Lastnosti logaritma in eksponenta. Naravni logaritem in število e. Izrazi skozi kompleksna števila

Sploh ni slabo, kajne? Medtem ko matematiki iščejo besede, ki bi vam dale dolgo, zmedeno definicijo, si poglejmo pobližje to preprosto in jasno definicijo.

Število e pomeni rast

Število e pomeni nenehno rast. Kot smo videli v prejšnjem primeru, nam e x omogoča povezavo obresti in časa: 3 leta pri 100-odstotni rasti so enaka 1 letu pri 300-odstotni rasti ob predpostavki "obrestno obrestne mere".

Zamenjate lahko poljubne odstotne in časovne vrednosti (50% za 4 leta), vendar je bolje, da odstotek nastavite na 100% zaradi udobja (izkaže se 100% za 2 leti). S prehodom na 100 % se lahko osredotočimo samo na časovno komponento:

e x = e odstotek * čas = e 1,0 * čas = e čas

Očitno e x pomeni:

koliko bo moj prispevek narasel po x časovnih enotah (ob predpostavki 100-odstotne neprekinjene rasti).
na primer, po 3 časovnih intervalih bom prejel e 3 = 20,08-krat več "stvari".

e x je skalirni faktor, ki kaže, do katere ravni bomo zrasli v x času.

Naravni logaritem pomeni čas

Naravni logaritem je inverzna e, modni izraz za nasprotje. Ko smo že pri domislicah; v latinščini se imenuje logarithmus naturali, od tod okrajšava ln.

In kaj pomeni ta inverzija oziroma nasprotje?

e x nam omogoča, da nadomestimo čas in dobimo rast.
ln(x) nam omogoča, da vzamemo rast ali dohodek in ugotovimo čas, potreben za njegovo ustvarjanje.

Na primer:

e 3 je enako 20,08. Po treh časovnih obdobjih bomo imeli 20,08-krat več, kot smo začeli.
ln(08/20) bi bil približno 3. Če vas zanima 20,08-kratna rast, boste potrebovali 3 časovna obdobja (spet ob predpostavki 100-odstotne neprekinjene rasti).

Še vedno berete? Naravni logaritem prikazuje čas, potreben za doseganje želene ravni.

To nestandardno logaritemsko štetje

Ali ste šli skozi logaritme - čudna bitja so. Kako jim je uspelo množenje spremeniti v seštevanje? Kaj pa deljenje na odštevanje? Gremo pogledat.

Čemu je enako ln(1)? Intuitivno se postavlja vprašanje: kako dolgo naj čakam, da dobim 1x več od tistega, kar imam?

Nič. Nič. Sploh ne. Enkrat ga že imaš. Prehod od stopnje 1 do stopnje 1 ne traja dolgo.

ln(1) = 0

V redu, kaj pa delna vrednost? Koliko časa bo trajalo, da nam bo ostala 1/2 razpoložljive količine? Vemo, da pri 100-odstotni neprekinjeni rasti ln(2) pomeni čas, potreben za podvojitev. Če bomo zavrtimo čas nazaj(tj. čakati negativno količino časa), potem bomo dobili polovico tega, kar imamo.

ln(1/2) = -ln(2) = -0,693

Logično, kajne? Če se vrnemo (čas nazaj) na 0,693 sekunde, bomo našli polovico razpoložljive količine. Na splošno lahko ulomek obrnete in vzamete negativno vrednost: ln(1/3) = -ln(3) = -1,09. To pomeni, da če se vrnemo v preteklost do 1,09-krat, bomo našli le tretjino trenutnega števila.

V redu, kaj pa logaritem negativnega števila? Koliko časa traja, da se kolonija bakterij "zraste" od 1 do -3?

To je nemogoče! Ne moreš dobiti negativnega števila bakterij, kajne? Lahko dobite največ (hm...najmanj) nič, vendar ni možnosti, da bi dobili negativno število od teh malih bitja. Negativno število bakterij preprosto nima smisla.

ln(negativno število) = nedefinirano

»Nedefinirano« pomeni, da ni časa, ki bi moral čakati, da bi dobili negativno vrednost.

Logaritemsko množenje je prav smešno

Kako dolgo bo trajalo, da se štirikrat poveča? Seveda lahko vzamete samo ln(4). Toda to je preveč preprosto, šli bomo v drugo smer.

Štirikratno rast si lahko predstavljate kot podvojitev (zahteva ln(2) enot časa) in nato ponovno podvojitev (zahteva še ln(2) enot časa):

Čas za 4-kratno rast = ln(4) = čas za podvojitev in nato ponovno podvojitev = ln(2) + ln(2)

zanimivo Vsako stopnjo rasti, recimo 20, lahko štejemo za podvojitev takoj po 10-kratnem povečanju. Ali rast za 4-krat, nato pa za 5-krat. Ali potrojitev in nato povečanje za 6,666-krat. Vidite vzorec?

ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

Logaritem A krat B je log(A) + log(B). To razmerje je takoj smiselno, če ga gledamo z vidika rasti.

Če vas zanima 30-kratna rast, lahko počakate na ln(30) v enem sedenju ali počakate na ln(3) za potrojitev in nato še ln(10) za 10-krat. Končni rezultat je enak, zato mora seveda čas ostati konstanten (in je).

Kaj pa delitev? Natančneje, ln(5/3) pomeni: koliko časa bo trajalo, da zraste 5-krat in nato dobi 1/3 tega?

Super, petkratna rast je ln(5). Povečanje za 1/3-krat bo trajalo -ln(3) enot časa. Torej,

ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

To pomeni: pustite, da zraste 5-krat, nato pa se "vrnite v preteklost" do točke, ko ostane samo še tretjina te količine, tako da dobite 5/3 rasti. Na splošno se izkaže

ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Upam, da vam čudna aritmetika logaritmov začenja postajati smiselna: množenje stopenj rasti postane dodajanje časovnih enot rasti, deljenje pa odštevanje časovnih enot. Ni vam treba zapomniti pravil, poskusite jih razumeti.

Uporaba naravnega logaritma za poljubno rast

No, seveda,« pravite, »to je vse v redu, če je rast 100%, kaj pa 5%, ki jih prejmem?«

Brez težav. "Čas", ki ga izračunamo z ln(), je pravzaprav kombinacija obrestne mere in časa, istega X iz enačbe e x. Pravkar smo se odločili, da odstotek nastavimo na 100 % zaradi poenostavitve, vendar lahko uporabimo poljubne številke.

Recimo, da želimo doseči 30-kratno rast: vzemite ln(30) in dobite 3,4. To pomeni:

e x = višina
e 3,4 = 30

Očitno ta enačba pomeni, da "100-odstotni donos v 3,4 letih daje 30-kratno rast." To enačbo lahko zapišemo na naslednji način:

e x = e hitrost*čas
e 100 % * 3,4 leta = 30

Vrednosti "stave" in "časa" lahko spremenimo, če ostane stava * čas 3.4. Na primer, če nas zanima 30-kratna rast, koliko časa bomo morali čakati pri 5% obrestni meri?

ln(30) = 3,4
stopnja * čas = 3,4
0,05 * čas = 3,4
čas = 3,4 / 0,05 = 68 let

Razmišljam takole: "ln(30) = 3,4, torej bo pri 100-odstotni rasti trajalo 3,4 leta. Če podvojim stopnjo rasti, se bo potreben čas prepolovil."

100 % za 3,4 leta = 1,0 * 3,4 = 3,4
200 % v 1,7 letih = 2,0 * 1,7 = 3,4
50 % za 6,8 leta = 0,5 * 6,8 = 3,4
5 % nad 68 let = 0,05 * 68 = 3,4.

Super, kajne? Naravni logaritem je mogoče uporabiti s katero koli obrestno mero in časom, ker njihov produkt ostaja konstanten. Vrednosti spremenljivk lahko premikate, kolikor želite.

Kul primer: pravilo dvainsedemdesetih

Pravilo dvainsedemdesetih je matematična tehnika, ki vam omogoča, da ocenite, koliko časa bo trajalo, da se vaš denar podvoji. Zdaj ga bomo izpeljali (ja!), poleg tega pa bomo poskušali razumeti njegovo bistvo.

Kako dolgo bo trajalo, da podvojite svoj denar s 100-odstotnimi letnimi obrestmi?

Ups. Za primer kontinuirane rasti smo uporabili naravni logaritem, zdaj pa govorite o letnem prištevanju? Ali ne bi ta formula za tak primer postala neprimerna? Da, bo, toda za realne obrestne mere, kot so 5%, 6% ali celo 15%, bo razlika med letnim obrestom in stalno rastjo majhna. Torej groba ocena deluje, hm, približno, tako da se bomo pretvarjali, da imamo popolnoma neprekinjeno obračunavanje.

Zdaj je vprašanje preprosto: Kako hitro se lahko podvojite s 100-odstotno rastjo? ln(2) = 0,693. Potrebujemo 0,693 časovne enote (v našem primeru let), da podvojimo naš znesek z nenehnim povečevanjem za 100 %.

Kaj torej, če obrestna mera ni 100 %, ampak recimo 5 % ali 10 %?

Enostavno! Ker je stava * čas = 0,693, bomo znesek podvojili:

stopnja * čas = 0,693
čas = 0,693 / stava

Izkazalo se je, da če je rast 10 %, bo trajalo 0,693 / 0,10 = 6,93 leta, da se podvoji.

Za poenostavitev izračunov pomnožimo obe strani s 100, potem lahko rečemo "10" namesto "0,10":

čas do podvojitve = 69,3 / stava, kjer je stava izražena v odstotkih.

Zdaj je čas za podvojitev s stopnjo 5%, 69,3 / 5 = 13,86 let. Vendar 69,3 ni najbolj primerna dividenda. Izberimo bližnje število 72, ki ga je priročno deliti z 2, 3, 4, 6, 8 in drugimi številkami.

čas za podvojitev = 72 / stava

kar je pravilo dvainsedemdesetih. Vse je pokrito.

Če morate najti čas za potrojitev, lahko uporabite ln(3) ~ 109,8 in dobite

čas do potrojitve = 110 / stava

Kar je še eno koristno pravilo. "Pravilo 72" velja za rast obrestnih mer, rast prebivalstva, bakterijske kulture in vse, kar eksponentno raste.

Kaj je naslednje?

Upajmo, da vam je naravni logaritem zdaj smiseln – prikazuje čas, ki je potreben, da katero koli število eksponentno naraste. Mislim, da se imenuje naravno, ker je e univerzalno merilo rasti, zato se ln lahko šteje za univerzalen način določanja, kako dolgo traja rast.

Vsakič, ko vidite ln(x), se spomnite "časa, potrebnega za X-kratno rast". V prihajajočem članku bom opisal e in ln v povezavi, da bo zrak napolnil svež vonj po matematiki.

Dodatek: Naravni logaritem e

Hitri kviz: kaj je ln(e)?

matematični robot bo rekel: ker so definirani kot inverzni drug drugemu, je očitno, da je ln(e) = 1.
razumevajoča oseba: ln(e) je število krat, potrebnih za "e" rast (približno 2,718). Vendar pa je število e samo merilo rasti s faktorjem 1, tako da je ln(e) = 1.

Misli jasno.

9. september 2013

Lekcija in predstavitev na teme: "Naravni logaritmi. Osnova naravnega logaritma. Logaritem naravnega števila"

Dodatni materiali
Dragi uporabniki, ne pozabite pustiti svojih komentarjev, mnenj, želja! Vsa gradiva so bila preverjena s protivirusnim programom.

Učni pripomočki in simulatorji v spletni trgovini Integral za 11. razred
Interaktivni priročnik za razrede 9–11 "Trigonometrija"
Interaktivni priročnik za razrede 10–11 "Logaritmi"

Kaj je naravni logaritem

Fantje, v zadnji lekciji smo se naučili novo, posebno številko - e. Danes bomo nadaljevali delo s to številko.
Učili smo se logaritme in vemo, da je lahko osnova logaritma mnogo števil, ki so večja od 0. Danes si bomo ogledali tudi logaritem, katerega osnova je število e. Tak logaritem običajno imenujemo naravni logaritem. Ima svoj zapis: $\ln(n)$ je naravni logaritem. Ta vnos je enakovreden vnosu: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Eksponentna in logaritemska funkcija sta inverzni, potem je naravni logaritem inverzna funkcija: $y=e^x$.
Inverzne funkcije so simetrične glede na premico $y=x$.
Narišimo naravni logaritem tako, da narišemo eksponentno funkcijo glede na premico $y=x$.

Omeniti velja, da je kot naklona tangente na graf funkcije $y=e^x$ v točki (0;1) 45°. Potem bo tudi naklonski kot tangente na graf naravnega logaritma v točki (1;0) enak 45°. Obe tangenti bosta vzporedni s premico $y=x$. Narišimo diagram tangent:

Lastnosti funkcije $y=\ln(x)$

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. Ni niti sodo niti liho.
3. Povečuje se po celotnem področju definicije.
4. Ni omejeno od zgoraj, ni omejeno od spodaj.
5. Ni največje vrednosti, ni najmanjše vrednosti.
6. Neprekinjeno.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Konveksno navzgor.
9. Povsod diferenciran.

V tečaju višje matematike je dokazano, da odvod inverzne funkcije je inverz odvoda dane funkcije.
Nima smisla iti globlje v dokaz, napišimo le formulo: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

Primer.
Izračunajte vrednost odvoda funkcije: $y=\ln(2x-7)$ v točki $x=4$.
rešitev.
Na splošno je naša funkcija predstavljena s funkcijo $y=f(kx+m)$; lahko izračunamo odvode takih funkcij.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Izračunajmo vrednost izpeljanke na zahtevani točki: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Odgovor: 2.

Primer.
Na graf funkcije $y=ln(x)$ nariši tangento v točki $х=е$.
rešitev.
Dobro se spomnimo enačbe tangente na graf funkcije v točki $x=a$.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Zaporedoma izračunamo zahtevane vrednosti.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
Tangentna enačba v točki $x=e$ je funkcija $y=\frac(x)(e)$.
Narišimo naravni logaritem in tangento.

Primer.
Preglejte funkcijo glede monotonosti in ekstremov: $y=x^6-6*ln(x)$.
rešitev.
Domena definicije funkcije $D(y)=(0;+∞)$.
Poiščimo odvod dane funkcije:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Odvod obstaja za vse x iz domene definicije, potem ni kritičnih točk. Poiščimo stacionarne točke:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
Točka $х=-1$ ne spada v domeno definicije. Potem imamo eno stacionarno točko $x=1$. Poiščimo intervale naraščanja in padanja:

Točka $x=1$ je najmanjša točka, potem je $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Odgovor: funkcija pada na odseku (0;1], funkcija narašča na žarku $)