9 na mga formula na nauugnay sa mga katangian ng mga kapangyarihan ng logarithms. Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan

Tulad ng alam mo, kapag nagpaparami ng mga expression na may mga kapangyarihan, ang kanilang mga exponents ay palaging nagdaragdag (a b * a c = a b + c). Ang batas sa matematika na ito ay hinango ni Archimedes, at nang maglaon, noong ika-8 siglo, ang mathematician na si Virasen ay lumikha ng isang talahanayan ng mga integer indicator. Sila ang nagsilbi para sa karagdagang pagtuklas ng logarithms. Ang mga halimbawa ng paggamit ng function na ito ay matatagpuan halos saanman kung saan kinakailangan na gawing simple ang masalimuot na multiplikasyon sa simpleng karagdagan. Kung gumugugol ka ng 10 minuto sa pagbabasa ng artikulong ito, ipapaliwanag namin sa iyo kung ano ang mga logarithms at kung paano gamitin ang mga ito. Simple at naa-access na wika.

Kahulugan sa matematika

Ang logarithm ay isang pagpapahayag ng sumusunod na anyo: log a b=c, iyon ay, ang logarithm ng anumang di-negatibong numero (iyon ay, anumang positibo) "b" ayon sa base nito na "a" ay itinuturing na kapangyarihan ng "c ", kung saan kinakailangan na itaas ang base na "a", upang sa huli ay makuha ang halaga na "b". Suriin natin ang logarithm gamit ang mga halimbawa, sabihin nating mayroong expression log 2 8. Paano mahahanap ang sagot? Ito ay napaka-simple, kailangan mong makahanap ng ganoong antas na mula 2 hanggang sa kinakailangang antas ay makakakuha ka ng 8. Matapos magawa ang ilang mga kalkulasyon sa iyong isip, nakuha namin ang numero 3! At tama, dahil ang 2 sa kapangyarihan ng 3 ay nagbibigay ng numero 8 sa sagot.

Mga uri ng logarithms

Para sa maraming mga mag-aaral at mag-aaral, ang paksang ito ay tila kumplikado at hindi maintindihan, ngunit sa katunayan, ang mga logarithms ay hindi nakakatakot, ang pangunahing bagay ay upang maunawaan ang kanilang pangkalahatang kahulugan at tandaan ang kanilang mga katangian at ilang mga patakaran. May tatlo ibang mga klase logarithmic expression:

1. Natural logarithm ln a, kung saan ang base ay ang Euler number (e = 2.7).
2. Decimal a, kung saan ang base ay 10.
3. Ang logarithm ng anumang numero b sa base a>1.

Ang bawat isa sa kanila ay nalulutas sa isang karaniwang paraan, kabilang ang pagpapagaan, pagbabawas at kasunod na pagbabawas sa isang logarithm gamit ang logarithmic theorems. Para sa pagkuha mga tamang halaga logarithms, dapat mong tandaan ang kanilang mga katangian at ang pagkakasunod-sunod ng mga aksyon sa kanilang mga desisyon.

Mga panuntunan at ilang mga paghihigpit

Sa matematika, mayroong ilang mga tuntunin-limitasyon na tinatanggap bilang isang axiom, iyon ay, hindi sila napapailalim sa talakayan at totoo. Halimbawa, hindi mo maaaring hatiin ang mga numero sa zero, at imposible ring kumuha ng pantay na ugat mula sa mga negatibong numero. Ang mga logarithms ay mayroon ding sariling mga panuntunan, na sumusunod kung saan madali mong matutunan kung paano gumana kahit na may mahaba at malawak na logarithmic expression:

• ang base "a" ay dapat palaging mas malaki kaysa sa zero, at sa parehong oras ay hindi katumbas ng 1, kung hindi man mawawala ang kahulugan ng expression, dahil ang "1" at "0" sa anumang antas ay palaging katumbas ng kanilang mga halaga;
• kung a > 0, pagkatapos ay a b > 0, lumalabas na ang "c" ay dapat na mas malaki sa zero.

Paano malutas ang mga logarithms?

Halimbawa, ang gawain ay ibinigay upang mahanap ang sagot sa equation na 10 x \u003d 100. Napakadali, kailangan mong pumili ng gayong kapangyarihan, na itinaas ang numero ng sampu kung saan nakakakuha tayo ng 100. Ito, siyempre, ay 10 2 \u003d 100.

Ngayon, katawanin natin ang expression na ito bilang isang logarithmic. Nakukuha namin ang log 10 100 = 2. Kapag nilulutas ang mga logarithm, halos lahat ng aksyon ay nagsasama-sama sa paghahanap ng antas kung saan dapat ilagay ang base ng logarithm upang makakuha ng isang naibigay na numero.

Upang tumpak na matukoy ang halaga ng isang hindi kilalang degree, dapat mong matutunan kung paano magtrabaho sa isang talahanayan ng mga degree. Mukhang ganito:

Tulad ng nakikita mo, ang ilang mga exponent ay maaaring mahulaan nang intuitive kung mayroon kang teknikal na mindset at kaalaman sa multiplication table. Gayunpaman, para sa malalaking halaga kailangan mo ng talahanayan ng mga degree. Maaari itong magamit kahit na sa mga hindi nakakaintindi ng kahit ano sa kumplikado mga paksa sa matematika. Ang kaliwang column ay naglalaman ng mga numero (base a), ang pinakamataas na hilera ng mga numero ay ang halaga ng power c, kung saan itinataas ang numero a. Sa intersection sa mga cell, ang mga halaga ng mga numero ay tinutukoy, na kung saan ay ang sagot (a c = b). Kunin natin, halimbawa, ang pinakaunang cell na may numerong 10 at parisukat ito, nakukuha natin ang halaga na 100, na ipinahiwatig sa intersection ng ating dalawang cell. Ang lahat ay napakasimple at madali na kahit na ang pinaka-tunay na humanist ay mauunawaan!

Mga equation at hindi pagkakapantay-pantay

Ito ay lumalabas na sa ilalim ng ilang mga kundisyon, ang exponent ay ang logarithm. Samakatuwid, ang anumang mathematical numerical expression ay maaaring isulat bilang isang logarithmic equation. Halimbawa, ang 3 4 =81 ay maaaring isulat bilang logarithm ng 81 hanggang base 3, na apat (log 3 81 = 4). Para sa mga negatibong kapangyarihan, ang mga patakaran ay pareho: 2 -5 = 1/32 sinusulat namin bilang isang logarithm, nakukuha namin ang log 2 (1/32) = -5. Isa sa mga pinakakaakit-akit na seksyon ng matematika ay ang paksa ng "logarithms". Isasaalang-alang namin ang mga halimbawa at solusyon ng mga equation na medyo mas mababa, kaagad pagkatapos pag-aralan ang kanilang mga katangian. Ngayon tingnan natin kung ano ang hitsura ng mga hindi pagkakapantay-pantay at kung paano makilala ang mga ito mula sa mga equation.

Ang isang expression ng sumusunod na form ay ibinigay: log 2 (x-1) > 3 - ito ay isang logarithmic inequality, dahil ang hindi kilalang halaga na "x" ay nasa ilalim ng tanda ng logarithm. At din sa expression ng dalawang dami ay inihambing: ang logarithm ng nais na numero sa base ng dalawa ay mas malaki kaysa sa numero ng tatlo.

Ang pinakamahalagang pagkakaiba sa pagitan ng mga logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay ay ang mga equation na may logarithms (halimbawa, ang logarithm ng 2 x = √9) ay nagpapahiwatig ng isa o higit pang mga tiyak na numerical values ​​sa sagot, habang kapag nilulutas ang hindi pagkakapantay-pantay, parehong saklaw ng mga katanggap-tanggap na halaga at ang mga puntos na lumalabag sa pagpapaandar na ito. Bilang resulta, ang sagot ay hindi isang simpleng hanay ng mga indibidwal na numero, tulad ng sa sagot ng equation, ngunit isang tuluy-tuloy na serye o hanay ng mga numero.

Mga pangunahing teorema tungkol sa logarithms

Kapag nilulutas ang mga primitive na gawain sa paghahanap ng mga halaga ng logarithm, maaaring hindi alam ang mga katangian nito. Gayunpaman, pagdating sa logarithmic equation o inequalities, una sa lahat, kinakailangan na malinaw na maunawaan at mailapat sa pagsasanay ang lahat ng mga pangunahing katangian ng logarithms. Makikilala natin ang mga halimbawa ng mga equation mamaya, suriin muna natin ang bawat pag-aari nang mas detalyado.

1. Ang pangunahing pagkakakilanlan ay ganito ang hitsura: a logaB =B. Nalalapat lamang ito kung ang a ay mas malaki sa 0, hindi katumbas ng isa, at ang B ay mas malaki sa zero.
2. Ang logarithm ng produkto ay maaaring katawanin sa sumusunod na formula: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Sa kasong ito, ang paunang kinakailangan ay: d, s 1 at s 2 > 0; a≠1. Maaari kang magbigay ng patunay para sa formula na ito ng logarithms, na may mga halimbawa at solusyon. Hayaan ang log a s 1 = f 1 at log a s 2 = f 2 , pagkatapos ay a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Nakukuha namin na s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (degree properties ), at higit pa sa kahulugan: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, na dapat patunayan.
3. Ang logarithm ng quotient ay ganito ang hitsura: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Ang theorem sa anyo ng isang formula ay tumatagal ng sumusunod na anyo: log a q b n = n/q log a b.

Ang formula na ito ay tinatawag na "property of the degree of the logarithm". Ito ay kahawig ng mga katangian ng mga ordinaryong degree, at ito ay hindi nakakagulat, dahil ang lahat ng matematika ay nakasalalay sa mga regular na postulates. Tingnan natin ang patunay.

Hayaang mag-log a b \u003d t, ito ay lumabas na t \u003d b. Kung itataas mo ang parehong bahagi sa kapangyarihan m: a tn = b n ;

ngunit dahil a tn = (a q) nt/q = b n , kaya mag-log a q b n = (n*t)/t, pagkatapos ay mag-log a q b n = n/q log a b. Ang teorama ay napatunayan.

Mga halimbawa ng mga problema at hindi pagkakapantay-pantay

Ang pinakakaraniwang uri ng mga problema sa logarithm ay mga halimbawa ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay. Ang mga ito ay matatagpuan sa halos lahat ng mga libro ng problema, at kasama rin sa ipinag-uutos na bahagi ng mga pagsusulit sa matematika. Upang makapasok sa isang unibersidad o makapasa sa mga pagsusulit sa pasukan sa matematika, kailangan mong malaman kung paano lutasin nang tama ang mga naturang gawain.

Sa kasamaang palad, walang iisang plano o pamamaraan para sa paglutas at pagtukoy ng hindi kilalang halaga ng logarithm, gayunpaman, ang bawat hindi pagkakapantay-pantay ng matematika o logarithmic equation ay maaaring ilapat ilang mga tuntunin. Una sa lahat, dapat mong malaman kung ang expression ay maaaring gawing simple o bawasan sa pangkalahatang pananaw. Maaari mong gawing simple ang mahabang logarithmic expression kung gagamitin mo nang tama ang mga katangian ng mga ito. Kilalanin natin sila sa lalong madaling panahon.

Kapag nagpapasya logarithmic equation, kinakailangan upang matukoy kung anong uri ng logarithm ang mayroon tayo: ang isang halimbawa ng isang expression ay maaaring maglaman ng isang natural na logarithm o isang decimal.

Narito ang mga halimbawa ln100, ln1026. Ang kanilang solusyon ay bumababa sa katotohanan na kailangan mong matukoy ang antas kung saan ang base 10 ay magiging katumbas ng 100 at 1026, ayon sa pagkakabanggit. Para sa mga solusyon ng natural na logarithms, dapat ilapat ng isa ang logarithmic na pagkakakilanlan o ang kanilang mga katangian. Tingnan natin ang mga halimbawa ng paglutas ng mga problemang logarithmic ng iba't ibang uri.

Paano Gumamit ng Mga Logarithm Formula: May Mga Halimbawa at Solusyon

Kaya, tingnan natin ang mga halimbawa ng paggamit ng mga pangunahing theorems sa logarithms.

1. Ang pag-aari ng logarithm ng produkto ay maaaring gamitin sa mga gawain kung saan kinakailangan upang mabulok ang isang malaking halaga ng bilang b sa mas simpleng mga kadahilanan. Halimbawa, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Ang sagot ay 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - tulad ng nakikita mo, gamit ang ikaapat na pag-aari ng antas ng logarithm, nalutas namin sa unang sulyap ang isang kumplikado at hindi malulutas na expression. Kinakailangan lamang na i-factor ang base at pagkatapos ay alisin ang mga halaga ng exponent mula sa tanda ng logarithm.

Mga gawain mula sa pagsusulit

Ang mga logarithm ay madalas na matatagpuan sa mga pagsusulit sa pasukan, lalo na ang maraming problema sa logarithmic sa Pinag-isang Estado na Pagsusulit (pagsusulit ng estado para sa lahat ng nagtapos sa paaralan). Karaniwan ang mga gawaing ito ay naroroon hindi lamang sa bahagi A (ang pinakamadaling bahagi ng pagsusulit ng pagsusulit), kundi pati na rin sa bahagi C (ang pinakamahirap at napakaraming gawain). Ang pagsusulit ay nagpapahiwatig ng tumpak at perpektong kaalaman sa paksang "Natural logarithms".

Ang mga halimbawa at paglutas ng problema ay kinuha mula sa mga opisyal na bersyon ng pagsusulit. Tingnan natin kung paano nalutas ang mga naturang gawain.

Ibinigay na log 2 (2x-1) = 4. Solusyon:
isulat muli natin ang expression, pinasimple ito ng kaunting log 2 (2x-1) = 2 2 , sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm nakukuha natin na 2x-1 = 2 4 , samakatuwid 2x = 17; x = 8.5.

• Ang lahat ng logarithms ay pinakamahusay na bawasan sa parehong base upang ang solusyon ay hindi masalimuot at nakakalito.
• Ang lahat ng mga expression sa ilalim ng sign ng logarithm ay ipinahiwatig bilang positibo, samakatuwid, kapag kinuha ang exponent ng exponent ng expression, na nasa ilalim ng sign ng logarithm at bilang base nito, ang expression na natitira sa ilalim ng logarithm ay dapat na positibo.

Patuloy kaming nag-aaral ng logarithms. Sa artikulong ito ay pag-uusapan natin pagkalkula ng logarithms, ang prosesong ito ay tinatawag logarithm. Una, haharapin natin ang pagkalkula ng logarithms ayon sa kahulugan. Susunod, isaalang-alang kung paano matatagpuan ang mga halaga ng logarithms gamit ang kanilang mga katangian. Pagkatapos nito, tatalakayin natin ang pagkalkula ng mga logarithms sa pamamagitan ng unang ibinigay na mga halaga ng iba pang logarithms. Sa wakas, alamin natin kung paano gumamit ng mga talahanayan ng logarithms. Ang buong teorya ay binibigyan ng mga halimbawa na may mga detalyadong solusyon.

Pag-navigate sa pahina.

Pag-compute ng mga logarithms ayon sa kahulugan

Sa pinakasimpleng mga kaso, posible na mabilis at madaling gumanap paghahanap ng logarithm sa pamamagitan ng kahulugan. Tingnan natin nang mabuti kung paano nagaganap ang prosesong ito.

Ang kakanyahan nito ay upang kumatawan sa bilang b sa anyong a c , kung saan, sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm, ang numero c ay ang halaga ng logarithm. Iyon ay, sa pamamagitan ng kahulugan, ang paghahanap ng logarithm ay tumutugma sa sumusunod na hanay ng mga pagkakapantay-pantay: log a b=log a a c =c .

Kaya, ang pagkalkula ng logarithm, sa pamamagitan ng kahulugan, ay bumaba sa paghahanap ng isang numero c na isang c \u003d b, at ang numero c mismo ay ang nais na halaga ng logarithm.

Dahil sa impormasyon ng mga nakaraang talata, kapag ang numero sa ilalim ng tanda ng logarithm ay ibinigay ng ilang antas ng base ng logarithm, pagkatapos ay maaari mong agad na ipahiwatig kung ano ang katumbas ng logarithm - ito ay katumbas ng exponent. Magpakita tayo ng mga halimbawa.

Halimbawa.

Hanapin ang log 2 2 −3 , at kalkulahin din ang natural na logarithm ng e 5.3 .

Solusyon.

Ang kahulugan ng logarithm ay nagpapahintulot sa atin na sabihin kaagad na ang log 2 2 −3 = −3 . Sa katunayan, ang numero sa ilalim ng tanda ng logarithm ay katumbas ng base 2 sa −3 na kapangyarihan.

Katulad nito, makikita natin ang pangalawang logarithm: lne 5.3 =5.3.

Sagot:

log 2 2 −3 = −3 at lne 5.3 =5.3 .

Kung ang numero b sa ilalim ng tanda ng logarithm ay hindi ibinigay bilang kapangyarihan ng base ng logarithm, pagkatapos ay kailangan mong maingat na isaalang-alang kung posible na magkaroon ng isang representasyon ng numero b sa anyo a c . Kadalasan ang representasyong ito ay medyo halata, lalo na kapag ang numero sa ilalim ng tanda ng logarithm ay katumbas ng base sa kapangyarihan ng 1, o 2, o 3, ...

Halimbawa.

Kalkulahin ang logarithms log 5 25 , at .

Solusyon.

Madaling makita na 25=5 2 , pinapayagan ka nitong kalkulahin ang unang logarithm: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

Nagpapatuloy kami sa pagkalkula ng pangalawang logarithm. Ang isang numero ay maaaring katawanin bilang isang kapangyarihan ng 7: (tingnan kung kinakailangan). Kaya naman, .

Isulat muli natin ang ikatlong logarithm sa sumusunod na anyo. Ngayon ay makikita mo na , kung saan namin conclude na . Samakatuwid, sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm .

Sa madaling sabi, ang solusyon ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:

Sagot:

log 5 25=2 , At .

Kapag mayroong sapat na malaking halaga sa ilalim ng tanda ng logarithm natural na numero, kung gayon hindi masakit na mabulok ito sa mga pangunahing kadahilanan. Kadalasan ay nakakatulong na kumatawan sa naturang numero bilang ilang kapangyarihan ng base ng logarithm, at samakatuwid, upang kalkulahin ang logarithm na ito sa pamamagitan ng kahulugan.

Halimbawa.

Hanapin ang halaga ng logarithm.

Solusyon.

Ang ilang mga katangian ng logarithms ay nagbibigay-daan sa iyo upang agad na tukuyin ang halaga ng logarithms. Kasama sa mga katangiang ito ang pag-aari ng logarithm ng pagkakaisa at ang pag-aari ng logarithm ng isang numero, katumbas ng base: log 1 1=log a a 0 =0 at log a a=log a a 1 =1 . Iyon ay, kapag ang numero 1 o ang numero a ay nasa ilalim ng tanda ng logarithm, katumbas ng base ng logarithm, kung gayon sa mga kasong ito ang logarithm ay 0 at 1, ayon sa pagkakabanggit.

Halimbawa.

Ano ang logarithms at lg10?

Solusyon.

Dahil , ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng logarithm .

Sa pangalawang halimbawa, ang numero 10 sa ilalim ng tanda ng logarithm ay tumutugma sa base nito, kaya ang decimal logarithm ng sampu ay katumbas ng isa, iyon ay, lg10=lg10 1 =1 .

Sagot:

AT lg10=1 .

Tandaan na ang pag-compute ng logarithms ayon sa kahulugan (na tinalakay natin sa nakaraang talata) ay nagpapahiwatig ng paggamit ng equality log a a p =p , na isa sa mga katangian ng logarithms.

Sa pagsasagawa, kapag ang numero sa ilalim ng sign ng logarithm at ang base ng logarithm ay madaling kinakatawan bilang isang kapangyarihan ng ilang numero, napaka-maginhawang gamitin ang formula. , na tumutugma sa isa sa mga katangian ng logarithms. Isaalang-alang ang isang halimbawa ng paghahanap ng logarithm, na naglalarawan ng paggamit ng formula na ito.

Halimbawa.

Kalkulahin ang logarithm ng .

Solusyon.

Sagot:

.

Ang mga katangian ng logarithms na hindi nabanggit sa itaas ay ginagamit din sa pagkalkula, ngunit pag-uusapan natin ito sa mga sumusunod na talata.

Paghahanap ng mga logarithms sa mga tuntunin ng iba pang kilalang logarithms

Ang impormasyon sa talatang ito ay nagpapatuloy sa paksa ng paggamit ng mga katangian ng logarithms sa kanilang pagkalkula. Ngunit dito ang pangunahing pagkakaiba ay ang mga katangian ng logarithm ay ginagamit upang ipahayag ang orihinal na logarithm sa mga tuntunin ng isa pang logarithm, ang halaga nito ay kilala. Kumuha tayo ng isang halimbawa para sa paglilinaw. Sabihin nating alam natin na log 2 3≈1.584963 , pagkatapos ay mahahanap natin, halimbawa, log 2 6 sa pamamagitan ng paggawa ng kaunting pagbabago gamit ang mga katangian ng logarithm: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Sa halimbawa sa itaas, sapat na para sa amin na gamitin ang ari-arian ng logarithm ng produkto. Gayunpaman, mas madalas kailangan mong gumamit ng mas malawak na arsenal ng mga katangian ng logarithms upang makalkula ang orihinal na logarithm sa mga tuntunin ng mga ibinigay.

Halimbawa.

Kalkulahin ang logarithm ng 27 hanggang base 60 kung alam na ang log 60 2=a at log 60 5=b .

Solusyon.

Kaya kailangan nating hanapin ang log 60 27 . Madaling makita na ang 27=3 3 , at ang orihinal na logarithm, dahil sa katangian ng logarithm ng degree, ay maaaring isulat muli bilang 3·log 60 3 .

Ngayon tingnan natin kung paano maipahayag ang log 60 3 sa mga tuntunin ng mga kilalang logarithms. Ang pag-aari ng logarithm ng isang numero na katumbas ng base ay nagpapahintulot sa iyo na isulat ang equality log 60 60=1 . Sa kabilang banda, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . kaya, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Kaya naman, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

Sa wakas, kinakalkula namin ang orihinal na logarithm: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Sagot:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Hiwalay, ito ay nagkakahalaga ng pagbanggit ng kahulugan ng formula para sa paglipat sa isang bagong base ng logarithm ng form . Pinapayagan ka nitong lumipat mula sa logarithms na may anumang base patungo sa logarithms na may isang tiyak na base, ang mga halaga nito ay kilala o posible na mahanap ang mga ito. Karaniwan, mula sa orihinal na logarithm, ayon sa pormula ng paglipat, lumipat sila sa logarithms sa isa sa mga base 2, e o 10, dahil para sa mga base na ito mayroong mga talahanayan ng logarithms na nagpapahintulot sa kanila na kalkulahin na may isang tiyak na antas ng katumpakan. Sa susunod na seksyon, ipapakita namin kung paano ito ginagawa.

Mga talahanayan ng logarithms, ang kanilang paggamit

Para sa isang tinatayang pagkalkula ng mga halaga ng logarithms, maaaring gamitin ng isa mga talahanayan ng logarithm. Ang pinakakaraniwang ginagamit ay ang base 2 logarithm table, ang natural na logarithm table, at ang decimal logarithm table. Kapag nagtatrabaho sa sistema ng decimal na numero, maginhawang gumamit ng talahanayan ng mga logarithms sa base ng sampu. Sa tulong nito, matututunan nating hanapin ang mga halaga ng logarithms.

Ang ipinakita na talahanayan ay nagbibigay-daan, na may katumpakan ng isang sampung-libo, upang mahanap ang mga halaga ng decimal logarithms ng mga numero mula 1.000 hanggang 9.999 (na may tatlong decimal na lugar). Susuriin namin ang prinsipyo ng paghahanap ng halaga ng logarithm gamit ang isang talahanayan ng mga decimal logarithm gamit ang isang partikular na halimbawa - mas malinaw ito. Hanapin natin ang lg1,256 .

Sa kaliwang hanay ng talahanayan ng mga decimal logarithms makikita natin ang unang dalawang digit ng numerong 1.256, iyon ay, nakita natin ang 1.2 (ang numerong ito ay binilog sa asul para sa kalinawan). Ang ikatlong digit ng numerong 1.256 (numero 5) ay matatagpuan sa una o huling linya sa kaliwa ng dobleng linya (ang numerong ito ay binilog ng pula). Ang ikaapat na digit ng orihinal na numero 1.256 (number 6) ay matatagpuan sa una o huling linya sa kanan ng dobleng linya (ang numerong ito ay bilugan ng berde). Ngayon nakita namin ang mga numero sa mga cell ng talahanayan ng logarithms sa intersection ng minarkahang hilera at ang mga markang haligi (ang mga numerong ito ay naka-highlight sa orange). Ang kabuuan ng mga minarkahang numero ay nagbibigay ng nais na halaga ng decimal logarithm hanggang sa ikaapat na decimal place, iyon ay, log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

Posible ba, gamit ang talahanayan sa itaas, upang mahanap ang mga halaga ng decimal logarithms ng mga numero na mayroong higit sa tatlong digit pagkatapos ng decimal point, at lumampas din sa mga limitasyon mula 1 hanggang 9.999? Oo kaya mo. Ipakita natin kung paano ito ginagawa gamit ang isang halimbawa.

Kalkulahin natin ang lg102.76332 . Una kailangan mong magsulat numero sa karaniwang anyo: 102.76332=1.0276332 10 2 . Pagkatapos nito, ang mantissa ay dapat na bilugan hanggang sa ikatlong decimal na lugar, mayroon kami 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, habang ang orihinal na decimal logarithm ay tinatayang ay katumbas ng logarithm ang resultang numero, iyon ay, kumukuha kami ng lg102.76332≈lg1.028·10 2 . Ngayon ilapat ang mga katangian ng logarithm: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Sa wakas, nakita namin ang halaga ng logarithm lg1.028 ayon sa talahanayan ng decimal logarithms lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Bilang resulta, ang buong proseso ng pagkalkula ng logarithm ay ganito: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2≈0.012+2=2.012.

Sa konklusyon, ito ay nagkakahalaga ng noting na gamit ang talahanayan ng decimal logarithms, maaari mong kalkulahin ang tinatayang halaga ng anumang logarithm. Upang gawin ito, sapat na gamitin ang formula ng paglipat upang pumunta sa decimal logarithms, hanapin ang kanilang mga halaga sa talahanayan, at isagawa ang natitirang mga kalkulasyon.

Halimbawa, kalkulahin natin ang log 2 3 . Ayon sa formula para sa paglipat sa isang bagong base ng logarithm, mayroon kaming . Mula sa talahanayan ng decimal logarithms makikita natin ang lg3≈0.4771 at lg2≈0.3010. kaya, .

Bibliograpiya.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. at iba pa.Algebra and the Beginnings of Analysis: A Textbook for Grades 10-11 of General Educational Institutions.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematics (isang manwal para sa mga aplikante sa mga teknikal na paaralan).

Pagtuturo

Isulat ang ibinigay na logarithmic expression. Kung ang expression ay gumagamit ng logarithm ng 10, ang notasyon nito ay pinaikli at ganito ang hitsura: lg b ay ang decimal logarithm. Kung ang logarithm ay may numerong e bilang batayan, ang expression ay nakasulat: ln b ay ang natural na logarithm. Nauunawaan na ang resulta ng alinman ay ang kapangyarihan kung saan ang batayang numero ay dapat na itaas upang makuha ang numero b.

Kapag hinahanap ang kabuuan ng dalawang function, kailangan mo lang na ibahin ang mga ito nang paisa-isa, at idagdag ang mga resulta: (u+v)" = u"+v";

Kapag hinahanap ang derivative ng produkto ng dalawang function, kinakailangang i-multiply ang derivative ng unang function sa pangalawa at idagdag ang derivative ng pangalawang function, na pinarami ng unang function: (u*v)" = u"* v+v"*u;

Upang mahanap ang derivative ng quotient ng dalawang function, kinakailangan, mula sa produkto ng derivative ng dividend na pinarami ng divisor function, upang ibawas ang produkto ng derivative ng divisor na pinarami ng divisor function, at hatiin lahat ng ito sa pamamagitan ng divisor function squared. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Kung bibigyan kumplikadong pag-andar, kung gayon kinakailangan na i-multiply ang derivative ng panloob na pag-andar at ang derivative ng panlabas na isa. Hayaan ang y=u(v(x)), pagkatapos ay y"(x)=y"(u)*v"(x).

Gamit ang nakuha sa itaas, maaari mong iiba ang halos anumang function. Kaya tingnan natin ang ilang mga halimbawa:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Mayroon ding mga gawain para sa pagkalkula ng derivative sa isang punto. Hayaang maibigay ang function na y=e^(x^2+6x+5), kailangan mong hanapin ang halaga ng function sa puntong x=1.
1) Hanapin ang derivative ng function: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Kalkulahin ang halaga ng function sa ibinigay na punto y"(1)=8*e^0=8

Mga kaugnay na video

Nakatutulong na payo

Alamin ang talahanayan ng mga elementary derivatives. Makakatipid ito ng maraming oras.

Mga Pinagmulan:

• pare-parehong derivative

Kaya, ano ang pagkakaiba sa pagitan ng rational equation mula sa makatwiran? Kung ang hindi kilalang variable ay nasa ilalim ng sign parisukat na ugat, kung gayon ang equation ay itinuturing na hindi makatwiran.

Pagtuturo

Ang pangunahing paraan para sa paglutas ng mga naturang equation ay ang paraan ng pagtaas ng magkabilang panig mga equation sa isang parisukat. Gayunpaman. ito ay natural, ang unang hakbang ay upang mapupuksa ang sign. Sa teknikal, ang pamamaraang ito ay hindi mahirap, ngunit kung minsan maaari itong humantong sa problema. Halimbawa, ang equation v(2x-5)=v(4x-7). Sa pamamagitan ng pag-square sa magkabilang panig, makakakuha ka ng 2x-5=4x-7. Ang gayong equation ay hindi mahirap lutasin; x=1. Ngunit ang numero 1 ay hindi ibibigay mga equation. Bakit? Palitan ang unit sa equation sa halip na ang x value. At ang kanan at kaliwang panig ay maglalaman ng mga expression na hindi makatuwiran, ibig sabihin. Ang nasabing halaga ay hindi wasto para sa isang square root. Samakatuwid, ang 1 ay isang extraneous na ugat, at samakatuwid ang equation na ito ay walang mga ugat.

Kaya, ang hindi makatwirang equation ay nalulutas gamit ang paraan ng pag-squaring ng parehong bahagi nito. At nang malutas ang equation, kinakailangan na putulin ang mga extraneous na ugat. Upang gawin ito, palitan ang mga natagpuang ugat sa orihinal na equation.

Isaalang-alang ang isa pa.
2x+vx-3=0
Siyempre, ang equation na ito ay maaaring malutas gamit ang parehong equation tulad ng nauna. Ilipat ang mga Compound mga equation, na walang square root, kanang bahagi at pagkatapos ay gamitin ang paraan ng pag-squaring. lutasin ang nagresultang rational equation at mga ugat. Pero isa pa, mas elegante. Maglagay ng bagong variable; vx=y. Alinsunod dito, makakakuha ka ng isang equation tulad ng 2y2+y-3=0. Iyon ay, ang karaniwan quadratic equation. Hanapin ang mga ugat nito; y1=1 at y2=-3/2. Susunod, lutasin ang dalawa mga equation vx=1; vx \u003d -3/2. Ang pangalawang equation ay walang mga ugat, mula sa una ay makikita natin na x=1. Huwag kalimutan ang tungkol sa pangangailangan na suriin ang mga ugat.

Ang paglutas ng mga pagkakakilanlan ay medyo madali. Ito ay nangangailangan ng paggawa magkaparehong pagbabago hanggang sa maabot ang target. Kaya, sa tulong ng pinakasimpleng mga operasyon ng aritmetika, malulutas ang gawain.

Kakailanganin mong

• - papel;
• - panulat.

Pagtuturo

Ang pinakasimpleng mga pagbabagong ito ay ang algebraic abbreviated multiplications (tulad ng parisukat ng kabuuan (difference), ang pagkakaiba ng mga parisukat, ang kabuuan (difference), ang cube ng kabuuan (difference)). Bilang karagdagan, mayroong maraming mga trigonometrikong formula na mahalagang magkaparehong pagkakakilanlan.

Sa katunayan, ang parisukat ng kabuuan ng dalawang termino ay katumbas ng parisukat ng unang plus dalawang beses ang produkto ng una at ang pangalawa kasama ang parisukat ng pangalawa, iyon ay, (a+b)^2= (a+b )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Pasimplehin Pareho

Pangkalahatang mga prinsipyo ng solusyon

Ulitin mula sa isang aklat-aralin sa mathematical analysis o mas mataas na matematika, na isang tiyak na integral. Tulad ng alam mo, ang solusyon tiyak na integral mayroong isang function na ang derivative ay magbibigay ng integrand. Ang function na ito ay tinatawag na primitive. Ayon sa prinsipyong ito, ang mga pangunahing integral ay itinayo.
Tukuyin ayon sa anyo ng integrat kung alin sa mga integral ng talahanayan ang angkop sa kasong ito. Hindi laging posible na matukoy ito kaagad. Kadalasan, ang tabular form ay nagiging kapansin-pansin lamang pagkatapos ng ilang pagbabago upang gawing simple ang integrand.

Paraan ng pagpapalit ng variable

Kung ang integrand ay isang trigonometric function na ang argumento ay ilang polynomial, pagkatapos ay subukang gamitin ang paraan ng pagbabago ng mga variable. Upang gawin ito, palitan ang polynomial sa argument ng integrand ng ilang bagong variable. Batay sa ratio sa pagitan ng bago at lumang variable, tukuyin ang mga bagong limitasyon ng pagsasama. Sa pamamagitan ng pagkakaiba-iba ng expression na ito, maghanap ng bagong pagkakaiba sa . Sa gayon ay matatanggap mo ang bagong uri ang dating integral, malapit o katumbas ng alinmang tabular.

Solusyon ng mga integral ng pangalawang uri

Kung ang integral ay integral ng pangalawang uri, ang vector form ng integrand, kakailanganin mong gamitin ang mga panuntunan para sa paglipat mula sa mga integral na ito patungo sa mga scalar. Ang isang naturang panuntunan ay ang ratio ng Ostrogradsky-Gauss. Ginagawang posible ng batas na ito na maipasa mula sa daloy ng rotor ng ilang function ng vector patungo sa isang triple integral sa divergence ng isang ibinigay na field ng vector.

Pagpapalit ng mga limitasyon ng pagsasama

Matapos mahanap ang antiderivative, kinakailangan na palitan ang mga limitasyon ng pagsasama. Una, palitan ang halaga ng itaas na limitasyon sa expression para sa antiderivative. Makakatanggap ka ng ilang numero. Susunod, ibawas mula sa resultang numero ang isa pang numero, ang nagresultang mas mababang limitasyon sa antiderivative. Kung ang isa sa mga limitasyon ng pagsasama ay infinity, pagkatapos ay palitan ito sa antiderivative function ito ay kinakailangan upang pumunta sa limitasyon at hanapin kung ano ang expression ay may kaugaliang.
Kung ang integral ay two-dimensional o three-dimensional, kakailanganin mong kumatawan sa mga geometric na limitasyon ng integration upang maunawaan kung paano kalkulahin ang integral. Sa katunayan, sa kaso ng, sabihin nating, isang three-dimensional na integral, ang mga limitasyon ng pagsasama ay maaaring mga buong eroplano na naglilimita sa volume na isasama.

Ang konsepto ng logarithm at ang pangunahing logarithmic identity

Ang konsepto ng logarithm at ang pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan ay malapit na nauugnay, dahil kahulugan ng logarithm sa mathematical notation at ay .

Ang pangunahing logarithmic identity ay sumusunod mula sa kahulugan ng logarithm:

Kahulugan 1

logarithm tawagan ang exponent na $n$, kapag itinaas kung saan nakukuha ng mga numerong $a$ ang numerong $b$.

Puna 1

exponential equation$a^n=b$ para sa $a > 0$, $a \ne 1$ ay walang mga solusyon para sa hindi positibong $b$ at may iisang ugat para sa positibong $b$. Ang ugat na ito ay tinatawag ang logarithm ng numerong $b$ hanggang sa batayang $a$ at magsulat:

$a^(\log_(a) b)=b$.

Kahulugan 2

Pagpapahayag

$a^(\log_(a) b)=b$

tinawag pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan sa kondisyon na $a,b > 0$, $a \ne 1$.

Halimbawa 1

$17^(\log_(17) 6)=6$;

$e^(\ln⁡13) =13$;

$10^(\lg23)=23$.

Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan

Pangunahing ang logarithmic identity ay tinatawag na dahil ito ay halos palaging ginagamit kapag nagtatrabaho sa logarithms. Bilang karagdagan, sa tulong nito, ang mga pangunahing katangian ng logarithms ay napatunayan.

Halimbawa 2

$7^5=16 807$, kaya $\log_(7)16 807=5$.

$3^(-5)=\frac(1)(243)$, kaya $\log_(3)\frac(1)(243)=-5$.

$11^0=1$, kaya $\log_(11)⁡1=0$.

Pag-isipan bunga ng pangunahing logarithmic identity:

Kahulugan 3

Kung dalawang logarithms ang parehong mga batayan ay pantay, kung gayon ang mga expression ng logarithm ay pantay din:

kung $\log_(a)⁡b=\log_(a)⁡c$ pagkatapos ay $b=c$.

Pag-isipan mga paghihigpit, na ginagamit para sa logarithmic identity:

kasi kapag itinaas ang isa sa anumang kapangyarihan, palagi kaming nakakakuha ng isa, at ang pagkakapantay-pantay na $x=\log_(a)⁡b$ ay umiiral lamang para sa $b=1$, kung gayon ang $\log_(1)⁡1$ ay magiging anumang totoong numero. Upang maiwasan ang kalabuan na ito, ipinapalagay ang $a \ne 1$.

Ayon sa kahulugan, ang logarithm para sa $a=0$ ay maaaring umiral lamang para sa $b=0$. kasi kapag tinataas ang zero sa anumang kapangyarihan, palagi tayong nakakakuha ng zero, pagkatapos ay ang $\log_(0)⁡0$ ay maaaring maging anumang tunay na numero. Upang maiwasan ang kalabuan na ito, ipinapalagay ang $a \ne 0$. Para sa $a makatuwiran at hindi makatwiran mga halaga ng logarithm, dahil ang isang degree na may rational at irrational exponent ay maaari lamang kalkulahin para sa mga positibong base. Upang maiwasan ang ganitong sitwasyon, tinatanggap ang $a > 0$.

$b > 0$ ang sumusunod mula sa kundisyon na $a > 0$, dahil $x=\log_(a)⁡b$, at ang kapangyarihan ng isang positibong numero a ay palaging magiging positibo.

Ang pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan ay kadalasang ginagamit upang pasimplehin ang mga logarithmic na expression.

Halimbawa 3

Kalkulahin ang $81^(\log_(9) 7)$.

Solusyon.

Upang magamit ang pangunahing logarithmic identity, ang base ng logarithm at ang exponent ay dapat na pareho. Isinulat namin ang base ng degree sa form:

Ngayon ay maaari nating isulat:

$81^(\log_(9)7)=(9^2)^(\log_(9)7)=$

Gamitin natin ang degree property:

$=9^(2 \cdot \log_(9)7)=9^(\log_(9)7) \cdot 9^(\log_(9)7)=$

ang pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan ay maaari na ngayong ilapat sa bawat salik:

$=7 \cdot 7=49$.

Puna 2

Upang mailapat ang pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan, maaari mo ring palitan ang base ng logarithm ng isang expression na nasa ilalim ng tanda ng logarithm, at vice versa.

Halimbawa 4

Kalkulahin ang $7^(\frac(1)(\log_(11) 7))$.

Solusyon.

$7^(\frac(1)(\log_(11) 7))=7^(\log_(7) 11)=11$.

Sagot: $11$.

Halimbawa 5

Kalkulahin ang $7^(\frac(3)(\log_(11) 7))$.

hango sa kahulugan nito. At kaya ang logarithm ng numero b sa pamamagitan ng dahilan A tinukoy bilang exponent kung saan dapat itaas ang isang numero a para makuha ang numero b(ang logarithm ay umiiral lamang para sa mga positibong numero).

Mula sa pagbabalangkas na ito ay sumusunod na ang pagkalkula x=log a b, ay katumbas ng paglutas ng equation ax=b. Halimbawa, log 2 8 = 3 kasi 8 = 2 3 . Ang pagbabalangkas ng logarithm ay ginagawang posible na bigyang-katwiran na kung b=a c, pagkatapos ay ang logarithm ng numero b sa pamamagitan ng dahilan a katumbas Sa. Malinaw din na ang paksa ng logarithm ay malapit na nauugnay sa paksa ng kapangyarihan ng isang numero.

Sa logarithms, tulad ng anumang mga numero, maaari kang gumanap mga operasyon ng karagdagan, pagbabawas at magbago sa lahat ng posibleng paraan. Ngunit sa pagtingin sa katotohanan na ang mga logarithms ay hindi masyadong ordinaryong mga numero, ang kanilang sariling mga espesyal na patakaran ay nalalapat dito, na tinatawag na pangunahing katangian.

Pagdaragdag at pagbabawas ng logarithms.

Kumuha ng dalawang logarithms na may parehong base: log x At mag-log a y. Pagkatapos ay alisin posible na magsagawa ng mga pagpapatakbo ng karagdagan at pagbabawas:

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = log x 1 + log x 2 + log x 3 + ... + mag-log a x k.

Mula sa quotient logarithm theorems isa pang pag-aari ng logarithm ang maaaring makuha. Kilalang-kilala ang log na iyon a 1= 0, samakatuwid,

log a 1 /b= log a 1 - log a b= -log a b.

Kaya mayroong isang pagkakapantay-pantay:

log a 1 / b = - log a b.

Logarithms ng dalawang magkabilang reciprocal na numero sa parehong batayan ay magkakaiba sa isa't isa lamang sa sign. Kaya:

Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.