ძალაუფლების შეკრება, გამოკლება, გამრავლება და გაყოფა. როგორ გავზარდოთ რიცხვი უარყოფით ძალამდე - მაგალითები აღწერილობით Excel-ში

მშენებლობაში უარყოფითი ხარისხი– მათემატიკის ერთ-ერთი ძირითადი ელემენტი, რომელიც ხშირად გვხვდება ალგებრული ამოცანების ამოხსნისას. ქვემოთ მოცემულია დეტალური ინსტრუქციები.

როგორ ავიდეთ უარყოფით ძალამდე - თეორია

როდესაც რიცხვს ჩვეულებრივ ხარისხზე ვზრდით, მის მნიშვნელობას რამდენჯერმე ვამრავლებთ. მაგალითად, 3 3 = 3×3×3 = 27. უარყოფითი წილადით საპირისპიროა. ფორმულის ზოგადი ფორმა იქნება შემდეგი: a -n = 1/a n. ამრიგად, რიცხვის უარყოფით ხარისხზე ასაყვანად, თქვენ უნდა გაყოთ ერთი მოცემულ რიცხვზე, მაგრამ დადებით ხარისხზე.

როგორ ავიდეთ უარყოფით ძალამდე - მაგალითები ჩვეულებრივ რიცხვებზე

ზემოაღნიშნული წესის გათვალისწინებით, მოვაგვაროთ რამდენიმე მაგალითი.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
პასუხი: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
პასუხი -4 -2 = 1/16.

მაგრამ რატომ არის პასუხები პირველ და მეორე მაგალითებში ერთნაირი? ფაქტია, რომ როდესაც უარყოფითი რიცხვი ლუწი ხარისხზე (2, 4, 6 და ა.შ.) ამაღლებულია, ნიშანი ხდება დადებითი. ხარისხი რომ იყოს თანაბარი, მაშინ მინუსი დარჩება:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

როგორ გავზარდოთ რიცხვები 0-დან 1-მდე უარყოფით ხარისხამდე

შეგახსენებთ, რომ როდესაც რიცხვი 0-დან 1-მდე იზრდება დადებით ხარისხზე, მნიშვნელობა მცირდება სიმძლავრის მატებასთან ერთად. მაგალითად, 0.5 2 = 0.25. 0.25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

მაგალითი 3: გამოთვალეთ 0.5 -2
ამოხსნა: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
პასუხი: 0.5 -2 = 4

ანალიზი (მოქმედებების თანმიმდევრობა):

• ათწილადი წილადი 0,5 გადააქციეთ წილად წილად 1/2. ასე უფრო ადვილია.
  აწიეთ 1/2 უარყოფით ხარისხზე. 1/(2) -2 . გავყოთ 1 1/(2) 2-ზე, მივიღებთ 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

მაგალითი 4: გამოთვალეთ 0.5 -3
ამოხსნა: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

მაგალითი 5: გამოთვალეთ -0.5 -3
ამოხსნა: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
პასუხი: -0.5 -3 = -8

მე-4 და მე-5 მაგალითებზე დაყრდნობით შეგვიძლია რამდენიმე დასკვნის გაკეთება:

• დადებითი რიცხვისთვის 0-დან 1-მდე დიაპაზონში (მაგალითი 4), ამაღლებული უარყოფით ხარისხზე, მნიშვნელობა არ აქვს სიმძლავრე ლუწი თუ კენტი, გამოხატვის მნიშვნელობა დადებითი იქნება. უფრო მეტიც, რაც უფრო დიდია ხარისხი, მით მეტია მნიშვნელობა.
• უარყოფითი რიცხვისთვის 0-დან 1-მდე დიაპაზონში (მაგალითი 5), ამაღლებული უარყოფით ხარისხზე, მნიშვნელობა არ აქვს სიმძლავრე ლუწი თუ კენტი, გამოხატვის მნიშვნელობა უარყოფითი იქნება. ამ შემთხვევაში, რაც უფრო მაღალია ხარისხი, მით უფრო დაბალია მნიშვნელობა.

როგორ ავწიოთ უარყოფით სიმძლავრემდე - სიმძლავრე წილადი რიცხვის სახით

ამ ტიპის გამონათქვამებს აქვთ შემდეგი ფორმა: a -m/n, სადაც a არის რეგულარული რიცხვი, m არის ხარისხის მრიცხველი, n არის ხარისხის მნიშვნელი.

მოდით შევხედოთ მაგალითს:
გამოთვალეთ: 8 -1/3

გამოსავალი (მოქმედებების თანმიმდევრობა):

• გავიხსენოთ რიცხვის უარყოფით ხარისხზე აყვანის წესი. ვიღებთ: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• გაითვალისწინეთ, რომ მნიშვნელს აქვს რიცხვი 8 წილადის ხარისხში. წილადი სიმძლავრის გამოთვლის ზოგადი ფორმა ასეთია: a m/n = n √8 m.
• ამრიგად, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). ვიღებთ კუბის ფესვირვიდან, რაც უდრის 2-ს. აქედან 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• პასუხი: 8 -1/3 = 2

სიმძლავრე გამოიყენება რიცხვის თავისთავად გამრავლების ოპერაციის გასამარტივებლად. მაგალითად, წერის ნაცვლად შეგიძლიათ დაწეროთ 4 5 (\displaystyle 4^(5))(ამ გადასვლის ახსნა მოცემულია ამ სტატიის პირველ ნაწილში). ხარისხები აადვილებს გრძელი ან რთული გამონათქვამების ან განტოლებების წერას; ასევე, ძალების დამატება და გამოკლება მარტივია, რის შედეგადაც მიიღება გამარტივებული გამოხატულება ან განტოლება (მაგალითად, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Შენიშვნა:თუ თქვენ უნდა გადაწყვიტოთ ექსპონენციალური განტოლება(ასეთ განტოლებაში უცნობია მაჩვენებელში), წაიკითხეთ.

ნაბიჯები

მარტივი ამოცანების გადაჭრა გრადუსით

გაამრავლეთ მაჩვენებლის ფუძე თავის თავზე რამდენჯერმე ტოლი მაჩვენებლისა.თუ თქვენ გჭირდებათ დენის პრობლემის ხელით გადაჭრა, გადაწერეთ სიმძლავრე გამრავლების ოპერაციის სახით, სადაც სიმძლავრის საფუძველი თავისთავად მრავლდება. მაგალითად, მიენიჭა ხარისხი 3 4 (\displaystyle 3^(4)). ამ შემთხვევაში, სიმძლავრის 3 საფუძველი თავისთავად უნდა გამრავლდეს 4-ჯერ: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). აქ არის სხვა მაგალითები:

პირველი, გაამრავლეთ პირველი ორი რიცხვი.Მაგალითად, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). არ ინერვიულოთ - გაანგარიშების პროცესი არც ისე რთულია, როგორც ერთი შეხედვით ჩანს. ჯერ გაამრავლეთ პირველი ორი ოთხეული და შემდეგ შეცვალეთ ისინი შედეგით. Ამგვარად:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. გაამრავლეთ შედეგი (ჩვენს მაგალითში 16) მომდევნო რიცხვზე.ყოველი მომდევნო შედეგი პროპორციულად გაიზრდება. ჩვენს მაგალითში გავამრავლოთ 16 4-ზე. ასე:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • განაგრძეთ პირველი ორი რიცხვის შედეგის გამრავლება მომდევნო რიცხვზე, სანამ არ მიიღებთ თქვენს საბოლოო პასუხს. ამისათვის გაამრავლეთ პირველი ორი რიცხვი, შემდეგ კი მიღებული შედეგი გაამრავლეთ შემდეგი რიცხვით თანმიმდევრობით. ეს მეთოდი მოქმედებს ნებისმიერი ხარისხისთვის. ჩვენს მაგალითში თქვენ უნდა მიიღოთ: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. მოაგვარეთ შემდეგი პრობლემები.შეამოწმეთ თქვენი პასუხი კალკულატორის გამოყენებით.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. თქვენს კალკულატორზე მოძებნეთ გასაღები წარწერით "exp" ან " x n (\displaystyle x^(n))", ან "^".ამ კლავიშის გამოყენებით თქვენ ასწევთ რიცხვს ძალამდე. თითქმის შეუძლებელია ხელით გამოთვალოთ ხარისხი დიდი მაჩვენებლით (მაგალითად, ხარისხი 9 15 (\displaystyle 9^(15))), მაგრამ კალკულატორი ადვილად უმკლავდება ამ ამოცანას. Windows 7-ში სტანდარტული კალკულატორი შეიძლება გადავიდეს საინჟინრო რეჟიმში; ამისათვის დააჭირეთ ღილაკს "ნახვა" -> "ინჟინერია". ნორმალურ რეჟიმში გადასასვლელად დააჭირეთ ღილაკს "ნახვა" -> "ნორმალური".

   • შეამოწმეთ მიღებული პასუხი საძიებო სისტემის გამოყენებით (Google ან Yandex). თქვენი კომპიუტერის კლავიატურაზე „^“ ღილაკის გამოყენებით შეიყვანეთ გამონათქვამი საძიებო სისტემაში, რომელიც მყისიერად აჩვენებს სწორ პასუხს (და შესაძლოა შემოგთავაზოთ მსგავსი გამონათქვამები შესასწავლად).

   ძალაუფლების შეკრება, გამოკლება, გამრავლება

   1. თქვენ შეგიძლიათ დაამატოთ და გამოკლოთ გრადუსი მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მათ აქვთ იგივე საფუძვლები.თუ თქვენ გჭირდებათ გრადუსების დამატება იმავე საფუძვლებზედა ექსპონენტები, მაშინ შეგიძლიათ შეცვალოთ შეკრების ოპერაცია გამრავლების ოპერაციით. მაგალითად, მოცემული გამოხატულება 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). გახსოვდეთ, რომ ხარისხი 4 5 (\displaystyle 4^(5))შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფორმით 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); ამრიგად, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(სადაც 1 +1 =2). ანუ დათვალეთ მსგავსი გრადუსების რაოდენობა და შემდეგ გაამრავლეთ ეს ხარისხი და ეს რიცხვი. ჩვენს მაგალითში აწიეთ 4 მეხუთე ხარისხზე და შემდეგ გაამრავლეთ მიღებული შედეგი 2-ზე. გახსოვდეთ, რომ შეკრების ოპერაცია შეიძლება შეიცვალოს გამრავლების ოპერაციით, მაგალითად, 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). აქ არის სხვა მაგალითები:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. ერთსა და იმავე ფუძეზე ძალების გამრავლებისას ემატება მათი მაჩვენებლები (ფუძე არ იცვლება).მაგალითად, მოცემული გამოხატულება x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). ამ შემთხვევაში, თქვენ უბრალოდ უნდა დაამატოთ ინდიკატორები, დატოვოთ ბაზა უცვლელი. ამრიგად, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). აქ მოცემულია ამ წესის ვიზუალური ახსნა:

      სიმძლავრის ხარისხზე აყვანისას, მაჩვენებლები მრავლდება.მაგალითად, დიპლომი ეძლევა. ვინაიდან ექსპონენტები მრავლდება, მაშინ (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). ამ წესის აზრი იმაში მდგომარეობს, რომ თქვენ ამრავლებთ ძალებზე (x 2) (\displaystyle (x^(2)))ხუთჯერ საკუთარ თავზე. Ამგვარად:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • ვინაიდან საფუძველი იგივეა, მაჩვენებლები უბრალოდ იკრიბებიან: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. უარყოფითი მაჩვენებლის მქონე სიმძლავრე უნდა გარდაიქმნას წილადად (უკუ სიმძლავრე).არ აქვს მნიშვნელობა, თუ არ იცი რა არის საპასუხო ხარისხი. თუ თქვენ გეძლევათ ხარისხი უარყოფითი მაჩვენებლით, ე.ი. 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), ჩაწერეთ ეს ხარისხი წილადის მნიშვნელში (ჩადეთ 1 მრიცხველში) და გააკეთეთ მაჩვენებლის დადებითი. ჩვენს მაგალითში: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). აქ არის სხვა მაგალითები:

      ერთსა და იმავე ფუძესთან გრადუსების გაყოფისას კლებულობენ მათ მაჩვენებლებს (ფუძე არ იცვლება).გაყოფის ოპერაცია გამრავლების ოპერაციის საპირისპიროა. მაგალითად, მოცემული გამოხატულება 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). გამოვაკლოთ მნიშვნელის მაჩვენებელს მრიცხველის მაჩვენებელს (ძირს ნუ შეცვლით). ამრიგად, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • სიმძლავრე მნიშვნელში შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). გახსოვდეთ, რომ წილადი არის რიცხვი (ძალა, გამოხატულება) უარყოფითი მაჩვენებლით.

   4. ქვემოთ მოცემულია რამდენიმე გამოთქმა, რომელიც დაგეხმარებათ ისწავლოთ პრობლემების გადაჭრა ექსპონენტებთან.მოცემული გამონათქვამები მოიცავს ამ ნაწილში წარმოდგენილ მასალას. პასუხის სანახავად უბრალოდ აირჩიეთ ცარიელი ადგილი ტოლობის ნიშნის შემდეგ.

   ამოცანების ამოხსნა წილადის მაჩვენებლებით

   წილადი მაჩვენებლის მქონე სიმძლავრე (მაგალითად, ) გარდაიქმნება ფესვის ოპერაციად.ჩვენს მაგალითში: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x (\displaystyle (\sqrt (x))). აქ არ აქვს მნიშვნელობა რა რიცხვია წილადის მაჩვენებლის მნიშვნელში. Მაგალითად, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))- ეს არის "x"-ის მეოთხე ფესვი, ანუ x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. თუ მაჩვენებელი არის არასწორი ფრაქცია, მაშინ ასეთი ხარისხი შეიძლება დაიშალოს ორ გრადუსად პრობლემის გადაწყვეტის გასამარტივებლად. ამაში არაფერია რთული - უბრალოდ დაიმახსოვრეთ ძალაუფლების გამრავლების წესი. მაგალითად, დიპლომი ეძლევა. გადააკეთეთ ასეთი სიმძლავრე ფესვად, რომლის სიმძლავრე ტოლია წილადის მაჩვენებლის მნიშვნელის მნიშვნელობისა და შემდეგ აწიეთ ეს ფესვი წილადის მრიცხველის ტოლ ხარისხში. ამისათვის გახსოვდეთ ეს 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). ჩვენს მაგალითში:

      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   2. ზოგიერთ კალკულატორს აქვს ღილაკი მაჩვენებლების გამოსათვლელად (ჯერ უნდა შეიყვანოთ ბაზა, შემდეგ დააჭიროთ ღილაკს და შემდეგ შეიყვანოთ მაჩვენებლები). იგი აღინიშნება როგორც ^ ან x^y.
   3. გახსოვდეთ, რომ ნებისმიერი რიცხვი პირველ ხარისხში ტოლია თავის თავს, მაგალითად, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.)უფრო მეტიც, ნებისმიერი რიცხვი გამრავლებული ან გაყოფილი ერთზე უდრის თავის თავს, ე.ი. 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5)და 5/1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
   4. იცოდე, რომ სიმძლავრე 0 0 არ არსებობს (ასეთ სიმძლავრეს გამოსავალი არ აქვს). თუ ცდილობთ ასეთი ხარისხის ამოხსნას კალკულატორზე ან კომპიუტერზე, მიიღებთ შეცდომას. მაგრამ გახსოვდეთ, რომ ნებისმიერი რიცხვი ნულოვან ხარისხზე არის 1, მაგალითად, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
   5. უმაღლეს მათემატიკაში, რომელიც მოქმედებს წარმოსახვითი რიცხვებით: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), სად i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e არის მუდმივი დაახლოებით 2,7-ის ტოლი; a არის თვითნებური მუდმივი. ამ თანასწორობის დამადასტურებელი საბუთი შეგიძლიათ ნახოთ უმაღლესი მათემატიკის ნებისმიერ სახელმძღვანელოში.

   გაფრთხილებები

   • როგორც ექსპონენტი იზრდება, მისი მნიშვნელობა მნიშვნელოვნად იზრდება. ასე რომ, თუ პასუხი არასწორად მოგეჩვენებათ, ის შეიძლება რეალურად იყოს სწორი. თქვენ შეგიძლიათ შეამოწმოთ ეს ნებისმიერი ექსპონენციალური ფუნქციის გამოსახვით, როგორიცაა 2 x.

ამ მასალაში განვიხილავთ რა არის რიცხვის ძალა. ძირითადი განმარტებების გარდა, ჩვენ ჩამოვაყალიბებთ რა არის ბუნებრივი, მთელი, რაციონალური და ირაციონალური მაჩვენებლების მქონე ძალები. როგორც ყოველთვის, ყველა კონცეფცია იქნება ილუსტრირებული სამაგალითო პრობლემებით.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ჯერ ჩამოვაყალიბეთ c ხარისხის ძირითადი განმარტება ბუნებრივი მაჩვენებელი. ამისათვის ჩვენ უნდა გვახსოვდეს გამრავლების ძირითადი წესები. წინასწარ განვმარტოთ, რომ ამ დროისთვის საფუძვლად ავიღებთ ნამდვილ რიცხვს (აღინიშნება ასო a), ხოლო ნატურალურ რიცხვს ინდიკატორად (აღნიშნავენ n ასოთი).

განმარტება 1

a რიცხვის სიმძლავრე n ბუნებრივი მაჩვენებლით არის n-ე რაოდენობის ფაქტორების ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული უდრის a რიცხვს. ხარისხი იწერება ასე: a nდა ფორმულის სახით მისი შემადგენლობა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:

მაგალითად, თუ მაჩვენებელი არის 1 და ფუძე არის a, მაშინ a-ს პირველი ხარისხად იწერება როგორც a 1. იმის გათვალისწინებით, რომ a არის ფაქტორის მნიშვნელობა და 1 არის ფაქტორების რაოდენობა, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ a 1 = a.

ზოგადად, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ დიპლომი არის მოსახერხებელი ფორმაჩანაწერები დიდი რაოდენობითთანაბარი ფაქტორები. ასე რომ, ფორმის ჩანაწერი 8 8 8 8შეიძლება შემცირდეს 8 4 . ანალოგიურად, ნამუშევარი გვეხმარება თავიდან ავიცილოთ ჩაწერა დიდი რიცხვიტერმინები (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4); ჩვენ უკვე განვიხილეთ ეს სტატიაში გამრავლების შესახებ ნატურალური რიცხვები.

როგორ სწორად წავიკითხოთ ხარისხის ჩანაწერი? საყოველთაოდ მიღებული ვარიანტია „a n-ის ხარისხამდე“. ან შეგიძლიათ თქვათ "ა-ის n-ე ძალა" ან "ანთ ძალა". თუ, ვთქვათ, მაგალითში შეგვხვდა ჩანაწერი 8 12 , შეგვიძლია წავიკითხოთ "8 მე-12 ხარისხამდე", "8 ხარისხში 12" ან "მე-12 ხარისხში 8".

რიცხვების მეორე და მესამე ხარისხებს აქვთ საკუთარი სახელები: კვადრატი და კუბი. თუ ჩვენ ვხედავთ მეორე ხარისხს, მაგალითად, რიცხვს 7 (7 2), მაშინ შეგვიძლია ვთქვათ „7 კვადრატი“ ან „7 რიცხვის კვადრატი“. ანალოგიურად, მესამე ხარისხი იკითხება ასე: 5 3 - ეს არის "5 ნომრის კუბი" ან "5 კუბური". თუმცა, თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ სტანდარტული ფორმულირება „მეორე/მესამე ძალამდე“, ეს არ იქნება შეცდომა.

მაგალითი 1

მოდით შევხედოთ ხარისხის მაგალითს ბუნებრივი მაჩვენებლით: for 5 7 ხუთი იქნება საფუძველი, ხოლო შვიდი იქნება მაჩვენებელი.

ფუძე არ უნდა იყოს მთელი რიცხვი: ხარისხისთვის (4 , 32) 9 ფუძე იქნება წილადი 4, 32, ხოლო მაჩვენებელი იქნება ცხრა. ყურადღება მიაქციეთ ფრჩხილებს: ეს აღნიშვნა შესრულებულია ყველა ძალაზე, რომლის ფუძეები განსხვავდება ნატურალური რიცხვებისგან.

მაგალითად: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

რისთვის არის ფრჩხილები? ისინი ხელს უწყობენ შეცდომების თავიდან აცილებას გამოთვლებში. ვთქვათ, გვაქვს ორი ჩანაწერი: (− 2) 3 და − 2 3 . მათგან პირველი ნიშნავს უარყოფით რიცხვს მინუს ორი, ამაღლებულ ხარისხზე, რომლის ბუნებრივი მაჩვენებლით არის სამი; მეორე არის რიცხვი, რომელიც შეესაბამება ხარისხის საპირისპირო მნიშვნელობას 2 3 .

ზოგჯერ წიგნებში შეგიძლიათ იპოვოთ რიცხვის ძალის ოდნავ განსხვავებული მართლწერა - ა^ნ(სადაც a არის საფუძველი და n არის მაჩვენებელი). ანუ 4^9 იგივეა რაც 4 9 . იმ შემთხვევაში, თუ n არის მრავალნიშნა რიცხვი, აღებულია ფრჩხილებში. მაგალითად, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . მაგრამ ჩვენ გამოვიყენებთ აღნიშვნას a nროგორც უფრო გავრცელებული.

ადვილი მისახვედრია, თუ როგორ გამოვთვალოთ მაჩვენებლის მნიშვნელობა ბუნებრივი მაჩვენებლით მისი განმარტებიდან: თქვენ უბრალოდ უნდა გაამრავლოთ მე-n რიცხვი ჯერ. ამის შესახებ უფრო მეტი დავწერეთ სხვა სტატიაში.

ხარისხის ცნება მეორის საპირისპიროა მათემატიკური კონცეფცია- რიცხვის ფესვი. თუ ვიცით სიმძლავრის და მაჩვენებლის მნიშვნელობა, შეგვიძლია გამოვთვალოთ მისი ფუძე. ხარისხს აქვს გარკვეული სპეციფიკური თვისებები, რომლებიც გამოსადეგია პრობლემების გადასაჭრელად, რომლებიც განვიხილეთ ცალკე მასალაში.

ექსპონენტები შეიძლება შეიცავდეს არა მხოლოდ ნატურალურ რიცხვებს, არამედ ზოგადად ნებისმიერ მთელ რიცხვს, მათ შორის უარყოფით და ნულებს, რადგან ისინი ასევე მიეკუთვნებიან მთელი რიცხვების სიმრავლეს.

განმარტება 2

რიცხვის სიმძლავრე დადებითი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფორმულის სახით: .

ამ შემთხვევაში n არის ნებისმიერი დადებითი მთელი რიცხვი.

მოდით გავიგოთ ნულოვანი ხარისხის ცნება. ამისათვის ჩვენ ვიყენებთ მიდგომას, რომელიც ითვალისწინებს კოეფიციენტის თვისებას სიმძლავრეებისთვის თანაბრად. იგი ჩამოყალიბებულია ასე:

განმარტება 3

Თანასწორობა a m: a n = a m − nჭეშმარიტი იქნება შემდეგ პირობებში: m და n არის ნატურალური რიცხვები, m< n , a ≠ 0 .

ბოლო პირობა მნიშვნელოვანია, რადგან ის თავს არიდებს ნულზე გაყოფას. თუ m და n-ის მნიშვნელობები ტოლია, მაშინ მივიღებთ შემდეგ შედეგს: a n: a n = a n − n = a 0

მაგრამ ამავე დროს a n: a n = 1 არის კოეფიციენტი თანაბარი რიცხვები a nდა ა. გამოდის, რომ ნებისმიერი არანულოვანი რიცხვის ნულოვანი სიმძლავრე ერთის ტოლია.

თუმცა, ასეთი მტკიცებულება არ ვრცელდება ნულზე ნულოვანი სიმძლავრის მიმართ. ამისათვის ჩვენ გვჭირდება ძალაუფლების კიდევ ერთი თვისება - თანაბარი საფუძვლების მქონე ძალაუფლების პროდუქტების თვისება. ეს ასე გამოიყურება: a m · a n = a m + n .

თუ n უდრის 0-ს, მაშინ a m · a 0 = a m(ეს თანასწორობა ამასაც გვიმტკიცებს a 0 = 1). მაგრამ თუ და ასევე ნულის ტოლია, ჩვენი თანასწორობა იღებს ფორმას 0 მ · 0 0 = 0 მ, მართალი იქნება n-ის ნებისმიერი ბუნებრივი მნიშვნელობისთვის და არ აქვს მნიშვნელობა ზუსტად რის ტოლია ხარისხის მნიშვნელობა 0 0 , ანუ ის შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვის ტოლი და ეს არ იმოქმედებს ტოლობის სიზუსტეზე. ამიტომ, ფორმის აღნიშვნა 0 0 არ აქვს თავისი განსაკუთრებული მნიშვნელობა და ჩვენ არ მივაწერთ მას.

თუ სასურველია, ამის შემოწმება ადვილია a 0 = 1ემთხვევა ხარისხის თვისებას (a m) n = a m nიმ პირობით, რომ ხარისხის საფუძველი არ არის ნული. ამრიგად, ნებისმიერი არანულოვანი რიცხვის სიმძლავრე ნულის მაჩვენებლით არის ერთი.

მაგალითი 2

მოდით შევხედოთ მაგალითს კონკრეტული რიცხვებით: ასე რომ, 5 0 - ერთეული, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 და მნიშვნელობა 0 0 განუსაზღვრელი.

ნულოვანი ხარისხის შემდეგ, ჩვენ უბრალოდ უნდა გავარკვიოთ, რა არის უარყოფითი ხარისხი. ამისათვის ჩვენ გვჭირდება თანაბარი საფუძვლების მქონე სიმძლავრის ნამრავლის იგივე თვისება, რომელიც უკვე გამოვიყენეთ: a m · a n = a m + n.

შემოვიღოთ პირობა: m = − n, მაშინ a არ უნდა იყოს ნულის ტოლი. Აქედან გამომდინარეობს, რომ a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1. გამოდის, რომ ნ და a−nჩვენ გვაქვს ორმხრივი ნომრები.

შედეგად, a უარყოფით მთელ ხარისხამდე სხვა არაფერია, თუ არა წილადი 1 a n.

ეს ფორმულირება ადასტურებს, რომ მთელი რიცხვის უარყოფითი მაჩვენებლის მქონე ხარისხზე მოქმედებს ყველა იგივე თვისება, რაც აქვს ბუნებრივ მაჩვენებელს (იმ პირობით, რომ ფუძე არ არის ნულის ტოლი).

მაგალითი 3

სიმძლავრე a უარყოფითი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით n შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც წილადი 1 a n. ამრიგად, a - n = 1 a n ექვემდებარება a ≠ 0და n არის ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი.

მოდით ილუსტრაციულად განვმარტოთ ჩვენი იდეა კონკრეტული მაგალითებით:

მაგალითი 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

აბზაცის ბოლო ნაწილში ჩვენ შევეცდებით გამოვსახოთ ყველაფერი, რაც ნათლად ითქვა ერთი ფორმულით:

განმარტება 4

რიცხვის სიმძლავრე z ბუნებრივი მაჩვენებლით არის: a z = a z, e l და z - დადებითი მთელი რიცხვი 1, z = 0 და a ≠ 0, (z = 0 და a = 0-სთვის შედეგი არის 0 0, 0 0 გამოხატვის მნიშვნელობები არ არის განსაზღვრული) 1 a z, თუ და z არის უარყოფითი მთელი რიცხვი და a ≠ 0 (თუ z არის უარყოფითი მთელი რიცხვი და a = 0 მიიღებთ 0 z, egoz მნიშვნელობა განუსაზღვრელია)

რა არის ძალაუფლება რაციონალური მაჩვენებლით?

ჩვენ განვიხილეთ შემთხვევები, როდესაც მაჩვენებელი შეიცავს მთელ რიცხვს. თუმცა, თქვენ შეგიძლიათ რიცხვის ხარისხზე აყვანა მაშინაც კი, როდესაც მისი მაჩვენებელი შეიცავს წილად რიცხვს. ამას ჰქვია ძალა რაციონალური მაჩვენებლით. ამ განყოფილებაში ჩვენ დავამტკიცებთ, რომ მას აქვს იგივე თვისებები, რაც სხვა ძალებს.

რა არის რაციონალური რიცხვები? მათი სიმრავლე მოიცავს როგორც მთლიან, ისე წილად რიცხვებს, ხოლო წილადი რიცხვები შეიძლება იყოს წარმოდგენილი როგორც ჩვეულებრივი წილადები (როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი). ჩამოვაყალიბოთ a რიცხვის სიმძლავრის განმარტება წილადის მაჩვენებლით m/n, სადაც n არის ნატურალური რიცხვი და m არის მთელი რიცხვი.

გვაქვს გარკვეული ხარისხი a m n წილადის მაჩვენებლით. იმისთვის, რომ საკუთრების ძალაუფლების ძალა შენარჩუნდეს, ტოლობა a m n n = a m n · n = a m უნდა იყოს ჭეშმარიტი.

n-ე ფესვის განმარტების გათვალისწინებით და რომ m n n = a m, შეგვიძლია მივიღოთ პირობა a m n = a m n, თუ m n აზრი აქვს m, n და a მოცემულ მნიშვნელობებს.

მთელი რიცხვის მაჩვენებლის მქონე ხარისხის ზემოაღნიშნული თვისებები ჭეშმარიტი იქნება a m n = a m n პირობით.

ჩვენი მსჯელობიდან მთავარი დასკვნა ასეთია: a გარკვეული რიცხვის სიმძლავრე წილადის მაჩვენებლით m/n არის რიცხვის n-ე ფესვი m ხარისხზე. ეს მართალია, თუ m, n და a მოცემული მნიშვნელობებისთვის, გამოხატულება a m n მნიშვნელოვანი რჩება.

1. შეგვიძლია შევზღუდოთ ხარისხის საფუძვლის მნიშვნელობა: ავიღოთ a, რომელიც m-ის დადებითი მნიშვნელობებისთვის იქნება 0-ზე მეტი ან ტოლი, ხოლო უარყოფითი მნიშვნელობებისთვის - მკაცრად ნაკლები (რადგან m ≤ 0-ისთვის ვიღებთ 0 მ, მაგრამ ასეთი ხარისხი არ არის განსაზღვრული). ამ შემთხვევაში, ხარისხის განმარტება წილადის მაჩვენებლით ასე გამოიყურება:

სიმძლავრე წილადის მაჩვენებლით m/n ზოგიერთი დადებითი რიცხვისთვის არის a-ის n-ე ფესვი, რომელიც გაიზარდა m ხარისხზე. ეს შეიძლება გამოიხატოს როგორც ფორმულა:

ნულოვანი ფუძის მქონე სიმძლავრისთვის, ეს დებულება ასევე შესაფერისია, მაგრამ მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი მაჩვენებელი დადებითი რიცხვია.

სიმძლავრე ფუძე ნულით და წილადი დადებითი მაჩვენებლით m/n შეიძლება გამოისახოს როგორც

0 m n = 0 m n = 0 იმ პირობით, რომ m არის დადებითი მთელი რიცხვი და n არის ნატურალური რიცხვი.

უარყოფითი თანაფარდობისთვის m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

ავღნიშნოთ ერთი მომენტი. მას შემდეგ, რაც ჩვენ შემოვიღეთ პირობა, რომ a მეტია ან ტოლია ნულზე, ჩვენ გადავწყვიტეთ ზოგიერთი შემთხვევა.

გამოთქმა a m n ზოგჯერ მაინც აზრი აქვს a და ზოგიერთი m-ის ზოგიერთ უარყოფით მნიშვნელობას. ამრიგად, სწორი ჩანაწერებია (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, რომლებშიც ფუძე უარყოფითია.

2. მეორე მიდგომა არის ცალ-ცალკე განიხილოს ფესვი a m n ლუწი და კენტი მაჩვენებლებით. შემდეგ კიდევ ერთი პირობის შემოღება დაგვჭირდება: a ხარისხი, რომლის მაჩვენებელში არის შემცირებადი ჩვეულებრივი წილადი, ითვლება a ხარისხად, რომლის მაჩვენებელში არის შესაბამისი შეუქცევადი წილადი. მოგვიანებით განვმარტავთ, რატომ გვჭირდება ეს მდგომარეობა და რატომ არის ეს ასე მნიშვნელოვანი. ამრიგად, თუ გვაქვს a m · k n · k აღნიშვნა, მაშინ შეგვიძლია შევამციროთ ის m n-მდე და გავამარტივოთ გამოთვლები.

თუ n არის კენტი რიცხვი და m-ის მნიშვნელობა დადებითი და a არის ნებისმიერი არაუარყოფითი რიცხვი, მაშინ a m n აზრი აქვს. პირობა, რომ a იყოს არაუარყოფითი, აუცილებელია, რადგან ლუწი ხარისხის ფესვის ამოღება შეუძლებელია უარყოფითი რიცხვიდან. თუ m-ის მნიშვნელობა დადებითია, მაშინ a შეიძლება იყოს უარყოფითიც და ნულიც, რადგან კენტი ფესვის აღება შეიძლება ნებისმიერი რეალური რიცხვიდან.

მოდით გავაერთიანოთ ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი განმარტება ერთ ჩანაწერში:

აქ m/n ნიშნავს შეუქცევად წილადს, m არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი და n არის ნებისმიერი ბუნებრივი რიცხვი.

განმარტება 5

ნებისმიერი ჩვეულებრივი შემცირებადი წილადისთვის m · k n · k ხარისხი შეიძლება შეიცვალოს m n-ით.

რიცხვის a ძალა შეუქცევადი წილადი მაჩვენებლით m / n - შეიძლება გამოიხატოს m n-ით შემდეგ შემთხვევებში: - ნებისმიერი რეალური a, დადებითი მთელი რიცხვი m და კენტი ბუნებრივი მნიშვნელობები n. მაგალითი: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

ნებისმიერი არანულოვანი რეალური a, მთელი რიცხვებისთვის უარყოფითი მნიშვნელობები m და n-ის უცნაური მნიშვნელობები, მაგალითად, 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

ნებისმიერი არაუარყოფითი a, დადებითი მთელი რიცხვისთვის m და ლუწი n, მაგალითად, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

ნებისმიერი დადებითი a, უარყოფითი მთელი რიცხვისთვის m და ლუწი n, მაგალითად, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .

სხვა მნიშვნელობების შემთხვევაში, ხარისხი წილადის მაჩვენებლით არ არის განსაზღვრული. ასეთი ხარისხების მაგალითები: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

ახლა ავხსნათ ზემოთ განხილული პირობის მნიშვნელობა: რატომ შეცვალოთ წილადი შემცირებითი მაჩვენებლით წილადით შეუქცევადი მაჩვენებლით. ეს რომ არ გაგვეკეთებინა, გვექნებოდა შემდეგი სიტუაციები, ვთქვათ, 6/10 = 3/5. მაშინ ეს უნდა იყოს მართალი (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , მაგრამ - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 და (- 1) 3 5 = (- 1 ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

წილადის მაჩვენებლით ხარისხის განსაზღვრა, რომელიც ჩვენ პირველად წარმოვადგინეთ, პრაქტიკაში უფრო მოსახერხებელია, ვიდრე მეორე, ამიტომ ჩვენ გავაგრძელებთ მის გამოყენებას.

განმარტება 6

ამრიგად, დადებითი რიცხვის სიმძლავრე a წილადი მაჩვენებლით m/n განისაზღვრება როგორც 0 m n = 0 m n = 0. უარყოფითის შემთხვევაში ა a m n აღნიშვნას აზრი არ აქვს. ნულის სიმძლავრე დადებითი წილადის მაჩვენებლებისთვის მ/ნგანისაზღვრება როგორც 0 m n = 0 m n = 0, უარყოფითი წილადის მაჩვენებლებისთვის ჩვენ არ განვსაზღვრავთ ნულის ხარისხს.

დასკვნებში აღვნიშნავთ, რომ ნებისმიერი წილადური მაჩვენებელი შეიძლება დაიწეროს ფორმით შერეული რიცხვი, და სახით ათობითი: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .

გაანგარიშებისას უმჯობესია შეცვალოთ მაჩვენებლები ჩვეულებრივი ფრაქციადა გააგრძელეთ ხარისხის განმარტების გამოყენება წილადის მაჩვენებლით. ზემოთ მოყვანილი მაგალითებისთვის ვიღებთ:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

რა არის ძალაუფლება ირაციონალური და რეალური მაჩვენებლებით?

რა არის რეალური რიცხვები? მათი ნაკრები მოიცავს როგორც რაციონალურ, ასევე ირაციონალურ რიცხვებს. ამიტომ, იმისათვის, რომ გავიგოთ, რა არის ხარისხი რეალურ მაჩვენებელთან, ჩვენ უნდა განვსაზღვროთ გრადუსები რაციონალური და ირაციონალური მაჩვენებლებით. რაციონალური პირობა ზემოთ უკვე აღვნიშნეთ. მოდით, ეტაპობრივად გავუმკლავდეთ ირაციონალურ მაჩვენებლებს.

მაგალითი 5

დავუშვათ, რომ გვაქვს ირაციონალური რიცხვი a და მისი ათობითი მიახლოებების თანმიმდევრობა a 0 , a 1 , a 2 , . . . . მაგალითად, ავიღოთ მნიშვნელობა a = 1.67175331. . . , მაშინ

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1,67, a 1 = 1,6717, a 2 = 1,671753, . . .

ჩვენ შეგვიძლია მიახლოებათა მიმდევრობები დავაკავშიროთ a a 0, a a 1, a a 2, ხარისხების თანმიმდევრობას. . . . თუ გავიხსენებთ, რაც ადრე ვთქვით რიცხვების რაციონალურ ძალებამდე აყვანის შესახებ, მაშინ ჩვენ თვითონ შეგვიძლია გამოვთვალოთ ამ ძალების მნიშვნელობები.

ავიღოთ მაგალითად a = 3, შემდეგ a 0 = 3 1, 67, a 1 = 3 1, 6717, a 2 = 3 1, 671753, . . . და ა.შ.

ძალაუფლების თანმიმდევრობა შეიძლება შემცირდეს რიცხვამდე, რომელიც იქნება სიმძლავრის მნიშვნელობა a ფუძით და ირაციონალური მაჩვენებლით a. შედეგად: ხარისხი 3 1, 67175331 ფორმის ირაციონალური მაჩვენებლით. . შეიძლება შემცირდეს 6, 27 რიცხვამდე.

განმარტება 7

დადებითი რიცხვის სიძლიერე a ირაციონალური მაჩვენებლით იწერება a. მისი მნიშვნელობა არის a a 0, a a 1, a 2, მიმდევრობის ზღვარი. . . , სადაც 0 , a 1 , a 2 , . . . არის a ირაციონალური რიცხვის თანმიმდევრული ათობითი მიახლოებები. ნულოვანი ფუძის მქონე ხარისხი ასევე შეიძლება განისაზღვროს დადებითი ირაციონალური მაჩვენებლებისთვის, 0 a = 0 ასე რომ, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. მაგრამ ეს არ შეიძლება გაკეთდეს უარყოფითისთვის, რადგან, მაგალითად, მნიშვნელობა 0 - 5, 0 - 2 π არ არის განსაზღვრული. ნებისმიერ ირაციონალურ ძალამდე ამაღლებული ერთეული რჩება ერთეულად, მაგალითად, და 1 2, 1 5 2-ში და 1 - 5 იქნება 1-ის ტოლი.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

ერთ-ერთი მთავარი მახასიათებელი ალგებრაში და ყველა მათემატიკაში არის ხარისხი. რა თქმა უნდა, 21-ე საუკუნეში, ყველა გამოთვლა შეიძლება გაკეთდეს ონლაინ კალკულატორზე, მაგრამ ტვინის განვითარებისთვის უკეთესია, თავად ისწავლოს ამის გაკეთება.

ამ სტატიაში განვიხილავთ ყველაზე მეტს მნიშვნელოვანი კითხვებიამ განმარტებასთან დაკავშირებული. კერძოდ, გავიგოთ, რა არის ის ზოგადად და რა არის მისი ძირითადი ფუნქციები, რა თვისებებია მათემატიკაში.

მოდით შევხედოთ მაგალითებს, თუ როგორ გამოიყურება გაანგარიშება და რა არის ძირითადი ფორმულები. მოდით შევხედოთ რაოდენობების ძირითად ტიპებს და როგორ განსხვავდებიან ისინი სხვა ფუნქციებისგან.

მოდით გავიგოთ, როგორ მოვაგვაროთ ამ რაოდენობის გამოყენებით სხვადასხვა ამოცანები. ჩვენ მაგალითებით გაჩვენებთ, თუ როგორ უნდა ავიყვანოთ ნულოვანი სიმძლავრე, ირაციონალური, უარყოფითი და ა.შ.

ონლაინ ექსპონენტაციის კალკულატორი

რა არის რიცხვის ძალა

რა იგულისხმება გამოთქმაში „აწიე რიცხვი ძალამდე“?

რიცხვის სიმძლავრე n არის ზედიზედ n-ჯერ სიდიდის ფაქტორების ნამრავლი.

მათემატიკურად ასე გამოიყურება:

a n = a * a * a * …a n .

Მაგალითად:

• 2 3 = 2 მესამე ხარისხში. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 საფეხურამდე. ორი = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 საფეხურამდე. ოთხი = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 = 10 5 ნაბიჯში. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 10 4 = 10 4 ნაბიჯში. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

ქვემოთ მოცემულია კვადრატებისა და კუბების ცხრილი 1-დან 10-მდე.

გრადუსების ცხრილი 1-დან 10-მდე

ქვემოთ მოცემულია ნატურალური რიცხვების დადებით ხარისხებამდე აყვანის შედეგები - "1-დან 100-მდე".

ჩ-ლო	მე-2 ქ.	მე-3 ეტაპი
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

ხარისხების თვისებები

რა არის დამახასიათებელი ასეთი მათემატიკური ფუნქციისთვის? მოდით შევხედოთ ძირითად თვისებებს.

მეცნიერებმა დაადგინეს შემდეგი ყველა ხარისხისთვის დამახასიათებელი ნიშნები:

• a n * a m = (a) (n+m) ;
• a n: a m = (a) (n-m) ;
• (ა ბ) მ =(ა) (ბ*მ) .

მოდით შევამოწმოთ მაგალითებით:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. მეორეს მხრივ, 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

ანალოგიურად: 2 3: 2 2 = 8 / 4 =2. წინააღმდეგ შემთხვევაში 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. რა მოხდება, თუ განსხვავებულია? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

როგორც ხედავთ, წესები მუშაობს.

მაგრამ რაც შეეხება შეკრებით და გამოკლებით? Ეს მარტივია. ჯერ კეთდება გაძლიერება, შემდეგ კი შეკრება და გამოკლება.

მოდით შევხედოთ მაგალითებს:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. გთხოვთ, გაითვალისწინოთ: წესი არ იმოქმედებს, თუ პირველს გამოაკლებთ: (5 – 3) 2 = 2 2 = 4.

მაგრამ ამ შემთხვევაში, ჯერ უნდა გამოთვალოთ დამატება, რადგან ფრჩხილებში არის მოქმედებები: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

როგორ ვაწარმოოთ გამოთვლები უფრო რთულ შემთხვევებში? თანმიმდევრობა იგივეა:

• თუ არსებობს ფრჩხილები, თქვენ უნდა დაიწყოთ მათგან;
• შემდეგ ექსპონენტაცია;
• შემდეგ შეასრულეთ გამრავლების და გაყოფის მოქმედებები;
• შეკრების შემდეგ, გამოკლება.

არსებობს სპეციფიკური თვისებები, რომლებიც არ არის დამახასიათებელი ყველა ხარისხისთვის:

1. რიცხვის n-ე ფესვი m გრადუსამდე დაიწერება: a m/n.
2. წილადის ხარისხამდე აყვანისას: ამ პროცედურას ექვემდებარება მრიცხველიც და მისი მნიშვნელიც.
3. ნაწარმოების აგებისას სხვადასხვა ნომრებიხარისხს, გამოხატულება შეესაბამება ამ რიცხვების ნამრავლს მოცემულ ხარისხზე. ანუ: (a *b) n = a n * b n .
4. რიცხვის უარყოფით ხარისხზე აყვანისას, თქვენ უნდა გაყოთ 1 რიცხვზე იმავე საუკუნეში, მაგრამ "+" ნიშნით.
5. თუ წილადის მნიშვნელი უარყოფით ხარისხზეა, მაშინ ეს გამოხატულება ტოლია მრიცხველის ნამრავლისა და მნიშვნელი დადებითი ხარისხზე.
6. ნებისმიერი რიცხვი ხარისხში 0 = 1 და ხარისხში. 1 = საკუთარ თავს.

ეს წესები ზოგიერთ შემთხვევაში მნიშვნელოვანია; ჩვენ მათ უფრო დეტალურად განვიხილავთ ქვემოთ.

ხარისხი უარყოფითი მაჩვენებლით

რა ვუყოთ მინუს ხარისხს, ანუ როცა მაჩვენებელი უარყოფითია?

მე-4 და მე-5 თვისებებზე დაყრდნობით(იხ. პუნქტი ზემოთ), თურმე:

A (- n) = 1 / A n, 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.

და პირიქით:

1 / A (- n) = A n, 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.

რა მოხდება, თუ წილადია?

(A / B) (- n) = (B / A) n, (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

ხარისხი ბუნებრივი მაჩვენებლით

ის გაგებულია, როგორც ხარისხი მთელი რიცხვების ტოლი ექსპონენტებით.

დასამახსოვრებელი რამ:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3.15 0 = 1; (-4) 0 = 1... და ა.შ.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3... და ა.შ.

გარდა ამისა, თუ (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2...მაშინ შედეგი იქნება „+“ ნიშნით. თუ უარყოფითი რიცხვი გაიზარდა კენტ ხარისხზე, მაშინ პირიქით.

ზოგადი თვისებები და ეს არის ის კონკრეტული ნიშნებიზემოთ აღწერილი , ასევე მათთვის დამახასიათებელია.

ფრაქციული ხარისხი

ეს ტიპი შეიძლება დაიწეროს სქემის სახით: A m / n. წაიკითხეთ: A რიცხვის n-ე ფესვი m ხარისხზე.

თქვენ შეგიძლიათ გააკეთოთ ის, რაც გსურთ წილადის ინდიკატორით: შეამცირეთ იგი, გაყავით ნაწილებად, აწიეთ იგი სხვა სიმძლავრეზე და ა.შ.

ხარისხი ირაციონალური მაჩვენებლით

ვთქვათ α არის ირაციონალური რიცხვი და A ˃ 0.

ხარისხის არსის გასაგებად ასეთი მაჩვენებლით, განვიხილოთ სხვადასხვა შესაძლო შემთხვევები:

• A = 1. შედეგი იქნება 1-ის ტოლი. ვინაიდან აქსიომაა - 1 ყველა ძალაში უდრის ერთს;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 – რაციონალური რიცხვები;

• 0˂А˂1.

ამ შემთხვევაში პირიქითაა: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 იმავე პირობებში, როგორც მეორე აბზაცში.

მაგალითად, მაჩვენებელი არის რიცხვი π.რაციონალურია.

r 1 - ამ შემთხვევაში უდრის 3;

r 2 - იქნება 4-ის ტოლი.

შემდეგ, A = 1-ისთვის, 1 π = 1.

A = 2, შემდეგ 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, შემდეგ (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

ასეთ ხარისხებს ახასიათებს ზემოთ აღწერილი ყველა მათემატიკური ოპერაციები და სპეციფიკური თვისებები.

დასკვნა

შევაჯამოთ - რისთვის არის საჭირო ეს რაოდენობები, რა უპირატესობა აქვს ასეთ ფუნქციებს? რა თქმა უნდა, უპირველეს ყოვლისა, ისინი ამარტივებს მათემატიკოსთა და პროგრამისტთა ცხოვრებას მაგალითების ამოხსნისას, რადგან მათ საშუალებას აძლევს მინიმუმამდე დაიყვანონ გამოთვლები, შეამცირონ ალგორითმები, მოახდინონ მონაცემების სისტემატიზაცია და მრავალი სხვა.

კიდევ სად შეიძლება იყოს ეს ცოდნა სასარგებლო? ნებისმიერ სამუშაო სპეციალობაში: მედიცინა, ფარმაკოლოგია, სტომატოლოგია, მშენებლობა, ტექნოლოგია, ინჟინერია, დიზაინი და ა.შ.

შეგიძლიათ იპოვოთ გამრავლების გამოყენებით. მაგალითად: 5+5+5+5+5+5=5x6. ასეთ გამონათქვამად ამბობენ, რომ თანაბარი წევრთა ჯამი იკეცება ნამრავლში. და პირიქით, თუ ამ ტოლობას მარჯვნიდან მარცხნივ წავიკითხავთ, აღმოვაჩენთ, რომ გავაფართოვეთ თანაბარი ნაწილთა ჯამი. ანალოგიურად, შეგიძლიათ დაშალოთ რამდენიმე თანაბარი ფაქტორის ნამრავლი 5x5x5x5x5x5=5 6.

ანუ, იმის ნაცვლად, რომ გაამრავლონ ექვსი იდენტური ფაქტორი 5x5x5x5x5x5, ისინი წერენ 5 6 და ამბობენ "ხუთი მეექვსე ხარისხზე".

გამოთქმა 5 6 არის რიცხვის ძალა, სადაც:

5 - ხარისხის ბაზა;

6 - ექსპონენტი.

მოქმედებები, რომლებითაც თანაბარი ფაქტორების ნამრავლი მცირდება სიმძლავრემდე, ეწოდება ძალაუფლებაზე ამაღლება.

IN ზოგადი ხედიხარისხი ფუძით "a" და მაჩვენებლით "n" იწერება ასე

a რიცხვის n ხარისხამდე აწევა ნიშნავს n ფაქტორების ნამრავლის პოვნას, რომელთაგან თითოეული უდრის a-ს.

თუ "a" ხარისხის ფუძე უდრის 1-ს, მაშინ ხარისხის მნიშვნელობა ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის n იქნება 1-ის ტოლი. მაგალითად, 1 5 =1, 1 256 =1.

თუ რიცხვს „ა“ აწევთ პირველი ხარისხი, მაშინ ჩვენ თვითონ ვიღებთ რიცხვს a: a 1 = a

თუ რომელიმე რიცხვს ამაღლებთ ნულოვანი ხარისხი, შემდეგ გამოთვლების შედეგად ვიღებთ ერთს. a 0 = 1

რიცხვის მეორე და მესამე ხარისხები განსაკუთრებულად ითვლება. მათ სახელები მოიგონეს: მეორე ხარისხს ეძახიან კვადრატში რიცხვი, მესამე - კუბიეს ნომერი.

ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება გაიზარდოს ხარისხზე - დადებითი, უარყოფითი ან ნულოვანი. ამ შემთხვევაში, შემდეგი წესები არ გამოიყენება:

დადებითი რიცხვის სიმძლავრის პოვნისას, შედეგი არის დადებითი რიცხვი.

ნულის გაანგარიშებისას ბუნებრივი ხარისხიჩვენ ვიღებთ ნულს.

x მ · x n = x m + n

მაგალითად: 7 1.7 7 - 0.9 = 7 1.7+(- 0.9) = 7 1.7 - 0.9 = 7 0.8

რომ ძალაუფლების დაყოფა იმავე საფუძვლებითჩვენ არ ვცვლით ფუძეს, მაგრამ ვაკლებთ მაჩვენებლებს:

x მ / x n = x m - n , სად, m > n,

მაგალითად: 13 3.8 / 13 -0.2 = 13 (3.8 -0.2) = 13 3.6

გაანგარიშებისას ძალაუფლების ძალაუფლებაზე ამაღლებაჩვენ არ ვცვლით ფუძეს, მაგრამ ვამრავლებთ მაჩვენებლებს ერთმანეთზე.

(მ ) ნ = y მ ნ

მაგალითად: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · y) n = x n · წ მ ,

მაგალითად:(2 3) 3 = 2 n 3 მ,

მიხედვით გამოთვლების შესრულებისას წილადის ძლიერებამდე აწევაწილადის მრიცხველს და მნიშვნელს ვზრდით მოცემულ ხარისხზე

(x/y)n = x n / y n

მაგალითად: (2 / 5) 3 = (2 / 5) · (2 ​​/ 5) · (2 ​​/ 5) = 2 3 / 5 3.

გამოთვლების თანმიმდევრობა ხარისხის შემცველ გამონათქვამებთან მუშაობისას.

გამოთვლების გამოთვლების შესრულებისას ფრჩხილების გარეშე, მაგრამ ხარისხების შემცველი, ისინი ასრულებენ პირველ რიგში გაძლიერებას, შემდეგ გამრავლებას და გაყოფას და მხოლოდ ამის შემდეგ შეკრებისა და გამოკლების ოპერაციებს.

თუ საჭიროა გამოთვალოთ ფრჩხილების შემცველი გამოხატულება, მაშინ ჯერ გააკეთეთ გამოთვლები ფრჩხილებში ზემოთ მითითებული თანმიმდევრობით, შემდეგ კი დარჩენილი მოქმედებები იმავე თანმიმდევრობით მარცხნიდან მარჯვნივ.

ძალიან ფართოდ პრაქტიკულ გამოთვლებში, ძალაუფლების მზა ცხრილები გამოიყენება გამოთვლების გასამარტივებლად.