Dodavanje više razlomaka. Sabiranje i oduzimanje algebarskih razlomaka s različitim nazivnicima (osnovna pravila, najjednostavniji slučajevi)

Ova lekcija će pokriti sabiranje i oduzimanje algebarskih razlomaka sa različiti imenioci. Već znamo kako sabirati i oduzimati obične razlomke s različitim nazivnicima. Da biste to učinili, razlomci se moraju svesti na zajednički nazivnik. Ispostavilo se da algebarski razlomci slijede ista pravila. U isto vrijeme, već znamo kako svesti algebarske razlomke na zajednički nazivnik. Sabiranje i oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima jedna je od najvažnijih i najtežih tema u 8. razredu. Štaviše, ova tema će se pojaviti u mnogim temama u kursu algebre koje ćete učiti u budućnosti. U sklopu lekcije proučavat ćemo pravila za sabiranje i oduzimanje algebarskih razlomaka s različitim nazivnicima, a također ćemo analizirati niz tipičnih primjera.

Pogledajmo najjednostavniji primjer običnih razlomaka.

Primjer 1. Dodaj razlomke: .

Rješenje:

Prisjetimo se pravila za sabiranje razlomaka. Za početak, razlomci se moraju svesti na zajednički nazivnik. Zajednički nazivnik za obične razlomke je najmanji zajednički višekratnik(LCM) originalnih nazivnika.

Definicija

Najmanje prirodni broj, koji je istovremeno djeljiv brojevima i .

Da biste pronašli LCM, potrebno je da faktore delite na proste faktore, a zatim da odaberete sve proste faktore koji su uključeni u proširenje oba nazivnika.

; . Tada LCM brojeva mora uključivati dvije dvojke i dvije trojke: .

Nakon što pronađete zajednički imenilac, morate pronaći dodatni faktor za svaki razlomak (zapravo, podijelite zajednički imenilac sa imeniocem odgovarajućeg razlomka).

Svaki razlomak se zatim množi sa rezultujućim dodatnim faktorom. Dobijamo razlomke sa isti imenioci, sabiranje i oduzimanje koje smo naučili u prethodnim lekcijama.

Dobijamo: .

odgovor:.

Razmotrimo sada sabiranje algebarskih razlomaka s različitim nazivnicima. Prvo, pogledajmo razlomke čiji su imenioci brojevi.

Primjer 2. Dodaj razlomke: .

Rješenje:

Algoritam rješenja je apsolutno sličan prethodnom primjeru. Lako je pronaći zajednički imenitelj ovih razlomaka: i dodatne faktore za svaki od njih.

odgovor:.

Dakle, hajde da formulišemo algoritam za sabiranje i oduzimanje algebarskih razlomaka sa različitim nazivnicima:

1. Pronađite najmanji zajednički imenilac razlomaka.

2. Pronađite dodatne faktore za svaki od razlomaka (dijeleći zajednički imenilac sa imeniocem datog razlomka).

3. Pomnožite brojioce odgovarajućim dodatnim faktorima.

4. Dodajte ili oduzmite razlomke koristeći pravila za sabiranje i oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima.

Razmotrimo sada primjer s razlomcima čiji nazivnik sadrži slovne izraze.

Primjer 3. Dodaj razlomke: .

Rješenje:

Budući da su slovni izrazi u oba nazivnika isti, trebali biste pronaći zajednički nazivnik za brojeve. Konačni zajednički imenilac će izgledati ovako: . Dakle, rješenje ovog primjera izgleda ovako:.

odgovor:.

Primjer 4. Oduzmite razlomke: .

Rješenje:

Ako ne možete "prevariti" pri odabiru zajedničkog nazivnika (ne možete ga rastaviti na faktore ili koristiti skraćene formule za množenje), tada morate uzeti umnožak nazivnika oba razlomka kao zajednički nazivnik.

odgovor:.

Općenito, pri rješavanju ovakvih primjera najteži je zadatak pronaći zajednički nazivnik.

Pogledajmo složeniji primjer.

Primjer 5. Pojednostavite: .

Rješenje:

Prilikom pronalaženja zajedničkog nazivnika, prvo morate pokušati rastaviti nazivnike originalnih razlomaka (da biste pojednostavili zajednički imenilac).

U ovom konkretnom slučaju:

Tada je lako odrediti zajednički imenilac: .

Određujemo dodatne faktore i rješavamo ovaj primjer:

odgovor:.

Sada uspostavimo pravila za sabiranje i oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima.

Primjer 6. Pojednostavite: .

Rješenje:

odgovor:.

Primjer 7. Pojednostavite: .

Rješenje:

odgovor:.

Razmotrimo sada primjer u kojem se zbrajaju ne dva, već tri razlomka (na kraju krajeva, pravila sabiranja i oduzimanja za veći broj razlomaka ostaju ista).

Primjer 8. Pojednostavite: .

Pronađite brojnik i imenilac. Razlomak uključuje dva broja: broj koji se nalazi iznad prave naziva se brojilac, a broj koji se nalazi ispod prave naziva se imenilac. Imenitelj označava ukupan broj dijelova na koje je podijeljena cjelina, a brojnik je broj takvih dijelova koji se razmatraju.

Na primjer, u razlomku ½ brojilac je 1, a nazivnik 2.

Odredite imenilac. Ako dva ili više razlomaka imaju zajednički nazivnik, takvi razlomci imaju isti broj ispod crte, odnosno u ovom slučaju se određena cjelina dijeli na isti broj dijelova. Sabiranje razlomaka sa zajedničkim nazivnikom je vrlo jednostavno, jer će nazivnik zbrojenog razlomka biti isti kao i razlomci koji se sabiraju. Na primjer:

Razlomci 3/5 i 2/5 imaju zajednički imenilac 5.
Razlomci 3/8, 5/8, 17/8 imaju zajednički imenilac 8.

Odredite brojioce. Da biste sabrali razlomke sa zajedničkim nazivnikom, zbrojite njihove brojioce i napišite rezultat iznad nazivnika razlomaka koji se zbrajaju.

Razlomci 3/5 i 2/5 imaju brojioce 3 i 2.
Razlomci 3/8, 5/8, 17/8 imaju brojioce 3, 5, 17.

Zbrojite brojioce. U zadatku 3/5 + 2/5 saberite brojioce 3 + 2 = 5. U zadatku 3/8 + 5/8 + 17/8 saberite brojioce 3 + 5 + 17 = 25.

Napišite ukupan razlomak. Zapamtite da kada se zbrajaju razlomci sa zajedničkim nazivnikom, on ostaje nepromijenjen - samo se zbrajaju brojnici.

3/5 + 2/5 = 5/5
3/8 + 5/8 + 17/8 = 25/8

Pretvorite razlomak ako je potrebno. Ponekad se razlomak može napisati kao cijeli broj, a ne kao razlomak ili decimalni. Na primjer, razlomak 5/5 lako se pretvara u 1, jer je svaki razlomak čiji je brojilac jednak nazivniku 1. Zamislite pitu izrezanu na tri dijela. Ako pojedete sva tri dijela, pojest ćete cijelu (jednu) pitu.

Bilo koji razlomak se može pretvoriti u decimalu; Da biste to učinili, podijelite brojilac sa nazivnikom. Na primjer, razlomak 5/8 se može napisati na sljedeći način: 5 ÷ 8 = 0,625.

Ako je moguće, pojednostavite razlomak. Pojednostavljeni razlomak je razlomak čiji brojnik i imenilac nemaju zajedničke faktore.

Na primjer, razmotrite razlomak 3/6. Ovdje imaju i brojnik i imenilac zajednički djelitelj, jednako 3, odnosno brojilac i imenilac su potpuno djeljivi sa 3. Dakle, razlomak 3/6 se može napisati na sljedeći način: 3 ÷ 3/6 ÷ 3 = ½.

Ako je potrebno, pretvorite nepravilan razlomak u mješovita frakcija(mješoviti broj). Nepravilan razlomak ima brojnik veći od nazivnika, na primjer, 25/8 (pravilan razlomak ima brojnik manji od imenioca). Nepravilan razlomak se može pretvoriti u mješoviti razlomak, koji se sastoji od cijelog broja (tj. cijelog broja) i razlomka (odnosno, pravilnog razlomaka). Da pretvorite nepravilan razlomak, kao što je 25/8, u mješoviti broj, slijedite ove korake:

Podijelite brojilac nepravilnog razlomka njegovim nazivnikom; zapišite parcijalni količnik (cijeli odgovor). U našem primjeru: 25 ÷ 8 = 3 plus neki ostatak. U ovom slučaju, cijeli odgovor je cijeli dio mješovitog broja.
Pronađite ostatak. U našem primjeru: 8 x 3 = 24; oduzmite rezultat od originalnog brojila: 25 - 24 = 1, odnosno ostatak je 1. U ovom slučaju, ostatak je brojnik razlomka mješovitog broja.
Napišite mješoviti razlomak. Imenilac se ne menja (odnosno, jednak je imeniocu nepravilnog razlomka), pa je 25/8 = 3 1/8.

Neki od najtežih za razumijevanje su različite akcije sa prostim razlomcima. To je zbog činjenice da je djeci još uvijek teško razmišljati apstraktno, a razlomci im, zapravo, izgledaju upravo tako. Stoga, prilikom izlaganja gradiva, nastavnici često pribjegavaju analogijama i objašnjavaju oduzimanje i sabiranje razlomaka doslovno na prstima. Iako nijedan školski čas matematike nije potpun bez pravila i definicija.

Osnovni koncepti

Prije nego što počnete, preporučljivo je razumjeti nekoliko osnovnih definicija i pravila. U početku je važno razumjeti šta je razlomak. Odnosi se na broj koji predstavlja jedan ili više razlomaka jedinice. Na primjer, ako isječete veknu na 8 komada i stavite 3 kriške na tanjir, tada će 3/8 biti razlomak. Štaviše, u ovom pisanju to će biti jednostavan razlomak, gdje je broj iznad linije brojilac, a ispod nje imenilac. Ali ako to zapišete kao 0,375, već će biti decimalni.

Osim toga, prosti razlomci se dijele na pravilne, nepravilne i miješane. Prvi uključuju sve one čiji je brojilac manji od nazivnika. Ako je, naprotiv, imenilac manji od brojnika, to će već biti nepravilan razlomak. Ako ispred ispravnog broja stoji cijeli broj, oni se nazivaju mješoviti brojevi. Dakle, razlomak 1/2 je pravilan, ali 7/2 nije. A ako to napišete u ovom obliku: 3 1/2, onda će postati miješano.

Kako biste lakše razumjeli šta je zbrajanje razlomaka i kako biste ga lakše obavili, također je važno zapamtiti njegovu suštinu u nastavku. Ako se brojnik i imenilac pomnože istim brojem, razlomak se neće promijeniti. To je svojstvo koje vam omogućava da izvodite jednostavne operacije s običnim i drugim razlomcima. U stvari, to znači da su 1/15 i 3/45 u suštini isti broj.

Sabiranje razlomaka sa sličnim nazivnicima

Izvođenje ove radnje obično ne izaziva velike poteškoće. Sabiranje razlomaka u ovom slučaju je vrlo slično sličnoj operaciji s cijelim brojevima. Imenilac ostaje nepromenjen, a brojnici se jednostavno sabiraju. Na primjer, ako trebate dodati razlomke 2/7 i 3/7, tada će rješenje školskog problema u vašoj bilježnici biti ovako:

2/7 + 3/7 = (2+3)/7 = 5/7.

Osim toga, ovo dodavanje razlomaka može se objasniti korištenjem jednostavan primjer. Uzmite običnu jabuku i isecite je, na primer, na 8 komada. Prvo rasporedite 3 dijela posebno, a zatim im dodajte još 2. Kao rezultat, čaša će sadržavati 5/8 cijele jabuke. Sam aritmetički problem je napisan na sledeći način:

3/8 + 2/8 = (3+2)/8 = 5/8.

Ali često postoje složeniji problemi u kojima morate sabrati, na primjer, 5/9 i 3/5. Tu nastaju prve poteškoće u radu sa razlomcima. Uostalom, dodavanje takvih brojeva zahtijevat će dodatno znanje. Sada ćete morati u potpunosti zapamtiti njihovo glavno svojstvo. Da biste dodali razlomke iz primjera, prvo ih trebate dovesti u jedan zajednički nazivnik. Da biste to učinili, jednostavno trebate pomnožiti 9 i 5 zajedno, pomnožiti brojilac “5” sa 5, odnosno “3” sa 9. Dakle, sljedeći razlomci su već dodati: 25/45 i 27/45. Sada ostaje samo da saberemo brojioce i dobijemo odgovor 52/45. Na komadu papira primjer bi izgledao ovako:

5/9 + 3/5 = (5 x 5)/(9 x 5) + (3 x 9)/(5 x 9) = 25/45 + 27/45 = (25+27)/45 = 52/ 45 = 1 7 / 45.

Ali zbrajanje razlomaka s takvim nazivnicima ne zahtijeva uvijek jednostavno množenje brojeva ispod linije. Prvo traže najmanji zajednički nazivnik. Na primjer, kao za razlomke 2/3 i 5/6. Za njih će to biti broj 6. Ali odgovor nije uvijek očigledan. U ovom slučaju, vrijedi zapamtiti pravilo za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika (skraćeno LCM) dva broja.

Podrazumijeva se kao najmanji zajednički faktor dva cijela broja. Da bi ga pronašli, razlažu svaki na proste faktore. Sada zapišite one od njih koji se pojavljuju barem jednom u svakom broju. Pomnože ih zajedno i dobiju isti imenilac. U stvarnosti, sve izgleda malo jednostavnije.

Na primjer, trebate dodati razlomke 4/15 i 1/6. Dakle, 15 se dobije množenjem jednostavnih brojeva 3 i 5, a šest se dobije množenjem jednostavnih brojeva dva i tri. To znači da će LCM za njih biti 5 x 3 x 2 = 30. Sada, dijeljenjem 30 sa nazivnikom prvog razlomka, dobijamo množitelj za njegov brojilac - 2. A za drugi razlomak to će biti broj 5 Dakle, ostaje da saberemo obične razlomke 8/30 i 5/30 i dobijemo odgovor 13/30. Sve je krajnje jednostavno. U svoju svesku treba da zapišete ovaj zadatak ovako:

4/15 + 1/6 = (4 x 2)/(15 x 2) + (1 x 5)/(6 x 5) = 8/30 + 5/30 = 13/30.

LCM(15, 6) = 30.

Sabiranje mješovitih brojeva

Sada kada znate sve osnovne tehnike za zbrajanje jednostavnih razlomaka, možete se okušati u složenijim primjerima. I to će biti mješoviti brojevi, koji znače dio ovog oblika: 2 2 / 3. Ovdje je cijeli dio napisan prije pravog razlomka. I mnogi ljudi se zbune kada izvode radnje s takvim brojevima. U stvarnosti, ovdje vrijede ista pravila.

Da biste dodali mješovite brojeve, dodajte cijele dijelove zasebno i pravilne razlomke. I onda se ova 2 rezultata sumiraju. U praksi je sve mnogo jednostavnije, samo treba malo vježbati. Na primjer, problem zahtijeva dodavanje sljedećih mješovitih brojeva: 1 1/3 i 4 2/5. Da biste to učinili, prvo dodajte 1 i 4 da dobijete 5. Zatim dodajte 1/3 i 2/5 koristeći tehnike najmanjeg zajedničkog nazivnika. Rješenje će biti 15.11. I konačni odgovor je 5 11/15. U školskoj svesci izgledat će mnogo kraće:

1 1 / 3 + 4 2 / 5 = (1 + 4) + (1/3 + 2/5) = 5 + 5/15 + 6/15 = 5 + 11/15 = 5 11 / 15 .

Dodavanje decimala

Osim običnih razlomaka, postoje i decimale. Inače, mnogo su češći u životu. Na primjer, cijena u trgovini često izgleda ovako: 20,3 rublja. Ovo je isti razlomak. Naravno, ove je mnogo lakše savijati od običnih. U principu, trebate samo dodati 2 obična broja, glavna stvar je to na pravom mjestu staviti zarez. Tu nastaju poteškoće.

Na primjer, trebate dodati 2,5 i 0,56. Da biste to učinili ispravno, potrebno je prvom na kraju dodati nulu i sve će biti u redu.

2,50 + 0,56 = 3,06.

Važno je znati da se svaka decimala može pretvoriti u razlomak, ali ne može se svaki razlomak napisati kao decimala. Dakle, iz našeg primjera, 2,5 = 2 1/2 i 0,56 = 14/25. Ali razlomak poput 1/6 bit će približno jednak 0,16667. Ista situacija će se dogoditi i sa drugim sličnim brojevima - 2/7, 1/9 i tako dalje.

Zaključak

Mnogi školarci, ne shvaćajući praktičnu stranu rada sa razlomcima, neoprezno tretiraju ovu temu. Međutim, ovo osnovno znanje će vam omogućiti da kliknete kao orasi složeni primjeri sa logaritmima i nalaženjem izvoda. Stoga vrijedi jednom temeljito razumjeti operacije s razlomcima, kako se kasnije ne biste frustrirano grizli za laktove. Uostalom, malo je vjerovatno da će se profesor u srednjoj školi vratiti ovoj već obrađenoj temi. Svaki srednjoškolac bi trebao biti u stanju da izvodi takve vježbe.

Detetu je teško razumeti frakcione izraze. Većina ljudi ima poteškoća sa. Prilikom proučavanja teme "sabiranje razlomaka sa cijelim brojevima", dijete pada u stupor, jer mu je teško riješiti problem. U mnogim primjerima, prije izvođenja radnje, mora se izvršiti niz proračuna. Na primjer, pretvoriti razlomke ili pretvoriti nepravilan razlomak u pravilan razlomak.

Objasnimo to djetetu jasno. Uzmimo tri jabuke, od kojih će dvije biti cijele, a treću iseći na 4 dijela. Od isečene jabuke odvojite jednu krišku, a preostale tri stavite pored dva cela voća. Dobijamo ¼ jabuke sa jedne strane i 2 ¾ sa druge strane. Ako ih spojimo, dobićemo tri jabuke. Pokušajmo smanjiti 2 ¾ jabuke za ¼, odnosno ukloniti još jednu krišku, dobićemo 2 2/4 jabuke.

Pogledajmo bliže operacije s razlomcima koji sadrže cijele brojeve:

Prvo, sjetimo se pravila izračuna za frakcioni izrazi sa zajedničkim nazivnikom:

Na prvi pogled sve je lako i jednostavno. Ali ovo se odnosi samo na izraze koji ne zahtijevaju konverziju.

Kako pronaći vrijednost izraza gdje su nazivnici različiti

U nekim zadacima morate pronaći značenje izraza gdje su nazivnici različiti. Pogledajmo konkretan slučaj:
3 2/7+6 1/3

Nađimo vrijednost ovog izraza tako što ćemo pronaći zajednički nazivnik za dva razlomka.

Za brojeve 7 i 3, ovo je 21. Cjelobrojne dijelove ostavljamo istim, a razlomke dovodimo do 21, za to pomnožimo prvi razlomak sa 3, drugi sa 7, dobijamo:
6/21+7/21, ne zaboravite da se cijeli dijelovi ne mogu pretvoriti. Kao rezultat, dobijamo dva razlomka sa istim nazivnikom i izračunavamo njihov zbir:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Šta ako je rezultat zbrajanja nepravilan razlomak koji već ima cijeli broj:
2 1/3+3 2/3
U ovom slučaju, zbrajamo cjelobrojne dijelove i razlomke, dobivamo:
5 3/3, kao što znate, 3/3 je jedan, što znači 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

Pronalaženje zbira je jasno, pogledajmo oduzimanje:

Iz svega rečenog, pravilo akcije završeno mešoviti brojevi, što zvuči ovako:

Ako trebate oduzeti cijeli broj od frakcijskog izraza, ne morate drugi broj predstaviti kao razlomak, dovoljno je izvršiti operaciju samo na cjelobrojnim dijelovima.

Pokušajmo sami izračunati značenje izraza:

Pogledajmo pobliže primjer ispod slova "m":

4 5/11-2 8/11, brojilac prvog razlomka je manji od drugog. Da bismo to učinili, pozajmimo jedan cijeli broj iz prvog razlomka, dobijemo,
3 5/11+11/11=3 cijeli 16/11, oduzmi drugi od prvog razlomka:
3 16/11-2 8/11=1 cijeli 8/11

Budite oprezni prilikom dovršavanja zadatka, ne zaboravite pretvoriti nepravilne razlomke u mješovite razlomke, naglašavajući cijeli dio. Da biste to učinili, trebate podijeliti vrijednost brojila vrijednošću nazivnika, tada ono što se događa zauzima mjesto cijelog dijela, ostatak će biti brojilac, na primjer:

19/4=4 ¾, provjerimo: 4*4+3=19, nazivnik 4 ostaje nepromijenjen.

rezimirati:

Prije započinjanja zadatka koji se odnosi na razlomke, potrebno je analizirati o kakvom se izrazu radi, koje transformacije treba izvršiti na razlomku da bi rješenje bilo ispravno. Potražite racionalnije rješenje. Ne idi težim putem. Planirajte sve radnje, riješite ih prvo u obliku nacrta, a zatim ih prenesite u svoju školsku svesku.

Da biste izbjegli zabunu prilikom rješavanja frakcijskih izraza, morate slijediti pravilo konzistentnosti. O svemu odlučite pažljivo, bez žurbe.