Ang average na haba ng isang trapezoid ay katumbas ng kabuuan ng mga base nito. Trapeze. Kumpletong may larawang gabay (2019)

Samakatuwid, tatawagin natin ang isa sa kanila malaki , pangalawa - maliit na base trapezoid. taas ang isang trapezoid ay maaaring tawaging anumang segment ng isang patayo na iginuhit mula sa mga vertices hanggang sa kaukulang kabaligtaran na bahagi (para sa bawat vertex ay may dalawang magkasalungat na gilid), na nakapaloob sa pagitan ng kinuha na vertex at ang kabaligtaran na bahagi. Ngunit posible na mag-isa ng isang "espesyal na uri" ng mga taas.
Kahulugan 8. Ang taas ng base ng isang trapezoid ay ang segment ng isang tuwid na linya na patayo sa mga base, na nakapaloob sa pagitan ng mga base.
Teorama 7 . Ang median na linya ng trapezoid ay kahanay sa mga base at katumbas ng kalahati ng kanilang kabuuan.
Patunay. Hayaang magbigay ng trapezoid ABCD at gitnang linya KM. Gumuhit ng isang linya sa pamamagitan ng mga puntos B at M. Ipinagpapatuloy namin ang gilid AD hanggang sa punto D hanggang sa magsalubong ito sa BM. Ang mga Triangles BCm at MPD ay pantay sa gilid at dalawang anggulo (CM=MD, ∠ BCM=∠ MDP - overlapping, ∠ BMC=∠ DMP - vertical), samakatuwid VM=MP o point M ang midpoint ng BP. Ang KM ay ang midline sa tatsulok na ABP. Ayon sa pag-aari ng gitnang linya ng tatsulok, ang KM ay parallel sa AP at sa partikular na AD at katumbas ng kalahati ng AP:

Teorama 8 . Hinahati ng mga diagonal ang trapezoid sa apat na bahagi, dalawa sa mga ito, katabi ng mga gilid, ay pantay.
Hayaan akong ipaalala sa iyo na ang mga numero ay tinatawag na pantay-pantay kung mayroon silang parehong lugar. Ang mga Triangles ABD at ACD ay pantay-pantay: mayroon silang pantay na taas (ipinahiwatig sa dilaw) at isang karaniwang base. Ang mga tatsulok na ito ay pangkalahatang bahagi AOD. Ang kanilang lugar ay maaaring palawakin tulad ng sumusunod:

Mga uri ng trapezium:
Kahulugan 9. (Figure 1) Ang isang acute-angled trapezoid ay isang trapezoid kung saan ang mga anggulo na katabi ng mas malaking base ay talamak.
Kahulugan 10. (Figure 2) Ang obtuse trapezoid ay isang trapezoid kung saan ang isa sa mga anggulo na katabi ng mas malaking base ay obtuse.
Kahulugan 11. (Figure 4) Ang isang trapezoid ay tinatawag na hugis-parihaba, kung saan ang isang gilid ay patayo sa mga base.
Kahulugan 12. (Figure 3) Ang Isosceles (isosceles, isosceles) ay isang trapezoid, kung saan ang mga gilid ay pantay.

Mga katangian ng isosceles trapezoid:
Teorama 10 . Ang mga anggulo na katabi ng bawat isa sa mga base ng isang isosceles trapezoid ay pantay.
Patunay. Patunayan natin, halimbawa, ang pagkakapantay-pantay ng mga anggulo A at D na may mas malaking base AD ng isang isosceles trapezoid ABCD. Para sa layuning ito, gumuhit kami ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng punto C parallel sa lateral side AB. Ito ay mag-intersect sa malaking base sa punto M. Ang quadrilateral ABCM ay isang paralelogram, dahil sa pamamagitan ng pagtatayo mayroon itong dalawang pares ng magkatulad na panig. Samakatuwid, ang segment na CM ng secant line na nakapaloob sa loob ng trapezoid ay katumbas ng lateral side nito: CM=AB. Mula dito ay malinaw na ang CM=CD, ang tatsulok na CMD ay isosceles, ∠CMD=∠CDM, at, samakatuwid, ∠A=∠D. Ang mga anggulo na katabi ng mas maliit na base ay pantay din, dahil ay para sa mga natagpuang panloob na isang panig at may kabuuan ng dalawang linya.
Teorama 11 . Ang mga diagonal ng isang isosceles trapezoid ay pantay.
Patunay. Isaalang-alang ang mga tatsulok na ABD at ACD. Ito ay pantay sa dalawang panig at ang anggulo sa pagitan ng mga ito (AB=CD, AD ay karaniwan, ang mga anggulo A at D ay pantay ayon sa Theorem 10). Samakatuwid AC=BD.

Teorama 13 . Ang mga diagonal ng isang isosceles trapezoid ay hinati ng intersection point sa magkatulad na pantay na mga segment. Isaalang-alang ang mga tatsulok na ABD at ACD. Ito ay pantay sa dalawang panig at ang anggulo sa pagitan ng mga ito (AB=CD, AD ay karaniwan, ang mga anggulo A at D ay pantay ayon sa Theorem 10). Samakatuwid, ∠ ОАD=∠ ОDA, samakatuwid ang mga anggulo ОВС at OSV ay pantay-pantay bilang katumbas na magkakapatong na mga anggulo na ODA at ОАD. Alalahanin ang theorem: kung ang dalawang anggulo sa isang tatsulok ay pantay, kung gayon ito ay isosceles, samakatuwid ang mga triangles ОВС at ОAD ay isosceles, na nangangahulugang OS=OB at ОА=OD, atbp.
Ang isosceles trapezoid ay isang simetriko na pigura.
Kahulugan 13. Ang axis ng symmetry ng isang isosceles trapezoid ay tinatawag na isang tuwid na linya na dumadaan sa mga midpoint ng mga base nito.
Teorama 14 . Ang symmetry axis ng isang isosceles trapezoid ay patayo sa mga base nito.
Sa Theorem 9, napatunayan namin na ang linya na nagdurugtong sa mga midpoint ng mga base ng isang trapezoid ay dumadaan sa intersection point ng mga diagonal. Susunod (Theorem 13) napatunayan namin na ang mga tatsulok na AOD at BOC ay isosceles. Ang OM at OK ay ang mga median ng mga tatsulok na ito, ayon sa pagkakabanggit, ayon sa kahulugan. Alalahanin ang katangian ng isang isosceles triangle: ang median ng isang isosceles triangle, na ibinaba sa base, ay ang taas din ng triangle. Dahil sa perpendicularity ng mga base ng mga bahagi ng tuwid na linya na KM, ang axis ng symmetry ay patayo sa mga base.
Mga palatandaan na nakikilala ang isang isosceles trapezoid sa lahat ng mga trapezium:
Teorama 15 . Kung ang mga anggulo na katabi ng isa sa mga base ng isang trapezoid ay pantay, kung gayon ang trapezoid ay isosceles.
Teorama 16 . Kung ang mga diagonal ng isang trapezoid ay pantay, kung gayon ang trapezoid ay isosceles.
Teorama 17 . Kung ang mga lateral na gilid ng trapezoid, na pinalawak sa intersection, ay bumubuo ng isang isosceles triangle kasama ang malaking base nito, kung gayon ang trapezoid ay isosceles.
Teorama 18 . Kung ang isang trapezoid ay maaaring nakasulat sa isang bilog, kung gayon ito ay isosceles.
Tanda ng isang hugis-parihaba na trapezoid:
Teorama 19 . Anumang quadrilateral na may dalawang right angle lang sa magkatabing vertices ay right-angled trapezoid (malinaw naman, dalawang sides ay parallel, dahil one-sided ay pantay. sa kaso kapag ang tatlong right angle ay isang rectangle)
Teorama 20 . Ang radius ng isang bilog na nakasulat sa isang trapezoid ay katumbas ng kalahati ng taas ng base.
Ang patunay ng teorama na ito ay upang ipaliwanag na ang radii na iginuhit sa mga base ay nasa taas ng trapezoid. Mula sa puntong O - ang gitna ng bilog na ABCD na nakasulat sa trapezoid na ito, iginuhit namin ang radii sa mga punto ng pakikipag-ugnay sa mga base nito ng trapezoid. Tulad ng alam mo, ang radius na iginuhit sa punto ng contact ay patayo sa tangent, samakatuwid OK ^ BC at OM ^ AD. Alalahanin ang theorem: kung ang isang linya ay patayo sa isa sa mga parallel na linya, kung gayon ito ay patayo din sa pangalawa. Kaya, ang linyang OK ay patayo din sa AD. Kaya, dalawang linya na patayo sa linyang AD ay dumadaan sa puntong O, na hindi maaaring, samakatuwid ang mga linyang ito ay nag-tutugma at bumubuo sa karaniwang patayo ng KM, na ay katumbas ng kabuuan dalawang radii at ang diameter ng nakasulat na bilog, kaya r=KM/2 o r=h/2.
Teorama 21 . Ang lugar ng isang trapezoid ay katumbas ng produkto ng kalahati ng kabuuan ng mga base at ang taas ng mga base.

Patunay: Hayaang ang ABCD ay isang ibinigay na trapezoid at AB at CD ang mga base nito. Hayaan din ang AH na ang taas na ibinaba mula sa punto A hanggang sa linya ng CD. Pagkatapos S ABCD = S ACD + S ABC .
Ngunit S ACD = 1/2AH CD at S ABC = 1/2AH AB.
Samakatuwid, S ABCD = 1/2AH (AB + CD).
Q.E.D.

Ang pangalawang formula ay lumipat mula sa may apat na gilid.

\[(\Malaki(\text(Arbitrary trapezoid)))\]

Mga Kahulugan

Ang trapezoid ay isang matambok na may apat na gilid kung saan ang dalawang panig ay magkatulad at ang iba pang dalawang panig ay hindi magkatulad.

Ang magkatulad na panig ng isang trapezoid ay tinatawag na mga base nito, at ang iba pang dalawang panig ay tinatawag na mga gilid nito.

Ang taas ng isang trapezoid ay ang patayo na bumaba mula sa anumang punto ng isang base patungo sa isa pang base.

Theorems: mga katangian ng isang trapezoid

1) Ang kabuuan ng mga anggulo sa gilid ay \(180^\circ\) .

2) Hinahati ng mga dayagonal ang trapezoid sa apat na tatsulok, dalawa sa mga ito ay magkapareho at ang iba pang dalawa ay pantay.

Patunay

1) Dahil \(AD\parallel BC\) , pagkatapos ay ang mga anggulo \(\angle BAD\) at \(\angle ABC\) ay isang panig sa mga linyang ito at ang secant \(AB\) , samakatuwid, \(\angle BAD +\angle ABC=180^\circ\).

2) Dahil Ang \(AD\parallel BC\) at \(BD\) ay isang secant, pagkatapos ay \(\angle DBC=\angle BDA\) bilang nakahiga.
Gayundin ang \(\angle BOC=\angle AOD\) bilang patayo.
Samakatuwid, sa dalawang sulok \(\triangle BOC \sim \triangle AOD\).

Patunayan natin yan \(S_(\triangle AOB)=S_(\triangle COD)\). Hayaang \(h\) ang taas ng trapezoid. Pagkatapos \(S_(\triangle ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\triangle ACD)\). Pagkatapos: \

Kahulugan

Ang midline ng isang trapezoid ay isang segment na nag-uugnay sa mga midpoint ng mga gilid.

Teorama

Ang median na linya ng trapezoid ay kahanay sa mga base at katumbas ng kalahati ng kanilang kabuuan.

Katibayan*

1) Patunayan natin ang paralelismo.

Gumuhit ng linya \(MN"\parallel AD\) (\(N"\in CD\) ) sa pamamagitan ng point \(M\) ). Pagkatapos, sa pamamagitan ng Thales theorem (dahil \(MN"\parallel AD\parallel BC, AM=MB\)) ang puntong \(N"\) ay ang midpoint ng segment na \(CD\)... Kaya, ang mga puntos na \(N\) at \(N"\) ay magkakasabay.

2) Patunayan natin ang formula.

Gumuhit tayo ng \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) . Hayaan \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\).

Pagkatapos, sa pamamagitan ng Thales theorem, ang \(M"\) at \(N"\) ay ang mga midpoint ng mga segment na \(BB"\) at \(CC"\), ayon sa pagkakabanggit. Kaya ang \(MM"\) ay ang gitnang linya \(\triangle ABB"\) , \(NN"\) ang gitnang linya \(\triangle DCC"\) . kaya naman: \

kasi \(MN\parallel AD\parallel BC\) at \(BB", CC"\perp AD\) , pagkatapos ay ang \(B"M"N"C"\) at \(BM"N"C\) ay mga parihaba. Sa pamamagitan ng Thales theorem, ang \(MN\parallel AD\) at \(AM=MB\) ay nagpapahiwatig na \(B"M"=M"B\) . Kaya naman, \(B"M"N"C"\) at ang \(BM"N"C\) ay pantay na mga parihaba, kaya \(M"N"=B"C"=BC\) .

Sa ganitong paraan:

\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

Theorem: pag-aari ng isang di-makatwirang trapezoid

Ang mga midpoint ng mga base, ang punto ng intersection ng mga diagonal ng trapezoid at ang punto ng intersection ng mga extension ng mga lateral na gilid ay namamalagi sa parehong tuwid na linya.

Katibayan*
Inirerekomenda na maging pamilyar ka sa patunay pagkatapos mong pag-aralan ang paksang "Mga Katulad na Triangles".

1) Patunayan natin na ang mga puntos na \(P\) , \(N\) at \(M\) ay nasa parehong tuwid na linya.

Gumuhit ng linya \(PN\) (\(P\) ay ang punto ng intersection ng mga extension ng mga gilid, \(N\) ay ang midpoint ng \(BC\) ). Hayaang bumalandra ito sa gilid \(AD\) sa puntong \(M\) . Patunayan natin na ang \(M\) ay ang midpoint ng \(AD\) .

Isaalang-alang ang \(\triangle BPN\) at \(\triangle APM\) . Magkapareho ang mga ito sa dalawang anggulo (\(\angle APM\) - karaniwan, \(\angle PAM=\angle PBN\) bilang katumbas sa \(AD\parallel BC\) at \(AB\) secant). Ibig sabihin: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Isaalang-alang ang \(\triangle CPN\) at \(\triangle DPM\) . Magkapareho sila sa dalawang anggulo (\(\angle DPM\) - karaniwan, \(\angle PDM=\angle PCN\) bilang katumbas sa \(AD\parallel BC\) at \(CD\) secant). Ibig sabihin: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Mula rito \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). Ngunit \(BN=NC\) , kaya \(AM=DM\) .

2) Patunayan natin na ang mga puntong \(N, O, M\) ay nasa isang tuwid na linya.

Hayaang ang \(N\) ang midpoint ng \(BC\) , \(O\) ang intersection point ng mga diagonal. Gumuhit ng linya \(NO\) , magsa-intersect ito sa gilid \(AD\) sa puntong \(M\) . Patunayan natin na ang \(M\) ay ang midpoint ng \(AD\) .

\(\triangle BNO\sim \triangle DMO\) sa dalawang anggulo (\(\angle OBN=\angle ODM\) bilang nakahiga sa \(BC\parallel AD\) at \(BD\) secant; \(\angle BON=\angle DOM\) bilang vertical). Ibig sabihin: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

Ganun din \(\triangle CON\sim \triangle AOM\). Ibig sabihin: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

Mula rito \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). Ngunit \(BN=CN\) , kaya \(AM=MD\) .

\[(\Malaki(\text(Isosceles trapezoid)))\]

Mga Kahulugan

Ang trapezoid ay tinatawag na hugis-parihaba kung ang isa sa mga anggulo nito ay tama.

Ang isang trapezoid ay tinatawag na isosceles kung ang mga gilid nito ay pantay.

Theorems: mga katangian ng isang isosceles trapezoid

1) Ang isosceles trapezoid ay may pantay na base angles.

2) Ang mga dayagonal ng isang isosceles trapezoid ay pantay.

3) Ang dalawang tatsulok na nabuo ng mga diagonal at ang base ay isosceles.

Patunay

1) Isaalang-alang ang isang isosceles trapezoid \(ABCD\) .

Mula sa vertices \(B\) at \(C\) ibinabagsak namin sa gilid \(AD\) ang mga perpendiculars \(BM\) at \(CN\), ayon sa pagkakabanggit. Dahil \(BM\perp AD\) at \(CN\perp AD\) , pagkatapos ay \(BM\parallel CN\) ; \(AD\parallel BC\) , pagkatapos ay ang \(MBCN\) ay isang parallelogram, kaya \(BM = CN\) .

Isaalang-alang ang mga tamang tatsulok \(ABM\) at \(CDN\) . Dahil mayroon silang pantay na hypotenuse at ang binti \(BM\) ay katumbas ng binti \(CN\) , ang mga tatsulok na ito ay magkatugma, samakatuwid, \(\angle DAB = \angle CDA\) .

kasi \(AB=CD, \angle A=\angle D, AD\)- pangkalahatan, pagkatapos ay sa unang tanda. Samakatuwid, \(AC=BD\) .

3) Dahil \(\triangle ABD=\triangle ACD\), pagkatapos ay \(\angle BDA=\angle CAD\) . Samakatuwid, ang tatsulok na \(\triangle AOD\) ay isosceles. Mapapatunayan din na ang \(\triangle BOC\) ay isosceles.

Theorems: mga palatandaan ng isang isosceles trapezoid

1) Kung ang mga anggulo sa base ng isang trapezoid ay pantay, kung gayon ito ay isosceles.

2) Kung ang mga diagonal ng isang trapezoid ay pantay, kung gayon ito ay isosceles.

Patunay

Isaalang-alang ang isang trapezoid \(ABCD\) tulad na \(\angle A = \angle D\) .

Kumpletuhin natin ang trapezoid sa tatsulok \(AED\) tulad ng ipinapakita sa figure. Dahil \(\angle 1 = \angle 2\) , ang tatsulok na \(AED\) ay isosceles at \(AE = ED\) . Ang mga anggulo na \(1\) at \(3\) ay katumbas ng katumbas ng mga parallel na linya \(AD\) at \(BC\) at ang secant \(AB\) . Katulad nito, ang mga anggulo \(2\) at \(4\) ay pantay, ngunit \(\angle 1 = \angle 2\) , pagkatapos \(\angle 3 = \angle 1 = \angle 2 = \angle 4\), samakatuwid, ang tatsulok na \(BEC\) ay isosceles din at \(BE = EC\) .

Sa bandang huli \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\), ibig sabihin, \(AB = CD\) , na dapat patunayan.

2) Hayaan \(AC=BD\) . kasi \(\triangle AOD\sim \triangle BOC\), pagkatapos ay tinutukoy namin ang kanilang pagkakatulad na koepisyent sa pamamagitan ng \(k\) . Pagkatapos kung \(BO=x\) , pagkatapos ay \(OD=kx\) . Katulad ng \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .

kasi \(AC=BD\) , pagkatapos ay \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\) . Kaya ang \(\triangle AOD\) ay isosceles at \(\angle OAD=\angle ODA\) .

Kaya, ayon sa unang tanda \(\triangle ABD=\triangle ACD\) (\(AC=BD, \angle OAD=\angle ODA, AD\)- pangkalahatan). Kaya \(AB=CD\) , kaya.

Tra-pe-tion

1. Trapeze at mga uri nito

Kahulugan

Tra-pe-tion- ito ay isang four-you-rekh-coal-nick, ang isang tao-ro-go ay may dalawang daang-ro-pa-ral-lel-na, at ang dalawa pa ay wala.

Sa Fig. 1. image-ra-same-on pro-from-free-tra-pe-tion. - ito ay b-to-th-s-ro-ns (mga hindi par-ral-lel-ny). - os-no-va-niya (par-ral-lel-nye hundred-ro-ny).

kanin. 1. Tra-pe-tion

Kung ihahambing natin ang tra-pe-tion sa para-ral-le-lo-gram-m, kung gayon ang para-ral-le-lo-gram-ma ay may dalawang pares ng para-le-lo-grams. Ibig sabihin, ang pa-ral-le-lo-gram ay hindi partikular na kaso ng tra-pe-tion, dahil sa depinisyon ng tra-pe-tion ay malinaw na sinasabi -para-ngunit ang dalawang daang-ro-na. Ang mga -tra-pe-tions ay hindi par-ral-lel-na.

Inalis mo ang ilang partikular na uri ng tra-pe-tion (mga pribadong kaso):

2. Gitnang linya ng isang trapezoid at mga katangian nito

Kahulugan

Gitnang linya ng tra-pe-tion- from-re-zok, join-nya-yu-schee se-re-di-ny of the bo-to-y sides.

Sa Fig. 2. image-ra-same-sa isang tra-pe-tion na may average na line-ni-her.

kanin. 2. Gitnang linya ng tra-pe-tion

Mga katangian ng gitnang linya ng tra-pe-tion:

1. Ang gitnang linya ng tra-pe-tion ng para-ral-lel-sa os-no-va-ni-yam ng tra-pe-tion.

Patunay:

Hayaang maging punto ang se-re-di-sa gilid ng gilid ng tra-pe-tion. Dumadaan kami sa puntong ito sa isang tuwid na linya, par-ral-lel-naya os-but-va-ni-pits. Ang tuwid na linyang ito ay muling-re-se-kahit na ang pangalawang bo-ko-vu hundred-ro-well tra-pe-tion sa punto.

Sa pamamagitan ng order-e-tion:. Ayon sa theo-re-me Fa-le-sa, ito ay sumusunod:. So-cheat - se-re-di-on ng isang daang-ro-na. Kaya, - ang gitnang linya.

Bago-para-ngunit.

2. Ang gitnang linya ng tra-pe-tion ay katumbas ng lu-sum-me ng os-no-va-ny tra-pe-tion:.

Patunay:

Iguhit natin ang gitnang linya ng tra-pe-tion at isa sa dia-go-on-lei: halimbawa, (tingnan ang Fig. 3).

Ayon sa teoryang Fa-le-sa, ang para-ral-lel-ny na mga tuwid na linya mula sa-se-ka-yut sa mga gilid ng anggulo ay prop-qi-o-nal-cut- ki. Dahil sila ay pantay mula sa mga pagbawas:. Kaya, from-re-zok yav-la-is-sya middle-no-her triangle-no-ka, and from-re-zok - middle-way-no-her triangle -Nika .

Ibig sabihin, .

Tandaan: ito ay sumusunod mula sa pag-aari ng gitnang linya ng tatsulok: ang gitnang linya ng triangular-no-ka para-ral-lel-sa os- but-va-niyu at katumbas ng kanyang kasalanan. Ang unang bahagi ng ari-arian na ito ay do-ka-zy-va-et-sya ana-logic-ngunit may do-ka-para sa unang pag-aari ng gitnang linya ng tra- pe-tion, at ang pangalawang bahagi ay maaaring mapatunayan (halimbawa, para sa gitnang linya ng isang tatsulok), pagguhit ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto, pa- ral-lel-nuyu. Mula sa teorya ng Fa-le-sa, susunod na ang tuwid na linyang ito ang magiging gitnang linya, at ang you-rekh-coal-nick - pa-ral-le-lo-gram-mom (dalawang pares sa pares, ngunit para-ral-lel-ny panig). From-here-oo, madali na, pero in-lu-chit tre-bu-e-my property.

On-lu-cha-eat:.

Bago-para-ngunit.

Ras-look ngayon, sa fractional na paraan, ang mga pangunahing uri ng tra-pe-tion at ang kanilang mga katangian.

3. Mga palatandaan ng isosceles trapezoid

Ipaalala namin sa iyo na ang isang pantay-poor-ren-naya tra-pe-tion ay isang tra-pe-tion, para sa ilan, ang mga panig ay pantay. Tingnan natin ang mga katangian ng bo-ko-ungol ng tra-pe-tion.

1. Ang mga anggulo sa os-no-va-nii ng equal-but-poor-ren-noy tra-pe-tion ay pantay.

Patunay:

You-half-him standard to-half-no-tel-noe in-stro-e-tion, napakadalas gamitin ng isang tao kapag nagre-resolve ng mga oras -mga personal na gawain para sa tra-pe-tion: magsagawa tayo ng direktang para-ral-lel- ngunit sa gilid (tingnan ang Fig. 4).

Paralelogram.

Mula-dito-oo sumusunod na:. Kaya, ang isang tatsulok-nick ay katumbas-ngunit-mahirap-ren-ny. At nangangahulugan ito na ang mga anggulo sa base nito ay pantay, iyon ay: kami ay X ).

Bago-para-ngunit.

2. Dia-go-on-kung pantay-pantay-pero-poor-ren-noy tra-pe-tions ay pantay.

Patunay:

Upang gawin-ka-for-tel-stva ng property na ito, gamitin ang dating-du-shim. Sa katunayan, isaalang-alang natin ang mga tatsulok: at (tingnan ang Fig. 5.).

(ayon sa unang tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok: dalawang panig at anggulo sa pagitan nila).

Mula sa pagkakapantay-pantay na ito, agad itong sumusunod na:.

Bago-para-ngunit.

Oka-zy-va-et-sya, na, tulad ng kaso ng pa-ral-le-lo-gram-mom, ang equally-poor-ren-noy tra-pe-tion ay may mga katangian ng one -but- time-men-ngunit yav-la-yut-sya at kilalanin-ka-mi. Sfor-mu-li-ru-em at gawin-sabihin ang mga palatandaang ito.

Mga palatandaan ng pantay-ngunit-kama-ren-noy tra-pe-tion

1. Ibinigay: - tra-pe-tion; .

Patunayan:

Patunay:

To-ka-for-tel-stvo of this-no-go recognition-ka ab-so-lute-but ana-lo-gich-but to-ka-for-tel-stvo with-from-vet-stvo- yu -schego ari-arian. Ipasa natin sa isang tra-pe-tion ang isang direktang para-ral-lel-sa gilid (tingnan ang Fig. 6).

(mga kaukulang anggulo na may magkatulad na linya). Mula sa-ku-oo, gamit ang kundisyon-we-eat, in-lu-cha-eat: - katumbas-ngunit-mahirap-ren-ny

(ang mga anggulo ay pantay sa os-no-va-nii). Nangangahulugan ito: (para sa par-ral-le-lo-gram-ma, ang mga pro-ti-in-on-false na panig ay pantay).

Bago-para-ngunit.

2. Ibinigay: - tra-pe-tion; .

Patunayan: .

Patunay:

You-half-it ay isa pang standard-full-nor-tel-noe in-stro-e-tion kapag nilulutas ang mga problema sa tra-pe-qi-her: we-we-we-dem through ver-shi-nu-muu -muyu para-ral-lel-but dia-go-na-li (tingnan ang Fig. 7).

Pa-ral-le-lo-gram (dalawang pares sa pares, ngunit para-ral-lel-ny na mga panig).

(mga kaukulang anggulo na may magkatulad na linya). Bilang karagdagan, - katumbas-ngunit-mahirap-ren-ny ( - ayon sa kondisyon; - ayon sa ari-arian, pa-ral-le-lo-gram-ma). At ang kahulugan niyan ay: .

Bago-para-ngunit.

4. Mga halimbawang gawain

Isaalang-alang natin ang ilang mga halimbawa ng paglutas ng mga problema sa tra-pe-qi.

Halimbawa 1.

Ibinigay: - tra-pe-tion; .

Solusyon:

Ang kabuuan ng mga anggulo na may lateral na bahagi ng tra-pe-tion ay katumbas ng - ang pag-aari ng panloob na isang panig na mga anggulo na may parallel na linya. Mula sa katotohanang ito, maaaring makuha ang dalawang pagkakapantay-pantay:

Halimbawa 2.

Ibinigay: - tra-pe-tion; . .

Solusyon:

Pro-we-dem you-so-tu. In-lu-cha-eat che-you-rekh-coal-nick, in some-rum about-ti-in-on-false sides-ro-na-pair-but pa-ral-lel- us, at ang dalawa pantay-pantay ang mga anggulo sa . Kaya, - pa-ral-le-lo-gram, o sa halip, isang rectangle-nick.

Kasunod nito iyon. Saan: .

Ras-look-rim right-angled triangle. Sa loob nito, ang isa sa mga talamak na anggulo, ayon sa kondisyon, ay katumbas ng . Kaya, ang pangalawang kuyog ay katumbas ng, iyon ay:. Vos-use-zu-em na may ari-arian ng ka-te-ta, le-zha-sche-laban sa sulok: ito ay kalahati ng laki ng gi-po-te-nu-zy.

Sa araling ito, susuriin natin kung nauunawaan natin ang tra-pe-tion at ang mga katangian nito, pag-aaralan natin ang mga uri ng tra-pe-tion, at malulutas din ang ilang kapag -mga sukat ng ty-by-out na mga gawain.

PINAGMULAN

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/trapetsiya

http://img3.proshkolu.ru/content/media/pic/std/1000000/983000/982960-b6b4e8f6a4e7b336.jpg

http://static.wixstatic.com/media/13679f_7ac2889143594b059462e77b25eda7c6.jpg

http://delaem-uroki.narod.ru/img/102/792/KZqhOMb.gif

Trapeze. Gawain sa gitnang linya ng trapezoid.

http://cs323223.vk.me/v323223595/5e51/Gi2qlTPgLVo.jpg

http://dok.opredelim.com/pars_docs/refs/47/46420/img2.jpg

Sa artikulong ito, susubukan naming ipakita ang mga katangian ng trapezoid nang buo hangga't maaari. Sa partikular, pag-uusapan natin karaniwang mga tampok at mga katangian ng isang trapezoid, pati na rin ang tungkol sa mga katangian ng isang nakasulat na trapezoid at tungkol sa isang bilog na nakasulat sa isang trapezoid. Tatalakayin din natin ang mga katangian ng isang isosceles at rectangular trapezoid.

Ang isang halimbawa ng paglutas ng isang problema gamit ang mga itinuturing na katangian ay makakatulong sa iyong ayusin ang mga bagay sa iyong ulo at mas matandaan ang materyal.

Trapeze at lahat-lahat-lahat

Upang magsimula, alalahanin natin sandali kung ano ang isang trapezoid at kung ano ang iba pang mga konsepto na nauugnay dito.

Kaya, ang isang trapezoid ay isang quadrilateral figure, ang dalawa sa mga gilid nito ay parallel sa bawat isa (ito ang mga base). At ang dalawa ay hindi magkatulad - ito ang mga panig.

Sa isang trapezoid, ang taas ay maaaring tanggalin - patayo sa mga base. Ang gitnang linya at mga dayagonal ay iginuhit. At din mula sa anumang anggulo ng trapezoid posible na gumuhit ng bisector.

Tungkol sa iba't ibang mga katangian na nauugnay sa lahat ng mga elementong ito at ang kanilang mga kumbinasyon, pag-uusapan natin ngayon.

Mga katangian ng mga diagonal ng isang trapezoid

Upang maging mas malinaw, habang nagbabasa, i-sketch ang ACME trapezoid sa isang piraso ng papel at gumuhit ng mga dayagonal dito.

1. Kung nahanap mo ang mga midpoint ng bawat isa sa mga diagonal (tawagin natin ang mga puntong ito na X at T) at ikonekta ang mga ito, makakakuha ka ng isang segment. Ang isa sa mga katangian ng mga diagonal ng isang trapezoid ay ang segment na XT ay namamalagi sa midline. At ang haba nito ay maaaring makuha sa pamamagitan ng paghahati ng pagkakaiba ng mga base sa dalawa: XT \u003d (a - b) / 2.
2. Bago sa amin ay ang parehong ACME trapezoid. Ang mga diagonal ay bumalandra sa punto O. Isaalang-alang natin ang mga tatsulok na AOE at IOC na nabuo ng mga segment ng mga dayagonal kasama ang mga base ng trapezoid. Ang mga tatsulok na ito ay magkatulad. Ang koepisyent ng pagkakapareho ng k triangles ay ipinahayag sa mga tuntunin ng ratio ng mga base ng trapezoid: k = AE/KM.
   Ang ratio ng mga lugar ng triangles AOE at IOC ay inilalarawan ng koepisyent k 2 .
3. Ang lahat ng parehong trapezium, ang parehong mga diagonal na intersecting sa punto O. Tanging sa pagkakataong ito ay isasaalang-alang natin ang mga tatsulok na nabuo ang mga diagonal na segment kasama ang mga gilid ng trapezoid. Ang mga lugar ng triangles AKO at EMO ay pantay - ang kanilang mga lugar ay pareho.
4. Ang isa pang pag-aari ng isang trapezoid ay kinabibilangan ng pagtatayo ng mga diagonal. Kaya, kung ipagpapatuloy natin ang mga gilid ng AK at ME sa direksyon ng mas maliit na base, pagkatapos ay sa lalong madaling panahon sila ay magsalubong sa ilang mga punto. Susunod, gumuhit ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng mga midpoint ng mga base ng trapezoid. Nag-intersect ito sa mga base sa mga puntong X at T.
   Kung palawigin natin ngayon ang linyang XT, pagsasamahin nito ang punto ng intersection ng mga diagonal ng trapezoid O, ang punto kung saan ang mga extension ng mga gilid at ang mga midpoint ng mga base ng X at T ay nagsalubong.
5. Sa pamamagitan ng punto ng intersection ng mga diagonal, gumuhit kami ng isang segment na magkokonekta sa mga base ng trapezoid (T namamalagi sa mas maliit na base ng KM, X - sa mas malaking AE). Hinahati ng intersection point ng mga diagonal ang segment na ito sa sumusunod na ratio: TO/OH = KM/AE.
6. At ngayon sa pamamagitan ng punto ng intersection ng mga diagonal gumuhit kami ng isang segment na kahanay sa mga base ng trapezoid (a at b). Ang intersection point ay hahatiin ito sa dalawang pantay na bahagi. Maaari mong mahanap ang haba ng isang segment gamit ang formula 2ab/(a + b).

Mga katangian ng midline ng isang trapezoid

Iguhit ang gitnang linya sa trapezium parallel sa mga base nito.

1. Ang haba ng midline ng isang trapezoid ay maaaring kalkulahin sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga haba ng mga base at paghahati sa kanila sa kalahati: m = (a + b)/2.
2. Kung gumuhit ka ng anumang segment (taas, halimbawa) sa parehong base ng trapezoid, hahatiin ito ng gitnang linya sa dalawang pantay na bahagi.

Pag-aari ng bisector ng isang trapezoid

Pumili ng anumang anggulo ng trapezoid at gumuhit ng bisector. Kunin, halimbawa, ang anggulo na KAE ng aming trapezoid ACME. Matapos makumpleto ang konstruksiyon sa iyong sarili, madali mong makita na ang bisector ay pumutol mula sa base (o ang pagpapatuloy nito sa isang tuwid na linya sa labas ng figure mismo) isang segment ng parehong haba ng gilid.

Mga katangian ng anggulo ng trapezoid

1. Alinman sa dalawang pares ng mga anggulo na katabi ng gilid ang pipiliin mo, ang kabuuan ng mga anggulo sa isang pares ay palaging 180 0: α + β = 180 0 at γ + δ = 180 0 .
2. Ikonekta ang mga midpoint ng mga base ng trapezoid na may isang segment na TX. Ngayon tingnan natin ang mga anggulo sa mga base ng trapezoid. Kung ang kabuuan ng mga anggulo para sa alinman sa mga ito ay 90 0, ang haba ng segment ng TX ay madaling kalkulahin batay sa pagkakaiba sa mga haba ng mga base, na hinati sa kalahati: TX \u003d (AE - KM) / 2.
3. Kung ang mga parallel na linya ay iguguhit sa mga gilid ng anggulo ng isang trapezoid, hahatiin nila ang mga gilid ng anggulo sa mga proporsyonal na segment.

Mga katangian ng isang isosceles (isosceles) trapezoid

1. Sa isang isosceles trapezoid, ang mga anggulo sa alinman sa mga base ay pantay.
2. Ngayon ay bumuo muli ng isang trapezoid upang gawing mas madaling isipin kung tungkol saan ito. Tumingin ng mabuti sa base ng AE - ang vertex ng kabaligtaran na base ng M ay inaasahang sa isang tiyak na punto sa linya na naglalaman ng AE. Ang distansya mula sa vertex A hanggang sa projection point ng vertex M at ang midline ng isang isosceles trapezoid ay pantay.
3. Ang ilang mga salita tungkol sa pag-aari ng mga diagonal ng isang isosceles trapezoid - ang kanilang mga haba ay pantay. At gayundin ang mga anggulo ng pagkahilig ng mga diagonal na ito sa base ng trapezoid ay pareho.
4. Malapit lamang sa isang isosceles trapezoid ang maaaring ilarawan ang isang bilog, dahil ang kabuuan ng magkasalungat na mga anggulo ng isang quadrilateral 180 0 ay isang kinakailangan para dito.
5. Ang pag-aari ng isang isosceles trapezoid ay sumusunod mula sa nakaraang talata - kung ang isang bilog ay maaaring ilarawan malapit sa isang trapezoid, ito ay isosceles.
6. Mula sa mga tampok ng isang isosceles trapezoid, ang pag-aari ng taas ng isang trapezoid ay sumusunod: kung ang mga diagonal nito ay bumalandra sa isang tamang anggulo, kung gayon ang haba ng taas ay katumbas ng kalahati ng kabuuan ng mga base: h = (a + b)/2.
7. Iguhit muli ang linyang TX sa mga midpoint ng mga base ng trapezoid - sa isang isosceles trapezoid ito ay patayo sa mga base. At sa parehong oras, ang TX ay ang axis ng simetrya ng isang isosceles trapezoid.
8. Sa pagkakataong ito ay mas mababa sa mas malaking base (tawagin natin itong a) ang taas mula sa tapat ng vertex ng trapezoid. Makakakuha ka ng dalawang hiwa. Ang haba ng isa ay matatagpuan kung ang mga haba ng mga base ay idinagdag at nahahati sa kalahati: (a+b)/2. Nakukuha natin ang pangalawa kapag ibinawas natin ang mas maliit mula sa mas malaking base at hinati ang nagresultang pagkakaiba sa dalawa: (a – b)/2.

Mga katangian ng isang trapezoid na nakasulat sa isang bilog

Dahil pinag-uusapan na natin ang tungkol sa isang trapezoid na nakasulat sa isang bilog, pag-usapan natin ang isyung ito nang mas detalyado. Sa partikular, kung saan ang sentro ng bilog na may kaugnayan sa trapezoid. Dito rin, inirerekumenda na huwag masyadong tamad na kumuha ng lapis at iguhit ang tatalakayin sa ibaba. Kaya mas mabilis mong mauunawaan, at mas matandaan.

1. Ang lokasyon ng gitna ng bilog ay tinutukoy ng anggulo ng pagkahilig ng dayagonal ng trapezoid sa gilid nito. Halimbawa, ang isang dayagonal ay maaaring lumabas mula sa tuktok ng isang trapezoid sa tamang mga anggulo sa gilid. Sa kasong ito, ang mas malaking base ay nag-intersect sa gitna ng circumscribed na bilog nang eksakto sa gitna (R = ½AE).
2. Ang dayagonal at ang gilid ay maaari ding magkita sa isang matinding anggulo - pagkatapos ay ang gitna ng bilog ay nasa loob ng trapezoid.
3. Ang gitna ng circumscribed na bilog ay maaaring nasa labas ng trapezoid, lampas sa malaking base nito, kung mayroong isang mahinang anggulo sa pagitan ng dayagonal ng trapezoid at ng lateral side.
4. Ang anggulo na nabuo ng dayagonal at ang malaking base ng trapezoid ACME (inscribed angle) ay kalahati ng gitnang anggulo na tumutugma dito: MAE = ½MY.
5. Sa madaling sabi tungkol sa dalawang paraan upang mahanap ang radius ng circumscribed na bilog. Unang Paraan: tingnang mabuti ang iyong guhit - ano ang nakikita mo? Madali mong mapapansin na hinahati ng dayagonal ang trapezoid sa dalawang tatsulok. Ang radius ay matatagpuan sa pamamagitan ng ratio ng gilid ng tatsulok sa sine ng kabaligtaran na anggulo, na pinarami ng dalawa. Halimbawa, R \u003d AE / 2 * sinAME. Katulad nito, ang formula ay maaaring isulat para sa alinman sa mga gilid ng parehong triangles.
6. Paraan ng dalawa: nakita namin ang radius ng circumscribed na bilog sa pamamagitan ng lugar ng tatsulok na nabuo ng dayagonal, gilid at base ng trapezoid: R \u003d AM * ME * AE / 4 * S AME.

Mga katangian ng isang trapezoid na naka-circumscribe sa isang bilog

Maaari mong isulat ang isang bilog sa isang trapezoid kung ang isang kundisyon ay natutugunan. Higit pa tungkol dito sa ibaba. At magkasama ang kumbinasyong ito ng mga numero ay may isang bilang ng mga kagiliw-giliw na katangian.

1. Kung ang isang bilog ay nakasulat sa isang trapezoid, ang haba ng midline nito ay madaling mahanap sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga haba ng mga gilid at paghahati ng resultang kabuuan sa kalahati: m = (c + d)/2.
2. Para sa isang trapezoid ACME, na nakapaligid sa isang bilog, ang kabuuan ng mga haba ng mga base ay katumbas ng kabuuan ng mga haba ng mga gilid: AK + ME = KM + AE.
3. Mula sa pag-aari na ito ng mga base ng isang trapezoid, ang kabaligtaran na pahayag ay sumusunod: ang isang bilog ay maaaring nakasulat sa trapezoid na iyon, ang kabuuan ng mga base nito ay katumbas ng kabuuan ng mga panig.
4. Ang tangent point ng isang bilog na may radius r na nakasulat sa isang trapezoid ay naghahati sa gilid ng gilid sa dalawang segment, tawagin natin silang a at b. Ang radius ng isang bilog ay maaaring kalkulahin gamit ang formula: r = √ab.
5. At isa pang ari-arian. Upang hindi malito, iguhit ang halimbawang ito sa iyong sarili. Mayroon kaming magandang lumang ACME trapezoid, na nakapaligid sa isang bilog. Ang mga diagonal ay iginuhit sa loob nito, na nagsasalubong sa puntong O. Ang mga tatsulok na AOK at EOM na nabuo ng mga segment ng mga diagonal at ang mga gilid ay hugis-parihaba.
   Ang mga taas ng mga tatsulok na ito, na ibinaba sa mga hypotenuse (i.e., ang mga gilid ng trapezoid), ay nag-tutugma sa radii ng inscribed na bilog. At ang taas ng trapezoid ay kapareho ng diameter ng inscribed na bilog.

Mga katangian ng isang hugis-parihaba na trapezoid

Ang isang trapezoid ay tinatawag na hugis-parihaba, ang isa sa mga sulok nito ay tama. At ang mga pag-aari nito ay nagmula sa pangyayaring ito.

1. Ang isang hugis-parihaba na trapezoid ay may isa sa mga gilid na patayo sa mga base.
2. Ang taas at gilid ng trapezoid na katabi ng tamang anggulo, ay pantay-pantay. Pinapayagan ka nitong kalkulahin ang lugar ng isang hugis-parihaba na trapezoid ( pangkalahatang pormula S = (a + b) * h/2) hindi lamang sa pamamagitan ng taas, kundi pati na rin sa gilid na katabi ng tamang anggulo.
3. Para sa isang hugis-parihaba na trapezoid, ang mga pangkalahatang katangian ng mga trapezoid diagonal na inilarawan sa itaas ay may kaugnayan.

Mga patunay ng ilang katangian ng isang trapezoid

Pagkakapantay-pantay ng mga anggulo sa base ng isang isosceles trapezoid:

• Malamang na nahulaan mo na dito muli nating kailangan ang ACME trapezoid - gumuhit ng isosceles trapezoid. Gumuhit ng linyang MT mula sa vertex M na kahanay sa gilid ng AK (MT || AK).

Ang nagreresultang quadrilateral na AKMT ay isang parallelogram (AK || MT, KM || AT). Dahil ME = KA = MT, ∆ MTE ay isosceles at MET = MTE.

AK || MT, samakatuwid MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Kung saan ang AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Ngayon, batay sa pag-aari ng isang isosceles trapezoid (pagkakapantay-pantay ng mga diagonal), pinatunayan namin iyon Ang trapezium ACME ay isosceles:

• Upang magsimula, gumuhit tayo ng isang tuwid na linya МХ – МХ || KE. Kumuha kami ng parallelogram na KMHE (base - MX || KE at KM || EX).

Ang ∆AMH ay isosceles, dahil ang AM = KE = MX, at MAX = MEA.

MX || KE, KEA = MXE, samakatuwid MAE = MXE.

Ito ay lumabas na ang mga tatsulok na AKE at EMA ay pantay sa bawat isa, dahil ang AM \u003d KE at AE ay ang karaniwang bahagi ng dalawang tatsulok. At gayundin ang MAE \u003d MXE. Maaari nating tapusin na ang AK = ME, at samakatuwid ay sumusunod na ang trapezoid AKME ay isosceles.

Ulitin ang gawain

Ang mga base ng trapezoid ACME ay 9 cm at 21 cm, ang gilid ng KA, katumbas ng 8 cm, ay bumubuo ng isang anggulo ng 150 0 na may mas maliit na base. Kailangan mong hanapin ang lugar ng trapezoid.

Solusyon: Mula sa vertex K ibinababa namin ang taas hanggang sa mas malaking base ng trapezoid. At simulan natin ang pagtingin sa mga anggulo ng trapezoid.

Ang mga anggulo AEM at KAN ay isang panig. Ibig sabihin, nagdaragdag sila ng hanggang 1800. Samakatuwid, KAN = 30 0 (batay sa pag-aari ng mga anggulo ng trapezoid).

Isaalang-alang ngayon ang hugis-parihaba ∆ANK (sa tingin ko ang puntong ito ay halata sa mga mambabasa nang walang karagdagang patunay). Mula dito nakita natin ang taas ng trapezoid KH - sa isang tatsulok ito ay isang binti, na nasa tapat ng anggulo ng 30 0. Samakatuwid, KN \u003d ½AB \u003d 4 cm.

Ang lugar ng trapezoid ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula: S AKME \u003d (KM + AE) * KN / 2 \u003d (9 + 21) * 4/2 \u003d 60 cm 2.

Afterword

Kung maingat at maingat mong pinag-aralan ang artikulong ito, hindi masyadong tamad na gumuhit ng mga trapezoid para sa lahat ng mga katangian sa itaas na may isang lapis sa iyong mga kamay at pag-aralan ang mga ito sa pagsasanay, dapat ay pinagkadalubhasaan mo nang mabuti ang materyal.

Siyempre, mayroong maraming impormasyon dito, iba-iba at kung minsan ay nakakalito: hindi napakahirap na malito ang mga katangian ng inilarawan na trapezoid sa mga katangian ng nakasulat. Ngunit ikaw mismo ang nakakita na ang pagkakaiba ay napakalaki.

Ngayon ay mayroon kang isang detalyadong buod ng lahat karaniwang katangian trapezoid. Pati na rin ang mga partikular na katangian at katangian ng isosceles at rectangular trapezoids. Ito ay napaka-maginhawang gamitin upang maghanda para sa mga pagsusulit at pagsusulit. Subukan ito at ibahagi ang link sa iyong mga kaibigan!

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, ang isang link sa pinagmulan ay kinakailangan.

Ang trapeze ay espesyal na kaso isang may apat na gilid na may isang pares ng mga gilid na parallel. Ang terminong "trapezoid" ay nagmula sa salitang Griyego na τράπεζα, ibig sabihin ay "talahanayan", "talahanayan". Sa artikulong ito isasaalang-alang natin ang mga uri ng trapezium at mga katangian nito. Bilang karagdagan, malalaman natin kung paano kalkulahin ang mga indibidwal na elemento ng halimbawang ito, ang dayagonal ng isang isosceles trapezoid, ang midline, lugar, atbp. Ang materyal ay ipinakita sa estilo ng elementarya na sikat na geometry, iyon ay, sa isang madaling ma-access. anyo.

Pangkalahatang Impormasyon

Una, unawain natin kung ano ang quadrilateral. Ang figure na ito ay isang espesyal na kaso ng isang polygon na naglalaman ng apat na gilid at apat na vertices. Dalawang vertices ng quadrilateral na hindi magkatabi ay tinatawag na kabaligtaran. Ang parehong ay maaaring sinabi tungkol sa dalawang di-katabing panig. Ang mga pangunahing uri ng quadrilaterals ay parallelogram, rectangle, rhombus, square, trapezoid at deltoid.

Kaya, bumalik sa trapeze. Tulad ng nasabi na natin, ang figure na ito ay may dalawang panig na magkatulad. Tinatawag silang mga base. Ang iba pang dalawa (hindi parallel) ay ang mga gilid. Sa mga materyales sa pagsusulit at iba't-ibang gumaganang kontrol napakadalas maaari mong matugunan ang mga gawain na may kaugnayan sa mga trapezoid, ang solusyon na kadalasang nangangailangan ng mag-aaral na magkaroon ng kaalaman na hindi ibinigay ng programa. Ang kursong geometry ng paaralan ay nagpapakilala sa mga mag-aaral sa mga katangian ng mga anggulo at dayagonal, pati na rin ang midline ng isang isosceles trapezoid. Ngunit pagkatapos ng lahat, bilang karagdagan dito, ang nabanggit na geometric figure ay may iba pang mga tampok. Ngunit higit pa sa kanila mamaya ...

Mga uri ng trapezoid

Mayroong maraming mga uri ng figure na ito. Gayunpaman, madalas na kaugalian na isaalang-alang ang dalawa sa kanila - isosceles at hugis-parihaba.

1. Ang isang hugis-parihaba na trapezoid ay isang pigura kung saan ang isa sa mga gilid ay patayo sa mga base. Mayroon itong dalawang anggulo na laging siyamnapung digri.

2. Ang isosceles trapezoid ay isang geometric figure na ang mga gilid ay pantay sa bawat isa. Nangangahulugan ito na ang mga anggulo sa mga base ay magkapares din na pantay.

Ang mga pangunahing prinsipyo ng pamamaraan para sa pag-aaral ng mga katangian ng isang trapezoid

Ang pangunahing prinsipyo ay ang paggamit ng tinatawag na diskarte sa gawain. Sa katunayan, hindi na kailangang ipakilala ang mga bagong katangian ng figure na ito sa teoretikal na kurso ng geometry. Maaari silang matuklasan at mabuo sa proseso ng paglutas iba't ibang gawain(mas mahusay kaysa sa sistema). Kasabay nito, napakahalaga na alam ng guro kung anong mga gawain ang kailangang itakda para sa mga mag-aaral sa isang pagkakataon o iba pa. prosesong pang-edukasyon. Bukod dito, ang bawat pag-aari ng trapezoid ay maaaring katawanin bilang isang pangunahing gawain sa sistema ng gawain.

Ang pangalawang prinsipyo ay ang tinatawag na spiral na organisasyon ng pag-aaral ng "kahanga-hangang" katangian ng trapezoid. Ito ay nagpapahiwatig ng pagbabalik sa proseso ng pag-aaral sa mga indibidwal na katangian ng isang ibinigay geometric na pigura. Kaya, mas madali para sa mga mag-aaral na kabisaduhin ang mga ito. Halimbawa, ang pag-aari ng apat na puntos. Maaari itong mapatunayan kapwa sa pag-aaral ng pagkakatulad at kasunod nito sa tulong ng mga vectors. At ang pantay na lugar ng mga tatsulok na katabi ng mga gilid ng figure ay maaaring patunayan sa pamamagitan ng paglalapat hindi lamang ng mga katangian ng mga tatsulok na may pantay na taas na iginuhit sa mga gilid na nakahiga sa parehong tuwid na linya, kundi pati na rin ang paggamit ng formula S= 1/ 2(ab*sinα). Bilang karagdagan, maaari kang mag-ehersisyo sa isang inscribed na trapezoid o isang right triangle sa isang circumscribed trapezoid, atbp.

Ang paggamit ng mga feature na "out-of-program" ng isang geometric na figure sa nilalaman kurso sa paaralan ay isang gawaing teknolohiya ng kanilang pagtuturo. Ang patuloy na pag-apila sa mga pinag-aralan na pag-aari kapag dumadaan sa iba pang mga paksa ay nagbibigay-daan sa mga mag-aaral na makakuha ng mas malalim na kaalaman sa trapezoid at tinitiyak ang tagumpay ng paglutas ng mga gawain. Kaya, simulan nating pag-aralan ang kahanga-hangang figure na ito.

Mga elemento at katangian ng isang isosceles trapezoid

Tulad ng nabanggit na natin, ang mga gilid ng geometric figure na ito ay pantay. Ito ay kilala rin bilang tamang trapezoid. Bakit ito kapansin-pansin at bakit ito nakakuha ng ganoong pangalan? Kasama sa mga tampok ng figure na ito ang katotohanan na hindi lamang ang mga gilid at sulok sa mga base ay pantay, kundi pati na rin ang mga diagonal. Gayundin, ang kabuuan ng mga anggulo ng isang isosceles trapezoid ay 360 degrees. Ngunit hindi lang iyon! Sa lahat ng kilalang trapezoid, sa paligid ng isosceles lamang ang isa ay maaaring ilarawan ang isang bilog. Ito ay dahil sa ang katunayan na ang kabuuan ng mga kabaligtaran na anggulo ng figure na ito ay 180 degrees, at sa ilalim lamang ng kondisyong ito ay maaaring ilarawan ang isang bilog sa paligid ng quadrilateral. Ang susunod na katangian ng geometric figure na isinasaalang-alang ay ang distansya mula sa base vertex hanggang sa projection ng kabaligtaran na vertex papunta sa tuwid na linya na naglalaman ng base na ito ay magiging katumbas ng midline.

Ngayon, alamin natin kung paano hanapin ang mga anggulo ng isang isosceles trapezoid. Isaalang-alang ang isang solusyon sa problemang ito, sa kondisyon na ang mga sukat ng mga gilid ng figure ay kilala.

Solusyon

Karaniwan, ang quadrilateral ay karaniwang tinutukoy ng mga letrang A, B, C, D, kung saan ang BS at AD ang mga base. Sa isang isosceles trapezoid, ang mga gilid ay pantay. Ipagpalagay namin na ang kanilang sukat ay X, at ang mga sukat ng mga base ay Y at Z (mas maliit at mas malaki, ayon sa pagkakabanggit). Upang maisagawa ang pagkalkula, kinakailangan upang gumuhit ng taas H mula sa anggulo B. Ang resulta ay isang right-angled triangle ABN, kung saan ang AB ay ang hypotenuse, at ang BN at AN ay ang mga binti. Kinakalkula namin ang laki ng binti AN: ibinabawas namin ang mas maliit mula sa mas malaking base, at hinati ang resulta sa 2. Isinulat namin ito sa anyo ng isang formula: (Z-Y) / 2 \u003d F. Ngayon, upang kalkulahin ang matinding anggulo ng tatsulok, ginagamit namin ang cos function. Nakukuha namin ang sumusunod na tala: cos(β) = Х/F. Ngayon kinakalkula namin ang anggulo: β=arcos (Х/F). Dagdag pa, sa pag-alam ng isang anggulo, matutukoy natin ang pangalawa, para dito nagsasagawa kami ng isang elementarya na operasyon ng aritmetika: 180 - β. Ang lahat ng mga anggulo ay tinukoy.

Mayroon ding pangalawang solusyon sa problemang ito. Sa simula, ibinababa namin ang taas H mula sa sulok B. Kinakalkula namin ang halaga ng binti ng BN. Alam namin na ang parisukat ng hypotenuse ng isang tamang tatsulok ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti. Nakukuha namin ang: BN \u003d √ (X2-F2). Susunod, ginagamit namin ang trigonometric function tg. Bilang resulta, mayroon kaming: β = arctg (BN / F). May nakitang matalim na sulok. Susunod, tinutukoy namin sa parehong paraan tulad ng unang paraan.

Pag-aari ng mga diagonal ng isang isosceles trapezoid

Isulat muna natin ang apat na panuntunan. Kung ang mga diagonal sa isang isosceles trapezoid ay patayo, kung gayon:

Ang taas ng figure ay magiging katumbas ng kabuuan ng mga base na hinati sa dalawa;

Ang taas at median na linya nito ay pantay;

Ang gitna ng bilog ay ang punto kung saan ang ;

Kung ang lateral side ay nahahati sa punto ng contact sa mga segment H at M, kung gayon ito ay katumbas ng parisukat na ugat mga produkto ng mga segment na ito;

Ang quadrilateral, na nabuo ng mga tangent point, ang vertex ng trapezoid at ang gitna ng inscribed na bilog, ay isang parisukat na ang panig ay katumbas ng radius;

Ang lugar ng isang figure ay katumbas ng produkto ng mga base at ang produkto ng kalahati ng kabuuan ng mga base at ang taas nito.

Mga katulad na trapezium

Ang paksang ito ay napaka-maginhawa para sa pag-aaral ng mga katangian ng isang ito. Halimbawa, hinahati ng mga dayagonal ang trapezoid sa apat na tatsulok, at ang mga katabi ng mga base ay magkatulad, at ang mga katabi ng mga gilid ay pantay. Ang pahayag na ito ay maaaring tawaging isang pag-aari ng mga tatsulok kung saan ang trapezoid ay nahahati sa mga diagonal nito. Ang unang bahagi ng assertion na ito ay pinatunayan sa pamamagitan ng criterion ng pagkakatulad sa dalawang anggulo. Upang patunayan ang ikalawang bahagi, mas mainam na gamitin ang paraang ibinigay sa ibaba.

Katibayan ng teorama

Tinatanggap namin na ang figure ABSD (AD at BS - ang mga base ng trapezoid) ay nahahati sa mga diagonal na VD at AC. Ang kanilang intersection point ay O. Nakakuha kami ng apat na tatsulok: AOS - sa ibabang base, BOS - sa itaas na base, ABO at SOD sa mga gilid. Ang mga tatsulok na SOD at BOS ay may isang karaniwang taas kung ang mga segment na BO at OD ay ang kanilang mga base. Nakuha namin na ang pagkakaiba sa pagitan ng kanilang mga lugar (P) ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng mga segment na ito: PBOS / PSOD = BO / OD = K. Samakatuwid, PSOD = PBOS / K. Katulad nito, ang BOS at AOB triangles ay may isang karaniwang taas. Kinukuha namin ang mga segment na CO at OA bilang kanilang mga base. Nakukuha namin ang PBOS / PAOB \u003d CO / OA \u003d K at PAOB \u003d PBOS / K. Ito ay sumusunod mula dito na ang PSOD = PAOB.

Upang pagsama-samahin ang materyal, pinapayuhan ang mga mag-aaral na maghanap ng kaugnayan sa pagitan ng mga lugar ng mga tatsulok na nakuha, kung saan ang trapezoid ay nahahati sa mga diagonal nito, sa pamamagitan ng paglutas sa sumusunod na problema. Ito ay kilala na ang mga lugar ng triangles BOS at AOD ay pantay, ito ay kinakailangan upang mahanap ang lugar ng trapezoid. Dahil PSOD \u003d PAOB, nangangahulugan ito na PABSD \u003d PBOS + PAOD + 2 * PSOD. Mula sa pagkakatulad ng mga tatsulok na BOS at AOD ay sumusunod na BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Samakatuwid, PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Nakukuha namin ang PSOD = √ (PBOS * PAOD). Pagkatapos PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

mga katangian ng pagkakatulad

Sa patuloy na pagbuo ng paksang ito, mapapatunayan natin ang iba kawili-wiling mga tampok trapezium. Kaya, gamit ang pagkakatulad, maaari mong patunayan ang pag-aari ng isang segment na dumadaan sa isang punto na nabuo sa pamamagitan ng intersection ng mga diagonal ng geometric figure na ito, parallel sa mga base. Upang gawin ito, lutasin namin ang sumusunod na problema: kinakailangan upang mahanap ang haba ng segment na RK, na dumadaan sa puntong O. Mula sa pagkakapareho ng mga tatsulok na AOD at BOS, sinusunod nito ang AO/OS=AD/BS. Mula sa pagkakapareho ng mga tatsulok na AOP at ASB, sinusunod nito ang AO / AS \u003d RO / BS \u003d AD / (BS + AD). Mula dito nakuha namin ang RO \u003d BS * AD / (BS + AD). Katulad nito, mula sa pagkakapareho ng mga tatsulok na DOK at DBS, sumusunod ito na OK \u003d BS * AD / (BS + AD). Mula dito nakukuha natin ang RO=OK at RK=2*BS*AD/(BS+AD). Ang segment na dumadaan sa punto ng intersection ng mga diagonal, parallel sa mga base at pagkonekta sa dalawang panig, ay nahahati sa punto ng intersection sa kalahati. Ang haba nito ay ang harmonic mean ng mga base ng figure.

Isipin mo susunod na kalidad trapezium, na tinatawag na pag-aari ng apat na puntos. Ang mga intersection point ng mga diagonal (O), ang mga intersection ng pagpapatuloy ng mga gilid (E), pati na rin ang mga midpoint ng mga base (T at W) ay palaging nakahiga sa parehong linya. Ito ay madaling napatunayan ng paraan ng pagkakatulad. Ang mga nagresultang tatsulok na BES at AED ay magkatulad, at sa bawat isa sa kanila ang mga median na ET at EZH ay naghahati sa anggulo sa vertex E sa pantay na mga bahagi. Samakatuwid, ang mga puntong E, T at W ay nasa parehong tuwid na linya. Sa parehong paraan, ang mga puntos na T, O, at G ay matatagpuan sa parehong tuwid na linya. Ang lahat ng ito ay sumusunod mula sa pagkakapareho ng mga tatsulok na BOS at AOD. Mula dito napagpasyahan namin na ang lahat ng apat na puntos - E, T, O at W - ay nasa isang tuwid na linya.

Gamit ang magkatulad na trapezoid, maaaring hilingin sa mga mag-aaral na hanapin ang haba ng segment (LF) na naghahati sa pigura sa dalawang magkatulad. Ang segment na ito ay dapat na parallel sa mga base. Dahil ang mga resultang trapezoids ALFD at LBSF ay magkatulad, pagkatapos ay BS/LF=LF/BP. Kasunod nito na LF=√(BS*BP). Nakuha namin na ang segment na naghahati sa trapezoid sa dalawang magkatulad ay may haba na katumbas ng geometric na ibig sabihin ng mga haba ng mga base ng figure.

Isaalang-alang ang sumusunod na katangian ng pagkakatulad. Ito ay batay sa isang segment na naghahati sa trapezoid sa dalawang pantay na laki ng mga numero. Tinatanggap namin na ang trapezoid ABSD ay hinati ng segment EN sa dalawang magkatulad. Mula sa vertex B, ang taas ay tinanggal, na hinati ng segment na EH sa dalawang bahagi - B1 at B2. Nakukuha namin ang: PABSD / 2 \u003d (BS + EH) * B1 / 2 \u003d (AD + EH) * B2 / 2 at PABSD \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Susunod, bumubuo kami ng isang sistema na ang unang equation ay (BS + EH) * B1 \u003d (AD + EH) * B2 at ang pangalawa (BS + EH) * B1 \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Kasunod nito na ang B2/ B1 = (BS+EN)/(AD+EN) at BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/ B1). Nakuha namin na ang haba ng segment na naghahati sa trapezoid sa dalawang pantay na mga ay katumbas ng ibig sabihin ng parisukat ng mga haba ng mga base: √ ((BS2 + AD2) / 2).

Mga hinuha sa pagkakatulad

Kaya, napatunayan namin na:

1. Ang segment na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga gilid ng trapezoid ay parallel sa AD at BS at katumbas ng arithmetic mean ng BS at AD (ang haba ng base ng trapezoid).

2. Ang linyang dumadaan sa punto O ng intersection ng mga diagonal na kahanay ng AD at BS ay magiging katumbas ng harmonic mean ng mga numerong AD at BS (2 * BS * AD / (BS + AD)).

3. Ang segment na naghahati sa trapezoid sa magkatulad ay may haba ng geometric na mean ng mga baseng BS at AD.

4. Ang isang elemento na naghahati sa isang pigura sa dalawang magkapareho ay may haba ng mga mean square number na AD at BS.

Upang pagsamahin ang materyal at maunawaan ang koneksyon sa pagitan ng mga isinasaalang-alang na mga segment, kailangan ng mag-aaral na buuin ang mga ito para sa isang tiyak na trapezoid. Madali niyang maipakita ang midline at ang segment na dumadaan sa punto O - ang intersection ng mga diagonal ng figure - parallel sa mga base. Ngunit saan ang ikatlo at ikaapat? Ang sagot na ito ay magdadala sa mag-aaral sa pagtuklas ng nais na kaugnayan sa pagitan ng mga average.

Isang line segment na nagdurugtong sa mga midpoint ng mga diagonal ng isang trapezoid

Isaalang-alang ang sumusunod na katangian ng figure na ito. Tinatanggap namin na ang segment na MH ay parallel sa mga base at hinahati ang mga diagonal. Tawagan natin ang mga intersection point na W at W. Ang segment na ito ay magiging katumbas ng kalahating pagkakaiba ng mga base. Suriin natin ito nang mas detalyado. MSH - ang gitnang linya ng tatsulok na ABS, ito ay katumbas ng BS / 2. MS - ang gitnang linya ng tatsulok na ABD, ito ay katumbas ng AD / 2. Pagkatapos ay nakuha namin na ShShch = MShch-MSh, samakatuwid, Sshch = AD / 2-BS / 2 = (AD + VS) / 2.

Sentro ng grabidad

Tingnan natin kung paano tinutukoy ang elementong ito para sa isang ibinigay na geometric na pigura. Upang gawin ito, kinakailangan upang pahabain ang mga base sa magkasalungat na direksyon. Ano ang ibig sabihin nito? Kinakailangan na idagdag ang mas mababang base sa itaas na base - sa alinman sa mga gilid, halimbawa, sa kanan. At ang ibaba ay pinalawak ng haba ng tuktok sa kaliwa. Susunod, ikinonekta namin ang mga ito sa isang dayagonal. Ang punto ng intersection ng segment na ito na may gitnang linya ng figure ay ang sentro ng grabidad ng trapezoid.

Inscribed at circumscribed trapezoids

Ilista natin ang mga tampok ng naturang mga figure:

1. Ang isang trapezoid ay maaari lamang isulat sa isang bilog kung ito ay isosceles.

2. Ang isang trapezoid ay maaaring ilarawan sa paligid ng isang bilog, sa kondisyon na ang kabuuan ng mga haba ng kanilang mga base ay katumbas ng kabuuan ng mga haba ng mga gilid.

Mga kahihinatnan ng nakasulat na bilog:

1. Ang taas ng inilarawang trapezoid ay palaging katumbas ng dalawang radii.

2. Ang lateral side ng inilarawan na trapezoid ay sinusunod mula sa gitna ng bilog sa tamang anggulo.

Ang unang corollary ay halata, at upang patunayan ang pangalawa ito ay kinakailangan upang itatag na ang SOD anggulo ay tama, na, sa katunayan, ay hindi rin magiging mahirap. Ngunit ang kaalaman sa pag-aari na ito ay magpapahintulot sa amin na gumamit ng isang right-angled na tatsulok sa paglutas ng mga problema.

Ngayon ay tinukoy namin ang mga kahihinatnan na ito para sa isang isosceles trapezoid, na kung saan ay nakasulat sa isang bilog. Nakuha namin na ang taas ay ang geometric na ibig sabihin ng mga base ng figure: H=2R=√(BS*AD). Ang pagsasanay sa pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga problema para sa mga trapezoid (ang prinsipyo ng pagguhit ng dalawang taas), dapat malutas ng mag-aaral ang sumusunod na gawain. Tinatanggap namin na ang BT ay ang taas ng isosceles figure na ABSD. Ito ay kinakailangan upang mahanap ang mga segment AT at TD. Gamit ang formula na inilarawan sa itaas, hindi ito magiging mahirap gawin.

Ngayon, alamin natin kung paano matukoy ang radius ng isang bilog gamit ang lugar ng circumscribed trapezoid. Ibinababa namin ang taas mula sa itaas na B hanggang sa base AD. Dahil ang bilog ay nakasulat sa isang trapezoid, pagkatapos ay BS + AD \u003d 2AB o AB \u003d (BS + AD) / 2. Mula sa tatsulok na ABN makikita natin ang sinα = BN / AB = 2 * BN / (BS + AD). PABSD \u003d (BS + AD) * BN / 2, BN \u003d 2R. Nakukuha namin ang PABSD \u003d (BS + HELL) * R, kasunod nito ang R \u003d PABSD / (BS + HELL).

Lahat ng mga formula ng midline ng isang trapezoid

Ngayon ay oras na upang lumipat sa huling elemento ng geometric figure na ito. Alamin natin kung ano ang katumbas ng gitnang linya ng trapezoid (M):

1. Sa pamamagitan ng mga base: M \u003d (A + B) / 2.

2. Sa pamamagitan ng taas, base at mga anggulo:

M \u003d A-H * (ctgα + ctgβ) / 2;

M \u003d B + H * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. Sa pamamagitan ng taas, dayagonal at anggulo sa pagitan nila. Halimbawa, ang D1 at D2 ay ang mga dayagonal ng isang trapezoid; α, β - mga anggulo sa pagitan nila:

M = D1*D2*sinα/2H = D1*D2*sinβ/2H.

4. Sa pamamagitan ng lugar at taas: M = P / N.