ლოგარითმს წინ უძღვის რიცხვი. რა არის ლოგარითმი? ლოგარითმების ამოხსნა. მაგალითები. ლოგარითმების თვისებები
რა არის ლოგარითმი?
ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალები 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც ძალიან "არც ძალიან..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")
რა არის ლოგარითმი? როგორ ამოხსნათ ლოგარითმები? ეს კითხვები ბევრ კურსდამთავრებულს აბნევს. ტრადიციულად, ლოგარითმების თემა განიხილება რთული, გაუგებარი და საშინელი. განსაკუთრებით განტოლებები ლოგარითმებით.
ეს აბსოლუტურად არ შეესაბამება სიმართლეს. აბსოლუტურად! არ გჯერა? ჯარიმა. ახლა, სულ რაღაც 10-20 წუთში თქვენ:
1. გაიგებთ რა არის ლოგარითმი.
2. ისწავლეთ მთელი კლასის ამოხსნა ექსპონენციალური განტოლებები. მაშინაც კი, თუ მათ შესახებ არაფერი გსმენიათ.
3. ისწავლეთ მარტივი ლოგარითმების გამოთვლა.
უფრო მეტიც, ამისათვის თქვენ მხოლოდ უნდა იცოდეთ გამრავლების ცხრილი და როგორ ავიყვანოთ რიცხვი ხარისხამდე...
ვგრძნობ, რომ ეჭვი გეპარება... კარგი, კარგი, მონიშნე დრო! წადი!
პირველ რიგში, ამოხსენით ეს განტოლება თქვენს თავში:
თუ მოგწონთ ეს საიტი...
სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)
შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. ვისწავლოთ - ინტერესით!)
შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.
274. შენიშვნები.
ა)თუ გამოთქმა, რომლის შეფასებაც გსურთ, შეიცავს ჯამიან განსხვავებარიცხვები, მაშინ ისინი უნდა მოიძებნოს ცხრილების დახმარების გარეშე ჩვეულებრივი შეკრებით ან გამოკლებით. Მაგალითად:
ჟურნალი (35 +7.24) 5 = 5 ლოგი (35 + 7.24) = 5 ლოგი 42.24.
ბ)იმის ცოდნა, თუ როგორ უნდა გამოვთვალოთ გამონათქვამები ლოგარითმი, ჩვენ შეგვიძლია, პირიქით ეს შედეგილოგარითმების გამოყენება გამოსახულების საპოვნელად, საიდანაც ეს შედეგი იქნა მიღებული; ასე რომ, თუ
ჟურნალი X= ჟურნალი ა+ ჟურნალი ბ- 3 ჟურნალი თან,
მაშინ ამის გაგება ადვილია
V)სანამ ლოგარითმული ცხრილების სტრუქტურის განხილვაზე გადავიდოდეთ, ჩვენ მივუთითებთ ათობითი ლოგარითმების ზოგიერთ თვისებას, ე.ი. ისინი, რომლებშიც რიცხვი 10 არის აღებული, როგორც საფუძველი (გამოთვლებისთვის გამოიყენება მხოლოდ ასეთი ლოგარითმები).
თავი მეორე.
ათობითი ლოგარითმების თვისებები.
275 . ა) ვინაიდან 10 1 = 10, 10 2 = 100, 10 3 = 1000, 10 4 = 10000 და ა.შ., მაშინ log 10 = 1, log 100 = 2, log 1000 = 3, log 10000 = 4 და ა.შ.
ნიშნავს, ერთი და ნულებით წარმოდგენილი მთელი რიცხვის ლოგარითმი არის დადებითი მთელი რიცხვი, რომელიც შეიცავს იმდენ ერთს, რამდენიც არის ნულები რიცხვის წარმოდგენაში.
ამრიგად: ჟურნალი 100000 = 5, ჟურნალი 1000 000 = 6 და ა.შ.
ბ) იმიტომ
ჟურნალი 0.1 = -ლ; ჟურნალი 0.01 = - 2; ჟურნალი 0.001 == -3; ჟურნალი 0.0001 = - 4,და ა.შ.
ნიშნავს, ათობითი წილადის ლოგარითმი, რომელიც წარმოდგენილია წინა ნულების ერთეულით, არის უარყოფითი მთელი რიცხვი, რომელიც შეიცავს იმდენ უარყოფით ერთეულს, რამდენიც არის ნულები წილადის წარმოდგენაში, მათ შორის 0 მთელი რიცხვი.
ამრიგად: ჟურნალი 0.00001= - 5, ჟურნალი 0.000001 = -6,და ა.შ.
V)ავიღოთ მთელი რიცხვი, რომელიც არ არის წარმოდგენილი ერთით და ნულებით, მაგალითად. 35, ან მთელი რიცხვი წილადით, მაგალითად. 10.7. ასეთი რიცხვის ლოგარითმი არ შეიძლება იყოს მთელი რიცხვი, ვინაიდან 10-ის აწევით ხარისხზე მთელი რიცხვის მაჩვენებლით (დადებითი ან უარყოფითი), მივიღებთ 1-ს ნულებით (1-ის შემდეგ ან მის წინ). ახლა დავუშვათ, რომ ასეთი რიცხვის ლოგარითმი არის რაღაც წილადი ა / ბ . მაშინ თანასწორობა გვექნებოდა
მაგრამ ეს თანასწორობები შეუძლებელია, როგორც 10ა არის 1-ები ნულებით, ხოლო გრადუსით 35ბ და 10,7ბ ნებისმიერი ზომით ბ არ შეიძლება 1-ის მიცემა, რასაც მოჰყვება ნულები. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ ვერ დავუშვებთ ჟურნალი 35და ჟურნალი 10.7წილადების ტოლი იყო. მაგრამ ლოგარითმული ფუნქციის თვისებებიდან ვიცით () რომ ყველა დადებით რიცხვს აქვს ლოგარითმი; შესაბამისად, თითოეულ რიცხვს 35 და 10.7 აქვს თავისი ლოგარითმი და რადგან ის არ შეიძლება იყოს არც მთელი რიცხვი და არც წილადი რიცხვი, ეს არის ირაციონალური რიცხვი და, შესაბამისად, არ შეიძლება ზუსტად გამოისახოს რიცხვების საშუალებით. ირაციონალური ლოგარითმები ჩვეულებრივ გამოიხატება დაახლოებით ათწილადის სახით რამდენიმე ათობითი ადგილით. ამ წილადის მთელი რიცხვი (თუნდაც ეს იყოს "0 მთელი რიცხვი") ეწოდება დამახასიათებელი, ხოლო წილადი ნაწილი არის ლოგარითმის მანტისა. თუ, მაგალითად, არსებობს ლოგარითმი 1,5441 , მაშინ მისი მახასიათებელი ტოლია 1 და მანტისა არის 0,5441 .
გ)მაგალითად, ავიღოთ მთელი ან შერეული რიცხვი. 623 ან 623,57 . ასეთი რიცხვის ლოგარითმი შედგება მახასიათებლისა და მანტისისგან. გამოდის, რომ ათობითი ლოგარითმებს აქვთ ისეთი მოხერხებულობა, რომ ჩვენ ყოველთვის შეგვიძლია ვიპოვოთ მათი მახასიათებლები ერთი ტიპის რიცხვით . ამისათვის ჩვენ ვითვლით რამდენი ციფრია მოცემულ მთელ რიცხვში, ან მთელ რიცხვში შერეული რიცხვი, ამ რიცხვების ჩვენს მაგალითებში 3 . აქედან გამომდინარე, თითოეული ნომერი 623 და 623,57 100-ზე მეტი, მაგრამ 1000-ზე ნაკლები; ეს ნიშნავს, რომ თითოეული მათგანის ლოგარითმი უფრო დიდია ჟურნალი 100, ანუ მეტი 2 , მაგრამ ნაკლები ჟურნალი 1000, ანუ ნაკლები 3 (გახსოვდეთ, რომ უფრო დიდ რიცხვს ასევე აქვს უფრო დიდი ლოგარითმი). აქედან გამომდინარე, ჟურნალი 623 = 2,..., და ჟურნალი 623.57 = 2,... (წერტილები ცვლის უცნობ მანტისებს).
მსგავსს ვპოულობთ:
|
10 < 56,7 < 100 1 < log56,7 < 2 ჟურნალი 56.7 = 1,... |
1000 < 8634 < 10 000 3 < log8634 < 4 ჟურნალი 8634 = 3,... |
ზოგადად მოცემული მთელი რიცხვი, ან მოცემული შერეული რიცხვის მთელი რიცხვი შეიცავდეს მ ნომრები ვინაიდან უმცირესი მთელი რიცხვი შეიცავს მ ნომრები, დიახ 1 თან მ - 1 ნულები ბოლოს, შემდეგ (აღნიშნავს ამ რიცხვს ნ) შეგვიძლია დავწეროთ უტოლობა:
და, შესაბამისად,
მ - 1 < log N < მ ,
ჟურნალი N = ( მ- 1) + დადებითი წილადი.
ასე რომ, დამახასიათებელი logN = მ - 1 .
ჩვენ ვხედავთ ამ გზით, რომ მთელი ან შერეული რიცხვის ლოგარითმის მახასიათებელი შეიცავს იმდენ დადებით ერთეულს, რამდენსაც არის რიცხვი მინუს ერთი რიცხვის მთელ ნაწილში.
ეს რომ შევნიშნეთ, შეგვიძლია პირდაპირ დავწეროთ:
ჟურნალი 7.205 = 0,...; ჟურნალი 83 = 1,...; ჟურნალი 720.4 = 2,...და ასე შემდეგ.
დ)ავიღოთ რამდენიმე ათობითი წილადი პატარა 1 (ანუ ქონა 0 მთელი): 0,35; 0,07; 0,0056; 0,0008, და ასე შემდეგ.
ამრიგად, თითოეული ეს ლოგარითმი მოთავსებულია ორ უარყოფით რიცხვს შორის, რომლებიც განსხვავდებიან ერთი ერთეულით; ამიტომ თითოეული მათგანი უდრის ამ უარყოფითი რიცხვებიდან უფრო მცირეს, რომელიც გაზრდილია რაიმე დადებითი წილადით. Მაგალითად, log0.0056= -3 + დადებითი წილადი. დავუშვათ, რომ ეს წილადი არის 0,7482. მაშინ ეს ნიშნავს:
ჟურნალი 0,0056 = - 3 + 0,7482 (= - 2,2518).
თანხები, როგორიცაა - 3 + 0,7482 , რომელიც შედგება უარყოფითი მთელი რიცხვისა და დადებითი ათობითი წილადისაგან, ჩვენ შევთანხმდით, რომ ლოგარითმულ გამოთვლებში დავწეროთ შემოკლებით შემდეგნაირად: 3 ,7482 (ეს რიცხვი იკითხება: 3 გამოკლებული, 7482 ათიათასედი.), ანუ ათავსებენ მინუს ნიშანს მახასიათებელზე, რათა აჩვენონ, რომ ის მხოლოდ ამ მახასიათებელს ეხება და არა მანტისას, რომელიც რჩება დადებითი. ამრიგად, ზემოთ მოყვანილი ცხრილიდან ირკვევა, რომ
ჟურნალი 0,35 == 1 ,....; ჟურნალი 0.07 = 2,....; ჟურნალი 0.0008 = 4,....
ნება საერთოდ 
. არის ათობითი წილადი, რომელშიც პირველ მნიშვნელოვან ციფრამდე α
ღირს მ
ნულები, მათ შორის 0 მთელი რიცხვი. მაშინ აშკარაა, რომ
- მ < log A < - (მ- 1).
ვინაიდან ორი მთელი რიცხვიდან: - მ და - (მ- 1) არის ნაკლები - მ , ეს
ჟურნალი A = - მ+ დადებითი ფრაქცია,
და შესაბამისად მახასიათებელი ჟურნალი A = - მ (დადებითი მანტისით).
ამრიგად, 1-ზე ნაკლები ათობითი წილადის ლოგარითმის მახასიათებელი შეიცავს იმდენ უარყოფითს, რამდენიც არის ნულები ათწილადის გამოსახულებაში პირველ მნიშვნელოვან ციფრამდე, ნულოვანი მთელი რიცხვების ჩათვლით; ასეთი ლოგარითმის მანტისა დადებითია.
ე)გავამრავლოთ რაღაც რიცხვი ნ(მთელი თუ წილადი - არ აქვს მნიშვნელობა) 10-ით, 100-ით 1000-ით..., ზოგადად 1-ით ნულებით. ვნახოთ, როგორ იცვლება ეს ჟურნალი ნ. პროდუქტის ლოგარითმიდან გამომდინარე ჯამის ტოლიფაქტორების ლოგარითმები, მაშინ
ჟურნალი (N 10) = ჟურნალი N + ჟურნალი 10 = ჟურნალი N + 1;
log(N 100) = ჟურნალი N + ჟურნალი 100 = ჟურნალი N + 2;
log(N 1000) = log N + log 1000 = ჟურნალი N + 3;და ა.შ.
როდის ჟურნალი ნჩვენ ვამატებთ მთელ რიცხვს, შემდეგ ყოველთვის შეგვიძლია დავამატოთ ეს რიცხვი მახასიათებელს და არა მანტისას.
ასე რომ, თუ ჟურნალი N = 2.7804, მაშინ 2.7804 + 1 = 3.7804; 2.7804 + 2 = 4.7801 და ა.შ.;
ან თუ ჟურნალი N = 3,5649, მაშინ 3,5649 + 1 = 2,5649; 3.5649 + 2 = 1.5649 და ა.შ.
როდესაც რიცხვი მრავლდება 10-ზე, 100-ზე, 1000-ზე..., ზოგადად 1-ზე ნულებით, ლოგარითმის მანტისა არ იცვლება და მახასიათებელი იზრდება იმდენი ერთეულით, რამდენიც არის ნულები ფაქტორში. .
ანალოგიურად, იმის გათვალისწინებით, რომ კოეფიციენტის ლოგარითმი უდრის დივიდენდის ლოგარითმს გამყოფის ლოგარითმის გარეშე, მივიღებთ:
ჟურნალი N / 10 = ჟურნალი N- log 10 = ჟურნალი N -1;
ჟურნალი N / 100 = ჟურნალი N- log 100 = ჟურნალი N -2;
ჟურნალი N / 1000 = ჟურნალი N- log 1000 = ჟურნალი N -3;და ასე შემდეგ.
თუ შევთანხმდებით, რომ ლოგარითმიდან მთელი რიცხვის გამოკლებისას, ყოველთვის გამოვაკლოთ ეს რიცხვი მახასიათებელს და დავტოვოთ მანტისა უცვლელი, მაშინ შეგვიძლია ვთქვათ:
რიცხვის 1-ზე გაყოფა არ ცვლის ლოგარითმის მანტისას, მაგრამ მახასიათებელი მცირდება იმდენი ერთეულით, რამდენიც არის ნულები გამყოფში.
276. შედეგები.საკუთრებიდან ( ე) შეიძლება გამოვიტანოთ შემდეგი ორი დასკვნა:
ა) ათობითი რიცხვის ლოგარითმის მანტისა არ იცვლება ათწილადში გადატანისას , რადგან ათობითი წერტილის გადაადგილება უდრის გამრავლებას ან გაყოფას 10-ზე, 100-ზე, 1000-ზე და ა.შ. ამრიგად, რიცხვების ლოგარითმები:
0,00423, 0,0423, 4,23, 423
განსხვავდება მხოლოდ მახასიათებლებით, მაგრამ არა მანტისებში (იმ პირობით, რომ ყველა მანტისა დადებითია).
ბ) რიცხვების მანტისები, რომლებსაც აქვთ იგივე მნიშვნელოვანი ნაწილი, მაგრამ ბოლოში მხოლოდ ნულებით განსხვავდებიან, იგივეა: ამრიგად, რიცხვების ლოგარითმები: 23, 230, 2300, 23,000 განსხვავდება მხოლოდ მახასიათებლებით.
კომენტარი. ათობითი ლოგარითმების მითითებული თვისებებიდან ირკვევა, რომ ცხრილების დახმარების გარეშე შეგვიძლია ვიპოვოთ მთელი რიცხვისა და ათობითი წილადის ლოგარითმის მახასიათებლები (ეს არის ათობითი ლოგარითმების დიდი მოხერხებულობა); შედეგად, მხოლოდ ერთი მანტისა მოთავსებულია ლოგარითმულ ცხრილებში; გარდა ამისა, ვინაიდან წილადების ლოგარითმების პოვნა მცირდება მთელი რიცხვების ლოგარითმების პოვნამდე (წილადის ლოგარითმი = მრიცხველის ლოგარითმი მნიშვნელის ლოგარითმის გარეშე), ცხრილებში მოთავსებულია მხოლოდ მთელი რიცხვების ლოგარითმების მანტისები.
თავი მესამე.
ოთხნიშნა ცხრილების დიზაინი და გამოყენება.
277. ლოგარითმების სისტემები.ლოგარითმების სისტემა არის ლოგარითმების ერთობლიობა, რომელიც გამოითვლება მთელი რიგი თანმიმდევრული რიცხვებისთვის ერთი და იგივე ბაზის გამოყენებით. გამოიყენება ორი სისტემა: ჩვეულებრივი ან ათობითი ლოგარითმების სისტემა, რომელშიც რიცხვი აღებულია ფუძედ 10 და ეგრეთ წოდებული ბუნებრივი ლოგარითმების სისტემა, რომელშიც ირაციონალური რიცხვი მიიღება საფუძვლად (რაღაც მიზეზების გამო, რაც აშკარაა მათემატიკის სხვა დარგებში) 2,7182818 ... გამოთვლებისთვის გამოიყენება ათობითი ლოგარითმები, იმ მოხერხებულობის გამო, რომელიც ჩვენ აღვნიშნეთ ასეთი ლოგარითმების თვისებების ჩამოთვლისას.
ბუნებრივი ლოგარითმებიასევე ნეპეროვს უწოდებენ ლოგარითმების გამომგონებლის, შოტლანდიელი მათემატიკოსის სახელით ნეპერა(1550-1617), ხოლო ათობითი ლოგარითმები - პროფესორის სახელობის ბრიგსი ბრიგა(ნეპიერის თანამედროვე და მეგობარი), რომელმაც პირველად შეადგინა ამ ლოგარითმების ცხრილები.
278. უარყოფითი ლოგარითმის გადაქცევა ისეთად, რომლის მანტისა დადებითია და შებრუნებული ტრანსფორმაცია. ჩვენ ვნახეთ, რომ 1-ზე ნაკლები რიცხვების ლოგარითმები უარყოფითია. ეს ნიშნავს, რომ ისინი შედგება უარყოფითი მახასიათებლისა და უარყოფითი მანტისისგან. ასეთი ლოგარითმები ყოველთვის შეიძლება გარდაიქმნას ისე, რომ მათი მანტისა დადებითი იყოს, მაგრამ მახასიათებელი უარყოფითი რჩება. ამისათვის საკმარისია მანტისას დადებითი, ხოლო მახასიათებელს უარყოფითი (რაც, რა თქმა უნდა, არ ცვლის ლოგარითმის მნიშვნელობას).
თუ, მაგალითად, გვაქვს ლოგარითმი - 2,0873 , მაშინ შეგიძლიათ დაწეროთ:
- 2,0873 = - 2 - 1 + 1 - 0,0873 = - (2 + 1) + (1 - 0,0873) = - 3 + 0,9127,
ან შემოკლებით:
პირიქით, ნებისმიერი ლოგარითმი უარყოფითი მახასიათებლით და დადებითი მანტისით შეიძლება გადაიზარდოს უარყოფითად. ამისათვის საკმარისია დადებითი მანტისას დაუმატოთ უარყოფითი, ხოლო უარყოფით მახასიათებელს დადებითი: ასე რომ, შეგიძლიათ დაწეროთ:
279. ოთხნიშნა ცხრილების აღწერა.პრაქტიკული პრობლემების უმეტესობის გადასაჭრელად სავსებით საკმარისია ოთხნიშნა ცხრილები, რომელთა დამუშავებაც ძალიან მარტივია. ეს ცხრილები (ზედაზე წარწერით „ლოგარითმები“) მოთავსებულია ამ წიგნის ბოლოს და მათი მცირე ნაწილი (განლაგების ასახსნელად) დაბეჭდილია ამ გვერდზე, შეიცავს მანტისებს.
ლოგარითმები.
ყველა მთელი რიცხვის ლოგარითმები დან 1 ადრე 9999 ჩათვლით, გამოითვლება ოთხ ათწილადამდე, ამ ადგილებიდან ბოლო გაზრდილია 1 ყველა იმ შემთხვევაში, როდესაც მე-5 ათობითი ადგილი იქნება 5 ან 5-ზე მეტი; ამიტომ, 4-ნიშნა ცხრილები იძლევა მიახლოებით მანტისებს მდე 1 / 2 მეათასი ნაწილი (ნაკლოვანებით ან ჭარბი რაოდენობით).
ვინაიდან ჩვენ შეგვიძლია პირდაპირ დავახასიათოთ მთელი რიცხვის ან ათობითი წილადის ლოგარითმი, ათწილადის ლოგარითმების თვისებებზე დაყრდნობით, ცხრილებიდან უნდა ავიღოთ მხოლოდ მანტისები; ამავდროულად, უნდა გვახსოვდეს, რომ ათობითი წერტილის პოზიცია ათწილად რიცხვში, ისევე როგორც ნულების რაოდენობა რიცხვის ბოლოს, გავლენას არ ახდენს მანტისას მნიშვნელობაზე. ამიტომ მანტისას პოვნისას მოცემული ნომერიამ რიცხვში ვხსნით მძიმეს, ასევე მის ბოლოს ნულებს, თუ არის ასეთი, და ვპოულობთ ამის შემდეგ წარმოქმნილ მთელი რიცხვის მანტისას. შეიძლება წარმოიშვას შემდეგი შემთხვევები.
1) მთელი რიცხვი შედგება 3 ციფრისგან.მაგალითად, ვთქვათ, უნდა ვიპოვოთ 536 რიცხვის ლოგარითმის მანტისა. ამ რიცხვის პირველი ორი ციფრი, ანუ 53, გვხვდება ცხრილებში, მარცხნივ პირველ ვერტიკალურ სვეტში (იხ. ცხრილი). რიცხვი 53 რომ ვიპოვეთ, მისგან ჰორიზონტალური ხაზის გასწვრივ გადავდივართ მარჯვნივ, სანამ ეს ხაზი არ გადაიკვეთება ვერტიკალურ სვეტთან, რომელიც გადის ერთ-ერთ რიცხვზე 0, 1, 2, 3,... 9, რომელიც მოთავსებულია ზემოთ (და ცხრილის ქვედა), რომელიც არის მოცემული რიცხვის მე-3 ციფრი, ანუ ჩვენს მაგალითში რიცხვი 6. გადაკვეთაზე ვიღებთ მანტისას 7292 (ე.ი. 0,7292), რომელიც ეკუთვნის 536 რიცხვის ლოგარითმს. ანალოგიურად. , 508 რიცხვისთვის ვპოულობთ მანტისას 0,7059, 500 რიცხვისთვის 0,6990 და ა.შ.
2) მთელი რიცხვი შედგება 2 ან 1 ციფრისგან.შემდეგ გონებრივად მივაკუთვნებთ ამ რიცხვს ერთ ან ორ ნულს და ვპოულობთ მანტისას ამგვარად წარმოქმნილი სამნიშნა რიცხვისთვის. მაგალითად, 51 რიცხვს ვამატებთ ერთ ნულს, საიდანაც ვიღებთ 510-ს და ვიპოვით მანტისა 7070; ნომერ 5-ს ვანიჭებთ 2 ნულს და ვპოულობთ მანტისას 6990 და ა.შ.
3) მთელი რიცხვი გამოიხატება 4 ციფრით.მაგალითად, თქვენ უნდა იპოვოთ log 5436-ის მანტისა. შემდეგ, პირველ რიგში, ცხრილებში ვპოულობთ მანტისას იმ რიცხვისთვის, რომელიც წარმოდგენილია ამ რიცხვის პირველი 3 ციფრით, ანუ 543-ისთვის (ეს მანტისა იქნება 7348) ; შემდეგ აღმოჩენილი მანტისიდან ჰორიზონტალური ხაზის გასწვრივ გადავდივართ მარჯვნივ (მაგიდის მარჯვენა მხარეს, რომელიც მდებარეობს სქელი ვერტიკალური ხაზის მიღმა), სანამ ის არ გადაიკვეთება ვერტიკალურ სვეტთან, რომელიც გადის ერთ-ერთ რიცხვში: 1, 2 3,. .. 9, რომელიც მდებარეობს ცხრილის ამ ნაწილის ზედა (და ბოლოში), რომელიც წარმოადგენს მოცემული რიცხვის მე-4 ციფრს, ანუ ჩვენს მაგალითში რიცხვს 6. გადაკვეთაზე ვპოულობთ შესწორებას (ნომერს). 5), რომელიც გონებრივად უნდა იქნას გამოყენებული 7348 მანტისაზე 5436 ნომრის მანტისის მისაღებად; ამ გზით მივიღებთ მანტისას 0.7353.
4) მთელი რიცხვი გამოიხატება 5 ან მეტი ციფრით.შემდეგ ყველა ციფრს ვხსნით პირველი 4-ის გარდა და ვიღებთ მიახლოებით ოთხნიშნა რიცხვს და ამ რიცხვის ბოლო ციფრს გავზრდით 1-ით ამ რიცხვში. შემთხვევა, როდესაც რიცხვის გადაგდებული მე-5 ციფრი არის 5 ან 5-ზე მეტი. ასე რომ, 57842-ის ნაცვლად ვიღებთ 5784-ს, 30257-ის ნაცვლად ვიღებთ 3026-ს, 583263-ის ნაცვლად ვიღებთ 5833-ს და ა.შ. ამ მომრგვალებული ოთხნიშნა რიცხვისთვის, ჩვენ ვპოულობთ მანტისას, როგორც ეს უკვე ახსნილია.
ამ ინსტრუქციებით ხელმძღვანელობით, მოდით ვიპოვოთ, მაგალითად, შემდეგი რიცხვების ლოგარითმები:
36,5; 804,7; 0,26; 0,00345; 7,2634; 3456,06.
უპირველეს ყოვლისა, ამ დროისთვის ცხრილებზე გადასვლის გარეშე, ჩვენ ჩამოვთვლით მხოლოდ მახასიათებლებს, ტოვებს ადგილს მანტისებისთვის, რომელსაც შემდეგ დავწერთ:
log 36.5 = 1,.... log 0.00345 = 3,....
log 804.7 = 2,.... log 7.2634 = 0,....
ჟურნალი 0,26 = 1,.... ჟურნალი 3456,86 = 3,....
ჟურნალი 36.5 = 1.5623; ჟურნალი 0.00345 = 3.5378;
ჟურნალი 804.7 = 2.9057; ჟურნალი 7.2634 = 0.8611;
ჟურნალი 0.26 = 1.4150; ჟურნალი 3456.86 = 3.5387.
280. შენიშვნა. ზოგიერთ ოთხნიშნა ცხრილებში (მაგალითად, ცხრილებში ვ. ლორჩენკო და ნ. ოგლობლინა, ს. გლაზენაპი, ნ. კამენშჩიკოვა) ამ რიცხვის მე-4 ციფრის შესწორებები არ არის განთავსებული. ასეთ ცხრილებთან ურთიერთობისას, თქვენ უნდა იპოვოთ ეს შესწორებები მარტივი გაანგარიშების გამოყენებით, რომელიც შეიძლება შესრულდეს შემდეგი ჭეშმარიტების საფუძველზე: თუ რიცხვები აღემატება 100-ს და მათ შორის სხვაობა 1-ზე ნაკლებია, მაშინ ის მგრძნობიარე შეცდომის გარეშე. შეიძლება ვივარაუდოთ, რომ ლოგარითმებს შორის განსხვავებები პროპორციულია შესაბამის რიცხვებს შორის განსხვავებებისა . მოდით, მაგალითად, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ მანტისა, რომელიც შეესაბამება 5367 რიცხვს. ეს მანტისა, რა თქმა უნდა, იგივეა, რაც 536.7 რიცხვისთვის. 536 ნომრის ცხრილებში ვპოულობთ მანტისას 7292. ამ მანტისას 7300-თან შედარებისას მარჯვნივ, 537 რიცხვის შესაბამისი, შევნიშნავთ, რომ თუ რიცხვი 536 გაიზრდება 1-ით, მაშინ მისი მანტისა გაიზრდება 8 ათით. -ათასიანი (8 არის ე.წ მაგიდის განსხვავებაორ მიმდებარე მანტისას შორის); თუ რიცხვი 536 გაიზრდება 0,7-ით, მაშინ მისი მანტისა გაიზრდება არა 8 ათიათასობით, არამედ უფრო მცირე რიცხვით. X ათი მეათასედი, რომელიც, სავარაუდო პროპორციულობის მიხედვით, უნდა აკმაყოფილებდეს პროპორციებს:
X :8 = 0,7:1; სადაც X = 8 07 = 5,6,
რომელიც მრგვალდება 6 ათიათასად. ეს ნიშნავს, რომ მანტისა 536.7 ნომრისთვის (და შესაბამისად 5367 რიცხვისთვის) იქნება: 7292 + 6 = 7298.
გაითვალისწინეთ, რომ შუალედური რიცხვის პოვნა ცხრილებში ორი მიმდებარე რიცხვის გამოყენებით ეწოდება ინტერპოლაცია.აქ აღწერილი ინტერპოლაცია ე.წ პროპორციული, ვინაიდან იგი ეფუძნება ვარაუდს, რომ ლოგარითმის ცვლილება პროპორციულია რიცხვის ცვლილებისა. მას ასევე უწოდებენ წრფივ, რადგან იგი ვარაუდობს, რომ გრაფიკულად ლოგარითმული ფუნქციის ცვლილება გამოიხატება სწორი ხაზით.
281. მიახლოებითი ლოგარითმის ცდომილების ზღვარი.თუ რიცხვი, რომლის ლოგარითმის ძიება არის ზუსტი რიცხვი, მაშინ მისი ლოგარითმის ცდომილების ზღვარი, რომელიც გვხვდება 4-ნიშნა ცხრილებში, შეიძლება, როგორც ვთქვით, აიღოთ. 1 / 2 ათი ათასი ნაწილი. თუ ეს რიცხვი ზუსტი არ არის, მაშინ ამ შეცდომის ლიმიტს უნდა დავუმატოთ სხვა შეცდომის ლიმიტი, რომელიც გამოწვეულია თავად რიცხვის უზუსტობით. დადასტურებულია (ჩვენ გამოვტოვებთ ამ მტკიცებულებას), რომ ასეთი ლიმიტი შეიძლება ჩაითვალოს პროდუქტად
ა(დ +1) ათი მეათასედი.,
რომელშიც ა არის ცდომილების ზღვარი ყველაზე არაზუსტი რიცხვისთვის, თუ ვივარაუდებთ, რომ მისი მთელი ნაწილი შეიცავს 3 ციფრს, ა დ მანტისების ტაბულური განსხვავება, რომელიც შეესაბამება ორ ზედიზედ სამნიშნა რიცხვს, რომელთა შორის არის მოცემული არაზუსტი რიცხვი. ამრიგად, ლოგარითმის საბოლოო შეცდომის ზღვარი გამოისახება ფორმულით:
1 / 2 + ა(დ +1) ათი მეათასედი
მაგალითი. იპოვნეთ ჟურნალი π , აღება ამისთვის π სავარაუდო რიცხვი 3.14, ზუსტად 1 / 2 მეასედი.
3.14 რიცხვში მე-3 ციფრის შემდეგ მძიმის გადაადგილებით, მარცხნიდან დათვლით, მივიღებთ სამნიშნა რიცხვი 314, ზუსტად 1 / 2 ერთეულები; ეს ნიშნავს, რომ ცდომილების ზღვარი არაზუსტი რიცხვისთვის, ანუ ის, რაც აღვნიშნეთ ასოთი ა , იქ არის 1 / 2 ცხრილებიდან ვხვდებით:
ჟურნალი 3.14 = 0.4969.
მაგიდის განსხვავება დ 314 და 315 რიცხვების მანტისებს შორის უდრის 14-ს, ამიტომ ნაპოვნი ლოგარითმის შეცდომა ნაკლები იქნება
1 / 2 + 1 / 2 (14 +1) = 8 ათი ათასი.
ვინაიდან ჩვენ არ ვიცით 0.4969 ლოგარითმის შესახებ, არის თუ არა ის დეფიციტური ან გადაჭარბებული, ჩვენ შეგვიძლია მხოლოდ იმის გარანტია, რომ ზუსტი ლოგარითმი π დევს 0.4969 - 0.0008 და 0.4969 + 0.0008 შორის, ანუ 0.4961< log π < 0,4977.
282. იპოვეთ რიცხვი მოცემული ლოგარითმის გამოყენებით. მოცემული ლოგარითმის გამოყენებით რიცხვის საპოვნელად, იგივე ცხრილები შეიძლება გამოყენებულ იქნას მოცემული რიცხვების მანტისების საპოვნელად; მაგრამ უფრო მოსახერხებელია სხვა ცხრილების გამოყენება, რომლებიც შეიცავს ეგრეთ წოდებულ ანტილოგარითმებს, ანუ რიცხვებს, რომლებიც შეესაბამება ამ მანტისებს. ეს ცხრილები, რომლებიც მითითებულია ზედა „ანტილოგარითმების“ წარწერით, მოთავსებულია ამ წიგნის ბოლოს ლოგარითმების ცხრილების შემდეგ; მათი მცირე ნაწილი განთავსებულია ამ გვერდზე (ახსნისთვის).
დავუშვათ, რომ თქვენ მოგეცემათ 4-ციფრიანი მანტისა 2863 (ჩვენ ყურადღებას არ ვაქცევთ მახასიათებელს) და თქვენ უნდა იპოვოთ შესაბამისი მთელი რიცხვი. შემდეგ, ანტილოგარითმების ცხრილების არსებობისას, თქვენ უნდა გამოიყენოთ ისინი ზუსტად ისე, როგორც ადრე იყო ახსნილი, რომ იპოვოთ მანტისა მოცემული რიცხვისთვის, კერძოდ: ჩვენ ვპოულობთ მანტისას პირველ 2 ციფრს მარცხნივ პირველ სვეტში. შემდეგ ამ რიცხვებიდან გადავდივართ ჰორიზონტალური ხაზის გასწვრივ მარჯვნივ, სანამ ის არ გადაიკვეთება მანტისას მე-3 ციფრიდან გამოსულ ვერტიკალურ სვეტთან, რომელიც უნდა მოძებნოთ ზედა ხაზში (ან ქვედა ნაწილში). გზაჯვარედინზე ვპოულობთ ოთხნიშნა რიცხვს 1932, რომელიც შეესაბამება მანტისას 286. შემდეგ ამ ნომრიდან გადავდივართ ჰორიზონტალური ხაზის გასწვრივ მარჯვნივ მანტისას მე-4 ციფრიდან გამომავალ ვერტიკალურ სვეტთან კვეთამდე, რომელიც უნდა იპოვება ზევით (ან ქვევით) იქ მოთავსებულ რიცხვებს შორის 1, 2 , 3,... 9. კვეთაზე ვპოულობთ შესწორებას 1, რომელიც უნდა გამოვიყენოთ (გონებაში) უფრო ადრე ნაპოვნი 1032 რიცხვზე, რათა რომ მივიღოთ მანტისას შესაბამისი რიცხვი 2863.
ამრიგად, რიცხვი იქნება 1933. ამის შემდეგ, მახასიათებლის მიქცევის შემდეგ, თქვენ უნდა დააყენოთ 1933 ნომერში სათანადო ადგილი. Მაგალითად:
თუ ჟურნალი x = 3.2863, მაშინ X = 1933,
„ ჟურნალი x = 1,2863, „ X = 19,33,
, ჟურნალი x = 0,2&63, „ X = 1,933,
„ ჟურნალი x = 2 ,2863, „ X = 0,01933
აქ არის მეტი მაგალითი:
ჟურნალი x = 0,2287, X = 1,693,
ჟურნალი x = 1 ,7635, X = 0,5801,
ჟურნალი x = 3,5029, X = 3184,
ჟურნალი x = 2 ,0436, X = 0,01106.
თუ მანტისა შეიცავს 5 ან მეტ ციფრს, მაშინ ვიღებთ მხოლოდ პირველ 4 ციფრს, დანარჩენს ვტოვებთ (მე-4 ციფრის 1-ით გავზრდით, თუ მე-5 ციფრს აქვს ხუთი ან მეტი). მაგალითად, მანტისა 35478-ის ნაცვლად ვიღებთ 3548-ს, 47562-ის ნაცვლად ვიღებთ 4756-ს.
283. შენიშვნა.მანტისას მე-4 და მომდევნო ციფრების კორექტირება ასევე შესაძლებელია ინტერპოლაციის საშუალებით. ასე რომ, თუ მანტისა არის 84357, მაშინ, როდესაც ვიპოვეთ 6966 რიცხვი, რომელიც შეესაბამება მანტისას 843-ს, ჩვენ შეგვიძლია შემდეგი მსჯელობა: თუ მანტისა გაიზრდება 1-ით (ათასობით), ანუ ის 844-ს შეადგენს, მაშინ რიცხვი, როგორც. ცხრილებიდან ჩანს, გაიზრდება 16 ერთეულით; თუ მანტისა გაიზრდება არა 1-ით (ათასობით), არამედ 0,57-ით (ათასობით), მაშინ რიცხვი გაიზრდება X ერთეულები და X უნდა აკმაყოფილებდეს პროპორციებს:
X : 16 = 0.57: 1, საიდანაც x = 16 0,57 = 9,12.
ეს ნიშნავს, რომ საჭირო რიცხვი იქნება 6966 + 9.12 = 6975.12 ან (მხოლოდ ოთხი ციფრით შემოიფარგლება) 6975.
284. ნაპოვნი ნომრის შეცდომის ლიმიტი.დადასტურდა, რომ იმ შემთხვევაში, როდესაც ნაპოვნ რიცხვში მძიმია მარცხნიდან მე-3 ციფრის შემდეგ, ანუ როცა ლოგარითმის მახასიათებელია 2, ჯამი შეიძლება მივიღოთ შეცდომის ზღვრად.
სად ა არის ლოგარითმის შეცდომის ზღვარი (გამოხატული ათი მეათასედში), რომლითაც იქნა ნაპოვნი რიცხვი, და დ - განსხვავება ორი სამნიშნა თანმიმდევრული რიცხვის მანტისებს შორის, რომელთა შორის არის ნაპოვნი რიცხვი (მარცხნიდან მე-3 ციფრის შემდეგ მძიმით). როდესაც მახასიათებელი არის არა 2, არამედ სხვა, მაშინ ნაპოვნი რიცხვში მძიმით უნდა გადავიდეს მარცხნივ ან მარჯვნივ, ანუ გავყოთ ან გავამრავლოთ რიცხვი 10-ის ხარისხზე. ამ შემთხვევაში, შეცდომაა. შედეგი ასევე გაიყოფა ან გამრავლდება იმავე ხარისხზე 10.
მოდით, მაგალითად, ვეძებთ რიცხვს ლოგარითმის გამოყენებით 1,5950 , რომელიც ცნობილია, რომ ზუსტია 3 ათიათასედამდე; ეს ნიშნავს მაშინ ა = 3 . ამ ლოგარითმის შესაბამისი რიცხვი, რომელიც ნაპოვნია ანტილოგარითმების ცხრილიდან, არის 39,36 . მძიმით გადაადგილებით მე-3 ციფრის შემდეგ მარცხნიდან, გვაქვს ნომერი 393,6 , რომელიც შედგება შორის 393 და 394 . ლოგარითმების ცხრილებიდან ვხედავთ, რომ განსხვავება მანტისებს შორის, რომლებიც შეესაბამება ამ ორ რიცხვს არის 11 ათი მეათასედი; ნიშნავს დ = 11 . 393.6 რიცხვის შეცდომა ნაკლები იქნება
ეს ნიშნავს, რომ შეცდომა რიცხვში 39,36 ნაკლები იქნება 0,05 .
285. მოქმედებები უარყოფითი მახასიათებლების მქონე ლოგარითმებზე.ლოგარითმების დამატება და გამოკლება არ წარმოადგენს რაიმე სირთულეს, როგორც ეს ჩანს შემდეგი მაგალითებიდან:
ასევე არ არის სირთულე ლოგარითმის დადებით რიცხვზე გამრავლებისას, მაგალითად:
ბოლო მაგალითში დადებითი მანტისა ცალ-ცალკე მრავლდება 34-ზე, შემდეგ უარყოფითი მახასიათებელი მრავლდება 34-ზე.
თუ უარყოფითი მახასიათებლისა და დადებითი მანტისას ლოგარითმი გამრავლებულია უარყოფით რიცხვზე, მაშინ გააგრძელეთ ორი გზით: ან მოცემული ლოგარითმი ჯერ უარყოფითად გადაიქცევა, ან მანტისა და მახასიათებელი ცალ-ცალკე მრავლდება და შედეგები გაერთიანებულია, მაგალითად. :
3 ,5632 (- 4) = - 2,4368 (- 4) = 9,7472;
3 ,5632 (- 4) = + 12 - 2,2528 = 9,7472.
გაყოფისას შეიძლება წარმოიშვას ორი შემთხვევა: 1) უარყოფითი მახასიათებელი იყოფა და 2) არ იყოფა გამყოფით. პირველ შემთხვევაში, მახასიათებელი და მანტისა გამოყოფილია ცალკე:
10 ,3784: 5 = 2 ,0757.
მეორე შემთხვევაში მახასიათებელს იმდენი უარყოფითი ერთეული ემატება ისე, რომ მიღებული რიცხვი იყოფა გამყოფზე; იგივე რაოდენობის დადებითი ერთეული ემატება მანტისას:
3 ,7608: 8 = (- 8 + 5,7608) : 8 = 1 ,7201.
ეს ტრანსფორმაცია უნდა განხორციელდეს გონებაში, ასე რომ მოქმედება ასე მიდის:
286. გამოკლებული ლოგარითმების ტერმინებით ჩანაცვლება.ლოგარითმების გამოყენებით რაიმე რთული გამოხატვის გამოთვლისას, თქვენ უნდა დაამატოთ რამდენიმე ლოგარითმი და გამოვაკლოთ სხვები; ამ შემთხვევაში, როცა ჩვეულებრივი გზითმოქმედებების შესრულებისას იპოვნეთ ცალ-ცალკე დამატებული ლოგარითმების ჯამი, შემდეგ გამოკლებულთა ჯამი და გამოაკლეთ მეორე პირველ ჯამს. მაგალითად, თუ გვაქვს:
ჟურნალი X = 2,7305 - 2 ,0740 + 3 ,5464 - 8,3589 ,
მაშინ მოქმედებების ჩვეულებრივი შესრულება ასე გამოიყურება:
თუმცა, შესაძლებელია გამოკლების ჩანაცვლება მიმატებით. Ისე:
ახლა თქვენ შეგიძლიათ მოაწყოთ გაანგარიშება ასე:
287. გამოთვლების მაგალითები.
მაგალითი 1. გამოთქმის შეფასება:
თუ A = 0,8216, B = 0,04826, C = 0,005127და D = 7.246.
ავიღოთ ამ გამოთქმის ლოგარითმი:
ჟურნალი X= 1/3 log A + 4 log B - 3 log C - 1/3 log D
ახლა, დროის ზედმეტი დაკარგვის თავიდან ასაცილებლად და შეცდომების ალბათობის შესამცირებლად, პირველ რიგში, ჩვენ მოვაწყობთ ყველა გამოთვლას ჯერჯერობით მათი შესრულების გარეშე და, შესაბამისად, ცხრილების მითითების გარეშე:
ამის შემდეგ ვიღებთ ცხრილებს და ვდებთ ლოგარითმებს დარჩენილ თავისუფალ სივრცეებში:
შეცდომის ლიმიტი.ჯერ ვიპოვოთ რიცხვის შეცდომის ზღვარი x 1 = 194,5 ტოლია:
ასე რომ, პირველ რიგში, თქვენ უნდა იპოვოთ ა , ანუ მიახლოებითი ლოგარითმის ცდომილების ზღვარი, გამოხატული ათი მეათასედში. დავუშვათ, რომ ეს რიცხვები A, B, Cდა დყველა ზუსტია. შემდეგ ცალკეულ ლოგარითმებში შეცდომები იქნება შემდეგი (ათი მეათასედში):
ვ logA.......... 1 / 2
ვ 1/3 ლოგი A......... 1 / 6 + 1 / 2 = 2 / 3
( 1 / 2 დამატებულია იმიტომ, რომ 1,9146-ის 3 ლოგარითმზე გაყოფისას დავამრგვალეთ კოეფიციენტი მისი მე-5 ციფრის გაუქმებით და, შესაბამისად, კიდევ უფრო მცირე შეცდომა დავუშვით. 1 / 2 ათი ათასი).
ახლა ჩვენ ვპოულობთ ლოგარითმის შეცდომის ზღვარს:
ა = 2 / 3 + 2 + 3 / 2 + 1 / 6 = 4 1 / 3 (ათი მეათასედი).
მოდით განვსაზღვროთ უფრო დეტალურად დ . იმიტომ რომ x 1 = 194,5 , შემდეგ 2 ზედიზედ მთელი რიცხვი, რომელთა შორის დევს x 1 ნება 194 და 195 . მაგიდის განსხვავება დ ამ რიცხვების შესაბამისი მანტისებს შორის უდრის 22 . ეს ნიშნავს, რომ რიცხვის შეცდომის ზღვარი არის x 1 Იქ არის:
იმიტომ რომ x = x 1 : 10, შემდეგ შეცდომის ლიმიტი რიცხვში x უდრის 0,3:10 = 0,03 . ამრიგად, ჩვენ აღმოვაჩინეთ ნომერი 19,45 განსხვავდება ზუსტი რიცხვისგან ნაკლებით 0,03 . ვინაიდან ჩვენ არ ვიცით, ჩვენი დაახლოება აღმოჩენილია ნაკლოვანებით თუ ჭარბი რაოდენობით, შეგვიძლია მხოლოდ ამის გარანტია
19,45 + 0,03 > X > 19,45 - 0,03 , ე.ი.
19,48 > X > 19,42 ,
და ამიტომ, თუ მივიღებთ X =19,4 , მაშინ გვექნება მიახლოება ნაკლოვანებით 0,1-მდე სიზუსტით.
მაგალითი 2.გამოთვალეთ:
X = (- 2,31) 3 5 √72 = - (2,31) 3 5 √72 .
იმიტომ რომ უარყოფითი რიცხვებიარ გვაქვს ლოგარითმები, მაშინ ჩვენ პირველად ვიპოვით:
X" = (2,31) 3 5 √72
დაშლის გზით:
ჟურნალი X"= 3 log 2.31 + 1 / 5 log72.
გაანგარიშების შემდეგ გამოდის:
X" = 28,99 ;
აქედან გამომდინარე,
x = - 28,99 .
მაგალითი 3. გამოთვალეთ:
უწყვეტი ლოგარითმიზაცია აქ შეუძლებელია, რადგან ფესვის ნიშანი არის c u m m a. ასეთ შემთხვევებში გამოთვალეთ ფორმულა ნაწილების მიხედვით.
ჯერ ვიპოვით ნ = 5 √8 , მაშინ ნ 1 = 4 √3 ; შემდეგ მარტივი მიმატებით განვსაზღვრავთ ნ+ ნ 1 და ბოლოს ვიანგარიშებთ 3 √ნ+ ნ 1 ; გამოდის:
N=1.514, ნ 1 = 1,316 ; ნ+ ნ 1 = 2,830 .
ჟურნალი x= ჟურნალი 3 √ 2,830 = 1 / 3 ჟურნალი 2.830 = 0,1506 ;
x = 1,415 .
თავი მეოთხე.
ექსპონენციალური და ლოგარითმული განტოლებები.
288. ექსპონენციალური განტოლებები არის ის, რომლებშიც უცნობი შედის მაჩვენებელში და ლოგარითმული- ისინი, რომლებშიც უცნობი შედის ნიშნის ქვეშ ჟურნალი. ასეთი განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია მხოლოდ განსაკუთრებულ შემთხვევებში და უნდა დაეყრდნოთ ლოგარითმების თვისებებს და პრინციპს, რომ თუ რიცხვები ტოლია, მაშინ მათი ლოგარითმები ტოლია და, პირიქით, თუ ლოგარითმები ტოლია, მაშინ შესაბამისი. რიცხვები ტოლია.
მაგალითი 1.ამოხსენით განტოლება: 2 x = 1024 .
მოდით ლოგარითმი გავატაროთ განტოლების ორივე მხარეს:
მაგალითი 2.ამოხსენით განტოლება: ა 2x - ა x = 1 . Აყენებს ა x = ზე , ვიღებთ კვადრატული განტოლება:
წ 2 - ზე - 1 = 0 ,
იმიტომ რომ 1-√5 < 0 , მაშინ ბოლო განტოლება შეუძლებელია (ფუნქცია ა x ყოველთვის არის დადებითი რიცხვი) და პირველი იძლევა:
მაგალითი 3.ამოხსენით განტოლება:
ჟურნალი ( a + x) + ჟურნალი ( b + x) = ჟურნალი ( c + x) .
განტოლება შეიძლება დაიწეროს ასე:
ჟურნალი[( a + x) (b + x)] = ჟურნალი ( c + x) .
ლოგარითმების ტოლობიდან ვასკვნით, რომ რიცხვები ტოლია:
(a + x) (b + x) = c + x .
ეს არის კვადრატული განტოლება, რომლის ამოხსნაც არ არის რთული.
თავი მეხუთე.
რთული პროცენტი, ვადიანი გადახდები და ვადიანი გადახდები.
289. ძირითადი ამოცანა რთული პროცენტის შესახებ.რამდენად გადაიქცევა დედაქალაქი? ა რუბლები, მოცემული ზრდის დროს რ რთული პროცენტი, შემდეგ ტ წლები ( ტ - მთელი რიცხვი)?
ისინი ამბობენ, რომ კაპიტალი გადაიხდება ნაერთი პროცენტით, თუ გათვალისწინებულია ეგრეთ წოდებული „პროცენტის პროცენტი“, ანუ თუ კაპიტალის საპროცენტო თანხა ყოველი წლის ბოლოს ემატება კაპიტალს გაზრდის მიზნით. ეს ინტერესით მომდევნო წლებში.
გაცემული კაპიტალის ყოველი რუბლი რ %, მოგებას მოიტანს ერთი წლის განმავლობაში გვ / 100 რუბლი და, შესაბამისად, კაპიტალის ყოველი რუბლი 1 წელიწადში გადაიქცევა 1 + გვ / 100 რუბლი (მაგალითად, თუ კაპიტალი მოცემულია 5 %, მაშინ მისი ყოველი რუბლი წელიწადში გადაიქცევა 1 + 5 / 100 , ანუ in 1,05 რუბლი).
მოკლედ, წილადის აღმნიშვნელი გვ / 100 ერთი ასოთი, მაგალითად, რ შეიძლება ითქვას, რომ კაპიტალის ყოველი რუბლი წელიწადში გადაიქცევა 1 + რ რუბლი; აქედან გამომდინარე, ა რუბლი დაბრუნდება 1 წელიწადში ა (1 + რ ) რუბლს შეადგენს. კიდევ ერთი წლის შემდეგ, ანუ ზრდის დაწყებიდან 2 წლის შემდეგ, ყოველი რუბლი ა (1 + რ ) რუბლს შეადგენს. კვლავ დაუკავშირდება 1 + რ რუბ.; ეს ნიშნავს, რომ მთელი კაპიტალი გადაიქცევა ა (1 + რ ) 2 რუბლს შეადგენს. ანალოგიურად ვხვდებით, რომ სამი წლის შემდეგ დედაქალაქი იქნება ა (1 + რ ) 3 , ოთხ წელიწადში იქნება ა (1 + რ ) 4 ,... ზოგადად მეშვეობით ტ წლები თუ ტ არის მთელი რიცხვი, ის გახდება ა (1 + რ ) ტრუბლს შეადგენს. ამრიგად, აღნიშნავს ასაბოლოო კაპიტალი, გვექნება შემდეგი რთული პროცენტის ფორმულა:
ა = ა (1 + რ ) ტსად რ = გვ / 100 .
მაგალითი.დაე ა =2300 რუბლი., გვ = 4, ტ=20 წლები; შემდეგ ფორმულა იძლევა:
რ = 4 / 100 = 0,04 ; A = 2300 (1.04) 20.
Გამოთვლა აჩვენ ვიყენებთ ლოგარითმებს:
ჟურნალი ა = log 2 300 + 20 log 1.04 = 3.3617 + 20 0.0170 = 3.3617+0.3400 = 3.7017.
A = 5031რუბლი.
კომენტარი.ამ მაგალითში ჩვენ მოგვიწია ჟურნალი 1.04გავამრავლოთ 20 . ნომრიდან გამომდინარე 0,0170 არის სავარაუდო მნიშვნელობა ჟურნალი 1.04მდე 1 / 2 ათიათასედი ნაწილი, შემდეგ ამ რიცხვის ნამრავლი 20 ეს აუცილებლად იქნება მხოლოდ მანამ 1 / 2 20, ანუ 10-მდე ათიათასიანი = 1 მეათასედი. ამიტომ ჯამში 3,7017 ჩვენ არ შეგვიძლია არა მარტო ათი ათასის, არამედ მეათასედების ოდენობის გარანტიაც. ასეთ შემთხვევებში უფრო მეტი სიზუსტის მისაღებად, უკეთესია რიცხვი 1 + რ აიღეთ ლოგარითმები არა ოთხნიშნა, არამედ დიდი რიცხვირიცხვები, მაგ. 7-ნიშნა. ამ მიზნით, აქ წარმოგიდგენთ პატარა ცხრილს, რომელშიც 7-ნიშნა ლოგარითმები იწერება ყველაზე გავრცელებული მნიშვნელობებისთვის. რ .
290. მთავარი ამოცანაა გადაუდებელი გადახდები.ვიღაცამ აიღო ა რუბლი თითო რ % ვალის დაფარვის პირობით, მასზე გადასახდელი პროცენტით, ქ ტ წლები, ყოველი წლის ბოლოს იგივე თანხის გადახდა. რა უნდა იყოს ეს თანხა?
ჯამი x ასეთ პირობებში ყოველწლიურად გადახდილი, სასწრაფო გადახდას უწოდებენ. კიდევ ერთხელ აღვნიშნოთ ასოებით რ წლიური საპროცენტო ფული 1 რუბლიდან, ანუ რაოდენობა გვ / 100 . შემდეგ პირველი წლის ბოლოს დავალიანება ა იზრდება ა (1 + რ ), ძირითადი გადახდა X რუბლები ეღირება ა (1 + რ )-X .
მეორე წლის ბოლოს ამ თანხის ყოველი რუბლი კვლავ გადაიქცევა 1 + რ რუბლი და, შესაბამისად, ვალი იქნება [ ა (1 + რ )-X ](1 + რ ) = ა (1 + რ ) 2 - x (1 + რ ), და გადახდისთვის x რუბლი იქნება: ა (1 + რ ) 2 - x (1 + რ ) - X . ანალოგიურად დავრწმუნდებით, რომ მე-3 წლის ბოლომდე დავალიანება იქნება
ა (1 + რ ) 3 - x (1 + რ ) 2 - x (1 + რ ) - x ,
და ზოგადად და ბოლოს ტ წელი იქნება:
ა (1 + რ ) ტ - x (1 + რ ) t -1 - x (1 + რ ) t -2 ... - x (1 + რ ) - x , ან
ა (1 + რ ) ტ - x [ 1 + (1 + რ ) + (1 + რ ) 2 + ...+ (1 + რ ) t -2 + (1 + რ ) t -1 ]
ფრჩხილებში მყოფი მრავალწევრი წარმოადგენს ტერმინების ჯამს გეომეტრიული პროგრესია; რომელსაც ჰყავს პირველი წევრი 1 , ბოლო ( 1 + რ ) t -1და მნიშვნელი ( 1 + რ ). გეომეტრიული პროგრესიის წევრთა ჯამის ფორმულის გამოყენებით (ნაწილი 10, თავი 3 § 249) ვპოულობთ:
და ვალის ოდენობა შემდეგ ტ - გადახდა იქნება:
პრობლემის პირობებიდან გამომდინარე, დავალიანება ბოლომდეა ტ -წელი უნდა იყოს ტოლი 0 ; Ამიტომაც:
სადაც
ამის გაანგარიშებისას გადაუდებელი გადახდის ფორმულებილოგარითმების გამოყენებით ჯერ უნდა ვიპოვოთ დამხმარე რიცხვი ნ = (1 + რ ) ტლოგარითმის მიხედვით: ჟურნალი N= ტჟურნალი (1+ რ) ; რომელმაც იპოვა ნ, გამოვაკლოთ 1, შემდეგ მივიღებთ ფორმულის მნიშვნელს X, რის შემდეგაც მეორადი ლოგარითმით ვპოულობთ:
ჟურნალი X= ჟურნალი ა+ ჟურნალი N + ჟურნალი r - ჟურნალი (N - 1).
291. ძირითადი ამოცანა ვადიანი შენატანებისთვის.ვინმე ყოველი წლის დასაწყისში ბანკში დებს იმავე თანხას. ა რუბლს შეადგენს. დაადგინეთ, რა კაპიტალი ჩამოყალიბდება ამ შენატანებიდან ტ წლები თუ ბანკი იხდის რ საერთო ინტერესი.
მიერ დანიშნული რ წლიური საპროცენტო ფული 1 რუბლიდან, ე.ი. გვ / 100 ჩვენ ასე ვმსჯელობთ: პირველი წლის ბოლომდე დედაქალაქი იქნება ა (1 + რ );
ამ თანხას მე-2 წლის დასაწყისში დაემატება ა რუბლი; ეს ნიშნავს, რომ ამ დროს კაპიტალი იქნება ა (1 + რ ) + ა . მე-2 წლის ბოლოს ის იქნება ა (1 + რ ) 2 + ა (1 + რ );
მე-3 წლის დასაწყისში ისევ შეყვანილია ა რუბლი; ეს ნიშნავს, რომ ამ დროს იქნება კაპიტალი ა (1 + რ ) 2 + ა (1 + რ ) + ა ; მე-3-ის ბოლომდე ის იქნება ა (1 + რ ) 3 + ა (1 + რ ) 2 + ა (1 + რ ) ამ არგუმენტების შემდგომი გაგრძელებით, ჩვენ აღმოვაჩენთ, რომ ბოლომდე ტ წლის საჭირო კაპიტალი აიქნება:
ეს არის ყოველი წლის დასაწყისში შეტანილი ვადიანი შენატანების ფორმულა.
იგივე ფორმულა შეიძლება მივიღოთ შემდეგი მსჯელობით: წინასწარ გადახდაზე ა რუბლი ბანკში ყოფნისას ტ წლები, რთული პროცენტის ფორმულის მიხედვით, გადაიქცევა ა (1 + რ ) ტრუბლს შეადგენს. მეორე განვადება, ბანკში ერთი წლით ნაკლები ყოფნა, ე.ი. ტ - 1 წლის, კონტაქტი ა (1 + რ ) t- 1რუბლს შეადგენს. ანალოგიურად, მესამე შენატანი მოგცემთ ა (1 + რ ) t-2და ა.შ. და ბოლოს ბოლო განვადება, მხოლოდ 1 წელია ბანკში ყოფნისას, წავა ა (1 + რ ) რუბლს შეადგენს. ეს ნიშნავს საბოლოო კაპიტალს არუბლს შეადგენს. იქნება:
ა= ა (1 + რ ) ტ + ა (1 + რ ) t- 1 + ა (1 + რ ) t-2 + . . . + ა (1 + რ ),
რომელიც გამარტივების შემდეგ იძლევა ზემოთ ნაპოვნ ფორმულას.
ამ ფორმულის ლოგარითმების გამოყენებით გაანგარიშებისას თქვენ უნდა იმოქმედოთ ისე, როგორც გადაუდებელი გადახდების ფორმულის გამოთვლისას, ანუ ჯერ იპოვნეთ ნომერი N = ( 1 + რ ) ტთავისი ლოგარითმით: ჟურნალი N= ტჟურნალი(1 + რ ), შემდეგ ნომერი N- 1და შემდეგ აიღეთ ფორმულის ლოგარითმი:
ჟურნალი A = ჟურნალი ა+log(1+ რ) + ლოგი (N - 1) - 1ოგრ
კომენტარი.თუ გადაუდებელი წვლილი შეიტანა ა რუბლს შეადგენს. განხორციელდა არა ყოველი წლის დასაწყისში, არამედ ყოველი წლის ბოლოს (როგორც, მაგალითად, ხდება გადაუდებელი გადახდა X დავალიანების დაფარვა), შემდეგ, წინას მსგავსად მსჯელობით, აღმოვაჩენთ, რომ ბოლომდე ტ წლის საჭირო კაპიტალი A"რუბლს შეადგენს. იქნება (მათ შორის ბოლო განვადება ა რუბლ., უპროცენტო):
A"= ა (1 + რ ) t- 1 + ა (1 + რ ) t-2 + . . . + ა (1 + რ ) + ა
რომელიც უდრის:
ე.ი. A"მთავრდება ( 1 + რ ) ჯერ ნაკლები ა, რაც მოსალოდნელი იყო, რადგან კაპიტალის ყოველი რუბლი A"დევს ბანკში ერთი წლით ნაკლები კაპიტალის შესაბამის რუბლზე ა.
b დადებითი რიცხვის ლოგარითმი a საფუძველზე (a>0, a არ არის 1-ის ტოლი) არის რიცხვი c ისეთი, რომ a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
გაითვალისწინეთ, რომ არაპოზიტიური რიცხვის ლოგარითმი განუსაზღვრელია. გარდა ამისა, ლოგარითმის ფუძე უნდა იყოს დადებითი რიცხვი, რომელიც არ არის 1-ის ტოლი. მაგალითად, თუ კვადრატში -2 მივიღებთ რიცხვს 4, მაგრამ ეს არ ნიშნავს, რომ ლოგარითმი -2-ის ფუძეზე 4-დან. უდრის 2-ს.
ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა
a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)მნიშვნელოვანია, რომ ამ ფორმულის მარჯვენა და მარცხენა მხარის განსაზღვრის ფარგლები განსხვავებული იყოს. Მარცხენა მხარეგანსაზღვრულია მხოლოდ b>0, a>0 და a ≠ 1-ისთვის. მარჯვენა მხარე განსაზღვრულია ნებისმიერი b-ისთვის და საერთოდ არ არის დამოკიდებული a-ზე. ამრიგად, ძირითადი ლოგარითმული „იდენტობის“ გამოყენება განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას შეიძლება გამოიწვიოს OD-ის ცვლილება.
ლოგარითმის განმარტების ორი აშკარა შედეგი
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)შესვლა a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)
მართლაც, a რიცხვის პირველ ხარისხზე აყვანისას ვიღებთ იგივე რიცხვს, ხოლო ნულოვან ხარისხზე აყვანისას ვიღებთ ერთს.
ნამრავლის ლოგარითმი და კოეფიციენტის ლოგარითმი
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)
მინდა გავაფრთხილო სკოლის მოსწავლეები ამ ფორმულების დაუფიქრებლად გამოყენებისგან ამოხსნისას ლოგარითმული განტოლებებიდა უთანასწორობები. მათი გამოყენებისას „მარცხნიდან მარჯვნივ“, ODZ ვიწროვდება, ხოლო ლოგარითმების ჯამიდან ან სხვაობიდან პროდუქტის ან კოეფიციენტის ლოგარითმზე გადასვლისას, ODZ ფართოვდება.
მართლაც, გამოთქმა log a (f (x) g (x)) განისაზღვრება ორ შემთხვევაში: როდესაც ორივე ფუნქცია მკაცრად დადებითია ან როდესაც f(x) და g(x) ორივე ნულზე ნაკლებია.
ამ გამოთქმის ჯამად log a f (x) + log a g (x) გარდაქმნით, იძულებული ვართ შემოვიფარგლოთ მხოლოდ იმ შემთხვევით, როდესაც f(x)>0 და g(x)>0. არსებობს მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონის შევიწროება და ეს კატეგორიულად მიუღებელია, ვინაიდან ამან შეიძლება გამოიწვიოს გადაწყვეტილებების დაკარგვა. ანალოგიური პრობლემა არსებობს ფორმულისთვის (6).
ხარისხი შეიძლება ამოღებულ იქნას ლოგარითმის ნიშნიდან
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)და კიდევ ერთხელ მინდა მოვუწოდო სიზუსტეს. განვიხილოთ შემდეგი მაგალითი:
Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
ტოლობის მარცხენა მხარე აშკარად არის განსაზღვრული f(x)-ის ყველა მნიშვნელობისთვის ნულის გარდა. მარჯვენა მხარე არის მხოლოდ f(x)>0! ლოგარითმიდან ხარისხის ამოღებით, ჩვენ კვლავ ვიწროვებთ ODZ-ს. საპირისპირო პროცედურა იწვევს მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონის გაფართოებას. ყველა ეს შენიშვნა ეხება არა მხოლოდ ძალა 2-ს, არამედ ნებისმიერ თანაბარ ძალას.
ახალ ფონდში გადასვლის ფორმულა
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)ის იშვიათი შემთხვევა, როდესაც ODZ არ იცვლება ტრანსფორმაციის დროს. თუ თქვენ გონივრულად შეარჩიეთ ბაზა c (დადებითი და არა 1-ის ტოლი), ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულა სრულიად უსაფრთხოა.
თუ ახალ c ფუძედ ვირჩევთ b რიცხვს, მივიღებთ მნიშვნელოვანს განსაკუთრებული შემთხვევაფორმულები (8):
Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
რამდენიმე მარტივი მაგალითი ლოგარითმებით
მაგალითი 1. გამოთვალეთ: log2 + log50.
გამოსავალი. log2 + log50 = log100 = 2. ჩვენ გამოვიყენეთ ლოგარითმების ჯამი ფორმულა (5) და ათობითი ლოგარითმის განმარტება.
მაგალითი 2. გამოთვალეთ: lg125/lg5.
გამოსავალი. log125/log5 = log 5 125 = 3. ჩვენ გამოვიყენეთ ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულა (8).
ლოგარითმებთან დაკავშირებული ფორმულების ცხრილი
| a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
| log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| შესვლა a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |
\(a^(b)=c\) \(\მარცხენა მარჯვენა ისარი\) \(\log_(a)(c)=b\)
მოდი უფრო მარტივად ავხსნათ. მაგალითად, \(\log_(2)(8)\) ტოლია იმ სიმძლავრისა, რომელზეც \(2\) უნდა გაიზარდოს \(8\) მისაღებად. აქედან ირკვევა, რომ \(\log_(2)(8)=3\).
|
მაგალითები: |
\(\log_(5)(25)=2\) |
რადგან \(5^(2)=25\) |
||
|
\(\log_(3)(81)=4\) |
რადგან \(3^(4)=81\) |
|||
|
\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\) |
რადგან \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\) |
ლოგარითმის არგუმენტი და საფუძველი
ნებისმიერ ლოგარითმს აქვს შემდეგი „ანატომია“:
ლოგარითმის არგუმენტი ჩვეულებრივ იწერება მის დონეზე, ხოლო ფუძე იწერება ქვესკრიპტით, რომელიც უფრო ახლოსაა ლოგარითმის ნიშანთან. და ეს ჩანაწერი ასე იკითხება: "ლოგარითმი ოცდახუთიდან ხუთამდე".
როგორ გამოვთვალოთ ლოგარითმი?
ლოგარითმის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა უპასუხოთ კითხვას: რა ძალაზე უნდა გაიზარდოს საფუძველი არგუმენტის მისაღებად?
Მაგალითად, გამოთვალეთ ლოგარითმი: ა) \(\log_(4)(16)\) ბ) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) გ) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)
ა) რა ძალაზე უნდა გაიზარდოს \(4\) რომ მივიღოთ \(16\)? ცხადია მეორე. Ამიტომაც:
\(\log_(4)(16)=2\)
\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)
გ) რა სიმძლავრემდე უნდა გაიზარდოს \(\sqrt(5)\) რომ მივიღოთ \(1\)? რომელი ძალა განაპირობებს ნებისმიერ ნომერ პირველს? ნული, რა თქმა უნდა!
\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)
დ) რა სიმძლავრემდე უნდა გაიზარდოს \(\sqrt(7)\) რომ მივიღოთ \(\sqrt(7)\)? ჯერ ერთი, ნებისმიერი რიცხვი პირველ ხარისხში უდრის თავის თავს.
\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)
ე) რა ძალამდე უნდა გაიზარდოს \(3\) \(\sqrt(3)\) მისაღებად? ჩვენ ვიცით, რომ ეს არის წილადი ძალა, რაც ნიშნავს Კვადრატული ფესვიარის \(\frac(1)(2)\) სიმძლავრე.
\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)
მაგალითი : გამოთვალეთ ლოგარითმი \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)
გამოსავალი :
|
\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\) |
უნდა ვიპოვოთ ლოგარითმის მნიშვნელობა, ავღნიშნოთ როგორც x. ახლა გამოვიყენოთ ლოგარითმის განმარტება: |
|
|
\((4\sqrt(2))^(x)=8\) |
რა აკავშირებს \(4\sqrt(2)\) და \(8\)? ორი, რადგან ორივე რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ორებით: |
|
|
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\) |
მარცხნივ ვიყენებთ ხარისხის თვისებებს: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) და \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\) |
|
|
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\) |
საფუძვლები თანაბარია, გადავდივართ მაჩვენებლების თანასწორობაზე |
|
|
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\) |
|
გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე \(\frac(2)(5)\) |
|
|
შედეგად მიღებული ფესვი არის ლოგარითმის მნიშვნელობა |
უპასუხე : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)
რატომ გამოიგონეს ლოგარითმი?
ამის გასაგებად, მოდით ამოხსნათ განტოლება: \(3^(x)=9\). უბრალოდ ემთხვევა \(x\), რათა თანასწორობა იმუშაოს. რა თქმა უნდა, \(x=2\).
ახლა ამოხსენით განტოლება: \(3^(x)=8\).რის ტოლია x? Ამაშია ზუსტად ამის აზრი.
ყველაზე ჭკვიანი იტყვის: "X არის ორზე ცოტა ნაკლები". ზუსტად როგორ ჩავწეროთ ეს რიცხვი? ამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად გამოიგონეს ლოგარითმი. მისი წყალობით, აქ პასუხი შეიძლება დაიწეროს როგორც \(x=\log_(3)(8)\).
მინდა ხაზი გავუსვა იმას, რომ \(\log_(3)(8)\), მოსწონს ნებისმიერი ლოგარითმი მხოლოდ რიცხვია. დიახ, გამოიყურება უჩვეულო, მაგრამ მოკლეა. რადგან თუ გვინდოდა მისი დაწერა ათწილადად, ასე გამოიყურებოდა: \(1.892789260714.....\)
მაგალითი : ამოხსენით განტოლება \(4^(5x-4)=10\)
გამოსავალი :
|
\(4^(5x-4)=10\) |
\(4^(5x-4)\) და \(10\) არ შეიძლება იმავე ბაზაზე მოყვანა. ეს ნიშნავს, რომ თქვენ არ შეგიძლიათ ლოგარითმის გარეშე. მოდით გამოვიყენოთ ლოგარითმის განმარტება: |
|
|
\(\log_(4)(10)=5x-4\) |
მოდით გადავაბრუნოთ განტოლება ისე, რომ X იყოს მარცხნივ |
|
|
\(5x-4=\log_(4)(10)\) |
ჩვენს წინაშე. გადავიტანოთ \(4\) მარჯვნივ. და ნუ შეგეშინდებათ ლოგარითმის, მოექეცით მას როგორც ჩვეულებრივ რიცხვს. |
|
|
\(5x=\log_(4)(10)+4\) |
გაყავით განტოლება 5-ზე |
|
|
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\) |
|
ეს არის ჩვენი ფესვი. დიახ, უჩვეულოდ გამოიყურება, მაგრამ პასუხს ისინი არ ირჩევენ. |
უპასუხე : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)
ათწილადი და ბუნებრივი ლოგარითმები
როგორც ლოგარითმის განმარტებაშია ნათქვამი, მისი საფუძველი შეიძლება იყოს ნებისმიერი დადებითი რიცხვი გარდა ერთი \((a>0, a\neq1)\). და ყველა შესაძლო საფუძველს შორის არის ორი, რომელიც ხდება ისე ხშირად, რომ მათთან ერთად გამოიგონეს სპეციალური მოკლე აღნიშვნა ლოგარითმებისთვის:
ბუნებრივი ლოგარითმი: ლოგარითმი, რომლის საფუძველია ეილერის რიცხვი \(e\) (დაახლოებით \(2.7182818…\)), ხოლო ლოგარითმი იწერება როგორც \(\ln(a)\).
ანუ \(\ln(a)\) იგივეა, რაც \(\log_(e)(a)\)
ათწილადი ლოგარითმი: ლოგარითმი, რომლის საფუძველია 10, იწერება \(\lg(a)\).
ანუ \(\lg(a)\) იგივეა, რაც \(\log_(10)(a)\), სადაც \(a\) არის რაღაც რიცხვი.
ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა
ლოგარითმს ბევრი თვისება აქვს. ერთ-ერთ მათგანს ჰქვია „ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობადა ასე გამოიყურება:
| \(a^(\log_(a)(c))=c\) |
ეს თვისება პირდაპირ გამომდინარეობს განმარტებიდან. ვნახოთ ზუსტად როგორ გაჩნდა ეს ფორმულა.
გავიხსენოთ ლოგარითმის განმარტების მოკლე აღნიშვნა:
თუ \(a^(b)=c\), მაშინ \(\log_(a)(c)=b\)
ანუ \(b\) იგივეა, რაც \(\log_(a)(c)\). მაშინ ჩვენ შეგვიძლია ჩავწეროთ \(\log_(a)(c)\) \(b\)-ის ნაცვლად ფორმულაში \(a^(b)=c\). აღმოჩნდა \(a^(\log_(a)(c))=c\) - მთავარი ლოგარითმული იდენტობა.
თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ ლოგარითმების სხვა თვისებები. მათი დახმარებით თქვენ შეგიძლიათ გაამარტივოთ და გამოთვალოთ გამონათქვამების მნიშვნელობები ლოგარითმებით, რომელთა პირდაპირ გამოთვლა რთულია.
მაგალითი : იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა \(36^(\log_(6)(5))\)
გამოსავალი :
უპასუხე : \(25\)
როგორ დავწეროთ რიცხვი ლოგარითმის სახით?
როგორც ზემოთ აღვნიშნეთ, ნებისმიერი ლოგარითმი მხოლოდ რიცხვია. პირიქითაც მართალია: ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება დაიწეროს ლოგარითმად. მაგალითად, ვიცით, რომ \(\log_(2)(4)\) უდრის ორს. შემდეგ ორის ნაცვლად შეგიძლიათ დაწეროთ \(\log_(2)(4)\).
მაგრამ \(\log_(3)(9)\) ასევე უდრის \(2\), რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ ასევე შეგვიძლია დავწეროთ \(2=\log_(3)(9)\) . ანალოგიურად, \(\log_(5)(25)\), და \(\log_(9)(81)\) და ა.შ. ანუ გამოდის
\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)
ამრიგად, თუ გვჭირდება, შეგვიძლია დავწეროთ ორი ლოგარითმად ნებისმიერი ფუძით სადმე (განტოლებაში, გამოსახულებაში თუ უტოლობაში) - ჩვენ უბრალოდ არგუმენტად ვწერთ ფუძეს კვადრატში.
იგივეა სამმაგი – ის შეიძლება დაიწეროს როგორც \(\log_(2)(8)\), ან როგორც \(\log_(3)(27)\), ან როგორც \(\log_(4)( 64) \)... აქ არგუმენტად ვწერთ ფუძეს კუბში:
\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)
და ოთხთან ერთად:
\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)
და მინუს ერთით:
\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)
და ერთი მესამედით:
\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)
ნებისმიერი რიცხვი \(a\) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ლოგარითმის სახით \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)
მაგალითი : იპოვე გამოთქმის მნიშვნელობა \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)
გამოსავალი :
უპასუხე : \(1\)
ლოგარითმები, ისევე როგორც ნებისმიერი რიცხვი, შეიძლება ყველანაირად დაემატოს, გამოკლდეს და გარდაიქმნას. მაგრამ რადგან ლოგარითმები არ არის ზუსტად ჩვეულებრივი რიცხვები, აქ არის წესები, რომლებსაც უწოდებენ ძირითადი თვისებები.
თქვენ აუცილებლად უნდა იცოდეთ ეს წესები - მათ გარეშე არც ერთი სერიოზული ლოგარითმული პრობლემის გადაჭრა შეუძლებელია. გარდა ამისა, ისინი ძალიან ცოტაა - ყველაფრის სწავლა ერთ დღეში შეგიძლიათ. ასე რომ, დავიწყოთ.
ლოგარითმების შეკრება და გამოკლება
განვიხილოთ ორი ლოგარითმი ერთნაირი ფუძეებით: log ა xდა შესვლა ა წ. შემდეგ მათი დამატება და გამოკლება შესაძლებელია და:
- ჟურნალი ა x+ ჟურნალი ა წ= ჟურნალი ა (x · წ);
- ჟურნალი ა x- ჟურნალი ა წ= ჟურნალი ა (x : წ).
მაშასადამე, ლოგარითმების ჯამი ტოლია ნამრავლის ლოგარითმისა, ხოლო სხვაობა უდრის კოეფიციენტის ლოგარითმს. Შენიშვნა: საკვანძო მომენტიᲐქ - იდენტური საფუძველი. თუ მიზეზები განსხვავებულია, ეს წესები არ მუშაობს!
ეს ფორმულები დაგეხმარებათ გამოთვალოთ ლოგარითმული გამოხატულება მაშინაც კი, როცა მისი ცალკეული ნაწილები არ არის გათვალისწინებული (იხ. გაკვეთილი „რა არის ლოგარითმი“). გადახედეთ მაგალითებს და ნახეთ:
ჟურნალი 6 4 + ჟურნალი 6 9.
ვინაიდან ლოგარითმებს აქვთ იგივე ფუძეები, ვიყენებთ ჯამის ფორმულას:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 2 48 − log 2 3.
საფუძვლები იგივეა, ჩვენ ვიყენებთ განსხვავების ფორმულას:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 3 135 − log 3 5.
ისევ ბაზები იგივეა, ამიტომ გვაქვს:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
როგორც ხედავთ, ორიგინალური გამონათქვამები შედგება "ცუდი" ლოგარითმებისგან, რომლებიც ცალკე არ არის გამოთვლილი. მაგრამ გარდაქმნების შემდეგ ისინი საკმაოდ გამოდიან ნორმალური ნომრები. ბევრი აგებულია ამ ფაქტზე ტესტის ფურცლები. დიახ, ტესტის მსგავსი გამონათქვამები წარმოდგენილია მთელი სერიოზულობით (ზოგჯერ პრაქტიკულად ცვლილებების გარეშე) ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე.
მაჩვენებლის ამოღება ლოგარითმიდან
ახლა ცოტა გავართულოთ დავალება. რა მოხდება, თუ ლოგარითმის საფუძველი ან არგუმენტი არის ძალა? მაშინ ამ ხარისხის მაჩვენებლის ამოღება შესაძლებელია ლოგარითმის ნიშნიდან შემდეგი წესების მიხედვით:
ამის შემჩნევა ადვილია ბოლო წესიმიჰყვება პირველ ორს. მაგრამ უმჯობესია დაიმახსოვროთ ის მაინც - ზოგიერთ შემთხვევაში ეს მნიშვნელოვნად შეამცირებს გამოთვლების რაოდენობას.
რა თქმა უნდა, ყველა ამ წესს აქვს აზრი, თუ შეინიშნება ლოგარითმის ODZ: ა > 0, ა ≠ 1, x> 0. და კიდევ ერთი: ისწავლეთ ყველა ფორმულის გამოყენება არა მარტო მარცხნიდან მარჯვნივ, არამედ პირიქით, ე.ი. თქვენ შეგიძლიათ შეიყვანოთ რიცხვები ლოგარითმის ნიშანიმდე ლოგარითმში. ეს არის ის, რაც ყველაზე ხშირად საჭიროა.
დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 7 49 6 .
მოდით, თავი დავაღწიოთ არგუმენტის ხარისხს პირველი ფორმულის გამოყენებით:
ჟურნალი 7 49 6 = 6 ჟურნალი 7 49 = 6 2 = 12
დავალება. იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა:
[წარწერა სურათზე]
გაითვალისწინეთ, რომ მნიშვნელი შეიცავს ლოგარითმს, რომლის საფუძველი და არგუმენტი ზუსტი ხარისხებია: 16 = 2 4; 49 = 7 2. Ჩვენ გვაქვს:
[წარწერა სურათზე] ვფიქრობ, ბოლო მაგალითი მოითხოვს გარკვეულ განმარტებას. სად წავიდა ლოგარითმები? ბოლო მომენტამდე ჩვენ ვმუშაობთ მხოლოდ მნიშვნელით. იქ მდგომი ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი წარვადგინეთ სიმძლავრეების სახით და ამოვიღეთ მაჩვენებლები - მივიღეთ „სამსართულიანი“ წილადი.
ახლა გადავხედოთ ძირითად წილადს. მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავს ერთსა და იმავე რიცხვს: log 2 7. ვინაიდან log 2 7 ≠ 0, შეგვიძლია შევამციროთ წილადი - 2/4 დარჩება მნიშვნელში. არითმეტიკის წესების მიხედვით, ოთხი შეიძლება გადავიდეს მრიცხველზე, რაც გაკეთდა. შედეგი იყო პასუხი: 2.
ახალ საძირკველზე გადასვლა
ლოგარითმების შეკრების და გამოკლების წესებზე საუბრისას, მე კონკრეტულად ხაზგასმით აღვნიშნე, რომ ისინი მუშაობენ მხოლოდ ერთი და იგივე ფუძეებით. რა მოხდება, თუ მიზეზები განსხვავებულია? რა მოხდება, თუ ისინი არ არიან იგივე რიცხვის ზუსტი სიმძლავრეები?
ახალ საძირკველზე გადასვლის ფორმულები სამაშველოში მოდის. მოდით ჩამოვაყალიბოთ ისინი თეორემის სახით:
მიეცეს ლოგარითმის ჟურნალი ა x. შემდეგ ნებისმიერი ნომრისთვის გისეთივე როგორც გ> 0 და გ≠ 1, ტოლობა მართალია:
[წარწერა სურათზე]
კერძოდ, თუ დავაყენებთ გ = x, ვიღებთ:
[წარწერა სურათზე]
მეორე ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი შეიძლება შეიცვალოს, მაგრამ ამ შემთხვევაში მთელი გამოთქმა „გადატრიალებულია“, ე.ი. ლოგარითმი გამოჩნდება მნიშვნელში.
ეს ფორმულები იშვიათად გვხვდება ჩვეულებრივში რიცხვითი გამონათქვამები. მათი მოხერხებულობის შეფასება შესაძლებელია მხოლოდ ლოგარითმული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას.
თუმცა არის პრობლემები, რომელთა მოგვარებაც საერთოდ შეუძლებელია, გარდა ახალ ფონდში გადასვლისა. მოდით შევხედოთ რამდენიმე მათგანს:
დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 5 16 log 2 25.
გაითვალისწინეთ, რომ ორივე ლოგარითმის არგუმენტები შეიცავს ზუსტ ძალას. ამოვიღოთ ინდიკატორები: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; ჟურნალი 2 25 = ჟურნალი 2 5 2 = 2ლოგი 2 5;
ახლა მოდით "შევუბრუნდეთ" მეორე ლოგარითმს:
[წარწერა სურათზე]ვინაიდან პროდუქტი არ იცვლება ფაქტორების გადაწყობისას, ჩვენ მშვიდად გავამრავლეთ ოთხი და ორი, შემდეგ კი ლოგარითმებს მივმართეთ.
დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 9 100 lg 3.
პირველი ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი ზუსტი სიმძლავრეებია. მოდით დავწეროთ ეს და მოვიშოროთ ინდიკატორები:
[წარწერა სურათზე]ახლა მოდით დავაღწიოთ ათობითი ლოგარითმი ახალ ბაზაზე გადასვლით:
[წარწერა სურათზე]ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა
ხშირად ამოხსნის პროცესში აუცილებელია რიცხვის ლოგარითმის სახით წარმოდგენა მოცემულ ბაზაზე. ამ შემთხვევაში შემდეგი ფორმულები დაგვეხმარება:
პირველ შემთხვევაში, ნომერი ნხდება არგუმენტში მდგომი ხარისხის მაჩვენებელი. ნომერი ნშეიძლება იყოს აბსოლუტურად ნებისმიერი, რადგან ეს მხოლოდ ლოგარითმის მნიშვნელობაა.
მეორე ფორმულა რეალურად არის პერიფრაზირებული განმარტება. სწორედ ამას ჰქვია: ძირითადი ლოგარითმული იდენტობა.
ფაქტობრივად, რა მოხდება, თუ ნომერი ბაიყვანეთ ისეთ ძალამდე, რომ რიცხვი ბამ ძალას აძლევს რიცხვს ა? ეს მართალია: თქვენ მიიღებთ იმავე რიცხვს ა. კიდევ ერთხელ ყურადღებით წაიკითხეთ ეს აბზაცი - ბევრი ადამიანი ჩერდება მასზე.
ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულების მსგავსად, ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა ზოგჯერ ერთადერთი შესაძლო გამოსავალია.
დავალება. იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა:
[წარწერა სურათზე]
გაითვალისწინეთ, რომ log 25 64 = log 5 8 - უბრალოდ აიღო კვადრატი ლოგარითმის ფუძიდან და არგუმენტიდან. ძალაუფლების გამრავლების წესების გათვალისწინებით იგივე საფუძველი, ვიღებთ:
[წარწერა სურათზე]თუ ვინმემ არ იცის, ეს იყო რეალური დავალება ერთიანი სახელმწიფო გამოცდიდან :)
ლოგარითმული ერთეული და ლოგარითმული ნული
დასასრულს, მე მივცემ ორ იდენტობას, რომლებსაც ძნელად შეიძლება ვუწოდოთ თვისებები - უფრო მეტიც, ისინი ლოგარითმის განსაზღვრის შედეგებია. ისინი გამუდმებით ჩნდებიან პრობლემებში და, რა გასაკვირია, პრობლემებს უქმნიან თუნდაც „მოწინავე“ მოსწავლეებს.
- ჟურნალი ა ა= 1 არის ლოგარითმული ერთეული. ერთხელ და სამუდამოდ გახსოვდეთ: ლოგარითმი ნებისმიერ ბაზაზე ასწორედ ამ ფუძიდან უდრის ერთს.
- ჟურნალი ა 1 = 0 არის ლოგარითმული ნული. ბაზა აშეიძლება იყოს ნებისმიერი, მაგრამ თუ არგუმენტი შეიცავს ერთს, ლოგარითმი ნულის ტოლია! იმიტომ რომ ა 0 = 1 არის განმარტების პირდაპირი შედეგი.
ეს არის ყველა თვისება. დარწმუნდით, რომ ივარჯიშეთ მათ პრაქტიკაში! ჩამოტვირთეთ მოტყუების ფურცელი გაკვეთილის დასაწყისში, ამობეჭდეთ და მოაგვარეთ პრობლემები.