მრუდი ტრაპეციის ნახაზის ფართობის გამოთვლა. ონლაინ კალკულატორი. გამოთვალეთ განსაზღვრული ინტეგრალი (მრუდი ტრაპეციის ფართობი)
მოდით გადავიდეთ ინტეგრალური გამოთვლების აპლიკაციების განხილვაზე. ამ გაკვეთილზე გავაანალიზებთ ტიპურ და ყველაზე გავრცელებულ დავალებას სიბრტყის ფიგურის ფართობის გამოთვლა განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით. დაბოლოს, ყველამ, ვინც აზრს ეძებს უმაღლეს მათემატიკაში, იპოვნოს იგი. Არასოდეს იცი. ჩვენ უნდა მივახლოვოთ იგი ცხოვრებაში აგარაკის ფართიელემენტარული ფუნქციები და იპოვეთ მისი ფართობი განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით.
მასალის წარმატებით დასაუფლებლად, თქვენ უნდა:
1) განუსაზღვრელი ინტეგრალის გაგება საშუალო დონეზე მაინც. ამდენად, დუიმებმა ჯერ უნდა წაიკითხონ გაკვეთილი არა.
2) შეძლოს ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენება და განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლა. დააყენეთ თბილი მეგობრული ურთიერთობებიგანსაზღვრული ინტეგრალებით შეგიძლიათ იხილოთ გვერდზე განსაზღვრული ინტეგრალი. გადაწყვეტილებების მაგალითები. ამოცანა „გამოთვალეთ ფართობი განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით“ ყოველთვის მოიცავს ნახაზის აგებას, ასე რომ, თქვენი ცოდნა და ხატვის უნარებიც აქტუალური იქნება. მინიმუმ, თქვენ უნდა შეძლოთ სწორი ხაზის, პარაბოლისა და ჰიპერბოლის აგება.
დავიწყოთ მოხრილი ტრაპეციით. მრუდი ტრაპეცია არის ბრტყელი ფიგურა, რომელიც შემოსაზღვრულია გარკვეული ფუნქციის გრაფიკით წ = ვ(x), ღერძი ოქსიდა ხაზები x = ა; x = ბ.
მრუდი ტრაპეციის ფართობი რიცხობრივად უდრის განსაზღვრულ ინტეგრალს
ნებისმიერ განსაზღვრულ ინტეგრალს (რომელიც არსებობს) აქვს ძალიან კარგი გეომეტრიული მნიშვნელობა. გაკვეთილზე განსაზღვრული ინტეგრალი. გადაწყვეტილებების მაგალითებიჩვენ ვთქვით, რომ განსაზღვრული ინტეგრალი არის რიცხვი. და ახლა დროა განვაცხადო კიდევ ერთი სასარგებლო ფაქტი. გეომეტრიის თვალსაზრისით, განსაზღვრული ინტეგრალი არის AREA. ანუ განსაზღვრული ინტეგრალი (თუ ის არსებობს) გეომეტრიულად შეესაბამება გარკვეული ფიგურის ფართობს. განვიხილოთ განსაზღვრული ინტეგრალი
ინტეგრანდ
განსაზღვრავს მრუდს სიბრტყეზე (სურვილის შემთხვევაში მისი დახატვა შესაძლებელია), ხოლო თავად განსაზღვრული ინტეგრალი რიცხობრივად უდრის შესაბამისი მრუდი ტრაპეციის ფართობს.
მაგალითი 1
, , , .
ეს არის ტიპიური დავალების განცხადება. ყველაზე მნიშვნელოვანი წერტილიგადაწყვეტილებები - ნახატი. უფრო მეტიც, ნახაზი უნდა იყოს აგებული უფლება.
ნახატის აგებისას გირჩევთ შემდეგი თანმიმდევრობით: პირველადუმჯობესია ავაშენოთ ყველა სწორი ხაზი (თუ ისინი არსებობს) და მხოლოდ მერე– პარაბოლები, ჰიპერბოლები, სხვა ფუნქციების გრაფიკები. წერტილი-პუნქტის მშენებლობის ტექნიკა შეგიძლიათ იხილოთ საცნობარო მასალაში ელემენტარული ფუნქციების გრაფიკები და თვისებები. აქ ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ ძალიან სასარგებლო მასალა ჩვენი გაკვეთილისთვის - როგორ სწრაფად ავაშენოთ პარაბოლა.
ამ პრობლემაში გამოსავალი შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს.
მოდით გავაკეთოთ ნახაზი (გაითვალისწინეთ, რომ განტოლება წ= 0 განსაზღვრავს ღერძს ოქსი):
ჩვენ არ დავჩრდილავთ მოხრილ ტრაპეციას, აქ აშკარაა, რომელ არეალზეა საუბარი. გამოსავალი ასე გრძელდება:
სეგმენტზე [-2; 1] ფუნქციის გრაფიკი წ = x 2 + 2 მდებარეობს ღერძის ზემოთოქსი, Ამიტომაც:
პასუხი: .
ვისაც უჭირს განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლა და ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენება
,
მიმართეთ ლექციას განსაზღვრული ინტეგრალი. გადაწყვეტილებების მაგალითები. დავალების დასრულების შემდეგ, ყოველთვის სასარგებლოა ნახატის დათვალიერება და იმის გარკვევა, არის თუ არა პასუხი რეალური. ამ შემთხვევაში, ჩვენ ვითვლით ნახატში უჯრედების რაოდენობას "თვალით" - კარგად, იქნება დაახლოებით 9, როგორც ჩანს, მართალია. აბსოლუტურად გასაგებია, რომ თუ მივიღეთ, ვთქვათ, პასუხი: 20 კვადრატული ერთეული, მაშინ აშკარაა, რომ სადღაც შეცდომა დაუშვა - 20 უჯრედი აშკარად არ ჯდება მოცემულ ფიგურაში, მაქსიმუმ ათეული. თუ პასუხი უარყოფითია, მაშინ დავალებაც არასწორად გადაწყდა.
მაგალითი 2
გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი xy = 4, x = 2, x= 4 და ღერძი ოქსი.
ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი. სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.
რა უნდა გააკეთოს, თუ მოხრილი ტრაპეცია მდებარეობს ღერძის ქვეშოქსი?
მაგალითი 3
გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი წ = e-x, x= 1 და საკოორდინაციო ღერძები.
გამოსავალი: მოდით დავხატოთ ნახატი:
თუ მოხრილი ტრაპეცია მთლიანად მდებარეობს ღერძის ქვეშ ოქსი , მაშინ მისი ფართობი შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულის გამოყენებით:
Ამ შემთხვევაში:
.
ყურადღება! ორი ტიპის დავალება არ უნდა იყოს აღრეული:
1) თუ თქვენ გთხოვენ ამოხსნათ უბრალოდ განსაზღვრული ინტეგრალი ყოველგვარი გეომეტრიული მნიშვნელობის გარეშე, მაშინ ეს შეიძლება იყოს უარყოფითი.
2) თუ გთხოვენ ფიგურის ფართობის პოვნა განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით, მაშინ ფართობი ყოველთვის დადებითია! ამიტომ მინუსი ჩნდება ახლახან განხილულ ფორმულაში.
პრაქტიკაში, ყველაზე ხშირად ფიგურა განლაგებულია როგორც ზედა, ასევე ქვედა ნახევრად სიბრტყეში და, შესაბამისად, უმარტივესი სკოლის პრობლემებიდან გადავდივართ უფრო მნიშვნელოვან მაგალითებზე.
მაგალითი 4
იპოვეთ სიბრტყე ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია ხაზებით წ = 2x – x 2 , წ = -x.
გამოსავალი: ჯერ უნდა გააკეთოთ ნახატი. ფართობის ამოცანებში ნახატის აგებისას ჩვენ ყველაზე მეტად გვაინტერესებს ხაზების გადაკვეთის წერტილები. ვიპოვოთ პარაბოლის გადაკვეთის წერტილები წ = 2x – x 2 და სწორი წ = -x. ეს შეიძლება გაკეთდეს ორი გზით. პირველი მეთოდი არის ანალიტიკური. ჩვენ ვხსნით განტოლებას:
ეს ნიშნავს, რომ ინტეგრაციის ქვედა ზღვარი ა= 0, ინტეგრაციის ზედა ზღვარი ბ= 3. ხშირად უფრო მომგებიანი და სწრაფია ხაზების აგება წერტილი-პუნქტით და ინტეგრაციის საზღვრები ცხადი ხდება „თვითონ“. მიუხედავად ამისა, ლიმიტების პოვნის ანალიტიკური მეთოდი მაინც ზოგჯერ უნდა იქნას გამოყენებული, თუ, მაგალითად, გრაფიკი საკმარისად დიდია, ან დეტალური კონსტრუქცია არ ავლენს ინტეგრაციის საზღვრებს (ისინი შეიძლება იყოს წილადი ან ირაციონალური). დავუბრუნდეთ ჩვენს ამოცანას: უფრო რაციონალურია ჯერ სწორი ხაზის აგება და მხოლოდ ამის შემდეგ პარაბოლა. მოდით გავაკეთოთ ნახატი:
გავიმეოროთ, რომ წერტილის აგებისას, ინტეგრაციის საზღვრები ყველაზე ხშირად განისაზღვრება „ავტომატურად“.
ახლა კი სამუშაო ფორმულა:
თუ სეგმენტზე [ ა; ბ] ზოგიერთი უწყვეტი ფუნქცია ვ(x) მეტი ან ტოლიგარკვეული უწყვეტი ფუნქცია გ(x), შემდეგ შესაბამისი ფიგურის ფართობი შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულის გამოყენებით:
აქ აღარ გჭირდებათ ფიქრი, სად მდებარეობს ფიგურა - ღერძის ზემოთ თუ ღერძის ქვემოთ, მაგრამ მნიშვნელობა აქვს რომელი გრაფიკია უფრო მაღალი(სხვა გრაფიკთან შედარებით), და რომელია ქვემოთ.
განხილულ მაგალითში აშკარაა, რომ სეგმენტზე პარაბოლა მდებარეობს სწორი ხაზის ზემოთ და, შესაბამისად, 2-დან x – x 2 უნდა გამოკლდეს - x.
დასრულებული გამოსავალი შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს:
სასურველი ფიგურა შემოიფარგლება პარაბოლით წ = 2x – x 2 ზემოდან და პირდაპირ წ = -xქვევით.
მე-2 სეგმენტზე x – x 2 ≥ -x. შესაბამისი ფორმულის მიხედვით:
პასუხი: .
ფაქტობრივად, ქვედა ნახევარსიბრტყეში მრუდი ტრაპეციის ფართობის სკოლის ფორმულა (იხ. მაგალითი No3) არის განსაკუთრებული შემთხვევაფორმულები
.
რადგან ღერძი ოქსიმოცემული განტოლებით წ= 0 და ფუნქციის გრაფიკი გ(x) მდებარეობს ღერძის ქვემოთ ოქსი, ეს
.
ახლა კი რამდენიმე მაგალითი საკუთარი გადაწყვეტისთვის
მაგალითი 5
მაგალითი 6
იპოვეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი
განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით ფართობის გამოთვლასთან დაკავშირებული პრობლემების გადაჭრისას, ზოგჯერ ხდება სასაცილო ინციდენტი. ნახატი სწორად იყო შესრულებული, გათვლები გამართული, მაგრამ დაუდევრობის გამო... ნაპოვნია არასწორი ფიგურის ფართობი.
მაგალითი 7
ჯერ დავხატოთ ნახატი:
ფიგურა, რომლის ფართობიც უნდა ვიპოვოთ, ლურჯად არის დაჩრდილული(ყურადღებით დააკვირდით მდგომარეობას - რამდენად შეზღუდულია ფიგურა!). მაგრამ პრაქტიკაში, უყურადღებობის გამო, ისინი ხშირად წყვეტენ, რომ უნდა იპოვონ ფიგურის ფართობი, რომელიც დაჩრდილულია. მწვანე!
ეს მაგალითი ასევე სასარგებლოა, რადგან ის ითვლის ფიგურის ფართობს ორი განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით. ნამდვილად:
1) სეგმენტზე [-1; 1] ღერძის ზემოთ ოქსიგრაფიკი პირდაპირ მდებარეობს წ = x+1;
2) ღერძის ზემოთ სეგმენტზე ოქსიმდებარეობს ჰიპერბოლის გრაფიკი წ = (2/x).
აშკარაა, რომ ტერიტორიები შეიძლება (და უნდა) დაემატოს, ამიტომ:
პასუხი:
მაგალითი 8
გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი
წარმოვადგინოთ განტოლებები "სკოლის" სახით
და გააკეთეთ ნახაზი წერტილი-პუნქტით:
ნახატიდან ირკვევა, რომ ჩვენი ზედა ზღვარი "კარგია": ბ = 1.
მაგრამ რა არის ქვედა ზღვარი?! გასაგებია, რომ ეს არ არის მთელი რიცხვი, მაგრამ რა არის?
Შესაძლოა, ა=(-1/3)? მაგრამ სად არის გარანტია, რომ ნახატი შესრულებულია სრულყოფილი სიზუსტით, შეიძლება აღმოჩნდეს ეს ა=(-1/4). რა მოხდება, თუ გრაფიკი არასწორად ავაშენეთ?
ასეთ შემთხვევებში თქვენ მოგიწევთ დამატებითი დრო დახარჯოთ და ინტეგრაციის საზღვრები ანალიტიკურად დაზუსტოთ.
მოდი ვიპოვოთ გრაფიკების გადაკვეთის წერტილები
ამისათვის ჩვენ ვხსნით განტოლებას:
.
აქედან გამომდინარე, ა=(-1/3).
შემდგომი გამოსავალი ტრივიალურია. მთავარია, ჩანაცვლებებსა და ნიშნებში არ დაიბნეთ. აქ გამოთვლები არ არის უმარტივესი. სეგმენტზე
, 
,
შესაბამისი ფორმულის მიხედვით:
პასუხი: 
გაკვეთილის დასასრულებლად გადავხედოთ კიდევ ორ რთულ ამოცანას.
მაგალითი 9
გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი
გამოსავალი: მოდით გამოვსახოთ ეს ფიგურა ნახატზე.
წერტილი-წერტილი ნახაზის დასახატად საჭიროა იცოდეთ გარეგნობასინუსოიდები. ზოგადად, სასარგებლოა ყველა ელემენტარული ფუნქციის გრაფიკის, ასევე სინუსების ზოგიერთი მნიშვნელობის ცოდნა. ისინი შეგიძლიათ იხილოთ მნიშვნელობების ცხრილში ტრიგონომეტრიული ფუნქციები. ზოგიერთ შემთხვევაში (მაგალითად, ამ შემთხვევაში) შესაძლებელია სქემატური ნახაზის აგება, რომელზედაც ძირეულად სწორად უნდა იყოს ნაჩვენები გრაფიკები და ინტეგრაციის საზღვრები.
აქ ინტეგრაციის საზღვრებთან დაკავშირებული პრობლემები არ არის; ისინი პირდაპირ გამომდინარეობენ მდგომარეობიდან:
– „x“ იცვლება ნულიდან „pi“-მდე. მოდით მივიღოთ შემდგომი გადაწყვეტილება:
სეგმენტზე, ფუნქციის გრაფიკი წ= ცოდვა 3 xმდებარეობს ღერძის ზემოთ ოქსი, Ამიტომაც:
(1) გაკვეთილზე შეგიძლიათ ნახოთ, როგორ არის ინტეგრირებული სინუსები და კოსინუსები კენტ ძალებში ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ინტეგრალები. ჩვენ ვჭრით ერთ სინუსს.
(2) ჩვენ ვიყენებთ ძირითად ტრიგონომეტრიულ იდენტობას ფორმაში
(3) შევცვალოთ ცვლადი ტ= cos x, შემდეგ: მდებარეობს ღერძის ზემოთ, ამიტომ:
.
.
Შენიშვნა:გაითვალისწინეთ, როგორ არის აღებული ტანგენტის კუბის ინტეგრალი; აქ გამოყენებულია ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობის დასკვნა
.
მაგალითი 1 . გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი: x + 2y – 4 = 0, y = 0, x = -3 და x = 2
ავაშენოთ ფიგურა (იხ. სურათი) ვაშენებთ სწორ ხაზს x + 2y – 4 = 0 ორი A(4;0) და B(0;2) წერტილის გამოყენებით. გამოვხატავთ y-ს x-ით, მივიღებთ y = -0.5x + 2. (1) ფორმულის გამოყენებით, სადაც f(x) = -0.5x + 2, a = -3, b = 2, ვპოულობთ
S = = [-0,25=11,25 კვ. ერთეულები
მაგალითი 2. გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი: x – 2y + 4 = 0, x + y – 5 = 0 და y = 0.
გამოსავალი. მოდით ავაშენოთ ფიგურა.
ავაშენოთ სწორი ხაზი x – 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A(-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).
ავაშენოთ სწორი ხაზი x + y – 5 = 0: y = 0, x = 5, C(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).
ვიპოვოთ წრფეების გადაკვეთის წერტილი განტოლებათა სისტემის ამოხსნით:
x = 2, y = 3; M(2; 3).
საჭირო ფართობის გამოსათვლელად AMC სამკუთხედს ვყოფთ ორ სამკუთხედად AMN და NMC, რადგან როდესაც x იცვლება A-დან N-მდე, ფართობი შემოიფარგლება სწორი ხაზით, ხოლო როდესაც x იცვლება N-დან C-მდე - სწორი ხაზით.
სამკუთხედისთვის AMN გვაქვს: ; y = 0.5x + 2, ანუ f(x) = 0.5x + 2, a = - 4, b = 2.
სამკუთხედისთვის NMC გვაქვს: y = - x + 5, ანუ f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.
თითოეული სამკუთხედის ფართობის გამოთვლით და შედეგების მიმატებით, ვპოულობთ:
კვ. ერთეულები
კვ. ერთეულები
9 + 4, 5 = 13,5 კვ. ერთეულები შემოწმება: = 0,5AC = 0,5 კვ. ერთეულები
მაგალითი 3. გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.
ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა გამოთვალოთ მოსახვევი ტრაპეციის ფართობი, რომელიც ესაზღვრება პარაბოლას y = x. 2 სწორი ხაზები x = 2 და x = 3 და Ox ღერძი (იხ. სურათი) ფორმულის გამოყენებით (1) ვპოულობთ მრუდი ტრაპეციის ფართობს
= = 6 კვ. ერთეულები
მაგალითი 4. გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი: y = - x 2 + 4 და y = 0
მოდით ავაშენოთ ფიგურა. საჭირო ფართობი მოთავსებულია პარაბოლას შორის y = - x 2 + 4 და ხარის ღერძი.
ვიპოვოთ პარაბოლის გადაკვეთის წერტილები Ox-ის ღერძთან. თუ ვივარაუდებთ y = 0, ჩვენ ვპოულობთ x = ვინაიდან ეს ფიგურა სიმეტრიულია Oy ღერძის მიმართ, ჩვენ ვიანგარიშებთ Oy ღერძის მარჯვნივ მდებარე ფიგურის ფართობს და მიღებულ შედეგს გავაორმაგებთ: = +4x]კვ. ერთეულები 2 = 2 კვ. ერთეულები
მაგალითი 5. გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი: y 2 = x, yx = 1, x = 4
აქ თქვენ უნდა გამოთვალოთ პარაბოლის ზედა ტოტით შემოსაზღვრული მრუდი ტრაპეციის ფართობი. 2 = x, Ox ღერძი და სწორი ხაზები x = 1 და x = 4 (იხ. სურათი)
ფორმულის მიხედვით (1), სადაც f(x) = a = 1 და b = 4, გვაქვს = (= კვ. ერთეული.
მაგალითი 6 . გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .
საჭირო ფართობი შემოიფარგლება სინუსოიდის ნახევრად ტალღით და Ox ღერძით (იხ. სურათი).
გვაქვს - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 კვ. ერთეულები
მაგალითი 7. გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი: y = - 6x, y = 0 და x = 4.
ფიგურა მდებარეობს Ox ღერძის ქვეშ (იხ. სურათი).
ამიტომ, ჩვენ ვიპოვით მის ფართობს ფორმულის გამოყენებით (3)
= =
მაგალითი 8. გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი: y = და x = 2. ააგეთ y = მრუდი წერტილებიდან (იხ. სურათი). ამრიგად, ჩვენ ვპოულობთ ფიგურის ფართობს ფორმულის გამოყენებით (4)
მაგალითი 9 .
X 2 + y 2 = r 2 .
აქ თქვენ უნდა გამოთვალოთ x წრით შემოსაზღვრული ფართობი 2 + y 2 = r 2 , ანუ r რადიუსის წრის ფართობი, რომლის ცენტრი სათავეშია. მოდი ვიპოვოთ ამ არეალის მეოთხე ნაწილი ინტეგრაციის ზღვრების 0-დან ავღებით
ადრე; ჩვენ გვაქვს: 1 = = [
აქედან გამომდინარე, 1 =
მაგალითი 10. გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი: y= x 2 და y = 2x
ეს მაჩვენებელი შემოიფარგლება პარაბოლით y = x 2 და სწორი ხაზი y = 2x (იხ. სურათი) მოცემული წრფეების გადაკვეთის წერტილების დასადგენად ვხსნით განტოლებათა სისტემას: x 2 - 2x = 0 x = 0 და x = 2
ფორმულის გამოყენებით (5) ფართობის საპოვნელად, მივიღებთ
= (მოღუნული ტრაპეციის ფუძე) n თანაბარ ნაწილად; ეს დანაყოფი ხორციელდება x 1, x 2, ... x k, ... x n-1 წერტილების გამოყენებით. მოდით გავავლოთ სწორი ხაზები ამ წერტილებში, პარალელური ღერძები u. შემდეგ მოცემული მრუდი ტრაპეცია დაიყოფა n ნაწილად, n ვიწრო სვეტად. მთელი ტრაპეციის ფართობი უდრის სვეტების ფართობების ჯამს.
ცალკე განვიხილოთ k-ე სვეტი, ე.ი. მრუდი ტრაპეცია, რომლის ფუძე არის სეგმენტი. შევცვალოთ ის მართკუთხედით იგივე ფუძით და სიმაღლით f(x k)-ის ტოლი (იხ. სურათი). მართკუთხედის ფართობი უდრის \(f(x_k) \cdot \დელტა x_k \), სადაც \(\დელტა x_k \) არის სეგმენტის სიგრძე; ბუნებრივია მივიჩნიოთ მიღებული პროდუქტი, როგორც kth სვეტის ფართობის მიახლოებითი მნიშვნელობა. 
თუ ახლა იგივეს გავაკეთებთ ყველა სხვა სვეტთან ერთად, მივიღებთ შემდეგ შედეგს: მოცემული მრუდი ტრაპეციის ფართობი S უდრის n მართკუთხედისგან შემდგარი საფეხურიანი ფიგურის ფართობის S n (იხ. სურათი):
\(S_n = f(x_0)\დელტა x_0 + \წერტილები + f(x_k)\დელტა x_k + \წერტილები + f(x_(n-1))\დელტა x_(n-1) \)
აქ, აღნიშვნის ერთგვაროვნების მიზნით, ვივარაუდოთ, რომ a = x 0, b = x n; \(\დელტა x_0 \) - სეგმენტის სიგრძე, \(\დელტა x_1 \) - სეგმენტის სიგრძე და ა.შ.; ამ შემთხვევაში, როგორც ზემოთ შევთანხმდით, \(\დელტა x_0 = \წერტილები = \დელტა x_(n-1) \)
ასე რომ, \(S \დაახლოებით S_n \), და ეს სავარაუდო თანასწორობა უფრო ზუსტია, რაც უფრო დიდია n.
განმარტებით, ითვლება, რომ მრუდი ტრაპეციის საჭირო ფართობი უდრის მიმდევრობის ზღვარს (S n):
$$ S = \lim_(n \ to \infty) S_n $$
პრობლემა 2(პუნქტის გადატანის შესახებ)
მატერიალური წერტილი მოძრაობს სწორი ხაზით. სიჩქარის დროზე დამოკიდებულება გამოიხატება ფორმულით v = v(t). იპოვეთ წერტილის მოძრაობა დროის მონაკვეთში [ა; ბ].
გამოსავალი.მოძრაობა ერთგვაროვანი რომ ყოფილიყო, მაშინ პრობლემა ძალიან მარტივად მოგვარდებოდა: s = vt, ე.ი. s = v(b-a). არათანაბარი მოძრაობისთვის, თქვენ უნდა გამოიყენოთ იგივე იდეები, რომლებზეც დაფუძნებული იყო წინა პრობლემის გადაწყვეტა.
1) გაყავით დროის ინტერვალი [a; b] n თანაბარ ნაწილად.
2) განვიხილოთ დროის მონაკვეთი და ჩავთვალოთ, რომ დროის ამ მონაკვეთში სიჩქარე იყო მუდმივი, იგივე, რაც t k დროს. ასე რომ, ჩვენ ვივარაუდოთ, რომ v = v(t k).
3) ვიპოვოთ წერტილის მოძრაობის მიახლოებითი მნიშვნელობა გარკვეული პერიოდის განმავლობაში; ჩვენ აღვნიშნავთ ამ მიახლოებით მნიშვნელობას როგორც s k
\(s_k = v(t_k) \დელტა t_k \)
4) იპოვეთ s-ის გადაადგილების სავარაუდო მნიშვნელობა:
\(s \დაახლოებით S_n \) სადაც
\(S_n = s_0 + \წერტილები + s_(n-1) = v(t_0)\დელტა t_0 + \წერტილები + v(t_(n-1)) \დელტა t_(n-1) \)
5) საჭირო გადაადგილება უდრის მიმდევრობის ზღვარს (S n):
$$ s = \lim_(n \ to \infty) S_n $$
შევაჯამოთ. გადაწყვეტილებები სხვადასხვა ამოცანებიიმავე მათემატიკურ მოდელზე დაყვანილი. მრავალი პრობლემა მეცნიერებისა და ტექნოლოგიების სხვადასხვა დარგიდან ერთსა და იმავე მოდელამდე მიგვიყვანს გადაჭრის პროცესში. ასე რომ ეს მათემატიკური მოდელისაჭიროა სპეციალურად შესწავლა.
განსაზღვრული ინტეგრალის ცნება
მოდით მივცეთ მოდელის მათემატიკური აღწერა, რომელიც აშენდა სამ განხილულ ამოცანაში ფუნქციისთვის y = f(x), უწყვეტი (მაგრამ არა აუცილებლად არაუარყოფითი, როგორც ეს იყო ნავარაუდევი განხილულ ამოცანებში) ინტერვალზე [a; ბ]:
1) სეგმენტის გაყოფა [a; b] n თანაბარ ნაწილად;
2) შეადგინეთ ჯამი $$ S_n = f(x_0)\დელტა x_0 + f(x_1)\დელტა x_1 + \წერტილები + f(x_(n-1))\დელტა x_(n-1) $$
3) გამოთვალეთ $$ \lim_(n \ to \infty) S_n $$
მათემატიკური ანალიზის დროს დადასტურდა, რომ ეს ზღვარი არსებობს უწყვეტი (ან ნაწილებად უწყვეტი) ფუნქციის შემთხვევაში. Მას ეწოდება y = f(x) ფუნქციის გარკვეული ინტეგრალი [a; ბ]და აღინიშნა შემდეგნაირად:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
რიცხვებს a და b ეწოდება ინტეგრაციის საზღვრები (ქვედა და ზედა, შესაბამისად).
დავუბრუნდეთ ზემოთ განხილულ ამოცანებს. ამოცანა 1-ში მოცემული ფართობის განმარტება ახლა შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
აქ S არის მრგვალი ტრაპეციის ფართობი, რომელიც ნაჩვენებია ზემოთ მოცემულ ფიგურაში. Ეს არის განსაზღვრული ინტეგრალის გეომეტრიული მნიშვნელობა.
წერტილის s გადაადგილების განსაზღვრა, რომელიც მოძრაობს სწორი ხაზით სიჩქარით v = v(t) დროის მონაკვეთში t = a-დან t = b-მდე, რომელიც მოცემულია ამოცანა 2-ში, შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:
ნიუტონი - ლაიბნიცის ფორმულა
ჯერ ვუპასუხოთ კითხვას: რა კავშირია განსაზღვრულ ინტეგრალსა და ანტიწარმოებულს შორის?
პასუხი შეგიძლიათ იხილოთ ამოცანა 2-ში. ერთის მხრივ, წერტილის გადაადგილება s, რომელიც მოძრაობს სწორი ხაზით სიჩქარით v = v(t) დროის განმავლობაში t = a-დან t = b-მდე გამოითვლება ფორმულა
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)
მეორე მხრივ, მოძრავი წერტილის კოორდინატი სიჩქარის ანტიდერივატია - ავღნიშნოთ ის s(t); ეს ნიშნავს, რომ გადაადგილება s გამოიხატება ფორმულით s = s(b) - s(a). შედეგად ვიღებთ:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
სადაც s(t) არის v(t) ანტიწარმოებული.
შემდეგი თეორემა დადასტურდა მათემატიკური ანალიზის დროს.
თეორემა. თუ ფუნქცია y = f(x) არის უწყვეტი ინტერვალზე [a; b], მაშინ ფორმულა მოქმედებს
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
სადაც F(x) არის f(x) ანტიწარმოებული.
მოცემულ ფორმულას ჩვეულებრივ უწოდებენ ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულასაპატივცემულოდ ინგლისელი ფიზიკოსიისააკ ნიუტონი (1643-1727) და გერმანელი ფილოსოფოსი გოტფრიდ ლაიბნიცი (1646-1716), რომლებმაც იგი ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად და თითქმის ერთდროულად მიიღეს.
პრაქტიკაში F(b) - F(a) დაწერის ნაცვლად იყენებენ აღნიშვნას \(\left. F(x)\right|_a^b \) (მას ზოგჯერ უწოდებენ ორმაგი ჩანაცვლება) და, შესაბამისად, გადაწერეთ ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა ამ ფორმით:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \მარცხნივ. F(x)\მარჯვნივ|_a^b \)
განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლისას ჯერ იპოვნეთ ანტიწარმოებული და შემდეგ განახორციელეთ ორმაგი ჩანაცვლება.
ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის საფუძველზე შეგვიძლია მივიღოთ განსაზღვრული ინტეგრალის ორი თვისება.
საკუთრება 1.ფუნქციების ჯამის ინტეგრალი ჯამის ტოლიინტეგრალები:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)
საკუთრება 2.მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას ინტეგრალური ნიშნიდან:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)
სიბრტყე ფიგურების ფართობის გამოთვლა განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით
ინტეგრალის გამოყენებით, შეგიძლიათ გამოთვალოთ არა მხოლოდ მოხრილი ტრაპეციის, არამედ უფრო რთული ტიპის სიბრტყე ფიგურების არეები, მაგალითად, ნახატზე ნაჩვენები. ფიგურა P შემოიფარგლება სწორი ხაზებით x = a, x = b და უწყვეტი ფუნქციების გრაფიკებით y = f(x), y = g(x) და სეგმენტზე [a; b] უტოლობა \(g(x) \leq f(x) \) მოქმედებს. ასეთი ფიგურის S ფართობის გამოსათვლელად ვიმოქმედებთ შემდეგნაირად:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
ასე რომ, ფიგურის S ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია სწორი ხაზებით x = a, x = b და y = f(x), y = g(x) ფუნქციების გრაფიკები, უწყვეტი სეგმენტზე და ისეთი, რომ მონაკვეთიდან ნებისმიერი x-ისთვის [ა; b] უტოლობა \(g(x) \leq f(x) \) დაკმაყოფილებულია, გამოითვლება ფორმულით
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)