Cəbri irəliləyişin cəminin düsturu. Cəbri irəliləmə. Cəbri proqresiyanın cəmi - düstur

Dərsin növü: yeni material öyrənmək.

Dərsin Məqsədləri:

istifadə edərək həll olunan vəzifələr haqqında tələbələrin təsəvvürlərinin genişləndirilməsi və dərinləşdirilməsi arifmetik irəliləyiş; arifmetik proqresiyanın ilk n üzvünün cəminin düsturunu çıxararkən şagirdlərin axtarış fəaliyyətinin təşkili;
müstəqil şəkildə yeni biliklər əldə etmək, tapşırığı yerinə yetirmək üçün artıq əldə edilmiş biliklərdən istifadə etmək bacarıqlarının inkişafı;
əldə edilən faktları ümumiləşdirmək istəyi və ehtiyacının inkişafı, müstəqilliyin inkişafı.

Tapşırıqlar:

“Arifmetik irəliləyiş” mövzusunda mövcud bilikləri ümumiləşdirmək və sistemləşdirmək;
arifmetik irəliləyişin ilk n üzvünün cəminin hesablanması üçün düsturlar çıxarmaq;
alınan düsturları həll edərkən tətbiq etməyi öyrədir müxtəlif vəzifələr;
tələbələrin diqqətini ədədi ifadənin qiymətini tapmaq proseduruna cəlb etmək.

Avadanlıq:

qruplarda və cütlərdə işləmək üçün tapşırıqları olan kartlar;
qiymətləndirmə sənədi;
təqdimat“Arifmetik irəliləyiş”.

I. Əsas biliklərin aktuallaşdırılması.

1. Müstəqil iş cüt-cüt.

1-ci seçim:

Arifmetik irəliləyişi təyin edin. Arifmetik irəliləyişi təyin edən rekursiv düstur yazın. Arifmetik proqressiyaya misal göstərin və fərqini göstərin.

2-ci seçim:

Arifmetik irəliləyişin n-ci həddi üçün düsturu yazın. Arifmetik irəliləyişin 100-cü həddini tapın ( a n}: 2, 5, 8 …
Bu zaman iki tələbə arxa tərəf lövhələr eyni suallara cavablar hazırlayır.
Şagirdlər partnyorun işini lövhə ilə müqayisə edərək qiymətləndirirlər. (Cavabları olan vərəqələr təhvil verilir).

2. Oyun anı.

Məşq 1.

Müəllim. Mən bəzi arifmetik irəliləyiş təsəvvür etdim. Mənə yalnız iki sual verin ki, cavablardan sonra bu irəliləyişin 7-ci üzvünü tez bir zamanda adlandıra biləsiniz. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15...)

Tələbələrin sualları.

Proqresiyanın altıncı müddəti nədir və fərq nədir?
Proqresiyanın səkkizinci müddəti nədir və fərq nədir?

Artıq suallar yoxdursa, müəllim onları stimullaşdıra bilər - d (fərq) üçün "qadağa", yəni fərqin nə olduğunu soruşmağa icazə verilmir. Suallar verə bilərsiniz: irəliləyişin 6-cı həddi nədir və irəliləyişin 8-ci həddi nədir?

Tapşırıq 2.

Lövhədə 20 rəqəm yazılmışdır: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Müəllim arxası lövhəyə söykənərək dayanır. Şagirdlər nömrənin nömrəsini deyirlər, müəllim isə dərhal nömrənin özünə zəng edir. Bunu necə edə biləcəyimi izah edin?

Müəllim n-ci hədisin düsturunu xatırlayır a n \u003d 3n - 2 və n-in verilmiş qiymətlərini əvəz edərək, müvafiq dəyərləri tapır a n .

II. Təhsil tapşırığının bəyanatı.

Misir papiruslarında tapılan, eramızdan əvvəl 2-ci minilliyə aid köhnə problemi həll etməyi təklif edirəm.

Tapşırıq:“Sənə deyilsin: 10 ölçü arpanı 10 nəfər arasında bölüşdürün, hər adamla qonşusu arasındakı fərq ölçüsün 1/8-i qədərdir”.

Bu problemin arifmetik proqressiya mövzusu ilə necə əlaqəsi var? (Hər növbəti şəxs ölçünün 1/8 hissəsini daha çox alır, buna görə də fərq d=1/8, 10 nəfərdir, yəni n=10).
Sizcə 10 rəqəmi nə deməkdir? (Proqramın bütün üzvlərinin cəmi.)
Problemin vəziyyətinə görə arpanın bölünməsini asan və sadə etmək üçün başqa nələri bilməlisiniz? (Tərəqqinin birinci müddəti.)

Dərsin məqsədi- proqresiyanın hədlərinin cəminin onların sayından, birinci həddən və fərqdən asılılığının əldə edilməsi və məsələnin qədim zamanlarda düzgün həll edilib-edilmədiyini yoxlamaq.

Düsturu əldə etməzdən əvvəl gəlin qədim misirlilərin problemi necə həll etdiklərinə baxaq.

Və bunu belə həll etdilər:

1) 10 ölçü: 10 = 1 ölçü - orta pay;
2) 1 ölçü ∙ = 2 ölçü - ikiqat orta paylaş.
ikiqat artdı orta pay 5-ci və 6-cı şəxsin səhmlərinin cəmidir.
3) 2 ölçü - 1/8 ölçü = 1 7/8 ölçü - beşinci şəxsin payının iki qatı.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - beşincinin payı; və s., hər bir əvvəlki və sonrakı şəxsin payını tapa bilərsiniz.

Ardıcıllığı alırıq:

III. Tapşırıqın həlli.

1. Qruplarda işləmək

1-ci qrup: Ardıcıl 20 natural ədədin cəmini tapın: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

IN ümumi görünüş

II qrup: 1-dən 100-ə qədər natural ədədlərin cəmini tapın (Kiçik Qauss əfsanəsi).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Nəticə:

III qrup: 1-dən 21-ə qədər natural ədədlərin cəmini tapın.

Həlli: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Nəticə:

IV qrup: 1-dən 101-ə qədər natural ədədlərin cəmini tapın.

Nəticə:

Baxılan məsələlərin həllinin bu üsulu “Qauss metodu” adlanır.

2. Hər qrup problemin həllini lövhədə təqdim edir.

3. İxtiyari arifmetik irəliləyiş üçün təklif olunan həllərin ümumiləşdirilməsi:

a 1 , a 2 , a 3 ,..., a n-2 , a n-1, a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Bu məbləği oxşar şəkildə mübahisə edərək tapırıq:

4. Tapşırığı həll etdikmi?(Bəli.)

IV. Alınan düsturların ilkin qavranılması və məsələlərin həllində tətbiqi.

1. Köhnə məsələnin həllinin düsturla yoxlanılması.

2. Düsturun müxtəlif məsələlərin həllində tətbiqi.

3. Məsələlərin həllində düsturu tətbiq etmək bacarığının formalaşdırılması üçün tapşırıqlar.

A) 613 saylı

Verildi :( və n) - arifmetik irəliləmə;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Tapın: S 1500

Həll: , və 1 = 1 və 1500 = 1500,

B) Verilmiş: ( və n) - arifmetik irəliləmə;
(və n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

Tapın: n
Həll:

V. Qarşılıqlı yoxlama ilə müstəqil iş.

Denis kuryer işləməyə getdi. İlk ayda onun maaşı 200 rubl idi, hər sonrakı ayda 30 rubl artdı. Bir ildə nə qədər qazandı?

Verildi :( və n) - arifmetik irəliləmə;
a 1 = 200, d=30, n=12
Tapın: S 12
Həll:

Cavab: Denis il ərzində 4380 rubl aldı.

VI. Ev tapşırığı təlimatı.

səh 4.3 - düsturun törəməsini öyrənin.
№№ 585, 623 .
Arifmetik irəliləyişin ilk n üzvünün cəminin düsturundan istifadə edərək həll olunacaq məsələni tərtib edin.

VII. Dərsi yekunlaşdırmaq.

1. Hesab vərəqi

2. Cümlələri davam etdirin

Bu gün dərsdə öyrəndim...
Öyrənilmiş düsturlar...
inanıram ki…

3. 1-dən 500-ə qədər olan ədədlərin cəmini tapa bilərsinizmi? Bu problemi həll etmək üçün hansı üsuldan istifadə edəcəksiniz?

Biblioqrafiya.

1. Cəbr, 9-cu sinif. üçün dərslik təhsil müəssisələri. Ed. G.V. Dorofeyeva. Moskva: Maarifçilik, 2009.

Diqqət!
Əlavə var
555-ci Xüsusi Bölmədəki material.
Şiddətli "çox deyil..." olanlar üçün
Və "çox..." olanlar üçün)

Arifmetik irəliləyiş, hər bir ədədin əvvəlkindən eyni miqdarda böyük (və ya az) olduğu bir sıra ədədlərdir.

Bu mövzu çox vaxt çətin və anlaşılmaz olur. Hərf indeksləri, n-ci dövr irəliləyişlər, irəliləyiş fərqi - bütün bunlar bir növ çaşdırıcıdır, bəli ... Arifmetik irəliləyişin mənasını anlayaq və hər şey dərhal düzələcək.)

Arifmetik irəliləyiş anlayışı.

Arifmetik irəliləyiş çox sadə və aydın anlayışdır. Şübhə? Əbəs yerə.) Özünüz baxın.

Yarımçıq nömrələr silsiləsi yazacam:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Bu xətti uzada bilərsinizmi? Beşdən sonra hansı rəqəmlər gələcək? Hamı... uh... bir sözlə, hər kəs 6, 7, 8, 9 və s. rəqəmlərin daha da irəli gedəcəyini anlayacaq.

Tapşırığı çətinləşdirək. Yarımçıq nömrələr seriyasını verirəm:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Siz nümunəni tuta, seriyanı genişləndirə və adlandıra bilərsiniz yeddinci sıra nömrəsi?

Bu rəqəmin 20 olduğunu başa düşdünüzsə - sizi təbrik edirəm! Sən təkcə hiss etmədin əsas məqamlar arifmetik irəliləyiş, həm də onları biznesdə uğurla istifadə etdi! Əgər başa düşmürsənsə, oxumağa davam et.

İndi əsas məqamları hisslərdən riyaziyyata çevirək.)

Birinci əsas məqam.

Arifmetik irəliləyiş ədədlər silsiləsi ilə məşğul olur. Bu, əvvəlcə çaşqınlıq yaradır. Biz tənlikləri həll etməyə, qrafiklər qurmağa və bütün bunlara öyrəşmişik... Sonra seriyanı genişləndirin, seriyaların sayını tapın ...

Hər şey qaydasındadır. Sadəcə olaraq, proqressiyalar riyaziyyatın yeni sahəsi ilə ilk tanışlıqdır. Bölmə "Serial" adlanır və rəqəmlər və ifadələr seriyası ilə işləyir. Buna alışın.)

İkinci əsas məqam.

Arifmetik irəliləyişdə istənilən ədəd əvvəlkindən fərqlənir eyni miqdarda.

Birinci misalda bu fərq birdir. Hansı nömrəni götürsəniz, əvvəlkindən bir çoxdur. İkincidə - üç. İstənilən rəqəm əvvəlkindən üç dəfə böyükdür. Əslində, bu an bizə nümunəni tutmaq və sonrakı nömrələri hesablamaq imkanı verir.

Üçüncü əsas məqam.

Bu an təəccüblü deyil, bəli ... Amma çox, çox vacibdir. Budur o: hər biri irəliləyiş sayı yerində dayanır. Birinci nömrə var, yeddinci var, qırx beşinci var və s. Onları təsadüfən qarışdırsanız, nümunə yox olacaq. Arifmetik irəliləyiş də yox olacaq. Bu, sadəcə bir sıra nömrələrdir.

Bütün məsələ budur.

Əlbəttə, in yeni mövzu yeni terminlər və qeydlər meydana çıxır. Bilməlidirlər. Əks halda, tapşırığı başa düşməyəcəksiniz. Məsələn, belə bir şeyə qərar verməlisiniz:

a 2 = 5, d = -2.5 olarsa, arifmetik irəliləyişin (a n) ilk altı həddini yazın.

İlham verirmi?) Məktublar, bəzi indekslər... Və vəzifə, yeri gəlmişkən, daha asan ola bilməzdi. Siz sadəcə terminlərin və qeydlərin mənasını başa düşməlisiniz. İndi biz bu məsələni mənimsəyəcəyik və işə qayıdaq.

Şərtlər və təyinatlar.

Arifmetik irəliləyiş hər bir nömrənin əvvəlkindən fərqli olduğu nömrələr silsiləsi eyni miqdarda.

Bu dəyər deyilir . Bu konsepsiya ilə daha ətraflı məşğul olaq.

Arifmetik irəliləyiş fərqi.

Arifmetik irəliləyiş fərqi hər hansı bir irəliləyiş nömrəsi olan məbləğdir daha çoxəvvəlki.

bir mühüm məqam. Sözə diqqət yetirin "daha çox". Riyazi olaraq bu, hər bir irəliləyiş nömrəsinin əldə edilməsi deməkdir əlavə edir arifmetik irəliləyişin əvvəlki ədədə fərqi.

Hesablamaq üçün deyək ikinci sıra nömrələri, bunu etmək lazımdır birinci nömrə əlavə edin arifmetik irəliləyişin bu fərqi. Hesablama üçün beşinci- fərq lazımdır əlavə edin Kimə dördüncü yaxşı və s.

Arifmetik irəliləyiş fərqi Ola bilər müsbət onda serialın hər bir nömrəsi real çıxacaq əvvəlkindən daha çox. Bu irəliləyiş adlanır artır. Misal üçün:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Burada hər bir nömrə var əlavə edir müsbət rəqəm, əvvəlkinə +5.

Fərq ola bilər mənfi sonra seriyadakı hər nömrə olacaq əvvəlkindən azdır. Bu irəliləyiş adlanır (inana bilməyəcəksiniz!) azalan.

Misal üçün:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Burada da hər nömrə alınır əlavə edirəvvəlki, lakin artıq mənfi rəqəmə, -5.

Yeri gəlmişkən, bir irəliləyişlə işləyərkən, onun təbiətini dərhal müəyyən etmək çox faydalıdır - onun artdığını və ya azaldığını. Qərarda öz mövqeyinizi tapmaq, səhvlərinizi aşkar etmək və çox gec olmadan onları düzəltmək çox kömək edir.

Arifmetik irəliləyiş fərqi adətən hərflə işarələnir d.

Necə tapmaq olar d? Çox sadə. Seriyanın istənilən sayından çıxmaq lazımdır əvvəlki nömrə. Çıxar. Yeri gəlmişkən, çıxmanın nəticəsi "fərq" adlanır.)

Məsələn, müəyyən edək d artan arifmetik irəliləyiş üçün:

2, 5, 8, 11, 14, ...

İstədiyimiz cərgə sayını götürürük, məsələn, 11. Ondan çıxın əvvəlki nömrə olanlar. 8:

Bu düzgün cavabdır. Bu arifmetik irəliləyiş üçün fərq üçdür.

Sadəcə götürə bilərsiniz istənilən sayda irəliləyişlər,çünki müəyyən bir irəliləyiş üçün d-həmişə eyni. Heç olmasa cərgənin əvvəlində, heç olmasa ortada, heç olmasa hər yerdə. Yalnız ilk nömrəni götürə bilməzsiniz. Sadəcə ilk nömrə olduğu üçün əvvəlki yox.)

Yeri gəlmişkən, bunu bilərək d=3, bu irəliləyişin yeddinci sayını tapmaq çox sadədir. Beşinci rəqəmə 3 əlavə edirik - altıncı alırıq, 17 olacaq. Altıncı rəqəmə üçü əlavə edirik, yeddinci rəqəmi alırıq - iyirmi.

müəyyən edək d azalan arifmetik irəliləyiş üçün:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Xatırladıram ki, əlamətlərindən asılı olmayaraq, müəyyən etmək d istənilən nömrədən tələb olunur əvvəlkini götür.İstənilən sayda irəliləyiş seçirik, məsələn -7. Onun əvvəlki sayı -2-dir. Sonra:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Arifmetik irəliləyişin fərqi istənilən ədəd ola bilər: tam, kəsr, irrasional, hər hansı.

Digər terminlər və təyinatlar.

Seriyadakı hər bir nömrə çağırılır arifmetik irəliləyişin üzvü.

Tərəqqinin hər bir üzvü nömrəsi var. Rəqəmlər heç bir hiylə olmadan ciddi şəkildə sıralanır. Birinci, ikinci, üçüncü, dördüncü və s. Məsələn, 2, 5, 8, 11, 14, ... iki birinci üzv, beş ikinci, on bir dördüncü, yaxşı başa düşürsən ...) zəhmət olmasa aydın başa düş - nömrələrin özləri tamamilə hər hansı, bütöv, kəsr, mənfi, hər hansı ola bilər, lakin nömrələmə- ciddi qaydada!

Ümumi formada irəliləyiş necə yazılır? Problem deyil! Seriyadakı hər bir rəqəm hərf kimi yazılır. Arifmetik irəliləyişi ifadə etmək üçün, bir qayda olaraq, hərfdən istifadə olunur a. Üzv nömrəsi sağ altdakı indekslə göstərilir. Üzvlər vergül (və ya nöqtəli vergül) ilə ayrılaraq aşağıdakı kimi yazılır:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

a 1 birinci rəqəmdir a 3- üçüncü və s. Çətin bir şey yoxdur. Bu seriyanı qısaca belə yaza bilərsiniz: (a n).

İrəliləyişlər var sonlu və sonsuz.

son irəliləyiş məhdud sayda üzvə malikdir. Beş, otuz səkkiz, nə olursa olsun. Ancaq bu, sonlu bir rəqəmdir.

Sonsuz irəliləmə - təxmin etdiyiniz kimi sonsuz sayda üzvə malikdir.)

Bütün üzvlər və sonunda bir nöqtə olan bu kimi bir sıra vasitəsilə son irəliləyiş yaza bilərsiniz:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .

Və ya bu kimi, çoxlu üzvlər varsa:

a 1 , a 2 , ... a 14 , bir 15 .

Qısa bir girişdə siz üzvlərin sayını əlavə olaraq qeyd etməli olacaqsınız. Məsələn (iyirmi üzv üçün), bu kimi:

(a n), n = 20

Sonsuz irəliləyiş, bu dərsdəki nümunələrdə olduğu kimi, cərgənin sonundakı ellips vasitəsilə tanınır.

İndi siz artıq vəzifələri həll edə bilərsiniz. Tapşırıqlar sadədir, sırf arifmetik irəliləyişin mənasını başa düşmək üçündür.

Arifmetik irəliləyiş üçün tapşırıqların nümunələri.

Yuxarıdakı tapşırığa daha yaxından nəzər salaq:

1. Arifmetik proqresiyanın (a n) ilk altı üzvünü yazın, əgər a 2 = 5, d = -2.5.

Tapşırığı başa düşülən dilə tərcümə edirik. Sonsuz arifmetik irəliləyiş verilmişdir. Bu irəliləyişin ikinci sayı məlumdur: a 2 = 5. Məlum irəliləyiş fərqi: d = -2.5. Bu irəliləyişin birinci, üçüncü, dördüncü, beşinci və altıncı üzvlərini tapmalıyıq.

Aydınlıq üçün problemin vəziyyətinə uyğun bir sıra yazacam. İlk altı üzv, ikinci üzv beşdir:

a 1, 5, bir 3, bir 4, bir 5, bir 6,....

a 3 = a 2 + d

İfadədə əvəz edirik a 2 = 5 Və d=-2.5. Minusları unutma!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Üçüncü müddət ikincidən azdır. Hər şey məntiqlidir. Əgər rəqəm əvvəlkindən çox olarsa mənfi dəyər, buna görə də nömrənin özü əvvəlkindən az olacaq. Tərəqqi azalır. Yaxşı, nəzərə alaq.) Biz silsiləmizin dördüncü üzvünü hesab edirik:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + d

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Beləliklə, üçüncüdən altıncıya qədər olan müddətlər hesablanıb. Bu, bir sıra ilə nəticələndi:

a 1 , 5 , 2.5 , 0 , -2.5 , -5 , ....

Birinci termini tapmaq qalır a 1 tanınmış ikinciyə görə. Bu, digər istiqamətdə, sola doğru bir addımdır.) Deməli, arifmetik irəliləyişin fərqi dəlavə edilməməlidir a 2, A götürmək:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Bütün bunlar var. Tapşırıq cavabı:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Keçiddə qeyd edirəm ki, biz bu vəzifəni həll etdik təkrarlanan yol. Bu dəhşətli söz yalnız irəliləyişin bir üzvünün axtarışı deməkdir əvvəlki (bitişik) nömrə ilə.İrəliləyişlə işləməyin digər yolları daha sonra müzakirə olunacaq.

Bu sadə tapşırıqdan mühüm bir nəticə çıxarmaq olar.

Unutmayın:

Əgər arifmetik irəliləyişin ən azı bir üzvü və fərqini bilsək, bu irəliləyişin istənilən üzvünü tapa bilərik.

Yadınızdadır? Bu sadə törəmə bizə əksər problemləri həll etməyə imkan verir məktəb kursu bu mövzuda. Bütün vəzifələr üç əsas parametr ətrafında fırlanır: arifmetik irəliləyişin üzvü, irəliləyişin fərqi, irəliləyişin üzvünün sayı. Hamısı.

Təbii ki, əvvəlki bütün cəbrlər ləğv edilmir.) Proqressiyaya bərabərsizliklər, tənliklər və başqa şeylər əlavə olunur. Amma irəliləyişinə görə- hər şey üç parametr ətrafında fırlanır.

Məsələn, bu mövzuda bəzi məşhur tapşırıqları nəzərdən keçirin.

2. Əgər n=5, d=0,4 və a 1=3,6 olarsa, yekun arifmetik proqressiyanı sıra kimi yazın.

Burada hər şey sadədir. Artıq hər şey verilir. Arifmetik irəliləyişin üzvlərinin necə hesablandığını, sayılmasını və yazıldığını xatırlamaq lazımdır. Tapşırıq şəraitində sözləri atlamamaq məsləhətdir: "son" və " n=5". Üzünüz tamamilə mavi olana qədər saymamaq üçün.) Bu irəliləyişdə cəmi 5 (beş) üzv var:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4

a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Cavabı yazmaq qalır:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Başqa bir vəzifə:

3. 7 rəqəminin arifmetik irəliləyişin (a n) üzvü olub-olmadığını müəyyən edin, əgər a 1 \u003d 4.1; d = 1.2.

Hmm... Kim bilir? Bir şeyi necə müəyyənləşdirmək olar?

Necə-necə... Bəli, gedişatını silsilə şəklində yazın və görün yeddi olacaq ya yox! Biz inanırıq:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4,1 + 1,2 \u003d 5,3

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5,3 + 1,2 \u003d 6,5

a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

İndi aydın görünür ki, biz cəmi yeddiyik sürüşüb keçdi 6.5 ilə 7.7 arasında! Yeddi bizim nömrələr seriyamıza daxil olmadı və buna görə də yeddi verilmiş irəliləyişin üzvü olmayacaq.

Cavab: yox.

Və burada GIA-nın real versiyasına əsaslanan bir tapşırıq var:

4. Arifmetik proqresiyanın bir neçə ardıcıl üzvü yazılır:

...; 15; X; 9; 6; ...

Budur sonu və başlanğıcı olmayan bir seriya. Üzvlərin sayı, fərqi yoxdur d. Hər şey qaydasındadır. Problemi həll etmək üçün arifmetik irəliləyişin mənasını başa düşmək kifayətdir. Gəlin görək və nə edə biləcəyimizi görək bilmək bu xəttdən? Üç əsas olanın parametrləri hansılardır?

Üzv nömrələri? Burada bir ədəd də yoxdur.

Ancaq üç rəqəm var və - diqqət! - söz "ardıcıl" vəziyyətdə. Bu o deməkdir ki, nömrələr ciddi şəkildə ardıcıldır, boşluqlar yoxdur. Bu sırada iki nəfər var? qonşu məlum rəqəmlər? Bəli, məndə var! Bunlar 9 və 6-dır. Beləliklə, arifmetik irəliləyişin fərqini hesablaya bilərik! Altıdan çıxırıq əvvəlki nömrə, yəni. doqquz:

Boş yerlər qalıb. x üçün əvvəlki hansı rəqəm olacaq? On beş. Beləliklə, x sadə əlavə etməklə asanlıqla tapıla bilər. 15-ə arifmetik irəliləyişin fərqini əlavə edin:

Hamısı budur. Cavab: x=12

Aşağıdakı problemləri özümüz həll edirik. Qeyd: bu bulmacalar düsturlar üçün deyil. Sırf arifmetik irəliləyişin mənasını başa düşmək üçün.) Sadəcə bir sıra rəqəmlər-hərflər yazıb, baxıb fikirləşirik.

5. a 5 = -3 olarsa, arifmetik irəliləyişin birinci müsbət həddini tapın; d = 1.1.

6. Məlumdur ki, 5,5 rəqəmi arifmetik irəliləyişin (a n) üzvüdür, burada a 1 = 1,6; d = 1.3. Bu terminin n sayını təyin edin.

7. Məlumdur ki, arifmetik irəliləyişdə a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. 3 tapın.

8. Arifmetik proqresiyanın bir neçə ardıcıl üzvü yazılır:

...; 15.6; X; 3.4; ...

X hərfi ilə işarələnən tərəqqinin müddətini tapın.

9. Qatar sürətini dəqiqədə 30 metr artıraraq stansiyadan hərəkət etməyə başladı. Beş dəqiqədən sonra qatarın sürəti nə qədər olacaq? Cavabınızı km/saatla bildirin.

10. Məlumdur ki, arifmetik irəliləyişdə a 2 = 5; a 6 = -5. 1 tapın.

Cavablar (səliqəsiz): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0,3; 4.

Hər şey düzəldi? Heyrətamiz! Daha çoxu üçün arifmetik irəliləyişlərə yiyələnə bilərsiniz yüksək səviyyə, növbəti dərslərdə.

Hər şey alınmadı? Problem deyil. Xüsusi Bölmə 555-də bütün bu tapmacalar hissə-hissə parçalanır.) Və təbii ki, bu cür tapşırıqların həllini dərhal avuç içində olduğu kimi aydın, aydın şəkildə vurğulayan sadə praktik texnika təsvir edilmişdir!

Yeri gəlmişkən, qatar haqqında tapmacada insanların tez-tez büdrədiyi iki problem var. Biri - sırf irəliləyişlə, ikincisi - riyaziyyatda və fizikada da hər hansı bir tapşırıq üçün ümumidir. Bu ölçülərin birindən digərinə tərcüməsidir. Bu problemlərin necə həll edilməli olduğunu göstərir.

Bu dərsdə biz arifmetik irəliləyişin elementar mənasını və onun əsas parametrlərini araşdırdıq. Bu, bu mövzuda demək olar ki, bütün problemləri həll etmək üçün kifayətdir. əlavə et d nömrələrə, bir sıra yaz, hər şey həll olunacaq.

"Barmaqlarda" həlli, bu dərsdəki nümunələrdə olduğu kimi, seriyanın çox qısa hissələri üçün yaxşı işləyir. Seriya daha uzun olarsa, hesablamalar daha da mürəkkəbləşir. Məsələn, sualda 9-cu məsələdə varsa, dəyişdirin "beş dəqiqə" haqqında "otuz beş dəqiqə" problem daha da pisləşəcək.)

Və mahiyyətcə sadə, lakin hesablamalar baxımından tamamilə absurd olan vəzifələr də var, məsələn:

Arifmetik irəliləyiş (a n) verilmişdir. a 1 =3 və d=1/6 olarsa, 121-i tapın.

Nə isə, 1/6-nı çox, dəfələrlə əlavə edəcəyik?! Özünü öldürmək mümkündürmü!?

Siz edə bilərsiniz.) Əgər belə tapşırıqları bir dəqiqə ərzində həll edə biləcəyiniz sadə düstur bilmirsinizsə. Bu düstur növbəti dərsdə olacaq. Və bu problem orada həll olunur. Bir dəqiqədən sonra.)

Bu saytı bəyənirsinizsə...

Yeri gəlmişkən, sizin üçün daha bir neçə maraqlı saytım var.)

Nümunələrin həllində məşq edə və səviyyənizi öyrənə bilərsiniz. Ani yoxlama ilə sınaq. Öyrənmək - maraqla!)

funksiyalar və törəmələrlə tanış ola bilərsiniz.

Təlimat

Arifmetik irəliləyiş a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d formasının ardıcıllığıdır. d nömrəli addım irəliləyişlər.Aydındır ki, arifmetikanın ixtiyari n-ci həddinin cəmi irəliləyişlər formasına malikdir: An = A1+(n-1)d. Sonra üzvlərdən birini tanıyır irəliləyişlər, üzv irəliləyişlər və addım irəliləyişlər, ola bilər, yəni irəliləyiş termininin sayı. Aydındır ki, n = (An-A1+d)/d düsturu ilə təyin olunacaq.

Mth termini indi məlum olsun irəliləyişlər və bəzi digər üzvlər irəliləyişlər- n-ci, lakin n , əvvəlki halda olduğu kimi, lakin məlumdur ki, n və m uyğun gəlmir.Addım irəliləyişlər düsturu ilə hesablana bilər: d = (An-Am)/(n-m). Onda n = (An-Am+md)/d.

Bir arifmetikanın bir neçə elementinin cəmidirsə irəliləyişlər, eləcə də onun birinci və sonuncu , sonra bu elementlərin sayını da müəyyən etmək olar.Arifmetikanın cəmi irəliləyişlər bərabər olacaq: S = ((A1+An)/2)n. Onda n = 2S/(A1+An) çdenovdur irəliləyişlər. An = A1+(n-1)d olması faktından istifadə edərək, bu düstur belə yenidən yazıla bilər: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Buradan n-i həll etməklə ifadə etmək olar kvadrat tənlik.

Arifmetik ardıcıllıq, birincisi istisna olmaqla, hər bir üzvü əvvəlkindən eyni miqdarda fərqlənən belə sıralanmış nömrələr toplusudur. Bu sabit proqresiyanın və ya onun addımının fərqi adlanır və arifmetik irəliləyişin məlum üzvlərindən hesablana bilər.

Təlimat

Birinci və ikinci və ya hər hansı digər qonşu şərtlər cütünün qiymətləri məsələnin şərtlərindən məlumdursa, fərqi (d) hesablamaq üçün növbəti termindən əvvəlki termini çıxmaq kifayətdir. Nəticə dəyər müsbət və ya ola bilər mənfi rəqəm- bu, irəliləyişin artıb-artırılmamasından asılıdır. IN ümumi forma Proqresiyanın qonşu üzvlərinin ixtiyari cütünün (aᵢ və aᵢ₊₁) həllini aşağıdakı kimi yazın: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Biri birinci (a₁), digəri isə ixtiyari seçilmiş hər hansı digər olan belə irəliləyişin bir cüt üzvü üçün (d) fərqini tapmaq üçün düstur da qurmaq olar. Ancaq bu halda məlum olmalıdır seriya nömrəsi(i) ardıcıllığın ixtiyari seçilmiş üzvü. Fərqi hesablamaq üçün hər iki rəqəmi əlavə edin və nəticəni bir azalmış ixtiyari terminin sıra nömrəsinə bölün. Ümumiyyətlə, bu düsturu aşağıdakı kimi yazın: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Əgər arifmetik irəliləyişin sıra nömrəsi i olan ixtiyari üzvü ilə yanaşı, sıra nömrəsi u olan başqa üzvü məlumdursa, əvvəlki addımdan düsturu müvafiq olaraq dəyişdirin. Bu halda, irəliləyişin fərqi (d) bu iki terminin cəminin onların sıra nömrələrindəki fərqə bölünməsi olacaqdır: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Arifmetik ardıcıllığın birinci üzvlərinin verilmiş ədədinin (i) birinci üzvünün (a₁) və cəminin (Sᵢ) qiyməti aşağıdakı şərtlərdə verilərsə, fərqin (d) hesablanması düsturu bir qədər mürəkkəbləşir. problem. İstədiyiniz dəyəri əldə etmək üçün cəmini onu təşkil edən şərtlərin sayına bölün, ardıcıllıqla birinci ədədin qiymətini çıxarın və nəticəni ikiqat artırın. Yaranan dəyəri bir azaldılmış cəmi təşkil edən şərtlərin sayına bölün. Ümumiyyətlə, diskriminantın hesablanması düsturunu aşağıdakı kimi yazın: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

Əgər hər natural ədəd n real rəqəmə uyğundur a n , sonra verildiyini deyirlər nömrə ardıcıllığı :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Deməli, ədədi ardıcıllıq təbii arqumentin funksiyasıdır.

Nömrə a 1 çağırdı ardıcıllığın ilk üzvü , nömrə a 2 — ardıcıllığın ikinci üzvü , nömrə a 3 — üçüncü və s. Nömrə a n çağırdı n-ci üzv ardıcıllıqlar , və natural ədəd n — onun nömrəsi .

İki qonşu üzvdən a n Və a n +1 üzv ardıcıllıqları a n +1 çağırdı sonrakı (doğru a n ), A a n — əvvəlki (doğru a n +1 ).

Ardıcıllığı təyin etmək üçün istənilən nömrə ilə ardıcıllıq üzvünü tapmağa imkan verən metodu göstərməlisiniz.

Çox vaxt ardıcıllıq ilə verilir n-ci dövr düsturları , yəni sıra üzvünü nömrəsinə görə təyin etməyə imkan verən düstur.

Misal üçün,

düsturla müsbət tək ədədlərin ardıcıllığı verilə bilər

a n= 2n- 1,

və dəyişmə ardıcıllığı 1 Və -1 - düstur

b n = (-1)n +1 . ◄

Ardıcıllığı müəyyən etmək olar təkrarlanan formula, yəni bəzilərindən başlayaraq ardıcıllığın istənilən üzvünü əvvəlki (bir və ya bir neçə) üzv vasitəsilə ifadə edən düstur.

Misal üçün,

Əgər a 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Əgər a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , sonra ilk yeddi şərt nömrə ardıcıllığı aşağıdakı kimi təyin edin:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Ardıcıllıq ola bilər final Və sonsuz .

Ardıcıllıq deyilir son onun məhdud sayda üzvləri varsa. Ardıcıllıq deyilir sonsuz əgər onun sonsuz sayda üzvü varsa.

Misal üçün,

ikirəqəmli natural ədədlərin ardıcıllığı:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

final.

Baş ədədlərin ardıcıllığı:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

sonsuz. ◄

Ardıcıllıq deyilir artır , əgər onun üzvlərinin hər biri, ikincidən başlayaraq, əvvəlkindən böyükdürsə.

Ardıcıllıq deyilir zəifləyən , əgər onun hər bir üzvü ikincidən başlayaraq əvvəlkindən azdırsa.

Misal üçün,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . artan ardıcıllıqdır;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . azalan ardıcıllıqdır. ◄

Elementləri sayı artdıqca azalmayan və ya əksinə artmayan ardıcıllığa deyilir monoton ardıcıllıq .

Xüsusilə monoton ardıcıllıqlar artan ardıcıllıqlar və azalan ardıcıllıqlardır.

Arifmetik irəliləyiş

Arifmetik irəliləyiş ardıcıllıq çağırılır, hər bir üzvü ikincidən başlayaraq əvvəlkinə bərabərdir, ona eyni nömrə əlavə olunur.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

varsa arifmetik irəliləyişdir natural ədəd n şərt yerinə yetirilir:

a n +1 = a n + d,

Harada d - bəzi rəqəm.

Beləliklə, verilmiş arifmetik irəliləyişin növbəti və əvvəlki üzvləri arasındakı fərq həmişə sabitdir:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Nömrə d çağırdı arifmetik irəliləyişin fərqi.

Arifmetik irəliləyiş təyin etmək üçün onun birinci həddi və fərqini göstərmək kifayətdir.

Misal üçün,

Əgər a 1 = 3, d = 4 , onda ardıcıllığın ilk beş şərti aşağıdakı kimi tapılır:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Birinci hədd ilə arifmetik irəliləyiş üçün a 1 və fərq d onun n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Misal üçün,

arifmetik irəliləyişin otuzuncu həddini tapın

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

sonra açıq-aydın

a n=	a n-1 + a n+1
	2

ikincidən başlayaraq arifmetik proqresiyanın hər bir üzvü əvvəlki və sonrakı üzvlərin arifmetik ortasına bərabərdir.

a, b və c ədədləri bəzi arifmetik proqresiyanın ardıcıl üzvləridir, o halda ki, onlardan biri digər ikisinin arifmetik ortasına bərabər olsun.

Misal üçün,

a n = 2n- 7 , arifmetik irəliləyişdir.

Yuxarıdakı ifadədən istifadə edək. Bizdə:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Beləliklə,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Qeyd edək ki n arifmetik irəliləyişin -ci üzvü təkcə vasitəsilə deyil a 1 , həm də hər hansı əvvəlki a k

a n = a k + (n- k)d.

Misal üçün,

üçün a 5 yazmaq olar

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

sonra açıq-aydın

a n=	a n-k +a n+k
	2

arifmetik proqresiyanın hər hansı üzvü, ikincidən başlayaraq, bu arifmetik irəliləyişin ondan bərabər məsafədə olan üzvlərinin cəminin yarısına bərabərdir.

Bundan əlavə, hər hansı arifmetik irəliləyiş üçün bərabərlik doğrudur:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Misal üçün,

arifmetik irəliləyişdə

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, çünki

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

birinci n arifmetik proqresiyanın üzvləri ekstremal həddlərin cəminin yarısının hədlərin sayına hasilinə bərabərdir:

Buradan, xüsusən, belə çıxır ki, əgər şərtləri ümumiləşdirmək lazımdırsa

a k, a k +1 , . . . , a n,

onda əvvəlki düstur öz strukturunu saxlayır:

Misal üçün,

arifmetik irəliləyişdə 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Arifmetik irəliləyiş verilirsə, onda kəmiyyətlər a 1 , a n, d, n VəS n iki düsturla əlaqələndirilir:

Buna görə də, bu kəmiyyətlərdən üçünün qiymətləri verilirsə, digər iki kəmiyyətin müvafiq dəyərləri iki naməlum olan iki tənlik sisteminə birləşdirilən bu düsturlardan müəyyən edilir.

Arifmetik irəliləyiş monoton bir ardıcıllıqdır. Burada:

Əgər d > 0 , sonra artır;
Əgər d < 0 , sonra azalır;
Əgər d = 0 , onda ardıcıllıq stasionar olacaq.

Həndəsi irəliləmə

həndəsi irəliləyiş ardıcıllıq çağırılır, hər bir müddəti ikincidən başlayaraq əvvəlkinə bərabərdir, eyni ədədə vurulur.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

hər hansı natural ədəd üçün həndəsi irəliləyişdir n şərt yerinə yetirilir:

b n +1 = b n · q,

Harada q ≠ 0 - bəzi rəqəm.

Beləliklə, bu həndəsi irəliləyişin növbəti üzvünün əvvəlki birinə nisbəti sabit ədəddir:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Nömrə q çağırdı həndəsi irəliləyişin məxrəci.

Həndəsi irəliləyiş təyin etmək üçün onun birinci həddi və məxrəcini göstərmək kifayətdir.

Misal üçün,

Əgər b 1 = 1, q = -3 , onda ardıcıllığın ilk beş şərti aşağıdakı kimi tapılır:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 və məxrəc q onun n -ci həddi düsturla tapmaq olar:

b n = b 1 · q n -1 .

Misal üçün,

həndəsi proqresiyanın yeddinci həddi tapın 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

sonra açıq-aydın

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

ikincidən başlayaraq həndəsi proqresiyanın hər bir üzvü əvvəlki və sonrakı üzvlərin həndəsi ortasına (mütənasib) bərabərdir.

Bunun əksi də doğru olduğundan, aşağıdakı iddia doğrudur:

a, b və c ədədləri bəzi həndəsi proqresiyanın ardıcıl üzvləridir, o halda ki, onlardan birinin kvadratı olsun. məhsula bərabərdir digər ikisi, yəni ədədlərdən biri digər ikisinin həndəsi ortasıdır.

Misal üçün,

düsturla verilmiş ardıcıllığın olduğunu sübut edək b n= -3 2 n , həndəsi irəliləyişdir. Yuxarıdakı ifadədən istifadə edək. Bizdə:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Beləliklə,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

tələb olunan iddianı sübut edir. ◄

Qeyd edək ki n həndəsi irəliləyişin ci həddi təkcə vasitəsilə deyil b 1 , həm də hər hansı əvvəlki termin b k , bunun üçün düsturdan istifadə etmək kifayətdir

b n = b k · q n - k.

Misal üçün,

üçün b 5 yazmaq olar

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

sonra açıq-aydın

b n 2 = b n - k· b n + k

ikincidən başlayaraq həndəsi proqresiyanın hər hansı üzvünün kvadratı ondan bərabər məsafədə olan bu irəliləyişin üzvlərinin hasilinə bərabərdir.

Bundan əlavə, hər hansı həndəsi irəliləyiş üçün bərabərlik doğrudur:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Misal üçün,

eksponent olaraq

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , çünki

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

birinci n məxrəci olan həndəsi proqresiyanın üzvləri q ≠ 0 düsturla hesablanır:

Və nə zaman q = 1 - düstura görə

S n= n.b. 1

Qeyd edək ki, şərtləri cəmləmək lazımdırsa

b k, b k +1 , . . . , b n,

sonra formula istifadə olunur:

S n- Sk -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

Misal üçün,

eksponent olaraq 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Həndəsi irəliləyiş verilirsə, onda kəmiyyətlər b 1 , b n, q, n Və S n iki düsturla əlaqələndirilir:

Buna görə də, bu kəmiyyətlərdən hər hansı üçünün qiyməti verilirsə, iki naməlum olan iki tənlik sisteminə birləşdirilən bu düsturlardan digər iki kəmiyyətin müvafiq dəyərləri müəyyən edilir.

Birinci hədd ilə həndəsi irəliləyiş üçün b 1 və məxrəc q aşağıdakılar baş verir monotonluq xüsusiyyətləri :

Aşağıdakı şərtlərdən biri yerinə yetirildikdə irəliləyiş artır:

b 1 > 0 Və q> 1;

b 1 < 0 Və 0 < q< 1;

Aşağıdakı şərtlərdən biri yerinə yetirildikdə irəliləyiş azalır:

b 1 > 0 Və 0 < q< 1;

b 1 < 0 Və q> 1.

Əgər q< 0 , onda həndəsi irəliləyiş işarəli növbəli olur: onun tək nömrəli üzvləri birinci həddi ilə eyni işarəyə, cüt nömrəli üzvləri isə əks işarəyə malikdir. Aydındır ki, dəyişən həndəsi irəliləyiş monoton deyil.

Birincinin məhsulu n həndəsi irəliləyişin şərtləri düsturla hesablana bilər:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Misal üçün,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Sonsuz azalan həndəsi irəliləmə

Sonsuz azalan həndəsi irəliləmə məxrəc modulu -dən kiçik olan sonsuz həndəsi irəliləmə adlanır 1 , yəni

|q| < 1 .

Nəzərə alın ki, sonsuz azalan həndəsi irəliləyiş azalan ardıcıllıq olmaya bilər. Bu vəziyyətə uyğun gəlir

1 < q< 0 .

Belə məxrəclə ardıcıllıq işarə ilə növbələşir. Misal üçün,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Sonsuz azalan həndəsi irəliləmənin cəmi birincinin cəminin gəldiyi ədədi adlandırın n sayının qeyri-məhdud artması ilə irəliləyiş şərtləri n . Bu ədəd həmişə sonludur və düsturla ifadə edilir

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Misal üçün,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Arifmetik və həndəsi irəliləmələr arasında əlaqə

Arifmetik və həndəsi irəliləyişlər bir-biri ilə sıx bağlıdır. Gəlin yalnız iki misalı nəzərdən keçirək.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , Bu

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Misal üçün,

1, 3, 5, . . . — fərqlə arifmetik irəliləyiş 2 Və

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . məxrəci olan həndəsi irəliləyişdir 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . məxrəci olan həndəsi irəliləyişdir q , Bu

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — fərqlə arifmetik irəliləyiş log aq .

Misal üçün,

2, 12, 72, . . . məxrəci olan həndəsi irəliləyişdir 6 Və

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — fərqlə arifmetik irəliləyiş lg 6 . ◄

Arifmetik irəliləyiş problemləri qədim zamanlardan bəri mövcuddur. Onlar əməlli-başlı ehtiyacları olduğu üçün ortaya çıxıb həllini tələb etdilər.

Beləliklə, papiruslardan birində qədim Misir, riyazi məzmuna malik olan - Rhind papirusunda (e.ə. XIX əsr) belə bir tapşırıq var: on ölçü çörəyi on nəfərə bölün, bu şərtlə ki, onların hər biri arasındakı fərq ölçünün səkkizdə biri olsun.

Qədim yunanların riyazi əsərlərində isə arifmetik irəliləyişlə bağlı nəfis teoremlər var. Beləliklə, İsgəndəriyyə Gipsicles (II əsr, çox təşkil etmişdir maraqlı tapşırıqlar və on dördüncü kitabı Evklidin Elementlərinə əlavə edərək, belə bir fikri formalaşdırdı: "Üzvlərin sayı cüt olan arifmetik irəliləyişdə 2-ci yarının üzvlərinin cəmi 1-ci yarının üzvlərinin cəmindən 1-in kvadratına qədər böyükdür. /üzvlərin sayının 2-si”.

a ardıcıllığı işarələnir. Ardıcıllığın nömrələri onun üzvləri adlanır və adətən bu üzvün seriya nömrəsini göstərən indeksləri olan hərflərlə işarələnir (a1, a2, a3 ... oxuyun: "a 1st", "a 2nd", "a 3rd" və s.).

Ardıcıllıq sonsuz və ya sonlu ola bilər.

Arifmetik irəliləyiş nədir? Proqresiyanın fərqi olan eyni d ədədi ilə əvvəlki termini (n) əlavə etməklə əldə edilən kimi başa düşülür.

Əgər d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, onda belə bir irəliləyiş artan hesab olunur.

Arifmetik irəliləyiş onun ilk şərtlərindən yalnız bir neçəsi nəzərə alınarsa, sonlu deyilir. Çox böyük saydaüzvlər artıq sonsuz bir irəliləyişdir.

İstənilən arifmetik irəliləyiş aşağıdakı düsturla verilir:

an =kn+b, b və k isə bəzi ədədlərdir.

Bunun əksi olan müddəa tamamilə doğrudur: əgər ardıcıllıq oxşar düsturla verilirsə, bu, tam olaraq arifmetik irəliləyişdir və aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir:

Proqresiyanın hər bir üzvü əvvəlki və sonrakı üzvün arifmetik ortasıdır.
Əksi: əgər 2-cidən başlayaraq hər bir termin əvvəlki və sonrakı terminin arifmetik ortasıdırsa, yəni. şərt yerinə yetirilərsə, verilmiş ardıcıllıq arifmetik irəliləyişdir. Bu bərabərlik eyni zamanda irəliləyişin əlamətidir, ona görə də adətən proqresiyanın xarakterik xassəsi adlanır.
Eyni şəkildə, bu xassəni əks etdirən teorem doğrudur: ardıcıllıq yalnız o halda arifmetik irəliləyiş sayılır ki, bu bərabərlik 2-cidən başlayaraq ardıcıllığın hər hansı bir üzvü üçün doğru olsun.

Arifmetik irəliləyişin hər hansı dörd ədədi üçün xarakterik xassəni an + am = ak + al düsturu ilə ifadə etmək olar, əgər n + m = k + l olarsa (m, n, k irəliləyişin ədədləridir).

Arifmetik irəliləyişdə istənilən zəruri (N-ci) termini aşağıdakı düsturdan istifadə etməklə tapmaq olar:

Məsələn: arifmetik irəliləyişdə birinci hədd (a1) verilir və üçə bərabərdir və fərq (d) dördə bərabərdir. Bu irəliləyişin qırx beşinci şərtini tapmaq lazımdır. a45 = 1+4(45-1)=177

an = ak + d(n - k) düsturu arifmetik irəliləyişin n-ci üzvünü onun hər hansı k-ci üzvü vasitəsilə müəyyən etməyə imkan verir, bu şərtlə ki, məlum olsun.

Arifmetik proqresiyanın üzvlərinin cəmi (son irəliləyişin 1-ci n üzvü nəzərə alınmaqla) aşağıdakı kimi hesablanır:

Sn = (a1+an) n/2.

1-ci müddət də məlumdursa, hesablama üçün başqa bir düstur əlverişlidir:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

N hədddən ibarət arifmetik irəliləyişin cəmi aşağıdakı kimi hesablanır:

Hesablamalar üçün düsturların seçimi tapşırıqların şərtlərindən və ilkin məlumatlardan asılıdır.

1,2,3,...,n,... kimi istənilən ədədlərin təbii sıraları ən sadə misal arifmetik irəliləyiş.

Arifmetik irəliləyişlə yanaşı, öz xassələri və xüsusiyyətləri olan həndəsi də var.