საინჟინრო კალკულატორი ონლაინ

მოხარული ვართ, ყველას წარმოგიდგინოთ უფასო საინჟინრო კალკულატორი. მისი დახმარებით ნებისმიერ მოსწავლეს შეუძლია სწრაფად და რაც მთავარია მარტივად განახორციელოს სხვადასხვა ტიპის მათემატიკური გამოთვლები ონლაინ.

კალკულატორი აღებულია საიტიდან - web 2.0 სამეცნიერო კალკულატორი

მარტივი და ადვილად გამოსაყენებელი საინჟინრო კალკულატორი შეუმჩნეველი და ინტუიციური ინტერფეისით ნამდვილად გამოდგება ინტერნეტის მომხმარებელთა ფართო სპექტრისთვის. ახლა, როდესაც დაგჭირდებათ კალკულატორი, გადადით ჩვენს ვებსაიტზე და გამოიყენეთ უფასო საინჟინრო კალკულატორი.

საინჟინრო კალკულატორს შეუძლია შეასრულოს როგორც მარტივი არითმეტიკული ოპერაციები, ასევე საკმაოდ რთული მათემატიკური გამოთვლები.

Web20calc არის საინჟინრო კალკულატორი, რომელსაც აქვს ფუნქციების უზარმაზარი რაოდენობა, მაგალითად, როგორ გამოვთვალოთ ყველა ელემენტარული ფუნქცია. კალკულატორი ასევე მხარს უჭერს ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს, მატრიცებს, ლოგარითმებს და გრაფიკებსაც კი.

ეჭვგარეშეა, Web20calc საინტერესო იქნება ადამიანთა იმ ჯგუფისთვის, ვინც ეძებს მარტივი გადაწყვეტილებებისაძიებო სისტემებში აყალიბებს შეკითხვას: მათემატიკური ონლაინ კალკულატორი. უფასო ვებ აპლიკაცია დაგეხმარებათ მყისიერად გამოთვალოთ რაიმე მათემატიკური გამოთქმის შედეგი, მაგალითად, გამოკლოთ, დაამატოთ, გაყოთ, ამოიღოთ ფესვი, ასწიოთ ხარისხამდე და ა.შ.

გამოხატულებაში შეგიძლიათ გამოიყენოთ ოპერაციები სიმძლავრე, შეკრება, გამოკლება, გამრავლება, გაყოფა, პროცენტი და PI მუდმივი. რთული გამოთვლებისთვის, ფრჩხილები უნდა იყოს ჩართული.

საინჟინრო კალკულატორის მახასიათებლები:

1. ძირითადი არითმეტიკული მოქმედებები;
2. რიცხვებთან მუშაობა სტანდარტული ფორმით;
3. ტრიგონომეტრიული ფესვების, ფუნქციების, ლოგარითმების გამოთვლა, გაძლიერება;
4. სტატისტიკური გამოთვლები: შეკრება, საშუალო არითმეტიკული ან სტანდარტული გადახრა;
5. მეხსიერების უჯრედების გამოყენება და 2 ცვლადის მორგებული ფუნქციები;
6. კუთხეებთან მუშაობა რადიანულ და გრადუსიან ზომებში.

საინჟინრო კალკულატორი საშუალებას გაძლევთ გამოიყენოთ სხვადასხვა მათემატიკური ფუნქციები:

ფესვების ამოღება (კვადრატული, კუბური და n-ე ფესვი);
ex (e x სიმძლავრემდე), ექსპონენციალური;
ტრიგონომეტრიული ფუნქციები: სინუსი - სინუსი, კოსინუსი - cos, ტანგენსი - თან;
შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები: რკალი - სინ-1, არკოზინი - კოს-1, არქტანგენსი - ტან-1;
ჰიპერბოლური ფუნქციები: sine - sinh, კოსინუსი - cosh, tangent - tanh;
ლოგარითმები: ორობითი ლოგარითმისაფუძველი ორი - log2x, ფუძე ათი ლოგარითმი - log, ბუნებრივი ლოგარითმი- ლნ.

ეს საინჟინრო კალკულატორი ასევე შეიცავს რაოდენობის კალკულატორს, რომელსაც აქვს ფიზიკური სიდიდეების გარდაქმნის უნარი სხვადასხვა საზომი სისტემებისთვის - კომპიუტერული ერთეული, მანძილი, წონა, დრო და ა.შ. ამ ფუნქციის გამოყენებით შეგიძლიათ მყისიერად გადაიყვანოთ მილები კილომეტრებში, ფუნტი კილოგრამებში, წამები საათებად და ა.შ.

მათემატიკური გამოთვლების გასაკეთებლად ჯერ შესაბამის ველში ჩაწერეთ მათემატიკური გამონათქვამების თანმიმდევრობა, შემდეგ დააწკაპუნეთ ტოლობის ნიშანზე და ნახეთ შედეგი. თქვენ შეგიძლიათ შეიყვანოთ მნიშვნელობები პირდაპირ კლავიატურიდან (ამისთვის კალკულატორის არე უნდა იყოს აქტიური, ამიტომ სასარგებლო იქნება კურსორის განთავსება შეყვანის ველში). სხვა საკითხებთან ერთად, მონაცემების შეყვანა შესაძლებელია თავად კალკულატორის ღილაკების გამოყენებით.

გრაფიკების ასაგებად, თქვენ უნდა ჩაწეროთ ფუნქცია შეყვანის ველში, როგორც ეს მითითებულია ველში მაგალითებით ან გამოიყენოთ სპეციალურად ამისათვის შექმნილი ხელსაწყოების პანელი (მასზე გადასასვლელად დააწკაპუნეთ ღილაკზე გრაფიკის ხატულაზე). მნიშვნელობების გადასაყვანად დააწკაპუნეთ Unit-ზე, მატრიცებთან მუშაობისთვის დააჭირეთ Matrix-ს.

ნებისმიერი ენის გამოყენებით, შეგიძლიათ ერთი და იგივე ინფორმაციის გამოხატვა სხვადასხვა სიტყვებით და ფრაზებით. გამონაკლისი არც მათემატიკური ენაა. მაგრამ ერთი და იგივე გამოთქმა შეიძლება ექვივალენტურად დაიწეროს სხვადასხვა გზით. და ზოგიერთ სიტუაციაში, ერთ-ერთი ჩანაწერი უფრო მარტივია. ამ გაკვეთილზე ვისაუბრებთ გამონათქვამების გამარტივებაზე.

ხალხი ურთიერთობს სხვადასხვა ენებზე. ჩვენთვის მნიშვნელოვანი შედარებაა წყვილი „რუსული ენა - მათემატიკური ენა“. ერთი და იგივე ინფორმაციის მიწოდება შესაძლებელია სხვადასხვა ენაზე. მაგრამ, ამის გარდა, ის შეიძლება გამოითქმის სხვადასხვა გზით ერთ ენაზე.

მაგალითად: "პეტია მეგობრობს ვასიასთან", "ვასია მეგობრობს პეტიასთან", "პეტია და ვასია მეგობრები არიან". სხვანაირად თქვა, მაგრამ იგივე. რომელიმე ამ ფრაზიდან გავიგებდით რაზეა საუბარი.

მოდით შევხედოთ ამ ფრაზას: ”ბიჭი პეტია და ბიჭი ვასია მეგობრები არიან”. ჩვენ გვესმის რაზეც ვსაუბრობთ. თუმცა ამ ფრაზის ხმა არ მოგვწონს. არ შეგვიძლია გავამარტივოთ, იგივე ვთქვათ, მაგრამ უფრო მარტივი? "ბიჭი და ბიჭი" - შეგიძლიათ ერთხელ თქვათ: "ბიჭები პეტია და ვასია მეგობრები არიან".

"ბიჭები"... მათი სახელებიდან არ ჩანს, რომ გოგოები არ არიან? ჩვენ ვხსნით "ბიჭებს": "პეტია და ვასია მეგობრები არიან". და სიტყვა "მეგობრები" შეიძლება შეიცვალოს "მეგობრებით": "პეტია და ვასია მეგობრები არიან". შედეგად, პირველი, გრძელი, მახინჯი ფრაზა შეიცვალა ეკვივალენტური დებულებით, რომელიც უფრო ადვილად სათქმელია და ადვილად გასაგები. ჩვენ გავამარტივეთ ეს ფრაზა. გამარტივება ნიშნავს უფრო მარტივად თქვას, მაგრამ არა მნიშვნელობის დაკარგვას ან დამახინჯებას.

მათემატიკური ენაზე დაახლოებით იგივე ხდება. ერთი და იგივე შეიძლება ითქვას, სხვანაირად დაწერილი. რას ნიშნავს გამოხატვის გამარტივება? ეს ნიშნავს, რომ ორიგინალური გამონათქვამისთვის არსებობს მრავალი ექვივალენტური გამონათქვამი, ანუ ის, რაც ერთსა და იმავეს ნიშნავს. და მთელი ამ მრავალფეროვნებიდან ჩვენ უნდა ავირჩიოთ უმარტივესი, ჩვენი აზრით, ან ყველაზე შესაფერისი ჩვენი შემდგომი მიზნებისთვის.

მაგალითად, განიხილეთ რიცხვითი გამოხატულება. ეს იქნება ტოლი.

ის ასევე იქნება პირველი ორის ექვივალენტი: .

გამოდის, რომ ჩვენ გავამარტივეთ ჩვენი გამონათქვამები და ვიპოვეთ უმოკლეს ეკვივალენტური გამოხატულება.

რიცხვითი გამონათქვამებისთვის, თქვენ ყოველთვის უნდა გააკეთოთ ყველაფერი და მიიღოთ ექვივალენტური გამოხატულება, როგორც ერთი რიცხვი.

მოდით შევხედოთ პირდაპირი გამოთქმის მაგალითს . ცხადია, ეს უფრო მარტივი იქნება.

ლიტერატურული გამონათქვამების გამარტივებისას აუცილებელია ყველა შესაძლო მოქმედების შესრულება.

ყოველთვის აუცილებელია გამოხატვის გამარტივება? არა, ზოგჯერ ჩვენთვის უფრო მოსახერხებელი იქნება ექვივალენტური, მაგრამ უფრო გრძელი ჩანაწერი.

მაგალითი: თქვენ უნდა გამოაკლოთ რიცხვი რიცხვს.

გამოთვლა შესაძლებელია, მაგრამ თუ პირველი რიცხვი წარმოდგენილი იქნებოდა მისი ეკვივალენტური აღნიშვნით: , მაშინ გამოთვლები იქნება მყისიერი: .

ანუ გამარტივებული გამოთქმა ყოველთვის არ არის ჩვენთვის მომგებიანი შემდგომი გამოთვლებისთვის.

მიუხედავად ამისა, ძალიან ხშირად ჩვენ წინაშე ვდგავართ დავალების წინაშე, რომელიც უბრალოდ ჟღერს როგორც "გამოხატვის გამარტივება".

გაამარტივე გამოთქმა: .

გამოსავალი

1) შეასრულეთ მოქმედებები პირველ და მეორე ფრჩხილებში: .

2) მოდით გამოვთვალოთ პროდუქტები: .

ცხადია, ბოლო გამონათქვამს უფრო მარტივი ფორმა აქვს, ვიდრე საწყისს. ჩვენ გავამარტივეთ.

გამოთქმის გასამარტივებლად ის უნდა შეიცვალოს ეკვივალენტით (ტოლი).

ეკვივალენტური გამოხატვის დასადგენად გჭირდებათ:

1) შეასრულეთ ყველა შესაძლო მოქმედება,

2) გამოთვლების გასამარტივებლად გამოიყენეთ შეკრების, გამოკლების, გამრავლებისა და გაყოფის თვისებები.

შეკრების და გამოკლების თვისებები:

1. შეკრების კომუტაციური თვისება: ტერმინების გადალაგება ჯამს არ ცვლის.

2. შეკრების კომბინირებული თვისება: ორი რიცხვის ჯამს მესამე რიცხვის დასამატებლად შეგიძლიათ პირველ რიცხვს დაუმატოთ მეორე და მესამე რიცხვის ჯამი.

3. რიცხვიდან ჯამის გამოკლების თვისება: რიცხვს რომ გამოაკლოთ ჯამი, შეგიძლიათ გამოაკლოთ თითოეული წევრი ცალ-ცალკე.

გამრავლებისა და გაყოფის თვისებები

1. გამრავლების კომუტაციური თვისება: ფაქტორების გადალაგება არ ცვლის ნამრავლს.

2. კომბინაციური თვისება: რიცხვის გასამრავლებლად ორი რიცხვის ნამრავლზე, შეგიძლიათ ჯერ გაამრავლოთ ის პირველ ფაქტორზე, შემდეგ კი მიღებული ნამრავლი გაამრავლოთ მეორე ფაქტორზე.

3. გამრავლების გამანაწილებელი თვისება: რიცხვის ჯამზე გასამრავლებლად საჭიროა თითოეულ წევრზე ცალ-ცალკე გაამრავლოთ.

ვნახოთ, რეალურად როგორ ვაკეთებთ გონებრივ გამოთვლებს.

გამოთვალეთ:

გამოსავალი

1) წარმოვიდგინოთ როგორ

2) წარმოვიდგინოთ პირველი ფაქტორი, როგორც ბიტის წევრთა ჯამი და შევასრულოთ გამრავლება:

3) შეგიძლიათ წარმოიდგინოთ როგორ და შეასრულოთ გამრავლება:

4) შეცვალეთ პირველი ფაქტორი ექვივალენტური ჯამით:

განაწილების კანონი ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას საპირისპირო მხარეს: .

Მიყევი ამ ნაბიჯებს:

1) 2)

გამოსავალი

1) მოხერხებულობისთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ გამანაწილებელი კანონი, გამოიყენეთ იგი მხოლოდ საპირისპირო მიმართულებით - ამოიღეთ საერთო ფაქტორი ფრჩხილებიდან.

2) ავიღოთ საერთო ფაქტორი ფრჩხილებიდან

აუცილებელია ლინოლეუმის შეძენა სამზარეულოსა და დერეფნისთვის. სამზარეულო ფართი - დერეფანი - . არსებობს სამი სახის ლინოლეუმი: ამისთვის და რუბლისთვის. რამდენი დაჯდება თითოეული? სამი სახისლინოლეუმი? (ნახ. 1)

ბრინჯი. 1. ილუსტრაცია პრობლემის განცხადებისთვის

გამოსავალი

მეთოდი 1. შეგიძლიათ ცალ-ცალკე გაიგოთ, რა თანხა დაგჭირდებათ სამზარეულოსთვის ლინოლეუმის შესაძენად, შემდეგ კი დერეფანში ჩასვით და მიღებული პროდუქტების დამატება.

ალგებრულ გამონათქვამს, რომელშიც შეკრების, გამოკლების და გამრავლების ოპერაციებთან ერთად, ასევე იყენებს ასოების გამონათქვამებად დაყოფას, წილადი ალგებრული გამოხატულება ეწოდება. ეს არის, მაგალითად, გამონათქვამები

ალგებრულ წილადს ვუწოდებთ ალგებრულ გამოსახულებას, რომელსაც აქვს ორი მთელი რიცხვის გაყოფის კოეფიციენტის ფორმა. ალგებრული გამონათქვამები(მაგალითად, მონომები ან მრავალწევრები). ეს არის, მაგალითად, გამონათქვამები

გამოთქმებიდან მესამე).

წილადი ალგებრული გამონათქვამების იდენტური გარდაქმნები უმეტესწილად მიზნად ისახავს მათი სახით წარმოჩენას ალგებრული წილადი. საერთო მნიშვნელის საპოვნელად გამოიყენება წილადების მნიშვნელების ფაქტორიზაცია - ტერმინები მათი უმცირესი საერთო ჯერადის საპოვნელად. ალგებრული წილადების შემცირებისას შეიძლება დაირღვეს გამონათქვამების მკაცრი იდენტურობა: აუცილებელია გამოირიცხოს რაოდენობების მნიშვნელობები, რომლებზეც ფაქტორი, რომლითაც ხდება შემცირება ხდება ნულის ტოლი.

მოვიყვანოთ წილადი ალგებრული გამონათქვამების იდენტური გარდაქმნების მაგალითები.

მაგალითი 1: გამოხატვის გამარტივება

ყველა ტერმინი შეიძლება შემცირდეს საერთო მნიშვნელამდე (მოხერხებულია ნიშნის შეცვლა ბოლო ტერმინის მნიშვნელში და მის წინ ნიშანში):

ჩვენი გამოხატულება უდრის ერთს ყველა მნიშვნელობისთვის ამ მნიშვნელობების გარდა; ის განუსაზღვრელია და წილადის შემცირება უკანონოა).

მაგალითი 2. გამოთქმა წარმოადგინეთ ალგებრული წილადის სახით

გამოსავალი. გამოთქმა შეიძლება მივიღოთ როგორც საერთო მნიშვნელი. თანმიმდევრობით ვპოულობთ:

Სავარჯიშოები

1. იპოვეთ ალგებრული გამონათქვამების მნიშვნელობები მითითებული პარამეტრის მნიშვნელობებისთვის:

2. ფაქტორიზაცია.

ალგებრაში განხილულ სხვადასხვა გამოთქმებს შორის მნიშვნელოვანი ადგილი უჭირავს მონომების ჯამებს. აქ მოცემულია ასეთი გამონათქვამების მაგალითები:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

მონომების ჯამს მრავალწევრი ეწოდება. მრავალწევრებში შემავალ ტერმინებს მრავალწევრის ტერმინები ეწოდება. მონომები ასევე კლასიფიცირდება როგორც პოლინომები, განიხილება მონომი, როგორც პოლინომი, რომელიც შედგება ერთი წევრისაგან.

მაგალითად, მრავალწევრი
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
შეიძლება გამარტივდეს.

მოდით წარმოვადგინოთ ყველა ტერმინი სტანდარტული ფორმის მონომიების სახით:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

წარმოვადგინოთ მსგავსი ტერმინები მიღებულ მრავალწევრში:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
შედეგი არის პოლინომი, რომლის ყველა ტერმინი სტანდარტული ფორმის მონომია და მათ შორის მსგავსი არ არის. ასეთ მრავალწევრებს უწოდებენ სტანდარტული ფორმის მრავალწევრები.

უკან მრავალწევრის ხარისხისტანდარტული ფორმით იღებს მისი წევრების უმაღლეს უფლებამოსილებებს. ამრიგად, ბინომს \(12a^2b - 7b\) აქვს მესამე ხარისხი, ხოლო ტრინომს \(2b^2 -7b + 6\) აქვს მეორე.

როგორც წესი, სტანდარტული ფორმის მრავალწევრების ტერმინები, რომლებიც შეიცავს ერთ ცვლადს, განლაგებულია მაჩვენებლების კლებადობით. Მაგალითად:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

რამდენიმე მრავალწევრის ჯამი შეიძლება გარდაიქმნას (გამარტივდეს) სტანდარტული ფორმის მრავალწევრად.

ზოგჯერ მრავალწევრის ტერმინები უნდა დაიყოს ჯგუფებად, თითოეული ჯგუფის ჩასმა ფრჩხილებში. ვინაიდან ფრჩხილების ჩასმა არის გახსნის ფრჩხილების შებრუნებული ტრანსფორმაცია, მისი ფორმულირება მარტივია ფრჩხილების გახსნის წესები:

თუ ფრჩხილების წინ მოთავსებულია „+“ ნიშანი, მაშინ ფრჩხილებში ჩასმული ტერმინები იწერება იგივე ნიშნებით.

თუ ფრჩხილების წინ მოთავსებულია „-“ ნიშანი, მაშინ ფრჩხილებში ჩასმული ტერმინები იწერება საპირისპირო ნიშნებით.

მონომისა და მრავალწევრის ნამრავლის ტრანსფორმაცია (გამარტივება).

გამრავლების გამანაწილებელი თვისების გამოყენებით შეგიძლიათ გადააქციოთ (გაამარტივოთ) მონომისა და მრავალწევრის ნამრავლი მრავალწევრად. Მაგალითად:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

მონომისა და მრავალწევრის ნამრავლი იდენტურად უდრის ამ მონომის ნამრავლებისა და მრავალწევრის თითოეული წევრის ჯამს.

ეს შედეგი ჩვეულებრივ ჩამოყალიბებულია როგორც წესი.

მონომის მრავალწევრზე გასამრავლებლად, ეს მონომი უნდა გაამრავლოთ მრავალწევრის თითოეულ წევრზე.

ეს წესი უკვე რამდენჯერმე გამოვიყენეთ ჯამზე გასამრავლებლად.

მრავალწევრების პროდუქტი. ორი მრავალწევრის ნამრავლის ტრანსფორმაცია (გამარტივება).

ზოგადად, ორი მრავალწევრის ნამრავლი იდენტურად უდრის ერთი მრავალწევრის თითოეული წევრისა და მეორის თითოეული წევრის ნამრავლის ჯამს.

ჩვეულებრივ გამოიყენება შემდეგი წესი.

მრავალწევრის მრავალწევრზე გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ერთი მრავალწევრის თითოეული წევრი მეორის თითოეულ წევრზე და დაამატოთ მიღებული პროდუქცია.

შემოკლებული გამრავლების ფორმულები. ჯამის კვადრატები, განსხვავებები და კვადრატების სხვაობა

გარკვეული გამონათქვამებით ალგებრული გარდაქმნებიუფრო ხშირად უწევთ საქმე, ვიდრე სხვებს. ალბათ ყველაზე გავრცელებული გამონათქვამებია \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) და \(a^2 - b^2 \), ანუ ჯამის კვადრატი, კვადრატი კვადრატების განსხვავება და განსხვავება. თქვენ შენიშნეთ, რომ ამ გამონათქვამების სახელები თითქოს არასრულია, მაგალითად, \((a + b)^2 \), რა თქმა უნდა, არ არის მხოლოდ ჯამის კვადრატი, არამედ a და b ჯამის კვადრატი. . თუმცა, a და b ჯამის კვადრატი არც თუ ისე ხშირად გვხვდება, როგორც წესი, a და b ასოების ნაცვლად, შეიცავს სხვადასხვა, ზოგჯერ საკმაოდ რთულ გამონათქვამებს.

გამონათქვამები \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) მარტივად შეიძლება გარდაიქმნას (გამარტივდეს) სტანდარტული ფორმის პოლინომებად; სინამდვილეში, თქვენ უკვე შეხვდით ამ ამოცანას მრავალწევრების გამრავლებისას:
\((ა + ბ)^2 = (ა + ბ)(ა + ბ) = a^2 + აბ + ბა + ბ^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

სასარგებლოა მიღებული იდენტობების დამახსოვრება და მათი გამოყენება შუალედური გამოთვლების გარეშე. ამას ეხმარება მოკლე სიტყვიერი ფორმულირებები.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - ჯამის კვადრატი ჯამის ტოლიკვადრატები და გააორმაგეთ პროდუქტი.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - სხვაობის კვადრატი უდრის კვადრატების ჯამს გაორმაგებული ნამრავლის გარეშე.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - კვადრატების სხვაობა უდრის სხვაობისა და ჯამის ნამრავლს.

ეს სამი იდენტობა საშუალებას აძლევს ადამიანს შეცვალოს მისი მარცხენა ნაწილები მარჯვენა ნაწილებით გარდაქმნებისას და პირიქით - მარჯვენა ნაწილები მარცხენა ნაწილებით. ყველაზე რთულია შესაბამისი გამონათქვამების დანახვა და იმის გაგება, თუ როგორ იცვლება მათში a და b ცვლადები. მოდით შევხედოთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენების რამდენიმე მაგალითს.

გამონათქვამები, გამოხატვის გარდაქმნა

ძალაუფლების გამონათქვამები (გამოხატვები ძალებით) და მათი ტრანსფორმაცია

ამ სტატიაში ვისაუბრებთ გამონათქვამების ძალაუფლებით კონვერტაციაზე. პირველ რიგში, ჩვენ ყურადღებას გავამახვილებთ ტრანსფორმაციებზე, რომლებიც შესრულებულია ნებისმიერი სახის გამონათქვამებით, მათ შორის ძალაუფლების გამონათქვამები, როგორიცაა ფრჩხილების გახსნა და მსგავსი ტერმინების მოტანა. შემდეგ ჩვენ გავაანალიზებთ გარდაქმნებს, რომლებიც თან ახლავს კონკრეტულად გამონათქვამებს გრადუსით: მუშაობა ფუძესთან და ექსპონენტთან, ხარისხების თვისებების გამოყენებით და ა.შ.

გვერდის ნავიგაცია.

რა არის ძალაუფლების გამონათქვამები?

ტერმინი „ძალაუფლების გამონათქვამები“ პრაქტიკულად არ გვხვდება სასკოლო მათემატიკის სახელმძღვანელოებში, მაგრამ საკმაოდ ხშირად გვხვდება ამოცანების კრებულებში, განსაკუთრებით ისეთ პრობლემებში, რომლებიც განკუთვნილია ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის და ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის, მაგალითად. ამოცანების გაანალიზების შემდეგ, რომლებშიც აუცილებელია რაიმე მოქმედების შესრულება ძალის გამონათქვამებით, ცხადი ხდება, რომ ძალაუფლების გამონათქვამები გაგებულია, როგორც გამონათქვამები, რომლებიც შეიცავს ძალაუფლებას მათ ჩანაწერებში. ამიტომ, თქვენ შეგიძლიათ მიიღოთ შემდეგი განმარტება თქვენთვის:

განმარტება.

ძალის გამონათქვამებიარის ხარისხების შემცველი გამონათქვამები.

მივცეთ ძალაუფლების გამოხატვის მაგალითები. უფრო მეტიც, წარმოგიდგენთ იმის მიხედვით, თუ როგორ ხდება შეხედულებების განვითარება ხარისხიდან ხარისხამდე. ბუნებრივი მაჩვენებელიხარისხით რეალური მაჩვენებლით.

როგორც ცნობილია, ჯერ ეცნობა რიცხვის სიმძლავრეს ბუნებრივი მაჩვენებლით; ამ ეტაპზე პირველი უმარტივესი სიმძლავრის გამონათქვამები ტიპის 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1) 4, 3 a 2 გამოჩნდება −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 და ა.შ.

ცოტა მოგვიანებით, შესწავლილია რიცხვის სიმძლავრე მთელი რიცხვის მაჩვენებლით, რაც იწვევს მთელი რიცხვებით სიმძლავრის გამოსახულებების გამოჩენას. უარყოფითი ძალები, როგორიცაა შემდეგი: 3 −2, , a −2 +2 b −3 +c 2 .

საშუალო სკოლაში ისინი უბრუნდებიან ხარისხს. იქ შემოღებულია ხარისხი რაციონალური მაჩვენებლით, რაც გულისხმობს შესაბამისი სიმძლავრის გამონათქვამების გამოჩენას: , , და ასე შემდეგ. და ბოლოს, განიხილება ირაციონალური მაჩვენებლებით და მათ შემცველი გამონათქვამები: , .

საკითხი არ შემოიფარგლება ჩამოთვლილი სიმძლავრის გამოსახულებებით: შემდგომში ცვლადი აღწევს მაჩვენებელში და, მაგალითად, წარმოიქმნება შემდეგი გამონათქვამები: 2 x 2 +1 ან . და გაცნობის შემდეგ იწყება გამონათქვამები ძალებითა და ლოგარითმებით, მაგალითად, x 2·lgx −5·x lgx.

ასე რომ, ჩვენ განვიხილეთ კითხვა, თუ რას წარმოადგენს ძალაუფლების გამონათქვამები. შემდეგ ჩვენ ვისწავლით მათ გარდაქმნას.

ძალაუფლების გამონათქვამების გარდაქმნების ძირითადი ტიპები

ძალაუფლების გამონათქვამებით შეგიძლიათ შეასრულოთ გამონათქვამების იდენტობის ნებისმიერი ძირითადი ტრანსფორმაცია. მაგალითად, შეგიძლიათ გააფართოვოთ ფრჩხილები, შეცვალოთ რიცხვითი გამონათქვამებიმათი მნიშვნელობები, მიეცით მსგავსი ტერმინები და ა.შ. ბუნებრივია, ამ შემთხვევაში აუცილებელია მოქმედებების განხორციელებისთვის მიღებული პროცედურის დაცვა. მოვიყვანოთ მაგალითები.

მაგალითი.

გამოთვალეთ სიმძლავრის გამოხატვის მნიშვნელობა 2 3 ·(4 2 −12) .

გამოსავალი.

მოქმედებების შესრულების თანმიმდევრობის მიხედვით, ჯერ შეასრულეთ მოქმედებები ფრჩხილებში. იქ, პირველ რიგში, ვანაცვლებთ სიმძლავრეს 4 2 მისი მნიშვნელობით 16 (საჭიროების შემთხვევაში იხილეთ) და მეორეც, ვიანგარიშებთ სხვაობას 16−12=4. Ჩვენ გვაქვს 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

მიღებულ გამონათქვამში ვანაცვლებთ სიმძლავრეს 2 3 მისი მნიშვნელობით 8, რის შემდეგაც ვიანგარიშებთ ნამრავლს 8·4=32. ეს არის სასურველი მნიშვნელობა.

Ისე, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

პასუხი:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

მაგალითი.

გამოთქმების გამარტივება ძალებით 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

გამოსავალი.

ცხადია, ეს გამოთქმა შეიცავს მსგავს ტერმინებს 3·a 4 ·b −7 და 2·a 4 ·b −7 , და შეგვიძლია წარმოვადგინოთ ისინი: .

პასუხი:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

მაგალითი.

გამოხატეთ გამოხატულება ძალებით, როგორც პროდუქტი.

გამოსავალი.

თქვენ შეგიძლიათ გაუმკლავდეთ დავალებას რიცხვი 9-ის სახით 3 2-ის ხარისხად წარმოდგენით და შემდეგ შემოკლებული გამრავლების ფორმულის გამოყენებით - კვადრატების განსხვავება:

პასუხი:

ასევე არსებობს მთელი რიგი იდენტური გარდაქმნები, რომლებიც თან ახლავს კონკრეტულად ძალაუფლების გამონათქვამებს. ჩვენ მათ შემდგომ გავაანალიზებთ.

ბაზისთან და ექსპონენტთან მუშაობა

არის გრადუსები, რომელთა ფუძე და/ან მაჩვენებლები არ არის მხოლოდ რიცხვები ან ცვლადები, არამედ ზოგიერთი გამონათქვამი. მაგალითად, ვაძლევთ ჩანაწერებს (2+0.3·7) 5−3.7 და (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

ასეთ გამონათქვამებთან მუშაობისას შეგიძლიათ შეცვალოთ როგორც გამოხატულება ხარისხის საფუძველში, ასევე გამოხატულება ექსპონენტში იდენტური თანაბარი გამოსახულებით მისი ცვლადების ODZ-ში. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენთვის ცნობილი წესების მიხედვით, ჩვენ შეგვიძლია ცალ-ცალკე გარდაქმნათ ხარისხის ფუძე და ცალ-ცალკე მაჩვენებლის. ცხადია, რომ ამ ტრანსფორმაციის შედეგად მიიღება გამონათქვამი, რომელიც იდენტურად უტოლდება ორიგინალს.

ასეთი გარდაქმნები საშუალებას გვაძლევს გავამარტივოთ გამოთქმები ძალებით ან მივაღწიოთ სხვა მიზნებს, რაც გვჭირდება. მაგალითად, ზემოთ ნახსენები სიმძლავრის გამოხატულებაში (2+0.3 7) 5−3.7 შეგიძლიათ შეასრულოთ მოქმედებები ფუძეზე და მაჩვენებელში მოცემული რიცხვებით, რაც საშუალებას მოგცემთ გადახვიდეთ ხარისხზე 4.1 1.3. ხოლო ფრჩხილების გახსნის და მსგავსი ტერმინების (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) ხარისხის საფუძველთან მიტანის შემდეგ მივიღებთ ძლიერ გამოხატულებას მეტი მარტივი ტიპი a 2·(x+1) .

ხარისხის თვისებების გამოყენება

გამონათქვამების ძალებით გარდაქმნის ერთ-ერთი მთავარი ინსტრუმენტი არის თანასწორობა, რომელიც ასახავს . გავიხსენოთ ძირითადი. ნებისმიერი დადებითი რიცხვისთვის a და b და თვითნებური რეალური რიცხვებისთვის r და s, ხარისხების შემდეგი თვისებები მართალია:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (ა:ბ) რ =ა რ:ბ რ ;
• (a r) s =a r·s .

გაითვალისწინეთ, რომ ბუნებრივი, მთელი და დადებითი მაჩვენებლებისთვის, a და b რიცხვებზე შეზღუდვები შეიძლება არც ისე მკაცრი იყოს. მაგალითად, ამისთვის ნატურალური რიცხვები m და n ტოლობა a m ·a n =a m+n მართალია არა მხოლოდ დადებითი a, არამედ უარყოფითი a და a=0-სთვის.

სკოლაში ძალაუფლების გამონათქვამების გარდაქმნისას მთავარი აქცენტი კეთდება შესაბამისი თვისების არჩევისა და მისი სწორად გამოყენების უნარზე. ამ შემთხვევაში, ხარისხების საფუძვლები, როგორც წესი, დადებითია, რაც საშუალებას აძლევს გრადუსების თვისებების გამოყენებას შეზღუდვების გარეშე. იგივე ეხება ძალაუფლების საფუძვლებში ცვლადების შემცველი გამონათქვამების ტრანსფორმაციას - ცვლადების დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი ჩვეულებრივ ისეთია, რომ ფუძეები მასზე მხოლოდ დადებით მნიშვნელობებს იღებენ, რაც საშუალებას გაძლევთ თავისუფლად გამოიყენოთ ძალაუფლების თვისებები. . ზოგადად, თქვენ მუდმივად უნდა ჰკითხოთ საკუთარ თავს, შესაძლებელია თუ არა ამ შემთხვევაში ხარისხების რაიმე თვისების გამოყენება, რადგან თვისებების არაზუსტმა გამოყენებამ შეიძლება გამოიწვიოს საგანმანათლებლო ღირებულების შევიწროება და სხვა პრობლემები. ეს პუნქტები დეტალურად და მაგალითებით არის განხილული სტატიაში გამონათქვამების ტრანსფორმაცია გრადუსების თვისებების გამოყენებით. აქ ჩვენ შემოვიფარგლებით რამდენიმე მარტივი მაგალითის განხილვით.

მაგალითი.

გამოთქმა a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 გამოთქმა ხარისხად a ფუძით.

გამოსავალი.

პირველი, ჩვენ გარდაქმნით მეორე ფაქტორს (a 2) −3 სიმძლავრის ხარისხზე აყვანის თვისების გამოყენებით: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. ორიგინალური სიმძლავრის გამოხატულება მიიღებს 2.5 ·a −6:a −5.5 ფორმას. ცხადია, რჩება ძალაუფლების გამრავლებისა და გაყოფის თვისებების გამოყენება იმავე ფუძით, გვაქვს
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

პასუხი:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

ძალების თვისებები ძალაუფლების გამონათქვამების გარდაქმნისას გამოიყენება როგორც მარცხნიდან მარჯვნივ, ასევე მარჯვნიდან მარცხნივ.

მაგალითი.

იპოვეთ ძალა გამოხატვის მნიშვნელობა.

გამოსავალი.

ტოლობა (a·b) r =a r ·b r, გამოყენებული მარჯვნიდან მარცხნივ, საშუალებას გვაძლევს გადავიდეთ ორიგინალური გამოსახულებიდან ფორმის ნამრავლზე და შემდგომში. და როცა ძალაუფლების გამრავლებისას იმავე საფუძვლითინდიკატორები ემატება: .

შესაძლებელი იყო ორიგინალური გამოხატვის სხვა გზით გარდაქმნა:

პასუხი:

.

მაგალითი.

1.5 −a 0.5 −6 სიმძლავრის გამოხატვის გათვალისწინებით, შემოიტანეთ ახალი ცვლადი t=a 0.5.

გამოსავალი.

a 1.5 ხარისხი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც 0.5 3 და შემდეგ, ხარისხის თვისებიდან გამომდინარე (a r) s =a r s ხარისხზე, გამოყენებული მარჯვნიდან მარცხნივ, გარდაქმნას იგი ფორმაში (a 0.5) 3. ამრიგად, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. ახლა ადვილია ახალი ცვლადის შემოღება t=a 0.5, მივიღებთ t 3 −t−6.

პასუხი:

t 3 −t−6 .

სიმძლავრის შემცველი წილადების გადაქცევა

სიმძლავრის გამონათქვამები შეიძლება შეიცავდეს ან წარმოადგენდეს წილადებს ხარისხებით. წილადების ნებისმიერი ძირითადი გარდაქმნა, რომელიც თანდაყოლილია ნებისმიერი სახის წილადებისთვის, სრულად გამოიყენება ასეთ წილადებზე. ანუ, წილადები, რომლებიც შეიცავს ხარისხებს, შეიძლება შემცირდეს, შემცირდეს ახალ მნიშვნელზე, ცალ-ცალკე დამუშავდეს მათი მრიცხველით და ცალკე მნიშვნელით და ა.შ. ამ სიტყვების საილუსტრაციოდ, განიხილეთ რამდენიმე მაგალითის გადაწყვეტა.

მაგალითი.

ძალაუფლების გამოხატვის გამარტივება .

გამოსავალი.

ეს სიმძლავრის გამოხატულება არის წილადი. ვიმუშაოთ მის მრიცხველთან და მნიშვნელთან. მრიცხველში ვხსნით ფრჩხილებს და ვამარტივებთ მიღებულ გამონათქვამს ძალაუფლების თვისებების გამოყენებით, ხოლო მნიშვნელში წარმოგიდგენთ მსგავს ტერმინებს:

და ასევე შევცვალოთ მნიშვნელის ნიშანი წილადის წინ მინუსის დაყენებით: .

პასუხი:

.

ძალაუფლების შემცველი წილადების ახალ მნიშვნელამდე შემცირება ხდება ისევე, როგორც რაციონალური წილადების ახალ მნიშვნელამდე შემცირება. ამ შემთხვევაში ასევე მოიძებნება დამატებითი კოეფიციენტი და მასზე მრავლდება წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი. ამ მოქმედების შესრულებისას უნდა გვახსოვდეს, რომ ახალ მნიშვნელზე შემცირებამ შეიძლება გამოიწვიოს VA-ს შევიწროება. ამის თავიდან ასაცილებლად, აუცილებელია, რომ დამატებითი ფაქტორი ნულამდე არ წავიდეს ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის ODZ ცვლადებიდან ორიგინალური გამოხატვისთვის.

მაგალითი.

წილადების აყვანა ახალ მნიშვნელზე: ა) მნიშვნელზე a, ბ) მნიშვნელისკენ.

გამოსავალი.

ა) ამ შემთხვევაში საკმაოდ მარტივია იმის გარკვევა, თუ რის მიღწევას უწყობს ხელს დამატებითი მულტიპლიკატორი სასურველი შედეგი. ეს არის 0.3-ის გამრავლება, ვინაიდან 0.7 ·a 0.3 =a 0.7+0.3 =a. გაითვალისწინეთ, რომ a ცვლადის დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონში (ეს არის ყველა დადებითი რეალური რიცხვის ნაკრები), 0.3-ის სიძლიერე არ ქრება, შესაბამისად, ჩვენ გვაქვს უფლება გავამრავლოთ მოცემულის მრიცხველი და მნიშვნელი. წილადი ამ დამატებითი ფაქტორით:

ბ) მნიშვნელს უფრო კარგად რომ დააკვირდებით, ნახავთ ამას

და ამ გამონათქვამის გამრავლება მივიღებთ კუბების ჯამს და, ანუ . და ეს არის ახალი მნიშვნელი, რომელსაც ჩვენ უნდა შევამციროთ საწყისი წილადი.

ასე აღმოვაჩინეთ დამატებითი ფაქტორი. x და y ცვლადების მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონში გამონათქვამი არ ქრება, შესაბამისად, ჩვენ შეგვიძლია გავამრავლოთ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი მასზე:

პასუხი:

ა) , ბ) .

ასევე არაფერია ახალი ძალაუფლების შემცველი წილადების შემცირებაში: მრიცხველი და მნიშვნელი წარმოდგენილია რიგ ფაქტორებად, ხოლო მრიცხველისა და მნიშვნელის იგივე ფაქტორები მცირდება.

მაგალითი.

შეამცირე წილადი: ა) , ბ) .

გამოსავალი.

ა) ჯერ მრიცხველი და მნიშვნელი შეიძლება შემცირდეს 30 და 45 რიცხვებით, რაც უდრის 15-ს. ასევე აშკარად შესაძლებელია შემცირების შესრულება x 0.5 +1-ით და . აი რა გვაქვს:

ბ) ამ შემთხვევაში მრიცხველსა და მნიშვნელში იდენტური ფაქტორები მაშინვე არ ჩანს. მათი მისაღებად, თქვენ მოგიწევთ წინასწარი გარდაქმნების განხორციელება. ამ შემთხვევაში, ისინი მოიცავს მნიშვნელის ფაქტორინგს კვადრატების სხვაობის ფორმულის გამოყენებით:

პასუხი:

ა)

ბ) .

წილადების ახალ მნიშვნელად გადაქცევა და წილადების შემცირება ძირითადად გამოიყენება წილადებთან საქმეების გასაკეთებლად. მოქმედებები შესრულებულია ცნობილი წესების მიხედვით. წილადების შეკრებისას (გამოკლებისას) ისინი მცირდება საერთო მნიშვნელამდე, რის შემდეგაც მრიცხველები ემატება (აკლდება), მაგრამ მნიშვნელი იგივე რჩება. შედეგი არის წილადი, რომლის მრიცხველი არის მრიცხველების ნამრავლი, ხოლო მნიშვნელი არის მნიშვნელების ნამრავლი. წილადზე გაყოფა არის მის შებრუნებულზე გამრავლება.

მაგალითი.

მიჰყევით ნაბიჯებს .

გამოსავალი.

პირველ რიგში, ჩვენ გამოვაკლებთ წილადებს ფრჩხილებში. ამისათვის ჩვენ მათ საერთო მნიშვნელამდე მივყავართ, რაც არის , რის შემდეგაც გამოვაკლებთ მრიცხველებს:

ახლა ვამრავლებთ წილადებს:

ცხადია, შესაძლებელია x 1/2 სიმძლავრის შემცირება, რის შემდეგაც გვაქვს .

თქვენ ასევე შეგიძლიათ გაამარტივოთ სიმძლავრის გამოხატულება მნიშვნელში კვადრატების განსხვავების ფორმულის გამოყენებით: .

პასუხი:

მაგალითი.

ძალაუფლების გამოხატვის გამარტივება .

გამოსავალი.

ცხადია, ეს წილადი შეიძლება შემცირდეს (x 2.7 +1) 2-ით, ეს იძლევა წილადს . გასაგებია, რომ X-ის უფლებამოსილებით სხვა რამის გაკეთებაა საჭირო. ამისთვის მიღებული ფრაქციის პროდუქტად გარდაქმნას. ეს გვაძლევს შესაძლებლობას ვისარგებლოთ ძალაუფლების გამყოფი თვისებით იმავე საფუძვლებით: . და პროცესის ბოლოს ჩვენ გადავდივართ ბოლო პროდუქტიდან წილადზე.

პასუხი:

.

და დავამატოთ ისიც, რომ შესაძლებელია და ხშირ შემთხვევაში სასურველია უარყოფითი მაჩვენებლების მქონე ფაქტორების გადატანა მრიცხველიდან მნიშვნელზე ან მნიშვნელიდან მრიცხველზე, მაჩვენებლის ნიშნის შეცვლით. ასეთი გარდაქმნები ხშირად ამარტივებს შემდგომი ქმედებები. მაგალითად, დენის გამოხატულება შეიძლება შეიცვალოს .

გამონათქვამების კონვერტაცია ფესვებითა და ძალებით

ხშირად, გამონათქვამებში, რომლებშიც საჭიროა გარკვეული გარდაქმნები, წილადის მაჩვენებლებით ფესვები ასევე გვხვდება ხარისხებთან ერთად. ასეთი გამოთქმის გადასაყვანად სწორი ტიპი, უმეტეს შემთხვევაში საკმარისია მხოლოდ ფესვებზე ან მხოლოდ ძალებზე გადასვლა. მაგრამ ვინაიდან ძალებთან მუშაობა უფრო მოსახერხებელია, ისინი ჩვეულებრივ ფესვებიდან ძალებზე გადადიან. ამასთან, მიზანშეწონილია განახორციელოთ ასეთი გადასვლა, როდესაც ცვლადების ODZ ორიგინალური გამოხატვისთვის საშუალებას გაძლევთ შეცვალოთ ფესვები ძალაუფლებით მოდულის მითითების ან ODZ-ის რამდენიმე ინტერვალად გაყოფის საჭიროების გარეშე (ეს დეტალურად განვიხილეთ სტატია ფესვებიდან ძლიერებამდე და უკან გადასვლის შემდეგ რაციონალური მაჩვენებლის ხარისხის გაცნობის შემდეგ შემოდის ხარისხი ირაციონალური მაჩვენებლით, რაც საშუალებას გვაძლევს ვისაუბროთ ხარისხზე თვითნებური რეალური მაჩვენებლით.ამ ეტაპზე სკოლა იწყებს სწავლა ექსპონენციალური ფუნქცია, რომელიც ანალიტიკურად მოცემულია ხარისხში, რომლის ფუძეა რიცხვი, ხოლო მაჩვენებელი არის ცვლადი. ასე რომ, ჩვენ ვხვდებით სიმძლავრის გამონათქვამებს, რომლებიც შეიცავს რიცხვებს სიმძლავრის ფუძეში, ხოლო ექსპონენტში - გამოსახულებებს ცვლადებით და ბუნებრივია ჩნდება ასეთი გამონათქვამების გარდაქმნების საჭიროება.

უნდა ითქვას, რომ მითითებული ტიპის გამონათქვამების ტრანსფორმაცია ჩვეულებრივ უნდა განხორციელდეს ამოხსნისას ექსპონენციალური განტოლებებიდა ექსპონენციური უტოლობებიდა ეს კონვერტაციები საკმაოდ მარტივია. უმეტეს შემთხვევაში, ისინი ეფუძნება ხარისხის თვისებებს და მიზნად ისახავს, ​​უმეტესწილად, მომავალში ახალი ცვლადის შემოღებას. განტოლება საშუალებას მოგვცემს ვაჩვენოთ ისინი 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

უპირველეს ყოვლისა, სიმძლავრეები, რომელთა ექსპონენტებში არის გარკვეული ცვლადის ჯამი (ან ცვლადებით გამოხატულება) და რიცხვი, იცვლება პროდუქტებით. ეს ეხება მარცხენა მხარეს გამოთქმის პირველ და ბოლო ტერმინებს:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

შემდეგი, თანასწორობის ორივე მხარე იყოფა გამოსახულებით 7 2 x, რომელიც ცვლადის x ODZ-ზე ორიგინალური განტოლებისთვის იღებს მხოლოდ დადებით მნიშვნელობებს (ეს არის სტანდარტული ტექნიკა ამ ტიპის განტოლებების გადასაჭრელად, ჩვენ არ ვართ ახლა ამაზე ვსაუბრობთ, ამიტომ ფოკუსირება მოახდინეთ გამონათქვამების შემდგომ ტრანსფორმაციებზე ძალებით):

ახლა ჩვენ შეგვიძლია გავაუქმოთ წილადები ძალაუფლებით, რაც იძლევა .

და ბოლოს, ძალაუფლების თანაფარდობა ერთიდაიგივე მაჩვენებლებით ჩანაცვლებულია ურთიერთობების ძალებით, რის შედეგადაც მიიღება განტოლება , რომელიც ექვივალენტურია . განხორციელებული გარდაქმნები საშუალებას გვაძლევს შემოვიტანოთ ახალი ცვლადი, რომელიც ამონახსნებს ორიგინალამდე ექსპონენციალური განტოლებაკვადრატული განტოლების ამოხსნას

ი.ვ.ბოიკოვი, ლ.დ.რომანოვაერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის მომზადების დავალებების კრებული. ნაწილი 1. პენზა 2003 წ.