Функцийн графикийн тойм зураг. Функцийн графикийн тойм (бутархай-квадрат функцийн жишээг ашиглан). Хувийн мэдээллийг хамгаалах

1. Функцийн графикийн бүдүүвчийг бүтээх арга зүй

2. №1 жишээний шийдэл

3. №2 жишээний шийдэл

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Гуравдагч этгээдэд мэдээллийг задруулах

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хүндэтгэх


Функцийн график зурах. . . . . . . . . . . .
1. График байгуулахдаа функцийг судлах төлөвлөгөө гарга. .
2. Функцийн судалгааны үндсэн ойлголт, үе шатууд. . . .
1. D f функц ба олонлогийн домайн
E f функцийн утгууд. Онцгой шинж чанарууд
функцууд. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Асимптотуудын судалгаа. . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Босоо асимптотууд. . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Ташуу (хэвтээ) асимптотууд. . . . . . .
2.3. Босоо бус асимптотуудыг судлах арга. .
2.4. Функцийн графикийн харьцангуй байрлал
ба түүний асимптотууд. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Функцийн графикийг зурах. . . . . . . . . .
4. Өсөх, буурах функцүүдийн хэсгүүд
Хамгийн бага ба дээд оноо. . . . . . . . . . . . . . .
5. Гүдгэр функц дээш доош
Гулзайлтын цэгүүд. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Функцийг ялгах, аналитик
илэрхийлэл нь модулийг агуулсан. . . . . . . . . . . . .
4. Судалгааны үр дүнд тавигдах үндсэн шаардлага
болон хуйвалдаан. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Функцийн судалгаа, бүтээн байгуулалтын жишээ
функцын графикууд. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Жишээ 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Жишээ 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Жишээ 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Жишээ 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Жишээ 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Жишээ 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Муруй зурах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.Муруйн судалгаа, барилгын ажлын төлөвлөгөө. . . . . . . . . .

2. Муруй судлалын үндсэн ойлголт, үе шатууд. . . . .
	x x t ба y y t функцүүдийн судалгаа. . . . . . .
	Судалгааны үр дүнгийн хэрэглээ x x t . .
2.1. Муруйн босоо асимптотууд. . . . . . . . . . .
2.2. Муруйн налуу (хэвтээ) асимптотууд. .
	Үр дүнгийн дүн шинжилгээ, ноорог зураг зурах
функциональ график. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Өсөх ба буурах муруйны хэсгүүд
Функцийн хамгийн бага ба дээд цэгүүд
x x y ба y y x , муруйн оройн цэгүүд. . . . . . .
	Гүдгэр функц дээш доош. Гулзайлтын цэгүүд. .
3. Параметрээр тодорхойлсон муруйг байгуулах. . . . . .
Жишээ 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Жишээ 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Жишээ 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Бие даасан шийдлийн асуудлууд. . . . . .
Хариултууд. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

График функцууд

1. График байгуулахдаа функцийг судлахаар төлөвлө

1. Функцийн тодорхойлолтын мужийг ол. Функцийн олон утгыг авч үзэх нь ихэвчлэн ашигтай байдаг. Функцийн тусгай шинж чанарыг судлах: тэгш, сондгой; үе үе, тэгш хэмийн шинж чанарууд.

2. Функцийн графикийн асимптотуудыг судлаарай: босоо, ташуу. Функцийн график ба түүний налуу (хэвтээ) асимптотуудын харьцангуй байрлалд дүн шинжилгээ хийнэ үү.

3. Графикийн ноорог зур.

4. Функцийн монотон байдлын талбаруудыг ол: нэмэгдэж, буурах. Функцийн экстремумыг ол: минимум ба максимум.

Функцийн деривативын тасархай цэгүүд болон функцийн тодорхойлолтын мужын хилийн цэгүүдэд (нэг талт дериватив байгаа бол) нэг талт деривативуудыг ол.

5. Функцийн гүдгэр интервал ба гулзайлтын цэгүүдийг ол.

2. Функцийн судалгааны үндсэн ойлголт, үе шатууд

1. Функцийн домэйн D f ба олон утгатай

E f функцийн . Тусгай функцийн шинж чанарууд

Функцийн тодорхойлолтын мужийг зааж, абсцисса тэнхлэг дээр хилийн цэгүүд болон цоорсон цэгүүдээр тэмдэглэж, эдгээр цэгүүдийн абсциссуудыг зааж өгнө. Функцийн тодорхойлолтын мужийг олох шаардлагагүй.

Олон функцийн утгыг олох шаардлагагүй. Графикийн ноорог зурах, судалгааны үр дүн, графикийн зөв байдлыг хянахад сөрөг бус байдал, доороос эсвэл дээрээс хязгаарлагдмал байдал гэх мэт олон утгын хялбар судлагдсан шинж чанаруудыг ашигладаг.

x дуртай

Тэгш функцийн график нь Oy ордны тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна. Сондгой функцийн график нь гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй байна. Тэгш ба сондгой функцуудыг тодорхойлолтын домэйны эерэг тал дээр шалгана.

Тогтмол функцийг нэг үе дээр судалдаг ба

Графикийг 2-3 үеээр харуулав.
2. Асимптотуудын судалгаа
2.1. Босоо асимптотууд
Тодорхойлолт 1.				x x0		дуудсан		босоо
функцийн графикийн асимптот				y f x,			дууссан бол
нөхцөлүүдийн нэг нь:			lim f x 1				lim f x.
			x x0 0				x x0 0
2.2. Ташуу (хэвтээ) асимптотууд

ноа) функцийн графикийн асимптот					y f x дээр x,
lim f x kx b 0 .
					x дээр
	асимптотын тодорхойлолт
клим		b lim f x kx . Харгалзах тооцоо


хязгаар, бид асимптот тэгшитгэлийг олж авна y kx b .
Үүнтэй төстэй мэдэгдэл нь тохиолдолд үнэн юм

Хэрэв k 0 бол асимптотыг ташуу гэж нэрлэдэг.
k 0 , дараа нь асимптот болно			y b -ийг хэвтээ гэж нэрлэдэг.
Налуу ба хэвтээ гэсэн ойлголтыг ижил төстэй байдлаар нэвтрүүлсэн.
y f x функцийн графикийн асимптотууд						x дээр.

2.3. Босоо бус асимптотуудыг судлах арга x ба төлөө асимптотуудыг судлах

дүрмийг тусад нь гүйцэтгэдэг.

1 Бид нэг тохиолдлыг биелүүлэхийн тулд тэмдгийг ашиглах болно

Зарим онцгой тохиолдолд x ба x цэгийн асимптотуудыг хамтран судлах боломжтой, жишээлбэл,

1) оновчтой функцууд;

2) Графикийн хувьд судалгааг тодорхойлолтын талбарт хийж болох тэгш ба сондгой функцууд.

Үндсэн хэсгийг сонгох арга.Асимптотыг олохын тулд функцийн үндсэн хэсгийг х дээр сонгоно. x-ийн хувьд ч мөн адил.

Бутархай рационал функцийн үндсэн хэсэгБутархай хэсгийг бүхэлд нь тодруулах замаар олоход тохиромжтой:

Жишээ 1. Функцийн графикийн ташуу асимптотуудыг ол

f x 2 x 3 x 2. x 1

f x 2 x 5					o 1 цагт	x , дараа нь шулуун

May y 2 x 5 нь хүссэн асимптот юм. ◄

Иррациональ функцийн гол хэсэгПрактик жишээг шийдвэрлэхдээ функцийг х-ийн Тейлорын томъёогоор илэрхийлэх аргуудыг олоход тохиромжтой.

Жишээ 2. Функцийн графикийн ташуу асимптотыг ол

x4 3 x 1

x дээр.

x 4 o1

x-ийн хувьд, дараа нь шулуун шугам		y x 4 нь хүссэн асимптот юм.

		үндэслэлгүй
		f x 3		олоход тохиромжтой
	ax2 bx c ба		ax3 bx2 cx d

радикал илэрхийлэлийн бүрэн дөрвөлжин эсвэл бүтэн шоо тус тус тусгаарлах аргыг хэрэглэнэ.

Жишээ 3. x ба x-ийн f x x 2 6 x 14 функцийн графикийн налуу асимптотуудыг ол.

Радикал илэрхийлэлд бид бүрэн квадратыг сонгоно

x 3 2

5 . Функцийн графикаас хойш

f x нь тэгш хэмтэй

шулуун шугамтай харьцуулахад x 3 ба

дараа нь f x ~

x дээр.

x 3 2 5

Тиймээс шулуун байна

y x 3 байна

x дээрх асимптот ба y 3 x шулуун шугам

Асимптот

x. ◄

Асимптотуудыг олохын тулд та үндсэн хэсгийг тусгаарлах аргыг ашиглаж болно.

Жишээ 4. f x 4 x 2 x 2 функцийн графикийн асимптотуудыг ол.

f x 2

Энэ бол функц юм

асимптоттой

y 2 x

ба асимптот

y 2 x

x .◄ үед

Трансцендент функцүүдийн хувьдХоёр аргыг хоёуланг нь хүлээн зөвшөөрөх боломжтой

практик жишээг шийдвэрлэхдээ асимптотуудыг дагаж мөрдөх.

Тайлбар 1. Асимптотуудыг судлахдаа иррациональ, трансцендент функцууд, ба аналитик илэрхийлэл нь модуль агуулсан функцууд, x ба x гэсэн хоёр тохиолдлыг авч үзэхийг зөвлөж байна. x ба x цэгийн асимптотуудыг хамтарсан судалгаа хийх нь судалгаанд алдаа гаргахад хүргэж болзошгүй. Х-ийн хязгаар буюу үндсэн хэсгийг олохдоо x t хувьсагчийг өөрчлөх шаардлагатай.

2.4. Функцийн график ба түүний асимптотуудын харьцангуй байрлал

a) Хэрэв y f x функц нь x дээр асимптоттой бол,

ялгах боломжтой бөгөөд x x 0 туяа дээр доошоо гүдгэр, дараа нь график

функцийн фик нь асимптотоос дээш байрладаг (Зураг 1.1).

b) Хэрэв y f x функц нь x дээр асимптоттой бол,

нь дифференциал бөгөөд x x 0 туяа дээр хатуу гүдгэр байна

функцийн график нь асимптотын доор байрладаг (Зураг 1.2).

в) Функцийн график нь асимптот руу чиглэдэг тул түүний зан үйлийн бусад тохиолдлууд байж болно. Жишээлбэл, функцийн график нь асимптотыг хязгааргүй олон удаа огтолж байх боломжтой (Зураг 1.3, 1.4).

Үүнтэй төстэй мэдэгдэл нь x-ийн хувьд үнэн юм.

Функцийн графикийн гүдгэр шинж чанарыг судлахын өмнө үндсэн хэсгийг тусгаарлах аргад функцийн график ба түүний асимптотуудын харьцангуй байрлалыг o 1 тэмдгээр тодорхойлж болно.

Жишээ 5. Графикийн харьцангуй байрлалыг тодорхойл

f x 2 x 2 3 x 2 функц ба түүний асимптотууд. x 1

x дээр 0 байвал функцийн график нь асимптотикийн доор байрлана

чи 2х5. ◄

Жишээ 6. Графикийн харьцангуй байрлалыг тодорхойл

f x функцууд

x4 3 x 1

ба түүний x-ийн асимптотууд.

x 2 1

Тэгш эрхээс

x нь функцийн график y x 4 асимптотын доор байна гэсэн үг. ◄

Жишээ 7. f x x 2 6 x 14 функцийн график ба асимптотуудын харьцангуй байрлалыг тодорхойл.

f x x 3 (жишээ 3-ыг үзнэ үү) тул

x 3 2 5 x 3

функцийн график нь x ба x дээр y x 3 асимптотын дээр байрладаг. ◄

Жишээ 8. Графикийн харьцангуй байрлалыг тодорхойл

f x 3 x 3 6 x 2 2 x 14 ба түүний асимптотууд.

x 3 6 x 2 гэж

2 x 14 x 2 3 14 x 6, дараа нь ашиглана

a x 2 3 14 x 6,

b x 2 3, бид f x x 2-ийг авна

14х6

3 x 2 3 14x 6 2

x 2 3

x 2 3 14x 6

x 2 2

ялгаа нь x дээр эерэг байна

ба x дээр сөрөг байна

Иймд x дээр функцийн график нь y x 2 асимптотын доор, x дээр y x 2 асимптотын дээр байрладаг.◄

Асимптотуудыг судлах хязгаарыг тооцоолох арга нь функцийн график ба түүний асимптотуудын харьцангуй байрлалыг тооцоолох боломжийг олгодоггүй.

3. Функцийн графикийг зурахГрафикийн ноорог зурах, босоо болон

налуу асимптотууд, функцийн графикийн тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүд. Функцийн график ба асимптотуудын харьцангуй байрлалыг харгалзан графикийн тойм зураглалыг байгуулна. Хэрэв функцийн график нь x цэгийн асимптотын дээр (доор) байгаа бол гэж үзвэл

x x 0 цэгүүдийн дунд гулзайлтын цэг байхгүй байх x 0 цэг байдаг.

функц нь доошоо (дээш) гүдгэр, өөрөөр хэлбэл асимптот руу чиглэсэн болохыг бид олж мэднэ. Үүний нэгэн адил босоо асимптот болон x цэгийн асимптотын хувьд гүдгэрийн чиглэлийг урьдчилан таамаглах боломжтой. Гэсэн хэдий ч дээрх жишээнээс харахад

функц y x sin 2 x , ийм таамаглал нь x байж болохгүй

4. Өсөх, буурах үйл ажиллагааны чиглэлүүд. Хамгийн бага ба дээд оноо

Тодорхойлолт 3.	f x функцийг дуудна	нэмэгдэх
a, b интервал дээр (буурах), хэрэв байгаа бол		x1 , x2 a, b ,
x 1 x 2 байхаар	тэгш бус байдал байна	f x1 f x2
(f x1 f x2 ).

a, b интервал дээр дифференциал болох f x функц

a, b интервал дээр хайлдаг (багасдаг), хэрэв зөвхөн бол

функц f x .

Экстремум үүсэх зайлшгүй нөхцөл. Хэрэв

Хуучин оноо

f x функцийн тремум, дараа нь энэ цэг дээр аль нэг

f x 0 0, эсвэл

дериватив байхгүй.

Экстремум үүсэх хангалттай нөхцөл.

f x дифференциал

1. Функц байхаар 0 байг

x 0 цэгийн цоорсон -хөршд цацраг туяа цацруулна

ба тасралтгүй

x 0 цэг дээр. Дараа нь,

a) хэрэв түүний дериватив өөрчлөлт нь хасах үед нэмэх тэмдэгтэй байвал

цэгээр ахих		x 0,

			x x 0 , x 0 , тэгвэл x 0 нь хамгийн их цэг юм
	дурын хувьд x 0
функцууд f x ;
	б) хэрэв түүний дериватив нь дахин нэмэх үед хасах тэмдэгтэй бол
цэгээр ахих		x 0,
			тэдгээр. f x 0 нь дурын x x 0 , x 0 ,
			x x 0 , x 0 , тэгвэл x 0 нь хамгийн бага цэг юм
	дурын хувьд x 0

функцууд f x .

Загварын жишээнд y x (Зураг 2.1) болон

Таны хувийн нууцыг хадгалах нь бидний хувьд чухал юм. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын практикийг хянаж үзээд асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.

Та бидэнтэй холбоо барихдаа хүссэн үедээ хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.

Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг вэ:

Таныг сайт дээр өргөдөл гаргах үед бид таны нэр, утасны дугаар, имэйл хаяг гэх мэт янз бүрийн мэдээллийг цуглуулж болно.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

Бидний цуглуулсан хувийн мэдээлэл нь өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар тантай холбогдох боломжийг олгодог.
Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээж болно.
Мөн бид үзүүлж буй үйлчилгээгээ сайжруулах, танд үйлчилгээнийхээ талаар зөвлөмж өгөх зорилгоор аудит хийх, мэдээллийн дүн шинжилгээ хийх, төрөл бүрийн судалгаа хийх зэрэг хувийн мэдээллийг дотоод зорилгоор ашиглаж болно.
Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгаанд оролцсон бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

Шаардлагатай бол - хууль тогтоомжийн дагуу, шүүхийн журмаар, шүүхийн журмаар, ба/эсвэл ОХУ-ын нутаг дэвсгэр дэх төрийн байгууллагуудын хүсэлт, хүсэлтийн үндсэн дээр хувийн мэдээллээ задруулах. Хэрэв бид аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтийн ач холбогдолтой зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой.
Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх, худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох өв залгамжлагч гуравдагч этгээдэд шилжүүлж болно.

Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.

Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын стандартыг ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.

Энэ хичээлээр бид функцийн графикийн ноорог зурах арга техникийг авч үзэж, тайлбар жишээ өгөх болно.

Сэдэв: Давталт

Хичээл: Функцийн графикийг зурах (бутархай-квадрат функцийн жишээг ашиглан)

Бидний зорилго бол бутархай квадрат функцийн графикийг зурах явдал юм. Жишээлбэл, бидний аль хэдийн мэддэг функцийг авч үзье:

Бутархай функц өгөгдсөн бөгөөд түүний хуваагч ба хуваагч нь квадрат функцийг агуулна.

Зургийн техник нь дараах байдалтай байна.

1. Тогтмол тэмдгийн интервалуудыг сонгож, тус бүр дээрх функцийн тэмдгийг тодорхойл (Зураг 1)

Бид нарийвчлан судалж үзээд ODZ-д үргэлжилсэн функц нь аргумент нь ODZ-ийн үндэс ба таслах цэгээр дамжих үед л тэмдгийг өөрчилж болохыг олж мэдсэн.

Өгөгдсөн y функц нь ODZ-дээ тасралтгүй байх ба ODZ-ийг заая:

Үндэсийг нь олцгооё:

Тэмдгийн тогтмол байдлын интервалуудыг тодруулцгаая. Бид функцын үндэс ба тодорхойлолтын домэйны тасрах цэгүүдийг олсон - хуваагчийн үндэс. Интервал бүрийн дотор функц нь тэмдэгээ хадгалдаг гэдгийг анхаарах нь чухал.

Цагаан будаа. 1. Функцийн тогтмол тэмдгийн интервалууд

Интервал бүр дээр функцийн тэмдгийг тодорхойлохын тулд интервалд хамаарах дурын цэгийг авч, функцэд орлуулж, тэмдгийг тодорхойлж болно. Жишээлбэл:

Интервал дээр функц нь нэмэх тэмдэгтэй байна

Интервал дээр функц нь хасах тэмдэгтэй байна.

Энэ бол интервалын аргын давуу тал юм: бид нэг туршилтын цэг дээр тэмдгийг тодорхойлж, бүх сонгосон интервал дээр функц ижил тэмдэгтэй байна гэж дүгнэдэг.

Гэсэн хэдий ч та функцийн утгыг тооцоолохгүйгээр тэмдгүүдийг автоматаар тохируулах боломжтой бөгөөд үүнийг хийхийн тулд тэмдгийг хамгийн их интервалаар тодорхойлж, дараа нь тэмдгүүдийг сольж болно.

1. Үндэс бүрийн ойролцоо график байгуулъя. Энэ функцийн үндэс ба:

Цагаан будаа. 2. Үндэсний ойролцоох график

Нэг цэг дээр функцийн тэмдэг нэмэхээс хасах хүртэл өөрчлөгддөг тул муруй нь эхлээд тэнхлэгээс дээш, дараа нь тэгээр дамжин өнгөрч, дараа нь x тэнхлэгийн доор байрлана. Тухайн үед эсрэгээрээ.

2. ODZ тасалдал бүрийн ойролцоо график байгуулъя. Энэ функцийн хуваагчийн үндэс ба:

Цагаан будаа. 3. ОДЗ-ийн тасалдалтай цэгүүдийн ойролцоох функцын график

Бутархайн хуваагч буюу хуваагч нь бараг тэгтэй тэнцүү байх үед аргументийн утга эдгээр тоонууд руу чиглэх үед бутархайн утга нь хязгааргүй байх хандлагатай байна гэсэн үг юм. Энэ тохиолдолд аргумент зүүн талын гурвалсанд ойртох үед функц эерэг бөгөөд нэмэх хязгааргүй байх хандлагатай, баруун талд функц нь сөрөг бөгөөд хасах хязгаараас давж гардаг. Ойролцоогоор дөрөв орчим, эсрэгээр, зүүн талд функц нь хасах хязгааргүй байх хандлагатай байдаг бөгөөд баруун талд нь хязгааргүй дээр нэмдэг.

Бүтээсэн ноорог зургийн дагуу бид зарим интервал дахь функцийн зан байдлын мөн чанарыг таах боломжтой.

Цагаан будаа. 4. Функцийн графикийн тойм зураг

Дараах чухал даалгаврыг авч үзье - хязгааргүй цэгүүдийн ойролцоо функцийн графикийг зурах, өөрөөр хэлбэл аргумент нь нэмэх эсвэл хасах хязгааргүй байх хандлагатай байх үед. Энэ тохиолдолд байнгын нэр томъёог үл тоомсорлож болно. Бидэнд байгаа:

Заримдаа та энэ баримтын бичлэгийг олж болно:

Цагаан будаа. 5. Хязгааргүй цэгүүдийн ойролцоох функцийн графикийн тойм зураг

Бид функцийн тодорхойлолтын бүх домэйн дээрх ойролцоо төлөвийг олж авсан; дараа нь бид дериватив ашиглан бүтцийг сайжруулах хэрэгтэй.

Жишээ 1 - функцийн графикийг зурах:

Аргумент дамжих үед функц нь тэмдгийг өөрчлөх гурван цэг бидэнд бий.

Бид интервал бүр дээр функцийн тэмдгүүдийг тодорхойлно. Бид туйлын баруун интервал дээр нэмэх, дараа нь бүх үндэс нь эхний зэрэгтэй байдаг тул тэмдэг ээлжлэн байна.

Бид ODZ-ийн үндэс ба хугарлын цэгүүдийн ойролцоо графикийн ноорог зурдаг. Бидэнд: нэг цэг дээр функцийн тэмдэг нэмэхээс хасах хүртэл өөрчлөгддөг тул муруй нь эхлээд тэнхлэгээс дээш, дараа нь тэгээр дамжин өнгөрч, дараа нь x тэнхлэгийн доор байрлана. Бутархайн хуваагч буюу хуваагч нь бараг тэгтэй тэнцүү байх үед аргументийн утга эдгээр тоонууд руу чиглэх үед бутархайн утга нь хязгааргүй байх хандлагатай байна гэсэн үг юм. Энэ тохиолдолд аргумент зүүн талд хоёрыг хасвал функц нь сөрөг бөгөөд хасах хязгааргүй байх хандлагатай, баруун талд функц эерэг бөгөөд төгсгөлгүй дээр нэмэх нь үлдээдэг. Хоёр орчим нь адилхан.

Функцийн деривативыг олъё:

Мэдээжийн хэрэг, дериватив нь үргэлж тэгээс бага байдаг тул функц нь бүх хэсэгт буурдаг. Тиймээс хасах хязгаараас хасах хоёр хүртэлх хэсэгт функц тэгээс хасах төгсгөл хүртэл буурдаг; хасах хоёроос тэг хүртэлх хэсэгт функц нь нэмэх хязгаараас тэг хүртэл буурдаг; тэгээс хоёр хүртэлх хэсэгт функц нь тэгээс хасах хязгаар хүртэл буурдаг; хоёроос нэмэх хязгаар хүртэлх хэсэгт функц нь нэмэх хязгаараас тэг хүртэл буурдаг.

Дүрслэн үзүүлье:

Цагаан будаа. 6. Функцийн графикийн тойм зураг, жишээ нь 1

x дээр, дараа нь гр-

y 2 x 5. Учир нь

fic функцууд худлаа

асимптотоос дээш

Жишээ 2 - функцийн графикийг зурах:

Бид дериватив ашиглахгүйгээр функцийн графикийн ноорог зурдаг.

Эхлээд өгөгдсөн функцийг авч үзье.

Аргумент дамжих үед функц тэмдэгээ өөрчлөх боломжтой ганц цэг бидэнд бий.

Өгөгдсөн функц нь сондгой гэдгийг анхаарна уу.

Бид интервал бүр дээр функцийн тэмдгүүдийг тодорхойлно. Бид туйлын баруун интервал дээр нэмэх нь байна, дараа нь тэмдэг өөрчлөгддөг, үндэс нь нэгдүгээр зэрэгтэй байна.

Бид язгуурын ойролцоо графикийн ноорог зурдаг. Бидэнд: нэг цэг дээр функцийн тэмдэг нь хасахаас нэмэх хүртэл өөрчлөгддөг тул муруй нь эхлээд тэнхлэгийн доор, дараа нь тэгээр дамжин өнгөрч, дараа нь x тэнхлэгийн дээгүүр байрлана.

Одоо бид хязгааргүй цэгүүдийн ойролцоо, өөрөөр хэлбэл аргумент нь нэмэх эсвэл хасах хязгааргүй байх хандлагатай үед функцийн графикийн ноорог зурж байна. Энэ тохиолдолд байнгын нэр томъёог үл тоомсорлож болно. Бидэнд байгаа:

Дээрх алхмуудыг хийсний дараа бид функцийн графикийг аль хэдийн төсөөлж байгаа боловч дериватив ашиглан үүнийг тодруулах хэрэгтэй.

“Үүүсмэл бодлого” - ?f(x) = f(x) - f(x0). x0 x0+?x. Агшин зуурын хурдыг та хэрхэн төсөөлж байна вэ? Агшин зуурын хурдны асуудал. y. Агшин зуурын хурдыг та хэрхэн төсөөлж байна вэ? ?X=x-x0. Хэлсэн зүйлээ маягт дээр нь бичсэн байгаа. Эхлээд бид судалгааныхаа "нутаг дэвсгэрийг" тодорхойлсон. A l g o r i t m. Хурд v аажмаар нэмэгддэг.

"Үүсмэл функцийн судалгаа" - Их буу нь тэнгэрийн хаяанд чиглэсэн өнцгөөр буудаж байна. Сонголт 1 A B D Хувилбар 2 G B B. Хотын боловсролын байгууллага Мешковская дунд сургуулийн математикийн багш Ковалева Т.В. Функц нь [-4;4] сегмент дээр тодорхойлогддог. Дериватив ба функц ямар холбоотой вэ? Хариултууд: ФУНКЦИЙН СУДАЛГААНД ҮҮСГЭЛИЙГ ХЭРЭГЛЭХ НЬ: нэмэгдэх ба буурах функцууд. ДААЛГАВАР Барон Мюнхаузены тухай түүхийг санаж байна уу?

"Цогц функцийн дериватив" - Цогц функц. Нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг олох дүрэм. Энгийн функцийн дериватив. Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив. Нарийн төвөгтэй функц: Жишээ нь:

“Үүсмэлийг функцийн судалгаанд хэрэглэх нь” - 6. -1. 8. Функцийн деривативын графикийг ашиглан функцийн критик цэгүүдийг тодорхойл. 1. =. 1646 оны 7-р сарын 1 - 1716 оны 11-р сарын 14, бие халаалт. Өсөх, буурах функцүүдийн шинж тэмдэг. Функцийн деривативын тэмдгийг интервалаар тодорхойлно.

“Цогц функцийн деривативын тухай хичээл” - Цогц функцийн дериватив. Цэгийн хурдыг тооцоол: a) t үед; б) t=2 s агшинд. Функцийн деривативыг ол: , Хэрэв. Брук Тэйлор. Функцийн дифференциалыг ол: x-ийн ямар утгуудад тэгш байдал биелнэ. Цэг нь s(t) = s(t) = (s нь метрээр зам, t нь секундээр цаг хугацаа) хуулийн дагуу шулуун шугамаар хөдөлдөг.

“ Деривативын тодорхойлолт” - 1. Баталгаажуулах: f(x+ ?x). u(x), v(x) ба w(x) нь зарим интервалд (a; b) дифференциалагдах функц байг, C нь тогтмол. f(x). Өнцгийн коэффициент бүхий шулуун шугамын тэгшитгэл: Ньютоны бином томъёог ашиглан бид: Теорем. Дараа нь: Комплекс функцийн дериватив.

Нийт 31 илтгэл байна

Энэ хичээлээр бид функцийн графикийн ноорог зурах арга техникийг авч үзэж, тайлбар жишээ өгөх болно.

Сэдэв: Давталт

Хичээл: Функцийн графикийг зурах (бутархай-квадрат функцийн жишээг ашиглан)

Бутархай функц өгөгдсөн бөгөөд түүний хуваагч ба хуваагч нь квадрат функцийг агуулна.

Зургийн техник нь дараах байдалтай байна.

1. Тогтмол тэмдгийн интервалуудыг сонгож, тус бүр дээрх функцийн тэмдгийг тодорхойл (Зураг 1)

Өгөгдсөн y функц нь ODZ-дээ тасралтгүй байх ба ODZ-ийг заая:

Үндэсийг нь олцгооё:

Цагаан будаа. 1. Функцийн тогтмол тэмдгийн интервалууд

Интервал дээр функц нь нэмэх тэмдэгтэй байна

Интервал дээр функц нь хасах тэмдэгтэй байна.

1. Үндэс бүрийн ойролцоо график байгуулъя. Энэ функцийн үндэс ба:

Цагаан будаа. 2. Үндэсний ойролцоох график

2. ODZ тасалдал бүрийн ойролцоо график байгуулъя. Энэ функцийн хуваагчийн үндэс ба:

Цагаан будаа. 3. ОДЗ-ийн тасалдалтай цэгүүдийн ойролцоох функцын график

Бүтээсэн ноорог зургийн дагуу бид зарим интервал дахь функцийн зан байдлын мөн чанарыг таах боломжтой.

Цагаан будаа. 4. Функцийн графикийн тойм зураг

Дараах чухал ажлыг авч үзье - хязгааргүй цэгүүдийн ойролцоо функцийн графикийн ноорог зурах, жишээлбэл. аргумент нэмэх эсвэл хасах хязгааргүй байх хандлагатай үед. Энэ тохиолдолд байнгын нэр томъёог үл тоомсорлож болно. Бидэнд байгаа:

Заримдаа та энэ баримтын бичлэгийг олж болно:

Цагаан будаа. 5. Хязгааргүй цэгүүдийн ойролцоох функцийн графикийн тойм зураг

Жишээ 1 - функцийн графикийг зурах:

Аргумент дамжих үед функц нь тэмдгийг өөрчлөх гурван цэг бидэнд бий.

Функцийн деривативыг олъё:

Дүрслэн үзүүлье:

Цагаан будаа. 6. Функцийн графикийн тойм зураг, жишээ нь 1

Жишээ 2 - функцийн графикийг зурах:

Бид дериватив ашиглахгүйгээр функцийн графикийн ноорог зурдаг.

Эхлээд өгөгдсөн функцийг авч үзье.

Аргумент дамжих үед функц тэмдэгээ өөрчлөх боломжтой ганц цэг бидэнд бий.

Өгөгдсөн функц нь сондгой гэдгийг анхаарна уу.

Одоо бид хязгааргүй цэгүүдийн ойролцоо функцийн графикийн ноорог зурж байна, өөрөөр хэлбэл. аргумент нэмэх эсвэл хасах хязгааргүй байх хандлагатай үед. Энэ тохиолдолд байнгын нэр томъёог үл тоомсорлож болно. Бидэнд байгаа:

Функцийн деривативыг олъё:

Бид деривативын тогтмол тэмдгийн интервалуудыг сонгоно: at. ODZ энд байна. Тиймээс бид деривативын тогтмол тэмдгийн гурван интервал ба анхны функцийн монотон байдлын гурван хэсэгтэй байна. Интервал бүр дээр деривативын шинж тэмдгийг тодорхойлъё. Хэзээ дериватив нь эерэг, функц нь нэмэгддэг; дериватив сөрөг байвал функц буурч байна. Энэ тохиолдолд - хамгийн бага цэг, учир нь дериватив тэмдэг нь хасахаас нэмэх хүртэл өөрчлөгддөг; эсрэгээр, хамгийн дээд цэг.