დაამტკიცეთ თეორემა მსგავსი სამკუთხედების ფართობების შეფარდების შესახებ. "მსგავსი სამკუთხედების ფართობების თანაფარდობა"

მსგავსი სამკუთხედების განმარტება და თვისებები

რიცხვები a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n რიცხვების პროპორციული ეწოდება b 1 , b 2 , b 3 , …, b n რიცხვების პროპორციულად თუ მოქმედებს ტოლობა: a 1 / b 1 = a 2 / b 2 = a. 3 / b 3 = ... = a n /b n = k, სადაც k არის გარკვეული რიცხვი, რომელსაც ეწოდება პროპორციულობის კოეფიციენტი.

მაგალითი.ნომრები 6; 7,5 და 15 პროპორციულია -4 რიცხვებისა; 5 და 10. პროპორციულობის კოეფიციენტი არის რიცხვი -1,5, ვინაიდან

6/-4 = -7,5/5 = 15/-10 = -1,5.

რიცხვების პროპორციულობა ხდება, თუ ეს რიცხვები დაკავშირებულია პროპორციით.

ცნობილია, რომ პროპორცია შეიძლება შედგებოდეს არანაკლებ ოთხი რიცხვისგან, ამიტომ პროპორციულობის ცნება გამოიყენება მინიმუმ ოთხ რიცხვზე (რიცხვის ერთი წყვილი პროპორციულია მეორე წყვილის, ან რიცხვების ერთი სამმაგი პროპორციულია მეორე სამმაგის, და ა.შ.).

მოდით შევხედოთ ბრინჯი. 1ორი სამკუთხედი ABC და A 1 B 1 C 1 თანაბარი წყვილი კუთხით: A = A 1, B = B 1, C = C 1.

გვერდებს, რომლებიც ორივე სამკუთხედის ტოლი წყვილი კუთხის საპირისპიროა, ეწოდება მსგავსი. დიახ, ჩართულია ბრინჯი. 1გვერდები AB და A 1 B 1, AC და A 1 C 1, BC და B 1 C 1, მსგავსი, რადგან ისინი დევს სამკუთხედების ABC და A 1 B 1 C 1 შესაბამისად თანაბარი კუთხით.

განვსაზღვროთ მსგავსი სამკუთხედები:

ორ სამკუთხედს უწოდებენ მსგავსი, თუ მათი კუთხეები წყვილად ტოლია და მსგავსი გვერდები პროპორციულია.

მსგავსი სამკუთხედების მსგავსი გვერდების თანაფარდობა ე.წ მსგავსების კოეფიციენტი.

მსგავსი სამკუთხედები აღინიშნება შემდეგნაირად: Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1 .

ასე შემდეგ ბრინჯი. 2გვაქვს: Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1

კუთხეები A = A 1, B = B 1, C = C 1 და AB/A 1 B 1 = BC/B 1 C 1 = AC/A 1 C 1 = k, სადაც k არის მსგავსების კოეფიციენტი. დან ბრინჯი. 2ნათელია, რომ მსგავს სამკუთხედებს აქვთ იგივე პროპორციები და განსხვავდებიან მხოლოდ მასშტაბით.

შენიშვნა 1: ტოლი სამკუთხედები მსგავსია 1-ის კოეფიციენტით.

შენიშვნა 2: მსგავსი სამკუთხედების აღნიშვნისას მათი წვეროები ისე უნდა იყოს დალაგებული, რომ მათი კუთხეები წყვილად ტოლი იყოს. მაგალითად, მე-2 სურათზე ნაჩვენები სამკუთხედებისთვის, არასწორია იმის თქმა, რომ Δ ABC ~ Δ B 1 C 1 A 1. წვეროების სწორი თანმიმდევრობის დაკვირვებით, მოსახერხებელია სამკუთხედების მსგავსი გვერდების დამაკავშირებელი პროპორციის დაწერა ნახაზის მითითების გარეშე: შესაბამისი თანაფარდობების მრიცხველი და მნიშვნელი უნდა შეიცავდეს წვეროების წყვილებს, რომლებიც იკავებენ ერთსა და იმავე პოზიციებს მსგავსის აღნიშვნაში. სამკუთხედები. მაგალითად, აღნიშვნიდან „Δ ABC ~ Δ KNL“ გამომდინარეობს, რომ კუთხეები A = K, B = N, C = L და AB/KN = BC/NL = AC/KL.

შენიშვნა 3: ის მოთხოვნები, რომლებიც ჩამოთვლილია მსგავსი სამკუთხედების განმარტებაში, ზედმეტია. ცოტა მოგვიანებით დავამტკიცებთ სამკუთხედების მსგავსების კრიტერიუმებს, რომლებიც შეიცავს ნაკლებ მოთხოვნებს მსგავსი სამკუთხედებისთვის.

ჩამოვაყალიბოთ მსგავსი სამკუთხედების თვისებები:

მსგავსი სამკუთხედების შესაბამისი წრფივი ელემენტების შეფარდება მათი მსგავსების კოეფიციენტის ტოლია. მსგავსი სამკუთხედების ასეთ ელემენტებს მიეკუთვნება ის ელემენტები, რომლებიც იზომება სიგრძის ერთეულებში. ეს არის, მაგალითად, სამკუთხედის გვერდი, პერიმეტრი, მედიანა. კუთხე ან ფართობი არ ვრცელდება ასეთ ელემენტებზე.
მსგავსი სამკუთხედების ფართობების თანაფარდობა უდრის მათი მსგავსების კოეფიციენტის კვადრატს.

მოდით სამკუთხედები ABC და A 1 B 1 C 1 მსგავსი იყოს k კოეფიციენტით (ნახ. 2).

დავამტკიცოთ, რომ S ABC /S A1 B1 C1 = k 2 .

ვინაიდან მსგავსი სამკუთხედების კუთხეები წყვილებში ტოლია, ანუ A = A 1 და თანაბარი კუთხის მქონე სამკუთხედების ფართობების თანაფარდობის თეორემის მიხედვით გვაქვს:

S ABC /S A1 B1 C1 = (AB · AC) / (A 1 B 1 · A 1 C 1) = AB/A 1 B 1 · AC/A 1 C 1 .

სამკუთხედების მსგავსების გამო AB/A 1 B 1 = k და AC/A 1 C 1 = k,

ამიტომ S ABC /S A1 B1 C1 = AB/A 1 B 1 · AC/A 1 C 1 = k · k = k 2 .

შენიშვნა: ზემოთ ჩამოყალიბებული მსგავსი სამკუთხედების თვისებები ასევე მოქმედებს თვითნებური ფიგურებისთვის.

სამკუთხედების მსგავსების ნიშნები

მოთხოვნები, რომლებიც დაწესებულია მსგავს სამკუთხედებზე განსაზღვრებით (ეს არის კუთხეების თანასწორობა და გვერდების პროპორციულობა) ზედმეტია. სამკუთხედების მსგავსების დადგენა შესაძლებელია ელემენტების უფრო მცირე რაოდენობის გამოყენებით.

ამრიგად, ამოცანების ამოხსნისას ყველაზე ხშირად გამოიყენება სამკუთხედების მსგავსების პირველი კრიტერიუმი, რომელიც ამბობს, რომ ორი სამკუთხედის მსგავსი იყოს, საკმარისია მათი კუთხეების ტოლობა:

სამკუთხედების მსგავსების პირველი ნიშანი (ორი კუთხით): თუ ერთი სამკუთხედის ორი კუთხე, შესაბამისად, უდრის მეორე სამკუთხედის ორ კუთხეს, მაშინ ეს სამკუთხედები მსგავსია. (ნახ. 3).

მიეცით სამკუთხედები Δ ABC, Δ A 1 B 1 C 1, რომლებშიც კუთხეები A = A 1, B = B 1. აუცილებელია იმის დამტკიცება, რომ Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1 .

მტკიცებულება.

1) სამკუთხედის კუთხეების ჯამის თეორემის მიხედვით გვაქვს:

კუთხე C = 180° (კუთხე A + კუთხე B) = 180° (კუთხე A 1 + კუთხე B 1) = კუთხე C 1.

2) თეორემით თანაბარი კუთხის მქონე სამკუთხედების ფართობების თანაფარდობის შესახებ,

S ABC /S A1 B1 C1 = (AB AC) / (A 1 B 1 A 1 C 1) = (AB BC) / (A 1 B 1 B 1 C 1) = (AC BC) / (A 1 C 1 · B 1 C 1).

3) ტოლობიდან (AB AC) / (A 1 B 1 A 1 C 1) = (AB BC) / (A 1 B 1 B 1 C 1) გამოდის, რომ AC/A 1 C 1 = BC /B 1 C 1 .

4) ტოლობიდან (AB BC) / (A 1 B 1 B 1 C 1) = (AC BC) / (A 1 C 1 B 1 C 1) გამოდის, რომ AB/A 1 B 1 = AC /A 1 C 1.

ამრიგად, სამკუთხედები ABC და A 1 B 1 C 1 DA = DA 1, DB = DB 1, DC = DC 1 და AB/A 1 B 1 = AC/A 1 C 1.

5) AB/A 1 B 1 = AC/A 1 C 1 = BC/B 1 C 1, ანუ მსგავსი გვერდები პროპორციულია. ეს ნიშნავს, რომ Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1 განმარტებით.

თეორემა პროპორციულ სეგმენტებზე. სეგმენტის დაყოფა მოცემულ თანაფარდობაში

პროპორციული სეგმენტის თეორემა არის თალესის თეორემის განზოგადება.

თალესის თეორემის გამოსაყენებლად აუცილებელია, რომ პარალელურმა წრფეებმა, რომლებიც კვეთენ ორ მოცემულ წრფეს, ერთ მათგანზე ტოლი სეგმენტები ამოწყვიტონ. თალესის განზოგადებული თეორემა ამბობს, რომ თუ პარალელური წრფეები კვეთენ ორ მოცემულ წრფეს, მაშინ მათ მიერ ამოჭრილი მონაკვეთები ერთ წრფეზე პროპორციულია მეორე წრფეზე ამოჭრილი მონაკვეთების.

პროპორციული სეგმენტების თეორემა დადასტურებულია თალესის თეორემის მსგავსად (მხოლოდ სამკუთხედების ტოლობის ნაცვლად გამოიყენება მათი მსგავსება).

თეორემა პროპორციულ სეგმენტებზე (განზოგადებული თალესის თეორემა):პარალელური ხაზები, რომლებიც კვეთენ ორ მოცემულ წრფეს, წყვეტენ მათზე პროპორციულ სეგმენტებს.

სამკუთხედის შუალედების თვისება

სამკუთხედების მსგავსების პირველი კრიტერიუმი საშუალებას გვაძლევს დავამტკიცოთ სამკუთხედის მედიანების თვისება:

სამკუთხედის შუალედების თვისება:სამკუთხედის შუალედები იკვეთება ერთ წერტილში და იყოფა ამ წერტილზე 2: 1 თანაფარდობით, წვეროდან დათვლა (ნახ. 4).

მედიანების გადაკვეთის წერტილი ეწოდება ცენტროიდისამკუთხედი.

მიეცით Δ ABC, რომლისთვისაც AA 1, BB 1, CC 1 არის მედიანა, გარდა ამისა, AA 1 ∩CC 1 = O. აუცილებელია იმის დამტკიცება, რომ BB 1 ∩ CC 1 = O და AO/OA 1 = VO /OB 1 = CO/OS 1 = 2.

მტკიცებულება.

1) დახაზეთ შუა ხაზი A 1 C 1. თეორემის მიხედვით შუა ხაზისამკუთხედი A 1 C 1 || AC, და A 1 C 1 = AC/2.

2) სამკუთხედები AOC და A 1 OC 1 მსგავსია ორ კუთხით (კუთხე AOC = კუთხე A 1 OC 1, როგორც ვერტიკალური, კუთხე OAC = კუთხე OA 1 C 1, როგორც შიდა ჯვარედინი განლაგებული A 1 C 1 || AC და სეკანტი AA 1. ) , შესაბამისად, მსგავსი სამკუთხედების განმარტებით AO/A 1 O = OC/OS 1 = AC/A 1 C 1 = 2.

3) მოდით BB 1 ∩CC 1 = O 1 . 1 და 2 პუნქტების მსგავსად, შეიძლება დადასტურდეს, რომ VO/O 1 B 1 = CO 1 / O 1 C = 2. მაგრამ ვინაიდან CC 1 სეგმენტზე არის ერთი წერტილი O, რომელიც ყოფს მას CO: OS 1 თანაფარდობით. = 2: 1, შემდეგ წერტილები O და O 1 ემთხვევა. ეს ნიშნავს, რომ სამკუთხედის ყველა მედიანა იკვეთება ერთ წერტილში, თითოეულ მათგანს ყოფს 2: 1 თანაფარდობით, წვეროდან დათვლა.

გეომეტრიის კურსში, თემაზე "მრავალკუთხედების ფართობი" დადასტურებულია ფაქტი, რომ მედიანა იყოფა თვითნებური სამკუთხედიორ თანაბარ ნაწილად. გარდა ამისა, როდესაც სამკუთხედის სამი შუალედი იკვეთება, იქმნება ექვსი თანაბარი სამკუთხედი.

ჯერ კიდევ გაქვთ შეკითხვები? არ იცით როგორ გადაჭრათ ისეთი პრობლემები, როგორიცაა სამკუთხედები?
დამრიგებლისგან დახმარების მისაღებად -.
პირველი გაკვეთილი უფასოა!

blog.site, მასალის სრულად ან ნაწილობრივ კოპირებისას საჭიროა ორიგინალური წყაროს ბმული.

პროპორციული სეგმენტები

მსგავსების ცნების შესატანად ჯერ უნდა გავიხსენოთ პროპორციული სეგმენტების ცნება. ასევე გავიხსენოთ ორი სეგმენტის თანაფარდობის განმარტება.

განმარტება 1

ორი სეგმენტის თანაფარდობა არის მათი სიგრძის თანაფარდობა.

ასევე ეხება სეგმენტების პროპორციულობის ცნებას მეტისეგმენტები. მოდით, მაგალითად, $AB=2$, $CD=4$, $A_1B_1=1$, $C_1D_1=2$, $A_2B_2=4$, $C_2D_2=8$, შემდეგ

ანუ, სეგმენტები $AB$, $A_1B_1$, $\A_2B_2$ პროპორციულია სეგმენტების $CD$, $C_1D_1$, $C_2D_2$.

მსგავსი სამკუთხედები

ჯერ გავიხსენოთ რას წარმოადგენს ზოგადად მსგავსების ცნება.

განმარტება 3

ფიგურებს უწოდებენ მსგავსს, თუ მათ აქვთ იგივე ფორმა, მაგრამ განსხვავებული ზომები.

ახლა გავიგოთ მსგავსი სამკუთხედების კონცეფცია. განვიხილოთ სურათი 1.

სურათი 1. ორი სამკუთხედი

დაე, ამ სამკუთხედებს ჰქონდეთ $\კუთხე A=\კუთხე A_1,\ \კუთხე B=\კუთხე B_1,\ \კუთხე C=\კუთხე C_1$. მოდით შემოგთავაზოთ შემდეგი განმარტება:

განმარტება 4

ორი სამკუთხედის გვერდებს ჰქვია მსგავსი, თუ ისინი მდებარეობს ამ სამკუთხედების თანაბარი კუთხის საპირისპიროდ.

სურათზე 1, $AB$ და $A_1B_1$, $BC$ და $B_1C_1$, $AC$ და $A_1C_1$ გვერდები მსგავსია. ახლა შემოვიღოთ მსგავსი სამკუთხედების განმარტება.

განმარტება 5

ორ სამკუთხედს ჰქვია მსგავსი, თუ ერთი სამკუთხედის ყველა კუთხის კუთხეები შესაბამისად ტოლია მეორისა და სამკუთხედის კუთხეების, ხოლო ამ სამკუთხედების ყველა მსგავსი გვერდი პროპორციულია, ე.ი.

\[\კუთხე A=\კუთხე A_1,\ \კუთხე B=\კუთხე B_1,\ \კუთხე C=\კუთხე C_1,\] \[\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(BC)((B_1C) _1)=\frac(AC)(A_1C_1)\]

სურათი 1 გვიჩვენებს მსგავსი სამკუთხედები.

აღნიშვნა: $ABC\sim A_1B_1C_1$

მსგავსების კონცეფციისთვის ასევე არსებობს მსგავსების კოეფიციენტის ცნება.

განმარტება 6

რიცხვს $k$, რომელიც ტოლია მსგავსი ფიგურების მსგავსი გვერდების შეფარდებას, ამ ფიგურების მსგავსების კოეფიციენტი ეწოდება.

მსგავსი სამკუთხედების ფართობი

ახლა განვიხილოთ თეორემა მსგავსი სამკუთხედების ფართობების თანაფარდობის შესახებ.

თეორემა 1

ორი მსგავსი სამკუთხედის ფართობის თანაფარდობა უდრის მსგავსების კოეფიციენტის კვადრატს, ანუ

\[\frac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1))=k^2\]

მტკიცებულება.

განვიხილოთ ორი მსგავსი სამკუთხედი და აღვნიშნოთ მათი ფართობი, შესაბამისად, $S$ და $S_1$ (ნახ. 2).

სურათი 2.

ამ თეორემის დასამტკიცებლად გაიხსენეთ შემდეგი თეორემა:

თეორემა 2

თუ ერთი სამკუთხედის კუთხე უდრის მეორე სამკუთხედის კუთხეს, მაშინ მათი ფართობი დაკავშირებულია როგორც ამ კუთხის მიმდებარე გვერდების ნამრავლი.

ვინაიდან სამკუთხედები $ABC$ და $A_1B_1C_1$ მსგავსია, მაშინ, განსაზღვრებით, $\კუთხე A=\კუთხე A_1$. შემდეგ, თეორემა 2-ით, ჩვენ ვიღებთ ამას

ვინაიდან $\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(AC)(A_1C_1)=k$, მივიღებთ

თეორემა დადასტურდა.

სამკუთხედის მსგავსების ცნებასთან დაკავშირებული ამოცანები

მაგალითი 1

მოცემულია მსგავსი სამკუთხედები $ABC$ და $A_1B_1C_1.$ პირველი სამკუთხედის გვერდებია $AB=2,\ BC=5,\ AC=6$. ამ სამკუთხედების მსგავსების კოეფიციენტი არის $k=2$. იპოვეთ მეორე სამკუთხედის გვერდები.

გამოსავალი.

ამ პრობლემას ორი შესაძლო გამოსავალი აქვს.

მოდით $k=\frac(A_1B_1)(AB)=\frac((B_1C)_1)(BC)=\frac(A_1C_1)(AC)$.

შემდეგ $A_1B_1=kAB,\ (B_1C)_1=kBC,\ A_1C_1=kAC$.

ამიტომ, $A_1B_1=4,\ (B_1C)_1=10,\ A_1C_1=12$

მოდით $k=\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(BC)((B_1C)_1)=\frac(AC)(A_1C_1)$

შემდეგ $A_1B_1=\frac(AB)(k),\ (B_1C)_1=\frac(BC)(k),\ A_1C_1=\frac(AC)(k)$.

ამიტომ, $A_1B_1=1,\ (B_1C)_1=2.5,\ \ A_1C_1=3$.

მაგალითი 2

მოცემული მსგავსი სამკუთხედები $ABC$ და $A_1B_1C_1.$ პირველი სამკუთხედის გვერდი არის $AB=2$, მეორე სამკუთხედის შესაბამისი გვერდი $A_1B_1=6$. პირველი სამკუთხედის სიმაღლეა $CH=4$. იპოვეთ მეორე სამკუთხედის ფართობი.

გამოსავალი.

ვინაიდან სამკუთხედები $ABC$ და $A_1B_1C_1$ მსგავსია, მაშინ $k=\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(1)(3)$.

ვიპოვოთ პირველი სამკუთხედის ფართობი.

თეორემა 1-ით გვაქვს:

\[\frac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1))=k^2\] \[\frac(4)(S_(A_1B_1C_1))=\frac(1)(9)\] \

გაკვეთილი 34. თეორემა მსგავსი სამკუთხედების ფართობების შეფარდების შესახებ. თეორემა. ორი მსგავსი სამკუთხედის ფართობის თანაფარდობა ტოლია მსგავსების კოეფიციენტის კვადრატის. სადაც k არის მსგავსების კოეფიციენტი. ორი მსგავსი სამკუთხედის პერიმეტრების თანაფარდობა ტოლია მსგავსების კოეფიციენტის. V. A. S. R. M. K. ამოცანების ამოხსნა: No545, 549. Საშინაო დავალება: გვ.56-58, No544, 548.

სლაიდი 6პრეზენტაციიდან "გეომეტრია "მსგავსი სამკუთხედები". არქივის ზომა პრეზენტაციით არის 232 კბ.

გეომეტრია მე-8 კლასი

შემაჯამებელისხვა პრეზენტაციები

"ღერძული სიმეტრიის განმარტება" - სიმეტრია ბუნებაში. ნახავ. სიმეტრიის ღერძი. დახაზეთ წერტილი. წერტილის მშენებლობა. სამკუთხედის აგება. სეგმენტის მშენებლობა. ხალხები. სიმეტრია პოეზიაში. ფიგურები, რომლებსაც არ აქვთ ღერძული სიმეტრია. ფიგურები სიმეტრიის ორი ღერძით. მართკუთხედი. Სიმეტრია. პირდაპირ. დახაზეთ ქულები. ღერძული სიმეტრია. ხაზის სეგმენტი. სიმეტრიის ღერძი. დახაზეთ ორი სწორი ხაზი. წერტილები, რომლებიც დევს იმავე პერპენდიკულარზე. პროპორციულობა.

"პარალელოგრამის ფართობის პოვნა" - იპოვნეთ პარალელოგრამის ფართობი. პარალელოგრამის ფართობი. სიმაღლე. იპოვეთ კვადრატის ფართობი. კვადრატის ფართობი. პარალელოგრამის სიმაღლეები. იპოვეთ სამკუთხედის ფართობი. მართკუთხა სამკუთხედების თანასწორობის ნიშნები. იპოვეთ მართკუთხედის ფართობი. პარალელოგრამის სიმაღლის განსაზღვრა. ბაზა. სამკუთხედის ფართობი. იპოვეთ კვადრატის პერიმეტრი. ტერიტორიების თვისებები. ორალური ვარჯიშები.

,,დავალებები ფართობის მოძიებაზე“ - გაკვეთილი - ახალი მასალის ახსნა, დამზადებულია ,,Power point“-ის პრეზენტაციის სახით. პირველადი მიზანი. "პარალელოგრამის ფართობი". "ტრაპეციის ფართობი." ნასწავლი მასალის შემოწმება. მოაგვარეთ პრობლემა. სამუშაო რვეული No42, გაიმეორეთ ყველა შესწავლილი ფორმულა. გამოიტანეთ ფორმულები მართკუთხედის, პარალელოგრამის, ტრაპეციისა და სამკუთხედის ფართობებისთვის. გააფართოვეთ და გააღრმავეთ თქვენი გაგება ფართობის გაზომვის შესახებ. მოსწავლეებს შორის ფართობის ცნების ჩამოყალიბება.

"გეომეტრია "მსგავსი სამკუთხედები" - ორ სამკუთხედს ჰქვია მსგავსი. კუთხის გვერდების პროპორციულობა. სინუსის, კოსინუსის და ტანგენტის მნიშვნელობები. სამკუთხედების მსგავსების პირველი ნიშანი. პროპორციული სეგმენტები მართკუთხა სამკუთხედში. სამკუთხედის ბისექტრის თვისება. მათემატიკური კარნახი. იპოვეთ ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედის ფართობი. პროპორციული სეგმენტები. სინუსის, კოსინუსის და ტანგენტის მნიშვნელობები 30°, 45°, 60° კუთხისთვის.

"მართკუთხედები" - კაცი. მოპირდაპირე მხარეები. მართკუთხედის მხარე. მართკუთხედის ზღაპარი. მართკუთხედის გვერდები. მართკუთხედი ცხოვრებაში. მართკუთხედის პერიმეტრი. მართკუთხედი. დიაგონალები. ნახატები. დიაგონალი. განმარტება. მართკუთხედის ფართობი.

"მართკუთხედის ფართობი" მე-8 კლასი" - დაჩრდილული კვადრატის ფართობი. თითოეული მართკუთხედის გვერდები. ABCD და DСМK არის კვადრატები. AB მხარეს აგებულია პარალელოგრამი. ფართობის საზომი ერთეულები. იპოვეთ კვადრატის ფართობი. მართკუთხედის ფართობი. ABCD არის პარალელოგრამი. ტერიტორიების თვისებები. იპოვეთ ოთხკუთხედის ფართობი. მართკუთხედის გვერდებზე აგებული კვადრატების ფართობები. ოთახის იატაკი მართკუთხედის ფორმისაა. კვადრატის ფართობი უდრის მისი მხარის კვადრატს.

გაკვეთილის მიზანი:მიეცით მსგავსი სამკუთხედების განმარტება, დაამტკიცეთ თეორემა მსგავსი სამკუთხედების მიმართების შესახებ.

გაკვეთილის მიზნები:

საგანმანათლებლო:მოსწავლეებმა უნდა იცოდნენ მსგავსი სამკუთხედების განმარტება, თეორემა მსგავსი სამკუთხედების ურთიერთობის შესახებ, შეძლონ მათი გამოყენება ამოცანების ამოხსნისას და განახორციელონ ინტერდისციპლინარული კავშირები ალგებრასთან და ფიზიკასთან.
საგანმანათლებლო:შრომისმოყვარეობის, ყურადღების, შრომისმოყვარეობის და მოსწავლის ქცევის კულტურის ჩამოყალიბება.
საგანმანათლებლო:მოსწავლეთა ყურადღების განვითარება, მსჯელობის, ლოგიკური აზროვნების, დასკვნების გამოტანის უნარის განვითარება, მოსწავლეთა კომპეტენტური მათემატიკური მეტყველებისა და აზროვნების განვითარება, თვითანალიზის და დამოუკიდებლობის უნარების განვითარება.
ჯანმრთელობის დაზოგვა:სანიტარიული და ჰიგიენური სტანდარტების დაცვა, გაკვეთილზე აქტივობების სახეების შეცვლა.

აღჭურვილობა:კომპიუტერი, პროექტორი, დიდაქტიკური მასალა: დამოუკიდებელი და ტესტის ფურცლებიალგებრასა და გეომეტრიაში მე-8 კლასისთვის A.P. ერშოვა და სხვ.

გაკვეთილის ტიპი:ახალი მასალის სწავლა.

გაკვეთილების დროს

I. საორგანიზაციო მომენტი(მისალმება, გაკვეთილისთვის მზადყოფნის შემოწმება).

II. გაკვეთილის თემატური შეტყობინება.

მასწავლებელი: IN Ყოველდღიური ცხოვრებისარის იგივე ფორმის, მაგრამ განსხვავებული ზომის ობიექტები.

მაგალითი:ფეხბურთის და ჩოგბურთის ბურთები.

გეომეტრიაში ერთი და იმავე ფორმის ფიგურებს მსგავსი ეწოდება: ნებისმიერი ორი წრე, ნებისმიერი ორი კვადრატი.

შემოვიღოთ მსგავსი სამკუთხედების ცნება.

განმარტება:ორ სამკუთხედს ჰქვია მსგავსი, თუ მათი კუთხეები შესაბამისად ტოლია და ერთი სამკუთხედის გვერდები მეორის მსგავსი გვერდების პროპორციულია.

ნომერი კ,მსგავსი სამკუთხედების მსგავსი გვერდების თანაფარდობის ტოლია მსგავსების კოეფიციენტი. ΔABC ~ A 1 B 1 C 1

1. ზეპირად:სამკუთხედები მსგავსია? რატომ? (მომზადებული ნახატი ეკრანზე).

ა) სამკუთხედი ABC და სამკუთხედი A 1 B 1 C 1, თუ AB = 7, BC = 5, AC = 4, ∠A = 46˚, ∠C = 84˚, ∠A 1 = 46˚, ∠B 1 = 50 ˚, A 1 B 1 = 10,5, B 1 C 1 = 7,5, A 1 C 1 = 6.

ბ) ერთ ტოლფერდა სამკუთხედში წვერის კუთხე არის 24˚, ხოლო მეორე ტოლფერდა სამკუთხედში ფუძის კუთხე არის 78˚.

Ბიჭები! გავიხსენოთ თეორემა თანაბარი კუთხის მქონე სამკუთხედების ფართობების შეფარდების შესახებ.

თეორემა:თუ ერთი სამკუთხედის კუთხე უდრის მეორე სამკუთხედის კუთხეს, მაშინ ამ სამკუთხედების ფართობები დაკავშირებულია, როგორც თანაბარი კუთხით შემოსაზღვრული გვერდების ნამრავლი.

2. წერილობითი ნამუშევარიმომზადებული ნახატების მიხედვით.

ეკრანზე ნახატი:

ა) მოცემული: BN: NC = 1:2,

BM = 7 სმ, AM = 3 სმ,

S MBN = 7 სმ 2.

იპოვეთ: S ABC

(პასუხი: 30 სმ 2.)

ბ) მოცემული: AE = 2 სმ,

S AEK = 8 სმ 2.

იპოვეთ: S ABC

(პასუხი: 56 სმ 2.)

3. მოდით დავამტკიცოთ თეორემა მსგავსი სამკუთხედების ფართობების შეფარდების შესახებ ( მოსწავლე ამტკიცებს თეორემას დაფაზე, მთელი კლასი ეხმარება).

თეორემა:ორი მსგავსი სამკუთხედის შეფარდება ტოლია მსგავსების კოეფიციენტის კვადრატის.

4. ცოდნის განახლება.

Პრობლემის გადაჭრა:

1. ორი მსგავსი სამკუთხედის ფართობია 75 სმ 2 და 300 სმ 2. მეორე სამკუთხედის ერთ-ერთი გვერდი არის 9 სმ. იპოვეთ პირველი სამკუთხედის მსგავსი გვერდი. ( პასუხი: 4,5 სმ)

2. მსგავსი სამკუთხედების მსგავსი გვერდებია 6 სმ და 4 სმ, ხოლო მათი ფართობების ჯამი 78 სმ 2. იპოვეთ ამ სამკუთხედების ფართობი. ( პასუხი: 54 სმ 2 და 24 სმ 2.)

Თუ გაქვს დრო დამოუკიდებელი მუშაობა საგანმანათლებლო ხასიათის.

ვარიანტი 1

მსგავს სამკუთხედებს აქვთ მსგავსი გვერდები 7 სმ და 35 სმ.

პირველი სამკუთხედის ფართობია 27 სმ 2.

იპოვეთ მეორე სამკუთხედის ფართობი. ( პასუხი: 675 სმ 2.)

ვარიანტი 2

მსგავსი სამკუთხედების ფართობია 17 სმ 2 და 68 სმ 2. პირველი სამკუთხედის გვერდი არის 8 სმ. იპოვეთ მეორე სამკუთხედის მსგავსი გვერდი. ( პასუხი: 4 სმ)

5. საშინაო დავალება:გეომეტრიის სახელმძღვანელო 7-9 ლ.ს. ატანასიანი და სხვები, პუნქტები 57, 58, No545, 547.

6. გაკვეთილის შეჯამება.

პროპორციული სეგმენტები

განმარტება 1

ორი სეგმენტის თანაფარდობა არის მათი სიგრძის თანაფარდობა.

სეგმენტების პროპორციულობის კონცეფცია ასევე ვრცელდება სეგმენტების უფრო დიდ რაოდენობაზე. მოდით, მაგალითად, $AB=2$, $CD=4$, $A_1B_1=1$, $C_1D_1=2$, $A_2B_2=4$, $C_2D_2=8$, შემდეგ

ანუ, სეგმენტები $AB$, $A_1B_1$, $\A_2B_2$ პროპორციულია სეგმენტების $CD$, $C_1D_1$, $C_2D_2$.

მსგავსი სამკუთხედები

ჯერ გავიხსენოთ რას წარმოადგენს ზოგადად მსგავსების ცნება.

განმარტება 3

ახლა გავიგოთ მსგავსი სამკუთხედების კონცეფცია. განვიხილოთ სურათი 1.

სურათი 1. ორი სამკუთხედი

განმარტება 4

განმარტება 5

\[\კუთხე A=\კუთხე A_1,\ \კუთხე B=\კუთხე B_1,\ \კუთხე C=\კუთხე C_1,\] \[\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(BC)((B_1C) _1)=\frac(AC)(A_1C_1)\]

სურათი 1 გვიჩვენებს მსგავსი სამკუთხედები.

აღნიშვნა: $ABC\sim A_1B_1C_1$

მსგავსების კონცეფციისთვის ასევე არსებობს მსგავსების კოეფიციენტის ცნება.

განმარტება 6

მსგავსი სამკუთხედების ფართობი

თეორემა 1

\[\frac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1))=k^2\]

მტკიცებულება.

სურათი 2.

ამ თეორემის დასამტკიცებლად გაიხსენეთ შემდეგი თეორემა:

თეორემა 2

ვინაიდან $\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(AC)(A_1C_1)=k$, მივიღებთ

თეორემა დადასტურდა.

სამკუთხედის მსგავსების ცნებასთან დაკავშირებული ამოცანები

მაგალითი 1

გამოსავალი.

ამ პრობლემას ორი შესაძლო გამოსავალი აქვს.

მოდით $k=\frac(A_1B_1)(AB)=\frac((B_1C)_1)(BC)=\frac(A_1C_1)(AC)$.

შემდეგ $A_1B_1=kAB,\ (B_1C)_1=kBC,\ A_1C_1=kAC$.

ამიტომ, $A_1B_1=4,\ (B_1C)_1=10,\ A_1C_1=12$

მოდით $k=\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(BC)((B_1C)_1)=\frac(AC)(A_1C_1)$

შემდეგ $A_1B_1=\frac(AB)(k),\ (B_1C)_1=\frac(BC)(k),\ A_1C_1=\frac(AC)(k)$.

ამიტომ, $A_1B_1=1,\ (B_1C)_1=2.5,\ \ A_1C_1=3$.

მაგალითი 2

გამოსავალი.

ვინაიდან სამკუთხედები $ABC$ და $A_1B_1C_1$ მსგავსია, მაშინ $k=\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(1)(3)$.

ვიპოვოთ პირველი სამკუთხედის ფართობი.

თეორემა 1-ით გვაქვს:

\[\frac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1))=k^2\] \[\frac(4)(S_(A_1B_1C_1))=\frac(1)(9)\] \