Mga integral para sa mga dummies: kung paano malutas, mga panuntunan sa pagkalkula, paliwanag. Ang function na F(x) ay tinatawag na antiderivative para sa function na f(x) kung F`(x)=f(x) o dF(x)=f(x)dx

Dokumento

Ilang pagitan X. Kung Para sa anumang xX F "(x) \u003d f (x), pagkatapos function F tinawagprimitivePara samga function f sa pagitan ng X. antiderivativePara samga function subukan mong hanapin...

Isang antiderivative para sa isang function

Dokumento

... . Function F(x) tinawagprimitivePara samga function f(x) sa pagitan (a;b) kung Para sa para sa lahat ng x(a;b) ang pagkakapantay-pantay na hawak ng F(x) = f(x). Halimbawa, Para samga function x2 primitive kalooban function x3 ...

Mga Pangunahing Gabay sa Pag-aaral ng Integral Calculus

Pagtuturo

... ; 5. Hanapin ang integral. ; B); C); D); 6. Functiontinawagprimitive Upang mga function sa set kung: Para sa lahat; sa ilang mga punto; Para sa lahat; sa ilang ... pagitan. Kahulugan 1. FunctiontinawagprimitivePara samga function sa set...

Antiderivative Indefinite integral

Dokumento

Pagsasama. antiderivative. tuloy-tuloy function F(x) tinawagprimitivePara samga function f (x) sa pagitan ng X kung Para sa bawat F' (x) = f (x). HALIMBAWA Function Ang F(x) = x 3 ay primitivePara samga function f(x)=3x...

NG ESPESYAL NA EDUKASYON NG USSR Inaprubahan ng Educational and Methodological Administration for Higher Education

Mga Alituntunin

Mga tanong Para sa self-test Define primitivemga function. Ipahiwatig ang geometriko na kahulugan ng populasyon antiderivativesmga function. Ano tinawag walang katiyakan...

Nakita natin na ang derivative ay may maraming aplikasyon: ang derivative ay ang bilis ng paggalaw (o, sa pangkalahatan, ang bilis ng anumang proseso); ang derivative ay ang slope ng tangent sa graph ng function; gamit ang derivative, maaari mong siyasatin ang function para sa monotonicity at extrema; Ang derivative ay tumutulong upang malutas ang mga problema sa pag-optimize.

Ngunit sa totoong buhay Ang mga kabaligtaran na problema ay kailangan ding lutasin: halimbawa, kasama ang problema sa paghahanap ng bilis mula sa isang kilalang batas ng paggalaw, mayroon ding problema sa pagpapanumbalik ng batas ng paggalaw mula sa isang kilalang bilis. Isaalang-alang natin ang isa sa mga problemang ito.

Halimbawa 1 Ang isang materyal na punto ay gumagalaw sa isang tuwid na linya, ang bilis ng paggalaw nito sa oras na t ay ibinibigay ng formula u = tg. Hanapin ang batas ng paggalaw.

Solusyon. Hayaan ang s = s(t) ang nais na batas ng paggalaw. Ito ay kilala na s"(t) = u"(t). Kaya, upang malutas ang problema, kailangan nating pumili function s = s(t), na ang derivative ay katumbas ng tg. Madaling hulaan iyon

Napansin namin kaagad na ang halimbawa ay nalutas nang tama, ngunit hindi kumpleto. Nakuha namin na Sa katunayan, ang problema ay may walang katapusang maraming solusyon: anumang function ng form arbitrary na pare-pareho, ay maaaring magsilbi bilang isang batas ng paggalaw, dahil

Upang gawing mas tiyak ang gawain, kinailangan naming ayusin ang paunang sitwasyon: ipahiwatig ang coordinate ng gumagalaw na punto sa isang punto ng oras, halimbawa, sa t=0. Kung, sabihin nating, s (0) \u003d s 0, kung gayon mula sa pagkakapantay-pantay ay nakukuha natin ang s (0) \u003d 0 + C, ibig sabihin, S 0 \u003d C. Ngayon ang batas ng paggalaw ay natatanging tinukoy:
Sa matematika, ang magkakaibang mga operasyon ay binibigyan ng iba't ibang mga pangalan, ang mga espesyal na pagtatalaga ay naimbento: halimbawa, pag-squaring (x 2) at pagkuha parisukat na ugat sine (sinx) at arcsine(arcsin x), atbp. Ang proseso ng paghahanap ng derivative na may kinalaman sa isang naibigay na function ay tinatawag na differentiation, at ang inverse operation, i.e. ang proseso ng paghahanap ng isang function sa pamamagitan ng isang ibinigay na derivative - sa pamamagitan ng pagsasama.
Ang terminong "derivative" mismo ay maaaring bigyang-katwiran "sa isang makamundong paraan": ang function na y - f (x) "gumagawa sa mundo" ng isang bagong function y "= f" (x) Ang function y \u003d f (x) kumikilos na parang isang "magulang" , ngunit ang mga mathematician, siyempre, ay hindi ito tinatawag na "magulang" o "prodyuser", sinasabi nila na ito ay, na may kaugnayan sa function na y "=f" (x), ang pangunahing imahe , o, sa madaling salita, ang antiderivative.

Kahulugan 1. Ang function na y \u003d F (x) ay tinatawag na antiderivative para sa function na y \u003d f (x) sa isang naibigay na interval X, kung para sa lahat ng x mula sa X ang pagkakapantay-pantay F "(x) \u003d f (x) ay totoo .

Sa pagsasagawa, ang interval X ay karaniwang hindi tinukoy, ngunit ipinahiwatig (bilang natural na domain ng function).

Narito ang ilang halimbawa:

1) Ang function na y \u003d x 2 ay isang antiderivative para sa function na y \u003d 2x, dahil para sa lahat ng x ang pagkakapantay-pantay (x 2) "\u003d 2x ay totoo.
2) ang function na y - x 3 ay ang antiderivative para sa function na y-3x 2, dahil para sa lahat ng x ang pagkakapantay-pantay (x 3)" \u003d 3x 2 ay totoo.
3) Ang function na y-sinx ay isang antiderivative para sa function na y=cosx, dahil para sa lahat ng x ang pagkakapantay-pantay (sinx) "=cosx ay wasto.
4) Ang function ay antiderivative para sa function sa pagitan dahil para sa lahat ng x > 0 ang pagkakapantay-pantay ay totoo
Sa pangkalahatan, alam ang mga formula para sa paghahanap ng mga derivatives, hindi mahirap mag-compile ng isang talahanayan ng mga formula para sa paghahanap ng mga antiderivatives.

Umaasa kami na naiintindihan mo kung paano pinagsama-sama ang talahanayan na ito: ang derivative ng function na nakasulat sa pangalawang column ay katumbas ng function na nakasulat sa kaukulang row ng unang column (tingnan ito, huwag maging tamad, ito ay lubhang kapaki-pakinabang). Halimbawa, para sa function na y \u003d x 5, ang antiderivative, habang itinatag mo, ay ang function (tingnan ang ikaapat na hilera ng talahanayan).

Mga Tala: 1. Sa ibaba ay pinatutunayan natin ang theorem na kung ang y = F(x) ay isang antiderivative para sa isang function na y = f(x), kung gayon ang function na y = f(x) ay may walang katapusang maraming antiderivative at lahat sila ay may anyong y = F (x ) + C. Samakatuwid, mas tamang idagdag ang terminong C saanman sa ikalawang hanay ng talahanayan, kung saan ang C ay isang arbitrary na tunay na numero.
2. Para sa kapakanan ng kaiklian, minsan sa halip na ang pariralang "ang function na y = F(x) ay ang antiderivative para sa function na y = f(x)", sinasabi nila ang F(x) ay ang antiderivative para sa f(x) ".

2. Mga panuntunan para sa paghahanap ng mga antiderivative

Kapag naghahanap ng mga antiderivatives, gayundin kapag naghahanap ng mga derivatives, hindi lamang mga formula ang ginagamit (nakalista sila sa talahanayan sa p. 196), kundi pati na rin ang ilang mga patakaran. Direktang nauugnay ang mga ito sa kaukulang mga panuntunan para sa pag-compute ng mga derivatives.

Alam natin na ang derivative ng isang sum ay katumbas ng sum ng derivatives. Ang panuntunang ito ay bumubuo ng kaukulang panuntunan para sa paghahanap ng mga antiderivative.

Panuntunan 1 Ang antiderivative ng isang kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga antiderivatives.

Iginuhit namin ang iyong pansin sa ilang "gaan" ng mga salitang ito. Sa katunayan, kakailanganing bumalangkas ng teorama: kung ang mga function na y = f(x) at y=g(x) ay may mga antiderivatives sa pagitan ng X, y-F(x) at y-G(x), ayon sa pagkakabanggit, kung gayon ang kabuuan sa mga function na y = f(x) + g(x) ay may antiderivative sa interval X, at ang antiderivative na ito ay ang function na y = F(x) + G(x). Ngunit kadalasan, kapag bumubuo ng mga panuntunan (at hindi theorems), ang isa ay umalis lamang mga keyword- kaya mas maginhawang ilapat ang panuntunan sa pagsasanay

Halimbawa 2 Hanapin ang antiderivative para sa function na y = 2x + cos x.

Solusyon. Ang antiderivative para sa 2x ay x "; ang antiderivative para sa cosx ay sin x. Samakatuwid, ang antiderivative para sa function na y \u003d 2x + cos x ay magiging function na y \u003d x 2 + sin x (at sa pangkalahatan anumang function ng form Y \u003d x 1 + sinx + C) .
Alam natin na ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa tanda ng derivative. Ang panuntunang ito ay bumubuo ng kaukulang panuntunan para sa paghahanap ng mga antiderivative.

Panuntunan 2 Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa antiderivative sign.

Halimbawa 3

Solusyon. a) Ang antiderivative para sa sin x ay -cos x; samakatuwid, para sa function na y \u003d 5 sin x, ang antiderivative ay magiging function na y \u003d -5 cos x.

b) Ang antiderivative para sa cos x ay sin x; samakatuwid, para sa antiderivative function ay magkakaroon ng function
c) Ang antiderivative para sa x 3 ay ang antiderivative para sa x ay ang antiderivative para sa function na y \u003d 1 ay ang function y \u003d x. Gamit ang una at pangalawang panuntunan para sa paghahanap ng mga antiderivative, nakuha namin na ang antiderivative para sa function na y \u003d 12x 3 + 8x-1 ay ang function
Magkomento. Tulad ng alam mo, ang derivative ng isang produkto ay hindi katumbas ng produkto ng mga derivatives (ang panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng isang produkto ay mas kumplikado) at ang derivative ng isang quotient ay hindi katumbas ng quotient ng mga derivatives. Samakatuwid, walang mga panuntunan para sa paghahanap ng antiderivative ng produkto o ang antiderivative ng quotient ng dalawang function. Mag-ingat ka!
Kumuha kami ng isa pang panuntunan para sa paghahanap ng mga antiderivative. Alam namin na ang derivative ng function y \u003d f (kx + m) ay kinakalkula ng formula

Ang panuntunang ito ay bumubuo ng kaukulang panuntunan para sa paghahanap ng mga antiderivative.
Panuntunan 3 Kung ang y \u003d F (x) ay ang antiderivative para sa function na y \u003d f (x), kung gayon ang antiderivative para sa function na y \u003d f (kx + m) ay ang function

talaga,

Nangangahulugan ito na ito ay isang antiderivative para sa function na y \u003d f (kx + m).
Ang kahulugan ng ikatlong tuntunin ay ang mga sumusunod. Kung alam mo na ang antiderivative para sa function na y \u003d f (x) ay ang function na y \u003d F (x), at kailangan mong hanapin ang antiderivative ng function na y \u003d f (kx + m), pagkatapos ay magpatuloy bilang sumusunod: kunin ang parehong function na F, ngunit sa halip na ang argumentong x, palitan ang expression na xx+m; bilang karagdagan, huwag kalimutang isulat ang "faktor ng pagwawasto" bago ang pag-sign ng function
Halimbawa 4 Maghanap ng mga antiderivative para sa mga ibinigay na function:

Solusyon, a) Ang antiderivative para sa sin x ay -cos x; nangangahulugan ito na para sa function na y \u003d sin2x, ang antiderivative ang magiging function
b) Ang antiderivative para sa cos x ay sin x; samakatuwid, para sa antiderivative function ay magkakaroon ng function

c) Ang antiderivative para sa x 7 ay samakatuwid, para sa function na y \u003d (4-5x) 7, ang antiderivative ang magiging function

3. Indefinite integral

Nabanggit na natin sa itaas na ang problema sa paghahanap ng isang antiderivative para sa isang ibinigay na function y = f(x) ay may higit sa isang solusyon. Talakayin natin ang isyung ito nang mas detalyado.

Patunay. 1. Hayaan ang y \u003d F (x) na maging antiderivative para sa function na y \u003d f (x) sa interval X. Nangangahulugan ito na para sa lahat ng x mula sa X ang pagkakapantay-pantay ng x "(x) \u003d f (x) ay true. Hanapin ang derivative ng anumang function ng form na y \u003d F (x) + C:
(F (x) + C) \u003d F "(x) + C \u003d f (x) + 0 \u003d f (x).

Kaya, (F(x)+C) = f(x). Nangangahulugan ito na ang y \u003d F (x) + C ay isang antiderivative para sa function na y \u003d f (x).
Kaya, napatunayan namin na kung ang function na y \u003d f (x) ay may isang antiderivative y \u003d F (x), kung gayon ang function (f \u003d f (x) ay may walang katapusang maraming antiderivatives, halimbawa, anumang function ng form y \u003d F (x) +C ay antiderivative.
2. Patunayan natin ngayon na ang buong hanay ng mga antiderivative ay naubos ng ipinahiwatig na uri ng mga function.

Hayaang ang y=F 1 (x) at y=F(x) ay dalawang antiderivatives para sa function na Y = f(x) sa interval X. Nangangahulugan ito na para sa lahat ng x mula sa interval X ang mga sumusunod na relasyon ay nagtataglay: F^( x) = f (X); F "(x) \u003d f (x).

Isaalang-alang ang function na y \u003d F 1 (x) -.F (x) at hanapin ang derivative nito: (F, (x) -F (x)) "\u003d F [(x) - F (x) \u003d f (x) - f(x) = 0.
Alam na kung ang derivative ng isang function sa isang interval X ay magkaparehong katumbas ng zero, kung gayon ang function ay pare-pareho sa interval X (tingnan ang Theorem 3 sa § 35). Samakatuwid, F 1 (x) -F (x) \u003d C, i.e. Fx) \u003d F (x) + C.

Ang teorama ay napatunayan.

Halimbawa 5 Ang batas ng pagbabago ng bilis mula sa oras v = -5sin2t ay itinakda. Hanapin ang batas ng paggalaw s = s(t) kung alam na sa oras na t=0 ang coordinate ng punto ay katumbas ng bilang na 1.5 (i.e. s(t) = 1.5).

Solusyon. Dahil ang bilis ay ang derivative ng coordinate bilang isang function ng oras, kailangan muna nating hanapin ang antiderivative ng bilis, i.e. antiderivative para sa function na v = -5sin2t. Ang isa sa mga naturang antiderivatives ay ang function , at ang set ng lahat ng antiderivatives ay may anyo:

Upang makahanap ng isang tiyak na halaga ng pare-parehong C, ginagamit namin ang mga paunang kondisyon, ayon sa kung saan, s(0) = 1.5. Ang pagpapalit sa formula (1) ng mga halaga t=0, S = 1.5, nakukuha natin:

Ang pagpapalit ng nahanap na halaga C sa formula (1), nakuha namin ang batas ng paggalaw ng interes sa amin:

Kahulugan 2. Kung ang isang function na y = f(x) ay may isang antiderivative y = F(x) sa pagitan ng X, kung gayon ang set ng lahat ng antiderivatives, i.e. ang hanay ng mga function ng form y \u003d F (x) + C, ay tinatawag na hindi tiyak na integral ng function na y \u003d f (x) at tinukoy:

(nabasa nila: "ang hindi tiyak na integral ef ng x de x").
Sa susunod na seksyon, malalaman natin kung ano ang nakatagong kahulugan ng notasyong ito.
Batay sa talahanayan ng mga antiderivative na magagamit sa talatang ito, bubuo kami ng isang talahanayan ng mga pangunahing hindi tiyak na integral:

Batay sa tatlong panuntunan sa itaas para sa paghahanap ng mga antiderivatives, maaari nating bumalangkas ng kaukulang mga panuntunan sa pagsasama.

Panuntunan 1 Integral ng kabuuan ng mga function ay katumbas ng kabuuan integral ng mga function na ito:

Panuntunan 2 Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa integral sign:

Panuntunan 3 Kung

Halimbawa 6 Maghanap ng mga hindi tiyak na integral:

Solusyon, a) Gamit ang una at pangalawang panuntunan sa pagsasama, nakukuha namin ang:

Ngayon ginagamit namin ang ika-3 at ika-4 na mga formula ng pagsasama:

Bilang resulta, nakukuha namin ang:

b) Gamit ang ikatlong tuntunin sa pagsasama at formula 8, nakukuha natin ang:

c) Para sa direktang pagpapasiya ng ibinigay na integral, wala kaming katumbas na formula o kaukulang tuntunin. Sa ganitong mga kaso, kung minsan ay paunang naisakatuparan magkaparehong pagbabago expression na nakapaloob sa ilalim ng integral sign.

Gamitin natin ang trigonometric formula para sa pagpapababa ng degree:

Pagkatapos ay sunud-sunod na makikita natin:

A.G. Mordkovich Algebra Grade 10

Calendar-thematic na pagpaplano sa matematika, video sa mathematics online, Math sa school

Indefinite integral

Ang pangunahing gawain ng differential calculus ay ang pagkalkula ng derivative o differential ng isang naibigay na function. Ang integral calculus, na pinag-aaralan natin ngayon, ay nilulutas ang kabaligtaran na problema, ibig sabihin, ang paghahanap ng mismong function mula sa derivative o differential nito. Ibig sabihin, pagkakaroon dF(x)= f(x)d (7.1) o F′(x)= f(x),

saan f(x)- isang kilalang function, kailangan mong maghanap ng function F(x).

Kahulugan:Ang function na F(x) ay tinatawag primitive function na f (x) sa segment kung sa lahat ng punto ng segment na ito ang pagkakapantay-pantay ay totoo: F′(x) = f(x) o dF(x)= f(x)d.

Halimbawa, isa sa mga antiderivative para sa function f(x)=3x2 kalooban F (x) \u003d x 3, dahil ( x 3)′=3x 2. Ngunit ang antiderivative para sa function f(x)=3x2 magiging mga function at , dahil .

Kaya, ibinigay na function f(x)=3x2 ay may walang katapusang bilang ng mga primitive, na ang bawat isa ay naiiba lamang sa pamamagitan ng isang pare-parehong termino. Ipakita natin na ang resultang ito ay mayroon din sa pangkalahatang kaso.

Teorama Dalawang magkaibang antiderivatives ng parehong function, na tinukoy sa ilang interval, ay naiiba sa isa't isa sa interval na ito sa pamamagitan ng isang pare-parehong termino.

Patunay

Hayaan ang function f(x) tinukoy sa pagitan (a¸b) At F 1 (x) At F 2 (x) - primitives, i.e. F 1 ′(x)= f(x) at F 2 ′(x)= f(x).

Pagkatapos F 1 ′(x)=F 2 ′(x)Þ F 1 ′(x) - F 2 ′(x) = (F 1 ′(x) - F 2 (x))′= 0. Þ F 1 (x) - F 2 (x) \u003d C

Mula rito, F 2 (x) \u003d F 1 (x) + C

saan SA ay isang pare-pareho (dito ginagamit namin ang corollary mula sa teorama ni Lagrange).

Ang teorama ay kaya napatunayan.

geometric na ilustrasyon. Kung sa = F 1 (x) At sa = F 2 (x) ay mga antiderivatives ng parehong function f(x), pagkatapos ay ang padaplis sa kanilang mga graph sa mga puntong may karaniwang abscissa X parallel sa bawat isa (Larawan 7.1).

Sa kasong ito, ang distansya sa pagitan ng mga curve na ito sa kahabaan ng axis OU nananatiling pare-pareho F 2 (x) - F 1 (x) \u003d C , ibig sabihin, ang mga kurbadang ito ay papasok ilang pang-unawa ay "parallel" sa isa't isa.

Bunga .

Pagdaragdag sa ilang primitive F(x) para sa function na ito f(x) tinukoy sa pagitan X, lahat ng posibleng constants SA, nakukuha namin ang lahat ng posibleng antiderivatives para sa function f(x).

Kaya ang expression F(x)+C , saan , at F(x) ay ilang antiderivative ng function f(x) kasama ang lahat ng posibleng antiderivatives para sa f(x).

Halimbawa 1 Suriin kung ang mga function ay antiderivatives para sa function

Solusyon:

Sagot: antiderivatives para sa function magkakaroon ng mga function At

Kahulugan: Kung ang function na F(x) ay ilang antiderivative para sa function na f(x), kung gayon ang set ng lahat ng antiderivatives F(x) + C ay tinatawag hindi tiyak na integral ng f(x) at ipahiwatig:

∫f(x)dx.

A-priory:

f(x) - integrand,

f(x)dx - integrand

Mula dito ay sumusunod na ang hindi tiyak na integral ay isang function ng pangkalahatang anyo, ang pagkakaiba nito ay katumbas ng integrand, at ang derivative nito na may kinalaman sa variable. X ay katumbas ng integrand sa lahat ng punto.

Mula sa isang geometric na punto ng view ang indefinite integral ay isang pamilya ng mga kurba, na ang bawat isa ay nakukuha sa pamamagitan ng paglilipat ng isa sa mga kurba parallel sa sarili nito pataas o pababa, iyon ay, sa kahabaan ng axis OU(Larawan 7.2).

Ang operasyon ng pagkalkula ng hindi tiyak na integral ng ilang function ay tinatawag pagsasama function na ito.

Tandaan na kung ang derivative ng elementary function ay palaging elementary function, ang antiderivative ng elementary function ay hindi kailangang katawanin ng may hangganan na bilang ng elementary function.

Isaalang-alang ngayon katangian ng hindi tiyak na integral.

Ang kahulugan 2 ay nagpapahiwatig ng:

1. Ang derivative ng di-tiyak na integral ay katumbas ng integrand, iyon ay, kung F′(x) = f(x) , Iyon

2. Ang differential ng di-tiyak na integral ay katumbas ng integrand

. (7.4)

Mula sa kahulugan ng differential at property (7.3)

3. Ang hindi tiyak na integral ng pagkakaiba ng ilang function ay katumbas ng function na ito hanggang sa isang pare-parehong termino, iyon ay (7.5)

Mayroong tatlong pangunahing panuntunan para sa paghahanap ng mga antiderivative function. Ang mga ito ay halos kapareho sa kaukulang mga panuntunan sa pagkita ng kaibhan.

Panuntunan 1

Kung ang F ay isang antiderivative para sa ilang function na f, at ang G ay isang antiderivative para sa ilang function na g, kung gayon ang F + G ay magiging isang antiderivative para sa f + g.

Sa pamamagitan ng kahulugan ng antiderivative F' = f. G' = g. At dahil ang mga kundisyong ito ay natutugunan, pagkatapos ay ayon sa panuntunan para sa pagkalkula ng derivative para sa kabuuan ng mga pag-andar, magkakaroon tayo ng:

(F + G)' = F' + G' = f + g.

Panuntunan 2

Kung ang F ay isang antiderivative para sa ilang function na f at k ay ilang pare-pareho. Kung gayon ang k*F ay ang antiderivative para sa function na k*f. Ang panuntunang ito ay sumusunod mula sa panuntunan para sa pagkalkula ng derivative kumplikadong pag-andar.

Mayroon tayong: (k*F)’ = k*F’ = k*f.

Panuntunan 3

Kung ang F(x) ay ilang antiderivative ng f(x), at ang k at b ay ilang constants, at ang k ay di-zero, kung gayon ang (1/k)*F*(k*x+b) ay magiging isang antiderivative ng f (k*x+b).

Ang panuntunang ito ay sumusunod mula sa panuntunan para sa pagkalkula ng derivative ng isang kumplikadong function:

((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b).

Tingnan natin ang ilang halimbawa kung paano nalalapat ang mga panuntunang ito:

Halimbawa 1. Hanapin pangkalahatang anyo antiderivatives para sa function na f(x) = x^3 +1/x^2. Para sa function na x^3 isa sa mga antiderivatives ang magiging function (x^4)/4, at para sa function na 1/x^2 isa sa mga antiderivatives ang magiging function -1/x. Gamit ang unang panuntunan, mayroon kaming:

F(x) = x^4/4 - 1/x +C.

Halimbawa 2. Hanapin natin ang pangkalahatang anyo ng mga antiderivatives para sa function na f(x) = 5*cos(x). Para sa cos(x) function, ang isa sa mga antiderivatives ay ang sin(x) function. Kung gagamitin natin ngayon ang pangalawang panuntunan, magkakaroon tayo ng:

F(x) = 5*sin(x).

Halimbawa 3 Hanapin ang isa sa mga antiderivatives para sa function na y = sin(3*x-2). Para sa function na sin(x), isa sa mga antiderivative ay ang -cos(x) function. Kung gagamitin natin ngayon ang ikatlong panuntunan, makakakuha tayo ng expression para sa antiderivative:

F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)

Halimbawa 4. Hanapin ang antiderivative para sa function na f(x) = 1/(7-3*x)^5

Ang antiderivative para sa function na 1/x^5 ay magiging function (-1/(4*x^4)). Ngayon, gamit ang ikatlong panuntunan, nakukuha namin.

Primitive. magandang salita.) Para sa mga nagsisimula, isang maliit na Ruso. Ganito ang pagbigkas ng salita, hindi "primordial" bilang ito ay maaaring mukhang. Ang antiderivative ay ang pangunahing konsepto ng buong integral calculus. Anumang mga integral - indefinite, definite (makikilala mo na sila sa semester na ito), pati na rin ang double, triple, curvilinear, surface (at ito ang mga pangunahing character ng ikalawang taon) - ay binuo dito pangunahing konsepto. Ito ang ganap na kahulugan upang makabisado. Pumunta.)

Bago makilala ang konsepto ng antiderivative, tingnan natin ang karamihan sa mga pangkalahatang tuntunin tandaan ang pinakakaraniwan derivative. Nang hindi sinasaliksik ang nakakainip na teorya ng mga limitasyon, mga pagtaas ng argumento at iba pang mga bagay, masasabi nating ang paghahanap ng derivative (o pagkakaiba-iba) ay isang mathematical operation lamang sa function. At ayun na nga. Ang anumang function ay kinuha (halimbawa, f(x) = x2) At Sa pamamagitan ng ilang mga tuntunin nagbabago sa bagong feature. At ito ang isa bagong feature at tinawag derivative.

Sa aming kaso, bago ang pagkita ng kaibhan ay mayroong isang function f(x) = x2, at pagkatapos ng pagkita ng kaibhan ay naging na ibang function f'(x) = 2x.

Derivative– dahil ang aming bagong function f'(x) = 2x nangyari mula sa pag-andar f(x) = x2. Bilang resulta ng operasyon ng pagkita ng kaibhan. At higit pa rito, ito ay mula rito, at hindi mula sa ibang pag-andar ( x 3, Halimbawa).

Sa madaling salita, f(x) = x2- ito ay nanay, f'(x) = 2x- ang kanyang minamahal na anak na babae.) Ito ay maliwanag. Sige lang.

Ang mga mathematician ay mga taong hindi mapakali. Para sa bawat aksyon sinusubukan nilang makahanap ng reaksyon. :) May karagdagan - may pagbabawas din. May multiplication at may division. Ang pagtaas sa isang kapangyarihan ay pagkuha ng ugat. Ang sine ay ang arcsine. May eksaktong pareho pagkakaiba-iba Ibig sabihin may... pagsasama.)

Ngayon ilagay natin ito kawili-wiling gawain. Mayroon kaming, halimbawa, tulad ng isang simpleng function f(x) = 1. At kailangan nating sagutin ang tanong na ito:

Ang derivative ng WHAT function ay nagbibigay sa amin ng functionf(x) = 1?

Sa madaling salita, makita ang anak na babae, gamit ang pagsusuri ng DNA, alamin kung sino ang kanyang ina. :) So mula sa ano inisyal function (tawagin natin itong F(x)) our derivative function na f(x) = 1? O sa anyong matematikal, para saan function F(x) ang pagkakapantay-pantay ay natupad:

F'(x) = f(x) = 1?

Isang halimbawang elementarya. Sinubukan ko.) Pinipili lang namin ang function na F (x) para gumana ang pagkakapantay-pantay. :) Well, paano mo ito kinuha? Oo ba! F(x) = x. dahil:

F'(x) = x' = 1 = f(x).

Syempre, hinanap si mommy F(x) = x you have to call it something, yes.) Meet me!

Isang antiderivative para sa isang functionf(x) ay tulad ng isang functionF(x), na ang derivative ay katumbas ngf(x), ibig sabihin. kung saan ang pagkakapantay-pantayF’(x) = f(x).

Iyon lang. Wala nang mga pang-agham na trick. Sa mahigpit na kahulugan, isang karagdagang parirala ang idinagdag "sa pagitan ng x". Ngunit hindi muna natin susuriin ang mga subtleties na ito sa ngayon, dahil ang pangunahing gawain natin ay matutunan kung paano hanapin ang mga primitive na ito.

Sa aming kaso, lumalabas na ang function F(x) = x ay primitive para sa function f(x) = 1.

Bakit? kasi F'(x) = f(x) = 1. Ang derivative ng x ay pagkakaisa. Walang pagtutol.)

Ang terminong "primordial" sa paraang philistine ay nangangahulugang "ninuno", "magulang", "ninuno". Naaalala natin agad ang pinakamamahal at minamahal.) At ang paghahanap para sa antiderivative mismo ay ang pagpapanumbalik ng orihinal na function sa pamamagitan ng kilalang derivative nito. Sa madaling salita, ang pagkilos na ito kabaligtaran ng pagkakaiba-iba. At ayun na nga! Ang kamangha-manghang prosesong ito mismo ay tinatawag ding medyo siyentipiko - pagsasama. Ngunit tungkol sa integral- Mamaya. Pasensya, mga kaibigan!

Tandaan:

Ang pagsasama ay isang mathematical na operasyon sa isang function (tulad ng pagkita ng kaibahan).

Ang pagsasama ay ang kabaligtaran ng pagkakaiba-iba.

Ang antiderivative ay ang resulta ng pagsasama.

Ngayon gawing kumplikado ang gawain. Hanapin natin ngayon ang antiderivative para sa function f(x) = x. Ibig sabihin, hanapin natin ganyang function F(x) , sa hinango nito magiging katumbas ng x:

F'(x) = x

Sino ang nakikipagkaibigan sa mga derivatives, marahil ang isang bagay na tulad nito ang maiisip:

(x 2)' = 2x.

Well, respeto at respeto sa mga nakakaalala sa table of derivatives!) Tama. Ngunit may isang problema. Ang aming orihinal na function f(x) = x, A (x2)' = 2 x. Dalawa X. At pagkatapos ng pagkita ng kaibhan, dapat nating makuha x lang. Hindi okay. Pero…

Kami ay isang siyentipikong tao. Nakatanggap kami ng mga sertipiko.) At alam namin mula sa paaralan na ang parehong bahagi ng anumang pagkakapantay-pantay ay maaaring i-multiply at hatiin sa parehong numero (maliban sa zero, siyempre)! Kaya nakaayos. Samantalahin natin ang pagkakataong ito.)

Pagkatapos ng lahat, gusto namin ang isang malinis na X na manatili sa kanan, tama? At ang deuce ay nakakasagabal ... Kaya kinuha namin ang ratio para sa derivative (x 2) '= 2x at hatiin magkabilang bahagi nito para sa dalawang ito:

Kaya, nililinaw nito ang ilang bagay. Sige lang. Alam namin na ang anumang pare-pareho ay maaaring maging alisin ito sa tanda ng derivative. Ganito:

Gumagana ang lahat ng mga formula sa matematika mula kaliwa hanggang kanan at vice versa - mula kanan hanggang kaliwa. Nangangahulugan ito na, sa parehong tagumpay, ang anumang pare-pareho ay maaaring maging ipasok sa ilalim ng derivative sign:

Sa aming kaso, itinago namin ang deuce sa denominator (o, ano ang pareho, ang coefficient 1/2) sa ilalim ng tanda ng derivative:

At ngayon matulungin Tingnan natin ang aming rekord. Ano ang nakikita natin? Nakikita natin ang pagkakapantay-pantay na nagsasabi na ang hinango ng isang bagay(Ito isang bagay- sa mga bracket) ay katumbas ng x.

Ang resultang pagkakapantay-pantay ay nangangahulugan lamang na ang nais na antiderivative para sa function f(x) = x nagsisilbing function F(x) = x2/2 . Yung nasa bracket sa ilalim ng stroke. Direkta ayon sa kahulugan ng antiderivative.) Well, suriin natin ang resulta. Hanapin natin ang derivative:

Malaki! Nakuha ang orihinal na function f(x) = x. From what they danced, to that bumalik sila. Nangangahulugan ito na ang aming antiderivative ay natagpuan nang tama.)

At kung f(x) = x2? Ano ang primitive na katumbas nito? Walang problema! Alam mo at ko (muli, mula sa mga patakaran ng pagkakaiba-iba) na:

3x2 = (x3)'

AT, yan ay,

Nakuha ko? Ngayon kami, nang hindi mahahalata para sa aming sarili, ay natutong magbilang ng mga antiderivative para sa anuman power function f(x)=x n. Sa isip.) Kinukuha namin ang paunang tagapagpahiwatig n, dagdagan ito ng isa, at bilang kabayaran ay hinahati namin ang buong istraktura sa pamamagitan ng n+1:

Ang resultang formula, sa pamamagitan ng paraan, ay wasto hindi lang para sa natural na tagapagpahiwatig degree n, ngunit din para sa anumang iba pang - negatibo, fractional. Ginagawa nitong madali ang paghahanap ng mga antiderivative mula sa simple mga fraction At mga ugat.

Halimbawa:

natural, n ≠ -1 , kung hindi man ang denominator ng formula ay zero, at ang formula ay nawawala ang kahulugan nito.) Tungkol dito isang espesyal na kaso n=-1 ilang sandali pa.)

Ano ang isang indefinite integral? Talaan ng mga integral.

Sabihin natin kung ano ang derivative para sa function F(x) = x? Buweno, isa, isa - naririnig ko ang mga hindi nasisiyahang sagot ... Tama. Yunit. Ngunit... Para sa function G(x) = x+1 derivative magiging katumbas din ng isa.:

Gayundin, ang derivative ay magiging katumbas ng isa para sa function x+1234 , at para sa function x-10 , at para sa anumang iba pang function ng form x+C , Saan SA ay anumang pare-pareho. Para sa derivative ng anumang pare-pareho ay katumbas ng zero, at mula sa pagdaragdag / pagbabawas ng zero, walang malamig o mainit.)

Lumalabas ang kalabuan. Ito ay lumiliko out na para sa function f(x) = 1 nagsisilbing prototype hindi lamang isang function F(x) = x , ngunit din ang pag-andar F 1 (x) = x+1234 at pag-andar F 2 (x) = x-10 at iba pa!

Oo. Tama.) Para sa lahat ( tuloy-tuloy sa pagitan) ng function, hindi lamang isang antiderivative, ngunit walang katapusang marami - isang buong pamilya! Hindi isang ina o tatay, ngunit isang buong pedigree, oo.)

Ngunit! Ang lahat ng aming mga primitive na kamag-anak ay nagkakaisa sa isang bagay mahalagang ari-arian. Iyon ang dahilan kung bakit sila ay mga kamag-anak.) Napakahalaga ng ari-arian na sa proseso ng pagsusuri sa mga pamamaraan ng pagsasama, maaalala natin ang tungkol dito nang higit sa isang beses. At tatandaan natin nang mahabang panahon.)

Narito ito, ang ari-arian na ito:

Anumang dalawang primitive F 1 (x) AtF 2 (x) mula sa parehong functionf(x) naiiba sa pamamagitan ng isang pare-pareho:

F 1 (x) - F 2 (x) = C.

Who cares about the proof - study the literature or lecture notes.) Okay, so be it, I'll prove it. Sa kabutihang palad, ang patunay dito ay elementarya, sa isang hakbang. Kinukuha namin ang pagkakapantay-pantay

F 1 (x) - F 2 (x) = C

At Ibahin natin ang dalawang bahagi. Ibig sabihin, katangahan lang tayong naglalagay ng mga stroke:

Iyon lang. Tulad ng sinasabi nila, CTD. :)

Ano ang sinasabi ng ari-arian na ito? At ang dalawang magkaibang primitive na iyon mula sa parehong function f(x) hindi maaaring magkaiba ng ilang expression na may x . Mahigpit lamang sa isang pare-pareho! Sa madaling salita, kung mayroon tayong isang graph ng ilang uri isa sa mga pioneer(hayaan itong maging F(x)), pagkatapos ay ang mga graph Lahat ng aming mga antiderivatives ay binuo sa pamamagitan ng parallel na pagsasalin ng graph F(x) kasama ang y-axis.

Tingnan natin kung ano ang hitsura nito sa halimbawang function f(x) = x. Ang lahat ng primitives nito, tulad ng alam na natin, ay may pangkalahatang anyo F(x) = x 2 /2+C . Sa larawan ay parang isang walang katapusang bilang ng mga parabola nakuha mula sa "pangunahing" parabola y = x 2/2 sa pamamagitan ng paglilipat pataas o pababa kasama ang OY axis depende sa halaga ng pare-pareho SA.

Tandaan ang paaralan na nagpaplano ng isang function y=f(x)+a paglilipat ng iskedyul y=f(x) sa pamamagitan ng "a" na mga yunit sa kahabaan ng y-axis?) Narito ito ay pareho.)

At, bigyang-pansin: ang aming mga parabola huwag tumawid kahit saan! Ito ay natural. Pagkatapos ng lahat, dalawa iba't ibang function y 1 (x) at y 2 (x) ay hindi maiiwasang magkatugma dalawa iba't ibang kahulugan mga pare-pareho – Mula sa 1 At Mula 2.

Samakatuwid, ang equation na y 1 (x) = y 2 (x) ay hindi kailanman may mga solusyon:

C 1 = C 2

x ∊ ∅ , dahil C 1 ≠ C2

At ngayon ay maayos na nating nalalapit ang pangalawang konseptong pundasyon ng integral calculus. Gaya ng kakatatag natin, ang bawat function na f(x) ay may walang katapusang hanay ng mga antiderivatives na F(x) + C na naiiba sa isa't isa sa pamamagitan ng isang pare-pareho. Ang pinaka-infinite set na ito ay mayroon ding sariling espesyal na pangalan.) Well, please love and favor!

Ano ang isang indefinite integral?

Ang set ng lahat ng antiderivatives para sa isang function f(x) ay tinatawag na hindi tiyak na integral mula sa pag-andarf(x).

Iyan ang buong kahulugan.)

"Hindi sigurado" - dahil ang set ng lahat ng antiderivatives para sa parehong function walang katapusan. Masyadong maraming mga pagpipilian.)

"Integral" - makikilala natin ang isang detalyadong pag-decode ng brutal na salitang ito sa susunod na malaking seksyon sa mga tiyak na integral . Samantala, sa isang magaspang na anyo, isasaalang-alang natin bilang isang mahalagang bagay pangkalahatan, isa, buo. At ang pagsasama Unyon, paglalahat, sa kasong ito, ang paglipat mula sa partikular (derivative) patungo sa pangkalahatan (antiderivatives). May ganyan.

Ang indefinite integral ay tinutukoy bilang mga sumusunod:

Katulad ng nakasulat: integral eff ng x de x. O kaya integral mula sa ef mula sa x de x. Well, nakuha mo ang ideya.)

Ngayon ay haharapin natin ang notasyon.

∫ - integral na icon. Ang kahulugan ay kapareho ng stroke para sa derivative.)

d - iconkaugalian. Hindi kami natatakot! Bakit kailangan doon - mas mababa ng kaunti.

f(x) - integrand(sa pamamagitan ng "s").

f(x)dx - integrand. O, halos nagsasalita, ang "pagpupuno" ng integral.

Ayon sa kahulugan ng hindi tiyak na integral,

Dito F(x)- ang parehong isa antiderivative para sa function f(x) na kami kahit papaano natagpuan ang kanilang mga sarili. Kung paano eksaktong natagpuan nila ito ay hindi ang punto. Halimbawa, itinatag namin iyon F(x) = x2/2 Para sa f(x)=x.

"KASAMA" - di-makatwirang pare-pareho. O, mas siyentipiko, integral constant. O kaya pare-pareho ang pagsasama. Lahat ay isa.)

Ngayon ay bumalik tayo sa aming pinakaunang mga antiderivative na halimbawa. Sa mga tuntunin ng hindi tiyak na integral, maaari na nating isulat ang:

Ano ang integral constant at bakit ito kailangan?

Ang tanong ay napaka-interesante. At napaka (VERY!) importante. Ang integral constant mula sa buong walang katapusang hanay ng mga antiderivatives ay nag-iisa sa linyang iyon, na dumadaan ibinigay na punto.

Ano ang punto. Mula sa orihinal na walang katapusang hanay ng mga antiderivatives (i.e. hindi tiyak na integral) kinakailangang piliin ang kurba na dadaan sa ibinigay na punto. Kasama ang ilan tiyak na mga coordinate. Ang ganitong gawain ay palaging at saanman nakatagpo sa panahon ng paunang kakilala sa mga integral. Parehong sa paaralan at sa unibersidad.

Karaniwang problema:

Sa hanay ng lahat ng antiderivatives ng function na f=x piliin ang isa na dumadaan sa punto (2;2).

Nagsisimula kaming mag-isip gamit ang aming mga ulo ... Ang hanay ng lahat ng primitives - nangangahulugan ito na kailangan mo muna isama ang aming orihinal na function. Ibig sabihin, x(x). Ginawa namin ito nang medyo mas mataas at nakuha ang sumusunod na sagot:

At ngayon naiintindihan namin kung ano ang eksaktong nakuha namin. Nakatanggap kami ng hindi lamang isang function, ngunit isang buong pamilya ng mga function. Alin? Vida y=x 2 /2+C . Depende sa halaga ng pare-parehong C. At ngayon kailangan nating "hulihin" ang halagang ito ng pare-pareho.) Buweno, hulihin natin ito?)

Ang aming pamingwit - pamilya ng mga kurba (parabolas) y=x2/2+C.

Mga Constant - ito ay mga isda. Maraming marami. Ngunit ang bawat isa ay may sariling kawit at pain.)

At ano ang pain? Tama! Ang punto natin ay (-2;2).

Kaya't pinapalitan namin ang mga coordinate ng aming punto sa pangkalahatang anyo ng mga antiderivatives! Nakukuha namin:

y(2) = 2

Mula dito ay madaling mahanap C=0.

Ano ang ibig sabihin ng siyo? Nangangahulugan ito na mula sa buong walang katapusang hanay ng mga parabola ng formy=x 2 /2+Clamang parabola na may pare-parehong C=0 bagay sa atin! Namely:y=x2/2. At siya lang. Tanging ang parabola na ito ang dadaan sa puntong kailangan natin (-2; 2). At salahat ng iba pang parabola mula sa aming pamilya ay dumadaan puntong ito hindi na magiging. Sa pamamagitan ng ilang iba pang mga punto ng eroplano - oo, ngunit sa pamamagitan ng punto (2; 2) - hindi na. Nakuha ko?

Para sa kalinawan, narito ang dalawang larawan para sa iyo - ang buong pamilya ng mga parabola (ibig sabihin, ang hindi tiyak na integral) at ilan kongkretong parabola katumbas ng tiyak na halaga ng pare-pareho at dumaraan tiyak na punto:

Tingnan kung gaano kahalaga na isaalang-alang ang isang pare-pareho SA kapag nagsasama! Kaya't huwag pabayaan ang titik na "C" na ito at huwag kalimutang i-attribute ang huling sagot.

At ngayon, alamin natin kung bakit ang simbolo ay nakabitin saanman sa loob ng mga integral dx . Madalas itong nakakalimutan ng mga estudyante ... At ito nga pala, ay isang pagkakamali din! At medyo magaspang. Ang punto ay ang pagsasama ay ang kabaligtaran ng pagkakaiba-iba. At kung ano talaga ang resulta ng pagkakaiba-iba? derivative? Totoo, ngunit hindi talaga. Differential!

Sa aming kaso, para sa pag-andar f(x) pagkakaiba ng antiderivative nito F(x), ay:

Sinuman ang hindi nakakaunawa sa kadena na ito - mapilit na ulitin ang kahulugan at kahulugan ng kaugalian at kung paano eksaktong ito ay ipinahayag! Kung hindi, ikaw ay magpapabagal nang walang awa sa mga integral ....

Hayaan akong ipaalala sa iyo, sa pinaka-bastos na philistine form, na ang pagkakaiba ng anumang function na f (x) ay ang produkto lamang f'(x)dx. At ayun na nga! Kunin ang derivative at i-multiply ito sa pagkakaiba ng argumento(ibig sabihin, dx). Iyon ay, ang anumang pagkakaiba, sa katunayan, ay nabawasan sa pagkalkula ng karaniwan derivative.

Samakatuwid, mahigpit na nagsasalita, ang integral ay "kinuha" hindi mula sa mga function f(x), gaya ng karaniwang pinaniniwalaan, at kaugalian f(x)dx! Ngunit, sa isang pinasimple na bersyon, kaugalian na sabihin iyon "ang integral ay kinuha mula sa function". O kaya: "Pinagsasama-sama ang function f(x)". Ito ay pareho. At pareho tayo ng sasabihin. Ngunit tungkol sa icon dx Huwag nating kalimutan bagaman! :)

At ngayon sasabihin ko sa iyo kung paano huwag kalimutan ito kapag nagre-record. Isipin muna na kinakalkula mo ang ordinaryong derivative na may paggalang sa x. Paano mo ito karaniwang isinusulat?

Tulad nito: f'(x), y'(x), y'x. O mas matatag, sa pamamagitan ng ratio ng mga pagkakaiba: dy/dx. Ang lahat ng mga talaang ito ay nagpapakita sa amin na ang hinalaw ay tiyak na kinuha ng x. At hindi sa pamamagitan ng "y", "te" o iba pang variable.)

Ang parehong ay totoo para sa mga integral. Pagre-record ∫ f(x)dx U.S. din parang ay nagpapakita na ang pagsasama ay isinasagawa nang eksakto sa pamamagitan ng variable x. Siyempre, ang lahat ng ito ay napaka-pinasimple at krudo, ngunit ito ay malinaw, umaasa ako. At ang mga posibilidad kalimutan katangian ang nasa lahat ng dako dx bumaba nang husto.)

Kaya, ano ang parehong hindi tiyak na integral - naisip ito. Mahusay.) Ngayon ay mainam na matutunan ang mga napaka-indefinite integral na ito kalkulahin. O, simpleng ilagay, "kunin". :) At narito ang mga estudyante ay naghihintay ng dalawang balita - mabuti at hindi maganda. Sa ngayon, magsimula tayo sa mabuti.)

Maganda ang balita. Para sa mga integral, pati na rin para sa mga derivatives, mayroong isang talahanayan. At lahat ng mga integral na makikilala namin sa daan, kahit na ang pinaka-kahila-hilakbot at magarbong mga, kami ayon sa ilang mga tuntunin kahit papaano ay babawasan natin ang mga ito sa napaka-tabular na mga ito.)

Kaya eto siya integral table!

Narito ang napakagandang talahanayan ng mga integral mula sa pinakasikat na mga function. Inirerekomenda ko ang pagbibigay ng espesyal na pansin sa pangkat ng mga formula 1-2 (pare-pareho at function ng kapangyarihan). Ito ang mga pinakakaraniwang formula sa mga integral!

Ang ikatlong pangkat ng mga formula (trigonometry), gaya ng maaari mong hulaan, ay nakukuha sa pamamagitan lamang ng pagbaligtad ng mga katumbas na formula para sa mga derivatives.

Halimbawa:

Sa ika-apat na pangkat ng mga formula (exponential function) - lahat ay magkatulad.

At narito ang apat kamakailang mga grupo mga formula (5-8) para sa atin bago. Saan sila nanggaling at para sa anong mga merito ang mga kakaibang pag-andar na ito ay biglang pumasok sa talahanayan ng mga pangunahing integral? Bakit namumukod-tangi ang mga pangkat ng mga function na ito mula sa iba pang mga function?

Kaya ito ay nangyari sa kasaysayan sa proseso ng pag-unlad mga pamamaraan ng pagsasama . Kapag nagsanay kami na kunin ang pinaka-magkakaibang integral, mauunawaan mo na ang mga integral ng mga function na nakalista sa talahanayan ay napaka-pangkaraniwan. Napakadalas na inuri sila ng mga mathematician bilang tabular.) Napakaraming iba pang integral ang ipinahayag sa pamamagitan ng mga ito, mula sa mas kumplikadong mga konstruksyon.

Para sa kapakanan ng interes, maaari mong kunin ang isa sa mga kakila-kilabot na formula na ito at mag-iba. :) Halimbawa, ang pinaka-brutal na 7th formula.

Maayos ang lahat. Hindi nanlinlang ang mga mathematician. :)

Ito ay kanais-nais na malaman ang talahanayan ng mga integral, pati na rin ang talahanayan ng mga derivatives, sa pamamagitan ng puso. Sa anumang kaso, ang unang apat na grupo ng mga formula. Hindi ito kasing hirap gaya ng sa unang tingin. Isaulo ang huling apat na pangkat (na may mga fraction at ugat) Bye hindi katumbas ng halaga. Anyway, sa una ay malilito ka kung saan isusulat ang logarithm, nasaan ang arc tangent, nasaan ang arc sine, nasaan ang 1/a, nasaan ang 1/2a ... May isang paraan lamang - upang malutas ang higit pa mga halimbawa. Pagkatapos ang mesa ay unti-unting maaalala nang mag-isa, at ang mga pagdududa ay titigil sa pagkagat.)

Ang partikular na matanong na mga tao, na tumitingin nang mabuti sa talahanayan, ay maaaring magtanong: nasaan ang mga integral ng iba pang elementarya na "paaralan" na mga function - tangent, logarithm, "arches" sa talahanayan? Sabihin natin kung bakit mayroong integral ng sine sa talahanayan, ngunit mayroong HINDI, sabihin nating, isang integral ng tangent tg x? O walang integral mula sa logarithm sa x? Mula sa arcsine arcsin x? Bakit mas malala sila? Ngunit ito ay puno ng ilang "kaliwa" na pag-andar - na may mga ugat, fraction, parisukat ...

Sagot. Wala nang mas masahol pa.) Ang mga integral sa itaas lamang (mula sa tangent, logarithm, arcsine, atbp.) ay hindi tabular . At ang mga ito ay matatagpuan sa pagsasanay na mas madalas kaysa sa mga ipinakita sa talahanayan. Kaya alam sa puso, na kung saan sila ay katumbas ng, ay hindi sa lahat ng kailangan. Sapat na malaman kumusta na sila kalkulado.)

Ano, may hindi pa rin matitiis? Kaya lang, lalo na para sa iyo!

Teka, paano ka mag-aaral? :) Ayaw mo? At huwag.) Ngunit huwag mag-alala, tiyak na mahahanap natin ang lahat ng gayong integral. sa mga kaugnay na aralin. :)

Buweno, ngayon ay bumaling tayo sa mga katangian ng hindi tiyak na integral. Oo, walang dapat gawin! Isang bagong konsepto ang ipinakilala, at ang ilan sa mga katangian nito ay agad na isinasaalang-alang.

Mga katangian ng hindi tiyak na integral.

Ngayon ang hindi magandang balita.

Hindi tulad ng pagkakaiba-iba, pangkalahatang pamantayan ng mga tuntunin sa pagsasama, patas para sa lahat ng okasyon, ay wala sa matematika. Ito ay hindi kapani-paniwala!

Halimbawa, alam na alam mo lahat (sana!) yan anuman trabaho anuman dalawang function na f(x) g(x) ay pinag-iba tulad nito:

(f(x) g(x))’ = f’(x) g(x) + f(x) g’(x).

Anuman ang quotient ay naiba tulad nito:

At anumang kumplikadong pag-andar, gaano man ito baluktot, ay naiba tulad nito:

At kahit anong function ang nakatago sa ilalim ng mga letrang f at g, gagana pa rin ang mga pangkalahatang tuntunin at ang derivative, isang paraan o iba pa, ay makikita.

Ngunit sa mga integral, ang naturang numero ay hindi na gagana: para sa isang produkto, isang quotient (fraction), pati na rin ang isang kumplikadong function. pangkalahatang mga formula pagsasama ay wala! Walang mga karaniwang tuntunin! Sa halip, sila ay. Sinaktan ko ang matematika nang walang kabuluhan.) Ngunit, una, may mas kaunti sa kanila kaysa pangkalahatang tuntunin para sa pagkita ng kaibhan. At pangalawa, ang karamihan sa mga pamamaraan ng pagsasama na pag-uusapan natin sa mga sumusunod na aralin ay napaka-espesipiko. At ang mga ito ay may bisa lamang para sa isang tiyak, napakalimitadong klase ng mga pag-andar. Sabihin na lang natin fractional rational function. O ilang iba pa.

At ang ilang mga integral, bagama't sila ay umiiral sa kalikasan, ay karaniwang hindi ipinahayag sa anumang paraan sa pamamagitan ng elementarya na "paaralan" na mga pag-andar! Oo, oo, at maraming ganoong integral! :)

Iyon ang dahilan kung bakit ang integration ay isang mas maraming oras at maingat na gawain kaysa sa pagkita ng kaibhan. Ngunit ito ay may sariling sarap. Ang aktibidad na ito ay malikhain at lubhang kapana-panabik.) At, kung ikaw ay mahusay na makabisado ang talahanayan ng mga integral at makabisado ng hindi bababa sa dalawang pangunahing pamamaraan, na tatalakayin natin mamaya (at), kung gayon ay talagang gusto mo ang pagsasama. :)

At ngayon, kilalanin natin, sa katunayan, ang mga katangian ng hindi tiyak na integral. Sila ay wala. Nandito na sila.

Ang unang dalawang katangian ay ganap na kahalintulad sa parehong mga katangian para sa mga derivatives at tinatawag mga katangian ng linearity ng hindi tiyak na integral . Ang lahat ay simple at lohikal dito: ang integral ng kabuuan / pagkakaiba ay katumbas ng kabuuan / pagkakaiba ng mga integral, at ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa integral sign.

Ngunit ang sumusunod na tatlong katangian ay panimula bago para sa amin. Suriin natin ang mga ito nang mas detalyado. Tunog sila sa Russian tulad ng sumusunod.

Pangatlong ari-arian

Ang derivative ng integral ay katumbas ng integrand

Simple lang ang lahat, parang sa fairy tale. Kung isasama mo ang function, at pagkatapos ay hanapin ang hinango ng resulta pabalik, pagkatapos ay ... makukuha mo ang orihinal na integrand. :) Ang property na ito ay maaaring palaging (at dapat) gamitin upang suriin ang huling resulta ng pagsasama. Kinakalkula namin ang integral - pag-iba-iba ang sagot! Nakuha namin ang integrand - OK. Hindi nila ito natanggap, ibig sabihin nagkagulo sila sa isang lugar. Hanapin ang error.)

Siyempre, sa sagot, ang mga ganitong brutal at masalimuot na pag-andar ay maaaring makuha na nag-aatubili na ibahin ang mga ito pabalik, oo. Ngunit mas mabuti, kung maaari, subukang suriin ang iyong sarili. Hindi bababa sa mga halimbawa kung saan ito ay madali.)

Ang ikaapat na ari-arian

Ang pagkakaiba ng integral ay katumbas ng integrand .

Walang espesyal dito. Ang essence ay pareho, dx lang ang lalabas sa dulo. Ayon sa nakaraang pag-aari at ang mga patakaran para sa pagpapalawak ng kaugalian.

Ikalimang ari-arian

Ang integral ng differential ng ilang function ay katumbas ng kabuuan ng function na ito at isang arbitrary constant .

Isang napakasimpleng ari-arian din. Gagamitin din namin ito nang regular sa proseso ng paglutas ng mga integral. Lalo na - sa at.

Narito ang mga ito mga kapaki-pakinabang na katangian. Hindi ako magsasawa sa mga mahigpit nilang patunay dito. Iminumungkahi ko na ang mga nais gawin ito sa kanilang sarili. Direkta ayon sa kahulugan ng derivative at differential. Patunayan ko lamang ang huling, ikalimang ari-arian, dahil ito ay hindi gaanong halata.

Kaya mayroon kaming isang pahayag:

Inalis namin ang "pagpupuno" ng aming integral at buksan ito, ayon sa kahulugan ng kaugalian:

Kung sakali, ipinaaalala ko sa iyo na, ayon sa aming notasyon ng derivative at antiderivative, F’(x) = f(x) .

Ipinasok namin ngayon ang aming resulta pabalik sa loob ng integral:

Natanggap nang eksakto kahulugan ng di-tiyak na integral (nawa'y patawarin ako ng wikang Ruso)! :)

Iyon lang.)

Well. Dito, itinuturing kong naganap ang ating unang pagkakakilala sa mahiwagang mundo ng mga integral. Ngayon ay ipinapanukala kong i-round off. Sapat na ang sandata namin para mag-reconnaissance. Kung hindi sa isang machine gun, pagkatapos ay hindi bababa sa isang water pistol na may mga pangunahing katangian at isang mesa. :) Sa susunod na aralin, naghihintay na tayo para sa pinakasimpleng hindi nakakapinsalang mga halimbawa ng mga integral para sa direktang aplikasyon ng talahanayan at mga nakasulat na katangian.

See you!