavab verin: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1