Arifmetik irəliləyişədədlər ardıcıllığını adlandırın (proqresiyanın üzvləri)

Hər bir sonrakı termin əvvəlkindən polad terminlə fərqlənir ki, bu da adlanır addım və ya irəliləyiş fərqi.

Beləliklə, irəliləyişin addımını və onun birinci müddətini təyin etməklə, düsturdan istifadə edərək onun elementlərindən hər hansı birini tapa bilərsiniz

Arifmetik irəliləyişin xassələri

1) İkinci nömrədən başlayaraq arifmetik irəliləyişin hər bir üzvü, irəliləyişin əvvəlki və sonrakı üzvlərinin arifmetik ortasıdır.

Bunun əksi də doğrudur. Proqresiyanın qonşu tək (cüt) üzvlərinin arifmetik ortası onların arasında duran üzvə bərabərdirsə, onda bu ədədlər ardıcıllığı arifmetik irəliləyişdir. Bu iddia ilə istənilən ardıcıllığı yoxlamaq çox asandır.

Həmçinin arifmetik proqresiyanın xassəsinə görə yuxarıdakı düstur aşağıdakılara ümumiləşdirilə bilər

Şərtləri bərabər işarəsinin sağına yazsaq, bunu yoxlamaq asandır

Problemlərdə hesablamaları sadələşdirmək üçün praktikada tez-tez istifadə olunur.

2) Arifmetik proqresiyanın ilk n üzvünün cəmi düsturla hesablanır

Arifmetik irəliləyişin cəminin düsturunu yaxşı xatırlayın, bu, hesablamalarda əvəzolunmazdır və sadə həyat vəziyyətlərində olduqca yaygındır.

3) Əgər bütün cəmini deyil, onun k -ci üzvündən başlayaraq ardıcıllığın bir hissəsini tapmaq lazımdırsa, onda aşağıdakı cəmi düsturu sizə kömək edəcəkdir.

4) k-ci ədəddən başlayaraq arifmetik irəliləyişin n üzvünün cəmini tapmaq praktiki maraq doğurur. Bunu etmək üçün formuladan istifadə edin

Burada nəzəri material başa çatır və biz praktikada ümumi olan problemlərin həllinə keçirik.

Nümunə 1. 4;7;... arifmetik irəliləyişin qırxıncı həddi tapın.

Həll:

Şərtə görə bizdə var

Tərəqqi addımını müəyyənləşdirin

Məlum düstura görə, proqresiyanın qırxıncı həddini tapırıq

Misal 2. Arifmetik irəliləyiş onun üçüncü və yeddinci üzvləri tərəfindən verilir. Proqresiyanın birinci həddi ilə onluğun cəmini tapın.

Həll:

Proqresiyanın verilmiş elementlərini düsturlara uyğun yazırıq

İkinci tənlikdən birinci tənliyi çıxarırıq, nəticədə irəliləmə addımını tapırıq

Tapılan dəyər arifmetik irəliləyişin birinci həddini tapmaq üçün tənliklərdən hər hansı birinə əvəz edilir.

Proqresiyanın ilk on üzvünün cəmini hesablayın

Mürəkkəb hesablamalar tətbiq etmədən bütün lazımi dəyərləri tapdıq.

Misal 3. Arifmetik irəliləyiş məxrəc və onun üzvlərindən biri tərəfindən verilir. Proqresiyanın birinci üzvünü, 50-dən başlayan 50 üzvünün cəmini və ilk 100-ün cəmini tapın.

Həll:

Proqresiyanın yüzüncü elementinin düsturunu yazaq

və birincisini tapın

Birinciyə əsaslanaraq, irəliləyişin 50-ci dövrünü tapırıq

Proqresiyanın hissəsinin cəminin tapılması

və ilk 100-ün cəmi

Proqressiyanın cəmi 250-dir.

Misal 4

Arifmetik irəliləyişin üzvlərinin sayını tapın, əgər:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Həll:

Tənlikləri birinci hədd və irəliləyişin addımı baxımından yazır və müəyyən edirik

Cəmdəki üzvlərin sayını təyin etmək üçün əldə edilmiş dəyərləri cəmi düsturla əvəz edirik.

Sadələşdirmələrin aparılması

və qərar verin kvadrat tənlik

Tapılan iki dəyərdən yalnız 8 rəqəmi problemin vəziyyətinə uyğun gəlir. Beləliklə, irəliləyişin ilk səkkiz üzvünün cəmi 111-dir.

Misal 5

tənliyi həll edin

1+3+5+...+x=307.

Həlli: Bu tənlik arifmetik irəliləyişin cəmidir. Onun birinci şərtini yazırıq və irəliləyişin fərqini tapırıq

Bəli, bəli: arifmetik irəliləyiş sizin üçün oyuncaq deyil :)

Yaxşı, dostlar, əgər siz bu mətni oxuyursunuzsa, onda daxili qapaq sübutu mənə deyir ki, siz hələ də arifmetik irəliləyişin nə olduğunu bilmirsiniz, amma həqiqətən (yox, belə: SOOOOO!) bilmək istəyirsiniz. Buna görə də sizi uzun təqdimatlarla incitməyəcəyəm və dərhal işə başlayacağam.

Başlamaq üçün bir neçə nümunə. Bir neçə ədəd dəstini nəzərdən keçirin:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Bütün bu dəstlərin ortaq cəhəti nədir? İlk baxışdan heç nə. Amma əslində bir şey var. Məhz: hər növbəti element əvvəlkindən eyni sayda fərqlənir.

Özünüz mühakimə edin. Birinci dəst sadəcə ardıcıl nömrələrdir, hər biri əvvəlkindən çoxdur. İkinci halda, fərq daimi nömrələr artıq beşə bərabərdir, lakin bu fərq hələ də sabitdir. Üçüncü halda, ümumiyyətlə köklər var. Bununla belə, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, yəni. bu halda hər növbəti element sadəcə olaraq $\sqrt(2)$ artır (və bu rəqəmin irrasional olmasından qorxma).

Beləliklə: bütün belə ardıcıllıqlar sadəcə olaraq arifmetik irəliləyişlər adlanır. Ciddi bir tərif verək:

Tərif. Hər bir sonrakının əvvəlkindən tam eyni miqdarda fərqləndiyi nömrələr ardıcıllığına arifmetik irəliləyiş deyilir. Rəqəmlərin fərqləndiyi məbləğə irəliləyiş fərqi deyilir və ən çox $d$ hərfi ilə işarələnir.

Qeyd: $\left(((a)_(n)) \right)$ irəliləyişin özüdür, $d$ onun fərqidir.

Və yalnız bir neçə vacib qeyd. Birincisi, yalnız irəliləyiş nəzərə alınır nizamlı nömrələrin ardıcıllığı: onların yazıldığı ardıcıllıqla ciddi şəkildə oxunmasına icazə verilir - başqa heç nə yoxdur. Siz nömrələri yenidən təşkil edə və ya dəyişdirə bilməzsiniz.

İkincisi, ardıcıllığın özü sonlu və ya sonsuz ola bilər. Məsələn, (1; 2; 3) çoxluğu açıq şəkildə sonlu arifmetik irəliləyişdir. Ancaq (1; 2; 3; 4; ...) kimi bir şey yazsanız - bu, artıq sonsuz bir irəliləyişdir. Dördündən sonrakı ellips, olduğu kimi, çox sayda rəqəmin daha da irəli getdiyinə işarə edir. Məsələn, sonsuz sayda. :)

Onu da qeyd edim ki, irəliləyişlər artır və azalır. Artıq artanları gördük - eyni çoxluq (1; 2; 3; 4; ...). Aşağıda irəliləyişlərin azaldılması nümunələri verilmişdir:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Tamam, tamam: son nümunə həddindən artıq mürəkkəb görünə bilər. Amma qalanları, məncə, başa düşürsən. Buna görə də yeni təriflər təqdim edirik:

Tərif. Arifmetik irəliləyiş deyilir:

1. hər növbəti element əvvəlkindən böyükdürsə, artır;
2. azalan, əgər əksinə, hər bir sonrakı element əvvəlkindən azdırsa.

Bundan əlavə, "stasionar" ardıcıllıqlar var - onlar eyni təkrarlanan nömrədən ibarətdir. Məsələn, (3; 3; 3; ...).

Yalnız bir sual qalır: artan irəliləyişi azalandan necə ayırd etmək olar? Xoşbəxtlikdən, burada hər şey yalnız $d$ rəqəminin işarəsindən asılıdır, yəni. irəliləmə fərqləri:

1. Əgər $d \gt 0$, deməli, irəliləyiş artır;
2. Əgər $d \lt 0$ olarsa, deməli irəliləyiş açıq şəkildə azalır;
3. Nəhayət, $d=0$ halı var — bu halda bütün irəliləyiş eyni ədədlərin stasionar ardıcıllığına endirilir: (1; 1; 1; 1; ...) və s.

Yuxarıdakı üç azalan irəliləyiş üçün $d$ fərqini hesablamağa çalışaq. Bunu etmək üçün hər hansı iki bitişik elementi (məsələn, birinci və ikinci) götürmək və sağdakı nömrədən, soldakı nömrəni çıxarmaq kifayətdir. Bu belə görünəcək:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Gördüyünüz kimi, hər üç halda fərq həqiqətən mənfi oldu. İndi biz tərifləri az-çox başa düşdük, irəliləyişlərin necə təsvir edildiyini və onların hansı xüsusiyyətlərə malik olduğunu anlamağın vaxtı gəldi.

Proqressiyanın üzvləri və təkrarlanan düstur

Ardıcıllığımızın elementləri bir-birini əvəz edə bilmədiyi üçün onları nömrələmək olar:

\[\sol(((a)_(n)) \sağ)=\sol\(((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \sağ\)\]

Bu çoxluğun ayrı-ayrı elementləri proqressiyanın üzvləri adlanır. Onlar rəqəmin köməyi ilə bu şəkildə göstərilir: birinci üzv, ikinci üzv və s.

Bundan əlavə, artıq bildiyimiz kimi, irəliləyişin qonşu üzvləri düsturla əlaqələndirilir:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Sağ ox ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Qısaca desək, irəliləyişin $n$-ci həddini tapmaq üçün $n-1$th termini və $d$ fərqini bilmək lazımdır. Belə bir düstur təkrarlanan adlanır, çünki onun köməyi ilə hər hansı bir nömrə tapa bilərsiniz, yalnız əvvəlkini (və əslində, bütün əvvəlkiləri) bilərək. Bu, çox əlverişsizdir, ona görə də hər hansı bir hesablamanı birinci terminə və fərqə endirən daha çətin bir düstur var:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\sol(n-1 \sağ)d\]

Yəqin ki, bu düsturla əvvəllər rastlaşmısınız. Onu hər cür arayış kitablarında və reshebniklərdə verməyi xoşlayırlar. Riyaziyyat üzrə hər hansı bir ağıllı dərslikdə o, birincilərdən biridir.

Bununla belə, bir az məşq etməyi məsləhət görürəm.

Tapşırıq nömrəsi 1. $((a)_(1))=8,d=-5$ olarsa, $\left(((a)_(n)) \right)$ arifmetik proqressiyasının ilk üç şərtini yazın.

Həll. Beləliklə, $((a)_(1))=8$ birinci termini və $d=-5$ irəliləyiş fərqini bilirik. Gəlin indi verilmiş düsturdan istifadə edək və $n=1$, $n=2$ və $n=3$ əvəz edək:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\sol(2-1 \sağ)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\sol(3-1 \sağ)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(hizalayın)\]

Cavab: (8; 3; -2)

Hamısı budur! Qeyd edək ki, irəliləyişimiz getdikcə azalır.

Əlbəttə, $n=1$ əvəz edilə bilməzdi - biz artıq birinci termini bilirik. Bununla belə, vahidi əvəz etməklə biz əmin olduq ki, hətta birinci dövr üçün formulamız işləyir. Digər hallarda, hər şey banal hesaba düşdü.

Tapşırıq nömrəsi 2. Yeddinci üzvü −40, on yeddinci üzvü isə −50-dirsə, arifmetik proqresiyanın ilk üç həddini yazın.

Həll. Problemin vəziyyətini adi şərtlərlə yazırıq:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\sol\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & (a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(düzləşdirin) \sağa.\]

\[\sol\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \sağ.\]

Sistemin işarəsini ona görə qoyuram ki, bu tələblər eyni vaxtda yerinə yetirilməlidir. İndi isə qeyd edirik ki, ikinci tənlikdən birinci tənliyi çıxarsaq (bunu etmək hüququmuz var, çünki sistemimiz var), bunu alırıq:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(hizalayın)\]

Eynilə, biz irəliləyiş fərqini tapdıq! Sistemin hər hansı bir tənliyində tapılan ədədi əvəz etmək qalır. Məsələn, birincidə:

\[\begin(matris) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \son (matris)\]

İndi birinci şərti və fərqi bilməklə ikinci və üçüncü şərtləri tapmaq qalır:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(hizalayın)\]

Hazır! Problem həll edildi.

Cavab: (-34; -35; -36)

Kəşf etdiyimiz irəliləyişin maraqlı bir xüsusiyyətinə diqqət yetirin: $n$th və $m$th şərtlərini götürsək və onları bir-birindən çıxarsaq, irəliləyişin fərqini $n-m$ ədədinə vururuq:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \sol(n-m \sağ)\]

Sadə, lakin çox faydalı əmlak, mütləq bilməli olduğunuz - onun köməyi ilə irəliləyişlərdə bir çox problemlərin həllini əhəmiyyətli dərəcədə sürətləndirə bilərsiniz. Bunun əsas nümunəsi budur:

Tapşırıq nömrəsi 3. Arifmetik proqresiyanın beşinci həddi 8,4, onuncu üzvü isə 14,4-dür. Bu irəliləyişin on beşinci üzvünü tapın.

Həll. $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ və $((a)_(15))$ tapmaq lazım olduğuna görə aşağıdakıları qeyd edirik:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(hizalayın)\]

Lakin $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$ şərtinə görə $5d=6$, buradan əldə edirik:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(hizalayın)\]

Cavab: 20.4

Hamısı budur! Hər hansı bir tənlik sistemi qurmağa və birinci həddi və fərqi hesablamağa ehtiyac duymadıq - hər şey bir neçə sətirdə həll edildi.

İndi problemin başqa bir növünü - proqresiyanın mənfi və müsbət üzvlərinin axtarışını nəzərdən keçirək. Heç kimə sirr deyil ki, əgər irəliləyiş artarsa, onun ilk termini mənfi olarsa, gec-tez müsbət şərtlər onda görünəcəkdir. Və əksinə: azalan irəliləyişin şərtləri gec-tez mənfi olacaq.

Eyni zamanda, ardıcıl olaraq elementləri sıralayaraq bu anı "alnında" tapmaq həmişə mümkün deyil. Çox vaxt problemlər elə qurulur ki, düsturları bilmədən hesablamalar bir neçə vərəq aparsın - cavabı tapana qədər biz sadəcə yuxuya gedirdik. Ona görə də çalışacağıq ki, bu problemləri daha tez həll edək.

Tapşırıq nömrəsi 4. Arifmetik irəliləyişdə neçə mənfi hədd -38,5; -35,8; …?

Həll. Beləliklə, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, buradan dərhal fərqi tapırıq:

Qeyd edək ki, fərq müsbətdir, buna görə də irəliləyiş artır. Birinci termin mənfidir, ona görə də nə vaxtsa müsbət rəqəmlərlə qarşılaşacağıq. Yeganə sual bunun nə vaxt baş verəcəyidir.

Gəlin öyrənməyə çalışaq: şərtlərin mənfiliyi nə qədər müddətə (yəni, $n$ hansı natural ədədə qədər) saxlanılır:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Sağ ox ((a)_(1))+\left(n-1 \sağ)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \sağ)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \sağ. \\ & -385+27\cdot \sol(n-1 \sağ) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Sağ ox ((n)_(\max ))=15. \\ \end(hizalayın)\]

Sonuncu sətir aydınlaşdırma tələb edir. Beləliklə, $n \lt 15\frac(7)(27)$ olduğunu bilirik. Digər tərəfdən, nömrənin yalnız tam dəyərləri bizə uyğun olacaq (üstəlik: $n\in \mathbb(N)$), buna görə də ən böyük icazə verilən nömrə dəqiq olaraq $n=15$-dır və heç bir halda 16-dır.

Tapşırıq nömrəsi 5. Arifmetik irəliləyişdə $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Bu irəliləyişin birinci müsbət üzvünün sayını tapın.

Bu, əvvəlki problemlə eyni problem olacaq, lakin biz $((a)_(1))$ bilmirik. Ancaq qonşu şərtlər məlumdur: $((a)_(5))$ və $((a)_(6))$, beləliklə, irəliləyiş fərqini asanlıqla tapa bilərik:

Bundan əlavə, standart düsturdan istifadə edərək beşinci termini birinci və fərq baxımından ifadə etməyə çalışaq:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(hizalayın)\]

İndi əvvəlki problemə bənzətmə ilə davam edirik. Müsbət ədədlərin ardıcıllığımızın hansı nöqtəsində görünəcəyini öyrənirik:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Sağ ox ((n)_(\dəq ))=56. \\ \end(hizalayın)\]

Bu bərabərsizliyin minimum tam həlli 56 ədədidir.

Nəzərə alın ki, son tapşırıqda hər şey ciddi bərabərsizliyə endirildi, ona görə də $n=55$ variantı bizə uyğun gəlməyəcək.

Sadə məsələlərin həllini öyrəndiyimizə görə, indi daha mürəkkəb olanlara keçək. Ancaq əvvəlcə arifmetik irəliləyişlərin başqa bir çox faydalı xüsusiyyətini öyrənək, bu, gələcəkdə bizə çox vaxt və qeyri-bərabər hüceyrələrə qənaət edəcəkdir. :)

Arifmetik orta və bərabər abzaslar

Artan arifmetik irəliləyişin bir neçə ardıcıl şərtini nəzərdən keçirin $\left(((a)_(n)) \right)$. Onları rəqəm xəttində qeyd etməyə çalışaq:

Say xəttində arifmetik irəliləyiş üzvləri

Mən xüsusi olaraq $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ ixtiyari üzvləri qeyd etdim və hər hansı $((a)_(1)) deyil, \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ və s. Çünki indi sizə deyəcəyim qayda istənilən “seqmentlər” üçün eyni işləyir.

Və qayda çox sadədir. Gəlin rekursiv düsturu xatırlayaq və onu bütün işarələnmiş üzvlər üçün yazaq:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(hizalayın)\]

Bununla belə, bu bərabərliklər fərqli şəkildə yenidən yazıla bilər:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(hizalayın)\]

Yaxşı, bəs nə? Lakin $((a)_(n-1))$ və $((a)_(n+1))$ şərtlərinin $((a)_(n)) $-dan eyni məsafədə olması faktı . Və bu məsafə $d$-a bərabərdir. Eyni şeyi $((a)_(n-2))$ və $((a)_(n+2))$ terminləri haqqında da demək olar - onlar da $((a)_(n) terminindən çıxarılıb. )$ eyni məsafədə $2d$-a bərabərdir. Siz qeyri-müəyyən müddətə davam edə bilərsiniz, lakin şəkil mənasını yaxşı göstərir

Proqresiyanın üzvləri mərkəzdən eyni məsafədə yerləşir

Bu bizim üçün nə deməkdir? Bu o deməkdir ki, əgər qonşu ədədlər məlumdursa, siz $((a)_(n))$ tapa bilərsiniz:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)(2)\]

Möhtəşəm bir ifadə çıxardıq: arifmetik irəliləyişin hər bir üzvü qonşu üzvlərin arifmetik ortasına bərabərdir! Üstəlik, biz $((a)_(n))$-dan sola və sağa bir addım deyil, $k$ addımları ilə yayına bilərik - və yenə də düstur düzgün olacaq:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Bunlar. $((a)_(150))$ və $((a)_(100))$ və $((a)_(200))$ bildiyimiz halda asanlıqla bəzi $((a)_(150))$ tapa bilərik, çünki $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)(2)$. İlk baxışdan elə görünə bilər ki, bu fakt bizə faydalı heç nə vermir. Bununla belə, praktikada arifmetik ortanın istifadəsi üçün bir çox tapşırıqlar xüsusi olaraq "kəskinləşdirilir". Bax:

Tapşırıq nömrəsi 6. $-6((x)^(2))$, $x+1$ və $14+4((x)^(2))$ ədədlərinin ardıcıl üzvləri olması üçün $x$-ın bütün dəyərlərini tapın. arifmetik irəliləyiş (müəyyən edilmiş qaydada).

Həll. Çünki göstərilən nömrələr proqressiyanın üzvləridir, orta hesab şərtini ödəyirlər: $x+1$ mərkəzi elementi qonşu elementlərlə ifadə oluna bilər:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(hizalayın)\]

Nəticə klassik kvadrat tənlikdir. Onun kökləri: $x=2$ və $x=-3$ cavablardır.

Cavab: -3; 2.

Tapşırıq nömrəsi 7. $$-ın elə dəyərlərini tapın ki, $-1;4-3;(()^(2))+1$ ədədləri arifmetik irəliləyiş əmələ gətirsin (həmin ardıcıllıqla).

Həll. Bir daha ifadə edək orta üzv qonşu üzvlərin arifmetik ortasına görə:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\sağ.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(hizalayın)\]

Başqa bir kvadrat tənlik. Və yenə iki kök: $x=6$ və $x=1$.

Cavab: 1; 6.

Əgər problemin həlli zamanı bəzi qəddar nömrələr alırsınızsa və ya tapılan cavabların düzgünlüyünə tam əmin deyilsinizsə, onda yoxlamağa imkan verən gözəl bir hiylə var: problemi düzgün həll etdikmi?

Tutaq ki, 6-cı məsələdə -3 və 2 cavablarını aldıq. Bu cavabların düzgün olduğunu necə yoxlaya bilərik? Gəlin onları orijinal vəziyyətə qoşaq və nə baş verdiyini görək. Nəzərinizə çatdırım ki, bizdə üç ədəd ($-6(()^(2))$, $+1$ və $14+4(()^(2))$ var, bunlar arifmetik irəliləyiş təşkil etməlidir. $x=-3$ əvəz edin:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

-54 nömrələrini aldıq; −2; 52 ilə fərqlənən 50, şübhəsiz ki, arifmetik irəliləyişdir. Eyni şey $x=2$ üçün də baş verir:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

Yenə irəliləyiş, lakin 27 fərqlə. Beləliklə, problem düzgün həll olunur. İstəyənlər ikinci tapşırığı özləri yoxlaya bilərlər, amma dərhal deyəcəm: orada da hər şey qaydasındadır.

Ümumiyyətlə, son tapşırıqları həll edərkən başqasına rast gəldik maraqlı fakt, bunu da xatırlamaq lazımdır:

Əgər üç ədəd elədirsə ki, ikincisi birincinin və sonuncunun ortasıdır, onda bu ədədlər arifmetik irəliləyiş əmələ gətirir.

Gələcəkdə bu ifadəni başa düşmək bizə problemin vəziyyətinə əsaslanaraq lazımi irəliləyişləri sözün əsl mənasında "qurmağa" imkan verəcəkdir. Ancaq belə bir "tikinti" ilə məşğul olmamışdan əvvəl daha bir fakta diqqət yetirməliyik ki, bu da artıq nəzərdən keçiriləndən birbaşa irəli gəlir.

Elementlərin qruplaşdırılması və cəmi

Yenidən rəqəm xəttinə qayıdaq. Orada irəliləyişin bir neçə üzvünü qeyd edirik, onların arasında, bəlkə də. bir çox digər üzvlərə dəyər:

Rəqəm xəttində işarələnmiş 6 element

Gəlin “sol quyruğu” $((a)_(n))$ və $d$, “sağ quyruğu” isə $((a)_(k))$ və $ ifadələri ilə ifadə etməyə çalışaq. d$. Çox sadədir:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(hizalayın)\]

İndi aşağıdakı məbləğlərin bərabər olduğuna diqqət yetirin:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]

Sadə dillə desək, cəmi $S$ sayına bərabər olan iki irəliləyiş elementini başlanğıc kimi nəzərdən keçirsək və sonra bu elementlərdən əks istiqamətdə addımlamağa başlasaq (bir-birinə doğru və ya əksinə uzaqlaşmaq üçün), sonra rastlaşacağımız elementlərin cəmi də bərabər olacaq$S$. Bunu ən yaxşı qrafik olaraq göstərmək olar:

Eyni abzaslar bərabər məbləğlər verir

Anlayış bu fakt problemləri daha əsaslı şəkildə həll etməyə imkan verəcək yüksək səviyyə yuxarıda müzakirə edilənlərdən daha mürəkkəbdir. Məsələn, bunlar:

Tapşırıq nömrəsi 8. Birinci həddinin 66, ikinci və on ikinci hədlərin hasilinin mümkün olan ən kiçik olduğu arifmetik irəliləyişin fərqini təyin edin.

Həll. Bildiyimiz hər şeyi yazaq:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\dəq. \end(align)\]

Beləliklə, $d$ irəliləməsinin fərqini bilmirik. Əslində, bütün həll fərq ətrafında qurulacaq, çünki $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ məhsulu aşağıdakı kimi yenidən yazıla bilər:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\sol(66+d \sağ)\cdot \sol(66+11d \sağ)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \sağ)\cdot \left(d+6 \sağ). \end(align)\]

Tankda olanlar üçün: Mən ikinci mötərizədən ümumi faktor 11-i götürdüm. Beləliklə, istənilən hasil $d$ dəyişəninə münasibətdə kvadrat funksiyadır. Buna görə də, $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ funksiyasını nəzərdən keçirək - onun qrafiki budaqları yuxarı olan parabola olacaq, çünki mötərizələri açsaq, alırıq:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Gördüyünüz kimi, ən yüksək termini olan əmsal 11-dir - bu müsbət rəqəmdir, ona görə də biz həqiqətən budaqları yuxarı olan parabola ilə məşğul oluruq:

cədvəli kvadrat funksiya- parabola

Diqqət edin: bu parabola minimum qiymətini $((d)_(0))$ absis ilə təpəsində götürür. Təbii ki, istifadə edərək bu absisi hesablaya bilərik standart sxem($((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ düsturu var), lakin istənilən təpənin simmetriya oxunda olduğunu qeyd etmək daha məqsədəuyğun olardı. parabola olduğu üçün $((d) _(0))$ nöqtəsi $f\left(d \right)=0$ tənliyinin köklərindən bərabər məsafədədir:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \sağ)\cdot \left(d+6 \sağ)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\dörd ((d)_(2))=-6. \\ \end(hizalayın)\]

Buna görə də mötərizələri açmağa tələsmirdim: orijinal formada kökləri tapmaq çox, çox asan idi. Buna görə də absis ortaya bərabərdir arifmetik ədədlər-66 və -6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Aşkar edilmiş nömrəni bizə nə verir? Onunla tələb olunan məhsul ən kiçik dəyəri alır (yeri gəlmişkən, biz $((y)_(\min ))$ hesablamadıq - bu bizdən tələb olunmur). Eyni zamanda, bu rəqəm ilkin irəliləyişin fərqidir, yəni. cavabını tapdıq. :)

Cavab: -36

Tapşırıq nömrəsi 9. $-\frac(1)(2)$ və $-\frac(1)(6)$ ədədlərinin arasına üç ədəd daxil edin ki, verilmiş ədədlərlə birlikdə arifmetik irəliləyiş əmələ gətirsin.

Həll. Əslində, ilk və son nömrə artıq məlum olan beş ədəd ardıcıllığı yaratmalıyıq. Çatışmayan ədədləri $x$, $y$ və $z$ dəyişənləri ilə işarələyin:

\[\left(((a)_(n)) \sağ)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \sağ\ )\]

Qeyd edək ki, $y$ rəqəmi ardıcıllığımızın "ortasıdır" - o, $x$ və $z$ rəqəmlərindən, $-\frac(1)(2)$ və $-\frac ədədlərindən bərabər məsafədədir. (1)( 6)$. Və əgər $x$ və $z$ rəqəmlərindən biz varıq Bu an biz $y$ ala bilmərik, onda gedişatın ucları ilə vəziyyət fərqlidir. Arifmetik ortanı xatırlayın:

İndi $y$-ı bilməklə, qalan ədədləri tapacağıq. Qeyd edək ki, $x$ $-\frac(1)(2)$ və $y=-\frac(1)(3)$ arasında yerləşir. Buna görə də

Eyni şəkildə mübahisə edərək, qalan rəqəmi tapırıq:

Hazır! Hər üç rəqəmi tapdıq. Cavabda onları ilkin ədədlərin arasına daxil edilməli olan ardıcıllıqla yazaq.

Cavab: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Tapşırıq nömrəsi 10. 2 və 42 ədədlərinin arasına daxil edilmiş ədədlərin birinci, ikinci və sonuncularının cəminin 56 olduğu məlumdursa, verilmiş ədədlərlə birlikdə arifmetik irəliləyiş əmələ gətirən bir neçə ədəd daxil edin.

Həll. Daha da çox çətin iş, lakin bu, əvvəlkilərlə eyni şəkildə - arifmetik orta vasitəsilə həll olunur. Problem ondadır ki, biz neçə rəqəmi daxil edəcəyimizi dəqiq bilmirik. Buna görə də, dəqiqlik üçün biz hesab edirik ki, daxil etdikdən sonra tam olaraq $n$ ədədləri olacaq və onlardan birincisi 2, sonuncusu isə 42-dir. Bu halda istənilən arifmetik irəliləyiş aşağıdakı kimi göstərilə bilər:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \sağ\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Lakin qeyd edək ki, $((a)_(2))$ və $((a)_(n-1))$ ədədləri bir-birinə doğru bir addım kənarda duran 2 və 42 ədədlərindən alınır. , yəni. ardıcıllığın mərkəzinə. Və bu o deməkdir ki

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Lakin sonra yuxarıdakı ifadəni belə yenidən yazmaq olar:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(hizalayın)\]

$((a)_(3))$ və $((a)_(1))$ bilməklə, irəliləyiş fərqini asanlıqla tapa bilərik:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\sol(3-1 \sağ)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Sağ ox d=5. \\ \end(hizalayın)\]

Qalan üzvləri tapmaq qalır:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(hizalayın)\]

Beləliklə, artıq 9-cu addımda biz ardıcıllığın sol ucuna - 42 rəqəminə çatacağıq. Ümumilikdə cəmi 7 rəqəm daxil edilməli idi: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Cavab: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Proqressivlərlə mətn tapşırıqları

Sonda bir neçə nisbətən sadə məsələni nəzərdən keçirmək istərdim. Yaxşı, sadə olanlar kimi: məktəbdə riyaziyyat oxuyan və yuxarıda yazılanları oxumayan tələbələrin əksəriyyəti üçün bu tapşırıqlar jest kimi görünə bilər. Buna baxmayaraq, riyaziyyatda OGE və İSTİFADƏ-də rast gəlinən məhz belə tapşırıqlardır, buna görə də onlarla tanış olmağı məsləhət görürəm.

Tapşırıq nömrəsi 11. Komanda yanvar ayında 62 hissə istehsal edib və hər növbəti ayda əvvəlkindən 14 ədəd çox hissə istehsal edib. Noyabrda briqada neçə hissə istehsal etdi?

Həll. Aydındır ki, aylarla rənglənən hissələrin sayı artan arifmetik irəliləyiş olacaqdır. Və:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\sol(n-1 \sağ)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Noyabr ilin 11-ci ayıdır, ona görə də $((a)_(11))$ tapmalıyıq:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Buna görə də noyabrda 202 hissə istehsal olunacaq.

Tapşırıq nömrəsi 12. Cildləmə emalatxanası yanvar ayında 216 kitab cildləyib və hər ay əvvəlki ayla müqayisədə 4 daha çox kitab cildləyib. Seminar dekabrda neçə kitab cildləşdirdi?

Həll. Hamısı eyni:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\sol(n-1 \sağ)\cdot 4. \\ \end(align)$

Dekabr ilin sonuncu, 12-ci ayıdır, ona görə də biz $((a)_(12))$ axtarırıq:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Cavab budur - dekabrda 260 kitab cildlənəcək.

Yaxşı, bura qədər oxumusunuzsa, sizi təbrik etməyə tələsirəm: arifmetik irəliləyişlərdə "gənc döyüşçü kursunu" uğurla başa vurdunuz. Təhlükəsiz şəkildə növbəti dərsə keçə bilərik, burada irəliləyiş cəmi düsturunu, eləcə də ondan vacib və çox faydalı nəticələri öyrənəcəyik.

Onlayn kalkulyator.
Arifmetik irəliləyişin həlli.
Verilmişdir: a n, d, n
Tapın: a 1

Bu riyaziyyat proqramı istifadəçi tərəfindən müəyyən edilmiş \(a_n, d \) və \(n \) ədədlərinə əsaslanan arifmetik irəliləyişin \(a_1\) olduğunu tapır.
\(a_n\) və \(d \) ədədləri yalnız tam ədədlər kimi deyil, həm də kəsrlər kimi göstərilə bilər. Üstəlik, kəsr ədədi onluq kəsr şəklində (\ (2.5 \)) və formada daxil edilə bilər. adi fraksiya(\(-5\frac(2)(7) \)).

Proqram təkcə problemin cavabını vermir, həm də həll yolunun tapılması prosesini göstərir.

Bu onlayn kalkulyator orta məktəb tələbələri üçün hazırlıq zamanı faydalı ola bilər nəzarət işi və imtahanlar, imtahandan əvvəl bilikləri yoxlayarkən, valideynlər riyaziyyat və cəbrdən bir çox problemlərin həllinə nəzarət etsinlər. Yoxsa repetitor tutmaq və ya yeni dərsliklər almaq sizə çox baha başa gəlir? Yoxsa bunu mümkün qədər tez etmək istəyirsiniz? ev tapşırığı riyaziyyat yoxsa cəbr? Bu halda siz də ətraflı həlli ilə proqramlarımızdan istifadə edə bilərsiniz.

Beləliklə, siz öz fəaliyyətinizi həyata keçirə bilərsiniz öz təlimi və/yaxud öz kiçik qardaş və ya bacılarının təhsili, həll edilməli olan vəzifələr sahəsində təhsil səviyyəsi yüksəldilir.

Əgər nömrələrin daxil edilməsi qaydaları ilə tanış deyilsinizsə, onlarla tanış olmağı məsləhət görürük.

Nömrələrin daxil edilməsi qaydaları

\(a_n\) və \(d \) ədədləri yalnız tam ədədlər kimi deyil, həm də kəsrlər kimi göstərilə bilər.
\(n\) ədədi yalnız müsbət tam ədəd ola bilər.

Onluq kəsrlərin daxil edilməsi qaydaları.
Onluq kəsrlərdə tam və kəsr hissələri nöqtə və ya vergüllə ayrıla bilər.
Məsələn, daxil edə bilərsiniz ondalıklar 2,5 və ya daha çox 2,5

Adi kəsrlərin daxil edilməsi qaydaları.
Yalnız tam ədəd kəsrin payı, məxrəci və tam hissəsi kimi çıxış edə bilər.

Məxrəc mənfi ola bilməz.

Siz girdiyiniz zaman ədədi fraksiya Paylayıcı məxrəcdən bölmə işarəsi ilə ayrılır: /
Giriş:
Nəticə: \(-\frac(2)(3) \)

Tam hissə kəsirdən ampersandla ayrılır: &
Giriş:
Nəticə: \(-1\frac(2)(3) \)

a n, d, n rəqəmlərini daxil edin

1 tapın

Məlum olub ki, bu tapşırığı həll etmək üçün lazım olan bəzi skriptlər yüklənməyib və proqram işləməyə bilər.
Sizdə AdBlock aktiv ola bilər.
Bu halda onu söndürün və səhifəni yeniləyin.

Brauzerinizdə JavaScript deaktiv edilib.
Həllin görünməsi üçün JavaScript aktivləşdirilməlidir.
Brauzerinizdə JavaScript-i necə aktivləşdirmək barədə təlimatlar buradadır.

Çünki Problemi həll etmək istəyənlər çoxdur, müraciətiniz növbədədir.
Bir neçə saniyədən sonra həll aşağıda görünəcək.
Gözləyin, zəhmət olmasa san...

Əgər sən həllində səhv olduğunu gördü, sonra bu barədə Əlaqə Formunda yaza bilərsiniz.
Unutma hansı vəzifəni göstərin nə qərar verərsən sahələrə daxil olun.

Oyunlarımız, bulmacalarımız, emulyatorlarımız:

Bir az nəzəriyyə.

Rəqəmsal ardıcıllıq

Gündəlik təcrübədə müxtəlif obyektlərin nömrələnməsi onların yerləşdiyi sıranı göstərmək üçün tez-tez istifadə olunur. Məsələn, hər küçədəki evlər nömrələnir. Kitabxanada oxucu abunələri nömrələnir və sonra xüsusi fayl şkaflarında verilən nömrələrin ardıcıllığı ilə düzülür.

Əmanət kassasında əmanətçinin şəxsi hesabının nömrəsi ilə siz bu hesabı asanlıqla tapa və onun hansı əmanətə malik olduğunu görə bilərsiniz. 1 nömrəli hesaba a1 rubl depozit, 2 nömrəli hesaba a2 rubl depozit və s. belə çıxır. ədədi ardıcıllıq
a 1, a 2, a 3, ..., bir N
burada N bütün hesabların sayıdır. Burada 1-dən N-ə qədər hər bir n natural ədədinə a n ədədi verilir.

Riyaziyyat da oxuyur sonsuz sayda ardıcıllıq:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
a 1 rəqəmi deyilir ardıcıllığın ilk üzvü, nömrə a 2 - ardıcıllığın ikinci üzvü, sayı 3 - ardıcıllığın üçüncü üzvü və s.
a n rəqəmi deyilir ardıcıllığın n-ci (n-ci) üzvü, və natural ədəd n onundur nömrə.

Məsələn, kvadratlar ardıcıllığında natural ədədlər 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2 , (n + 1) 2 , ... və 1 = 1 ardıcıllığın birinci üzvüdür; və n = n 2-dir n-ci üzv ardıcıllıqlar; a n+1 = (n + 1) 2 ardıcıllığın (n + 1)-ci (en üstəgəl birinci) üzvüdür. Çox vaxt ardıcıllıq onun n-ci üzvünün düsturu ilə təyin oluna bilər. Məsələn, \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) düsturu \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \nöqtələr,\frac(1)(n) , \nöqtə \)

Arifmetik irəliləyiş

Bir ilin uzunluğu təxminən 365 gündür. Daha dəqiq dəyər \(365\frac(1)(4) \) gündür, buna görə də hər dörd ildən bir bir günlük xəta toplanır.

Bu səhvi hesablamaq üçün hər dördüncü ilə bir gün əlavə edilir və uzadılan il sıçrayış ili adlanır.

Məsələn, üçüncü minillikdə sıçrayış illəri illər 2004, 2008, 2012, 2016, ... .

Bu ardıcıllıqda ikincidən başlayaraq hər bir üzv əvvəlki birinə bərabərdir, eyni 4 rəqəmi ilə əlavə olunur. Belə ardıcıllıqlar adlanır. arifmetik irəliləyişlər.

Tərif.
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... ədədi ardıcıllığa deyilir. arifmetik irəliləyiş, əgər bütün təbii n bərabərlik üçün
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
burada d hansısa ədəddir.

Bu düsturdan belə çıxır ki, a n+1 - a n = d. d sayı fərq adlanır arifmetik irəliləyiş.

Arifmetik irəliləyişin tərifinə görə, biz:
\(a_(n+1)=a_n+d, \dörd a_(n-1)=a_n-d, \)
harada
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), burada \(n>1 \)

Beləliklə, ikincidən başlayaraq arifmetik irəliləyişin hər bir üzvü ona bitişik olan iki üzvün arifmetik ortasına bərabərdir. Bu, "arifmetik" irəliləmənin adını izah edir.

Qeyd edək ki, a 1 və d verilmişdirsə, a n+1 = a n + d rekursiv düsturundan istifadə etməklə arifmetik irəliləyişin qalan üzvlərini hesablamaq olar. Bu şəkildə, irəliləyişin ilk bir neçə şərtini hesablamaq çətin deyil, lakin, məsələn, 100 üçün artıq çoxlu hesablamalar tələb olunacaq. Adətən bunun üçün n-ci termin düsturu istifadə olunur. Arifmetik irəliləyişin tərifinə görə
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d\)
və s.
Ümumiyyətlə,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
arifmetik irəliləyişin n-ci üzvü birinci üzvdən d ədədinin (n-1) qatını toplamaqla alındığı üçün.
Bu formula deyilir arifmetik irəliləyişin n-ci üzvünün düsturu.

Arifmetik proqresiyanın ilk n üzvünün cəmi

1-dən 100-ə qədər bütün natural ədədlərin cəmini tapaq.
Bu məbləği iki şəkildə yazırıq:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Bu bərabərlikləri müddətə əlavə edirik:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Bu məbləğdə 100 termin var.
Buna görə də, 2S = 101 * 100, buradan S = 101 * 50 = 5050.

İndi ixtiyari arifmetik irəliləyişə nəzər salaq
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
S n bu irəliləyişin ilk n həddinin cəmi olsun:
S n \u003d a 1, a 2, a 3, ..., a n
Sonra arifmetik proqresiyanın ilk n üzvünün cəmidir
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

\(a_n=a_1+(n-1)d \) olduğundan, bu düsturda n-i əvəz etdikdən sonra tapmaq üçün başqa bir düstur alırıq. arifmetik proqresiyanın ilk n üzvünün cəmi:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

Kitablar (dərsliklər) Vahid Dövlət İmtahanının tezisləri və Onlayn OGE testləri Oyunlar, bulmacalar Funksiyaların qrafiklərinin qurulması Rus dilinin orfoqrafiya lüğəti Gənclərin jarqon lüğəti Rus məktəblərinin kataloqu Rusiyadakı orta məktəblərin kataloqu Rusiya universitetlərinin kataloqu Tapşırıqların siyahısı

Orta məktəbdə cəbr oxuyarkən (9-cu sinif) biri mühüm mövzular təhsildir nömrə ardıcıllığı, bunlara irəliləyişlər daxildir - həndəsi və arifmetik. Bu yazıda arifmetik irəliləyiş və həlləri olan nümunələri nəzərdən keçirəcəyik.

Arifmetik irəliləyiş nədir?

Bunu başa düşmək üçün nəzərdən keçirilən irəliləyişin tərifini vermək, həmçinin problemlərin həllində daha sonra istifadə ediləcək əsas düsturları vermək lazımdır.

Arifmetik və ya hər bir üzvü əvvəlkindən müəyyən bir sabit dəyərlə fərqlənən sifarişli rasional ədədlər toplusudur. Bu dəyər fərq adlanır. Yəni, sıralanmış ədədlər seriyasının hər hansı üzvünü və fərqi bilməklə, bütün arifmetik irəliləyişi bərpa edə bilərsiniz.

Bir misal götürək. Nömrələrin növbəti ardıcıllığı arifmetik irəliləyiş olacaq: 4, 8, 12, 16, ..., çünki bu vəziyyətdə fərq 4-dür (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Lakin 3, 5, 8, 12, 17 ədədləri çoxluğu artıq nəzərdən keçirilən irəliləyiş növünə aid edilə bilməz, çünki onun üçün fərq sabit qiymət deyil (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17). - 12).

Əhəmiyyətli formullar

İndi arifmetik irəliləyişdən istifadə edərək problemləri həll etmək üçün lazım olacaq əsas düsturları veririk. a n ardıcıllığın n-ci üzvünü göstərsin, burada n tam ədəddir. Fərq latın d hərfi ilə işarələnir. Sonra aşağıdakı ifadələr doğrudur:

1. N-ci müddətin dəyərini təyin etmək üçün düstur uyğundur: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. İlk n üzvün cəmini müəyyən etmək üçün: S n = (a n + a 1)*n/2.

9-cu sinifdə həlli ilə arifmetik irəliləyişin hər hansı bir nümunəsini başa düşmək üçün bu iki düsturları xatırlamaq kifayətdir, çünki baxılan hər hansı bir problem onların istifadəsi əsasında qurulur. Həm də unutmayın ki, irəliləyiş fərqi düsturla müəyyən edilir: d = a n - a n-1 .

Nümunə 1: Naməlum Üzvün Tapılması

Arifmetik irəliləyişin sadə nümunəsini və həlli üçün istifadə edilməli olan düsturları veririk.

10, 8, 6, 4, ... ardıcıllığı verilsin, onda beş həddi tapmaq lazımdır.

Artıq məsələnin şərtlərindən belə çıxır ki, ilk 4 termin məlumdur. Beşinci iki şəkildə müəyyən edilə bilər:

1. Əvvəlcə fərqi hesablayaq. Bizdə: d = 8 - 10 = -2. Eynilə, bir-birinin yanında duran hər hansı digər iki termini qəbul etmək olar. Məsələn, d = 4 - 6 = -2. Məlum olduğu üçün d \u003d a n - a n-1, sonra d \u003d a 5 - a 4, aldığımız yerdən: a 5 \u003d a 4 + d. Biz məlum dəyərləri əvəz edirik: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. İkinci üsul da sözügedən irəliləyişin fərqi haqqında bilik tələb edir, ona görə də əvvəlcə yuxarıda göstərildiyi kimi onu müəyyən etməlisiniz (d = -2). Birinci terminin a 1 = 10 olduğunu bilərək, ardıcıllığın n nömrəsi üçün düsturdan istifadə edirik. Bizdə: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Son ifadədə n = 5-i əvəz edərək, alarıq: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Gördüyünüz kimi, hər iki həll eyni nəticəyə gətirib çıxarır. Qeyd edək ki, bu nümunədə irəliləyişin d fərqi mənfidir. Bu cür ardıcıllıqlar azalan adlanır, çünki hər bir ardıcıl termin əvvəlkindən kiçikdir.

Nümunə №2: irəliləyiş fərqi

İndi tapşırığı bir qədər çətinləşdirək, arifmetik irəliləyişin fərqinin tapılmasına misal verək.

Məlumdur ki, bəzi cəbri proqresiyada 1-ci həd 6-ya, 7-ci həd 18-ə bərabərdir.Fərqi tapmaq və bu ardıcıllığı 7-ci həddə bərpa etmək lazımdır.

Naməlum termini müəyyən etmək üçün düsturdan istifadə edək: a n = (n - 1) * d + a 1 . Şərtdən məlum məlumatları, yəni a 1 və 7 rəqəmlərini əvəz edirik, bizdə: 18 \u003d 6 + 6 * d. Bu ifadədən asanlıqla fərqi hesablaya bilərsiniz: d = (18 - 6) / 6 = 2. Beləliklə, məsələnin birinci hissəsi cavablandırıldı.

7 terminə qədər ardıcıllığı bərpa etmək üçün tərifdən istifadə edilməlidir cəbri irəliləmə, yəni a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d və s. Nəticədə, biz bütün ardıcıllığı bərpa edirik: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 və 7 = 18.

Misal №3: irəliləyiş etmək

Gəlin bunu daha da çətinləşdirək daha güclü vəziyyət tapşırıqlar. İndi arifmetik irəliləyişin necə tapılacağı sualına cavab verməlisiniz. Aşağıdakı misal verə bilərik: iki ədəd verilmişdir, məsələn, 4 və 5. Cəbri irəliləyiş etmək lazımdır ki, bunlar arasında daha üç hədd uyğun olsun.

Bu problemi həll etməyə başlamazdan əvvəl, verilən nömrələrin gələcək irəliləyişdə hansı yeri tutacağını anlamaq lazımdır. Aralarında daha üç termin olacağından, sonra 1 \u003d -4 və 5 \u003d 5. Bunu təyin etdikdən sonra əvvəlkinə bənzər bir işə davam edirik. Yenə n-ci dövr üçün düsturdan istifadə edirik, alırıq: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Kimdən: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. Burada fərq tam qiymət deyil, rasional ədəddir, ona görə də cəbri irəliləyiş üçün düsturlar eyni qalır.

İndi tapılan fərqi 1-ə əlavə edək və irəliləyişin çatışmayan üzvlərini bərpa edək. Alırıq: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 \u003d 2.75 + 2.25 \u0, problemin vəziyyəti ilə üst-üstə düşür.

Nümunə №4: Proqresiyanın ilk üzvü

Həlli ilə arifmetik irəliləyiş nümunələri verməyə davam edirik. Əvvəlki bütün məsələlərdə cəbri irəliləyişin ilk nömrəsi məlum idi. İndi fərqli tipli bir məsələni nəzərdən keçirək: iki ədəd verilsin, burada a 15 = 50 və 43 = 37. Bu ardıcıllığın hansı nömrədən başladığını tapmaq lazımdır.

İndiyə qədər istifadə edilmiş düsturlar 1 və d biliklərini nəzərdə tutur. Problemin vəziyyətində bu rəqəmlər haqqında heç nə məlum deyil. Buna baxmayaraq, məlumatımız olan hər bir termin üçün ifadələri yazaq: a 15 = a 1 + 14 * d və a 43 = a 1 + 42 * d. 2 naməlum kəmiyyətin (a 1 və d) olduğu iki tənlik əldə etdik. Bu o deməkdir ki, problem xətti tənliklər sisteminin həllinə endirilir.

Hər bir tənlikdə 1 ifadə etsəniz və nəticədə ortaya çıxan ifadələri müqayisə etsəniz, göstərilən sistemi həll etmək ən asandır. Birinci tənlik: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; ikinci tənlik: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Bu ifadələri bərabərləşdirərək alırıq: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, fərq d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (yalnız 3 onluq yer verilir).

d-ni bilməklə, 1 üçün yuxarıdakı 2 ifadədən hər hansı birini istifadə edə bilərsiniz. Məsələn, birincisi: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56.496.

Nəticə ilə bağlı şübhələr varsa, onu yoxlaya bilərsiniz, məsələn, şərtdə göstərilən irəliləyişin 43-cü üzvünü təyin edin. Alırıq: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008. Kiçik bir səhv hesablamalarda mində yuvarlaqlaşdırmadan istifadə edilməsi ilə əlaqədardır.

Nümunə №5: Cəm

İndi arifmetik irəliləyişin cəminin həlli ilə bağlı bəzi nümunələrə baxaq.

Aşağıdakı formada ədədi irəliləyiş verilsin: 1, 2, 3, 4, ...,. Bu ədədlərin 100-nün cəmini necə hesablamaq olar?

Kompüter texnologiyasının inkişafı sayəsində bu problemi həll etmək olar, yəni insan Enter düyməsini sıxan kimi kompüterin edəcəyi bütün nömrələri ardıcıl olaraq toplayın. Bununla belə, təqdim olunan ədədlər silsiləsi cəbri proqressiya olduğuna və onun fərqinin 1-ə bərabər olduğuna diqqət yetirsəniz, problemi əqli şəkildə həll etmək olar. Cəm üçün düstur tətbiq edərək, əldə edirik: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Maraqlıdır ki, bu problem “Qauss” adlanır, çünki 18-ci əsrin əvvəllərində hələ cəmi 10 yaşında olan məşhur alman onu bir neçə saniyə ərzində beynində həll edə bilmişdi. Oğlan cəbri irəliləyişin cəminin düsturunu bilmirdi, amma fərq etdi ki, ardıcıllığın kənarlarında yerləşən ədəd cütlərini əlavə etsəniz, həmişə eyni nəticəni alırsınız, yəni 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... və bu məbləğlər tam olaraq 50 (100 / 2) olacağından, düzgün cavabı almaq üçün 50-ni 101-ə vurmaq kifayətdir.

Nümunə №6: n-dən m-ə qədər olan şərtlərin cəmi

Arifmetik proqresiyanın cəminin başqa tipik nümunəsi aşağıdakılardır: bir sıra ədədlər verildikdə: 3, 7, 11, 15, ..., onun 8-dən 14-ə qədər olan şərtlərinin cəminin nə olacağını tapmaq lazımdır.

Problem iki yolla həll olunur. Onlardan birincisi 8-dən 14-ə qədər naməlum şərtləri tapmağı və sonra onları ardıcıllıqla yekunlaşdırmağı əhatə edir. Termin az olduğu üçün bu üsul kifayət qədər zəhmət tələb etmir. Buna baxmayaraq, bu problemi daha universal olan ikinci üsulla həll etmək təklif olunur.

İdeya m və n şərtləri arasında cəbri irəliləyişin cəmi üçün düstur əldə etməkdir, burada n > m tam ədədlərdir. Hər iki halda cəmi üçün iki ifadə yazırıq:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

n > m olduğundan aydın olur ki, 2 cəminə birinci daxildir. Son nəticə o deməkdir ki, əgər bu cəmlər arasındakı fərqi götürsək və ona a m termini əlavə etsək (fərqi götürdükdə S n cəmindən çıxılır), onda məsələyə lazımi cavabı alırıq. Bizdə: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Bu ifadədə n və m üçün düsturları əvəz etmək lazımdır. Sonra əldə edirik: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1) - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Əldə edilən düstur bir qədər çətin olur, lakin S mn cəmi yalnız n, m, a 1 və d-dən asılıdır. Bizim vəziyyətimizdə a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Bu ədədləri əvəz edərək, alarıq: S mn = 301.

Yuxarıdakı həllərdən göründüyü kimi, bütün məsələlər n-ci həd üçün ifadə və birinci hədlər çoxluğunun cəminin düsturu haqqında biliklərə əsaslanır. Bu problemlərdən hər hansı birini həll etməyə başlamazdan əvvəl şərti diqqətlə oxumağınız, nə tapmaq istədiyinizi aydın şəkildə başa düşməyiniz və yalnız bundan sonra həllinə davam etməyiniz tövsiyə olunur.

Başqa bir ipucu sadəliyə çalışmaqdır, yəni suala mürəkkəb riyazi hesablamalardan istifadə etmədən cavab verə bilirsinizsə, o zaman bunu etməlisiniz, çünki bu vəziyyətdə səhv etmək ehtimalı daha azdır. Məsələn, 6 nömrəli həlli ilə arifmetik irəliləyiş nümunəsində S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m düsturunda dayanmaq olar və ümumi tapşırığı ayrıca alt tapşırıqlara ayırın (bu halda əvvəlcə a n və a m terminlərini tapın).

Əldə edilən nəticə ilə bağlı şübhələr varsa, verilmiş nümunələrin bəzilərində edildiyi kimi, onu yoxlamaq tövsiyə olunur. Arifmetik irəliləməni necə tapmaq olar, öyrənildi. Bunu başa düşdükdən sonra bu o qədər də çətin deyil.

Dərsin növü: yeni material öyrənmək.

Dərsin Məqsədləri:

• arifmetik irəliləyişdən istifadə etməklə həll olunan tapşırıqlar haqqında tələbələrin təsəvvürlərinin genişləndirilməsi və dərinləşdirilməsi; arifmetik proqresiyanın ilk n üzvünün cəminin düsturunu çıxararkən şagirdlərin axtarış fəaliyyətinin təşkili;
• müstəqil şəkildə yeni biliklər əldə etmək, tapşırığı yerinə yetirmək üçün artıq əldə edilmiş biliklərdən istifadə etmək bacarıqlarının inkişafı;
• əldə edilən faktları ümumiləşdirmək istəyi və ehtiyacının inkişafı, müstəqilliyin inkişafı.

Tapşırıqlar:

• “Arifmetik irəliləyiş” mövzusunda mövcud bilikləri ümumiləşdirmək və sistemləşdirmək;
• arifmetik irəliləyişin ilk n üzvünün cəminin hesablanması üçün düsturlar çıxarmaq;
• alınan düsturları həll edərkən tətbiq etməyi öyrədir müxtəlif vəzifələr;
• tələbələrin diqqətini ədədi ifadənin qiymətini tapmaq proseduruna cəlb etmək.

Avadanlıq:

• qruplarda və cütlərdə işləmək üçün tapşırıqları olan kartlar;
• qiymətləndirmə sənədi;
• təqdimat“Arifmetik irəliləyiş”.

I. Əsas biliklərin aktuallaşdırılması.

1. Müstəqil iş cüt-cüt.

1-ci seçim:

Arifmetik irəliləyişi təyin edin. Arifmetik irəliləyişi təyin edən rekursiv düstur yazın. Arifmetik proqressiyaya misal göstərin və fərqini göstərin.

2-ci seçim:

Arifmetik irəliləyişin n-ci həddi üçün düsturu yazın. Arifmetik irəliləyişin 100-cü həddini tapın ( a n}: 2, 5, 8 …
Bu zaman iki tələbə arxa tərəf lövhələr eyni suallara cavablar hazırlayır.
Şagirdlər partnyorun işini lövhə ilə müqayisə edərək qiymətləndirirlər. (Cavabları olan vərəqələr təhvil verilir).

2. Oyun anı.

Məşq 1.

Müəllim. Mən bəzi arifmetik irəliləyiş təsəvvür etdim. Mənə yalnız iki sual verin ki, cavablardan sonra bu irəliləyişin 7-ci üzvünü tez bir zamanda adlandıra biləsiniz. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15...)

Tələbələrin sualları.

1. Proqresiyanın altıncı müddəti nədir və fərq nədir?
2. Proqresiyanın səkkizinci müddəti nədir və fərq nədir?

Artıq suallar yoxdursa, müəllim onları stimullaşdıra bilər - d (fərq) üçün "qadağa", yəni fərqin nə olduğunu soruşmağa icazə verilmir. Suallar verə bilərsiniz: irəliləyişin 6-cı həddi nədir və irəliləyişin 8-ci həddi nədir?

Tapşırıq 2.

Lövhədə 20 rəqəm yazılmışdır: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Müəllim arxası lövhəyə söykənərək dayanır. Şagirdlər nömrənin nömrəsini deyirlər, müəllim isə dərhal nömrənin özünə zəng edir. Bunu necə edə biləcəyimi izah edin?

Müəllim n-ci hədisin düsturunu xatırlayır a n \u003d 3n - 2 və n-in verilmiş qiymətlərini əvəz edərək, müvafiq dəyərləri tapır a n .

II. Təhsil tapşırığının bəyanatı.

Misir papiruslarında tapılan, eramızdan əvvəl 2-ci minilliyə aid köhnə problemi həll etməyi təklif edirəm.

Bir tapşırıq:“Sənə deyilsin: 10 ölçü arpanı 10 nəfər arasında bölüşdürün, hər adamla qonşusu arasındakı fərq ölçüsün 1/8-i qədərdir”.

• Bu problemin arifmetik proqressiya mövzusu ilə necə əlaqəsi var? (Hər növbəti şəxs ölçünün 1/8 hissəsini daha çox alır, buna görə də fərq d=1/8, 10 nəfərdir, yəni n=10).
• Sizcə 10 rəqəmi nə deməkdir? (Proqramın bütün üzvlərinin cəmi.)
• Problemin vəziyyətinə görə arpanın bölünməsini asan və sadə etmək üçün başqa nələri bilməlisiniz? (Tərəqqinin birinci müddəti.)

Dərsin məqsədi- proqresiyanın hədlərinin cəminin onların sayından, birinci həddən və fərqdən asılılığını almaq və məsələnin qədim zamanlarda düzgün həll edilib-edilmədiyini yoxlamaq.

Düsturu əldə etməzdən əvvəl gəlin qədim misirlilərin problemi necə həll etdiklərinə baxaq.

Və bunu belə həll etdilər:

1) 10 ölçü: 10 = 1 ölçü - orta pay;
2) 1 ölçü ∙ = 2 ölçü - ikiqat orta paylaş.
ikiqat artdı orta pay 5-ci və 6-cı şəxsin səhmlərinin cəmidir.
3) 2 ölçü - 1/8 ölçü = 1 7/8 ölçü - beşinci şəxsin payının iki qatı.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - beşincinin payı; və s., hər bir əvvəlki və sonrakı şəxsin payını tapa bilərsiniz.

Ardıcıllığı alırıq:

III. Tapşırıqın həlli.

1. Qruplarda işləmək

1-ci qrup: Ardıcıl 20 natural ədədin cəmini tapın: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

Ümumiyyətlə

II qrup: 1-dən 100-ə qədər natural ədədlərin cəmini tapın (Kiçik Qauss əfsanəsi).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Nəticə:

III qrup: 1-dən 21-ə qədər natural ədədlərin cəmini tapın.

Həlli: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Nəticə:

IV qrup: 1-dən 101-ə qədər natural ədədlərin cəmini tapın.

Nəticə:

Baxılan məsələlərin həllinin bu üsulu “Qauss metodu” adlanır.

2. Hər qrup problemin həllini lövhədə təqdim edir.

3. İxtiyari arifmetik irəliləyiş üçün təklif olunan həllərin ümumiləşdirilməsi:

a 1 , a 2 , a 3 ,..., a n-2 , a n-1, a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Bu məbləği oxşar şəkildə mübahisə edərək tapırıq:

4. Tapşırığı həll etdikmi?(Bəli.)

IV. Alınan düsturların ilkin qavranılması və məsələlərin həllində tətbiqi.

1. Köhnə məsələnin həllinin düsturla yoxlanılması.

2. Düsturun müxtəlif məsələlərin həllində tətbiqi.

3. Məsələlərin həllində düsturu tətbiq etmək bacarığının formalaşdırılması üçün tapşırıqlar.

A) 613 saylı

Verildi :( və n) - arifmetik irəliləmə;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Tapın: S 1500

Həll: , və 1 = 1 və 1500 = 1500,

B) Verilmiş: ( və n) - arifmetik irəliləmə;
(və n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

Tapın: n
Həll:

V. Qarşılıqlı yoxlama ilə müstəqil iş.

Denis kuryer işləməyə getdi. İlk ayda onun maaşı 200 rubl idi, hər sonrakı ayda 30 rubl artdı. Bir ildə nə qədər qazandı?

Verildi :( və n) - arifmetik irəliləmə;
a 1 = 200, d=30, n=12
Tapın: S 12
Həll:

Cavab: Denis il ərzində 4380 rubl aldı.

VI. Ev tapşırığı təlimatı.

1. səh 4.3 - düsturun törəməsini öyrənin.
2. №№ 585, 623 .
3. Arifmetik irəliləyişin ilk n üzvünün cəminin düsturundan istifadə edərək həll olunacaq məsələni tərtib edin.

VII. Dərsi yekunlaşdırmaq.

1. Hesab vərəqi

2. Cümlələri davam etdirin

• Bu gün dərsdə öyrəndim...
• Öyrənilmiş düsturlar...
• Mən düşünürəm ki …

3. 1-dən 500-ə qədər olan ədədlərin cəmini tapa bilərsinizmi? Bu problemi həll etmək üçün hansı üsuldan istifadə edəcəksiniz?

Biblioqrafiya.

1. Cəbr, 9-cu sinif. üçün dərslik təhsil müəssisələri. Ed. G.V. Dorofeyeva. Moskva: Maarifçilik, 2009.