Množenje logaritmov s formulo enakih osnov. Logaritemska pravila za delo z logaritmi

Na podlagi števila e: ln x = log e x.

Naravni logaritem se pogosto uporablja v matematiki, ker ima njegov derivat najpreprostejšo obliko: (ln x)′ = 1/ x.

Temelji definicije, je osnova naravnega logaritma število e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Graf funkcije y = v x.

Graf naravnega logaritma (funkcije y = v x) dobimo iz eksponentnega grafa z zrcalnim odbojem glede na premico y = x.

Naravni logaritem je definiran za pozitivne vrednosti spremenljivke x. V svoji definicijski domeni monotono narašča.

Pri x → 0 meja naravnega logaritma je minus neskončnost (-∞).

Ko je x → + ∞, je meja naravnega logaritma plus neskončnost (+ ∞). Pri velikem x logaritem narašča precej počasi. Kaj funkcija moči x a s pozitivnim eksponentom a raste hitreje kot logaritem.

Lastnosti naravnega logaritma

Domena definicije, niz vrednosti, ekstremi, naraščanje, padanje

Naravni logaritem je monotono naraščajoča funkcija, zato nima ekstremov. Glavne lastnosti naravnega logaritma so predstavljene v tabeli.

ln x vrednosti

V 1 = 0

Osnovne formule za naravne logaritme

Formule, ki izhajajo iz definicije inverzne funkcije:

Glavna lastnost logaritmov in njene posledice

Formula za zamenjavo baze

Vsak logaritem je mogoče izraziti z naravnimi logaritmi z uporabo osnovne substitucijske formule:

Dokazi teh formul so predstavljeni v razdelku "Logaritem".

Inverzna funkcija

Obratna vrednost naravnega logaritma je eksponent.

Če, potem

Če, potem.

Izpeljanka ln x

Odvod naravnega logaritma:
.
Odvod naravnega logaritma modula x:
.
Izpeljanka n-tega reda:
.
Izpeljava formul >>>

Integral

Integral izračunamo z integracijo po delih:
.
Torej,

Izrazi, ki uporabljajo kompleksna števila

Razmislite o funkciji kompleksne spremenljivke z:
.
Izrazimo kompleksno spremenljivko z preko modula r in argument φ :
.
Z uporabo lastnosti logaritma imamo:
.
oz
.
Argument φ ni enolično definiran. Če postavite
, kjer je n celo število,
to bo enako število za različne n.

Zato naravni logaritem, kot funkcija kompleksne spremenljivke, ni funkcija z eno vrednostjo.

Razširitev potenčnega niza

Ko pride do razširitve:

Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Priročnik matematike za inženirje in študente, "Lan", 2009.

Preverite, ali so pod znakom logaritma negativna števila ali ena. Ta metoda je uporabna za izraze oblike log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))). Vendar pa ni primeren za nekatere posebne primere:
- Logaritem negativnega števila je nedefiniran v kateri koli osnovi (npr. dnevnik ⁡ (− 3) (\displaystyle \log(-3)) oz log 4 ⁡ (− 5) (\displaystyle \log _(4)(-5))). V tem primeru napišite "ni rešitve".
- Tudi logaritem nič na katero koli osnovo je nedefiniran. Če te ujamejo ln ⁡ (0) (\displaystyle \ln(0)), zapišite "ni rešitve".
- Logaritem ena na poljubno osnovo ( dnevnik ⁡ (1) (\displaystyle \log(1))) je vedno nič, ker x 0 = 1 (\displaystyle x^(0)=1) za vse vrednosti x. Namesto tega logaritma zapišite 1 in ne uporabite spodnje metode.
- Če imajo logaritmi različne osnove, npr l o g 3 (x) l o g 4 (a) (\displaystyle (\frac (log_(3)(x))(log_(4)(a)))), in niso reducirani na cela števila, vrednosti izraza ni mogoče najti ročno.
Pretvori izraz v en logaritem.Če izraz ni eden od zgornjih posebne priložnosti, ga lahko predstavimo kot en sam logaritem. Za to uporabite naslednjo formulo: log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) = log a ⁡ (x) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))=\ log_(a)(x)).
- Primer 1: Razmislite o izrazu log ⁡ 16 log ⁡ 2 (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))).
  Najprej predstavimo izraz kot en sam logaritem z uporabo zgornje formule: log ⁡ 16 log ⁡ 2 = log 2 ⁡ (16) (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))=\log _(2)(16)).
- Ta formula za "zamenjavo osnove" logaritma izhaja iz osnovnih lastnosti logaritmov.
Če je mogoče, vrednost izraza ocenite ročno. Najti log a ⁡ (x) (\displaystyle \log _(a)(x)), predstavljajte si izraz " a? = x (\displaystyle a^(?)=x)«, torej se vprašajte naslednje vprašanje: »Na kakšno moč naj dvignemo a, Za pridobitev x?. Za odgovor na to vprašanje boste morda potrebovali kalkulator, a če boste imeli srečo, ga boste morda lahko našli ročno.
- Primer 1 (nadaljevanje): Prepišite kot 2? = 16 (\displaystyle 2^(?)=16). Ugotoviti morate, katera številka naj stoji namesto znaka "?". To je mogoče storiti s poskusi in napakami:
  2 2 = 2 ∗ 2 = 4 (\displaystyle 2^(2)=2*2=4)
  2 3 = 4 ∗ 2 = 8 (\displaystyle 2^(3)=4*2=8)
  2 4 = 8 ∗ 2 = 16 (\displaystyle 2^(4)=8*2=16)
  Torej je število, ki ga iščemo, 4: dnevnik 2 ⁡ (16) (\displaystyle \log _(2)(16)) = 4 .
Pustite odgovor v logaritemski obliki, če ga ne morete poenostaviti. Veliko logaritmov je zelo težko izračunati ročno. V tem primeru boste za točen odgovor potrebovali kalkulator. Če pa pri pouku rešujete nalogo, bo učitelj najverjetneje zadovoljen z odgovorom v logaritemski obliki. Spodaj obravnavana metoda se uporablja za reševanje bolj zapletenega primera:
- primer 2: čemu je enako log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7))))?
- Pretvorimo ta izraz v en logaritem: log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) = log 7 ⁡ (58) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7)))=\ log_(7)(58)). Upoštevajte, da osnova 3, ki je skupna obema logaritmama, izgine; to velja iz katerega koli razloga.
- Prepišimo izraz v obliki 7? = 58 (\displaystyle 7^(?)=58) in poskusimo najti vrednost?:
  7 2 = 7 ∗ 7 = 49 (\displaystyle 7^(2)=7*7=49)
  7 3 = 49 ∗ 7 = 343 (\displaystyle 7^(3)=49*7=343)
  Ker je 58 med tema dvema številoma, ni izraženo kot celo število.
- Odgovor pustimo v logaritemski obliki: dnevnik 7 ⁡ (58) (\displaystyle \log _(7)(58)).

Poudarek tega članka je logaritem. Tu bomo podali definicijo logaritma, prikazali sprejeti zapis, podali primere logaritmov ter govorili o naravnih in decimalnih logaritmih. Po tem si poglejmo glavno logaritemska identiteta.

Navigacija po strani.

Definicija logaritma

Koncept logaritma se pojavi pri reševanju problema v v določenem smislu obratno, ko morate najti eksponent z uporabo znane vrednosti eksponenta in znane osnove.

Toda dovolj predgovorov, čas je, da odgovorimo na vprašanje "kaj je logaritem"? Naj podamo ustrezno definicijo.

Opredelitev.

Logaritem b na osnovo a, kjer je a>0, a≠1 in b>0 eksponent, na katerega morate povečati število a, da dobite b kot rezultat.

Na tej stopnji ugotavljamo, da bi morala izgovorjena beseda "logaritem" takoj sprožiti dve dodatni vprašanji: "kakšno število" in "na kakšni osnovi." Z drugimi besedami, preprosto ni logaritma, ampak samo logaritem števila na neko osnovo.

Vstopimo takoj logaritemski zapis: logaritem števila b na osnovo a običajno označimo kot log a b. Logaritem števila b na osnovo e in logaritem na osnovo 10 imata svoji posebni oznaki lnb oziroma logb, to pomeni, da ne pišeta log e b, ampak lnb, in ne log 10 b, ampak lgb.

Zdaj lahko damo: .
In zapisi nima smisla, saj je v prvem od njih pod znakom logaritma negativno število, v drugi je v osnovi negativno število, v tretji pa je pod znakom logaritma negativno število in v osnovi enota.

Zdaj pa se pogovorimo o pravila za branje logaritmov. Log a b se bere kot "logaritem od b na osnovo a". Na primer, log 2 3 je logaritem od tri na osnovo 2 in je logaritem od dveh pik dve tretjini na osnovo 2 Kvadratni koren od petih. Logaritem z osnovo e se imenuje naravni logaritem, zapis lnb pa se glasi "naravni logaritem b". Na primer, ln7 je naravni logaritem od sedem in ga bomo brali kot naravni logaritem od pi. Logaritem z osnovo 10 ima tudi posebno ime - decimalni logaritem, lgb pa se bere kot "decimalni logaritem b". Na primer, lg1 je decimalni logaritem ena, lg2,75 pa decimalni logaritem dveh pika sedem pet stotink.

Ločeno se je treba posvetiti pogojem a>0, a≠1 in b>0, pod katerimi je podana definicija logaritma. Naj pojasnimo, od kod prihajajo te omejitve. Pri tem nam bo pomagala enakost oblike, imenovana , ki neposredno izhaja iz zgornje definicije logaritma.

Začnimo z a≠1. Ker je ena na poljubno potenco enako ena, je lahko enakost resnična le, če je b=1, vendar je lahko log 1 1 poljubno realno število. Da bi se izognili tej dvoumnosti, se predpostavlja a≠1.

Utemeljimo smotrnost pogoja a>0. Pri a=0 bi po definiciji logaritma imeli enakost, kar pa je možno le pri b=0. Toda potem je lahko log 0 0 katero koli realno število, ki ni nič, saj je nič na katero koli potenco, ki ni nič, nič. Pogoj a≠0 nam omogoča, da se izognemo tej dvoumnosti. In ko a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Končno, pogoj b>0 sledi iz neenakosti a>0, saj je , in vrednost potence s pozitivno osnovo a je vedno pozitivna.

Za zaključek te točke povejmo, da vam navedena definicija logaritma omogoča, da takoj navedete vrednost logaritma, ko je število pod znakom logaritma določena moč osnove. Dejansko nam definicija logaritma omogoča, da trdimo, da če je b=a p, potem je logaritem števila b na osnovi a enak p. To pomeni, da je enakost log a a p =p resnična. Na primer, vemo, da je 2 3 =8, nato pa log 2 8=3. O tem bomo več govorili v članku.

Logaritemski izrazi, reševanje primerov. V tem članku si bomo ogledali probleme, povezane z reševanjem logaritmov. Naloge postavljajo vprašanje iskanja pomena izraza. Opozoriti je treba, da se koncept logaritma uporablja v številnih nalogah in da je razumevanje njegovega pomena izjemno pomembno. Kar se tiče enotnega državnega izpita, se logaritem uporablja pri reševanju enačb, pri uporabnih problemih in tudi pri nalogah, povezanih s študijem funkcij.

Za razumevanje samega pomena logaritma navedimo primere:

Osnovna logaritemska identiteta:

Lastnosti logaritmov, ki si jih moramo vedno zapomniti:

*Logaritem produkta enaka vsoti logaritmi faktorjev.

* * *

*Logaritem količnika (ulomka) je enak razliki med logaritmi faktorjev.

* * *

*Logaritem stopnje enako zmnožku eksponent z logaritmom svoje osnove.

* * *

*Prehod na novo podlago

* * *

Več nepremičnin:

* * *

Izračun logaritmov je tesno povezan z uporabo lastnosti eksponentov.

Naštejmo jih nekaj:

Bistvo te lastnosti je, da ko se števec prenese na imenovalec in obratno, se znak eksponenta spremeni v nasprotno. Na primer:

Posledica te lastnosti:

* * *

Pri povišanju potence na potenco ostane osnova enaka, eksponenti pa se pomnožijo.

* * *

Kot ste videli, je sam koncept logaritma preprost. Glavna stvar je tisto, kar je potrebno dobra praksa, ki daje določeno veščino. Seveda je potrebno poznavanje formul. Če spretnost pretvorbe osnovnih logaritmov ni bila razvita, potem lahko pri reševanju preprostih nalog zlahka naredite napako.

Vadite, najprej rešite najpreprostejše primere iz tečaja matematike, nato pa nadaljujte s kompleksnejšimi. V prihodnosti bom zagotovo pokazal, kako se rešujejo "strašljivi" logaritmi; ne bodo se pojavili na Enotnem državnem izpitu, vendar so zanimivi, ne zamudite jih!

To je vse! Srečno!

S spoštovanjem, Alexander Krutitskikh

P.S: Hvaležen bi bil, če bi mi povedali o spletnem mestu na družbenih omrežjih.

Logaritme, tako kot vsa števila, lahko seštevamo, odštevamo in preoblikujemo na vse načine. Ker pa logaritmi niso ravno navadna števila, so tukaj pravila, ki se imenujejo glavne lastnosti.

Ta pravila vsekakor morate poznati - brez njih ni mogoče rešiti niti enega resnega logaritemskega problema. Poleg tega jih je zelo malo - vsega se lahko naučiš v enem dnevu. Pa začnimo.

Seštevanje in odštevanje logaritmov

Razmislite o dveh logaritmih z enakimi osnovami: log a x in dnevnik a l. Nato jih je mogoče seštevati in odštevati in:

dnevnik a x+ dnevnik a l=log a (x · l);
dnevnik a x− dnevnik a l=log a (x : l).

Torej je vsota logaritmov enaka logaritmu produkta, razlika pa je enaka logaritmu količnika. Opomba: ključni trenutek tukaj - enake podlage. Če so razlogi drugačni, ta pravila ne delujejo!

Te formule vam bodo pomagale izračunati logaritemski izraz, tudi če ne upoštevate njegovih posameznih delov (glejte lekcijo »Kaj je logaritem«). Oglejte si primere in si oglejte:

Dnevnik 6 4 + dnevnik 6 9.

Ker imajo logaritmi enake osnove, uporabimo formulo za vsoto:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Naloga. Poišči vrednost izraza: log 2 48 − log 2 3.

Osnove so enake, uporabljamo formulo razlike:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Naloga. Poišči vrednost izraza: log 3 135 − log 3 5.

Osnove so spet enake, tako da imamo:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Kot lahko vidite, so prvotni izrazi sestavljeni iz "slabih" logaritmov, ki se ne izračunajo posebej. Toda po preobrazbah se izkažejo precej normalne številke. Mnogi so zgrajeni na tem dejstvu testne naloge. Da, na Enotnem državnem izpitu so izrazi, podobni testom, na voljo z vso resnostjo (včasih skoraj brez sprememb).

Ekstrakcija eksponenta iz logaritma

Zdaj pa malo zapletimo nalogo. Kaj pa, če je osnova ali argument logaritma potenca? Potem lahko eksponent te stopnje vzamemo iz znaka logaritma po naslednjih pravilih:

To je enostavno opaziti zadnje pravilo sledi prvima dvema. Vendar si ga je vseeno bolje zapomniti - v nekaterih primerih bo to znatno zmanjšalo količino izračunov.

Seveda so vsa ta pravila smiselna, če se upošteva ODZ logaritma: a > 0, a ≠ 1, x> 0. In še nekaj: naučite se uporabljati vse formule ne samo od leve proti desni, ampak tudi obratno, tj. Številke pred znakom za logaritem lahko vnesete v sam logaritem. To je tisto, kar se najpogosteje zahteva.

Naloga. Poišči vrednost izraza: log 7 49 6 .

Znebimo se stopnje v argumentu s prvo formulo:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Naloga. Poiščite pomen izraza:
[Napis k sliki]

Upoštevajte, da imenovalec vsebuje logaritem, katerega osnova in argument sta natančni potenci: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Imamo:

[Napis k sliki]

Mislim, da zadnji primer zahteva nekaj pojasnila. Kam so izginili logaritmi? Do zadnjega trenutka delamo samo z imenovalcem. Osnovo in argument logaritma, ki stoji tam, smo predstavili v obliki potenc in vzeli eksponente - dobili smo "trinadstropni" ulomek.

Zdaj pa poglejmo glavni del. Števec in imenovalec vsebujeta isto število: log 2 7. Ker je log 2 7 ≠ 0, lahko ulomek skrajšamo - 2/4 bo ostalo v imenovalcu. Po aritmetičnih pravilih lahko štiri prenesemo v števec, kar je bilo tudi storjeno. Rezultat je bil odgovor: 2.

Prehod na novo podlago

Ko sem govoril o pravilih za seštevanje in odštevanje logaritmov, sem posebej poudaril, da delujejo le z enakimi osnovami. Kaj pa, če so razlogi drugačni? Kaj pa, če nista natančni potenci istega števila?

Na pomoč pridejo formule za prehod na novo podlago. Naj jih oblikujemo v obliki izreka:

Naj bo dano logaritem dnevnik a x. Potem za poljubno število c tako da c> 0 in c≠ 1 velja enakost:
[Napis k sliki]
Še posebej, če postavimo c = x, dobimo:
[Napis k sliki]

Iz druge formule sledi, da lahko osnovo in argument logaritma zamenjamo, vendar je v tem primeru celoten izraz "obrnjen", tj. logaritem se pojavi v imenovalcu.

Te formule redko najdemo v običajnih številski izrazi. Kako priročni so, je mogoče oceniti le z odločitvijo logaritemske enačbe in neenakosti.

Vendar pa obstajajo težave, ki jih sploh ni mogoče rešiti, razen s prehodom na novo podlago. Oglejmo si nekaj teh:

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log 5 16 log 2 25.

Upoštevajte, da argumenta obeh logaritmov vsebujejo natančne potence. Izločimo indikatorje: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Zdaj pa "obrnimo" drugi logaritem:

[Napis k sliki]

Ker se zmnožek pri preurejanju faktorjev ne spremeni, smo mirno pomnožili štiri in dva, nato pa se lotili logaritmov.

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log 9 100 lg 3.

Osnova in argument prvega logaritma sta natančni potenci. Zapišimo to in se znebimo indikatorjev:

[Napis k sliki]

Zdaj pa se znebimo decimalnega logaritma s premikom na novo osnovo:

[Napis k sliki]

Osnovna logaritemska identiteta

Pogosto je treba v procesu reševanja število predstaviti kot logaritem na dano osnovo. V tem primeru nam bodo pomagale naslednje formule:

V prvem primeru številka n postane pokazatelj stopnje veljave v argumentu. številka n je lahko popolnoma karkoli, ker je samo vrednost logaritma.

Druga formula je pravzaprav parafrazirana definicija. Temu se reče: osnovna logaritemska identiteta.

Pravzaprav, kaj se bo zgodilo, če bo številka b dvigniti na takšno moč, da število b tej moči daje število a? Tako je: dobite isto številko a. Še enkrat natančno preberite ta odstavek - veliko ljudi se mu zatakne.

Tako kot formule za prehod na novo bazo je osnovna logaritemska identiteta včasih edina možna rešitev.

Naloga. Poiščite pomen izraza:
[Napis k sliki]

Upoštevajte, da je log 25 64 = log 5 8 - preprosto vzel kvadrat iz osnove in argumenta logaritma. Ob upoštevanju pravil za množenje potenc z isto bazo dobimo:

[Napis k sliki]

Če kdo ne ve, je bila to prava naloga iz enotnega državnega izpita :)

Logaritemska enota in logaritemska ničla

Za zaključek bom podal dve identiteti, ki ju težko imenujemo lastnosti - prej sta posledici definicije logaritma. Nenehno se pojavljajo v težavah in, presenetljivo, delajo težave tudi »naprednejšim« študentom.

dnevnik a a= 1 je logaritemska enota. Zapomnite si enkrat za vselej: logaritem na poljubno osnovo a iz te baze je enako ena.
dnevnik a 1 = 0 je logaritemska ničla. Osnova a je lahko karkoli, če pa argument vsebuje ena, je logaritem enak nič! Ker a 0 = 1 je neposredna posledica definicije.

To so vse lastnosti. Bodite prepričani, da jih vadite v praksi! Prenesite goljufijo na začetku lekcije, jo natisnite in rešite naloge.