Одете на каналот на YouTube на нашата веб-страница за да бидете во тек со сите нови видео лекции.

Прво, да се потсетиме на основните формули на моќи и нивните својства.

Производ на број асе појавува на себе n пати, овој израз можеме да го напишеме како a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Моќност или експоненцијални равенки– тоа се равенки во кои променливите се во моќности (или експоненти), а основата е број.

Примери експоненцијални равенки:

Во овој пример, бројот 6 е ​​основата; тој е секогаш на дното и променливата xстепен или индикатор.

Да дадеме повеќе примери на експоненцијални равенки.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

Сега да погледнеме како се решаваат експоненцијалните равенки?

Да земеме едноставна равенка:

2 x = 2 3

Овој пример може да се реши дури и во вашата глава. Се гледа дека x=3. На крајот на краиштата, за левата и десната страна да бидат еднакви, треба да го ставите бројот 3 наместо x.
Сега да видиме како да ја формализираме оваа одлука:

2 x = 2 3
x = 3

За да решиме таква равенка, отстранивме идентични основи(односно два) и запиша што остана, тоа се степени. Го добивме одговорот што го баравме.

Сега да ја сумираме нашата одлука.

Алгоритам за решавање на експоненцијалната равенка:
1. Треба да се провери истодали равенката има основи на десната и левата страна. Ако причините не се исти, бараме опции за решавање на овој пример.
2. Откако основите ќе станат исти, изедначуваатстепени и решете ја добиената нова равенка.

Сега да погледнеме неколку примери:

Да почнеме со нешто едноставно.

Основите на левата и десната страна се еднакви на бројот 2, што значи дека можеме да ја отфрлиме основата и да ги изедначиме нивните моќи.

x+2=4 Се добива наједноставната равенка.
x=4 – 2
x=2
Одговор: x=2

Во следниот пример можете да видите дека основите се различни: 3 и 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Прво, поместете ја деветката на десната страна, добиваме:

Сега треба да ги направите истите основи. Знаеме дека 9=3 2. Да ја користиме формулата за моќност (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Добиваме 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 сега можете да го видите тоа лево и десна странаосновите се исти и еднакви на три, што значи дека можеме да ги отфрлиме и да ги изедначиме степените.

3x=2x+16 ја добиваме наједноставната равенка
3x - 2x=16
x=16
Одговор: x=16.

Да го погледнеме следниот пример:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Пред сè, ги разгледуваме основите, основите два и четири. И ние треба тие да бидат исти. Ние ги трансформираме четирите користејќи ја формулата (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

И ние исто така користиме една формула a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Додај во равенката:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Дадовме пример од истите причини. Но, ни пречат другите броеви 10 и 24. Што да правиме со нив? Ако погледнете внимателно, можете да видите дека на левата страна имаме 2 2x повторени, еве го одговорот - можеме да ставиме 2 2x надвор од заградите:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Да го пресметаме изразот во загради:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Целата равенка ја делиме со 6:

Ајде да замислиме 4=2 2:

2 2x = 2 2 основи се исти, ги отфрламе и ги изедначуваме степените.
2x = 2 е наједноставната равенка. Поделете го со 2 и добиваме
x = 1
Одговор: x = 1.

Да ја решиме равенката:

9 x – 12*3 x +27= 0

Ајде да се трансформираме:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Ја добиваме равенката:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Нашите основи се исти, еднакви на три.Во овој пример, можете да видите дека првата тројка има степен двапати (2x) од втората (само x). Во овој случај, можете да решите метод на замена. Бројот го заменуваме со најмал степен:

Потоа 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Ги заменуваме сите x моќи во равенката со t:

t 2 - 12t+27 = 0
Добиваме квадратна равенка. Решавајќи преку дискриминаторот, добиваме:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Враќање на променливата x.

Земете т 1:
t 1 = 9 = 3 x

Тоа е,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Пронајден е еден корен. Го бараме вториот од t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Одговор: x 1 = 2; x 2 = 1.

На веб-локацијата можете да поставите какви било прашања што ги имате во делот ПОМОШ ДА ОДЛУЧИТЕ, ние дефинитивно ќе ви одговориме.

Придружете се на групата

Оваа лекција е наменета за оние кои штотуку почнуваат да учат експоненцијални равенки. Како и секогаш, да започнеме со дефиницијата и едноставните примери.

Ако ја читате оваа лекција, тогаш се сомневам дека веќе имате барем минимално разбирање за наједноставните равенки - линеарни и квадратни: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$, итн. Да се ​​​​способат да се решат таквите конструкции е апсолутно неопходно за да не се „заглавите“ во темата што сега ќе се дискутира.

Значи, експоненцијални равенки. Дозволете ми да ви дадам неколку примери:

\[((2)^(x))=4;\четири ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Некои од нив може да ви изгледаат посложени, додека други, напротив, се премногу едноставни. Но, сите тие имаат една заедничка работа важен знак: нивната нотација ја содржи експоненцијалната функција $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Така, да ја воведеме дефиницијата:

Експоненцијална равенка е секоја равенка која содржи експоненцијална функција, т.е. израз на формата $((a)^(x))$. Покрај наведената функција, ваквите равенки можат да содржат и други алгебарски конструкции - полиноми, корени, тригонометрија, логаритми итн.

Добро тогаш. Ја средивме дефиницијата. Сега се поставува прашањето: како да се реши сета оваа глупост? Одговорот е и едноставен и сложен.

Да почнеме со добрата вест: од моето искуство на предавање на многу студенти, можам да кажам дека повеќето од нив наоѓаат експоненцијални равенки многу полесно од истите логаритми, а уште повеќе тригонометрија.

Но, има лоша вест: понекогаш пишувачите на проблеми за секакви учебници и испити ги погодува „инспирација“, а нивниот мозок запален од дрога почнува да произведува такви брутални равенки што нивното решавање станува проблематично не само за учениците - дури и за многу наставници. заглави на такви проблеми.

Сепак, да не зборуваме за тажни работи. И да се вратиме на тие три равенки кои беа дадени на самиот почеток на приказната. Ајде да се обидеме да го решиме секој од нив.

Прво равенство: $((2)^(x))=4$. Па, до која сила мора да го подигнете бројот 2 за да го добиете бројот 4? Веројатно вториот? На крајот на краиштата, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - и ја добивме точната нумеричка еднаквост, т.е. навистина $x=2$. Па, благодарам, Капа, но оваа равенка беше толку едноставна што дури и мојата мачка можеше да ја реши. :)

Да ја погледнеме следната равенка:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Но, тука е малку покомплицирано. Многу студенти знаат дека $((5)^(2))=25$ е табелата за множење. Некои исто така се сомневаат дека $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ во суштина е дефиниција за негативни моќи (слично на формулата $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

Конечно, само неколкумина сфаќаат дека овие факти можат да се комбинираат и да го дадат следниот резултат:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Така, нашата оригинална равенка ќе биде препишана на следниов начин:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Десна стрелка ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Но, ова е веќе целосно решливо! Лево во равенката има експоненцијална функција, десно во равенката има експоненцијална функција, освен нив нема ништо друго. Затоа, можеме да ги „отфрлиме“ основите и глупаво да ги изедначуваме индикаторите:

Ја добивме наједноставната линеарна равенка што секој ученик може да ја реши во само неколку линии. Добро, во четири реда:

\[\почеток(порамни)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\крај (порамни)\]

Ако не разбирате што се случуваше во последните четири редови, задолжително вратете се на темата “ линеарни равенки“ и повторете го. Затоа што без јасно разбирање на оваа тема, прерано е за вас да преземете експоненцијални равенки.

\[((9)^(x))=-3\]

Па, како можеме да го решиме ова? Првата мисла: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, така што оригиналната равенка може да се преработи на следниов начин:

\[((\лево(((3)^(2)) \десно))^(x))=-3\]

Потоа се сеќаваме дека при подигање на моќност на моќност, експонентите се множат:

\[((\лево(((3)^(2)) \десно))^(x))=((3)^(2x))\Десна стрелка ((3)^(2x))=-(( 3) ^ (1)) \]

\[\почеток(порамни)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\крај (порамни)\]

И за ваквата одлука ќе добиеме чесно заслужена двајца. Зашто, со рамнодушност на Покемон, го испративме знакот минус пред трите на моќта на оваа тројка. Но, не можете да го направите тоа. И затоа. Погледни различни степенитројки:

\[\begin(матрица) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(матрица)\]

При составувањето на оваа таблета, ништо не изопачив: гледав позитивни моќи, и негативни, па дури и фракциони... добро, каде е тука барем еден негативен број? Тој си замина! И тоа не може да биде, бидејќи експоненцијалната функција $y=((a)^(x))$, прво, секогаш зема само позитивни вредности (без разлика колку еден се множи или дели со два, сепак ќе биде позитивен број), и второ, основата на таквата функција - бројот $a$ - по дефиниција е позитивен број!

Па, како тогаш да се реши равенката $((9)^(x))=-3$? Но, нема шанси: нема корени. И во оваа смисла, експоненцијалните равенки се многу слични на квадратните равенки - исто така може да нема корени. Но, ако во квадратните равенки бројот на корените се определува со дискриминаторот (позитивен дискриминатор - 2 корени, негативен - без корени), тогаш во експоненцијалните равенки сè зависи од тоа што е десно од знакот за еднаквост.

Така, да го формулираме клучниот заклучок: наједноставната експоненцијална равенка од формата $((a)^(x))=b$ има корен ако и само ако $b>0$. Знаејќи го овој едноставен факт, можете лесно да одредите дали равенката што ви е предложена има корени или не. Оние. Дали воопшто вреди да се реши или веднаш да се запише дека нема корени.

Ова знаење ќе ни помогне многу пати кога треба да решаваме посложени проблеми. Засега, доволно од стиховите - време е да го проучиме основниот алгоритам за решавање на експоненцијални равенки.

Како да се решат експоненцијални равенки

Значи, да го формулираме проблемот. Неопходно е да се реши експоненцијалната равенка:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Според „наивниот“ алгоритам што го користевме претходно, неопходно е да се претстави бројот $b$ како моќност на бројот $a$:

Дополнително, ако наместо променливата $x$ има некој израз, ќе добиеме нова равенка која веќе може да се реши. На пример:

\[\почеток(порамни)& ((2)^(x))=8\Десна стрелка ((2)^(x))=(2)^(3))\Десна стрелка x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Десна стрелка ((3)^(-x))=((3)^(4))\Десна стрелка -x=4\Десна стрелка x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Десна стрелка ((5)^(2x))=((5)^(3))\Десна стрелка 2x=3\Десна стрелка x=\frac(3)( 2). \\\крај (порамни)\]

И доволно чудно, оваа шема работи во околу 90% од случаите. Што е тогаш со преостанатите 10%? Останатите 10% се малку „шизофрени“ експоненцијални равенки од формата:

\[((2)^(x))=3;\четири ((5)^(x))=15;\четири ((4)^(2x))=11\]

Па, до која моќ треба да подигнете 2 за да добиете 3? Прво? Но не: $((2)^(1))=2$ не е доволно. Второ? Ниту не: $((2)^(2))=4$ е премногу. Кој тогаш?

Упатените студенти веројатно веќе погодиле: во такви случаи, кога не е можно да се реши „прекрасно“, во игра влегува „тешката артилерија“ - логаритми. Дозволете ми да ве потсетам дека користејќи логаритми, секој позитивен број може да се претстави како моќ на кој било друг позитивен број (освен еден):

Се сеќавате на оваа формула? Кога им кажувам на моите студенти за логаритми, секогаш предупредувам: оваа формула (исто така главната логаритамски идентитетили, ако сакате, дефиницијата за логаритам) ќе ве прогонува многу долго и ќе „се појави“ најмногу неочекувани места. Па, таа излезе на површина. Да ја погледнеме нашата равенка и оваа формула:

\[\почеток(порамни)& ((2)^(x))=3 \\& a=((б)^((\log )_(б))а)) \\\крај (порамни) \]

Ако претпоставиме дека $a=3$ е нашиот оригинален број од десната страна, а $b=2$ е самата основа на експоненцијалната функција до која сакаме да водиме десна страна, тогаш го добиваме следново:

\[\почеток(порамни)& a=((б)^(((\log )_(b))a))\Десна стрелка 3=((2)^((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Десна стрелка ((2)^(x))=(2)^(((\log )_(2))3))\Десна стрелка x=( (\log )_(2))3. \\\крај (порамни)\]

Добивме малку чуден одговор: $x=((\log )_(2))3$. Во некоја друга задача, многумина би се посомневале во таквиот одговор и би почнале повторно да го проверуваат своето решение: што ако некаде навлезе грешка? Побрзам да ве задоволам: тука нема грешка, а логаритмите во корените на експоненцијалните равенки се сосема типична ситуација. Затоа навикнете се. :)

Сега да ги решиме преостанатите две равенки по аналогија:

\[\почеток(порамни)& ((5)^(x))=15\Десна стрелка ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Десна стрелка x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Десна стрелка ((4)^(2x))=((4)^((\log )_(4))11))\Десна стрелка 2x=( (\log )_(4))11\Десна стрелка x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\крај (порамни)\]

Тоа е се! Патем, последниот одговор може да се напише поинаку:

Воведовме множител на аргументот на логаритамот. Но, никој не не спречува да го додадеме овој фактор во основата:

Покрај тоа, сите три опции се точни - тоа е едноставно различни формизаписи од ист број. Кое ќе го изберете и запишете во ова решение, зависи од вас да одлучите.

Така, научивме да ги решаваме сите експоненцијални равенки од формата $((a)^(x))=b$, каде што броевите $a$ и $b$ се строго позитивни. Сепак, суровата реалност на нашиот свет е таква едноставни задачиќе се сретнете многу, многу ретко. Почесто ќе наидете на вакво нешто:

\[\почеток(порамни)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\крај (порамни)\]

Па, како можеме да го решиме ова? Дали ова воопшто може да се реши? И ако е така, како?

Не паничете. Сите овие равенки брзо и лесно се сведуваат на едноставните формули што веќе ги разгледавме. Треба само да запомните неколку трикови од курсот за алгебра. И секако, нема правила за работа со дипломи. Сега ќе ви кажам за сето ова. :)

Конвертирање на експоненцијални равенки

Првото нешто што треба да се запамети: секоја експоненцијална равенка, без разлика колку е сложена, на еден или друг начин мора да се сведе на наједноставните равенки - оние што веќе ги разгледавме и кои знаеме да ги решиме. Со други зборови, шемата за решавање на која било експоненцијална равенка изгледа вака:

1. Запишете ја оригиналната равенка. На пример: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Направете некои чудни срања. Или дури и некои глупости наречени „конвертирај равенка“;
3. На излезот, добијте ги наједноставните изрази на формата $((4)^(x))=4$ или нешто друго слично. Покрај тоа, една почетна равенка може да даде неколку такви изрази одеднаш.

Сè е јасно со првата точка - дури и мојата мачка може да ја напише равенката на парче хартија. Третата точка, исто така, се чини дека е повеќе или помалку јасна - веќе решивме цел куп такви равенки погоре.

Но, што е со втората точка? Какви трансформации? Конвертирај што во што? И како?

Па, ајде да дознаеме. Најпрво би сакал да го забележам следново. Сите експоненцијални равенки се поделени на два вида:

1. Равенката е составена од експоненцијални функции со иста основа. Пример: $((4)^(x))+(4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Формулата содржи експоненцијални функции со различни основи. Примери: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ и $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09$.

Да почнеме со равенки од првиот тип - тие се најлесни за решавање. И во нивното решавање, ќе ни помогне таква техника како што е истакнување стабилни изрази.

Изолирање стабилен израз

Ајде повторно да ја погледнеме оваа равенка:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Што гледаме? Четирите се подигнати на различни степени. Но, сите овие моќи се едноставни збирови на променливата $x$ со други броеви. Затоа, неопходно е да се запамети правилата за работа со степени:

\[\begin(порамни)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))((a )^(y))). \\\крај (порамни)\]

Едноставно кажано, собирањето може да се претвори во производ на моќи, а одземањето лесно може да се претвори во делење. Ајде да се обидеме да ги примениме овие формули на степените од нашата равенка:

\[\почеток(порамни)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))((4)^(1)))=(4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cточка 4. \ \\крај (порамни)\]

Ајде да ја преработиме оригиналната равенка земајќи го предвид овој факт, а потоа да ги собереме сите поими лево:

\[\почеток(порамни)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cточка 4 - единаесет; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cточка 4+11=0. \\\крај (порамни)\]

Првите четири поими го содржат елементот $((4)^(x))$ - да го извадиме од заградата:

\[\begin(порамни)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \десно)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \десно)=-11. \\\крај (порамни)\]

Останува да се поделат двете страни на равенката со дропката $-\frac(11)(4)$, т.е. суштински се множи со превртената дропка - $-\frac(4)(11)$. Добиваме:

\[\почеток(порамни)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \десно)\cdot \left(-\frac(4)(11) \десно )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \десно); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\& x=1. \\\крај (порамни)\]

Тоа е се! Ја намаливме оригиналната равенка на наједноставна форма и го добивме конечниот одговор.

Во исто време, во процесот на решавање го откривме (па дури и го извадивме од заградата) заедничкиот фактор $((4)^(x))$ - ова е стабилен израз. Може да се назначи како нова променлива или едноставно да ја изразите внимателно и да го добиете одговорот. Во секој случај, клучниот принцип на решението е како што следува:

Најдете во првобитната равенка стабилен израз кој содржи променлива што лесно се разликува од сите експоненцијални функции.

Добрата вест е дека скоро секоја експоненцијална равенка ви овозможува да изолирате таков стабилен израз.

Но, лошата вест е дека овие изрази може да бидат прилично незгодни и може да биде доста тешко да се идентификуваат. Па, ајде да погледнеме уште еден проблем:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Можеби некој сега ќе има прашање: „Паша, дали те каменуваат? Овде има различни основи – 5 и 0,2“. Но, ајде да се обидеме да ја претвориме моќноста во основата 0,2. На пример, да се ослободиме од децималната дропка намалувајќи ја на правилна:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\лево(x+1 \десно)))=((\лево(\frac(2)(10 ) \десно))^(-\лево(x+1 \десно)))=(\лево(\frac(1)(5) \десно))^(-\лево(x+1 \десно)) ) \]

Како што можете да видите, бројот 5 сè уште се појавил, иако во именителот. Во исто време, индикаторот беше препишан како негативен. И сега да се потсетиме на една од најважните правиларабота со дипломи:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\десна стрелка ((\лево(\frac(1)(5) \десно))^( -\лево(x+1 \десно)))=((\лево(\frac(5)(1) \десно))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Тука, се разбира, малку се излажав. Бидејќи за целосно разбирање, формулата за ослободување од негативните показатели мораше да биде напишана вака:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \десно))^(n ))\Десна стрелка ((\лево(\frac(1)(5) \десно))^(-\лево(x+1 \десно)))=((\лево(\frac(5)(1) \ десно))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Од друга страна, ништо не нè спречи да работиме само со дропки:

\[((\лево(\frac(1)(5) \десно))^(-\лево(x+1 \десно)))=((\лево(((5)^(-1)) \ десно))^(-\лево(x+1 \десно)))=((5)^(\лево(-1 \десно)\cdot \лево(-\лево(x+1 \десно) \десно) ))=((5)^(x+1))\]

Но, во овој случај, треба да можете да подигнете моќност на друга моќност (дозволете ми да ве потсетам: во овој случај, индикаторите се собираат заедно). Но, не морав да ги „свртам“ дропките - можеби ова ќе биде полесно за некои. :)

Во секој случај, оригиналната експоненцијална равенка ќе се препише како:

\[\почеток(порамни)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\крај (порамни)\]

Значи, излегува дека првобитната равенка може да се реши уште поедноставно од претходно разгледаната: тука не треба ни да изберете стабилен израз - сè е намалено само по себе. Останува само да се потсетиме дека $1=((5)^(0))$, од што добиваме:

\[\begin(порамни)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\крај (порамни)\]

Тоа е решението! Го добивме конечниот одговор: $x=-2$. Во исто време, би сакал да забележам една техника која во голема мера ги поедностави сите пресметки за нас:

Во експоненцијални равенки, не заборавајте да се ослободите од децимали, претворете ги во обични. Ова ќе ви овозможи да ги видите истите основи на степени и значително да го поедноставите решението.

Сега да преминеме на посложени равенки во кои постојат различни основи кои не можат да се сведуваат една на друга користејќи моќи.

Користење на својствата степени

Дозволете ми да ве потсетам дека имаме уште две особено груби равенки:

\[\почеток(порамни)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\крај (порамни)\]

Главната тешкотија овде е што не е јасно што да се даде и на која основа. Каде се стабилните изрази? Каде се истите основи? Нема ништо од ова.

Но, ајде да се обидеме да одиме на поинаков начин. Ако нема готови идентични основи, можете да се обидете да ги најдете со факторинг на постоечките основи.

Да почнеме со првата равенка:

\[\почеток(порамни)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cточка 3\десна стрелка ((21)^(3x))=((\лево(7\cточка 3 \десно))^(3x))=(7)^(3x))\ cdot ((3) ^ (3x)). \\\крај (порамни)\]

Но, можете да го направите спротивното - направете го бројот 21 од броевите 7 и 3. Ова е особено лесно да се направи лево, бидејќи индикаторите на двата степени се исти:

\[\почеток(порамни)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\лево(7\cточка 3 \десно))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\крај (порамни)\]

Тоа е се! Го извадивте експонентот надвор од производот и веднаш добивте убава равенка што може да се реши во неколку линии.

Сега да ја погледнеме втората равенка. Сè е многу покомплицирано овде:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \десно))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

Во овој случај, фракциите се покажаа како нередуцирани, но ако нешто може да се намали, не заборавајте да го намалите. Честопати ќе се појават интересни причини со кои веќе можете да работите.

За жал, кај нас не се појави ништо посебно. Но, гледаме дека експонентите лево во производот се спротивни:

Дозволете ми да ве потсетам: за да се ослободите од знакот минус во индикаторот, само треба да ја „превртите“ фракцијата. Па, ајде да ја преработиме оригиналната равенка:

\[\почеток(порамни)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \десно))^(x-1))=\frac(9 ) (100); \\& ((\лево(100\cdot \frac(10)(27) \десно))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \десно))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\крај (порамни)\]

Во вториот ред, едноставно го извадивме вкупниот експонент од производот од заградата според правилото $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a \cdot b \right))^ (x))$, а во последното едноставно го помножиле бројот 100 со дропка.

Сега забележете дека броевите лево (во основата) и десно се нешто слични. Како? Да, очигледно е: тие се моќи од ист број! Ние имаме:

\[\begin(порамни)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3))=((\left(\frac( 10)(3) \десно))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3))=((\left(\frac(3)(10) \десно))^(2)). \\\крај (порамни)\]

Така, нашата равенка ќе биде препишана на следниов начин:

\[((\лево(((\лево(\frac(10)(3) \десно))^(3)) \десно))^(x-1))=((\лево(\frac(3) )(10)\десно))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \десно))^(3)) \десно))^(x-1))=((\left(\frac(10 )(3) \десно))^(3\лево(x-1 \десно)))=((\лево(\frac(10)(3) \десно))^(3x-3))\]

Во овој случај, од десната страна можете да добиете и диплома со иста основа, за што е доволно едноставно да ја „превртите“ фракцијата:

\[((\лево(\frac(3)(10) \десно))^(2))=((\лево(\frac(10)(3) \десно))^(-2))\]

Нашата равенка конечно ќе ја добие формата:

\[\почеток(порамни)& ((\лево(\frac(10)(3) \десно))^(3x-3))=((\лево(\frac(10)(3) \десно)) ^ (-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac (1) (3). \\\крај (порамни)\]

Тоа е решението. Неговата главна идеја се сведува на фактот дека дури и со различни основи се обидуваме, со кука или со криво, да ги сведеме овие основи на иста работа. Во тоа ни помагаат елементарните трансформации на равенките и правилата за работа со моќи.

Но, кои правила и кога да се користат? Како да разберете дека во една равенка треба да ги поделите двете страни со нешто, а во друга да ја факторизирате основата на експоненцијалната функција?

Одговорот на ова прашање ќе дојде со искуство. Обидете се прво со едноставни равенки, а потоа постепено комплицирајте ги проблемите - и многу наскоро вашите вештини ќе бидат доволни за да ја решите секоја експоненцијална равенка од истиот унифициран државен испит или која било независна/тестна работа.

И за да ви помогнам во оваа тешка задача, предлагам да преземете збир на равенки од мојата веб-страница за сами да го решите. Сите равенки имаат одговори, така што секогаш можете да се тестирате.

Прво ниво

Експоненцијални равенки. Крајниот водич (2019)

Здраво! Денес ќе разговараме со вас како да ги решиме равенките што можат да бидат елементарни (и се надевам дека по читањето на овој напис, скоро сите ќе бидат така за вас), и оние што обично се даваат „за пополнување“. Очигледно конечно да заспие. Но, ќе се обидам да сторам сè што е можно за сега да не западнете во неволја кога ќе се соочите со овој вид равенки. Повеќе нема да тепам околу грмушката, но веднаш ќе ви кажам мала тајна: денес ќе учиме експоненцијални равенки.

Пред да преминете на анализа на начините за нивно решавање, веднаш ќе ви наведам низа прашања (прилично мали) кои треба да ги повторите пред да брзате да ја нападнете оваа тема. Значи, да се добие најдобар резултат, Ве молам, повторете:

1. Својства и
2. Решение и равенки

Повторено? Неверојатно! Тогаш нема да ви биде тешко да забележите дека коренот на равенката е број. Дали разбираш точно како го направив тоа? Дали е вистина? Потоа да продолжиме. Сега одговори на моето прашање, што е еднакво на третата сила? Сосема си во право: . Која сила на два е осум? Така е - третиот! Бидејќи. Па, сега да се обидеме да го решиме следниот проблем: Дозволете ми да го помножам бројот сам по себе еднаш и да го добијам резултатот. Прашањето е колку пати се помножив сам? Се разбира, можете директно да го проверите ова:

\почеток (порамни) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( порамни)

Тогаш можеш да заклучиш дека сум помножил со себе пати. Како инаку можете да го проверите ова? Еве како: директно по дефиниција за степен: . Но, мора да признаете, ако прашам колку пати треба да се помножат два само по себе за да се добие, да речеме, ќе ми кажеш: нема да се залажувам и да се множам само по себе додека не станам модри во лицето. И тој би бил апсолутно во право. Затоа што како можеш запишете ги сите чекори накратко(а краткоста е сестра на талентот)

каде - тоа се истите "времиња", кога ќе се множите само по себе.

Мислам дека знаете (а ако не знаете, итно, многу итно повторете ги степените!) дека тогаш мојот проблем ќе биде напишан во форма:

Како може разумно да заклучите дека:

Така, незабележано, го запишав наједноставното експоненцијална равенка:

Па дури и го најдов корен. Зарем не мислите дека се е сосема тривијално? Мислам потполно исто. Еве уште еден пример за вас:

Но, што да се прави? Впрочем, не може да се напише како моќност на (разумен) број. Да не очајуваме и да забележиме дека и двата од овие бројки се совршено изразени преку моќта на истиот број. Кое? Десно:. Тогаш оригиналната равенка се трансформира во форма:

Каде, како што веќе разбравте,. Да не одложуваме повеќе и да го запишеме дефиниција:

Во нашиот случај:.

Овие равенки се решаваат со нивно намалување на формата:

проследено со решавање на равенката

Всушност, во претходниот пример го направивме токму тоа: го добивме следново: И ја решивме наједноставната равенка.

Се чини како ништо комплицирано, нели? Ајде прво да вежбаме на наједноставните примери:

Повторно гледаме дека десната и левата страна на равенката треба да бидат претставени како сили на еден број. Навистина, лево ова е веќе направено, но десно има број. Но, во ред е, бидејќи мојата равенка за чудо ќе се трансформира во ова:

Што требаше да користам овде? Кое правило? Правило за „степени во рамките на степени“кој гласи:

Што ако:

Пред да одговориме на ова прашање, да ја пополниме следната табела:

Лесно ни е да забележиме дека колку е помала, толку е помала вредноста, но сепак, сите овие вредности се поголеми од нула. И СЕКОГАШ ТАКА ЌЕ БИДЕ!!! Истото својство важи ЗА СЕКОЈА ОСНОВА СО КОЈ ИНДИКАТОР!! (за било кој и). Тогаш, што можеме да заклучиме за равенката? Еве што е тоа: тоа нема корени! Исто како и секоја равенка нема корени. Сега да вежбаме и Ајде да решиме едноставни примери:

Ајде да провериме:

1. Овде ништо нема да се бара од вас освен познавање на својствата на степените (што, патем, ве замолив да го повторите!) По правило, сè води до најмалата основа: , . Тогаш оригиналната равенка ќе биде еквивалентна на следново: Сè што ми треба е да ги користам својствата на моќите: При множење на броеви со исти основи се собираат силите, а при делење се одземаат.Тогаш ќе добијам: Па, сега со чиста совест ќе преминам од експоненцијалната равенка на линеарната: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\крај (порамни)

2. Во вториот пример, треба да бидеме повнимателни: проблемот е што на левата страна не можеме да го претставиме истиот број како моќ. Во овој случај понекогаш е корисно претставуваат броеви како производ на моќи со различни основи, но исти експоненти:

Левата страна на равенката ќе изгледа вака: Што ни даде ова? Еве што: Броеви со различни основи, но исти експоненти може да се множат.Во овој случај, основите се множат, но индикаторот не се менува:

Во мојата ситуација ова ќе даде:

\почеток (порамни)
& 4\cdot ((64)^(x))(25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\крај (порамни)

Не е лошо, нели?

3. Не ми се допаѓа кога, непотребно, имам два члена на едната страна од равенката и ниту еден од другата страна (понекогаш, се разбира, ова е оправдано, но сега не е таков случај). Терминот минус ќе го преместам надесно:

Сега, како и досега, ќе напишам сè во однос на моќта на три:

Ги собирам степените лево и добивам еквивалентна равенка

Лесно можете да го најдете неговиот корен:

4. Како во примерот три, членот минус има место на десната страна!

Лево, скоро се е во ред, освен што? Да, „погрешниот степен“ на двајцата ме мачи. Но, лесно можам да го поправам ова со пишување: . Еурека - лево сите основи се различни, но сите степени се исти! Веднаш да се множиме!

Овде пак се е јасно: (ако не ви е јасно како магично ја добив последната рамноправност, одморете една минута, земете здив и повторно прочитајте ги својствата на степенот многу внимателно. Кој рече дека можете да прескокнете степен со негативен експонент?Па, еве јас сум за истото како никој). Сега ќе добијам:

\почеток (порамни)
& ((2)^(4\лево((x) -9 \десно)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\крај (порамни)

Еве неколку проблеми за вежбање, на кои само ќе ги дадам одговорите (но во „мешана“ форма). Решете ги, проверете ги и јас и вие ќе продолжиме со нашето истражување!

Подготвени? Одговорикако овие:

1. кој било број

Добро, во ред, се шегував! Еве неколку скици на решенија (некои многу кратки!)

Зарем не мислите дека не е случајно што едната дропка лево е другата „превртена“? Би било грев да не се искористи ова:

Ова правило многу често се користи при решавање на експоненцијални равенки, добро запомнете го!

Тогаш оригиналната равенка ќе стане вака:

Со решавање на оваа квадратна равенка, ќе ги добиете следните корени:

2. Друго решение: делење на двете страни на равенката со изразот лево (или десно). Поделете со она што е десно, па добивам:

Каде (зошто?!)

3. Не сакам ни да се повторувам, сè е веќе „изџвакано“ толку многу.

4. еквивалентно на квадратна равенка, корени

5. Треба да ја искористите формулата дадена во првиот проблем, тогаш ќе добиете дека:

Равенката се претвори во тривијален идентитет кој важи за секој. Тогаш одговорот е кој било реален број.

Па, сега вежбавте да решавате едноставни експоненцијални равенки.Сега сакам да ви дадам неколку животни примери, што ќе ви помогне да разберете зошто во принцип се потребни. Еве ќе дадам два примери. Еден од нив е прилично секојдневен, но другиот е поверојатно од научен, а не практичен интерес.

Пример 1 (меркантилен)Дозволете да имате рубли, но сакате да го претворите во рубли. Банката ви нуди да ги земете овие пари од вас по годишна стапка со месечна капитализација на каматата (месечна пресметка). Прашањето е, за колку месеци треба да отворите депозит за да го достигнете бараниот финален износ? Доста обична задача, нели? Сепак, неговото решение е поврзано со изградбата на соодветната експоненцијална равенка: Нека - почетната количина, - конечната сума, - каматна стапкапо период, - бројот на периоди. Потоа:

Во нашиот случај (ако стапката е годишна, тогаш се пресметува месечно). Зошто е поделено со? Ако не го знаете одговорот на ова прашање, запомнете ја темата „“! Тогаш ја добиваме оваа равенка:

Оваа експоненцијална равенка може да се реши само со помош на калкулатор (нејзиниот изгледго навестува ова, а за тоа е потребно познавање на логаритми, со кои ќе се запознаеме малку подоцна), што ќе го направам: ... Така, за да добиеме милион, ќе треба да направиме депозит за еден месец ( не многу брзо, нели?).

Пример 2 (прилично научен).И покрај неговата извесна „изолација“, ви препорачувам да му обрнете внимание: тој редовно „се лизга на обединет државен испит!! (проблемот е преземен од „вистинската“ верзија) За време на распаѓањето на радиоактивен изотоп, неговата маса се намалува според законот, каде што (mg) е почетната маса на изотопот, (мин.) е времето поминато од почетниот момент, (мин.) е полуживот. Во почетниот момент, масата на изотопот е mg. Неговиот полуживот е мин. По колку минути масата на изотопот ќе биде еднаква на mg? Во ред е: ние само ги земаме и ги заменуваме сите податоци во формулата што ни е предложена:

Ајде да ги поделиме двата дела по, „со надеж“ дека лево ќе добиеме нешто сварливо:

Па, ние имаме многу среќа! Тоа е лево, а потоа да преминеме на еквивалентната равенка:

Каде е мин.

Како што можете да видите, експоненцијалните равенки имаат многу реални примени во пракса. Сега сакам да ви покажам уште еден (едноставен) начин за решавање на експоненцијални равенки, кој се заснова на вадење на заедничкиот фактор од загради и потоа групирање на поимите. Не плашете се од моите зборови, на овој метод веќе наидовте во 7 одделение кога учевте полиноми. На пример, ако требаше да го земете предвид изразот:

Да ги групираме: првиот и третиот термин, како и вториот и четвртиот. Јасно е дека првото и третото се разликата на квадратите:

а вториот и четвртиот имаат заеднички фактор од три:

Тогаш оригиналниот израз е еквивалентен на ова:

Од каде да се изведе заедничкиот фактор повеќе не е тешко:

Оттука,

Ова е приближно она што ќе го направиме кога решаваме експоненцијални равенки: побарајте „заедништво“ меѓу поимите и извадете го од загради, а потоа - што и да е, верувам дека ќе имаме среќа =)) На пример:

На десната страна е далеку од моќ од седум (проверив!) А лево - малку е подобро, можете, се разбира, да го „отсечете“ факторот a од вториот од првиот мандат, а потоа да се справите со тоа што го добивте, но да бидеме попретпазливи со вас. Не сакам да се занимавам со дропките што неизбежно се формираат при „одбирање“, па зарем не треба да го извадам? Тогаш нема да имам никакви фракции: како што велат, волците се хранат, а овците се безбедни:

Пресметај го изразот во загради. Магично, магично, испаѓа дека (изненадувачки, иако што друго да очекуваме?).

Потоа ги намалуваме двете страни на равенката за овој фактор. Добиваме: , од.

Еве еден покомплициран пример (сосема малку, навистина):

Каков проблем! Тука немаме една заедничка основа! Не е сосема јасно што да се прави сега. Ајде да направиме што можеме: прво, преместете ги „четирите“ на едната страна, а „петките“ на другата страна:

Сега да го извадиме „генералот“ лево и десно:

И што сега? Која е користа од таква глупава група? На прв поглед тоа воопшто не се гледа, но да погледнеме подлабоко:

Па, сега ќе се погрижиме лево да го имаме само изразот c, а десно - сè друго. Како го правиме ова? Еве како: Прво поделете ги двете страни на равенката со (така да се ослободиме од експонентот од десната страна), а потоа поделете ги двете страни со (така да се ослободиме од нумеричкиот фактор лево). Конечно добиваме:

Неверојатно! Лево имаме израз, а десно едноставен израз. Тогаш тоа веднаш го заклучуваме

Еве уште еден пример што треба да го зацврстите:

Ќе го дадам неговото кратко решение (без да се замарам многу со објаснувања), обидете се сами да ги разберете сите „суптилности“ на решението.

Сега за конечна консолидација на опфатениот материјал. Обидете се сами да ги решите следните проблеми. Само ќе дадам кратки препоракии совети за нивно решавање:

1. Да го извадиме заедничкиот фактор од загради: Каде:
2. Да го претставиме првиот израз во форма: , поделете ги двете страни по и добијте го тоа
3. , тогаш првобитната равенка се трансформира во форма: Па, сега навестување - побарајте каде вие ​​и јас веќе ја решивме оваа равенка!
4. Замислете како, како, ах, добро, потоа поделете ги двете страни по, па ќе ја добиете наједноставната експоненцијална равенка.
5. Извадете го од заградите.
6. Извадете го од заградите.

ЕКСПОНЕНТАРНИ РАВЕНКИ. ПРОСЕЧНО НИВО

Претпоставувам дека по читањето на првата статија, за која се зборуваше што се експоненцијални равенки и како да се решат, го совладавте потребното минимално знаење неопходно за решавање на наједноставните примери.

Сега ќе погледнам друг метод за решавање експоненцијални равенки, ова е

„метод на воведување нова променлива“ (или замена).Тој ги решава повеќето „тешки“ проблеми на тема експоненцијални равенки (и не само равенки). Овој метод е еден од најчесто користените во пракса. Прво, ви препорачувам да се запознаете со темата.

Како што веќе разбравте од името, суштината на овој метод е да се воведе таква промена на променливата што вашата експоненцијална равенка чудесно ќе се трансформира во онаа што можете лесно да ја решите. Сè што ви преостанува откако ќе ја решите оваа многу „поедноставена равенка“ е да направите „обратна замена“: односно да се вратите од заменетиот во заменет. Ајде да го илустрираме она што го кажавме со многу едноставен пример:

Пример 1:

Оваа равенка е решена со помош на „едноставна замена“, како што математичарите омаловажувачки ја нарекуваат. Всушност, замената овде е најочигледна. Треба само да се види тоа

Тогаш оригиналната равенка ќе се претвори во ова:

Ако дополнително замислиме како, тогаш е апсолутно јасно што треба да се замени: се разбира, . Што тогаш станува првобитната равенка? Еве што:

Нејзините корени лесно можете да ги најдете сами: . Што да правиме сега? Време е да се вратиме на оригиналната променлива. Што заборавив да спомнам? Имено: при замена на одреден степен со нова променлива (односно при замена на тип), ќе ме интересира само позитивни корени! Вие сами можете лесно да одговорите зошто. Така, јас и ти не сме заинтересирани, но вториот корен е сосема погоден за нас:

Тогаш од каде.

Одговор:

Како што можете да видите, во претходниот пример, замена само ни ги бараше рацете. За жал, тоа не е секогаш случај. Сепак, да не одиме директно на тажните работи, туку да вежбаме со уште еден пример со прилично едноставна замена

Пример 2.

Јасно е дека најверојатно ќе треба да направиме замена (ова е најмалата од моќите вклучени во нашата равенка), но пред да воведеме замена, нашата равенка треба да биде „подготвена“ за тоа, имено: , . Потоа можете да замените, како резултат го добивам следниов израз:

О ужас: кубна равенка со апсолутно ужасни формули за нејзино решавање (добро, зборувајќи во општ поглед). Но, да не очајуваме веднаш, туку да размислиме што треба да правиме. Ќе предложам изневерување: знаеме дека за да добиеме „убав“ одговор, треба да го добиеме во форма на сила од три (зошто би било така, а?). Ајде да се обидеме да погодиме барем еден корен од нашата равенка (ќе почнам да погодувам со сили од три).

Прво погодување. Не корен. За жал и ах...

.
Левата страна е еднаква.
Десен дел: !
Јадете! Го погоди првиот корен. Сега работите ќе станат полесни!

Дали знаете за шемата за поделба „аголна“? Секако дека го правите, го користите кога делите еден број со друг. Но, малкумина знаат дека истото може да се направи и со полиноми. Постои една прекрасна теорема:

Применувајќи се на мојата ситуација, ова ми кажува дека е делив без остаток со. Како се врши поделбата? Така:

Гледам со кој моном треба да се помножам за да се добие Clearly, тогаш:

Го одземам добиениот израз од, добивам:

Сега, со што треба да помножам за да добијам? Јасно е дека на, тогаш ќе добијам:

и повторно одземете го добиениот израз од преостанатиот:

Па, последниот чекор е да се множи со и одземе од преостанатиот израз:

Ура, поделбата заврши! Што имаме акумулирано приватно? Од самиот себе: .

Потоа го добивме следното проширување на оригиналниот полином:

Да ја решиме втората равенка:

Има корени:

Потоа оригиналната равенка:

има три корени:

Ние, се разбира, ќе го отфрлиме последниот корен, бидејќи е помал од нула. И првите две по обратна замена ќе ни дадат два корени:

Одговор: ..

Воопшто не сакав да ве исплашам со овој пример, туку целта ми беше да покажам дека иако имавме прилично едноставна замена, таа сепак доведе до прилично сложена равенка, чие решение бараше некои посебни вештини од нас. Па, никој не е имун од ова. Но, замената во овој случај беше сосема очигледна.

Еве еден пример со малку помалку очигледна замена:

Воопшто не е јасно што треба да правиме: проблемот е што во нашата равенка има две различни основи и една основа не може да се добие од друга со подигање на која било (разумна, природно) моќ. Сепак, што гледаме? Двете основи се разликуваат само по знакот, а нивниот производ е разликата на квадратите еднаква на еден:

Дефиниција:

Така, броевите што се основи во нашиот пример се конјугирани.

Во овој случај, паметниот чекор би бил помножете ги двете страни на равенката со конјугираниот број.

На пример, на, тогаш левата страна на равенката ќе стане еднаква на, а десната. Ако направиме замена, тогаш нашата оригинална равенка ќе стане вака:

неговите корени, значи, и сеќавајќи се на тоа, го добиваме тоа.

Одговор: ,.

Како по правило, методот на замена е доволен за решавање на повеќето „училишни“ експоненцијални равенки. Следниве задачи се преземени од Единствениот државен испит Ц1 ( зголемено нивотешкотии). Веќе сте доволно писмени за сами да ги решавате овие примери. Ќе ја дадам само потребната замена.

1. Реши ја равенката:
2. Најдете ги корените на равенката:
3. Решете ја равенката: . Најдете ги сите корени на оваа равенка што припаѓаат на отсечката:

А сега неколку кратки објаснувања и одговори:

1. Тука ни е доволно да забележиме дека ... Тогаш оригиналната равенка ќе биде еквивалентна на ова: Оваа равенка може да се реши со замена Направете ги понатамошните пресметки сами. На крајот, вашата задача ќе се сведе на решавање едноставни тригонометриски проблеми (во зависност од синус или косинус). Ќе разгледаме решенија за слични примери во други делови.
2. Овде можете дури и без замена: само поместете го подлогата надесно и претставувајте ги двете основи преку моќи од два: , а потоа одете директно на квадратната равенка.
3. Третата равенка е исто така решена сосема стандардно: ајде да замислиме како. Потоа, заменувајќи, добиваме квадратна равенка: тогаш,

   Веќе знаете што е логаритам, нели? Не? Тогаш итно прочитај ја темата!

   Првиот корен очигледно не припаѓа на сегментот, но вториот е нејасен! Но, ќе дознаеме многу брзо! Затоа, тогаш (ова е својство на логаритмот!) Ајде да споредиме:

   Одземаме од двете страни, па добиваме:

   Лева странаможе да се претстави како:

   помножете ги двете страни со:

   може да се помножи со, тогаш

   Потоа споредете:

   од тогаш:

   Тогаш вториот корен припаѓа на потребниот интервал

   Одговор:

Како што гледате, изборот на корените на експоненцијалните равенки бара прилично длабоко познавање на својствата на логаритмите, затоа ве советувам да бидете максимално внимателни кога решавате експоненцијални равенки. Како што разбирате, во математиката сè е меѓусебно поврзано! Како што рече мојот професор по математика: „математиката, како и историјата, не може да се прочита преку ноќ“.

Како по правило, сите Тешкотијата во решавањето на задачите C1 е токму изборот на корените на равенката.Ајде да вежбаме со уште еден пример:

Јасно е дека самата равенка е решена прилично едноставно. Со правење замена, ја намалуваме нашата оригинална равенка на следново:

Прво да го погледнеме првиот корен. Да споредиме и: од тогаш. (својство на логаритамска функција, во). Тогаш е јасно дека првиот корен не припаѓа на нашиот интервал. Сега вториот корен: . Јасно е дека (бидејќи функцијата во се зголемува). Останува да се споредуваат и...

бидејќи, тогаш, во исто време. На овој начин можам да „возам колче“ помеѓу и. Овој колче е број. Првиот израз е помал, а вториот е поголем. Тогаш вториот израз е поголем од првиот и коренот му припаѓа на интервалот.

Одговор:.

Конечно, да погледнеме друг пример на равенка каде што замената е сосема нестандардна:

Ајде да започнеме веднаш со она што може да се направи, и што - во принцип, може да се направи, но подобро е да не се направи. Можете да замислите сè преку силите на три, два и шест. Каде води? Тоа нема да доведе до ништо: збрка од степени, од кои некои ќе биде доста тешко да се ослободите. Што е тогаш потребно? Да забележиме дека а што ќе ни даде ова? И фактот дека можеме да го намалиме решението на овој пример на решение на прилично едноставна експоненцијална равенка! Прво, да ја преработиме нашата равенка како:

Сега да ги поделиме двете страни на добиената равенка со:

Еурека! Сега можеме да замениме, добиваме:

Па, сега ти е редот да ги решиш демонстративните проблеми, а јас ќе им дадам само кратки коментари за да не се збуниш вистинскиот пат! Со среќа!

1. Најтешко! Многу е тешко да се види замена овде! Но, сепак, овој пример може целосно да се реши со користење истакнување на целосен квадрат. За да се реши, доволно е да се забележи дека:

Тогаш еве ја вашата замена:

(Ве молиме имајте предвид дека овде за време на нашата замена не можеме да го отфрлиме негативниот корен!!! Зошто мислите?)

Сега за да го решите примерот, треба да решите само две равенки:

И двете може да се решат со „стандардна замена“ (но втората во еден пример!)

2. Забележете го тоа и направете замена.

3. Разложете го бројот на сопрости фактори и поедноставете го добиениот израз.

4. Поделете го броителот и именителот на дропката со (или, ако сакате) и направете замена или.

5. Забележете дека броевите и се конјугирани.

ЕКСПОНЕНТАРНИ РАВЕНКИ. НАПРЕДНО НИВО

Покрај тоа, да погледнеме на друг начин - решавање на експоненцијални равенки со логаритам метод. Не можам да кажам дека решавањето експоненцијални равенки со помош на овој метод е многу популарно, но во некои случаи само тоа може да не доведе до правилна одлуканашата равенка. Особено често се користи за решавање на т.н. мешани равенки„: односно оние каде што се јавуваат функции од различни типови.

На пример, равенка од формата:

во општиот случај, може да се реши само со земање логаритми од двете страни (на пример, до основата), во кои оригиналната равенка ќе се претвори во следново:

Да го погледнеме следниот пример:

Јасно е дека според ОДЗ на логаритамската функција ние сме само заинтересирани. Сепак, ова не следи само од ODZ на логаритмот, туку и од една причина повеќе. Мислам дека нема да ви биде тешко да погодите која е.

Да го земеме логаритамот на двете страни на нашата равенка до основата:

Како што можете да видите, земајќи го логаритамот на нашата оригинална равенка брзо нè доведе до точниот (и убав!) одговор. Ајде да вежбаме со уште еден пример:

И тука нема ништо лошо: да го земеме логаритамот на двете страни на равенката до основата, па добиваме:

Ајде да направиме замена:

Сепак, нешто пропуштивме! Дали забележа каде згрешив? На крајот на краиштата, тогаш:

што не го задоволува условот (размислете од каде доаѓа!)

Одговор:

Обидете се да го запишете решението на експоненцијалните равенки подолу:

Сега споредете ја вашата одлука со ова:

1. Да ги логаритамизираме двете страни на основата, имајќи предвид дека:

(вториот корен не ни е погоден поради замена)

2. Логаритам до основата:

Дозволете ни да го трансформираме добиениот израз во следнава форма:

ЕКСПОНЕНТАРНИ РАВЕНКИ. КРАТОК ОПИС И ОСНОВНИ ФОРМУЛИ

Експоненцијална равенка

Равенка на формата:

повикани наједноставната експоненцијална равенка.

Својства на степени

Пристапи за решение

• Водејќи до иста основа
• Намалување на истиот експонент
• Замена на променлива
• Поедноставување на изразот и примена на едно од горенаведените.

Примери:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Како да се решат експоненцијални равенки

Кога решаваме која било експоненцијална равенка, се стремиме да ја доведеме во форма \(a^(f(x))=a^(g(x))\), а потоа да направиме премин кон еднаквост на експоненти, односно:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

На пример:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Важно! Од истата логика, следуваат две барања за таква транзиција:
- број во лево и десно треба да бидат исти;
- степените лево и десно мора да бидат „чисти“, односно да нема множење, делење итн.

На пример:

За да се намали равенката во форма \(a^(f(x))=a^(g(x))\) и се користат.

Пример . Решете ја експоненцијалната равенка \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Решение:

\(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Знаеме дека \(27 = 3^3\). Земајќи го ова предвид, ја трансформираме равенката.
\(\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Со својството на коренот \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) добиваме дека \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). Следно, користејќи го својството на степен \((a^b)^c=a^(bc)\), добиваме \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cточка 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Знаеме и дека \(a^b·a^c=a^(b+c)\). Применувајќи го ова на левата страна, добиваме: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Сега запомнете дека: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Оваа формула може да се користи и во задната страна: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Потоа \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\)		Применувајќи го својството \((a^b)^c=a^(bc)\) на десната страна, добиваме: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)		И сега нашите основи се изедначени и нема коефициенти за мешање итн. Така можеме да направиме транзиција.
		Пример . Решете ја експоненцијалната равенка \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Решение: \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Повторно го користиме својството моќ \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) во спротивна насока. \(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\) Сега запомнете дека \(4=2^2\). \((2^2)^x·(2^2)^(0,5)-5·2^x+2=0\) Користејќи ги својствата на степените, трансформираме: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0,5)=2^(2 0,5)=2^1=2.\) \(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\) Внимателно ја разгледуваме равенката и гледаме дека замената \(t=2^x\) се сугерира сама по себе. \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) Сепак, ги најдовме вредностите на \(t\), и ни треба \(x\). Се враќаме на X, правејќи обратна замена. \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) Втората равенка ја трансформираме користејќи го својството негативен степен… \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ...и ние одлучуваме до одговорот. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) Одговори : \(-1; 1\). Останува прашањето - како да се разбере кога да се користи кој метод? Ова доаѓа со искуство. Додека не го добиете, користете го општа препоракада решавате сложени проблеми - „ако не знаете што да правите, направете што можете“. Односно, побарајте како можете да ја трансформирате равенката во принцип и обидете се да го направите тоа - што ако што се случи? Главната работа е да се направат само математички базирани трансформации. Експоненцијални равенки без решенија Ајде да погледнеме уште две ситуации кои често ги збунуваат учениците: - позитивен број на моќта е еднаков на нула, на пример, \(2^x=0\); - позитивен број е еднаков на моќта на негативен број, на пример, \(2^x=-4\). Ајде да се обидеме да решиме со брутална сила. Ако x е позитивен број, тогаш како што x расте, целата моќност \(2^x\) само ќе се зголемува: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\). \(x=0\); \(2^0=1\) Исто така од страна на. Остануваат негативните X. Сеќавајќи се на својството \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), проверуваме: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) И покрај фактот дека бројот станува помал со секој чекор, тој никогаш нема да достигне нула. Така што негативниот степен не не спаси. Доаѓаме до логичен заклучок: Позитивен број до кој било степен ќе остане позитивен број. Така, двете равенки погоре немаат решенија. Експоненцијални равенки со различни основи Во пракса понекогаш се среќаваме со експоненцијални равенки со различни основи кои не се сведуваат една на друга, а во исто време со исти експоненти. Тие изгледаат вака: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), каде што \(a\) и \(b\) се позитивни броеви. На пример: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) Ваквите равенки лесно може да се решат со делење со која било од страните на равенката (обично поделена со десната страна, односно со \(b^(f(x))\). е позитивен на која било моќност (односно, не делиме со нула) Добиваме: \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) Пример . Решете ја експоненцијалната равенка \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Решение: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Овде нема да можеме да ја претвориме петката во три, или обратно (барем без користење). Ова значи дека не можеме да дојдеме до формата \(a^(f(x))=a^(g(x))\). Сепак, индикаторите се исти. Ајде да ја поделиме равенката со десната страна, односно со \(3^(x+7)\) (можеме да го направиме ова бидејќи знаеме дека три нема да бидат нула до ниеден степен). \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) Сега запомнете го својството \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) и употребете го од лево во спротивна насока. На десната страна, едноставно ја намалуваме дропот. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) Се чини дека работите не се подобрија. Но, запомнете уште едно својство на моќноста: \(a^0=1\), со други зборови: „било кој број со нулта моќ е еднаков на \(1\).“ Обратно е исто така точно: „еден може да се претстави како кој било број со нулта моќност“. Ајде да го искористиме ова со правење на основата на десната иста како и на левата страна. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) Voila! Ајде да се ослободиме од базите. Пишуваме одговор. Одговори : \(-7\). Понекогаш „источноста“ на експонентите не е очигледна, но вешто користењето на својствата на експонентите го решава ова прашање. Пример . Решете ја експоненцијалната равенка \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Решение: \(7^(2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Равенката изгледа многу тажно... Не само што основите не можат да се сведат на ист број (седум во никој случај нема да бидат еднакви на \(\frac(1)(3)\)), туку и експонентите се различни. .. Сепак, ајде да го користиме левиот показател. \(7^(2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Сеќавајќи се на својството \((a^b)^c=a^(b·c)\) , трансформираме од лево: \(7^(2(x-2))=7^(2·(x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\). \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Сега, сеќавајќи се на својството на негативен степен \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), ние се трансформираме од десно: \((\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) Алелуја! Индикаторите се исти! Постапувајќи според шемата што ни е веќе позната, решаваме пред одговорот. Одговори : \(2\).