საიდან მოდის ნულზე გაყოფის აკრძალვა? მათემატიკის გაკვეთილები: რატომ არ შეიძლება ნულზე გაყოფა

სკოლაში ყველას გვასწავლიან მარტივი წესი, რომელიც ვერ გაიყოფა ნულზე. ამავდროულად, როდესაც ვსვამთ კითხვას: „რატომ?“, ისინი გვპასუხობენ: „ეს მხოლოდ წესია და ეს უნდა იცოდეთ“. ამ სტატიაში შევეცდები აგიხსნათ რატომ არ შეიძლება ნულზე გაყოფა. რატომ ცდებიან ის ადამიანები, რომლებიც ამბობენ, რომ შეგიძლიათ გაყოთ ნულზე და შემდეგ მიიღოთ უსასრულობა?

რატომ არ შეიძლება ნულზე გაყოფა?

ფორმალურად, მათემატიკაში მხოლოდ ორი მოქმედებაა. რიცხვების შეკრება და გამრავლება. რაც შეეხება გამოკლებას და გაყოფას? განვიხილოთ ეს მაგალითი. 7-4=3, ყველამ ვიცით, რომ შვიდს გამოკლებული ოთხი უდრის სამს. სინამდვილეში, ეს მაგალითი, ფორმალურად, შეიძლება ჩაითვალოს x+4=7 განტოლების ამოხსნის გზად. ანუ ვირჩევთ რიცხვს, რომელიც ოთხს რომ დავუმატოთ, მივიღებთ 7. მაშინ დიდხანს არ ვიფიქრებთ და მივხვდებით, რომ ეს რიცხვი უდრის სამს. იგივეა გაყოფა. ვთქვათ 12/3. ეს იგივე იქნება, რაც x*3=12.

ვირჩევთ რიცხვს, რომელიც 3-ზე გამრავლებისას მოგვცემს 12. ამ შემთხვევაში იქნება ოთხი. ეს საკმაოდ აშკარაა. რაც შეეხება მაგალითებს, როგორიცაა 7/0. რა მოხდება, თუ დავწერთ შვიდს გაყოფილი ნულზე? ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ, როგორც ჩანს, ვხსნით 0*x=7 ფორმის განტოლებას. მაგრამ ამ განტოლებას არ აქვს ამონახსნი, რადგან თუ ნული გამრავლდება რომელიმე რიცხვზე, შედეგი ყოველთვის ნულია. ანუ გამოსავალი არ არის. ეს იწერება ან სიტყვებით არ არსებობს გადაწყვეტილებები, ან ხატით, რომელიც ნიშნავს ცარიელ კომპლექტს.

Სხვა სიტყვებით

ეს არის ამ წესის მნიშვნელობა. თქვენ არ შეგიძლიათ გაყოთ ნულზე, რადგან შესაბამის განტოლებას, ნულჯერ x უდრის შვიდს ან ნებისმიერ რიცხვს, რისი გაყოფასაც ვცდილობთ ნულზე, არ აქვს ამონახსნები. ყველაზე ყურადღებიანი შეიძლება ითქვას, რომ თუ ნულს გავყოფთ ნულზე, საკმაოდ სამართლიანი გამოვა, რომ თუ 0*X=0. ყველაფერი მშვენიერია, ნულს ვამრავლებთ რაღაც რიცხვზე, მივიღებთ ნულს. მაგრამ მაშინ ჩვენი გამოსავალი შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი. თუ გადავხედავთ x=1, 0*1=0, x=100500, 0*100500=0. ნებისმიერი ნომერი აქ იქნება.

მაშ, რატომ უნდა ავირჩიოთ რომელიმე მათგანი? ჩვენ ნამდვილად არ გვაქვს რაიმე მოსაზრება, რომლითაც შეგვიძლია ავიღოთ ერთი ამ რიცხვებიდან და ვთქვათ, რომ ეს არის განტოლებების ამონახსნები. აქედან გამომდინარე, უსასრულოდ ბევრი გამოსავალია და ეს ასევე ორაზროვანი პრობლემაა, რომელშიც მიჩნეულია, რომ გადაწყვეტილებები არ არსებობს.

უსასრულობა

ზემოთ მე გითხარით მიზეზები, რის გამოც არ შეგიძლიათ გაყოფა, ახლა მინდა გესაუბროთ. შევეცადოთ სიფრთხილით მივუდგეთ გაყოფას ნულოვანი მოქმედებით. ჯერ რიცხვი 5 გავყოთ ორზე. ვიცით, რა მოხდება ათობითი 2.5. ახლა გავყოფთ გამყოფს და გავყოფთ 5-ს 1-ზე, იქნება 5. ახლა 5-ს გავყოფთ 0,5-ზე. ეს იგივეა, რაც ხუთი გაყოფილი ნახევარზე, ან იგივეა, რაც 5 * 2, მაშინ იქნება 10. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ გაყოფის შედეგი, ანუ კოეფიციენტი, იზრდება: 2.5, 5, 10.

ახლა 5 გავყოთ 0.1-ზე, ეს იგივე იქნება, რაც 5*10=50, კოეფიციენტი ისევ გაიზარდა. ამავდროულად შევამცირეთ გამყოფი. თუ 5-ს გავყოფთ 0,01-ზე, იგივე იქნება, რაც 5*100=500. შეხედე. რაც უფრო პატარას ვაკეთებთ გამყოფს, მით უფრო დიდი ხდება კოეფიციენტი. თუ 5-ს გავყოფთ 0.00001-ზე, მივიღებთ 500000-ს.

შეაჯამეთ

მაშინ რა არის გაყოფა ნულზე, თუ ამას ამ გაგებით შევხედავთ? დააკვირდით, როგორ შევამცირეთ ჩვენი კოეფიციენტი? თუ დახაზავთ ღერძს, ხედავთ მასზე, რომ ჯერ გვქონდა ორი, შემდეგ ერთი, შემდეგ 0.5, 0.1 და ა.შ. ჩვენ სულ უფრო და უფრო ვუახლოვდებოდით ნულს მარჯვნივ, მაგრამ არასოდეს მივაღწიეთ ნულს. სულ უფრო ნაკლებს ვიღებთ ნაკლები რაოდენობადა გავყოთ ჩვენი კოეფიციენტი მასზე. სულ უფრო და უფრო დიდი ხდება. ამ შემთხვევაში ისინი წერენ, რომ ჩვენ ვყოფთ 5-ს X-ზე, სადაც x უსასრულოდ მცირეა. ანუ სულ უფრო და უფრო უახლოვდება ნულს. უბრალოდ ამ შემთხვევაში ხუთის X-ზე გაყოფისას მივიღებთ უსასრულობას. უსასრულოდ დიდი რიცხვი. სწორედ აქ ჩნდება ნიუანსი.

თუ მარჯვნიდან მივუახლოვდებით ნულს, მაშინ ეს უსასრულო მცირე იქნება დადებითი და მივიღებთ პლუს უსასრულობას. თუ X-ს მივუახლოვდებით მარცხნიდან, ანუ ჯერ გავყოფთ -2-ზე, შემდეგ -1-ზე, -0.5-ზე, -0.1-ზე და ა.შ. მივიღებთ უარყოფით კოეფიციენტს. და შემდეგ ხუთი გაყოფილი x-ზე, სადაც x იქნება უსასრულოდ მცირე, მაგრამ მარცხნივ უდრის მინუს უსასრულობას. ამ შემთხვევაში ისინი წერენ: x მიდრეკილია ნულისკენ მარჯვნიდან, 0+0, რაც გვიჩვენებს, რომ ჩვენ მარჯვნივ ვართ ნულისკენ. ვთქვათ, თუ ჩვენ ვამიზნებდით სამს მარჯვნივ, ამ შემთხვევაში ვწერთ X არის მიზნად მარცხნივ. შესაბამისად, ჩვენ დავმიზნებთ სამს მარცხნივ, დავწეროთ, როგორც x მიდრეკილია 3-0-მდე.

როგორ შეიძლება დაგეხმაროთ ფუნქციის გრაფიკი

ამის უკეთ გაგებაში გვეხმარება ფუნქციის გრაფიკი, რომელიც სკოლაში შევისწავლეთ. ფუნქციას ეძახიან შებრუნებული ურთიერთობადა მისი გრაფიკი არის ჰიპერბოლა. ჰიპერბოლა ასე გამოიყურება: ეს არის მრუდი, რომლის ასიმპტოტებია x-ღერძი და y-ღერძი. ასიმპტოტა არის ხაზი, რომლისკენაც მრუდი მიდრეკილია, მაგრამ არასოდეს აღწევს. ასეთია მათემატიკური დრამა. ჩვენ ვხედავთ, რომ რაც უფრო ვუახლოვდებით ნულს, მით უფრო დიდი ხდება ჩვენი ღირებულება. რაც უფრო პატარაა X ხდება, ანუ როცა X მარჯვნივ ნულისკენ მიისწრაფვის, თამაში უფრო და უფრო დიდი ხდება და მიისწრაფვის პლუს უსასრულობამდე. შესაბამისად, როდესაც x მარცხნიდან ნულისკენ მიისწრაფვის, როდესაც x მარცხნიდან ნულისკენ მიისწრაფვის, ანუ x მიისწრაფვის 0-0-მდე, ჩვენ მივისწრაფვით მინუს უსასრულობისკენ. სწორად ასე წერია. Y მიდრეკილია მინუს უსასრულობისკენ, X მიდრეკილია ნულისკენ მარცხნივ. შესაბამისად, ჩვენ ვწერთ y მიდრეკილებას პლუს უსასრულობისკენ, x მიდრეკილია ნულისკენ მარჯვნივ. ანუ, არსებითად, ჩვენ არ ვყოფთ ნულზე, ჩვენ ვყოფთ უსასრულოდ მცირე მნიშვნელობაზე.

და ისინი, ვინც ამბობენ, რომ შეგიძლიათ გაყოთ ნულზე, ჩვენ უბრალოდ ვიღებთ უსასრულობას, ისინი უბრალოდ გულისხმობენ, რომ თქვენ არ შეგიძლიათ გაყოთ ნულზე, მაგრამ შეგიძლიათ გაყოთ ნულთან ახლოს მყოფი რიცხვით, ანუ უსასრულო სიდიდით. მაშინ მივიღებთ პლუს უსასრულობას, თუ გავყოფთ უსასრულო დადებითზე და მინუს უსასრულობას ვყოფთ უსასრულო უარყოფითზე.

ვიმედოვნებ, რომ ეს სტატია დაგეხმარებათ გაიგოთ კითხვა, რომელიც ბავშვობიდან აწუხებს ადამიანთა უმეტესობას, რატომ არ შეიძლება ნულზე გაყოფა. რატომ გვაიძულებენ რაღაც წესი ვისწავლოთ, მაგრამ არაფერია ახსნილი. ვიმედოვნებ, რომ სტატია დაგეხმარა იმის გაგებაში, რომ ნამდვილად არ შეგიძლია გაყოფა ნულზე და ისინი, ვინც ამბობენ, რომ შეგიძლიათ გაყოთ ნულზე, სინამდვილეში ნიშნავს, რომ შეგიძლიათ გაყოთ უსასრულო სიდიდეზე.

რატომ არ შეიძლება ნულზე გაყოფა? "არ შეიძლება ნულზე გაყოფა!" - სკოლის მოსწავლეების უმეტესობა ამ წესს ზეპირად, კითხვების გარეშე სწავლობს. ყველა ბავშვმა იცის, რა არის "შენ არ შეგიძლია" და რა მოხდება, თუ ამის საპასუხოდ ჰკითხავ: "რატომ?" მაგრამ სინამდვილეში, ძალიან საინტერესო და მნიშვნელოვანია იმის ცოდნა, თუ რატომ არ არის ეს შესაძლებელი. საქმე იმაშია, რომ არითმეტიკის ოთხი მოქმედება - შეკრება, გამოკლება, გამრავლება და გაყოფა - რეალურად არათანაბარია. მათემატიკოსები მხოლოდ ორ მათგანს აღიარებენ მართებულად - შეკრება და გამრავლება. ეს ოპერაციები და მათი თვისებები შედის რიცხვის კონცეფციის განმარტებაში. ყველა სხვა მოქმედება ასე თუ ისე აგებულია ამ ორიდან. განვიხილოთ, მაგალითად, გამოკლება. რას ნიშნავს 5-3? მოსწავლე ამაზე უბრალოდ უპასუხებს: თქვენ უნდა აიღოთ ხუთი ობიექტი, წაიღოთ (ამოიღოთ) სამი მათგანი და ნახოთ რამდენი დარჩა. მაგრამ მათემატიკოსები ამ პრობლემას სულ სხვანაირად უყურებენ. არ არის გამოკლება, არის მხოლოდ დამატება. მაშასადამე, აღნიშვნა 5 – 3 ნიშნავს რიცხვს, რომელიც, როდესაც 3 რიცხვს დაემატება, მისცემს რიცხვს 5. ანუ, 5 – 3 არის უბრალოდ სტენოგრაფიული აღნიშვნა განტოლების: x + 3 = 5. არ არის გამოკლება. ამ განტოლებაში. არსებობს მხოლოდ დავალება - იპოვოთ შესაფერისი ნომერი.იგივეა გამრავლება და გაყოფა. ჩანაწერი 8:4 შეიძლება გავიგოთ, როგორც რვა ელემენტის ოთხ თანაბარ გროვად დაყოფის შედეგი. მაგრამ ეს ნამდვილად არის 4 x = 8 განტოლების შემცირებული ფორმა.სწორედ აქ ირკვევა, თუ რატომ არის შეუძლებელი (უფრო სწორად შეუძლებელია) ნულზე გაყოფა. ჩანაწერი 5: 0 არის აბრევიატურა 0 x = 5-ის. ანუ, ეს ამოცანაა ვიპოვოთ რიცხვი, რომელიც 0-ზე გამრავლებისას მისცემს 5-ს. მაგრამ ვიცით, რომ 0-ზე გამრავლებისას შედეგი ყოველთვის არის 0. არის ნულის თანდაყოლილი თვისება, მკაცრად რომ ვთქვათ, მისი განმარტების ნაწილი.არ არსებობს ისეთი რიცხვი, რომელიც 0-ზე გამრავლებისას მისცემს რაიმე სხვას ნულის გარდა. ანუ ჩვენს პრობლემას გამოსავალი არ აქვს. (დიახ, ასეც ხდება; ყველა პრობლემას არ აქვს გამოსავალი.) ეს ნიშნავს, რომ ჩანაწერი 5:0 არ შეესაბამება რომელიმე კონკრეტულ რიცხვს და ის უბრალოდ არაფერს ნიშნავს და შესაბამისად არა აქვს მნიშვნელობა. ამ ჩანაწერის უაზრობა მოკლედ გამოიხატება იმით, რომ არ შეიძლება ნულზე გაყოფა.ამ ადგილის ყველაზე ყურადღებიანი მკითხველი აუცილებლად იკითხავს: შესაძლებელია თუ არა ნულის გაყოფა ნულზე? მართლაც, განტოლება 0 x = 0 შეიძლება უსაფრთხოდ გადაწყდეს. მაგალითად, შეგვიძლია ავიღოთ x = 0 და შემდეგ მივიღოთ 0 · 0 = 0. მაშ, 0: 0=0? მაგრამ ნუ ვიჩქარებთ. შევეცადოთ ავიღოთ x = 1. მივიღებთ 0 · 1 = 0. სწორია? ანუ 0:0 = 1? მაგრამ ამ გზით შეგიძლიათ აიღოთ ნებისმიერი რიცხვი და მიიღოთ 0: 0 = 5, 0: 0 = 317 და ა.შ.მაგრამ თუ რომელიმე ნომერი შესაფერისია, მაშინ ჩვენ არ გვაქვს მიზეზი, ავირჩიოთ რომელიმე მათგანი. ანუ ვერ ვიტყვით რომელ რიცხვს შეესაბამება ჩანაწერი 0:0 და თუ ასეა, მაშინ იძულებული ვართ ვაღიაროთ, რომ ამ ჩანაწერსაც აზრი არ აქვს. გამოდის, რომ ნულიც კი ვერ გაიყოფა ნულზე. (მათემატიკურ ანალიზში არის შემთხვევები, როდესაც პრობლემის დამატებითი პირობების გამო, შეიძლება უპირატესობა მიანიჭოს ერთ-ერთს. შესაძლო ვარიანტები 0 x = 0 განტოლების ამონახსნები; ასეთ შემთხვევებში მათემატიკოსები საუბრობენ „განვითარებულ გაურკვევლობაზე“, მაგრამ ასეთი შემთხვევები არითმეტიკაში არ ხდება.)ეს არის გაყოფის ოპერაციის თავისებურება. უფრო ზუსტად, გამრავლების ოპერაციას და მასთან დაკავშირებულ რიცხვს აქვს ნული. ისე, ყველაზე ზედმიწევნით, ვინც აქამდე წაიკითხა, შეიძლება იკითხონ: რატომ ხდება ისე, რომ ვერ გაყოფ ნულზე, მაგრამ შეგიძლია გამოაკლო ნული? გარკვეული გაგებით, სწორედ აქ იწყება ნამდვილი მათემატიკა. მასზე პასუხის გაცემა შეგიძლიათ მხოლოდ რიცხვითი სიმრავლეების და მათზე მოქმედებების ფორმალურ მათემატიკური განმარტებების გაცნობით. არც ისე რთულია, მაგრამ რატომღაც სკოლაში არ ისწავლება. მაგრამ უნივერსიტეტში მათემატიკის ლექციებზე პირველ რიგში სწორედ ამას გასწავლიან.

"ნულის გაყოფა არ შეიძლება!" - სკოლის მოსწავლეების უმეტესობა ამ წესს ზეპირად, კითხვების გარეშე სწავლობს. ყველა ბავშვმა იცის, რა არის "შენ არ შეგიძლია" და რა მოხდება, თუ ამის საპასუხოდ ჰკითხავ: "რატომ?" მაგრამ სინამდვილეში, ძალიან საინტერესო და მნიშვნელოვანია იმის ცოდნა, თუ რატომ არ არის ეს შესაძლებელი.

საქმე იმაშია, რომ არითმეტიკის ოთხი მოქმედება - შეკრება, გამოკლება, გამრავლება და გაყოფა - რეალურად არათანაბარია. მათემატიკოსები მხოლოდ ორ მათგანს აღიარებენ მართებულად - შეკრება და გამრავლება. ეს ოპერაციები და მათი თვისებები შედის რიცხვის კონცეფციის განმარტებაში. ყველა სხვა მოქმედება ასე თუ ისე აგებულია ამ ორიდან.

განვიხილოთ, მაგალითად, გამოკლება. რას ნიშნავს 5-3? მოსწავლე ამაზე უბრალოდ უპასუხებს: თქვენ უნდა აიღოთ ხუთი ობიექტი, წაიღოთ (ამოიღოთ) სამი მათგანი და ნახოთ რამდენი დარჩა. მაგრამ მათემატიკოსები ამ პრობლემას სულ სხვანაირად უყურებენ. არ არის გამოკლება, არის მხოლოდ დამატება. მაშასადამე, აღნიშვნა 5 – 3 ნიშნავს რიცხვს, რომელიც, როდესაც 3 რიცხვს დაემატება, მისცემს რიცხვს 5. ანუ, 5 – 3 არის უბრალოდ სტენოგრაფიული აღნიშვნა განტოლების: x + 3 = 5. არ არის გამოკლება. ამ განტოლებაში. არსებობს მხოლოდ დავალება - იპოვოთ შესაფერისი ნომერი.

იგივეა გამრავლება და გაყოფა. ჩანაწერი 8:4 შეიძლება გავიგოთ, როგორც რვა ელემენტის ოთხ თანაბარ გროვად დაყოფის შედეგი. მაგრამ სინამდვილეში, ეს მხოლოდ 4 x = 8 განტოლების სტენოგრაფიული ფორმაა.

სწორედ აქ ირკვევა, თუ რატომ არის შეუძლებელი (უფრო სწორად შეუძლებელია) ნულზე გაყოფა. ჩანაწერი 5: 0 არის აბრევიატურა 0 x = 5-ის. ანუ, ეს ამოცანაა ვიპოვოთ რიცხვი, რომელიც 0-ზე გამრავლებისას მისცემს 5-ს. მაგრამ ვიცით, რომ 0-ზე გამრავლებისას შედეგი ყოველთვის არის 0. არის ნულის თანდაყოლილი თვისება, მკაცრად რომ ვთქვათ, მისი განმარტების ნაწილი.

არ არსებობს ისეთი რიცხვი, რომელიც 0-ზე გამრავლებისას მისცემს რაიმე სხვას ნულის გარდა. ანუ ჩვენს პრობლემას გამოსავალი არ აქვს. (დიახ, ეს ხდება; ყველა პრობლემას არ აქვს გამოსავალი.) ეს ნიშნავს, რომ ჩანაწერი 5:0 არ შეესაბამება რომელიმე კონკრეტულ რიცხვს და ის უბრალოდ არაფერს ნიშნავს და, შესაბამისად, არ აქვს მნიშვნელობა. ამ ჩანაწერის უაზრობა მოკლედ გამოიხატება იმით, რომ არ შეიძლება ნულზე გაყოფა.

ამ ადგილის ყველაზე ყურადღებიანი მკითხველი აუცილებლად იკითხავს: შესაძლებელია თუ არა ნულის გაყოფა ნულზე? სინამდვილეში, განტოლება 0 x = 0 შეიძლება უსაფრთხოდ გადაწყდეს. მაგალითად, შეგვიძლია ავიღოთ x = 0 და შემდეგ მივიღოთ 0 0 = 0. მაშ, 0: 0=0? მაგრამ ნუ ვიჩქარებთ. ვცადოთ ავიღოთ x = 1. მივიღებთ 0 1 = 0. სწორია? ანუ 0:0 = 1? მაგრამ ამ გზით შეგიძლიათ აიღოთ ნებისმიერი რიცხვი და მიიღოთ 0: 0 = 5, 0: 0 = 317 და ა.შ.

მაგრამ თუ რომელიმე ნომერი შესაფერისია, მაშინ ჩვენ არ გვაქვს მიზეზი, ავირჩიოთ რომელიმე მათგანი. ანუ ვერ ვიტყვით რომელ რიცხვს შეესაბამება ჩანაწერი 0:0 და თუ ასეა, მაშინ იძულებული ვართ ვაღიაროთ, რომ ამ ჩანაწერსაც აზრი არ აქვს. გამოდის, რომ ნულიც კი ვერ გაიყოფა ნულზე. (მათემატიკურ ანალიზში არის შემთხვევები, როდესაც პრობლემის დამატებითი პირობების გამო, შეიძლება უპირატესობა მიანიჭოს განტოლების ერთ-ერთ შესაძლო ამონახსანს 0 x = 0; ასეთ შემთხვევებში მათემატიკოსები საუბრობენ „გაურკვევლობის გამჟღავნებაზე“, მაგრამ არითმეტიკული ასეთი შემთხვევები არ ხდება.)

ეს არის გაყოფის ოპერაციის თავისებურება. უფრო ზუსტად, გამრავლების ოპერაციას და მასთან დაკავშირებულ რიცხვს აქვს ნული.

ისე, ყველაზე ზედმიწევნით, ვინც აქამდე წაიკითხა, შეიძლება იკითხონ: რატომ ხდება ისე, რომ ვერ გაყოფ ნულზე, მაგრამ შეგიძლია გამოაკლო ნული? გარკვეული გაგებით, სწორედ აქ იწყება ნამდვილი მათემატიკა. მასზე პასუხის გაცემა შეგიძლიათ მხოლოდ რიცხვითი სიმრავლეების და მათზე მოქმედებების ფორმალურ მათემატიკური განმარტებების გაცნობით. არც ისე რთულია, მაგრამ რატომღაც სკოლაში არ ისწავლება. მაგრამ უნივერსიტეტში მათემატიკის ლექციებზე, პირველ რიგში, ზუსტად ამას გასწავლიან.

მკითხველის ნებაყოფლობითი წვლილი პროექტის მხარდასაჭერად

თავად ნული ძალიან საინტერესო რიცხვია. თავისთავად ნიშნავს სიცარიელეს, უაზრობას და სხვა რიცხვის გვერდით 10-ჯერ ზრდის მის მნიშვნელობას. ნულოვანი მნიშვნელობის ნებისმიერი რიცხვი ყოველთვის იძლევა 1-ს. ეს ნიშანი გამოიყენებოდა მაიას ცივილიზაციაში და ასევე აღნიშნავდა ცნებას „დასაწყისი, მიზეზი“. კალენდარიც კი დაიწყო ნული დღით. ეს მაჩვენებელი ასევე დაკავშირებულია მკაცრ აკრძალვასთან.

დაწყებითი სკოლის წლებიდან ჩვენ ყველამ მკაფიოდ ვისწავლეთ წესი „ნულის გაყოფა არ შეიძლება“. მაგრამ თუ ბავშვობაში ბევრ რამეს იღებ რწმენაზე და ზრდასრული ადამიანის სიტყვები იშვიათად იწვევს ეჭვს, მაშინ დროთა განმავლობაში ზოგჯერ მაინც გინდა გაიგოთ მიზეზები, გაიგოთ, რატომ შეიქმნა გარკვეული წესები.

რატომ არ შეიძლება ნულზე გაყოფა? მსურს ამ კითხვის მკაფიო ლოგიკური ახსნა მივიღო. პირველ კლასში მასწავლებლები ამას ვერ აკეთებდნენ, რადგან მათემატიკაში წესები განტოლებების გამოყენებით ხსნიან და იმ ასაკში წარმოდგენაც არ გვქონდა რა იყო. ახლა კი დროა გავარკვიოთ და მივიღოთ მკაფიო ლოგიკური ახსნა, თუ რატომ არ შეიძლება ნულზე გაყოფა.

ფაქტია, რომ მათემატიკაში ოთხი ძირითადი მოქმედებიდან (+, -, x, /) რიცხვებით მხოლოდ ორი აღიარებულია დამოუკიდებლად: გამრავლება და შეკრება. დარჩენილი ოპერაციები ითვლება წარმოებულებად. მოდით შევხედოთ მარტივ მაგალითს.

მითხარი, რამდენს მიიღებ თუ 20-ს 18 გამოაკლებ? ბუნებრივია, პასუხი მაშინვე გვიჩნდება თავში: ეს იქნება 2. როგორ მივედით ამ შედეგამდე? ეს კითხვა ზოგს უცნაურად მოეჩვენება - ბოლოს და ბოლოს, ყველაფერი ნათელია, რომ შედეგი იქნება 2, ვიღაც განმარტავს, რომ მან 20 კაპიკიდან 18 აიღო და ორი კაპიკი მიიღო. ლოგიკურად, ყველა ეს პასუხი საეჭვო არ არის, მაგრამ მათემატიკური თვალსაზრისით, ეს პრობლემა სხვაგვარად უნდა გადაწყდეს. კიდევ ერთხელ გავიხსენოთ, რომ მათემატიკაში ძირითადი მოქმედებებია გამრავლება და შეკრება და ამიტომ ჩვენს შემთხვევაში პასუხი მდგომარეობს შემდეგი განტოლების ამოხსნაში: x + 18 = 20. აქედან გამომდინარეობს, რომ x = 20 - 18, x = 2 . როგორც ჩანს, რატომ აღწერს ყველაფერს ასე დეტალურად? ყოველივე ამის შემდეგ, ყველაფერი ასე მარტივია. თუმცა, ამის გარეშე ძნელია იმის ახსნა, თუ რატომ არ შეიძლება ნულზე გაყოფა.

ახლა ვნახოთ რა მოხდება, თუ გვინდა 18 გავყოთ ნულზე. მოდით კვლავ შევქმნათ განტოლება: 18: 0 = x. ვინაიდან გაყოფის ოპერაცია არის გამრავლების პროცედურის წარმოებული, ჩვენი განტოლების გარდაქმნით ვიღებთ x * 0 = 18. აქედან იწყება ჩიხი. ნებისმიერი რიცხვი X-ის ადგილზე ნულზე გამრავლებისას მიიღებთ 0-ს და ვერ მივიღებთ 18-ს. ახლა ძალიან ნათელი ხდება, რატომ არ შეიძლება ნულზე გაყოფა. თავად ნული შეიძლება დაიყოს ნებისმიერ რიცხვზე, მაგრამ პირიქით - სამწუხაროდ, ეს შეუძლებელია.

რა მოხდება, თუ ნულს თავისთავად გაყოფთ? ეს შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად: 0: 0 = x, ან x * 0 = 0. ამ განტოლებას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა. აქედან გამომდინარე, საბოლოო შედეგი არის უსასრულობა. ამიტომ ოპერაციას ამ შემთხვევაშიც აზრი არ აქვს.

0-ზე გაყოფა მრავალი წარმოსახვითი მათემატიკური ხუმრობის სათავეა, რომლებიც, სურვილის შემთხვევაში, შეიძლება გამოყენებულ იქნას ნებისმიერი უცოდინარი ადამიანის თავსატეხში. მაგალითად, განვიხილოთ განტოლება: 4*x - 20 = 7*x - 35. ავიღოთ ფრჩხილებიდან 4 მარცხენა მხარეს და 7 მარჯვნივ. მივიღებთ: 4*(x - 5) = 7*(x - 5). ახლა გავამრავლოთ მარცხენა და მარჯვენა მხარეგანტოლებები წილადისთვის 1/(x - 5). განტოლება მიიღებს შემდეგ ფორმას: 4*(x - 5)/(x - 5) = 7*(x - 5)/ (x - 5). წილადები შევამციროთ (x - 5) და გამოდის, რომ 4 = 7. აქედან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ 2*2 = 7! რა თქმა უნდა, დაჭერა აქ არის ის, რომ ის უდრის 5-ს და შეუძლებელი იყო წილადების გაუქმება, რადგან ამან გამოიწვია ნულზე გაყოფა. ამიტომ, წილადების შემცირებისას ყოველთვის უნდა შეამოწმოთ, რომ ნული შემთხვევით არ აღმოჩნდეს მნიშვნელში, წინააღმდეგ შემთხვევაში შედეგი სრულიად არაპროგნოზირებადი იქნება.

თითოეულმა ჩვენგანმა მინიმუმ ორი ურყევი წესი ისწავლა სკოლიდან: "ჟი და ში - დაწერე ასო I" და " ნულზე ვერ გაყოფ". და თუ პირველი წესი შეიძლება აიხსნას რუსული ენის თავისებურებით, მაშინ მეორე ბადებს სრულიად ლოგიკურ კითხვას: "რატომ?"

რატომ არ შეიძლება ნულზე გაყოფა?

მთლად გაუგებარია, რატომ არ საუბრობენ ამაზე სკოლაში, მაგრამ არითმეტიკული თვალსაზრისით, პასუხი ძალიან მარტივია.

ავიღოთ ნომერი 10 და გაყავით 2 . ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ ავიღეთ 10 ნებისმიერი ობიექტი და დაალაგეთ ისინი შესაბამისად 2 თანაბარი ჯგუფები, ანუ 10: 2 = 5 (მით 5 ნივთები ჯგუფში). იგივე მაგალითი შეიძლება დაიწეროს განტოლების გამოყენებით x * 2 = 10(და Xაქ იქნება თანაბარი 5 ).

ახლა, ერთი წამით წარმოვიდგინოთ, რომ შეგიძლიათ გაყოთ ნულზე და ვცადოთ 10 გაყოფა 0 .

თქვენ მიიღებთ შემდეგს: 10: 0 = x, აქედან გამომდინარე x * 0 = 10. მაგრამ ჩვენი გამოთვლები არ შეიძლება იყოს სწორი, რადგან ნებისმიერი რიცხვის გამრავლებისას 0 ის ყოველთვის მუშაობს 0 . მათემატიკაში არ არსებობს ისეთი რიცხვი, რომელიც მრავლდება 0 სხვა რამეს მისცემდა გარდა 0 . აქედან გამომდინარე, განტოლებები 10: 0 = xდა x * 0 = 10გამოსავალი არ აქვს. ამის გათვალისწინებით, ამბობენ, რომ ნულზე გაყოფა არ შეიძლება.

როდის შეიძლება გაყოფა ნულზე?

არის ვარიანტი, რომელშიც ნულზე გაყოფა მაინც გარკვეული აზრი აქვს. თუ თავად ნულს გავყოფთ, მივიღებთ შემდეგს 0: 0 = x, რაც ნიშნავს x * 0 = 0.

მოდი ვიჩვენოთ, რომ x=0, მაშინ განტოლება არ ბადებს კითხვებს, ყველაფერი იდეალურად ჯდება 0: 0 = 0 , და, შესაბამისად 0 * 0 = 0 .

მაგრამ რა მოხდება, თუ X≠ 0 ? მოდი ვიჩვენოთ, რომ x = 9? მერე 9 * 0 = 0 და 0: 0 = 9 ? Და თუ x=45, ეს 0: 0 = 45 .

ჩვენ ნამდვილად შეგვიძლია გაზიარება 0 on 0 . მაგრამ ამ განტოლებას ექნება ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა, ვინაიდან 0:0 = არაფერი.

რატომ 0: 0 = NaN

ოდესმე გიცდიათ გაყოფა 0 on 0 სმარტფონზე? ვინაიდან ნულზე გაყოფილი ნულზე იძლევა აბსოლუტურად ნებისმიერ რიცხვს, პროგრამისტებს უნდა ეძიათ გამოსავალი ამ სიტუაციიდან, რადგან კალკულატორს არ შეუძლია უგულებელყოს თქვენი მოთხოვნები. და მათ იპოვეს უნიკალური გამოსავალი: როცა ნულს ყოფ ნულზე, მიიღებ NaN (არა რიცხვი).

რატომ x: 0 =∞ ა x: -0 = — ∞

თუ თქვენს სმარტფონზე რაიმე რიცხვის ნულზე გაყოფას ცდილობთ, პასუხი უსასრულობის ტოლი იქნება. საქმე იმაშია, რომ მათემატიკაში 0 ზოგჯერ განიხილება არა როგორც "არაფერი", არამედ როგორც "უსასრულოდ მცირე რაოდენობა". ამიტომ, თუ რომელიმე რიცხვი იყოფა უსასრულოდ მცირე მნიშვნელობაზე, შედეგი არის უსასრულოდ დიდი მნიშვნელობა (∞) .

ანუ შესაძლებელია ნულზე გაყოფა?

პასუხი, როგორც ხშირად ხდება, ორაზროვანია. სკოლაში უმჯობესია ეს თქვენს ცხვირზე შენიშნოთ ნულზე ვერ გაყოფ- ეს დაგიცავთ ზედმეტი გართულებებისგან. მაგრამ თუ უნივერსიტეტში ჩარიცხავთ მათემატიკის ფაკულტეტზე, მაინც მოგიწევთ ნულზე გაყოფა.