წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნა ონლაინ ჩანაცვლების მეთოდით. ვიდეოგაკვეთილი „განტოლებათა სისტემების ამოხსნა ჩანაცვლების მეთოდით

წრფივი განტოლებათა სისტემა ორი უცნობით არის ორი ან მეტი წრფივი განტოლება, რომლისთვისაც აუცილებელია მათი ყველა საერთო ამონახსნის პოვნა. განვიხილავთ ორი წრფივი განტოლების სისტემას ორ უცნობში. ზოგადი ფორმაორი წრფივი განტოლების სისტემა ორი უცნობით წარმოდგენილია ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში:

(a1*x + b1*y = c1,
(a2*x + b2*y = c2

აქ x და y უცნობი ცვლადებია, a1, a2, b1, b2, c1, c2 არის რამდენიმე რეალური რიცხვი. ორი წრფივი განტოლების სისტემის ამონახსნი ორ უცნობში არის რიცხვების წყვილი (x,y), რომ თუ ამ რიცხვებს ჩავანაცვლებთ სისტემის განტოლებებში, მაშინ სისტემის თითოეული განტოლება გადაიქცევა ნამდვილ ტოლობაში. განვიხილოთ წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნის ერთ-ერთი გზა, კერძოდ, ჩანაცვლების მეთოდი.

ამოხსნის ალგორითმი ჩანაცვლების მეთოდით

წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნის ალგორითმი ჩანაცვლების მეთოდით:

1. ამოირჩიეთ ერთი განტოლება (უმჯობესია აირჩიოთ ის, სადაც რიცხვები უფრო მცირეა) და მისგან ერთი ცვლადი გამოვსახოთ მეორის მიხედვით, მაგალითად, x y-ით. (ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ y-დან x-მდე).

2. შეცვალეთ მიღებული გამოხატულება შესაბამისი ცვლადის ნაცვლად სხვა განტოლებით. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ წრფივ განტოლებას ერთი უცნობით.

3. ამოხსენით მიღებული წრფივი განტოლება და მიიღეთ ამონახსნი.

4. მიღებულ ხსნარს ვცვლით პირველ აბზაცში მიღებულ გამონათქვამში და ამონახსნიდან ვიღებთ მეორე უცნობის.

5. შეამოწმეთ მიღებული ხსნარი.

მაგალითი

უფრო გასაგებად, გადავწყვიტოთ მცირე მაგალითი.

მაგალითი 1.ამოხსენით განტოლებათა სისტემა:

(x+2*y =12
(2*x-3*y=-18

გამოსავალი:

1. ამ სისტემის პირველი განტოლებიდან გამოვხატავთ x ცვლადს. გვაქვს x= (12 -2*y);

2. ჩაანაცვლეთ ეს გამონათქვამი მეორე განტოლებით, მივიღებთ 2*x-3*y=-18; 2*(12 -2*y) - 3*y = -18; 24 - 4y - 3*y = -18;

3. ამოხსენით მიღებული წრფივი განტოლება: 24 - 4y - 3*y = -18; 24-7*y =-18; -7*y = -42; y=6;

4. მიღებული შედეგი ჩაანაცვლეთ პირველ პუნქტში მიღებულ გამონათქვამში. x= (12 -2*y); x=12-2*6 = 0; x=0;

5. ჩვენ ვამოწმებთ მიღებულ ამოხსნას, ამისათვის ჩვენ ვცვლით ნაპოვნი რიცხვებს თავდაპირველ სისტემაში.

(x+2*y =12;
(2*x-3*y=-18;

{0+2*6 =12;
{2*0-3*6=-18;

{12 =12;
{-18=-18;

მივიღეთ სწორი ტოლობები, მაშასადამე, გამოსავალი სწორად ვიპოვეთ.

მიღებული განტოლებათა სისტემები ფართო აპლიკაციაეკონომიკურ სექტორში სხვადასხვა პროცესის მათემატიკური მოდელირებისას. მაგალითად, წარმოების მართვისა და დაგეგმვის, ლოგისტიკური მარშრუტების (ტრანსპორტის პრობლემა) ან აღჭურვილობის განთავსების პრობლემების გადაჭრისას.

განტოლებათა სისტემები გამოიყენება არა მხოლოდ მათემატიკაში, არამედ ფიზიკაში, ქიმიასა და ბიოლოგიაში, მოსახლეობის ზომის პოვნის ამოცანების გადაჭრისას.

წრფივი განტოლებათა სისტემა არის ორი ან მეტი განტოლება რამდენიმე ცვლადით, რისთვისაც საჭიროა საერთო ამონახსნის პოვნა. რიცხვების ისეთი თანმიმდევრობა, რომლისთვისაც ყველა განტოლება ხდება ჭეშმარიტი თანასწორობა ან ამტკიცებს, რომ მიმდევრობა არ არსებობს.

წრფივი განტოლება

ax+by=c ფორმის განტოლებებს წრფივი ეწოდება. აღნიშვნები x, y არის უცნობი, რომლის მნიშვნელობაც უნდა მოიძებნოს, b, a არის ცვლადების კოეფიციენტები, c არის განტოლების თავისუფალი წევრი.
განტოლების ამოხსნა მისი შედგენით სწორ ხაზს წააგავს, რომლის ყველა წერტილი მრავალწევრის ამონახსნებია.

წრფივი განტოლებათა სისტემების ტიპები

უმარტივეს მაგალითებად ითვლება წრფივი განტოლებათა სისტემები ორი ცვლადით X და Y.

F1(x, y) = 0 და F2(x, y) = 0, სადაც F1,2 არის ფუნქციები და (x, y) ფუნქციის ცვლადები.

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა - ეს ნიშნავს მნიშვნელობების (x, y) პოვნას, რომლებშიც სისტემა გადაიქცევა ნამდვილ თანასწორობად ან დადგინდეს, რომ შესაფერისი ღირებულებები x და y არ არსებობს.

მნიშვნელობების წყვილს (x, y), დაწერილი როგორც წერტილის კოორდინატები, ეწოდება ამონახსნი წრფივი განტოლებათა სისტემისთვის.

თუ სისტემებს აქვთ ერთი საერთო გამოსავალი ან არ არსებობს, მათ ექვივალენტი ეწოდება.

წრფივი განტოლებების ჰომოგენური სისტემები არის სისტემები მარჯვენა ნაწილირომელიც ნულის ტოლია. თუ ტოლობის ნიშნის შემდეგ მარჯვენა ნაწილს აქვს მნიშვნელობა ან გამოიხატება ფუნქციით, ასეთი სისტემა ჰეტეროგენულია.

ცვლადების რაოდენობა შეიძლება იყოს ორზე ბევრად მეტი, მაშინ უნდა ვისაუბროთ ხაზოვანი განტოლების სისტემის მაგალითზე სამი ან მეტი ცვლადით.

სისტემებთან შეხვედრისას სკოლის მოსწავლეები თვლიან, რომ განტოლებების რაოდენობა აუცილებლად უნდა ემთხვეოდეს უცნობთა რაოდენობას, მაგრამ ეს ასე არ არის. განტოლებების რაოდენობა სისტემაში არ არის დამოკიდებული ცვლადებზე, შეიძლება იყოს იმდენი, რამდენიც სასურველია.

განტოლებათა სისტემების ამოხსნის მარტივი და რთული მეთოდები

ასეთი სისტემების გადაჭრის ზოგადი ანალიტიკური მეთოდი არ არსებობს; ყველა მეთოდი ეფუძნება რიცხვით ამონახსნებს. IN სკოლის კურსიმათემატიკა, ისეთი მეთოდები, როგორიცაა პერმუტაცია, ალგებრული დამატება, ჩანაცვლება, ასევე გრაფიკული და მატრიცული მეთოდი, გამოსავალი გაუსის მეთოდით.

გადაწყვეტის მეთოდების სწავლებისას მთავარი ამოცანაა ასწავლოს სისტემის სწორად გაანალიზება და პოვნა ოპტიმალური ალგორითმიგადაწყვეტილებები თითოეული მაგალითისთვის. მთავარია არა თითოეული მეთოდისთვის წესების და მოქმედებების სისტემის დამახსოვრება, არამედ კონკრეტული მეთოდის გამოყენების პრინციპების გაგება.

მე-7 კლასის ზოგადი განათლების სასწავლო გეგმაში წრფივი განტოლებათა სისტემების მაგალითების ამოხსნა საკმაოდ მარტივი და დეტალურად ახსნილია. მათემატიკის ნებისმიერ სახელმძღვანელოში ამ განყოფილებას საკმარისი ყურადღება ეთმობა. წრფივი განტოლებათა სისტემების მაგალითების ამოხსნა გაუსის და კრამერის მეთოდით უფრო დეტალურად არის შესწავლილი უმაღლესი განათლების პირველ წლებში.

სისტემების ამოხსნა ჩანაცვლების მეთოდით

ჩანაცვლების მეთოდის მოქმედებები მიზნად ისახავს ერთი ცვლადის მნიშვნელობის გამოხატვას მეორის მიხედვით. გამოთქმა ჩანაცვლებულია დარჩენილ განტოლებაში, შემდეგ ის მცირდება ფორმაში ერთი ცვლადით. მოქმედება მეორდება სისტემაში უცნობის რაოდენობის მიხედვით

მოდით მივცეთ ამონახსნი მე-7 კლასის წრფივი განტოლებების სისტემის მაგალითზე ჩანაცვლების მეთოდის გამოყენებით:

როგორც მაგალითიდან ჩანს, x ცვლადი გამოიხატა F(X) = 7 + Y-ით. შედეგად მიღებული გამოხატულება, რომელიც ჩანაცვლებულია სისტემის მე-2 განტოლებაში X-ის ნაცვლად, დაეხმარა მე-2 განტოლებაში ერთი ცვლადის Y მიღებაში. . ამ მაგალითის ამოხსნა მარტივია და საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ Y მნიშვნელობა. ბოლო ნაბიჯი არის მიღებული მნიშვნელობების შემოწმება.

ყოველთვის არ არის შესაძლებელი წრფივი განტოლებათა სისტემის მაგალითის ამოხსნა ჩანაცვლებით. განტოლებები შეიძლება იყოს რთული და ცვლადის გამოხატვა მეორე უცნობის მიხედვით ზედმეტად რთული იქნება შემდგომი გამოთვლებისთვის. როდესაც სისტემაში 3-ზე მეტი უცნობია, ჩანაცვლებით ამოხსნაც შეუსაბამოა.

წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლებების სისტემის მაგალითის ამოხსნა:

ამოხსნა ალგებრული შეკრების გამოყენებით

შეკრების მეთოდის გამოყენებით სისტემების ამონახსნების ძიებისას, განტოლებები ემატება ტერმინით და მრავლდება სხვადასხვა რიცხვებით. მათემატიკური ოპერაციების საბოლოო მიზანი არის განტოლება ერთ ცვლადში.

ამ მეთოდის გამოყენება მოითხოვს პრაქტიკას და დაკვირვებას. წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნა შეკრების მეთოდით, როცა 3 ან მეტი ცვლადია, ადვილი არ არის. ალგებრული შეკრება მოსახერხებელია გამოსაყენებლად, როდესაც განტოლებები შეიცავს წილადებსა და ათწილადებს.

გადაწყვეტის ალგორითმი:

1. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე გარკვეულ რიცხვზე. არითმეტიკული მოქმედების შედეგად ცვლადის ერთ-ერთი კოეფიციენტი 1-ის ტოლი უნდა გახდეს.
2. დაამატეთ მიღებული გამოხატულება ტერმინით და იპოვნეთ ერთ-ერთი უცნობი.
3. შეცვალეთ მიღებული მნიშვნელობა სისტემის მე-2 განტოლებაში, რათა იპოვოთ დარჩენილი ცვლადი.

ამოხსნის მეთოდი ახალი ცვლადის შემოღებით

ახალი ცვლადის შემოღება შესაძლებელია, თუ სისტემა მოითხოვს ამოხსნის პოვნას არაუმეტეს ორი განტოლებისათვის; უცნობის რაოდენობა ასევე არ უნდა იყოს ორზე მეტი.

მეთოდი გამოიყენება ერთ-ერთი განტოლების გასამარტივებლად ახალი ცვლადის შემოღებით. ახალი განტოლება იხსნება შემოტანილი უცნობისთვის და მიღებული მნიშვნელობა გამოიყენება თავდაპირველი ცვლადის დასადგენად.

მაგალითი გვიჩვენებს, რომ ახალი t ცვლადის შემოღებით შესაძლებელი გახდა სისტემის 1-ლი განტოლების შემცირება სტანდარტულ კვადრატულ ტრინომამდე. თქვენ შეგიძლიათ ამოხსნათ მრავალწევრი დისკრიმინანტის მოძიებით.

აუცილებელია დისკრიმინანტის მნიშვნელობის პოვნა ცნობილი ფორმულის გამოყენებით: D = b2 - 4*a*c, სადაც D არის სასურველი დისკრიმინანტი, b, a, c არის მრავალწევრის ფაქტორები. მოცემულ მაგალითში a=1, b=16, c=39, შესაბამისად D=100. თუ დისკრიმინანტი ნულზე მეტია, მაშინ არსებობს ორი ამონახსნი: t = -b±√D / 2*a, თუ დისკრიმინანტი ნაკლებია ნულზე, მაშინ არის ერთი ამონახსნი: x = -b / 2*a.

შედეგად მიღებული სისტემების გამოსავალი ნაპოვნია დამატების მეთოდით.

სისტემების ამოხსნის ვიზუალური მეთოდი

ვარგისია 3 განტოლების სისტემისთვის. მეთოდი მოიცავს სისტემაში შემავალი თითოეული განტოლების გრაფიკების აგებას კოორდინატთა ღერძზე. მრუდების გადაკვეთის წერტილების კოორდინატები იქნება სისტემის ზოგადი გადაწყვეტა.

გრაფიკულ მეთოდს აქვს მთელი რიგი ნიუანსი. მოდით შევხედოთ წრფივი განტოლებების სისტემების ვიზუალურად ამოხსნის რამდენიმე მაგალითს.

როგორც მაგალითიდან ჩანს, თითოეული ხაზისთვის აშენდა ორი წერტილი, თვითნებურად აირჩიეს x ცვლადის მნიშვნელობები: 0 და 3. x-ის მნიშვნელობების საფუძველზე, ნაპოვნი იქნა y-ის მნიშვნელობები: 3 და 0. წერტილები (0, 3) და (3, 0) კოორდინატებით მონიშნული იყო გრაფიკზე და იყო დაკავშირებული ხაზით.

ნაბიჯები უნდა განმეორდეს მეორე განტოლებისთვის. ხაზების გადაკვეთის წერტილი არის სისტემის ამოხსნა.

შემდეგი მაგალითი მოითხოვს წრფივი განტოლებათა სისტემის გრაფიკული ამოხსნის პოვნას: 0.5x-y+2=0 და 0.5x-y-1=0.

როგორც მაგალითიდან ჩანს, სისტემას არ აქვს გამოსავალი, რადგან გრაფიკები პარალელურია და არ იკვეთება მთელ სიგრძეზე.

2 და 3 მაგალითების სისტემები მსგავსია, მაგრამ აგებისას აშკარა ხდება, რომ მათი გადაწყვეტილებები განსხვავებულია. უნდა გვახსოვდეს, რომ ყოველთვის არ არის შესაძლებელი იმის თქმა, აქვს თუ არა სისტემას გამოსავალი; ყოველთვის საჭიროა გრაფიკის აგება.

მატრიცა და მისი ჯიშები

მატრიცები გამოიყენება წრფივი განტოლებათა სისტემის მოკლედ დასაწერად. მატრიცა არის სპეციალური ტიპის ცხრილი, რომელიც ივსება ციფრებით. n*m აქვს n - რიგები და m - სვეტები.

მატრიცა არის კვადრატი, როდესაც სვეტების და რიგების რაოდენობა ტოლია. მატრიცა-ვექტორი არის ერთი სვეტის მატრიცა მწკრივების უსასრულოდ შესაძლო რაოდენობით. მატრიცას ერთ-ერთ დიაგონალის გასწვრივ და სხვა ნულოვანი ელემენტებით იდენტურობა ეწოდება.

ინვერსიული მატრიცა არის მატრიცა გამრავლებისას, რომლითაც ორიგინალი გადაიქცევა ერთეულ მატრიცაში; ასეთი მატრიცა არსებობს მხოლოდ თავდაპირველი კვადრატისთვის.

განტოლებათა სისტემის მატრიცად გადაქცევის წესები

განტოლებათა სისტემებთან მიმართებაში განტოლებების კოეფიციენტები და თავისუფალი წევრები იწერება როგორც მატრიცული რიცხვები; ერთი განტოლება არის მატრიცის ერთი მწკრივი.

მატრიცის მწკრივი არ არის ნულოვანი, თუ მწკრივის ერთი ელემენტი მაინც არ არის ნული. მაშასადამე, თუ რომელიმე განტოლებაში ცვლადების რაოდენობა განსხვავდება, მაშინ აუცილებელია ნულის შეყვანა გამოტოვებული უცნობის ნაცვლად.

მატრიცის სვეტები მკაცრად უნდა შეესაბამებოდეს ცვლადებს. ეს ნიშნავს, რომ x ცვლადის კოეფიციენტები შეიძლება ჩაიწეროს მხოლოდ ერთ სვეტში, მაგალითად პირველი, უცნობი y-ის კოეფიციენტი - მხოლოდ მეორეში.

მატრიცის გამრავლებისას მატრიცის ყველა ელემენტი თანმიმდევრულად მრავლდება რიცხვზე.

ინვერსიული მატრიცის პოვნის ვარიანტები

ინვერსიული მატრიცის პოვნის ფორმულა საკმაოდ მარტივია: K -1 = 1 / |K|, სადაც K -1 არის შებრუნებული მატრიცა და |K| არის მატრიცის განმსაზღვრელი. |კ| არ უნდა იყოს ნულის ტოლი, მაშინ სისტემას აქვს გამოსავალი.

განმსაზღვრელი ადვილად გამოითვლება ორი-ორ მატრიცისთვის, თქვენ უბრალოდ უნდა გაამრავლოთ დიაგონალური ელემენტები ერთმანეთზე. „სამი სამზე“ ვარიანტისთვის არის ფორმულა |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა, ან გახსოვდეთ, რომ თქვენ უნდა აიღოთ ერთი ელემენტი თითოეული მწკრივიდან და თითოეული სვეტიდან ისე, რომ სვეტების და ელემენტების მწკრივების რაოდენობა არ განმეორდეს ნამუშევარში.

ხაზოვანი განტოლების სისტემების მაგალითების ამოხსნა მატრიცული მეთოდით

ამოხსნის პოვნის მატრიცული მეთოდი საშუალებას გაძლევთ შეამციროთ უხერხული ჩანაწერები ცვლადების და განტოლებების დიდი რაოდენობით სისტემების ამოხსნისას.

მაგალითში a nm არის განტოლებების კოეფიციენტები, მატრიცა არის ვექტორი x n არის ცვლადები და b n არის თავისუფალი ტერმინები.

სისტემების ამოხსნა გაუსის მეთოდით

უმაღლეს მათემატიკაში კრამერის მეთოდთან ერთად სწავლობენ გაუსის მეთოდს, ხოლო სისტემების ამონახსნების ძიების პროცესს ეწოდება გაუს-კრამერის ამოხსნის მეთოდი. ეს მეთოდები გამოიყენება სისტემების ცვლადების მოსაძებნად წრფივი განტოლებების დიდი რაოდენობით.

გაუსის მეთოდი ძალიან ჰგავს გადაწყვეტილებებს, რომლებიც იყენებენ ჩანაცვლებას და ალგებრული დამატება, მაგრამ უფრო სისტემატური. სასკოლო კურსში გაუსის მეთოდით ამონახსნები გამოიყენება 3 და 4 განტოლების სისტემებისთვის. მეთოდის მიზანია სისტემის შემცირება ინვერსიული ტრაპეციის სახით. მიერ ალგებრული გარდაქმნებიდა ჩანაცვლებით, ერთი ცვლადის მნიშვნელობა გვხვდება სისტემის ერთ-ერთ განტოლებაში. მეორე განტოლება არის გამოხატულება 2 უცნობით, ხოლო 3 და 4 არის, შესაბამისად, 3 და 4 ცვლადით.

სისტემის აღწერილ ფორმამდე მიყვანის შემდეგ, შემდგომი ამოხსნა მცირდება ცნობილი ცვლადების თანმიმდევრულ ჩანაცვლებამდე სისტემის განტოლებებში.

მე-7 კლასის სასკოლო სახელმძღვანელოებში, გაუსის მეთოდით ამოხსნის მაგალითი აღწერილია შემდეგნაირად:

როგორც მაგალითიდან ჩანს, საფეხურზე (3) მიიღეს ორი განტოლება: 3x 3 -2x 4 =11 და 3x 3 +2x 4 =7. რომელიმე განტოლების ამოხსნა საშუალებას მოგცემთ გაარკვიოთ x ​​n-ის ერთ-ერთი ცვლადი.

მე-5 თეორემა, რომელიც ტექსტშია ნახსენები, წერს, რომ თუ სისტემის ერთ-ერთი განტოლება შეიცვალა ეკვივალენტით, მაშინ მიღებული სისტემაც ორიგინალის ეკვივალენტური იქნება.

გაუსის მეთოდი საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის რთული გასაგებია, მაგრამ ერთ-ერთი ყველაზე საინტერესო გზებიმათემატიკისა და ფიზიკის კლასებში სწავლის გაღრმავებულ პროგრამებზე ჩარიცხული ბავშვების გამომგონებლობის განვითარება.

ჩაწერის გამარტივებისთვის, გამოთვლები ჩვეულებრივ კეთდება შემდეგნაირად:

განტოლებების და თავისუფალი ტერმინების კოეფიციენტები იწერება მატრიცის სახით, სადაც მატრიცის თითოეული მწკრივი შეესაბამება სისტემის ერთ-ერთ განტოლებას. ჰყოფს მარცხენა მხარეგანტოლებები მარჯვნიდან. რომაული ციფრები მიუთითებს სისტემაში განტოლებათა რაოდენობაზე.

ჯერ ჩაწერეთ მატრიცა, რომლითაც უნდა იმუშავოთ, შემდეგ კი ყველა ქმედება, რომელიც შესრულებულია ერთ-ერთი მწკრივით. შედეგად მიღებული მატრიცა იწერება "ისრის" ნიშნის შემდეგ და საჭირო ალგებრული ოპერაციები გრძელდება შედეგის მიღწევამდე.

შედეგი უნდა იყოს მატრიცა, რომელშიც ერთ-ერთი დიაგონალი უდრის 1-ს, ხოლო ყველა სხვა კოეფიციენტი ნულის ტოლია, ანუ მატრიცა მცირდება ერთეულ ფორმამდე. არ უნდა დაგვავიწყდეს გამოთვლების შესრულება განტოლების ორივე მხარეს რიცხვებით.

ჩაწერის ეს მეთოდი ნაკლებად შრომატევადია და საშუალებას გაძლევთ არ გადაიტანოთ ყურადღება მრავალი უცნობის ჩამოთვლით.

ნებისმიერი გადაწყვეტის მეთოდის უფასო გამოყენება მოითხოვს ზრუნვას და გარკვეულ გამოცდილებას. ყველა მეთოდი არ არის გამოყენებული. გადაწყვეტილებების პოვნის ზოგიერთი მეთოდი უფრო სასურველია ადამიანის საქმიანობის კონკრეტულ სფეროში, ზოგი კი საგანმანათლებლო მიზნებისთვის არსებობს.

1. ჩანაცვლების მეთოდი: სისტემის ნებისმიერი განტოლებიდან გამოვხატავთ ერთ უცნობს მეორის მეშვეობით და ვცვლით სისტემის მეორე განტოლებით.

დავალება.ამოხსენით განტოლებათა სისტემა:

გამოსავალი.სისტემის პირველი განტოლებიდან გამოვხატავთ ზემეშვეობით Xდა შეცვალეთ იგი სისტემის მეორე განტოლებაში. მოდით მივიღოთ სისტემა ორიგინალის ექვივალენტი.

მსგავსი პირობების შემოტანის შემდეგ სისტემა მიიღებს ფორმას:

მეორე განტოლებიდან ვხვდებით: . ამ მნიშვნელობის ჩანაცვლება განტოლებაში ზე = 2 - 2X, ვიღებთ ზე= 3. მაშასადამე, ამ სისტემის ამონახსნი არის რიცხვების წყვილი.

2. ალგებრული დამატების მეთოდი: ორი განტოლების მიმატებით მიიღებთ განტოლებას ერთი ცვლადით.

დავალება.ამოხსენით სისტემის განტოლება:

გამოსავალი.მეორე განტოლების ორივე მხარე 2-ზე გამრავლებით მივიღებთ სისტემას ორიგინალის ექვივალენტი. ამ სისტემის ორი განტოლების დამატებით მივდივართ სისტემამდე

მსგავსი პირობების შემოტანის შემდეგ ეს სისტემა მიიღებს ფორმას: მეორე განტოლებიდან ვხვდებით. ამ მნიშვნელობის ჩანაცვლება განტოლებაში 3 X + 4ზე= 5, ვიღებთ , სადაც . ამრიგად, ამ სისტემის გამოსავალი არის რიცხვების წყვილი.

3. ახალი ცვლადების დანერგვის მეთოდი: ჩვენ ვეძებთ სისტემაში განმეორებით გამონათქვამებს, რომლებსაც აღვნიშნავთ ახალი ცვლადებით, რითაც გავამარტივებთ სისტემის გარეგნობას.

დავალება.ამოხსენით განტოლებათა სისტემა:

გამოსავალი.მოდით დავწეროთ ეს სისტემა სხვაგვარად:

დაე x + y = u, xy = ვ.შემდეგ ჩვენ ვიღებთ სისტემას

მოვაგვაროთ ჩანაცვლების მეთოდით. სისტემის პირველი განტოლებიდან გამოვხატავთ uმეშვეობით ვდა შეცვალეთ იგი სისტემის მეორე განტოლებაში. ავიღოთ სისტემა იმათ.

სისტემის მეორე განტოლებიდან ვხვდებით ვ 1 = 2, ვ 2 = 3.

ამ მნიშვნელობების ჩანაცვლება განტოლებაში u = 5 - ვ, ვიღებთ u 1 = 3,
u 2 = 2. მაშინ გვაქვს ორი სისტემა

პირველი სისტემის ამოხსნისას მივიღებთ რიცხვების ორ წყვილს (1; 2), (2; 1). მეორე სისტემას არ აქვს გამოსავალი.

სავარჯიშოები დამოუკიდებელი მუშაობისთვის

1. განტოლებათა სისტემების ამოხსნა ჩანაცვლების მეთოდით.

განტოლებების გამოყენება ფართოდ არის გავრცელებული ჩვენს ცხოვრებაში. ისინი გამოიყენება მრავალ გამოთვლებში, სტრუქტურების მშენებლობაში და სპორტშიც კი. ადამიანი ძველ დროში იყენებდა განტოლებებს და მას შემდეგ მათი გამოყენება მხოლოდ გაიზარდა. ჩანაცვლების მეთოდი საშუალებას გაძლევთ მარტივად ამოხსნათ ნებისმიერი სირთულის წრფივი განტოლებების სისტემები. მეთოდის არსი იმაში მდგომარეობს, რომ სისტემის პირველი გამოხატვის გამოყენებით გამოვხატავთ „y“-ს, შემდეგ კი მიღებული გამონათქვამი „y“-ის ნაცვლად, სისტემის მეორე განტოლებაში ჩავანაცვლებთ. ვინაიდან განტოლება უკვე შეიცავს არა ორ უცნობს, არამედ მხოლოდ ერთს, ჩვენ შეგვიძლია მარტივად ვიპოვოთ ამ ცვლადის მნიშვნელობა და შემდეგ გამოვიყენოთ მეორის მნიშვნელობის დასადგენად.

დავუშვათ, რომ გვეძლევა შემდეგი ფორმის წრფივი განტოლებების სისტემა:

\[\ მარცხენა\(\ დასაწყისი (მატრიცა) 3x-y-10=0\\ x+4y-12=0 \ბოლო(მატრიცა)\მარჯვნივ.\]

გამოვხატოთ \

\[\ მარცხნივ\(\ დასაწყისი (მატრიცა) 3x-10=y\\ x+4y-12=0 \ბოლო(მატრიცა)\მარჯვნივ.\]

მოდით შევცვალოთ მიღებული გამოხატულება განტოლებაში 2:

\[\ მარცხენა\(\ დასაწყისი (მატრიცა) y=3x-10\\ x+4(3x-10)-12=0 \ბოლო(მატრიცა)\მარჯვნივ.\]

მოდი ვიპოვოთ მნიშვნელობა \

მოდით გავამარტივოთ და ამოხსნათ განტოლება ფრჩხილების გახსნით და ტერმინების გადაცემის წესების გათვალისწინებით:

ახლა ჩვენ ვიცით მნიშვნელობა \ მოდით გამოვიყენოთ ეს მნიშვნელობის საპოვნელად \

პასუხი: \[(4;2).\]

სად შემიძლია გადავჭრა განტოლებათა სისტემა ონლაინ ჩანაცვლების მეთოდით?

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა შეგიძლიათ ჩვენს ვებგვერდზე. უფასო ონლაინ ამომხსნელი საშუალებას მოგცემთ ამოხსნათ ნებისმიერი სირთულის ონლაინ განტოლებები რამდენიმე წამში. ყველაფერი რაც თქვენ უნდა გააკეთოთ არის უბრალოდ შეიყვანოთ თქვენი მონაცემები გადამწყვეტში. თქვენ ასევე შეგიძლიათ გაიგოთ, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ განტოლება ჩვენს ვებგვერდზე. და თუ ჯერ კიდევ გაქვთ შეკითხვები, შეგიძლიათ დასვათ ისინი ჩვენს VKontakte ჯგუფში.

განტოლებათა სისტემების ამოხსნა ჩანაცვლების მეთოდით

გავიხსენოთ რა არის განტოლებათა სისტემა.

ორი განტოლების სისტემა ორი ცვლადით არის ორი განტოლება, რომელიც იწერება ერთმანეთის ქვემოთ, რომლებიც უერთდებიან ხვეული ფრჩხილით. სისტემის ამოხსნა ნიშნავს რიცხვების წყვილის პოვნას, რომელიც ერთდროულად ამოხსნის პირველ და მეორე განტოლებებს.

ამ გაკვეთილზე ჩვენ გავეცნობით სისტემების ამოხსნის ისეთ მეთოდს, როგორიცაა ჩანაცვლების მეთოდი.

მოდით შევხედოთ განტოლებათა სისტემას:

თქვენ შეგიძლიათ გადაჭრათ ეს სისტემა გრაფიკულად. ამისათვის ჩვენ უნდა ავაშენოთ თითოეული განტოლების გრაფიკები ერთ კოორდინატულ სისტემაში და გადავიტანოთ ისინი ფორმაში:

შემდეგ იპოვნეთ გრაფიკების გადაკვეთის წერტილის კოორდინატები, რომლებიც სისტემის გამოსავალი იქნება. მაგრამ გრაფიკული მეთოდი ყოველთვის არ არის მოსახერხებელი, რადგან განსხვავდება დაბალი სიზუსტით, ან თუნდაც მიუწვდომელობით. შევეცადოთ უფრო ახლოს მივხედოთ ჩვენს სისტემას. ახლა ასე გამოიყურება:

თქვენ შეგიძლიათ შეამჩნიოთ, რომ განტოლებების მარცხენა მხარეები ტოლია, რაც ნიშნავს, რომ მარჯვენა მხარეები ასევე ტოლი უნდა იყოს. შემდეგ მივიღებთ განტოლებას:

ეს არის ნაცნობი განტოლება ერთი ცვლადით, რომლის ამოხსნაც შეგვიძლია. გადავიტანოთ უცნობი ტერმინები მარცხენა მხარეს, ხოლო ცნობილი ტერმინები მარჯვნივ, გადატანისას არ დაგვავიწყდეს + და - ნიშნების შეცვლა. ჩვენ ვიღებთ:

ახლა მოდით ჩავანაცვლოთ x-ის ნაპოვნი მნიშვნელობა სისტემის ნებისმიერ განტოლებაში და ვიპოვოთ y-ის მნიშვნელობა. ჩვენს სისტემაში უფრო მოსახერხებელია მეორე განტოლების გამოყენება y = 3 - x; ჩანაცვლების შემდეგ მივიღებთ y = 2. ახლა გავაანალიზოთ შესრულებული სამუშაო. პირველ რიგში, პირველ განტოლებაში ჩვენ გამოვხატეთ y ცვლადი x ცვლადის მიხედვით. შემდეგ მიღებული გამოხატულება - 2x + 4 ჩანაცვლდა მეორე განტოლებაში ცვლადის y-ის ნაცვლად. შემდეგ მივიღეთ მიღებული განტოლება ერთი x ცვლადით და ვიპოვეთ მისი მნიშვნელობა. და ბოლოს, ჩვენ გამოვიყენეთ x-ის ნაპოვნი მნიშვნელობა სხვა y ცვლადის საპოვნელად. აქ იბადება კითხვა: საჭირო იყო თუ არა y ცვლადის ერთდროულად გამოხატვა ორივე განტოლებიდან? Რათქმაუნდა არა. ჩვენ შეგვიძლია გამოვხატოთ ერთი ცვლადი მეორის მიხედვით სისტემის მხოლოდ ერთ განტოლებაში და გამოვიყენოთ იგი მეორეში შესაბამისი ცვლადის ნაცვლად. უფრო მეტიც, თქვენ შეგიძლიათ გამოხატოთ ნებისმიერი ცვლადი ნებისმიერი განტოლებიდან. აქ არჩევანი დამოკიდებულია მხოლოდ ანგარიშის მოხერხებულობაზე. მათემატიკოსებმა ამ პროცედურას უწოდეს ალგორითმი ორი განტოლების სისტემის ამოხსნისთვის ორი ცვლადით ჩანაცვლების მეთოდის გამოყენებით.აი როგორ გამოიყურება.

1. სისტემის ერთ-ერთ განტოლებაში გამოხატეთ ერთ-ერთი ცვლადი მეორის მიხედვით.

2.შეცვალეთ მიღებული გამოხატულება შესაბამისი ცვლადის ნაცვლად სისტემის სხვა განტოლებით.

3.მიღებული განტოლების ამოხსნა ერთი ცვლადით.

4.შეცვალეთ ცვლადის ნაპოვნი მნიშვნელობა პირველ ეტაპზე მიღებულ გამოსახულებაში და იპოვეთ სხვა ცვლადის მნიშვნელობა.

5.დაწერეთ პასუხი რიცხვების წყვილის სახით, რომლებიც ნაპოვნი იქნა მესამე და მეოთხე საფეხურზე.

მოდით შევხედოთ სხვა მაგალითს. ამოხსენით განტოლებათა სისტემა:

აქ უფრო მოსახერხებელია y ცვლადის გამოხატვა პირველი განტოლებიდან. ჩვენ ვიღებთ y = 8 - 2x. მიღებული გამოხატულება უნდა შეიცვალოს y-ით მეორე განტოლებაში. ჩვენ ვიღებთ:

ცალ-ცალკე დავწეროთ ეს განტოლება და ამოვხსნათ. ჯერ გავხსნათ ფრჩხილები. ვიღებთ განტოლებას 3x - 16 + 4x = 5. შევკრიბოთ განტოლების მარცხენა მხარეს არსებული უცნობი, ხოლო მარჯვნივ ცნობილი ტერმინები და წარმოვადგინოთ მსგავსი ტერმინები. ჩვენ ვიღებთ განტოლებას 7x = 21, აქედან გამომდინარე x = 3.

ახლა, x-ის ნაპოვნი მნიშვნელობის გამოყენებით, შეგიძლიათ იპოვოთ:

პასუხი: რიცხვების წყვილი (3; 2).

ამრიგად, ამ გაკვეთილზე ვისწავლეთ ორი უცნობის მქონე განტოლებების სისტემების ამოხსნა ანალიტიკური, ზუსტი გზით, საეჭვო გრაფიკული მეთოდების გამოყენების გარეშე.

გამოყენებული ლიტერატურის სია:

1. მორდკოვიჩ ა.გ., ალგებრა მე-7 კლასი 2 ნაწილად, ნაწილი 1, სახელმძღვანელო საგანმანათლებო ინსტიტუტები/ ა.გ. მორდკოვიჩი. – მე-10 გამოცემა, შესწორებული – მოსკოვი, „მნემოსინე“, 2007 წ.
2. მორდკოვიჩ ა.გ., ალგებრა მე-7 კლასი 2 ნაწილად, ნაწილი 2, პრობლემური წიგნი საგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის / [ა.გ. მორდკოვიჩი და სხვები]; რედაქტირებულია A.G. მორდკოვიჩი - მე-10 გამოცემა, შესწორებული - მოსკოვი, „მნემოსინე“, 2007 წ.
3. მისი. ტულჩინსკაია, ალგებრა მე-7 კლასი. ბლიცის გამოკითხვა: სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის, მე-4 გამოცემა, შესწორებული და გაფართოებული, მოსკოვი, Mnemosyne, 2008 წ.
4. ალექსანდროვა L.A., ალგებრა მე-7 კლასი. თემატური ტესტის მუშაობა ქ ახალი ფორმაზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის, რედაქციით ა.გ. მორდკოვიჩი, მოსკოვი, „მნემოსინე“, 2011 წ.
5. ალექსანდროვა ლ.ა. ალგებრა მე-7 კლასი. დამოუკიდებელი მუშაობაზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის, რედაქციით ა.გ. მორდკოვიჩი - მე-6 გამოცემა, სტერეოტიპული, მოსკოვი, „მნემოსინე“, 2010 წ.