კვადრატული განტოლებები მოდულით, ამონახსნების მაგალითები. რიცხვის მოდული (რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა), განმარტებები, მაგალითები, თვისებები

სტუდენტებისთვის ერთ-ერთი ყველაზე რთული თემაა მოდულის ნიშნის ქვეშ ცვლადის შემცველი განტოლებების ამოხსნა. ჯერ გავარკვიოთ, რას უკავშირდება ეს? მაგალითად, რატომ არღვევს ბავშვების უმეტესობა კვადრატულ განტოლებებს თხილის მსგავსად, მაგრამ აქვს ამდენი პრობლემა ისეთი რთული კონცეფციისგან, როგორიცაა მოდული?

ჩემი აზრით, ყველა ეს სირთულე დაკავშირებულია მოდულით განტოლებების ამოხსნის მკაფიოდ ჩამოყალიბებული წესების ნაკლებობასთან. ასე რომ, გადაწყვეტილების მიღება კვადრატული განტოლება, მოსწავლემ ზუსტად იცის, რომ ჯერ უნდა გამოიყენოს დისკრიმინაციული ფორმულა, შემდეგ კი კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულები. რა უნდა გააკეთოს, თუ განტოლებაში ნაპოვნია მოდული? ჩვენ შევეცდებით ნათლად აღვწეროთ საჭირო გეგმამოქმედებები იმ შემთხვევაში, როდესაც განტოლება შეიცავს უცნობს მოდულის ნიშნის ქვეშ. თითოეული შემთხვევისთვის რამდენიმე მაგალითს მოვიყვანთ.

მაგრამ ჯერ გავიხსენოთ მოდულის განმარტება. ასე რომ, მოდული ნომერი აამ ნომერს თავად ჰქვია თუ აარაუარყოფითი და -ათუ ნომერი ანულზე ნაკლები. შეგიძლიათ დაწეროთ ასე:

|ა| = a თუ a ≥ 0 და |a| = -a თუ ა< 0

მოდულის გეომეტრიულ მნიშვნელობაზე საუბრისას, უნდა გვახსოვდეს, რომ თითოეული რეალური რიცხვი შეესაბამება რიცხვთა ღერძის გარკვეულ წერტილს - მისი კოორდინაცია. ამრიგად, რიცხვის მოდული ან აბსოლუტური მნიშვნელობა არის მანძილი ამ წერტილიდან რიცხვითი ღერძის საწყისამდე. მანძილი ყოველთვის მითითებულია როგორც დადებითი რიცხვი. ამრიგად, ნებისმიერი უარყოფითი რიცხვის მოდული არის დადებითი რიცხვი. სხვათა შორის, ამ ეტაპზეც ბევრი სტუდენტი იწყებს დაბნეულობას. მოდული შეიძლება შეიცავდეს ნებისმიერ რიცხვს, მაგრამ მოდულის გამოყენების შედეგი ყოველთვის დადებითი რიცხვია.

ახლა პირდაპირ გადავიდეთ განტოლებების ამოხსნაზე.

1. განვიხილოთ ფორმის განტოლება |x| = c, სადაც c არის რეალური რიცხვი. ეს განტოლება შეიძლება ამოხსნას მოდულის განსაზღვრის გამოყენებით.

ყველა ნამდვილ რიცხვს ვყოფთ სამ ჯგუფად: ნულზე მეტი, ნულზე ნაკლები და მესამე ჯგუფი არის რიცხვი 0. ამონახსანს ვწერთ დიაგრამის სახით:

(±c, თუ c > 0

თუ |x| = c, მაშინ x = (0, თუ c = 0

(ძირები არ არის, თუ აქვს< 0

1) |x| = 5, რადგან 5 > 0, შემდეგ x = ±5;

2) |x| = -5, რადგან -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, შემდეგ x = 0.

2. |f(x)| ფორმის განტოლება = b, სადაც b > 0. ამ განტოლების ამოსახსნელად საჭიროა მოდულის მოშორება. ჩვენ ვაკეთებთ ასე: f(x) = b ან f(x) = -b. ახლა თქვენ უნდა ამოხსნათ თითოეული მიღებული განტოლება ცალკე. თუ თავდაპირველ განტოლებაში ბ< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, რადგან 4 > 0, მაშინ

x + 2 = 4 ან x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, რადგან 11 > 0, მაშინ

x 2 – 5 = 11 ან x 2 – 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 ფესვების გარეშე

3) |x 2 – 5x| = -8, რადგან -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. |f(x)|-ის ფორმის განტოლება = g(x). მოდულის მნიშვნელობის მიხედვით, ასეთ განტოლებას ექნება ამონახსნები თუ მას მარჯვენა ნაწილინულის მეტი ან ტოლი, ე.ი. g(x) ≥ 0. მაშინ გვექნება:

f(x) = g(x)ან f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x – 10. ამ განტოლებას ექნება ფესვები, თუ 5x – 10 ≥ 0. აქედან იწყება ასეთი განტოლებების ამოხსნა.

1. ო.დ.ზ. 5x – 10 ≥ 0

2. გამოსავალი:

2x – 1 = 5x – 10 ან 2x – 1 = -(5x – 10)

3. ვაერთებთ O.D.Z. და გამოსავალს ვიღებთ:

ფესვი x = 11/7 არ შეესაბამება O.D.Z.-ს, ის 2-ზე ნაკლებია, მაგრამ x = 3 აკმაყოფილებს ამ პირობას.

პასუხი: x = 3

2) |x – 1| = 1 – x 2.

1. ო.დ.ზ. 1 – x 2 ≥ 0. ამ უტოლობას ამოვხსნათ ინტერვალის მეთოდით:

(1 – x) (1 + x) ≥ 0

2. გამოსავალი:

x – 1 = 1 – x 2 ან x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 ან x = 1 x = 0 ან x = 1

3. ვაერთებთ ხსნარს და O.D.Z.:

მხოლოდ ფესვები x = 1 და x = 0 არის შესაფერისი.

პასუხი: x = 0, x = 1.

4. |f(x)| ფორმის განტოლება = |g(x)|. ასეთი განტოლება უდრის შემდეგ ორ განტოლებას f(x) = g(x) ან f(x) = -g(x).

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. ეს განტოლება უდრის შემდეგ ორს:

x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 ან x 2 – 5x +7 = -2x + 5

x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0

x = 3 ან x = 4 x = 2 ან x = 1

პასუხი: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. ჩანაცვლების მეთოდით ამოხსნილი განტოლებები (ცვლადის ჩანაცვლება). გადაწყვეტის ამ მეთოდის ახსნა ყველაზე მარტივია კონკრეტული მაგალითით. მაშ ასე, მოგვცეს კვადრატული განტოლება მოდულით:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. მოდულის თვისებით x 2 = |x| 2, ასე რომ განტოლება შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. გავაკეთოთ ჩანაცვლება |x| = t ≥ 0, მაშინ გვექნება:

t 2 – 6t + 5 = 0. ამ განტოლების ამოხსნით ვხვდებით, რომ t = 1 ან t = 5. დავუბრუნდეთ ჩანაცვლებას:

|x| = 1 ან |x| = 5

x = ±1 x = ±5

პასუხი: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

მოდით შევხედოთ სხვა მაგალითს:

x 2 + |x| – 2 = 0. მოდულის თვისებით x 2 = |x| 2, შესაბამისად

|x| 2 + |x| – 2 = 0. გავაკეთოთ ჩანაცვლება |x| = t ≥ 0, მაშინ:

t 2 + t – 2 = 0. ამ განტოლების ამოხსნით მივიღებთ t = -2 ან t = 1. დავუბრუნდეთ ჩანაცვლებას:

|x| = -2 ან |x| = 1

ფესვები არ არის x = ± 1

პასუხი: x = -1, x = 1.

6. განტოლების კიდევ ერთი ტიპია განტოლებები "კომპლექსური" მოდულით. ასეთი განტოლებები მოიცავს განტოლებებს, რომლებსაც აქვთ „მოდულები მოდულში“. ამ ტიპის განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია მოდულის თვისებების გამოყენებით.

1) |3 – |x|| = 4. ჩვენ ვიმოქმედებთ ისევე, როგორც მეორე ტიპის განტოლებებში. იმიტომ რომ 4 > 0, მაშინ მივიღებთ ორ განტოლებას:

3 – |x| = 4 ან 3 – |x| = -4.

ახლა გამოვხატოთ x მოდული თითოეულ განტოლებაში, შემდეგ |x| = -1 ან |x| = 7.

ჩვენ ვხსნით თითოეულ მიღებულ განტოლებას. პირველ განტოლებაში ფესვები არ არის, რადგან -1< 0, а во втором x = ±7.

უპასუხეთ x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. ჩვენ ამ განტოლებას ვხსნით ანალოგიურად:

3 + |x + 1| = 5 ან 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 ან x + 1 = -2. არავითარი ფესვები.

პასუხი: x = -3, x = 1.

Არსებობს ასევე უნივერსალური მეთოდიგანტოლებების ამოხსნა მოდულით. ეს არის ინტერვალის მეთოდი. მაგრამ ჩვენ მოგვიანებით განვიხილავთ.

ვებსაიტზე, მასალის სრულად ან ნაწილობრივ კოპირებისას საჭიროა წყაროს ბმული.

ჩვენ არ ვირჩევთ მათემატიკასმისი პროფესია და ის ირჩევს ჩვენ.

რუსი მათემატიკოსი იუ.ი. მანინი

განტოლებები მოდულით

სასკოლო მათემატიკაში ყველაზე რთული ამოსახსნელი ამოცანებია მოდულის ნიშნის ქვეშ ცვლადების შემცველი განტოლებები. ამისთვის წარმატებული გადაწყვეტაასეთი განტოლებისთვის, თქვენ უნდა იცოდეთ მოდულის განმარტება და ძირითადი თვისებები. ბუნებრივია, სტუდენტებს უნდა ჰქონდეთ ამ ტიპის განტოლებების ამოხსნის უნარები.

ძირითადი ცნებები და თვისებები

რეალური რიცხვის მოდული (აბსოლუტური მნიშვნელობა).აღინიშნება და განისაზღვრება შემდეგნაირად:

TO მარტივი თვისებებიმოდული მოიცავს შემდეგ ურთიერთობებს:

Შენიშვნა, რომ ბოლო ორი თვისება მოქმედებს ნებისმიერი ლუწი ხარისხისთვის.

უფრო მეტიც, თუ სად, მაშინ და

უფრო რთული მოდულის თვისებები, რომელიც შეიძლება ეფექტურად იქნას გამოყენებული მოდულებით განტოლებების ამოხსნისას, ჩამოყალიბებულია შემდეგი თეორემების მეშვეობით:

თეორემა 1.ნებისმიერი ანალიტიკური ფუნქციისთვისდა უთანასწორობა მართალია

თეორემა 2.თანასწორობა უთანასწორობის ტოლფასია.

თეორემა 3.Თანასწორობა უთანასწორობის ტოლფასია.

მოდით გადავხედოთ ამოცანების ამოხსნის ტიპურ მაგალითებს თემაზე „განტოლებები, მოდულის ნიშნის ქვეშ ცვლადების შემცველი“.

განტოლებების ამოხსნა მოდულით

ყველაზე გავრცელებულია სკოლის მათემატიკამოდულით განტოლებების ამოხსნის მეთოდი არის მეთოდი, მოდულის გაფართოების საფუძველზე. ეს მეთოდი უნივერსალურია, თუმცა, ზოგადად, მისმა გამოყენებამ შეიძლება გამოიწვიოს ძალიან რთული გამოთვლები. ამასთან დაკავშირებით სტუდენტებმა სხვა უნდა იცოდნენ, მეტი ეფექტური მეთოდებიდა ასეთი განტოლებების ამოხსნის ტექნიკა. Კერძოდ, აუცილებელია თეორემების გამოყენების უნარ-ჩვევები, მოცემულ სტატიაში.

მაგალითი 1.ამოხსენით განტოლება. (1)

გამოსავალი. განტოლებას (1) გადავწყვეტთ „კლასიკური“ მეთოდით – მოდულების გამოვლენის მეთოდით. ამისათვის მოდით გავყოთ რიცხვითი ღერძიწერტილები და ინტერვალებით და განიხილეთ სამი შემთხვევა.

1. თუ , მაშინ , , და განტოლება (1) იღებს ფორმას. აქედან გამომდინარეობს. თუმცა, აქ, შესაბამისად, ნაპოვნი მნიშვნელობა არ არის (1) განტოლების ფესვი.

2. თუ, შემდეგ (1) განტოლებიდან ვიღებთან .

Მას შემდეგ (1) განტოლების ფესვი.

3. თუ, შემდეგ განტოლება (1) იღებს ფორმასან . აღვნიშნოთ, რომ.

პასუხი: ,.

მოდულით შემდგომი განტოლებების ამოხსნისას ჩვენ აქტიურად გამოვიყენებთ მოდულების თვისებებს, რათა გავზარდოთ ასეთი განტოლებების ამოხსნის ეფექტურობა.

მაგალითი 2.ამოხსენით განტოლება.

გამოსავალი.მას შემდეგ, რაც და შემდეგ განტოლებიდან გამომდინარეობს. Ამ მხრივ, , , და განტოლება იღებს ფორმას. აქედან ვიღებთ. თუმცა, ამიტომ თავდაპირველ განტოლებას არ აქვს ფესვები.

პასუხი: არ არის ფესვები.

მაგალითი 3.ამოხსენით განტოლება.

გამოსავალი.Მას შემდეგ. თუ, მაშინ და განტოლება იღებს ფორმას.

აქედან ვიღებთ.

მაგალითი 4.ამოხსენით განტოლება.

გამოსავალი.მოდით გადავწეროთ განტოლება ეკვივალენტური ფორმით. (2)

მიღებული განტოლება მიეკუთვნება ტიპის განტოლებებს.

თეორემა 2-ის გათვალისწინებით, შეიძლება ითქვას, რომ განტოლება (2) უდრის უტოლობას. აქედან ვიღებთ.

პასუხი:.

მაგალითი 5.ამოხსენით განტოლება.

გამოსავალი. ამ განტოლებას აქვს ფორმა. Ამიტომაც , თეორემა 3-ის მიხედვით, აქ გვაქვს უთანასწორობაან .

მაგალითი 6.ამოხსენით განტოლება.

გამოსავალი.დავუშვათ, რომ. რადგან, მაშინ მოცემული განტოლება იღებს კვადრატული განტოლების ფორმას, (3)

სად . ვინაიდან განტოლებას (3) აქვს უნიკალური დადებითი ფესვი და მერე . აქედან ვიღებთ ორიგინალური განტოლების ორ ფესვს:და .

მაგალითი 7. ამოხსენით განტოლება. (4)

გამოსავალი. განტოლებიდან გამომდინარეუდრის ორი განტოლების კომბინაციას:და მაშინ (4) განტოლების ამოხსნისას აუცილებელია ორი შემთხვევის გათვალისწინება.

1. თუ , მაშინ ან .

აქედან ვიღებთ და .

2. თუ , მაშინ ან .

Მას შემდეგ.

პასუხი: , , , .

მაგალითი 8.ამოხსენით განტოლება . (5)

გამოსავალი.მას მერე და მერე . აქედან და (5) განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ და, ე.ი. აქ გვაქვს განტოლებათა სისტემა

თუმცა, განტოლებების ეს სისტემა არათანმიმდევრულია.

პასუხი: არ არის ფესვები.

მაგალითი 9. ამოხსენით განტოლება. (6)

გამოსავალი.თუ აღვნიშნავთ, მაშინ და (6) განტოლებიდან ვიღებთ

ან . (7)

ვინაიდან განტოლებას (7) აქვს ფორმა, ეს განტოლება უდრის უტოლობას. აქედან ვიღებთ. მას შემდეგ ან .

პასუხი:.

მაგალითი 10.ამოხსენით განტოლება. (8)

გამოსავალი.თეორემა 1-ის მიხედვით შეგვიძლია დავწეროთ

(9)

განტოლების (8) გათვალისწინებით, დავასკვნით, რომ ორივე უტოლობა (9) გადაიქცევა ტოლებად, ე.ი. არსებობს განტოლებათა სისტემა

თუმცა, თეორემა 3-ის მიხედვით, განტოლებათა ზემოაღნიშნული სისტემა უდრის უტოლობათა სისტემას.

(10)

უტოლობების სისტემის ამოხსნით (10) ვიღებთ . ვინაიდან უტოლობების სისტემა (10) უდრის განტოლებას (8), თავდაპირველ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი.

პასუხი:.

მაგალითი 11. ამოხსენით განტოლება. (11)

გამოსავალი.მოდით და, მაშინ ტოლობა გამომდინარეობს განტოლებიდან (11).

აქედან გამომდინარეობს, რომ და. ამრიგად, აქ გვაქვს უთანასწორობის სისტემა

ამ უთანასწორობის სისტემის გამოსავალი არისდა .

პასუხი: ,.

მაგალითი 12.ამოხსენით განტოლება. (12)

გამოსავალი. განტოლება (12) ამოიხსნება მოდულების თანმიმდევრული გაფართოების მეთოდით. ამისათვის განვიხილოთ რამდენიმე შემთხვევა.

1. თუ , მაშინ .

1.1. თუ , მაშინ და , .

1.2. თუ, მაშინ. თუმცა, შესაბამისად, ამ შემთხვევაში განტოლებას (12) არ აქვს ფესვები.

2. თუ , მაშინ .

2.1. თუ , მაშინ და , .

2.2. თუ , მაშინ და .

პასუხი: , , , , .

მაგალითი 13.ამოხსენით განტოლება. (13)

გამოსავალი.Იმიტომ რომ მარცხენა მხარეგანტოლება (13) არის არაუარყოფითი, მაშინ . ამასთან დაკავშირებით და განტოლება (13)

იღებს ფორმას ან.

ცნობილია, რომ განტოლება უდრის ორი განტოლების ერთობლიობასდა რომლის ამოხსნაც მივიღებთ, . რადგან, მაშინ განტოლებას (13) აქვს ერთი ფესვი.

პასუხი:.

მაგალითი 14. განტოლებათა სისტემის ამოხსნა (14)

გამოსავალი.მას შემდეგ, რაც და, შემდეგ და. შესაბამისად, განტოლებათა სისტემიდან (14) ვიღებთ განტოლებათა ოთხ სისტემას:

განტოლებათა ზემოაღნიშნული სისტემების ფესვები არის განტოლებათა სისტემის ფესვები (14).

პასუხი: ,, , , , , , .

მაგალითი 15. განტოლებათა სისტემის ამოხსნა (15)

გამოსავალი.Მას შემდეგ. ამასთან დაკავშირებით განტოლებათა სისტემიდან (15) ვიღებთ განტოლებათა ორ სისტემას

განტოლებათა პირველი სისტემის ფესვებია და , ხოლო განტოლებათა მეორე სისტემიდან ვიღებთ და .

პასუხი: , , , .

მაგალითი 16. განტოლებათა სისტემის ამოხსნა (16)

გამოსავალი.სისტემის (16) პირველი განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ .

Მას შემდეგ . განვიხილოთ სისტემის მეორე განტოლება. Იმიტომ რომ, ეს, და განტოლება იღებს ფორმას, , ან .

თუ შეცვლით მნიშვნელობასსისტემის პირველ განტოლებაში (16), მაშინ , ან .

პასუხი: ,.

პრობლემის გადაჭრის მეთოდების უფრო ღრმა შესწავლისთვის, განტოლებების ამოხსნასთან დაკავშირებული, მოდულის ნიშნის ქვეშ ცვლადების შემცველი, შეგიძლიათ რჩევა სასწავლო საშუალებებირეკომენდებული ლიტერატურის სიიდან.

1. მათემატიკაში ამოცანების კრებული კოლეჯების მსურველთათვის / რედ. მ.ი. სკანავი. - მ.: მშვიდობა და განათლება, 2013. – 608გვ.

2. სუპრუნი ვ.პ. მათემატიკა საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის: გაზრდილი სირთულის ამოცანები. – M.: CD “Librocom” / URSS, 2017. – 200გვ.

3. სუპრუნი ვ.პ. მათემატიკა საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის: ამოცანების გადაჭრის არასტანდარტული მეთოდები. – M.: CD “Librocom” / URSS, 2017. – 296გვ.

ჯერ კიდევ გაქვთ შეკითხვები?

დამრიგებლის დახმარების მისაღებად დარეგისტრირდით.

ვებსაიტზე, მასალის სრულად ან ნაწილობრივ კოპირებისას საჭიროა წყაროს ბმული.

ტოჩილკინა იულია

ნაშრომში წარმოდგენილია მოდულით განტოლებების ამოხსნის სხვადასხვა მეთოდი.

ჩამოტვირთვა:

გადახედვა:

მუნიციპალური საბიუჯეტო საგანმანათლებლო დაწესებულება

„59-ე საშუალო სკოლა“

განტოლებები მოდულით

აბსტრაქტული ნამუშევარი

Შესრულებული 9ა კლასის მოსწავლე

MBOU "Secondary School No. 59" ბარნაული

ტოჩილკინა იულია

ზედამხედველი

ზახაროვა ლუდმილა ვლადიმეროვნა,

მათემატიკის მასწავლებელი

MBOU "Secondary School No. 59" ბარნაული

ბარნაული 2015 წ

შესავალი

მეცხრე კლასში ვარ. ამ სასწავლო წელს მომიწევს საბაზო სასკოლო კურსის დასკვნითი ატესტატის აღება. გამოცდისთვის მოსამზადებლად შევიძინეთ დ.ა. მალცევის მათემატიკის კოლექცია. მე-9 კლასი. კრებულის დათვალიერებისას აღმოვაჩინე განტოლებები, რომლებიც შეიცავს არა მხოლოდ ერთ, არამედ რამდენიმე მოდულს. მასწავლებელმა მე და ჩემს კლასელებს ამიხსნა, რომ ასეთ განტოლებებს ეწოდება "ბუდებული მოდულის" განტოლებები. ეს სახელი უჩვეულოდ გვეჩვენა და გამოსავალი, ერთი შეხედვით, საკმაოდ რთული იყო. ასე გაჩნდა ჩემი ნამუშევრის თემა "განტოლებები მოდულით". გადავწყვიტე უფრო ღრმად შემესწავლა ეს თემა, მით უმეტეს, რომ გამომადგება ბოლოს გამოცდების ჩაბარებისას სასწავლო წელიდა ვფიქრობ, რომ საჭირო იქნება მე-10 და მე-11 კლასებში. ყოველივე ზემოთქმული განსაზღვრავს ჩემს მიერ არჩეული თემის აქტუალურობას.

სამუშაოს მიზანი:

განვიხილოთ სხვადასხვა მეთოდებიგანტოლებების ამოხსნა მოდულით.
ისწავლეთ აბსოლუტური მნიშვნელობის ნიშნის შემცველი განტოლებების ამოხსნა სხვადასხვა მეთოდების გამოყენებით

თემაზე სამუშაოდ ჩამოყალიბდა შემდეგი ამოცანები:

Დავალებები:

შეისწავლეთ თეორიული მასალა თემაზე „ნამდვილი რიცხვის მოდული“.
განვიხილოთ განტოლებების ამოხსნის მეთოდები და მიღებული ცოდნის კონსოლიდაცია ამოცანების ამოხსნით.
მიღებული ცოდნის გამოყენება საშუალო სკოლაში მოდულის ნიშნის შემცველი სხვადასხვა განტოლების ამოხსნისას

კვლევის ობიექტი:მოდულებით განტოლებების ამოხსნის მეთოდები

კვლევის საგანი:განტოლებები მოდულით

Კვლევის მეთოდები:

თეორიული : ლიტერატურის შესწავლა საკვლევ თემაზე;

ინტერნეტი - ინფორმაცია.

ანალიზი ლიტერატურის შესწავლით მიღებული ინფორმაცია; მოდულით განტოლებების ამოხსნისას მიღებული შედეგები სხვადასხვა გზები.

შედარება განტოლებების ამოხსნის მეთოდები არის მათი გამოყენების რაციონალურობის საგანი სხვადასხვა განტოლების მოდულით ამოხსნისას.

”ჩვენ ვიწყებთ ფიქრს, როდესაც რაღაცას ვეცემით.” პოლ ვალერი.

1. ცნებები და განმარტებები.

„მოდულის“ ცნება ფართოდ გამოიყენება სასკოლო მათემატიკის კურსის ბევრ განყოფილებაში, მაგალითად, სავარაუდო რიცხვის აბსოლუტური და ფარდობითი შეცდომების შესწავლისას; გეომეტრიასა და ფიზიკაში შესწავლილია ვექტორის და მისი სიგრძის ცნებები (ვექტორული მოდული). მოდულის ცნებები გამოიყენება უმაღლეს საგანმანათლებლო დაწესებულებებში შესწავლილი უმაღლესი მათემატიკის, ფიზიკისა და ტექნიკური მეცნიერებების კურსებში.

სიტყვა "მოდული" მომდინარეობს ლათინური სიტყვიდან "modulus", რაც ნიშნავს "ზომას". ამ სიტყვას მრავალი მნიშვნელობა აქვს და გამოიყენება არა მხოლოდ მათემატიკაში, ფიზიკასა და ტექნოლოგიაში, არამედ არქიტექტურაში, პროგრამირებასა და სხვა ზუსტ მეცნიერებებში.

ითვლება, რომ ტერმინი შემოგვთავაზა კოტესმა, ნიუტონის სტუდენტმა. მოდულის ნიშანი მე-19 საუკუნეში შემოიღო ვეიერშტრასმა.

არქიტექტურაში მოდული არის გაზომვის საწყისი ერთეული, რომელიც დადგენილია მოცემული არქიტექტურული სტრუქტურისთვის.

ტექნოლოგიაში ეს არის ტერმინი, რომელიც გამოიყენება სხვადასხვა სფეროებშიტექნოლოგია, რომელიც ემსახურება სხვადასხვა კოეფიციენტებისა და რაოდენობის განსაზღვრას, მაგალითად, ელასტიურობის მოდულს, ჩართულობის მოდულს...

მათემატიკაში მოდულს რამდენიმე მნიშვნელობა აქვს, მაგრამ მე მას რიცხვის აბსოლუტურ მნიშვნელობად მივიჩნევ.

განმარტება 1: რეალური რიცხვის მოდული (აბსოლუტური მნიშვნელობა).ა ამ ნომერს თავად ჰქვია თუა ≥0, ან საპირისპირო რიცხვი -და თუ ა ნულის მოდული არის ნული.

მოდულით განტოლებების ამოხსნისას მოსახერხებელია მოდულის თვისებების გამოყენება.

განვიხილოთ თვისებების მტკიცებულება 5,6,7.

დებულება 5. ტოლობა │ a+b │=│ a │+│ b │ მართალია, თუ av ≥ 0.

მტკიცებულება. მართლაც, ამ ტოლობის ორივე მხარის კვადრატში გამოყვანის შემდეგ მივიღებთ │-ს a+b │²=│ a │²+2│ ab │+│ c │²,

a²+ 2 ab+b²=a²+ 2│ ab │+ b², საიდანაც │ ab │= ab

და ბოლო თანასწორობა იქნება ჭეშმარიტი, როცა av ≥0.

დებულება 6. ტოლობა │ a-c │=│ a │+│ c │ მართალია, როდესაც av ≤0.

მტკიცებულება. ამის დასამტკიცებლად საკმარისია თანასწორობაში

│ а+в │=│ а │+│ в │ შეცვალეთ В --ით, შემდეგ а· (- в ) ≥0, საიდანაც ав ≤0.

დებულება 7. ტოლობა │ a │+│ b │= a+b შესრულდა a ≥0 და b ≥0.

მტკიცებულება . განიხილა ოთხი შემთხვევა a ≥0 და b ≥0; a ≥0 და c ა ≥0-ში; ა ვ a ≥0 და b ≥0.

(a-c) ≥0-ში.

გეომეტრიული ინტერპრეტაცია

|ა| - ეს არის მანძილი კოორდინატთა ხაზზე კოორდინატთან არსებული წერტილიდანა , წარმოშობამდე.

|-ა| |ა|

A 0 a x

|ა|-ის მნიშვნელობის გეომეტრიული ინტერპრეტაცია ნათლად ადასტურებს, რომ |-a|=|a|

Თუ 0, მაშინ კოორდინატთა ხაზზე არის ორი წერტილი a და –a, ნულიდან თანაბარ მანძილზე, რომელთა მოდულები ტოლია.

თუ a=0, მაშინ კოორდინატთა ხაზზე |a| წარმოდგენილია 0 წერტილით.

განმარტება 2: განტოლება მოდულით არის განტოლება, რომელიც შეიცავს ცვლადს აბსოლუტური მნიშვნელობის ნიშნის ქვეშ (მოდულის ნიშნის ქვეშ). მაგალითად: |x +3|=1

განმარტება 3: განტოლების ამოხსნა ნიშნავს მისი ყველა ფესვის პოვნას, ან იმის მტკიცებას, რომ ფესვები არ არსებობს.

2. გადაწყვეტის მეთოდები

მოდულის განმარტებიდან და თვისებებიდან გამომდინარეობს მოდულით განტოლებების ამოხსნის ძირითადი მეთოდები:

მოდულის "გაფართოება" (ანუ განმარტების გამოყენება);
მოდულის გეომეტრიული მნიშვნელობის გამოყენება (საკუთრება 2);
გრაფიკული ამოხსნის მეთოდი;
ეკვივალენტური გარდაქმნების გამოყენება (თვისებები 4.6);
ცვლადის ჩანაცვლება (ეს იყენებს თვისებას 5).
ინტერვალის მეთოდი.

საკმარისად გადავწყვიტე დიდი რიცხვიმაგალითები, მაგრამ ნამუშევარში თქვენს ყურადღებას წარმოგიდგენთ მხოლოდ რამდენიმე, ჩემი აზრით, ტიპურ მაგალითებს, რომლებიც გადაჭრილია სხვადასხვა გზით, რადგან დანარჩენი დუბლირებს ერთმანეთს და იმის გასაგებად, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ განტოლებები მოდულით, არ არის საჭირო განიხილეთ ყველა ამოხსნილი მაგალითი.

განტოლებების ამოხსნა | f(x)| =ა

განვიხილოთ განტოლება | f(x)| =ა, რ

ამ ტიპის განტოლება შეიძლება ამოიხსნას მოდულის განსაზღვრით:

თუ ა მაშინ განტოლებას ფესვები არ აქვს.

თუ a= 0, მაშინ განტოლება უდრის f(x)=0-ს.

თუ a>0, მაშინ განტოლება სიმრავლის ტოლფასია

მაგალითი. ამოხსენით განტოლება |3x+2|=4.

გამოსავალი.

|3x+2|=4, შემდეგ 3x+2=4,

3x+2= -4;

X=-2,

X=2/3

პასუხი: -2;2/3.

განტოლებების ამოხსნა მოდულის გეომეტრიული თვისებების გამოყენებით.

მაგალითი 1. ამოხსენით განტოლება /x-1/+/x-3/=6.

გამოსავალი.

ამ განტოლების ამოხსნა ნიშნავს Ox-ის რიცხვით ღერძზე ყველა ასეთი წერტილის პოვნას, რომელთაგან თითოეულისთვის მანძილების ჯამი მისგან 1 და 3 კოორდინატების მქონე წერტილებამდე უდრის 6-ს.

არც ერთი წერტილი სეგმენტიდანარ აკმაყოფილებს ამ პირობას, რადგან მითითებული მანძილების ჯამი არის 2. ამ სეგმენტის გარეთ არის ორი წერტილი: 5 და -1.

1 1 3 5

პასუხი: -1;5

მაგალითი 2. განტოლების ამოხსნა |x 2 +x-5|+|x 2 +x-9|=10.

გამოსავალი.

ავღნიშნოთ x 2 +x-5= a, შემდეგ / a /+/ a-4 /=10. ვიპოვოთ ოქსის ღერძზე ისეთი წერტილები, რომ თითოეული მათგანისთვის 0 და 4 კოორდინატების მქონე წერტილებამდე მანძილების ჯამი 10-ის ტოლია. ამ პირობას აკმაყოფილებს -4 და 7.

3 0 4 7

ანუ x 2 +x-5= 4 x 2 +x-5=7

X 2 +x-2=0 x 2 +x-12=0

X 1= 1, x 2= -2 x 1= -4, x 2= 3 პასუხი: -4;-2; 1; 3.

განტოლებების ამოხსნა | f(x)| = | g(x)|.

წლიდან | a |=|in |, თუ a= in, შემდეგ ფორმის განტოლება | f(x)| = | გ(x )| მთლიანობის ტოლფასი

მაგალითი 1.

ამოხსენით განტოლება | x –2| = |3 – x |.

გამოსავალი.

ეს განტოლება უდრის ორ განტოლებას:

x – 2 = 3 – x (1) და x – 2 = –3 + x (2)

2 x = 5 –2 = –3 – არასწორია

X = 2.5 განტოლებას არ აქვს ამონახსნები.

პასუხი: 2.5.

მაგალითი 2.

განტოლების ამოხსნა |x 2 +3x-20|= |x 2 -3x+ 2|.

გამოსავალი.

ვინაიდან განტოლების ორივე მხარე არაუარყოფითია, მაშინკვადრატი არის ეკვივალენტური ტრანსფორმაცია:

(x 2 +3x-20) 2 = (x 2 -3x+2) 2

(x 2 +3x-20) 2 - (x 2 -3x+2) 2 =0,

(x 2 +3x-20-x 2 +3x-2) (x 2 +3x-20+x 2 -3x+2)=0,

(6x-22)(2x2 -18)=0,

6x-22=0 ან 2x 2 -18=0;

X=22/6, x=3, x=-3.

X=11/3

პასუხი: -3; 3; 11/3.

ხედის განტოლების ამოხსნა | f(x)| = g(x).

განსხვავება ამ განტოლებებს შორის და| f(x)| =ა ის ფაქტი, რომ მარჯვენა მხარე ასევე ცვლადია. და ეს შეიძლება იყოს როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი. ამიტომ, თქვენ უნდა დარწმუნდეთ, რომ ის არაუარყოფითია, რადგან მოდული არ შეიძლება იყოს უარყოფითი რიცხვის ტოლი (თვისება№1 )

1 გზა

განტოლების ამოხსნა | f(x)| = გ(x ) მცირდება განტოლებათა ამონახსნების სიმრავლემდედა უთანასწორობის სამართლიანობის შემოწმებაგ(x )>0 უცნობის ნაპოვნი მნიშვნელობებისთვის.

მეთოდი 2 (მოდულის განმარტებით)

წლიდან | f(x)| = g(x) თუ f(x) = 0; | f(x)| = - f(x) თუ f(x)

მაგალითი.

განტოლების ამოხსნა |3 x –10| = x – 2.

გამოსავალი.

ეს განტოლება უდრის ორი სისტემის კომბინაციას:

პასუხი: 3; 4.

ფორმის განტოლების ამოხსნა |ვ 1 (x)|+|f 2 (x)|+…+|f n (x)|=g(x)

ამ ტიპის განტოლებების ამოხსნა ეფუძნება მოდულის განსაზღვრას. თითოეული ფუნქციისთვის f 1 (x), f 2 (x), …, f n (x) აუცილებელია ვიპოვოთ განსაზღვრების სფერო, მისი ნულები და უწყვეტობის წერტილები, განსაზღვრების ზოგადი დომენის დაყოფა ინტერვალებად, რომელთაგან თითოეულში არის f ფუნქციები. 1 (x), f 2 (x), …, f n (x) შეინარჩუნონ თავიანთი ნიშანი. შემდეგი, მოდულის განმარტების გამოყენებით, თითოეული ნაპოვნი სფეროსთვის ვიღებთ განტოლებას, რომელიც უნდა გადაწყდეს ამ ინტერვალზე. ამ მეთოდს ე.წ.ინტერვალის მეთოდი»

მაგალითი.

ამოხსენით განტოლება |x-2|-3|x+4|=1.

გამოსავალი.

ვიპოვოთ წერტილები, რომლებშიც სუბმოდულური გამონათქვამები ნულის ტოლია

x-2=0, x+4=0,

x=2; x=-4.

მოდით გავყოთ რიცხვითი წრფე x ინტერვალებად

განტოლების ამოხსნა სამი სისტემის ამოხსნაზე მოდის:

პასუხი: -15, -1.8.

შემცველი განტოლებების ამოხსნის გრაფიკული მეთოდიმოდულის ნიშანი.

განტოლებების ამოხსნის გრაფიკული მეთოდი მიახლოებითია, ვინაიდან სიზუსტე დამოკიდებულია არჩეულ ერთეულ სეგმენტზე, ფანქრის სისქეზე, ხაზების გადაკვეთის კუთხეებზე და ა.შ. მაგრამ ეს მეთოდი საშუალებას გაძლევთ შეაფასოთ რამდენი ამონახსნები აქვს მოცემულ განტოლებას.

მაგალითი. გრაფიკულად ამოხსენით განტოლება |x - 2| + |x - 3| + |2x - 8| = 9

გამოსავალი. ავაშენოთ ფუნქციების გრაფიკები ერთ კოორდინატულ სისტემაში

y=|x - 2| + |x - 3| + |2x - 8| და y=9.

გრაფიკის შესაქმნელად, თქვენ უნდა გაითვალისწინოთ ამ ფუნქციასთითოეულ ინტერვალზე (-∞; 2); [3/2; ∞ )

პასუხი: (- ∞ ; 4/3] [3/2 ; ∞ )

განტოლებების ამოხსნისას ასევე გამოვიყენეთ ეკვივალენტური გარდაქმნების მეთოდი | f(x)| = | g(x)|.

განტოლებები რთული მოდულით

განტოლების კიდევ ერთი ტიპია განტოლებები "კომპლექსური" მოდულით. ასეთი განტოლებები მოიცავს განტოლებებს, რომლებსაც აქვთ „მოდულები მოდულში“. ამ ტიპის განტოლებები შეიძლება ამოხსნას სხვადასხვა მეთოდით.

მაგალითი 1.

ამოხსენით განტოლება ||||x| – |–2| –1| –2| = 2.

გამოსავალი.

მოდულის განმარტებით, ჩვენ გვაქვს:

მოდით ამოხსნათ პირველი განტოლება.

||| x |–2| –1| = 4

| x | – 2 = 5;

| x | = 7;

x = 7.

ამოხსნათ მეორე განტოლება.

||| x | –2| –1| = 0,

|| x | –2| = 1,

| x | -2 = 1,

| x | = 3 და | x | = 1,

x = 3; x = 1.

პასუხი: 1; 3; 7.

მაგალითი 2.

ამოხსენით განტოლება |2 – |x + 1|| = 3.

გამოსავალი.

განტოლება გადავწყვიტოთ ახალი ცვლადის შემოღებით.

მოდით | x + 1| = y, შემდეგ |2 – y | = 3, აქედან

მოდით გავაკეთოთ საპირისპირო ჩანაცვლება:

(1) | x + 1| = –1 – გადაწყვეტილებების გარეშე.

(2) | x + 1| = 5

პასუხი: –6; 4.

მაგალითი 3.

რამდენი ფესვი აქვს განტოლებას | 2 | x | -6 | = 5 - x?

გამოსავალი. მოდი, განტოლება ამოვხსნათ ეკვივალენტობის სქემების გამოყენებით.

განტოლება | 2 | x | -6 | = 5 არის სისტემის ექვივალენტური:

ამ სტატიაში ჩვენ დეტალურად გავაანალიზებთ რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა. ჩვენ მივცემთ რიცხვის მოდულის სხვადასხვა განმარტებას, შემოგთავაზებთ აღნიშვნას და გთავაზობთ გრაფიკულ ილუსტრაციებს. ამავე დროს, განვიხილოთ სხვადასხვა მაგალითებირიცხვის მოდულის პოვნა განსაზღვრებით. ამის შემდეგ ჩამოვთვლით და გავამართლებთ მოდულის ძირითად თვისებებს. სტატიის ბოლოს ვისაუბრებთ იმაზე, თუ როგორ არის განსაზღვრული და ნაპოვნი რთული რიცხვის მოდული.

გვერდის ნავიგაცია.

ნომრის მოდული - განმარტება, აღნიშვნა და მაგალითები

ჯერ წარმოგიდგენთ რიცხვის მოდულის აღნიშვნა. a რიცხვის მოდულს დავწერთ როგორც , ანუ რიცხვის მარცხნივ და მარჯვნივ დავსვამთ ვერტიკალურ ტირეებს მოდულის ნიშნის შესაქმნელად. მოდით მოვიყვანოთ რამდენიმე მაგალითი. მაგალითად, მოდული −7 შეიძლება დაიწეროს როგორც ; მოდული 4.125 იწერება როგორც და მოდულს აქვს ფორმის აღნიშვნა.

მოდულის შემდეგი განმარტება ეხება , და შესაბამისად , და მთელ რიცხვებს, რაციონალურ და ირაციონალურ რიცხვებს, როგორც რეალური რიცხვების სიმრავლის შემადგენელ ნაწილებს. ჩვენ ვისაუბრებთ კომპლექსური რიცხვის მოდულზე.

განმარტება.

ნომრის მოდული a- ეს არის ან თავად რიცხვი a, თუ a დადებითი რიცხვია, ან რიცხვი -a, საპირისპირო ნომერია, თუ - უარყოფითი რიცხვი, ან 0, თუ a=0.

რიცხვის მოდულის გახმოვანებული განმარტება ხშირად იწერება შემდეგი ფორმით , ეს ჩანაწერი ნიშნავს, რომ თუ a>0 , თუ a=0 და თუ a<0 .

ჩანაწერი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს უფრო კომპაქტური ფორმით . ეს აღნიშვნა ნიშნავს, რომ თუ (a მეტია ან ტოლია 0-ის), და თუ a<0 .

ასევე არის შესასვლელი . აქ ცალკე უნდა ავხსნათ შემთხვევა, როდესაც a=0. ამ შემთხვევაში გვაქვს , მაგრამ −0=0, ვინაიდან ნული ითვლება თავის საპირისპირო რიცხვად.

მივცეთ რიცხვის მოდულის პოვნის მაგალითებიმითითებული განმარტების გამოყენებით. მაგალითად, ვიპოვოთ 15 და ნომრების მოდულები. დავიწყოთ მოძიებით. ვინაიდან რიცხვი 15 დადებითია, მისი მოდული, განსაზღვრებით, უდრის თავად ამ რიცხვს, ანუ . რა არის რიცხვის მოდული? ვინაიდან უარყოფითი რიცხვია, მისი მოდული უდრის რიცხვის საპირისპირო რიცხვს, ანუ რიცხვს . ამრიგად, .

ამ პუნქტის დასასრულებლად წარმოგიდგენთ ერთ დასკვნას, რომელიც ძალიან მოსახერხებელია პრაქტიკაში რიცხვის მოდულის პოვნისას. რიცხვის მოდულის განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ რიცხვის მოდული უდრის რიცხვს მოდულის ნიშნის ქვეშ მისი ნიშნის გათვალისწინების გარეშედა ზემოთ განხილული მაგალითებიდან ეს ძალიან ნათლად ჩანს. აღნიშნული განცხადება განმარტავს, თუ რატომ არის ასევე მოწოდებული რიცხვის მოდული რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა. ასე რომ, რიცხვის მოდული და რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა ერთი და იგივეა.

რიცხვის მოდული მანძილის სახით

გეომეტრიულად, რიცხვის მოდული შეიძლება განიმარტოს როგორც მანძილი. მივცეთ რიცხვის მოდულის განსაზღვრა მანძილზე.

განმარტება.

ნომრის მოდული a– ეს არის მანძილი საწყისიდან კოორდინატთა წრფეზე a რიცხვის შესაბამის წერტილამდე.

ეს განმარტება შეესაბამება პირველ აბზაცში მოცემული რიცხვის მოდულის განმარტებას. მოდით განვმარტოთ ეს წერტილი. მანძილი საწყისიდან დადებითი რიცხვის შესაბამის წერტილამდე ამ რიცხვის ტოლია. ნული შეესაბამება საწყისს, ამიტომ მანძილი საწყისიდან 0 კოორდინატის მქონე წერტილამდე ნულის ტოლია (არ დაგჭირდებათ გამოყოთ ერთი ერთეული სეგმენტი და არც ერთი სეგმენტი, რომელიც ადგენს ერთეული სეგმენტის რომელიმე ნაწილს თანმიმდევრობით. O წერტილიდან 0 კოორდინატის მქონე წერტილამდე მისასვლელად). მანძილი საწყისიდან უარყოფითი კოორდინატის მქონე წერტილამდე ტოლია ამ წერტილის კოორდინატის საპირისპირო რიცხვის, რადგან ის უდრის მანძილს საწყისიდან იმ წერტილამდე, რომლის კოორდინატი არის საპირისპირო რიცხვი.

მაგალითად, რიცხვი 9-ის მოდული უდრის 9-ს, ვინაიდან მანძილი საწყისიდან 9 კოორდინატის მქონე წერტილამდე უდრის ცხრას. კიდევ ერთი მაგალითი მოვიყვანოთ. წერტილი −3.25 კოორდინატით მდებარეობს O წერტილიდან 3.25 დაშორებით, ასე .

რიცხვის მოდულის მითითებული განმარტება არის ორი რიცხვის სხვაობის მოდულის განსაზღვრის განსაკუთრებული შემთხვევა.

განმარტება.

ორი რიცხვის სხვაობის მოდული a და b უდრის მანძილს კოორდინატთა ხაზის წერტილებს შორის a და b კოორდინატებთან.

ანუ, თუ A(a) და B(b) კოორდინატთა წრფეზე მოცემულია წერტილები, მაშინ მანძილი A წერტილიდან B წერტილამდე უდრის a და b რიცხვებს შორის სხვაობის მოდულის. თუ ავიღებთ O წერტილს (წარმოშობას) B წერტილად, მაშინ მივიღებთ ამ აბზაცის დასაწყისში მოცემული რიცხვის მოდულის განმარტებას.

რიცხვის მოდულის განსაზღვრა არითმეტიკული კვადრატული ფესვის გამოყენებით

ხანდახან ხდება მოდულის განსაზღვრა არითმეტიკული კვადრატული ფესვით.

მაგალითად, გამოვთვალოთ −30 რიცხვების მოდულები და ამ განმარტებაზე დაყრდნობით. Ჩვენ გვაქვს. ანალოგიურად, ჩვენ ვიანგარიშებთ ორი მესამედის მოდულს: .

რიცხვის მოდულის განსაზღვრა არითმეტიკული კვადრატული ფესვის მეშვეობით ასევე შეესაბამება ამ მუხლის პირველ პუნქტში მოცემულ განმარტებას. ვაჩვენოთ. მოდით, დადებითი რიცხვი იყოს, ხოლო −a უარყოფითი რიცხვი. მერე და , თუ a=0 , მაშინ .

მოდულის თვისებები

მოდულს აქვს მრავალი დამახასიათებელი შედეგი - მოდულის თვისებები. ახლა ჩვენ წარმოგიდგენთ მათ ძირითად და ყველაზე ხშირად გამოყენებას. ამ თვისებების დასაბუთებისას დავეყრდნობით რიცხვის მოდულის განსაზღვრას მანძილის მიხედვით.

დავიწყოთ მოდულის ყველაზე აშკარა თვისებით - რიცხვის მოდული არ შეიძლება იყოს უარყოფითი რიცხვი. პირდაპირი ფორმით, ამ თვისებას აქვს ნებისმიერი რიცხვის ფორმა a. ამ თვისების დასაბუთება ძალიან ადვილია: რიცხვის მოდული არის მანძილი და მანძილი არ შეიძლება გამოისახოს როგორც უარყოფითი რიცხვი.

მოდით გადავიდეთ მოდულის შემდეგ თვისებაზე. რიცხვის მოდული არის ნული, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ეს რიცხვი ნულის ტოლია. ნულის მოდული განსაზღვრებით ნულია. ნული შეესაბამება საწყისს; კოორდინატთა ხაზის არც ერთი წერტილი არ შეესაბამება ნულს, რადგან თითოეული რეალური რიცხვი ასოცირდება ერთ წერტილთან კოორდინატთა წრფეზე. ამავე მიზეზით, ნულის გარდა ნებისმიერი რიცხვი შეესაბამება საწყისისგან განსხვავებულ წერტილს. და მანძილი საწყისიდან ნებისმიერ წერტილამდე, გარდა O წერტილისა, არ არის ნული, რადგან მანძილი ორ წერტილს შორის არის ნული, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ეს წერტილები ემთხვევა. ზემოთ მოყვანილი მსჯელობა ადასტურებს, რომ მხოლოდ ნულის მოდული უდრის ნულს.

Განაგრძე. საპირისპირო რიცხვებს აქვთ თანაბარი მოდულები, ანუ ნებისმიერი რიცხვისთვის a. მართლაც, კოორდინატთა ხაზის ორი წერტილი, რომელთა კოორდინატები საპირისპირო რიცხვებია, ერთნაირი მანძილით არის დაშორებული საწყისიდან, რაც ნიშნავს, რომ საპირისპირო რიცხვების მოდულები ტოლია.

მოდულის შემდეგი თვისებაა: ორი რიცხვის ნამრავლის მოდული ტოლია ამ რიცხვების მოდულის ნამრავლის, ანუ . განმარტებით, a და b რიცხვების ნამრავლის მოდული უდრის ან a·b-ს, თუ , ან −(a·b) თუ . ნამდვილ რიცხვთა გამრავლების წესებიდან გამომდინარეობს, რომ a და b რიცხვების მოდულის ნამრავლი ტოლია ან a·b, , ან −(a·b) თუ , რომელიც ადასტურებს განსახილველ თვისებას.

a-ის კოეფიციენტის გაყოფა b-ზე ტოლია რიცხვის მოდულის კოეფიციენტის გაყოფილი b-ის მოდულზე., ანუ . მოდით გავამართლოთ მოდულის ეს თვისება. ვინაიდან კოეფიციენტი ტოლია პროდუქტის, მაშინ. წინა ქონების ძალით გვაქვს . რჩება მხოლოდ ტოლობის გამოყენება, რომელიც მოქმედებს რიცხვის მოდულის განსაზღვრის საფუძველზე.

მოდულის შემდეგი თვისება იწერება უტოლობად: , a , b და c არის თვითნებური რეალური რიცხვები. წერილობითი უთანასწორობა სხვა არაფერია, თუ არა სამკუთხედის უტოლობა. ამის გასაგებად, ავიღოთ წერტილები A(a), B(b), C(c) კოორდინატთა წრფეზე და განვიხილოთ გადაგვარებული სამკუთხედი ABC, რომლის წვეროები დევს იმავე წრფეზე. განმარტებით, განსხვავების მოდული უდრის AB სეგმენტის სიგრძეს, - AC სეგმენტის სიგრძეს და - CB სეგმენტის სიგრძეს. ვინაიდან სამკუთხედის ნებისმიერი გვერდის სიგრძე არ აღემატება დანარჩენი ორი გვერდის სიგრძის ჯამს, მაშინ უტოლობა მართალია. მაშასადამე, უთანასწორობაც მართალია.

ახლახან დადასტურებული უთანასწორობა ბევრად უფრო ხშირია ფორმაში . ჩაწერილი უტოლობა ჩვეულებრივ განიხილება, როგორც მოდულის ცალკეული თვისება ფორმულირებით: ” ორი რიცხვის ჯამის მოდული არ აღემატება ამ რიცხვების მოდულების ჯამს" მაგრამ უტოლობა უშუალოდ უტოლობიდან გამომდინარეობს, თუ b-ის ნაცვლად −b დავდებთ და ავიღებთ c=0.

რთული რიცხვის მოდული

მივცეთ რთული რიცხვის მოდულის განსაზღვრა. დაე, მოგვცეს რთული რიცხვი, დაწერილი ალგებრული ფორმით, სადაც x და y არის რამდენიმე რეალური რიცხვი, რომლებიც, შესაბამისად, წარმოადგენს მოცემული z რთული რიცხვის რეალურ და წარმოსახვით ნაწილებს და არის წარმოსახვითი ერთეული.

ლათინურიდან სიტყვასიტყვით თარგმნილი ტერმინი (მოდული) ნიშნავს "ზომას". ეს კონცეფცია მათემატიკაში ინგლისელმა მეცნიერმა რ.კოტესმა შემოიტანა. ხოლო გერმანელმა მათემატიკოსმა კ.ვაიერშტრასმა შემოიღო მოდულის ნიშანი – სიმბოლო, რომელიც აღნიშნავს ამ კონცეფციას წერისას.

პირველად ეს ცნება მათემატიკაში სწავლობს საშუალო სკოლის მე-6 კლასის სასწავლო გეგმაში. ერთი განმარტებით, მოდული არის რეალური რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რეალური რიცხვის მოდულის გასარკვევად, თქვენ უნდა გააუქმოთ მისი ნიშანი.

გრაფიკულად აბსოლუტური მნიშვნელობა ააღინიშნება როგორც |ა|.

ამ კონცეფციის მთავარი განმასხვავებელი თვისება ის არის, რომ ის ყოველთვის არაუარყოფითი სიდიდეა.

რიცხვებს, რომლებიც ერთმანეთისგან მხოლოდ ნიშნით განსხვავდებიან, საპირისპირო რიცხვებს უწოდებენ. თუ მნიშვნელობა დადებითია, მაშინ მისი საპირისპირო უარყოფითია, ხოლო ნული არის მისი საპირისპირო.

გეომეტრიული მნიშვნელობა

თუ მოდულის ცნებას განვიხილავთ გეომეტრიის პერსპექტივიდან, მაშინ იგი აღნიშნავს მანძილს, რომელიც იზომება ერთეულ სეგმენტებში კოორდინატების წარმოშობიდან მოცემულ წერტილამდე. ეს განმარტება სრულად ავლენს შესასწავლი ტერმინის გეომეტრიულ მნიშვნელობას.

გრაფიკულად ეს შეიძლება გამოიხატოს შემდეგნაირად: |a| = OA.

აბსოლუტური მნიშვნელობის თვისებები

ქვემოთ განვიხილავთ ამ კონცეფციის ყველა მათემატიკურ თვისებას და მისი ჩაწერის გზებს პირდაპირი გამონათქვამების სახით:

მოდულით განტოლებების ამოხსნის თავისებურებები

თუ ვსაუბრობთ მათემატიკური განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნაზე, რომლებიც შეიცავს მოდულს, მაშინ უნდა გვახსოვდეს, რომ მათ ამოსახსნელად დაგჭირდებათ ამ ნიშნის გახსნა.

მაგალითად, თუ აბსოლუტური მნიშვნელობის ნიშანი შეიცავს რაღაც მათემატიკურ გამოსახულებას, მაშინ მოდულის გახსნამდე აუცილებელია გავითვალისწინოთ მიმდინარე მათემატიკური განმარტებები.

|A + 5| = A + 5, თუ, A მეტია ან ტოლია ნულის.

5-ა, თუ, A მნიშვნელობა ნულზე ნაკლებია.

ზოგიერთ შემთხვევაში, ნიშანი შეიძლება ცალსახად გამოვლინდეს ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის.

მოდით შევხედოთ სხვა მაგალითს. ავაშენოთ კოორდინატთა ხაზი, რომელზეც აღვნიშნავთ ყველა რიცხვით მნიშვნელობას, რომლის აბსოლუტური მნიშვნელობა იქნება 5.

ჯერ უნდა დახაზოთ კოორდინატთა ხაზი, მონიშნოთ მასზე კოორდინატების წარმოშობა და დააყენოთ ერთეული სეგმენტის ზომა. გარდა ამისა, სწორ ხაზს უნდა ჰქონდეს მიმართულება. ახლა ამ ხაზზე აუცილებელია მარკირების გამოყენება, რომელიც ტოლი იქნება ერთეულის სეგმენტის ზომისა.

ამრიგად, ჩვენ ვხედავთ, რომ ამ კოორდინატთა ხაზზე იქნება ჩვენთვის ორი საინტერესო წერტილი 5 და -5 მნიშვნელობებით.