ალგებრული პროგრესიის ჯამის ფორმულა. ალგებრული პროგრესია. ალგებრული პროგრესიის ჯამი - ფორმულა

გაკვეთილის ტიპი:ახალი მასალის სწავლა.

გაკვეთილის მიზნები:

• გამოყენებით გადაჭრილი პრობლემების მოსწავლეთა გაგების გაფართოება და გაღრმავება არითმეტიკული პროგრესია; მოსწავლეთა საძიებო აქტივობების ორგანიზება არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n პუნქტების ჯამის ფორმულის გამოყვანისას;
• ახალი ცოდნის დამოუკიდებლად შეძენის და უკვე მიღებული ცოდნის მოცემული ამოცანის მისაღწევად გამოყენების უნარის გამომუშავება;
• მიღებული ფაქტების განზოგადების სურვილისა და მოთხოვნილების განვითარება, დამოუკიდებლობის განვითარება.

Დავალებები:

• არსებული ცოდნის შეჯამება და სისტემატიზაცია თემაზე „არითმეტიკული პროგრესია“;
• არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამის გამოანგარიშების ფორმულების გამოყვანა;
• ასწავლეთ მიღებული ფორმულების გამოყენება ამოხსნისას სხვადასხვა ამოცანები;
• მოსწავლეთა ყურადღება მიაპყროს რიცხვითი გამოხატვის მნიშვნელობის პოვნის პროცედურას.

აღჭურვილობა:

• ბარათები ჯგუფებში და წყვილებში მუშაობისთვის დავალებებით;
• შეფასების ქაღალდი;
• პრეზენტაცია"არითმეტიკული პროგრესია."

I. საბაზისო ცოდნის განახლება.

1. დამოუკიდებელი მუშაობაწყვილებში.

1 ვარიანტი:

არითმეტიკული პროგრესიის განსაზღვრა. ჩამოწერეთ განმეორების ფორმულა, რომელიც განსაზღვრავს არითმეტიკულ პროგრესიას. გთხოვთ, მიუთითოთ არითმეტიკული პროგრესიის მაგალითი და მიუთითოთ მისი განსხვავება.

მე-2 ვარიანტი:

ჩაწერეთ არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულა. იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის მე-100 წევრი ( a n}: 2, 5, 8 …
ამ დროს ორი სტუდენტი უკანა მხარედაფები ამზადებენ პასუხებს იმავე კითხვებზე.
მოსწავლეები აფასებენ პარტნიორის მუშაობას დაფაზე მათი შემოწმებით. (ფურცლები პასუხებით გადაეცემა.)

2. თამაშის მომენტი.

სავარჯიშო 1.

მასწავლებელი.რაღაც არითმეტიკული პროგრესირებაზე ვფიქრობდი. დამისვით მხოლოდ ორი შეკითხვა, რათა პასუხების შემდეგ სწრაფად დაასახელოთ ამ პროგრესიის მე-7 ტერმინი. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

კითხვები სტუდენტებისგან.

1. რა არის პროგრესის მეექვსე ვადა და რა განსხვავებაა?
2. რა არის პროგრესის მერვე ვადა და რა განსხვავებაა?

თუ კითხვები აღარ არის, მაშინ მასწავლებელს შეუძლია მათი სტიმულირება - „აკრძალვა“ d-ზე (განსხვავება), ანუ დაუშვებელია კითხვა, რის ტოლია განსხვავება. შეგიძლიათ დასვათ კითხვები: რას უდრის პროგრესიის მე-6 წევრი და რის ტოლია პროგრესიის მე-8 წევრი?

დავალება 2.

დაფაზე 20 რიცხვია დაწერილი: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

მასწავლებელი დგას ზურგით დაფისკენ. მოსწავლეები იძახიან ნომერს, მასწავლებელი კი მყისიერად იძახებს თავად ნომერს. ამიხსენი, როგორ შემიძლია ამის გაკეთება?

მასწავლებელს ახსოვს n-ე ნაწილის ფორმულა a n = 3n - 2და მითითებული მნიშვნელობების n ჩანაცვლებით, პოულობს შესაბამის მნიშვნელობებს a n.

II. სასწავლო დავალების დაყენება.

მე ვთავაზობ უძველესი პრობლემის გადაჭრას, რომელიც დათარიღებულია ჩვენს წელთაღრიცხვამდე II ათასწლეულით, ეგვიპტურ პაპირუსებში.

ამოცანა:„მოდით, გითხრათ: 10 საზომი ქერი გაყავით 10 ადამიანზე, თითოეულ ადამიანსა და მის მეზობელს შორის სხვაობა ზომის 1/8-ია“.

• როგორ უკავშირდება ეს პრობლემა თემის არითმეტიკულ პროგრესირებას? (თითოეული შემდეგი ადამიანი იღებს საზომის 1/8-ით მეტს, რაც ნიშნავს, რომ განსხვავებაა d=1/8, 10 ადამიანი, რაც ნიშნავს n=10.)
• როგორ ფიქრობთ, რას ნიშნავს რიცხვი 10 საზომი? (პროგრესიის ყველა ტერმინის ჯამი.)
• კიდევ რა უნდა იცოდეთ, რომ ქერის დაყოფა პრობლემის პირობების მიხედვით მარტივი და მარტივი იყოს? (პროგრესიის პირველი ვადა.)

გაკვეთილის მიზანი– პროგრესირების ტერმინების ჯამის დამოკიდებულების მიღება მათ რიცხვზე, პირველ წევრზე და განსხვავებაზე და შემოწმება, სწორად იყო თუ არა ამოხსნილი პრობლემა ძველ დროში.

სანამ ფორმულას გამოვიტანთ, ვნახოთ, როგორ გადაჭრეს ძველი ეგვიპტელები პრობლემა.

და მათ გადაჭრეს ეს შემდეგნაირად:

1) 10 ზომა: 10 = 1 საზომი – საშუალო წილი;
2) 1 საზომი ∙ = 2 საზომი – გაორმაგდა საშუალოგაზიარება.
გაორმაგდა საშუალოწილი არის მე-5 და მე-6 პირის წილების ჯამი.
3) 2 საზომი – 1/8 საზომი = 1 7/8 საზომი – მეხუთე ადამიანის წილი ორმაგად.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 – მეხუთედის ნაწილი; და ასე შემდეგ, შეგიძლიათ იპოვოთ თითოეული წინა და მომდევნო ადამიანის წილი.

ჩვენ ვიღებთ თანმიმდევრობას:

III. პრობლემის გადაჭრა.

1. ჯგუფებში მუშაობა

ჯგუფი I:იპოვეთ 20 ზედიზედ ნატურალური რიცხვის ჯამი: S 20 =(20+1)∙10 =210.

IN ზოგადი ხედი

II ჯგუფი:იპოვეთ ნატურალური რიცხვების ჯამი 1-დან 100-მდე (ლეგენდა პატარა გაუსის შესახებ).

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

დასკვნა:

III ჯგუფი:იპოვეთ ნატურალური რიცხვების ჯამი 1-დან 21-მდე.

ამოხსნა: 1+21=2+20=3+19=4+18…

დასკვნა:

IV ჯგუფი:იპოვეთ ნატურალური რიცხვების ჯამი 1-დან 101-მდე.

დასკვნა:

განხილული პრობლემების გადაჭრის ამ მეთოდს ეწოდება "გაუსის მეთოდი".

2. თითოეული ჯგუფი დაფაზე წარმოადგენს პრობლემის გადაწყვეტას.

3. შემოთავაზებული ამონახსნების განზოგადება თვითნებური არითმეტიკული პროგრესიისთვის:

a 1, a 2, a 3,…, a n-2, a n-1, a n.
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

მოდი ვიპოვოთ ეს ჯამი მსგავსი მსჯელობის გამოყენებით:

4. მოვაგვარეთ პრობლემა?(დიახ.)

IV. ამოცანების ამოხსნისას მიღებული ფორმულების პირველადი გაგება და გამოყენება.

1. უძველესი პრობლემის გადაწყვეტის შემოწმება ფორმულის გამოყენებით.

2. ფორმულის გამოყენება სხვადასხვა ამოცანების გადაჭრაში.

3. სავარჯიშოები ამოცანების ამოხსნისას ფორმულების გამოყენების უნარის გასავითარებლად.

ა) No613

მოცემულია: ( ა ნ) –არითმეტიკული პროგრესია;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

იპოვე: S 1500

გამოსავალი: , a 1 = 1 და 1500 = 1500,

ბ) მოცემული: ( ა ნ) –არითმეტიკული პროგრესია;
(a n): 1, 2, 3,…
S n = 210

იპოვე: ნ
გამოსავალი:

V. დამოუკიდებელი მუშაობა ურთიერთდამოწმებით.

დენისმა კურიერად დაიწყო მუშაობა. პირველ თვეში მისი ხელფასი 200 მანეთი იყო, ყოველ მომდევნო თვეში 30 რუბლით გაიზარდა. რამდენი გამოიმუშავა მან წელიწადში?

მოცემულია: ( ა ნ) –არითმეტიკული პროგრესია;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
იპოვე: S 12
გამოსავალი:

პასუხი: დენისმა მიიღო 4380 რუბლი წელიწადში.

VI. საშინაო დავალების ინსტრუქცია.

1. ნაწილი 4.3 – ისწავლეთ ფორმულის წარმოშობა.
2. №№ 585, 623 .
3. შექმენით პრობლემა, რომლის გადაჭრაც შესაძლებელია არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამის ფორმულის გამოყენებით.

VII. გაკვეთილის შეჯამება.

1. ქულების ფურცელი

2. განაგრძეთ წინადადებები

• დღეს გაკვეთილზე ვისწავლე...
• ნასწავლი ფორმულები...
• Მე მჯერა …

3. შეგიძლიათ იპოვოთ რიცხვების ჯამი 1-დან 500-მდე? რა მეთოდს გამოიყენებთ ამ პრობლემის მოსაგვარებლად?

ბიბლიოგრაფია.

1. ალგებრა, მე-9 კლასი. ტუტორიალი ამისთვის საგანმანათლებო ინსტიტუტები. რედ. გ.ვ. დოროფეევა.მ.: „განმანათლებლობა“, 2009 წ.

ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალები 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც ძალიან "არც ძალიან..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")

არითმეტიკული პროგრესია არის რიცხვების სერია, რომლებშიც თითოეული რიცხვი იგივე რაოდენობით მეტია (ან ნაკლები) ვიდრე წინა.

ეს თემა ხშირად რთული და გაუგებარი ჩანს. ასოების ინდექსები მე-9 ტერმინიპროგრესიები, პროგრესირების განსხვავებები - ეს ყველაფერი რატომღაც დამაბნეველია, დიახ... მოდით გავარკვიოთ არითმეტიკული პროგრესიის მნიშვნელობა და ყველაფერი მაშინვე გაუმჯობესდება.)

არითმეტიკული პროგრესიის კონცეფცია.

არითმეტიკული პროგრესია ძალიან მარტივი და ნათელი კონცეფციაა. გაქვთ რაიმე ეჭვი? ამაოდ.) თავად ნახეთ.

მე დავწერ რიცხვების დაუმთავრებელ სერიას:

1, 2, 3, 4, 5, ...

შეგიძლიათ გააგრძელოთ ეს სერია? რა რიცხვები მოვა შემდეგი ხუთეულის შემდეგ? ყველა... უჰ... მოკლედ, ყველა მიხვდება, რომ შემდეგი რიცხვები 6, 7, 8, 9 და ა.შ.

დავალება გავართულოთ. მე მოგცემთ რიცხვების დაუმთავრებელ სერიას:

2, 5, 8, 11, 14, ...

თქვენ შეძლებთ დაიჭიროთ ნიმუში, გააგრძელოთ სერიები და დაასახელოთ მეშვიდერიგის ნომერი?

თუ მიხვდით, რომ ეს რიცხვი 20-ია, გილოცავთ! არა მარტო გრძნობდი ძირითადი პუნქტებიარითმეტიკული პროგრესია,არამედ წარმატებით გამოიყენა ისინი ბიზნესში! თუ ეს ვერ გაარკვიეთ, წაიკითხეთ.

ახლა მოდით გადავთარგმნოთ ძირითადი პუნქტები შეგრძნებებიდან მათემატიკაში.)

პირველი საკვანძო წერტილი.

არითმეტიკული პროგრესია ეხება რიცხვების სერიას.ეს თავიდანვე დამაბნეველია. ჩვენ მიჩვეული ვართ განტოლებების ამოხსნას, გრაფიკების დახატვას და ამ ყველაფერს... მაგრამ აქ ვაგრძელებთ სერიებს, ვპოულობთ სერიების რიცხვს...

Ყველაფერი კარგადაა. უბრალოდ, პროგრესიები მათემატიკის ახალი დარგის პირველი გაცნობაა. განყოფილებას ეწოდება "სერიები" და მუშაობს კონკრეტულად რიცხვებისა და გამონათქვამების სერიებთან. მიეჩვიე.)

მეორე საკვანძო წერტილი.

არითმეტიკული პროგრესიის დროს, ნებისმიერი რიცხვი განსხვავდება წინადან იმავე რაოდენობით.

პირველ მაგალითში ეს განსხვავება ერთია. რაც არ უნდა აიღოთ, ის ერთით მეტია წინაზე. მეორეში - სამი. ნებისმიერი რიცხვი სამით მეტია წინაზე. სინამდვილეში, ეს არის ის მომენტი, რომელიც გვაძლევს შესაძლებლობას გავიგოთ ნიმუში და გამოვთვალოთ შემდგომი რიცხვები.

მესამე საკვანძო წერტილი.

ეს მომენტი არ არის გასაოცარი, დიახ... მაგრამ ძალიან, ძალიან მნიშვნელოვანია. Ის აქაა: თითოეული პროგრესის ნომერითავის ადგილზე დგას.არის პირველი ნომერი, არის მეშვიდე, არის ორმოცდამეხუთე და ა.შ. თუ მათ შემთხვევით აურიეთ, ნიმუში გაქრება. არითმეტიკული პროგრესირებაც გაქრება. რაც დარჩა მხოლოდ რიცხვების სერიაა.

ამაშია მთელი აზრი.

რა თქმა უნდა, ში ახალი თემაჩნდება ახალი ტერმინები და აღნიშვნები. თქვენ უნდა იცოდეთ ისინი. წინააღმდეგ შემთხვევაში, თქვენ ვერ გაიგებთ დავალებას. მაგალითად, თქვენ უნდა გადაწყვიტოთ მსგავსი რამ:

ჩაწერეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი ექვსი წევრი (a n), თუ a 2 = 5, d = -2.5.

შთამაგონებელია?) ასოები, რამდენიმე ინდექსები... და დავალება, სხვათა შორის, უფრო მარტივი არ შეიძლება იყოს. თქვენ უბრალოდ უნდა გესმოდეთ ტერმინებისა და აღნიშვნების მნიშვნელობა. ახლა ჩვენ დავეუფლებით ამ საკითხს და დავუბრუნდებით დავალებას.

ვადები და აღნიშვნები.

არითმეტიკული პროგრესიაარის რიცხვების სერია, რომელშიც თითოეული რიცხვი განსხვავდება წინადან იმავე რაოდენობით.

ამ რაოდენობას ე.წ . მოდით შევხედოთ ამ კონცეფციას უფრო დეტალურად.

არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა.

არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობაარის თანხა, რომლითაც ნებისმიერი პროგრესის რიცხვი მეტიწინა.

ერთი მნიშვნელოვანი წერტილი. გთხოვთ ყურადღება მიაქციოთ სიტყვას "მეტი".მათემატიკურად, ეს ნიშნავს, რომ თითოეული პროგრესიის რიცხვი არის დამატებითარითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა წინა რიცხვთან.

რომ გამოვთვალოთ, ვთქვათ მეორესერიის ნომრები, თქვენ გჭირდებათ პირველინომერი დაამატეთარითმეტიკული პროგრესიის სწორედ ეს განსხვავება. გაანგარიშებისთვის მეხუთე- განსხვავება აუცილებელია დაამატეთრომ მეოთხე,კარგად და ა.შ.

არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობაᲨესაძლოა დადებითი,მაშინ სერიის თითოეული რიცხვი რეალური აღმოჩნდება წინაზე მეტი.ამ პროგრესირებას ე.წ იზრდება.Მაგალითად:

8; 13; 18; 23; 28; .....

აქ მიიღება თითოეული რიცხვი დამატებითდადებითი რიცხვი, +5 წინას.

განსხვავება შეიძლება იყოს უარყოფითი,მაშინ სერიის თითოეული ნომერი იქნება წინაზე ნაკლები.ამ პროგრესს ჰქვია (არ დაიჯერებთ!) მცირდება.

Მაგალითად:

8; 3; -2; -7; -12; .....

აქ ასევე მიიღება თითოეული ნომერი დამატებითწინასთან, მაგრამ უკვე უარყოფითი რიცხვია, -5.

სხვათა შორის, პროგრესირებასთან მუშაობისას ძალიან სასარგებლოა მისი ბუნების დაუყონებლივ დადგენა – იზრდება თუ მცირდება. ეს ძალიან დაგეხმარებათ გადაწყვეტილების მიღებაში, თქვენი შეცდომების დაფიქსირებაში და მათ გამოსწორებაში, სანამ გვიან არ არის.

არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობაჩვეულებრივ აღინიშნება ასოებით დ.

როგორ მოვძებნოთ დ? Ძალიან მარტივი. აუცილებელია გამოვაკლოთ სერიების ნებისმიერი რიცხვი წინანომერი. გამოკლება. სხვათა შორის, გამოკლების შედეგს ეწოდება "სხვაობა".)

მოდით განვსაზღვროთ, მაგალითად, დარითმეტიკული პროგრესიის გაზრდისთვის:

2, 5, 8, 11, 14, ...

სერიიდან ვიღებთ ნებისმიერ რიცხვს, რომელიც გვინდა, მაგალითად, 11. ვაკლებთ მას წინა ნომერიიმათ. 8:

ეს არის სწორი პასუხი. ამ არითმეტიკული პროგრესიისთვის, განსხვავება სამია.

შეგიძლია წაიღო ნებისმიერი პროგრესის ნომერი,რადგან კონკრეტული პროგრესისთვის დ-ყოველთვის იგივე.სადღაც რიგის დასაწყისში მაინც, შუაში მაინც, სადმე მაინც. თქვენ არ შეგიძლიათ აიღოთ მხოლოდ პირველი ნომერი. მხოლოდ იმიტომ, რომ პირველი ნომერი არ არის წინა.)

სხვათა შორის, ამის ცოდნა d=3, ამ პროგრესიის მეშვიდე რიცხვის პოვნა ძალიან მარტივია. მეხუთე რიცხვს მივუმატოთ 3 - მივიღებთ მეექვსეს, იქნება 17. მეექვსე რიცხვს მივუმატოთ სამი, მივიღებთ მეშვიდე რიცხვს - ოცს.

განვსაზღვროთ დდაღმავალი არითმეტიკული პროგრესიისთვის:

8; 3; -2; -7; -12; .....

შეგახსენებთ, რომ ნიშნების მიუხედავად, რათა დადგინდეს დსაჭიროა ნებისმიერი ნომრიდან წაართვით წინა.აირჩიეთ ნებისმიერი პროგრესირების ნომერი, მაგალითად -7. მისი წინა რიცხვი არის -2. შემდეგ:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი: მთელი რიცხვი, წილადი, ირაციონალური, ნებისმიერი რიცხვი.

სხვა ტერმინები და აღნიშვნები.

სერიის თითოეულ რიცხვს უწოდებენ არითმეტიკული პროგრესიის წევრი.

პროგრესის თითოეული წევრი აქვს თავისი ნომერი.ნომრები მკაცრად წესრიგშია, ყოველგვარი ხრიკების გარეშე. პირველი, მეორე, მესამე, მეოთხე და ა.შ. მაგალითად, პროგრესში 2, 5, 8, 11, 14, ... ორი არის პირველი წევრი, ხუთი არის მეორე, თერთმეტი არის მეოთხე, კარგად, გესმით...) გთხოვთ, ნათლად გაიგოთ - თავად ნომრებიშეიძლება იყოს აბსოლუტურად ნებისმიერი, მთლიანი, წილადი, უარყოფითი, რაც არ უნდა იყოს, მაგრამ ნომრების ნუმერაცია- მკაცრად წესრიგში!

როგორ დავწეროთ პროგრესი ზოგადი ფორმით? Არაა პრობლემა! სერიის თითოეული რიცხვი იწერება ასოს სახით. არითმეტიკული პროგრესიის აღსანიშნავად ჩვეულებრივ გამოიყენება ასო ა. წევრის ნომერი მითითებულია ინდექსით ქვედა მარჯვენა კუთხეში. ჩვენ ვწერთ ტერმინებს, რომლებიც გამოყოფილია მძიმეებით (ან მძიმით), ასე:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1- ეს პირველი ნომერია, a 3- მესამე და ა.შ. არაფერი გამორჩეული. ეს სერია შეიძლება მოკლედ დაიწეროს ასე: (n).

პროგრესები ხდება სასრული და უსასრულო.

საბოლოოპროგრესს ჰყავს წევრების შეზღუდული რაოდენობა. ხუთი, ოცდათვრამეტი, რაც არ უნდა იყოს. მაგრამ ეს სასრული რიცხვია.

უსასრულოპროგრესია - ჰყავს წევრების უსასრულო რაოდენობა, როგორც თქვენ ალბათ მიხვდებით.)

თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ საბოლოო პროგრესი ასეთი სერიით, ყველა ტერმინი და წერტილი ბოლოს:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5.

ან ასე, თუ ბევრი წევრია:

a 1, a 2, ... a 14, a 15.

მოკლე ჩანაწერში დამატებით მოგიწევთ მიუთითოთ წევრების რაოდენობა. მაგალითად (ოცი წევრისთვის), ასე:

(a n), n = 20

უსასრულო პროგრესია შეიძლება ამოიცნოს მწკრივის ბოლოს ელიფსისით, როგორც ამ გაკვეთილის მაგალითებში.

ახლა თქვენ შეგიძლიათ ამოცანების გადაჭრა. ამოცანები მარტივია, მხოლოდ არითმეტიკული პროგრესიის მნიშვნელობის გასაგებად.

არითმეტიკული პროგრესიის დავალებების მაგალითები.

მოდით განვიხილოთ ზემოთ მოცემული დავალება დეტალურად:

1. ჩაწერეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი ექვსი წევრი (a n), თუ a 2 = 5, d = -2.5.

ჩვენ ვთარგმნით დავალებას გასაგებ ენაზე. მოცემულია უსასრულო არითმეტიკული პროგრესია. ამ პროგრესის მეორე რიცხვი ცნობილია: a 2 = 5.პროგრესირების განსხვავება ცნობილია: d = -2,5.ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ამ პროგრესიის პირველი, მესამე, მეოთხე, მეხუთე და მეექვსე ტერმინები.

სიცხადისთვის დავწერ სერიებს პრობლემის პირობების მიხედვით. პირველი ექვსი ტერმინი, სადაც მეორე წევრი არის ხუთი:

1, 5, 3, 4, 5, 6,....

a 3 = a 2 + დ

ჩანაცვლება გამოხატულებაში a 2 = 5და d = -2,5. ნუ დაივიწყებთ მინუსზე!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

მესამე ვადა მეორეზე ნაკლები აღმოჩნდა. ყველაფერი ლოგიკურია. თუ რიცხვი წინაზე მეტია უარყოფითიმნიშვნელობა, რაც ნიშნავს, რომ თავად რიცხვი წინაზე ნაკლები იქნება. პროგრესი მცირდება. კარგი, გავითვალისწინოთ.) ჩვენ ვითვლით ჩვენი სერიის მეოთხე წევრს:

a 4 = a 3 + დ

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + დ

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + დ

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

ასე რომ, გამოითვალა ვადები მესამედან მეექვსემდე. შედეგი არის შემდეგი სერია:

a 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....

რჩება პირველი ტერმინის პოვნა a 1ცნობილი მეორეს მიხედვით. ეს არის ნაბიჯი სხვა მიმართულებით, მარცხნივ.) ასე რომ, არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა დარ უნდა დაემატოს a 2, ა წაიღე:

a 1 = a 2 - დ

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Ის არის. დავალების პასუხი:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

გარდა ამისა, მინდა აღვნიშნო, რომ ჩვენ გადავწყვიტეთ ეს ამოცანა განმეორებადიგზა. ეს საშინელი სიტყვა ნიშნავს მხოლოდ პროგრესის წევრის ძიებას წინა (მიმდებარე) ნომრის მიხედვით.ჩვენ განვიხილავთ პროგრესირებასთან მუშაობის სხვა გზებს ქვემოთ.

ამ მარტივი ამოცანიდან ერთი მნიშვნელოვანი დასკვნის გამოტანა შეიძლება.

გახსოვდეთ:

თუ ჩვენ ვიცით მინიმუმ ერთი წევრი და არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა, შეგვიძლია ვიპოვოთ ამ პროგრესიის ნებისმიერი წევრი.

Გახსოვს? ეს მარტივი დასკვნა საშუალებას გაძლევთ გადაჭრას პრობლემების უმეტესობა სკოლის კურსიამ თემაზე. ყველა დავალება ტრიალებს სამი ძირითადი პარამეტრის გარშემო: არითმეტიკული პროგრესიის წევრი, პროგრესიის სხვაობა, პროგრესიის წევრის რაოდენობა.ყველა.

რა თქმა უნდა, ყველა წინა ალგებრა არ არის გაუქმებული.) უტოლობა, განტოლებები და სხვა რამ ერთვის პროგრესიას. მაგრამ თავად პროგრესის მიხედვით- ყველაფერი სამი პარამეტრის გარშემო ტრიალებს.

მაგალითად, მოდით შევხედოთ რამდენიმე პოპულარულ ამოცანას ამ თემაზე.

2. ჩაწერეთ სასრული არითმეტიკული პროგრესია რიგის სახით, თუ n=5, d = 0.4 და a 1 = 3.6.

აქ ყველაფერი მარტივია. ყველაფერი უკვე მიცემულია. უნდა გახსოვდეთ, როგორ ითვლიან არითმეტიკული პროგრესიის წევრებს, დათვალეთ და ჩაწერეთ. მიზანშეწონილია არ გამოტოვოთ სიტყვები დავალების პირობებში: "ფინალური" და " n=5". ისე, რომ არ დათვალოთ, სანამ სახეზე მთლიანად გალურჯდებით.) ამ პროგრესში მხოლოდ 5 (ხუთი) წევრია:

a 2 = a 1 + d = 3.6 + 0.4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0.4 = 4.4

a 4 = a 3 + d = 4.4 + 0.4 = 4.8

a 5 = a 4 + d = 4.8 + 0.4 = 5.2

რჩება პასუხის ჩაწერა:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

კიდევ ერთი დავალება:

3. დაადგინეთ რიცხვი 7 იქნება თუ არა არითმეტიკული პროგრესიის წევრი (a n), თუ a 1 = 4.1; d = 1.2.

ჰმ... ვინ იცის? როგორ განვსაზღვროთ რამე?

როგორ-როგორ... სერიების სახით ჩაწერეთ პროგრესი და ნახეთ იქ შვიდი იქნება თუ არა! ჩვენ ვითვლით:

a 2 = a 1 + d = 4.1 + 1.2 = 5.3

a 3 = a 2 + d = 5.3 + 1.2 = 6.5

a 4 = a 3 + d = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

ახლა აშკარად ჩანს, რომ მხოლოდ შვიდნი ვართ გაცურდა 6.5-დან 7.7-მდე! შვიდი არ მოხვდა ჩვენს რიცხვთა სერიაში და, შესაბამისად, შვიდი არ იქნება მოცემული პროგრესიის წევრი.

პასუხი: არა.

და აქ არის პრობლემა, რომელიც დაფუძნებულია GIA-ს რეალურ ვერსიაზე:

4. არითმეტიკული პროგრესიის ზედიზედ რამდენიმე წევრი იწერება:

...; 15; X; 9; 6; ...

აქ არის სერია დაწერილი დასასრულისა და დასაწყისის გარეშე. წევრების რიცხვი არ არის, არანაირი განსხვავება დ. Ყველაფერი კარგადაა. პრობლემის გადასაჭრელად საკმარისია გავიგოთ არითმეტიკული პროგრესიის მნიშვნელობა. მოდით შევხედოთ და ვნახოთ რა არის შესაძლებელი ცოდნაამ სერიიდან? რა არის სამი ძირითადი პარამეტრი?

წევრების ნომრები? აქ არც ერთი ნომერი არ არის.

მაგრამ არის სამი ნომერი და - ყურადღება! - სიტყვა "თანმიმდევრული"მდგომარეობაში. ეს ნიშნავს, რომ რიცხვები მკაცრად წესრიგშია, ხარვეზების გარეშე. ამ რიგში ორია? მეზობელიცნობილი ნომრები? Დიახ მაქვს! ეს არის 9 და 6. მაშასადამე, ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა! გამოვაკლოთ ექვსიდან წინანომერი, ე.ი. ცხრა:

დარჩა უბრალო წვრილმანები. რომელი რიცხვი იქნება X-ის წინა? თხუთმეტი. ეს ნიშნავს, რომ X ადვილად იპოვება მარტივი მიმატებით. დაამატეთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა 15-ს:

Სულ ეს არის. პასუხი: x=12

ჩვენ თვითონ ვაგვარებთ შემდეგ პრობლემებს. შენიშვნა: ეს პრობლემები არ არის დაფუძნებული ფორმულებზე. არითმეტიკული პროგრესიის მნიშვნელობის გასაგებად. ჩვენ უბრალოდ ვწერთ რიცხვებისა და ასოების სერიას, ვუყურებთ და გავარკვიეთ.

5. იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი დადებითი წევრი, თუ a 5 = -3; d = 1.1.

6. ცნობილია, რომ რიცხვი 5.5 არის არითმეტიკული პროგრესიის წევრი (a n), სადაც a 1 = 1.6; d = 1.3. განსაზღვრეთ ამ ტერმინის ნომერი n.

7. ცნობილია, რომ არითმეტიკული პროგრესიით a 2 = 4; a 5 = 15.1. იპოვნეთ 3.

8. არითმეტიკული პროგრესიის ზედიზედ რამდენიმე წევრი იწერება:

...; 15.6; X; 3.4; ...

იპოვეთ პროგრესიის ვადა, რომელიც მითითებულია ასო x.

9. მატარებელმა მოძრაობა დაიწყო სადგურიდან, თანაბრად გაზარდა სიჩქარე წუთში 30 მეტრით. რა იქნება მატარებლის სიჩქარე ხუთ წუთში? გაეცით პასუხი კმ/საათში.

10. ცნობილია, რომ არითმეტიკული პროგრესიით a 2 = 5; a 6 = -5. იპოვეთ 1.

პასუხები (არეულად): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; 4.

ყველაფერი გამოვიდა? საოცარი! თქვენ შეგიძლიათ დაეუფლოთ არითმეტიკული პროგრესიას მეტისთვის მაღალი დონე, შემდეგ გაკვეთილებზე.

ყველაფერი არ გამოვიდა? Არაა პრობლემა. სპეციალურ განყოფილებაში 555, ყველა ეს პრობლემა ნაწილ-ნაწილ ნაწილდება.) და, რა თქმა უნდა, აღწერილია მარტივი პრაქტიკული ტექნიკა, რომელიც დაუყოვნებლივ ხაზს უსვამს ასეთი ამოცანების გადაწყვეტას ნათლად, ნათლად, ერთი შეხედვით!

სხვათა შორის, მატარებლის თავსატეხში არის ორი პრობლემა, რომელსაც ადამიანები ხშირად აბრკოლებენ. ერთი არის მხოლოდ პროგრესირების თვალსაზრისით, მეორე კი ზოგადია მათემატიკაში და ფიზიკაში ნებისმიერი პრობლემისთვისაც. ეს არის ზომების თარგმანი ერთიდან მეორეზე. ეს გვიჩვენებს, თუ როგორ უნდა მოგვარდეს ეს პრობლემები.

ამ გაკვეთილზე ჩვენ განვიხილეთ არითმეტიკული პროგრესიის ელემენტარული მნიშვნელობა და მისი ძირითადი პარამეტრები. ეს საკმარისია ამ თემაზე თითქმის ყველა პრობლემის მოსაგვარებლად. დამატება დციფრებს დაწერე სერია, ყველაფერი მოგვარდება.

თითის ხსნარი კარგად მუშაობს მწკრივის ძალიან მოკლე ნაწილებზე, როგორც ამ გაკვეთილის მაგალითებში. თუ სერია უფრო გრძელია, გამოთვლები უფრო რთული ხდება. მაგალითად, თუ კითხვაში მე-9 პრობლემაში ჩვენ შევცვლით "ხუთი წუთი" on "ოცდათხუთმეტი წუთი"პრობლემა საგრძნობლად გაუარესდება.)

და ასევე არის ამოცანები, რომლებიც არსებითად მარტივია, მაგრამ აბსურდული გამოთვლებით, მაგალითად:

მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია (a n). იპოვეთ 121, თუ a 1 =3 და d=1/6.

მერე რა, ვაპირებთ 1/6-ს ბევრჯერ, ბევრჯერ დავამატოთ?! შეგიძლია თავი მოიკლა!?

შეგიძლიათ.) თუ არ იცით მარტივი ფორმულა, რომლითაც შეგიძლიათ ასეთი ამოცანების ამოხსნა ერთ წუთში. ეს ფორმულა იქნება მომდევნო გაკვეთილზე. და ეს პრობლემა მოგვარებულია იქ. Ერთ წუთში.)

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. ვისწავლოთ - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

ინსტრუქციები

არითმეტიკული პროგრესია არის a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d ფორმის მიმდევრობა. ნომერი d ნაბიჯი პროგრესირება.აშკარაა, რომ არითმეტიკის თვითნებური n-ე წევრის გენერალი პროგრესირებააქვს ფორმა: An = A1+(n-1)d. მაშინ ერთ-ერთი წევრის გაცნობა პროგრესირება, წევრი პროგრესირებადა ნაბიჯი პროგრესირება, შეგიძლიათ, ანუ პროგრესის წევრის რაოდენობა. ცხადია, ის განისაზღვრება ფორმულით n = (An-A1+d)/d.

მოდით ახლა ცნობილი იყოს mth ტერმინი პროგრესირებადა კიდევ ერთი წევრი პროგრესირება- n, მაგრამ n, როგორც წინა შემთხვევაში, მაგრამ ცნობილია, რომ n და m არ ემთხვევა. ნაბიჯი. პროგრესირებაშეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით: d = (An-Am)/(n-m). შემდეგ n = (An-Am+md)/d.

თუ ცნობილია არითმეტიკული განტოლების რამდენიმე ელემენტის ჯამი პროგრესირება, ისევე როგორც მისი პირველი და უკანასკნელი, შემდეგ ამ ელემენტების რაოდენობაც შეიძლება განისაზღვროს არითმეტიკის ჯამი პროგრესირებატოლი იქნება: S = ((A1+An)/2)n. მაშინ n = 2S/(A1+An) - ჩდენოვი პროგრესირება. იმ ფაქტის გამოყენებით, რომ An = A1+(n-1)d, ეს ფორმულა შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად: n = 2S/(2A1+(n-1)d). აქედან შეგვიძლია გამოვხატოთ n ამოხსნით კვადრატული განტოლება.

არითმეტიკული თანმიმდევრობა არის რიცხვების მოწესრიგებული ერთობლიობა, რომლის თითოეული წევრი, გარდა პირველისა, იგივე რაოდენობით განსხვავდება წინადან. ამ მუდმივ მნიშვნელობას ეწოდება პროგრესიის სხვაობა ან მისი საფეხური და შეიძლება გამოითვალოს არითმეტიკული პროგრესიის ცნობილი ტერმინებიდან.

ინსტრუქციები

თუ პირველი და მეორე ან სხვა მიმდებარე ტერმინების მნიშვნელობები ცნობილია ამოცანის პირობებიდან, სხვაობის გამოსათვლელად (დ) უბრალოდ გამოვაკლოთ წინა მომდევნო ტერმინს. შედეგად მიღებული მნიშვნელობა შეიძლება იყოს დადებითი ან უარყოფითი რიცხვი- ეს დამოკიდებულია იმაზე, იზრდება თუ არა პროგრესი. IN ზოგადი ფორმაჩაწერეთ გადაწყვეტა პროგრესიის მეზობელი ტერმინების თვითნებურად არჩეული წყვილის (aᵢ და aᵢ₊1) შემდეგნაირად: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

ასეთი პროგრესიის წყვილისთვის, რომელთაგან ერთი არის პირველი (a1), ხოლო მეორე არის ნებისმიერი სხვა თვითნებურად არჩეული, ასევე შესაძლებელია შეიქმნას ფორმულა სხვაობის საპოვნელად (d). თუმცა, ამ შემთხვევაში ეს უნდა იყოს ცნობილი სერიული ნომერი(i) თანმიმდევრობის თვითნებურად შერჩეული წევრი. სხვაობის გამოსათვლელად დაამატეთ ორივე რიცხვი და მიღებული შედეგი გაყავით ერთით შემცირებული თვითნებური წევრის რიგით რიცხვზე. ზოგადად, ჩაწერეთ ეს ფორმულა შემდეგნაირად: d = (a1+ aᵢ)/(i-1).

თუ რიგითი i რიცხვით არითმეტიკული პროგრესიის თვითნებური წევრის გარდა ცნობილია სხვა წევრი რიგითი რიცხვით u, შესაბამისად შეცვალეთ წინა საფეხურის ფორმულა. ამ შემთხვევაში, პროგრესიის სხვაობა (d) იქნება ამ ორი წევრის ჯამი გაყოფილი მათი რიგითი რიცხვების სხვაობაზე: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

სხვაობის (d) გამოთვლის ფორმულა გარკვეულწილად უფრო რთული ხდება, თუ პრობლემის პირობები იძლევა მისი პირველი წევრის (a1) მნიშვნელობას და არითმეტიკული მიმდევრობის პირველი წევრთა მოცემული რიცხვის (i) ჯამს (Sᵢ). სასურველი მნიშვნელობის მისაღებად ჯამი გავყოთ მის შემადგენელ ტერმინთა რაოდენობაზე, გამოვაკლოთ პირველი რიცხვის მნიშვნელობა მიმდევრობით და გავაორმაგოთ შედეგი. მიღებული მნიშვნელობა გაყავით ტერმინების რაოდენობაზე, რომლებიც ქმნიან ჯამს შემცირებული ერთით. ზოგადად, ჩაწერეთ დისკრიმინანტის გამოთვლის ფორმულა შემდეგნაირად: d = 2*(Sᵢ/i-a1)/(i-1).

თუ ყოველ ნატურალურ რიცხვზე ნ ემთხვევა რეალურ რიცხვს a n , მერე ამბობენ, რომ ეს არის მოცემული რიცხვების თანმიმდევრობა :

ა 1 , ა 2 , ა 3 , . . . , a n , . . . .

ასე რომ, რიცხვების თანმიმდევრობა არის ბუნებრივი არგუმენტის ფუნქცია.

ნომერი ა 1 დაურეკა რიგითობის პირველი ტერმინი , ნომერი ა 2 — რიგითობის მეორე ტერმინი , ნომერი ა 3 — მესამე და ასე შემდეგ. ნომერი a n დაურეკა მე-9 ტერმინითანმიმდევრობები და ნატურალური რიცხვი ნ — მისი ნომერი .

ორი მიმდებარე წევრისგან a n და a n +1 მიმდევრობის წევრი a n +1 დაურეკა შემდგომი ( მიმართ a n ), ა a n — წინა ( მიმართ a n +1 ).

მიმდევრობის დასადგენად, თქვენ უნდა მიუთითოთ მეთოდი, რომელიც საშუალებას მოგცემთ იპოვოთ მიმდევრობის წევრი ნებისმიერი რიცხვით.

ხშირად თანმიმდევრობა მითითებულია გამოყენებით n-ე ტერმინის ფორმულები , ანუ ფორმულა, რომელიც საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ მიმდევრობის წევრი მისი რიცხვით.

Მაგალითად,

დადებითი კენტი რიცხვების თანმიმდევრობა შეიძლება იყოს მოცემული ფორმულით

a n= 2n- 1,

და მონაცვლეობის თანმიმდევრობა 1 და -1 - ფორმულა

ბნ = (-1)ნ +1 . ◄

თანმიმდევრობა შეიძლება განისაზღვროს განმეორებითი ფორმულა, ანუ ფორმულა, რომელიც გამოხატავს მიმდევრობის რომელიმე წევრს, დაწყებული ზოგიერთით, წინა (ერთი ან მეტი) წევრის გავლით.

Მაგალითად,

თუ ა 1 = 1 , ა a n +1 = a n + 5

ა 1 = 1,

ა 2 = ა 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

ა 3 = ა 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

ა 4 = ა 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

ა 5 = ა 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

თუ a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , შემდეგ პირველი შვიდი წევრი რიცხვების თანმიმდევრობადააინსტალირეთ შემდეგნაირად:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

ა 6 = ა 4 + ა 5 = 3 + 5 = 8,

ა 7 = ა 5 + ა 6 = 5 + 8 = 13. ◄

თანმიმდევრობა შეიძლება იყოს საბოლოო და გაუთავებელი .

თანმიმდევრობა ე.წ საბოლოო , თუ მას ჰყავს წევრების სასრული რაოდენობა. თანმიმდევრობა ე.წ გაუთავებელი , თუ მას უსასრულოდ ბევრი წევრი ჰყავს.

Მაგალითად,

ორნიშნა ნატურალური რიცხვების თანმიმდევრობა:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

საბოლოო.

მარტივი რიცხვების თანმიმდევრობა:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

გაუთავებელი. ◄

თანმიმდევრობა ე.წ იზრდება , თუ მისი ყოველი წევრი მეორიდან დაწყებული წინაზე მეტია.

თანმიმდევრობა ე.წ მცირდება , თუ მისი ყოველი წევრი მეორიდან დაწყებული წინაზე ნაკლებია.

Მაგალითად,

2, 4, 6, 8, . . . , 2ნ, . . . - მზარდი თანმიმდევრობა;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /ნ, . . . - კლების თანმიმდევრობა. ◄

თანმიმდევრობას, რომლის ელემენტები არ მცირდება რიცხვის გაზრდისას, ან, პირიქით, არ იზრდება, ეწოდება ერთფეროვანი თანმიმდევრობა .

მონოტონური მიმდევრობები, კერძოდ, არის მზარდი და კლებადი მიმდევრობები.

არითმეტიკული პროგრესია

არითმეტიკული პროგრესია არის თანმიმდევრობა, რომელშიც თითოეული წევრი, მეორიდან დაწყებული, უდრის წინას, რომელსაც ემატება იგივე რიცხვი.

ა 1 , ა 2 , ა 3 , . . . , a n, . . .

არის არითმეტიკული პროგრესია თუ ასეა ბუნებრივი რიცხვი ნ პირობა დაკმაყოფილებულია:

a n +1 = a n + დ,

სად დ - გარკვეული რაოდენობა.

ამრიგად, სხვაობა მოცემული არითმეტიკული პროგრესიის მომდევნო და წინა წევრებს შორის ყოველთვის მუდმივია:

a 2 - ა 1 = a 3 - ა 2 = . . . = a n +1 - a n = დ.

ნომერი დ დაურეკა არითმეტიკული პროგრესიის განსხვავება.

არითმეტიკული პროგრესიის დასადგენად, საკმარისია მიუთითოთ მისი პირველი წევრი და განსხვავება.

Მაგალითად,

თუ ა 1 = 3, დ = 4 , შემდეგ ჩვენ ვპოულობთ მიმდევრობის პირველ ხუთ წევრს შემდეგნაირად:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + დ = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + დ= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + დ= 11 + 4 = 15,

ა 5 = ა 4 + დ= 15 + 4 = 19. ◄

პირველი ტერმინით არითმეტიკული პროგრესიისთვის ა 1 და განსხვავება დ მისი ნ

a n = a 1 + (ნ- 1)დ.

Მაგალითად,

იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის ოცდამეათე წევრი

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, დ = 3,

30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = a 1 + (ნ- 2)დ,

a n= a 1 + (ნ- 1)დ,

a n +1 = ა 1 + და,

მაშინ აშკარად

a n=	a n-1 + a n+1
	2

არითმეტიკული პროგრესიის თითოეული წევრი, მეორედან დაწყებული, უდრის წინა და მომდევნო წევრების საშუალო არითმეტიკულს.

რიცხვები a, b და c არის გარკვეული არითმეტიკული პროგრესიის თანმიმდევრული პუნქტები, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ერთი მათგანი უდრის დანარჩენი ორის საშუალო არითმეტიკულს.

Მაგალითად,

a n = 2ნ- 7 , არის არითმეტიკული პროგრესია.

მოდით გამოვიყენოთ ზემოთ მოცემული განცხადება. Ჩვენ გვაქვს:

a n = 2ნ- 7,

n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2ნ- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2ნ- 5.

აქედან გამომდინარე,

a n+1 + a n-1	=	2ნ- 5 + 2ნ- 9	= 2ნ- 7 = a n,
2		2

◄

Გაითვალისწინე ნ არითმეტიკული პროგრესიის მე-თე ტერმინი შეიძლება მოიძებნოს არა მხოლოდ მეშვეობით ა 1 , არამედ ნებისმიერი წინა კ

a n = კ + (ნ- კ)დ.

Მაგალითად,

ამისთვის ა 5 შეიძლება ჩაიწეროს

a 5 = a 1 + 4დ,

a 5 = a 2 + 3დ,

a 5 = a 3 + 2დ,

a 5 = a 4 + დ. ◄

a n = ნ-კ + კდ,

a n = a n+k - კდ,

მაშინ აშკარად

a n=	ა ნ-კ + ა n+k
	2

არითმეტიკული პროგრესიის ნებისმიერი წევრი, მეორედან დაწყებული, უდრის ამ არითმეტიკული პროგრესიის თანაბრად დაშორებული წევრების ჯამის ნახევარს.

გარდა ამისა, ნებისმიერი არითმეტიკული პროგრესიისთვის მოქმედებს შემდეგი თანასწორობა:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Მაგალითად,

არითმეტიკული პროგრესიით

1) ა 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ა 9 + ა 11 )/2;

2) 28 = ა 10 = a 3 + 7დ= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) ა 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, რადგან

2 + 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ a n,

პირველი ნ არითმეტიკული პროგრესიის წევრები უდრის უკიდურესი წევრთა ჯამის ნახევრის ნამრავლს და წევრთა რაოდენობას:

აქედან, კერძოდ, გამომდინარეობს, რომ თუ თქვენ გჭირდებათ პირობების შეჯამება

კ, კ +1 , . . . , a n,

მაშინ წინა ფორმულა ინარჩუნებს თავის სტრუქტურას:

Მაგალითად,

არითმეტიკული პროგრესიით 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

ს 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = ს 10 - ს 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

თუ მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია, მაშინ რაოდენობები ა 1 , a n, დ, ნდას ნ დაკავშირებულია ორი ფორმულით:

მაშასადამე, თუ მოცემულია ამ რაოდენობის სამის მნიშვნელობები, მაშინ დანარჩენი ორი სიდიდის შესაბამისი მნიშვნელობები განისაზღვრება ამ ფორმულებიდან, რომლებიც გაერთიანებულია ორი განტოლების სისტემაში ორი უცნობით.

არითმეტიკული პროგრესია არის მონოტონური თანმიმდევრობა. სადაც:

• თუ დ > 0 , მაშინ ის იზრდება;
• თუ დ < 0 , მაშინ ის მცირდება;
• თუ დ = 0 , მაშინ თანმიმდევრობა სტაციონარული იქნება.

გეომეტრიული პროგრესია

გეომეტრიული პროგრესია არის თანმიმდევრობა, რომელშიც თითოეული წევრი, მეორიდან დაწყებული, უდრის წინას გამრავლებული იმავე რიცხვზე.

ბ 1 , ბ 2 , ბ 3 , . . . , b n, . . .

არის გეომეტრიული პროგრესია, თუ რომელიმე ნატურალური რიცხვისთვის ნ პირობა დაკმაყოფილებულია:

b n +1 = b n · ქ,

სად ქ ≠ 0 - გარკვეული რაოდენობა.

ამრიგად, მოცემული გეომეტრიული პროგრესიის შემდგომი წევრის თანაფარდობა წინასთან არის მუდმივი რიცხვი:

ბ 2 / ბ 1 = ბ 3 / ბ 2 = . . . = b n +1 / b n = ქ.

ნომერი ქ დაურეკა გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი.

გეომეტრიული პროგრესიის დასადგენად საკმარისია მიუთითოთ მისი პირველი წევრი და მნიშვნელი.

Მაგალითად,

თუ ბ 1 = 1, ქ = -3 , შემდეგ ჩვენ ვპოულობთ მიმდევრობის პირველ ხუთ წევრს შემდეგნაირად:

ბ 1 = 1,

ბ 2 = ბ 1 · ქ = 1 · (-3) = -3,

ბ 3 = ბ 2 · ქ= -3 · (-3) = 9,

ბ 4 = ბ 3 · ქ= 9 · (-3) = -27,

ბ 5 = ბ 4 · ქ= -27 · (-3) = 81. ◄

ბ 1 და მნიშვნელი ქ მისი ნ ტერმინი შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულის გამოყენებით:

b n = ბ 1 · qn -1 .

Მაგალითად,

იპოვეთ გეომეტრიული პროგრესიის მეშვიდე წევრი 1, 2, 4, . . .

ბ 1 = 1, ქ = 2,

ბ 7 = ბ 1 · ქ 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = ბ 1 · qn -2 ,

b n = ბ 1 · qn -1 ,

b n +1 = ბ 1 · qn,

მაშინ აშკარად

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

გეომეტრიული პროგრესიის თითოეული წევრი, მეორედან დაწყებული, უდრის წინა და მომდევნო წევრების გეომეტრიულ საშუალოს (პროპორციულს).

ვინაიდან საპირისპირო ასევე მართალია, შემდეგი განცხადება მოქმედებს:

რიცხვები a, b და c არის გარკვეული გეომეტრიული პროგრესიის თანმიმდევრული წევრები, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ერთი მათგანის კვადრატი პროდუქტის ტოლიდანარჩენი ორი, ანუ რიცხვებიდან ერთი არის დანარჩენი ორის გეომეტრიული საშუალო.

Მაგალითად,

დავამტკიცოთ, რომ ფორმულით მოცემული თანმიმდევრობა b n= -3 2 ნ , არის გეომეტრიული პროგრესია. მოდით გამოვიყენოთ ზემოთ მოცემული განცხადება. Ჩვენ გვაქვს:

b n= -3 2 ნ,

b n -1 = -3 2 ნ -1 ,

b n +1 = -3 2 ნ +1 .

აქედან გამომდინარე,

b n 2 = (-3 2 ნ) 2 = (-3 2 ნ -1 ) · (-3 · 2 ნ +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

რომელიც ადასტურებს სასურველ განცხადებას. ◄

Გაითვალისწინე ნ გეომეტრიული პროგრესიის მე-თე ტერმინი შეიძლება მოიძებნოს არა მხოლოდ მეშვეობით ბ 1 , არამედ ნებისმიერი წინა წევრი ბ კ , რისთვისაც საკმარისია ფორმულის გამოყენება

b n = ბ კ · qn - კ.

Მაგალითად,

ამისთვის ბ 5 შეიძლება ჩაიწეროს

ბ 5 = ბ 1 · ქ 4 ,

ბ 5 = ბ 2 · q 3,

ბ 5 = ბ 3 · q 2,

ბ 5 = ბ 4 · ქ. ◄

b n = ბ კ · qn - კ,

b n = b n - კ · q k,

მაშინ აშკარად

b n 2 = b n - კ· b n + კ

გეომეტრიული პროგრესიის ნებისმიერი ტერმინის კვადრატი, დაწყებული მეორიდან, უდრის მისგან თანაბარ მანძილზე დაშორებული ამ პროგრესიის წევრთა ნამრავლს.

გარდა ამისა, ნებისმიერი გეომეტრიული პროგრესიისთვის თანასწორობა მართალია:

ბ მ· b n= ბ კ· ბ ლ,

მ+ ნ= კ+ ლ.

Მაგალითად,

გეომეტრიულ პროგრესიაში

1) ბ 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = ბ 5 · ბ 7 ;

2) 1024 = ბ 11 = ბ 6 · ქ 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) ბ 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = ბ 4 · ბ 8 ;

4) ბ 2 · ბ 7 = ბ 4 · ბ 5 , რადგან

ბ 2 · ბ 7 = 2 · 64 = 128,

ბ 4 · ბ 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= ბ 1 + ბ 2 + ბ 3 + . . . + b n

პირველი ნ გეომეტრიული პროგრესიის წევრები მნიშვნელით ქ ≠ 0 გამოითვლება ფორმულით:

Და როცა ქ = 1 - ფორმულის მიხედვით

S n= ნბ 1

გაითვალისწინეთ, რომ თუ თქვენ გჭირდებათ პირობების შეჯამება

ბ კ, ბ კ +1 , . . . , b n,

შემდეგ გამოიყენება ფორმულა:

S n- ს კ -1 = ბ კ + ბ კ +1 + . . . + b n = ბ კ ·	1 - qn - კ +1	.
	1 - ქ

Მაგალითად,

გეომეტრიულ პროგრესიაში 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

ს 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = ს 10 - ს 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

თუ მოცემულია გეომეტრიული პროგრესია, მაშინ რაოდენობები ბ 1 , b n, ქ, ნდა S n დაკავშირებულია ორი ფორმულით:

მაშასადამე, თუ მოცემული სიდიდის რომელიმე სამი მნიშვნელობებია მოცემული, მაშინ დანარჩენი ორი სიდიდის შესაბამისი მნიშვნელობები განისაზღვრება ამ ფორმულებიდან, რომლებიც გაერთიანებულია ორი განტოლების სისტემაში ორი უცნობით.

პირველი ტერმინით გეომეტრიული პროგრესიისთვის ბ 1 და მნიშვნელი ქ ხდება შემდეგი ერთფეროვნების თვისებები :

• პროგრესირება იზრდება, თუ დაკმაყოფილებულია ერთ-ერთი შემდეგი პირობა:

ბ 1 > 0 და ქ> 1;

ბ 1 < 0 და 0 < ქ< 1;

• პროგრესი მცირდება, თუ დაკმაყოფილებულია ერთ-ერთი შემდეგი პირობა:

ბ 1 > 0 და 0 < ქ< 1;

ბ 1 < 0 და ქ> 1.

თუ ქ< 0 , მაშინ გეომეტრიული პროგრესია მონაცვლეობითია: კენტი რიცხვებით მის წევრებს აქვთ იგივე ნიშანი, რაც მის პირველ წევრს, ხოლო ლუწი რიცხვების მქონე პირებს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. ნათელია, რომ ალტერნატიული გეომეტრიული პროგრესია არ არის მონოტონური.

პირველი პროდუქტი ნ გეომეტრიული პროგრესიის პირობები შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით:

P n= ბ 1 · ბ 2 · ბ 3 · . . . · b n = (ბ 1 · b n) ნ / 2 .

Მაგალითად,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესია

უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესია უსასრულო გეომეტრიულ პროგრესიას უწოდებენ, რომლის მნიშვნელის მოდული ნაკლებია 1 , ანუ

|ქ| < 1 .

გაითვალისწინეთ, რომ უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესია შეიძლება არ იყოს კლებადი მიმდევრობა. ეს შეესაბამება შემთხვევას

1 < ქ< 0 .

ასეთი მნიშვნელით, მიმდევრობა მონაცვლეობითია. Მაგალითად,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი დაასახელეთ რიცხვი, რომელსაც უახლოვდება პირველთა ჯამი შეუზღუდავად ნ პროგრესის წევრები რიცხვის შეუზღუდავი ზრდით ნ . ეს რიცხვი ყოველთვის სასრულია და გამოიხატება ფორმულით

ს= ბ 1 + ბ 2 + ბ 3 + . . . =	ბ 1	.
	1 - ქ

Მაგალითად,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

არითმეტიკული და გეომეტრიული პროგრესიების კავშირი

არითმეტიკული და გეომეტრიული პროგრესიები მჭიდრო კავშირშია. მოდით შევხედოთ მხოლოდ ორ მაგალითს.

ა 1 , ა 2 , ა 3 , . . . დ , ეს

ბ ა 1 , ბ ა 2 , ბ ა 3 , . . . ბ დ .

Მაგალითად,

1, 3, 5, . . . - არითმეტიკული პროგრესია სხვაობით 2 და

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - გეომეტრიული პროგრესია მნიშვნელით 7 2 . ◄

ბ 1 , ბ 2 , ბ 3 , . . . - გეომეტრიული პროგრესია მნიშვნელით ქ , ეს

შესვლა a b 1, შესვლა a b 2, log a b 3, . . . - არითმეტიკული პროგრესია სხვაობით ჟურნალი აქ .

Მაგალითად,

2, 12, 72, . . . - გეომეტრიული პროგრესია მნიშვნელით 6 და

ლგ 2, ლგ 12, ლგ 72, . . . - არითმეტიკული პროგრესია სხვაობით ლგ 6 . ◄

არითმეტიკული პროგრესირების პრობლემები უკვე ძველ დროში არსებობდა. გამოჩნდნენ და გამოსავალი მოითხოვეს, რადგან პრაქტიკული საჭიროება ჰქონდათ.

ასე რომ, ერთ-ერთ პაპირუსში Უძველესი ეგვიპტე", რომელსაც აქვს მათემატიკური შინაარსი - რინდის პაპირუსი (ძვ. წ. XIX ს.) - შეიცავს შემდეგ დავალებას: ათი საზომი პური გაყავით ათ ადამიანზე, იმ პირობით, რომ თითოეულ მათგანს შორის განსხვავება იყოს საზომის ერთი მერვედი."

ძველი ბერძნების მათემატიკურ ნაშრომებში არის ელეგანტური თეორემები, რომლებიც დაკავშირებულია არითმეტიკულ პროგრესირებასთან. ამგვარად, ალექსანდრიის ჰიპსიკულები (II საუკუნე, რომელიც ბევრს შეადგენდა საინტერესო ამოცანებიდა რომელმაც მეთოთხმეტე წიგნი დაამატა ევკლიდეს ელემენტებს, ჩამოაყალიბა აზრი: „არითმეტიკული პროგრესიით, რომელსაც აქვს ლუწი რიცხვების რაოდენობა, მე-2 ნახევრის წევრთა ჯამი მეტია, ვიდრე 1-ის წევრთა ჯამი კვადრატით. ვადების რაოდენობის 1/2-ის“.

თანმიმდევრობა აღინიშნება ან. მიმდევრობის ნომრებს უწოდებენ მის წევრებს და ჩვეულებრივ აღინიშნება ასოებით ინდექსებით, რომლებიც მიუთითებს ამ წევრის სერიულ ნომერზე (a1, a2, a3 ... წაიკითხეთ: "a 1st", "a2nd", "a3" და ასე შემდეგ ).

თანმიმდევრობა შეიძლება იყოს უსასრულო ან სასრული.

რა არის არითმეტიკული პროგრესია? ამაში ვგულისხმობთ მიღებულს წინა ტერმინის (n) იმავე რიცხვით d-ის მიმატებით, რაც არის პროგრესიის სხვაობა.

თუ დ<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, მაშინ ეს პროგრესი ითვლება მზარდად.

არითმეტიკულ პროგრესიას სასრულს უწოდებენ, თუ მხედველობაში მიიღება მხოლოდ მისი პირველი რამდენიმე წევრი. ძალიან დიდი რაოდენობითწევრები უკვე გაუთავებელი პროგრესია.

ნებისმიერი არითმეტიკული პროგრესია განისაზღვრება შემდეგი ფორმულით:

an =kn+b, ხოლო b და k არის რამდენიმე რიცხვი.

საპირისპირო განცხადება აბსოლუტურად მართალია: თუ მიმდევრობა მოცემულია მსგავსი ფორმულით, მაშინ ეს არის ზუსტად არითმეტიკული პროგრესია, რომელსაც აქვს თვისებები:

1. პროგრესიის თითოეული წევრი არის წინა და შემდგომი ტერმინის საშუალო არითმეტიკული.
2. საპირისპირო: თუ მე-2-დან დაწყებული, ყოველი წევრი არის წინა და მომდევნო წევრის საშუალო არითმეტიკული, ე.ი. თუ პირობა დაკმაყოფილებულია, მაშინ ეს თანმიმდევრობა არის არითმეტიკული პროგრესია. ეს თანასწორობა ასევე პროგრესირების ნიშანია, რის გამოც მას ჩვეულებრივ პროგრესირების დამახასიათებელ თვისებას უწოდებენ.
   ანალოგიურად, ჭეშმარიტია თეორემა, რომელიც ასახავს ამ თვისებას: მიმდევრობა არის არითმეტიკული პროგრესია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ეს თანასწორობა ჭეშმარიტია მიმდევრობის რომელიმე ტერმინისთვის, დაწყებული მე-2-ით.

არითმეტიკული პროგრესიის ნებისმიერი ოთხი რიცხვისთვის დამახასიათებელი თვისება შეიძლება გამოიხატოს ფორმულით an + am = ak + al, თუ n + m = k + l (m, n, k არის პროგრესიის რიცხვები).

არითმეტიკული პროგრესიით, ნებისმიერი აუცილებელი (Nth) ტერმინი შეიძლება მოიძებნოს შემდეგი ფორმულის გამოყენებით:

მაგალითად: პირველი წევრი (a1) არითმეტიკულ პროგრესიაში მოცემულია და უდრის სამს, ხოლო სხვაობა (d) უდრის ოთხს. თქვენ უნდა იპოვოთ ამ პროგრესიის ორმოცდამეხუთე ტერმინი. a45 = 1+4 (45-1) = 177

ფორმულა an = ak + d(n - k) საშუალებას გაძლევთ დაადგინოთ არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრი მისი ნებისმიერი kth წევრის მეშვეობით, იმ პირობით, რომ ეს ცნობილია.

არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა ჯამი (იგულისხმება სასრული პროგრესიის პირველი n წევრი) გამოითვლება შემდეგნაირად:

Sn = (a1+an) n/2.

თუ პირველი ტერმინი ასევე ცნობილია, მაშინ სხვა ფორმულა მოსახერხებელია გამოსათვლელად:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი, რომელიც შეიცავს n წევრს, გამოითვლება შემდეგნაირად:

გამოთვლების ფორმულების არჩევანი დამოკიდებულია პრობლემების პირობებზე და საწყის მონაცემებზე.

ნებისმიერი რიცხვის ბუნებრივი რიგი, როგორიცაა 1,2,3,...,n,...- უმარტივესი მაგალითიარითმეტიკული პროგრესია.

არითმეტიკული პროგრესიის გარდა, არსებობს გეომეტრიული პროგრესიაც, რომელსაც აქვს თავისი თვისებები და მახასიათებლები.