Izračunavanje površine zakrivljenog trapeznog crteža. Online kalkulator. Izračunajte definitivni integral (površinu zakrivljenog trapeza)
Idemo dalje na razmatranje primjene integralnog računa. U ovoj lekciji ćemo analizirati tipičan i najčešći zadatak izračunavanje površine ravne figure pomoću određenog integrala. Konačno, neka ga pronađu svi oni koji traže smisao u višoj matematici. Nikad ne znaš. Morat ćemo to približiti u životu seoska vikendica elementarne funkcije i pronađu njegovu površinu pomoću određenog integrala.
Da biste uspješno savladali gradivo, morate:
1) Razumjeti neodređeni integral barem na srednjem nivou. Stoga, lutke prvo treba da pročitaju lekciju Ne.
2) Biti u stanju primijeniti Newton-Leibniz formulu i izračunati definitivni integral. Postavite toplo prijateljskim odnosima sa određenim integralima možete pronaći na stranici Definitivni integral. Primjeri rješenja. Zadatak „izračunati površinu pomoću određenog integrala“ uvijek uključuje izradu crteža, tako da će vaše znanje i vještine crtanja također biti relevantno pitanje. Kao minimum, morate biti u stanju da konstruišete pravu liniju, parabolu i hiperbolu.
Počnimo sa zakrivljenim trapezom. Zakrivljeni trapez je ravna figura ograničena grafikom neke funkcije y = f(x), osa OX i linije x = a; x = b.
Površina krivolinijskog trapeza numerički je jednaka određenom integralu
Svaki određeni integral (koji postoji) ima vrlo dobro geometrijsko značenje. Na lekciji Definitivni integral. Primjeri rješenja rekli smo da je određeni integral broj. A sada je vrijeme da navedemo još jednu korisna činjenica. Sa stanovišta geometrije, definitivni integral je POVRŠINA. To je, određeni integral (ako postoji) geometrijski odgovara površini određene figure. Razmotrimo definitivni integral
Integrand
definira krivulju na ravni (može se nacrtati po želji), a sam definitivni integral je numerički jednak površini odgovarajućeg krivolinijskog trapeza.
Primjer 1
, , , .
Ovo je tipična izjava o dodjeli. Najvažnija tačka rješenja - crtež. Štaviše, crtež mora biti konstruisan PRAVO.
Prilikom izrade crteža preporučujem sljedeći redoslijed: kao prvo bolje je konstruisati sve prave (ako postoje) i samo Onda– parabole, hiperbole, grafovi drugih funkcija. Tehnika konstrukcije točka po tačku može se naći u referentnom materijalu Grafovi i svojstva elementarnih funkcija. Tamo možete pronaći i vrlo koristan materijal za našu lekciju - kako brzo izgraditi parabolu.
U ovom problemu rješenje bi moglo izgledati ovako.
Napravimo crtež (imajte na umu da je jednadžba y= 0 određuje os OX):
Zakrivljeni trapez nećemo senčiti, ovde je jasno o kojoj oblasti je reč. Rješenje se nastavlja ovako:
Na segmentu [-2; 1] graf funkcije y = x 2+2 nalazi se iznad oseOX, Zbog toga:
odgovor: .
Koji ima poteškoća s izračunavanjem definitivnog integrala i primjenom Newton-Leibnizove formule
,
uputiti na predavanje Definitivni integral. Primjeri rješenja. Nakon što je zadatak završen, uvijek je korisno pogledati crtež i shvatiti da li je odgovor stvaran. U ovom slučaju broj ćelija na crtežu brojimo "na oko" - pa, bit će ih oko 9, čini se da je istina. Apsolutno je jasno da ako dobijemo, recimo, odgovor: 20 kvadrata, onda je očito da je negdje napravljena greška - 20 ćelija očigledno ne staje u dotičnu cifru, najviše desetak. Ako je odgovor negativan, onda je i zadatak riješen pogrešno.
Primjer 2
Izračunajte površinu figure ograničene linijama xy = 4, x = 2, x= 4 i os OX.
Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.
Šta učiniti ako se nalazi zakrivljeni trapez ispod osovineOX?
Primjer 3
Izračunajte površinu figure ograničene linijama y = e-x, x= 1 i koordinatne ose.
Rješenje: Napravimo crtež:
Ako je zakrivljeni trapez potpuno smješten ispod ose OX , tada se njegova površina može pronaći pomoću formule:
U ovom slučaju:
.
Pažnja! Ne treba brkati dvije vrste zadataka:
1) Ako se od vas traži da jednostavno riješite određeni integral bez ikakvog geometrijskog značenja, onda on može biti negativan.
2) Ako se od vas traži da pronađete površinu figure pomoću određenog integrala, tada je površina uvijek pozitivna! Zato se minus pojavljuje u formuli o kojoj smo upravo govorili.
U praksi se najčešće figura nalazi i u gornjoj i u donjoj poluravni, te stoga od najjednostavnijih školskih zadataka prelazimo na sadržajnije primjere.
Primjer 4
Pronađite površinu ravne figure ograničene linijama y = 2x – x 2 , y = -x.
Rješenje: Prvo morate napraviti crtež. Prilikom konstruisanja crteža u problemima površine, najviše nas zanimaju tačke preseka linija. Nađimo tačke preseka parabole y = 2x – x 2 i ravno y = -x. Ovo se može uraditi na dva načina. Prva metoda je analitička. Rješavamo jednačinu:
To znači da je donja granica integracije a= 0, gornja granica integracije b= 3. Često je isplativije i brže graditi linije tačku po tačku, a granice integracije postaju jasne „sama po sebi“. Ipak, analitička metoda pronalaženja granica se ponekad mora koristiti ako je, na primjer, graf dovoljno velik, ili detaljna konstrukcija nije otkrila granice integracije (mogu biti frakcijske ili iracionalne). Vratimo se našem zadatku: racionalnije je prvo konstruirati pravu liniju pa tek onda parabolu. Napravimo crtež:
Ponovimo da se pri tački konstruisanja granice integracije najčešće određuju „automatski“.
A sada radna formula:
Ako na segmentu [ a; b] neka kontinuirana funkcija f(x) veće ili jednako neka kontinuirana funkcija g(x), tada se površina odgovarajuće figure može pronaći pomoću formule:
Ovdje više ne morate razmišljati o tome gdje se figura nalazi - iznad ose ili ispod ose, već bitno je koji je graf VEĆI(u odnosu na drugi grafikon), a koja je ISPOD.
U primjeru koji se razmatra, očito je da se na segmentu parabola nalazi iznad prave linije, dakle od 2 x – x 2 se mora oduzeti – x.
Završeno rješenje može izgledati ovako:
Željena figura ograničena je parabolom y = 2x – x 2 na vrhu i ravno y = -x ispod.
Na segmentu 2 x – x 2 ≥ -x. Prema odgovarajućoj formuli:
odgovor: .
Zapravo, školska formula za površinu krivolinijskog trapeza u donjoj poluravni (vidi primjer br. 3) je poseban slučaj formule
.
Jer osovina OX dato jednačinom y= 0, i graf funkcije g(x) koji se nalazi ispod ose OX, To
.
A sada par primjera za vlastito rješenje
Primjer 5
Primjer 6
Pronađite površinu figure ograničenu linijama
Prilikom rješavanja problema koji uključuju izračunavanje površine pomoću određenog integrala, ponekad se dogodi smiješan incident. Crtež je urađen korektno, proračuni su bili tačni, ali zbog nepažnje... Pronađena je površina pogrešne figure.
Primjer 7
Prvo napravimo crtež:
Figura čiju oblast treba da pronađemo je zasenčena plavom bojom(pogledajte pažljivo stanje - koliko je broj ograničen!). Ali u praksi, zbog nepažnje, često odluče da moraju pronaći područje figure koje je zasjenjeno zeleno!
Ovaj primjer je također koristan jer izračunava površinu figure koristeći dva određena integrala. stvarno:
1) Na segmentu [-1; 1] iznad ose OX graf se nalazi pravo y = x+1;
2) Na segmentu iznad ose OX lociran je graf hiperbole y = (2/x).
Sasvim je očigledno da se područja mogu (i trebaju) dodati, dakle:
odgovor:
Primjer 8
Izračunajte površinu figure ograničene linijama
Predstavimo jednačine u "školskom" obliku
i napravite crtež tačku po tačku:
Iz crteža je jasno da je naša gornja granica "dobra": b = 1.
Ali koja je donja granica?! Jasno je da ovo nije ceo broj, ali šta je to?
Možda, a=(-1/3)? Ali gdje je garancija da je crtež napravljen sa savršenom preciznošću, može se ispostaviti da je tako a=(-1/4). Šta ako smo pogrešno napravili graf?
U takvim slučajevima morate potrošiti dodatno vrijeme i analitički razjasniti granice integracije.
Nađimo tačke preseka grafova
Da bismo to uradili, rešavamo jednačinu:
.
dakle, a=(-1/3).
Dalje rješenje je trivijalno. Glavna stvar je da se ne zbunite u zamjenama i znakovima. Izračuni ovdje nisu najjednostavniji. Na segmentu
, 
,
prema odgovarajućoj formuli:
odgovor: 
Da zaključimo lekciju, pogledajmo još dva teška zadatka.
Primjer 9
Izračunajte površinu figure ograničene linijama
Rješenje: Hajde da prikažemo ovu figuru na crtežu.
Da biste nacrtali crtež tačku po tačku, morate znati izgled sinusoidi. Općenito, korisno je znati grafove svih elementarnih funkcija, kao i neke sinusne vrijednosti. Mogu se naći u tabeli vrednosti trigonometrijske funkcije. U nekim slučajevima (na primjer, u ovom slučaju) moguće je konstruirati šematski crtež, na kojem bi grafovi i granice integracije trebali biti fundamentalno korektno prikazani.
Ovdje nema problema sa granicama integracije, one proizlaze direktno iz uslova:
– “x” se mijenja od nule do “pi”. Hajde da donesemo dalju odluku:
Na segmentu, graf funkcije y= greh 3 x nalazi se iznad ose OX, Zbog toga:
(1) Možete vidjeti kako su sinusi i kosinusi integrirani u neparne potencije u lekciji Integrali trigonometrijskih funkcija. Otkinemo jedan sinus.
(2) Koristimo glavni trigonometrijski identitet u obliku
(3) Promijenimo varijablu t=cos x, tada se: nalazi iznad ose, dakle:
.
.
Bilješka: zapazite kako se uzima integral tangentne kocke; ovdje se koristi posljedica osnovnog trigonometrijskog identiteta
.
Primjer1 . Izračunajte površinu figure ograničene linijama: x + 2y – 4 = 0, y = 0, x = -3 i x = 2
Konstruirajmo figuru (vidi sliku) Konstruiramo pravu liniju x + 2y – 4 = 0 koristeći dvije tačke A(4;0) i B(0;2). Izražavajući y kroz x, dobijamo y = -0,5x + 2. Koristeći formulu (1), gdje je f(x) = -0,5x + 2, a = -3, b = 2, nalazimo
S = = [-0,25=11,25 sq. jedinice
Primjer 2. Izračunajte površinu figure ograničene linijama: x – 2y + 4 = 0, x + y – 5 = 0 i y = 0.
Rješenje. Konstruirajmo figuru.
Konstruirajmo pravu liniju x – 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A(-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).
Konstruirajmo pravu liniju x + y – 5 = 0: y = 0, x = 5, C(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).
Nađimo tačku preseka pravih rešavanjem sistema jednačina:
x = 2, y = 3; M(2; 3).
Da bismo izračunali traženu površinu, trokut AMC podijelimo na dva trokuta AMN i NMC, jer kada se x promijeni iz A u N, površina je ograničena pravom linijom, a kada se x promijeni iz N u C - pravom linijom
Za trougao AMN imamo: ; y = 0,5x + 2, tj. f(x) = 0,5x + 2, a = - 4, b = 2.
Za trougao NMC imamo: y = - x + 5, tj. f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.
Izračunavanjem površine svakog trokuta i sabiranjem rezultata nalazimo:
sq. jedinice
sq. jedinice
9 + 4, 5 = 13,5 kvadratnih metara. jedinice Provjerite: = 0,5AC = 0,5 sq. jedinice
Primjer 3. Izračunajte površinu figure ograničene linijama: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.
U ovom slučaju morate izračunati površinu zakrivljenog trapeza ograničenog parabolom y = x 2 , prave x = 2 i x = 3 i osa Ox (vidi sliku) Koristeći formulu (1) nalazimo površinu krivolinijskog trapeza
= = 6 sq. jedinice
Primjer 4. Izračunajte površinu figure ograničene linijama: y = - x 2 + 4 i y = 0
Konstruirajmo figuru. Tražena površina je zatvorena između parabole y = - x 2 + 4 i osa Ox.
Nađimo tačke preseka parabole sa Ox osom. Uz pretpostavku da je y = 0, nalazimo x = Budući da je ova figura simetrična oko ose Oy, izračunavamo površinu figure koja se nalazi desno od ose Oy i udvostručujemo dobijeni rezultat: = +4x]sq. jedinice 2 = 2 sq. jedinice
Primjer 5. Izračunajte površinu figure ograničene linijama: y 2 = x, yx = 1, x = 4
Ovdje morate izračunati površinu krivolinijskog trapeza ograničenog gornjom granom parabole 2 = x, osa Ox i prave linije x = 1 i x = 4 (vidi sliku)
Prema formuli (1), gdje je f(x) = a = 1 i b = 4, imamo = (= kvadratne jedinice.
Primjer 6 . Izračunajte površinu figure ograničene linijama: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .
Potrebna površina je ograničena poluvalom sinusoida i Ox osi (vidi sliku).
Imamo - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 sq. jedinice
Primjer 7. Izračunajte površinu figure ograničene linijama: y = - 6x, y = 0 i x = 4.
Slika se nalazi ispod ose Ox (vidi sliku).
Stoga, njegovu površinu nalazimo pomoću formule (3)
= =
Primjer 8. Izračunajte površinu figure ograničene linijama: y = i x = 2. Iz tačaka konstruirajte y = krivu (vidi sliku). Dakle, nalazimo površinu figure koristeći formulu (4)
Primjer 9 .
X 2 + y 2 = r 2 .
Ovdje trebate izračunati površinu zatvorenu krugom x 2 + y 2 = r 2 , tj. površina kruga poluprečnika r sa centrom u početku. Nađimo četvrti dio ove oblasti uzimajući granice integracije od 0
prije; imamo: 1 = = [
dakle, 1 =
Primjer 10. Izračunajte površinu figure ograničene linijama: y= x 2 i y = 2x
Ova brojka je ograničena parabolom y = x 2 i prava y = 2x (vidi sliku) Da bismo odredili presečne tačke datih pravih, rešavamo sistem jednačina: x 2 – 2x = 0 x = 0 i x = 2
Koristeći formulu (5) za pronalaženje površine, dobijamo
= (osnova zakrivljenog trapeza) na n jednakih dijelova; ova particija se izvodi pomoću tačaka x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Hajde da povučemo prave linije kroz ove tačke, paralelne ose u. Tada će dati krivolinijski trapez biti podijeljen na n dijelova, na n uskih stupaca. Površina cijelog trapeza jednaka je zbiru površina stupova.
Razmotrimo k-tu kolonu posebno, tj. zakrivljeni trapez čija je osnova segment. Zamenimo ga pravougaonikom sa istom osnovom i visinom jednakom f(x k) (vidi sliku). Površina pravougaonika jednaka je \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), gdje je \(\Delta x_k \) dužina segmenta; Prirodno je uzeti u obzir dobiveni proizvod kao približnu vrijednost površine k-te kolone. 
Ako sada učinimo isto sa svim ostalim stupcima, doći ćemo do sljedećeg rezultata: površina S datog krivolinijskog trapeza je približno jednaka površini S n stepenastog lika sastavljenog od n pravokutnika (vidi sliku):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Ovdje, radi uniformnosti notacije, pretpostavljamo da je a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - dužina segmenta, \(\Delta x_1 \) - dužina segmenta, itd.; u ovom slučaju, kao što smo se prethodno dogovorili, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)
Dakle, \(S \približno S_n \), a ova približna jednakost je tačnija, što je n veće.
Po definiciji, vjeruje se da je potrebna površina krivolinijskog trapeza jednaka granici niza (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Problem 2(o pomicanju tačke)
Materijalna tačka se kreće pravolinijski. Ovisnost brzine o vremenu izražava se formulom v = v(t). Pronađite kretanje tačke tokom vremenskog perioda [a; b].
Rješenje. Kada bi kretanje bilo ravnomjerno, onda bi problem bio riješen vrlo jednostavno: s = vt, tj. s = v(b-a). Za neravnomjerno kretanje morate koristiti iste ideje na kojima je zasnovano rješenje prethodnog problema.
1) Podijelite vremenski interval [a; b] na n jednakih dijelova.
2) Uzmite u obzir vremenski period i pretpostavite da je tokom tog vremenskog perioda brzina bila konstantna, ista kao u trenutku t k. Dakle, pretpostavljamo da je v = v(t k).
3) Nađimo približnu vrijednost kretanja tačke u određenom vremenskom periodu; ovu približnu vrijednost ćemo označiti kao s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Pronađite približnu vrijednost pomaka s:
\(s \približno S_n \) gdje
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Traženi pomak je jednak granici niza (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Hajde da sumiramo. Rješenja razne zadatke svedeno na isti matematički model. Mnogi problemi iz različitih oblasti nauke i tehnologije vode ka istom modelu u procesu rešavanja. Dakle ovo matematički model potrebno je posebno proučiti.
Koncept određenog integrala
Dajemo matematički opis modela koji je izgrađen u tri razmatrana problema za funkciju y = f(x), kontinuiranu (ali ne nužno nenegativnu, kao što je pretpostavljeno u razmatranim problemima) na intervalu [a; b]:
1) podijeliti segment [a; b] na n jednakih dijelova;
2) čine zbir $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) izračunajte $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$
U toku matematičke analize dokazano je da ova granica postoji u slučaju kontinuirane (ili komadno kontinuirane) funkcije. On je zvao određeni integral funkcije y = f(x) nad segmentom [a; b] i označena na sljedeći način:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Brojevi a i b nazivaju se granicama integracije (donja i gornja, respektivno).
Vratimo se zadacima o kojima smo gore govorili. Definicija površine data u Zadatku 1 sada se može prepisati na sljedeći način:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
ovdje je S površina krivolinijskog trapeza prikazanog na gornjoj slici. Ovo je geometrijsko značenje određenog integrala.
Definicija pomaka s tačke koja se kreće pravolinijski brzinom v = v(t) tokom vremenskog perioda od t = a do t = b, data u zadatku 2, može se prepisati na sljedeći način:
Newton - Leibnizova formula
Prvo, odgovorimo na pitanje: kakva je veza između određenog integrala i antiderivata?
Odgovor se može naći u zadatku 2. S jedne strane, pomak s tačke koja se kreće pravolinijski brzinom v = v(t) tokom vremenskog perioda od t = a do t = b izračunava se po formula
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)
S druge strane, koordinata pokretne tačke je antiderivat za brzinu – označimo je s(t); To znači da je pomak s izražen formulom s = s(b) - s(a). Kao rezultat dobijamo:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
gdje je s(t) antiderivat od v(t).
Sljedeća teorema je dokazana tokom matematičke analize.
Teorema. Ako je funkcija y = f(x) kontinuirana na intervalu [a; b], onda je formula važeća
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
gdje je F(x) antiderivat od f(x).
Zadata formula se obično naziva Newton-Leibnizova formula u čast engleski fizičar Isaac Newton (1643-1727) i njemački filozof Gottfried Leibniz (1646-1716), koji su ga primili nezavisno jedan od drugog i gotovo istovremeno.
U praksi, umjesto pisanja F(b) - F(a), oni koriste notaciju \(\left. F(x)\right|_a^b \) (ponekad se naziva dvostruka zamjena) i, shodno tome, prepiši Newton-Leibniz formulu u ovom obliku:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \lijevo. F(x)\desno|_a^b \)
Prilikom izračunavanja određenog integrala, prvo pronađite antiderivat, a zatim izvršite dvostruku zamjenu.
Na osnovu Newton-Leibnizove formule možemo dobiti dva svojstva određenog integrala.
Nekretnina 1. Integral zbira funkcija jednak zbiru integrali:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)
Nekretnina 2. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka integrala:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)
Izračunavanje površina ravnih figura pomoću određenog integrala
Koristeći integral, možete izračunati površine ne samo zakrivljenih trapeza, već i ravnih figura složenijeg tipa, na primjer, one prikazane na slici. Slika P je ograničena pravim linijama x = a, x = b i grafovima kontinuiranih funkcija y = f(x), y = g(x), a na segmentu [a; b] vrijedi nejednakost \(g(x) \leq f(x) \). Da bismo izračunali površinu S takve figure, postupit ćemo na sljedeći način:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Dakle, površina S figure ograničene pravim linijama x = a, x = b i grafovima funkcija y = f(x), y = g(x), kontinuiranim na segmentu i takvim da za bilo koje x iz segmenta [a; b] nejednakost \(g(x) \leq f(x) \) je zadovoljena, izračunata po formuli
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)