Redukcija kvadratne enačbe. Kvadratne enačbe v starem Babilonu. Formula za korenine kvadratne enačbe

Pretvorba popolne kvadratne enačbe v nepopolno izgleda tako (za primer \(b=0\)):

Za primere, ko \(c=0\) ali ko sta oba koeficienta enaka nič, je vse podobno.

Upoštevajte, da ni govora o tem, da je \(a\) enak nič; ne more biti enak nič, ker se bo v tem primeru spremenil v:

Reševanje nepopolnih kvadratnih enačb.

Najprej morate razumeti, da je nepopolna kvadratna enačba še vedno , zato jo je mogoče rešiti na enak način kot navadno kvadratno enačbo (prek ). Da bi to naredili, preprosto dodamo manjkajočo komponento enačbe z ničelnim koeficientom.

Primer : Poiščite korenine enačbe \(3x^2-27=0\)
rešitev :

		Imamo nepopolno kvadratno enačbo s koeficientom \(b=0\). To pomeni, da lahko enačbo zapišemo takole:
\(3x^2+0\cdot x-27=0\)		Pravzaprav je to enaka enačba kot na začetku, vendar jo je zdaj mogoče rešiti kot navadno kvadratno. Najprej zapišemo koeficiente.
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		Izračunajmo diskriminanco s formulo \(D=b^2-4ac\)
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		Poiščimo korenine enačbe s pomočjo formul \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) in \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) )(2a)\)
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)		Zapiši odgovor

Odgovori : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)

Primer : Poiščite korenine enačbe \(-x^2+x=0\)
rešitev :

		Spet nepopolna kvadratna enačba, vendar je zdaj koeficient \(c\) enak nič. Enačbo zapišemo kot popolno.

V tem članku si bomo ogledali reševanje nepopolnih kvadratnih enačb.

Najprej pa ponovimo, katere enačbe imenujemo kvadratne. Enačba oblike ax 2 + bx + c = 0, kjer je x spremenljivka, koeficienti a, b in c pa so nekatera števila, a ≠ 0, se imenuje kvadrat. Kot vidimo, koeficient za x 2 ni enak nič, zato so koeficienti za x ali prosti člen lahko enaki nič, v tem primeru dobimo nepopolno kvadratno enačbo.

Obstajajo tri vrste nepopolnih kvadratnih enačb:

1) Če je b = 0, c ≠ 0, potem je ax 2 + c = 0;

2) Če je b ≠ 0, c = 0, potem je ax 2 + bx = 0;

3) Če je b = 0, c = 0, potem je ax 2 = 0.

Ugotovimo, kako rešiti enačbe oblike ax 2 + c = 0.

Za rešitev enačbe premaknemo prosti člen c na desno stran enačbe, dobimo

sekira 2 = ‒s. Ker je a ≠ 0, delimo obe strani enačbe z a, potem je x 2 = ‒c/a.

Če je ‒с/а > 0, ima enačba dva korena

x = ±√(–c/a) .

Če ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Poskusimo s primeri razumeti, kako rešiti takšne enačbe.

Primer 1. Rešite enačbo 2x 2 ‒ 32 = 0.

Odgovor: x 1 = - 4, x 2 = 4.

Primer 2. Rešite enačbo 2x 2 + 8 = 0.

Odgovor: enačba nima rešitev.

Ugotovimo, kako to rešiti enačbe oblike ax 2 + bx = 0.

Za rešitev enačbe ax 2 + bx = 0 jo faktorizirajmo, to pomeni, da x vzamemo iz oklepajev, dobimo x(ax + b) = 0. Produkt je enak nič, če je vsaj eden od faktorjev enak na nič. Potem je x = 0 ali ax + b = 0. Če rešimo enačbo ax + b = 0, dobimo ax = - b, od koder je x = - b/a. Enačba oblike ax 2 + bx = 0 ima vedno dva korena x 1 = 0 in x 2 = ‒ b/a. Poglejte, kako je videti rešitev tovrstnih enačb na diagramu.

Utrdimo svoje znanje s konkretnim primerom.

Primer 3. Rešite enačbo 3x 2 ‒ 12x = 0.

x(3x ‒ 12) = 0

x= 0 ali 3x – 12 = 0

Odgovor: x 1 = 0, x 2 = 4.

Enačbe tretje vrste ax 2 = 0 se rešujejo zelo preprosto.

Če je ax 2 = 0, potem je x 2 = 0. Enačba ima dva enaka korena x 1 = 0, x 2 = 0.

Za jasnost si oglejmo diagram.

Prepričajmo se pri reševanju primera 4, da je tovrstne enačbe mogoče rešiti zelo preprosto.

Primer 4. Rešite enačbo 7x 2 = 0.

Odgovor: x 1, 2 = 0.

Ni vedno takoj jasno, kakšno vrsto nepopolne kvadratne enačbe moramo rešiti. Razmislite o naslednjem primeru.

Primer 5. Reši enačbo

Pomnožimo obe strani enačbe s skupnim imenovalcem, to je s 30

Odrežimo ga

5(5x 2 + 9) – 6(4x 2 – 9) = 90.

Odprimo oklepaje

25x 2 + 45 – 24x 2 + 54 = 90.

Dajmo podobno

Premaknimo 99 z leve strani enačbe na desno in spremenimo predznak v nasprotno

Odgovor: brez korenin.

Ogledali smo si, kako se rešujejo nepopolne kvadratne enačbe. Upam, da zdaj ne boste imeli težav s takimi nalogami. Bodite previdni pri določanju vrste nepopolne kvadratne enačbe, potem vam bo uspelo.

Če imate vprašanja na to temo, bomo težave rešili skupaj.

blog.site, pri celotnem ali delnem kopiranju gradiva je obvezna povezava do izvirnega vira.

Enačba postane:

Rešimo jo v splošni pogled:

Komentiraj: enačba bo imela korenine le, če , drugačese izkaže, da kvadrat

enako negativno število, ampak to je nemogoče.

odgovor:

primer:

odgovor:

Zadnji prehod je bil narejen, ker je neracionalnost v imenovalcu izjemno redko.

2. Prosti termin je nič(c=0).

Enačba postane:

Rešimo ga v splošni obliki:

Za rešitve dano kvadratne enačbe, tj. če koeficient

a= 1:

x 2 +bx+c=0,

potem je x 1 x 2 =c

x 1 + x 2 = −b

Za popolno kvadratno enačbo, v kateri a≠1:

x 2 +bx+c=0,

celotno enačbo delite z A:

→ →

Kje x 1 in x 2 - korenine enačbe.

Sprejem tretji. Če ima vaša enačba delne koeficiente, se jih znebiteulomki! Pomnožite

enačba na skupni imenovalec.

Zaključek. Praktični nasveti:

1. Kvadratno enačbo pred reševanjem spravimo v standardno obliko in jo sestavimo Prav.

2. Če je pred X na kvadrat negativen koeficient, ga odstranite množenje

celotno enačbo za -1.

3. Če so koeficienti ulomki, ulomke izločimo tako, da celotno enačbo pomnožimo zustrezna

dejavnik.

4. Če je x na kvadrat čist, je njegov koeficient enak ena, je rešitev zlahka preverite pri

Kvadratne enačbeŠtudirajo ga v 8. razredu, tako da tukaj ni nič zapletenega. Sposobnost njihovega reševanja je nujno potrebna.

je enačba oblike ax 2 + bx + c = 0, kjer so koeficienti a, b in c poljubna števila, a ≠ 0.

Preden preučite posebne metode reševanja, upoštevajte, da lahko vse kvadratne enačbe razdelimo v tri razrede:

Nimajo korenin;
Imeti natanko en koren;
Imajo dve različni korenini.

To je pomembna razlika med kvadratnimi in linearnimi enačbami, kjer koren vedno obstaja in je edinstven. Kako ugotoviti, koliko korenin ima enačba? Za to obstaja čudovita stvar - diskriminator.

Diskriminator

Naj bo podana kvadratna enačba ax 2 + bx + c = 0. Potem je to preprosto število D = b 2 − 4ac.

To formulo morate znati na pamet. Od kod prihaja, zdaj ni pomembno. Še ena stvar je pomembna: s predznakom diskriminante lahko določite, koliko korenin ima kvadratna enačba. namreč:

Če D< 0, корней нет;
Če je D = 0, obstaja natanko en koren;
Če je D > 0, bosta korena dva.

Upoštevajte: diskriminant označuje število korenin in ne sploh njihovih znakov, kot iz neznanega razloga mnogi verjamejo. Oglejte si primere in vse vam bo jasno:

Naloga. Koliko korenin ima kvadratna enačba:

x 2 − 8x + 12 = 0;

5x 2 + 3x + 7 = 0;

x 2 − 6x + 9 = 0.

Zapišimo koeficiente prve enačbe in poiščimo diskriminanco:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Torej je diskriminant pozitiven, zato ima enačba dva različna korena. Drugo enačbo analiziramo na podoben način:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Diskriminanta je negativna, korenin ni. Zadnja enačba, ki ostane, je:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant je nič - koren bo ena.

Upoštevajte, da so koeficienti zapisani za vsako enačbo. Da, dolgo je, da, dolgočasno je, vendar ne boste mešali možnosti in delali neumnih napak. Izberite sami: hitrost ali kakovost.

Mimogrede, če se tega naučite, vam čez nekaj časa ne bo več treba zapisovati vseh koeficientov. Takšne operacije boste izvajali v svoji glavi. Večina ljudi začne to delati nekje po 50-70 rešenih enačbah - na splošno ne tako veliko.

Korenine kvadratne enačbe

Zdaj pa preidimo na samo rešitev. Če je diskriminant D > 0, je mogoče korene najti po formulah:

Ko je D = 0, lahko uporabite katero koli od teh formul - dobili boste isto številko, ki bo odgovor. Končno, če D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

Rešite kvadratne enačbe:

x 2 − 2x − 3 = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 12x + 36 = 0.

Prva enačba:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ enačba ima dva korena. Poiščimo jih:

Druga enačba:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ ima enačba spet dva korena. Poiščimo jih

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \levo(-1 \desno))=3. \\ \end(align)\]

Na koncu še tretja enačba:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ enačba ima en koren. Uporabi se lahko katera koli formula. Na primer, prvi:

Kot lahko vidite iz primerov, je vse zelo preprosto. Če poznate formule in znate računati, ne bo težav. Najpogosteje pride do napak pri zamenjavi negativnih koeficientov v formulo. Tudi tukaj vam bo pomagala zgoraj opisana tehnika: poglejte formulo dobesedno, zapišite si vsak korak - in zelo kmalu se boste znebili napak.

Nepopolne kvadratne enačbe

Zgodi se, da je kvadratna enačba nekoliko drugačna od tiste, ki je navedena v definiciji. Na primer:

x 2 + 9x = 0;
x 2 − 16 = 0.

Zlahka opazimo, da v teh enačbah manjka eden od členov. Takšne kvadratne enačbe je še lažje rešiti kot standardne: ne zahtevajo niti izračuna diskriminante. Torej, predstavimo nov koncept:

Enačba ax 2 + bx + c = 0 se imenuje, če je b = 0 ali c = 0, tj. koeficient spremenljivke x ali prostega elementa je enak nič.

Seveda je možen zelo težek primer, ko sta oba koeficienta enaka nič: b = c = 0. V tem primeru ima enačba obliko ax 2 = 0. Očitno ima takšna enačba en sam koren: x = 0.

Razmislimo o preostalih primerih. Naj bo b = 0, potem dobimo nepopolno kvadratno enačbo oblike ax 2 + c = 0. Malo jo preoblikujemo:

Od aritmetike Kvadratni koren obstaja le iz nenegativnega števila, zadnja enakost je smiselna samo za (−c/a) ≥ 0. Sklep:

Če je v nepopolni kvadratni enačbi oblike ax 2 + c = 0 izpolnjena neenakost (−c/a) ≥ 0, bosta korena dva. Formula je navedena zgoraj;
Če (-c/a)< 0, корней нет.

Kot lahko vidite, diskriminanta ni bila potrebna - v nepopolnih kvadratnih enačbah sploh ni zapletenih izračunov. Pravzaprav se sploh ni treba spomniti neenakosti (−c/a) ≥ 0.

Reševanje nepopolnih kvadratnih enačb.

Dovolj je izraziti vrednost x 2 in videti, kaj je na drugi strani enačaja. Če obstaja pozitivno število, bosta korena dva. Če je negativen, korenin sploh ne bo.

Zdaj pa poglejmo enačbe oblike ax 2 + bx = 0, v katerih je prosti element enak nič. Tukaj je vse preprosto: vedno bosta dve korenini. Dovolj je faktorizirati polinom:

Produkt je enak nič, ko je vsaj eden od faktorjev enak nič. Od tod izvirajo korenine. Za zaključek si poglejmo nekaj teh enačb:

Naloga. Rešite kvadratne enačbe:

x 2 − 7x = 0;

5x 2 + 30 = 0;

4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Ni korenin, saj kvadrat ne more biti enak negativnemu številu.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

Poglej tudi:

Kvadratna enačba je ax 2 + bx + c = 0.

Nepopolne kvadratne enačbe so enačbe treh vrst:

ax 2 + bx = 0, ko je koeficient c = 0.
ax 2 + c = 0, ko je koeficient b = 0.
ax 2 = 0, ko sta b in c enaka 0.

Koeficient a po definiciji kvadratne enačbe ne more biti enak nič.

Nepopolne kvadratne enačbe je lažje rešiti kot popolne kvadratne enačbe. Metode reševanja se razlikujejo glede na vrsto nepopolne kvadratne enačbe.

Najlažji način za reševanje enačb je ax 2 = 0. Če a po definiciji kvadratne enačbe ne more biti enak nič, potem je očitno, da je lahko samo x 2 in torej sam x enak nič. Enačbe te vrste imajo vedno en koren, ta je enak 0.

Nepopolne kvadratne enačbe. Reševanje nepopolnih kvadratnih enačb

Na primer:

–3x 2 = 0
x 2 = 0/–3
x 2 = 0
x = √0
x = 0

Enačbe oblike ax 2 + c = 0 pretvorimo v obliko ax 2 = –c in rešujemo podobno kot prejšnjo. Vendar obstajata dve korenini ali več kot ena.

sekira 2 + c = 0
sekira 2 = –c
x 2 = –c/a
x = √(–c/a)

Tukaj, če je radikalni izraz negativen, potem enačba nima korenin. Če je pozitiven, bosta dva korena: √(–c/a) in –√(–c/a). Primer reševanja takšne enačbe:

4x 2 – 16 = 0
4x2 = 16
x 2 = 16/4
x 2 = 4
x = √4
x 1 = 2; x 2 = –2

Nepopolne kvadratne enačbe oblike ax 2 + bx = 0 rešujemo tako, da skupni faktor vzamemo iz oklepaja. V tem primeru je x. Nastala enačba je x(ax + b) = 0. Ta enačba ima dva korena: ali x = 0 ali ax + b = 0. Če rešimo drugo enačbo, dobimo x = –b/a. Tako imajo enačbe oblike ax 2 + bx = 0 dva korena: x 1 = 0, x 2 = –b/a. Primer reševanja takšne enačbe:

3x 2 – 10x = 0
x(3x – 10) = 0
x 1 = 0; x 2 = 10/3 = 3,(33)

Iskanje korenin kvadratne enačbe 8. razred

Formula
Korenine kvadratne enačbe ax 2 + bx + c = 0 lahko najdete z
formula: , Kje — diskriminator

kvadratna enačba.

Obstajajo tri možna pravila:

1. pravilo
1. D > 0.

8.2.1. Reševanje nepopolnih kvadratnih enačb

Potem ima enačba 2 različna korena:

Primer
2x 2 + 7x – 4 = 0;

a = 2, b = 7, c = -4.

D = 7 2 - 4 2 (- 4) = 81 > 0,

x 1 = -7 — ? 81 2 2 = — 4;

x 2 = -7 + ? 81 2 2 = 1 2 .

2. pravilo
2. D = 0. Potem ima enačba edini korenina.

Primer
x 2 – 4x + 4 = 0.

D = (-4) 2 — 4 1 4 = 0, x = — -4 2 1 = 2.

Upoštevajte, da je x 2 – 4x + 4 = 0 x = 2.

3. pravilo
3. D

Primer
3x 2 - x + 7 = 0.

D = (-1) 2 - 4 3 7 = -83

S sodim drugim koeficientom

Pravilo, formule
Če je b = 2k, se koreni enačbe ax + 2kx + c = 0 najdejo po formuli:

Primer 1
1. x + 18x + 32 = 0.

a = 1; b = 18 => k = b2 = 9; c = 32.

D 1 = D4 = (18 2 ) 2 - 1 32 = 49 > 0, kar pomeni, da ima enačba 2 korena:

x 1 = -9 -? 49 1 = -16, x 2 = -9 + 7 = -2.

Primer 2
2. 3x 2 + 2x + 1 = 0.

a = 3; b2 = 1; c = 1.

D 1 = D4 = 1 2 — 1 3 = -2

Primer 3
3. 196x 2 + 28x + 1 = 0.

a = 196; b2 = -14; c = 1.

D 1 = D4 = (- 14) 2 - 196 = 0, kar pomeni, da ima enačba en koren.

x = 14 196 = 1 14 .

Formule za skrajšano množenje

Formule za skrajšano množenje.

— Preučevanje formul za skrajšano množenje: kvadrat vsote in kvadrat razlike dveh izrazov; razlika kvadratov dveh izrazov; kub vsote in kub razlike dveh izrazov; vsote in razlike kubov dveh izrazov.

— Uporaba formul za skrajšano množenje pri reševanju primerov.

Za poenostavitev izrazov, razčlenjevanje polinomov in reduciranje polinomov na standardno obliko se uporabljajo skrajšane formule za množenje.

Reševanje kvadratnih enačb

Formule za skrajšano množenje je treba znati na pamet.

Naj bo a, b R. Potem:

1. Kvadrat vsote dveh izrazov je enak kvadrat prvega izraza plus dvakratni produkt prvega izraza in drugega plus kvadrat drugega izraza.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Kvadrat razlike dveh izrazov je enak kvadrat prvega izraza minus dvakratni produkt prvega izraza in drugega plus kvadrat drugega izraza.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Razlika kvadratov dveh izrazov je enak produktu razlike teh izrazov in njune vsote.

a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)

4. Kocka vsote dva izraza je enako kocki prvega izraza plus trojni produkt kvadrata prvega izraza in drugega plus trojni produkt prvega izraza in kvadrat drugega plus kub drugega izraza.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Kocka razlike dva izraza je enako kubu prvega izraza minus trikratnik produkta kvadrata prvega izraza in drugega plus trikratnik produkta prvega izraza in kvadrata drugega minus kub drugega izraza.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Vsota kock dveh izrazov je enak zmnožku vsote prvega in drugega izraza ter nepopolnega kvadrata razlike teh izrazov.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Razlika kock dveh izrazov je enak zmnožku razlike prvega in drugega izraza z nepopolnim kvadratom vsote teh izrazov.

Uporaba formul za skrajšano množenje pri reševanju primerov.

Primer 1.

Izračunaj

a) S formulo za kvadrat vsote dveh izrazov imamo

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

b) S formulo za kvadrat razlike dveh izrazov dobimo

98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 – 2 100 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604

Primer 2.

Izračunaj

Z uporabo formule za razliko kvadratov dveh izrazov dobimo

Primer 3.

Poenostavite izraz

(x - y) 2 + (x + y) 2

Uporabimo formuli za kvadrat vsote in kvadrat razlike dveh izrazov

(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2

Skrajšane formule množenja v eni tabeli:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

1. Izbira celotnega kvadrata. Formule za korenine kvadratne enačbe.
2. Primeri reševanja kvadratnih enačb.
3. Reševanje nepopolnih kvadratnih enačb.
4. Faktoriziranje kvadratnega trinoma.

Iz tega članka se boste naučili:

V čem je videz enačbe določajo, ali bo ta enačba nepopolna kvadratna enačba? Ampak kot reši nepopolno kvadratne enačbe?

Kako na pogled prepoznati nepopolno kvadratno enačbo

levo del enačbe Tukaj je kvadratni trinom, A prav - število. Take enačbe imenujemo poln kvadratne enačbe.

U poln kvadratna enačba Vse kvote, In ni enako. Za njihovo rešitev obstajajo posebne formule, s katerimi se bomo seznanili kasneje.

večina preprosto za rešitev so nepopolna kvadratne enačbe. To so kvadratne enačbe, v katerih nekateri koeficienti so nič.

Koeficient po definiciji ne more biti nič, saj drugače enačba ne bo kvadratna. Pogovarjali smo se o tem. To pomeni, da se izkaže, da lahko gredo v nulo samo kvote oz.

Glede na to obstaja tri vrste nepopolnih kvadratne enačbe.

1) , Kje ;
2) , Kje ;
3) , Kje .

Torej, če vidimo kvadratno enačbo, na levi strani katere namesto treh članov prisoten dva kura oz en član, potem bo enačba nepopolna kvadratna enačba.

Definicija nepopolne kvadratne enačbe

Nepopolna kvadratna enačba To se imenuje kvadratna enačba , v katerem vsaj enega od koeficientov oz enako nič.

Ta definicija ima veliko pomembno stavek " vsaj en od koeficientov... enako nič". To pomeni, da eno oz več koeficienti so lahko enaki nič.

Na podlagi tega je možno tri možnosti: oz eno koeficient je nič, oz drugo koeficient je nič, oz oboje koeficienti so hkrati enaki nič. Tako dobimo tri vrste nepopolnih kvadratnih enačb.

Nepopolna kvadratne enačbe so naslednje enačbe:
1)
2)
3)

Reševanje enačbe

Orisimo načrt rešitve ta enačba. levo del enačbe je lahko enostavno faktorizirati, saj imajo na levi strani enačbe izrazi skupni množitelj, se lahko vzame iz oklepaja. Nato na levi dobite produkt dveh faktorjev, na desni pa nič.

In potem bo delovalo pravilo »zmnožek je enak nič, če in samo če je vsaj eden od faktorjev enak nič, drugi pa je smiseln«. Vse je zelo preprosto!

Torej, načrt rešitve.
1) Levo stran razčlenimo na faktorje.
2) Uporabljamo pravilo »zmnožek je enak nič ...«

Temu tipu pravim enačbe "darilo usode". To so enačbe, za katere desni del enako nič, A levo del se lahko razširi z množitelji.

Reševanje enačbe po načrtu.

1) Razčlenimo se leva stran enačbe z množitelji, za to vzamemo skupni faktor, dobimo naslednjo enačbo .

2) V enačbi to vidimo levo stroški delo, A nič na desni. Resnično darilo usode! Tukaj bomo seveda uporabili pravilo »zmnožek je enak nič, če in samo, če je vsaj eden od faktorjev enak nič, drugi pa je smiseln.« Ko to pravilo prevedemo v jezik matematike, dobimo dva enačbe oz.

Vidimo, da enačba razpadlo po dva preprostejši enačbe, od katerih je prva že rešena ().

Rešimo drugega enačba. Neznane člene premaknimo v levo, znane pa v desno. Neznani član je že na levi, tam ga bomo pustili. In znani izraz premaknemo v desno z nasprotnim predznakom. Dobimo enačbo.

Našli smo ga, vendar ga moramo najti. Če se želite znebiti faktorja, morate obe strani enačbe deliti z.