ინტეგრალები დუმებისთვის: როგორ ამოხსნათ, გამოთვლის წესები, ახსნა. ფუნქცია F(x) ეწოდება f(x) ფუნქციის ანტიწარმოებულს, თუ F`(x)=f(x) ან dF(x)=f(x)dx

დოკუმენტი

რაღაც ინტერვალი X. თუ ამისთვისნებისმიერი xХ F"(x) = f(x), მაშინ ფუნქციაფ დაურეკაანტიდერივატიამისთვისფუნქციები f X ინტერვალზე. ანტიდერივატიამისთვისფუნქციებიშეგიძლიათ სცადოთ იპოვოთ ...

ანტიდერივატი ფუნქციისთვის

დოკუმენტი

... . ფუნქცია F(x) დაურეკაანტიდერივატიამისთვისფუნქციები f(x) ინტერვალზე (a;b), თუ ამისთვისყველა x(a;b) მოქმედებს ტოლობა F(x) = f(x). Მაგალითად, ამისთვისფუნქციები x2 ანტიდერივატინება ფუნქცია x3...

ინტეგრალური კალკულუსის საფუძვლების შესწავლის გზამკვლევი

სახელმძღვანელო

... ; 5. იპოვე ინტეგრალი. ; ბ) ; გ) ; დ) ; 6. ფუნქციადაურეკაანტიდერივატირომ ფუნქციებიკომპლექტში, თუ: ამისთვისყველას; რაღაც მომენტში; ამისთვისყველას; რაღაც... ინტერვალით. განმარტება 1. ფუნქციადაურეკაანტიდერივატიამისთვისფუნქციებიბევრზე...

ანტიწარმოებული განუსაზღვრელი ინტეგრალი

დოკუმენტი

ინტეგრაცია. ანტიდერივატი. უწყვეტი ფუნქცია F(x) დაურეკაანტიდერივატიამისთვისფუნქციები f (x) X ინტერვალზე თუ ამისთვისთითოეული F’ (x) = f (x). მაგალითი ფუნქცია F(x) = x 3 არის ანტიდერივატიამისთვისფუნქციები f(x) = 3x...

სსრკ-ს სპეციალური განათლება დამტკიცებულია უმაღლესი განათლების საგანმანათლებლო და მეთოდური განყოფილების მიერ.

გაიდლაინები

კითხვები ამისთვისთვითტესტი განსაზღვრა ანტიდერივატიფუნქციები. მიუთითეთ აგრეგატის გეომეტრიული მნიშვნელობა პრიმიტიულიფუნქციები. Რა დაურეკაგაურკვეველი...

ჩვენ ვნახეთ, რომ წარმოებულს მრავალი გამოყენება აქვს: წარმოებული არის მოძრაობის სიჩქარე (ან, ზოგადად, ნებისმიერი პროცესის სიჩქარე); წარმოებული არის ფუნქციის გრაფიკის ტანგენტის დახრილობა; წარმოებულის გამოყენებით, შეგიძლიათ შეამოწმოთ ფუნქცია ერთფეროვნებისა და ექსტრემისთვის; წარმოებული ხელს უწყობს ოპტიმიზაციის პრობლემების გადაჭრას.

მაგრამ შიგნით ნამდვილი ცხოვრებაშებრუნებული ამოცანები ასევე უნდა გადაწყდეს: მაგალითად, მოძრაობის ცნობილი კანონის მიხედვით სიჩქარის პოვნის პრობლემასთან ერთად, არსებობს მოძრაობის კანონის აღდგენის პრობლემა ცნობილი სიჩქარის მიხედვით. განვიხილოთ ერთ-ერთი ასეთი პრობლემა.

მაგალითი 1.მატერიალური წერტილი მოძრაობს სწორი ხაზით, მისი სიჩქარე t დროს მოცემულია ფორმულით u = tg. იპოვნეთ მოძრაობის კანონი.

გამოსავალი.მოდით s = s(t) იყოს მოძრაობის სასურველი კანონი. ცნობილია, რომ s"(t) = u"(t). ეს ნიშნავს, რომ პრობლემის გადასაჭრელად თქვენ უნდა აირჩიოთ ფუნქცია s = s(t), რომლის წარმოებული ტოლია tg. ამის გამოცნობა ძნელი არ არის

დაუყოვნებლივ აღვნიშნოთ, რომ მაგალითი ამოხსნილია სწორად, მაგრამ არასრულად. ჩვენ აღმოვაჩინეთ, რომ, ფაქტობრივად, პრობლემას აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი: ფორმის ნებისმიერი ფუნქცია თვითნებური მუდმივი შეიძლება იყოს მოძრაობის კანონი, რადგან

დავალების უფრო დაზუსტებისთვის დაგვჭირდა საწყისი სიტუაციის დაფიქსირება: მიუთითეთ მოძრავი წერტილის კოორდინატი დროის გარკვეულ მომენტში, მაგალითად, t=0-ზე. თუ, ვთქვათ, s(0) = s 0, მაშინ ტოლობიდან ვიღებთ s(0) = 0 + C, ანუ S 0 = C. ახლა მოძრაობის კანონი ცალსახად არის განსაზღვრული:
მათემატიკაში ურთიერთშებრუნებულ ოპერაციებს სხვადასხვა სახელს ანიჭებენ და გამოიგონეს სპეციალური აღნიშვნები: მაგალითად, კვადრატში (x 2) და ამოღება. კვადრატული ფესვი sine(sinх) და რკალი(arcsin x) და ა.შ. მოცემული ფუნქციის წარმოებულის პოვნის პროცესს დიფერენციაცია ეწოდება, ხოლო შებრუნებულ ოპერაციას, ე.ი. მოცემული წარმოებულიდან ფუნქციის პოვნის პროცესი - ინტეგრაცია.
თავად ტერმინი „წარმოებული“ შეიძლება გამართლდეს „ყოველდღიურ ცხოვრებაში“: ფუნქცია y - f(x) „შობს“ ახალ ფუნქციას y"= f"(x). ფუნქცია y = f(x) მოქმედებს როგორც. "მშობელი", მაგრამ მათემატიკოსები, ბუნებრივია, არ უწოდებენ მას "მშობელს" ან "მწარმოებელს"; ისინი ამბობენ, რომ ეს, y"=f"(x) ფუნქციასთან მიმართებაში არის პირველადი გამოსახულება, ან, მოკლედ, ანტიდერივატი.

განმარტება 1.ფუნქცია y = F(x) ეწოდება ანტიწარმოებულს y = f(x) ფუნქციისთვის მოცემულ X ინტერვალზე, თუ X-დან ყველა x-ისთვის მოქმედებს F"(x)=f(x) ტოლობა.

პრაქტიკაში, X ინტერვალი ჩვეულებრივ არ არის მითითებული, მაგრამ იგულისხმება (როგორც ფუნქციის განსაზღვრის ბუნებრივი დომენი).

Აი ზოგიერთი მაგალითი:

1) ფუნქცია y = x 2 არის ანტიწარმოებული y = 2x ფუნქციისთვის, რადგან ყველა x-სთვის ტოლობა (x 2)" = 2x მართალია.
2) ფუნქცია y - x 3 არის ანტიწარმოებული y-3x 2 ფუნქციისთვის, რადგან ყველა x-სთვის ტოლობა (x 3)" = 3x 2 არის ჭეშმარიტი.
3) ფუნქცია y-sinх არის ანტიწარმოებული y = cosx ფუნქციისთვის, ვინაიდან x ყველასთვის ტოლობა (sinx)" = cosx მართალია.
4) ფუნქცია ანტიდერივატიულია ფუნქციისთვის ინტერვალზე, რადგან ყველა x > 0-ისთვის ტოლობა მართალია
ზოგადად, წარმოებულების პოვნის ფორმულების ცოდნით, არ არის რთული ანტიდერივატების საპოვნელ ფორმულების ცხრილის შედგენა.

ვიმედოვნებთ, რომ გესმით, როგორ არის შედგენილი ეს ცხრილი: ფუნქციის წარმოებული, რომელიც იწერება მეორე სვეტში, უდრის იმ ფუნქციას, რომელიც ჩაწერილია პირველი სვეტის შესაბამის სტრიქონში (შეამოწმეთ, არ დაიზაროთ, ძალიან სასარგებლოა). მაგალითად, y = x 5 ფუნქციისთვის ანტიწარმოებული, როგორც თქვენ დაადგენთ, არის ფუნქცია (იხ. ცხრილის მეოთხე სტრიქონი).

შენიშვნები: 1. ქვემოთ დავამტკიცებთ თეორემას, რომ თუ y = F(x) არის ანტიწარმოებული y = f(x) ფუნქციისთვის, მაშინ ფუნქციას y = f(x) აქვს უსასრულოდ ბევრი ანტიწარმოებული და ყველას აქვს y = ფორმა. F(x) + C. ამიტომ უფრო სწორი იქნება ტერმინი C ყველგან დავამატოთ ცხრილის მეორე სვეტში, სადაც C არის თვითნებური რეალური რიცხვი.
2. მოკლედ რომ ვთქვათ, ზოგჯერ ფრაზის ნაცვლად „ფუნქცია y = F(x) არის y = f(x) ფუნქციის ანტიწარმოებული“, ამბობენ F(x) არის f(x) ანტიწარმოებული. .”

2. ანტიდერივატების პოვნის წესები

ანტიწარმოებულების პოვნისას, ასევე წარმოებულების მოძიებისას გამოიყენება არა მხოლოდ ფორმულები (ისინი ჩამოთვლილია ცხრილში 196-ე გვ.), არამედ გარკვეული წესებიც. ისინი პირდაპირ კავშირშია წარმოებულების გამოთვლის შესაბამის წესებთან.

ვიცით, რომ ჯამის წარმოებული უდრის მისი წარმოებულების ჯამს. ეს წესი აყალიბებს ანტიდერივატების პოვნის შესაბამის წესს.

წესი 1.ჯამის ანტიდერივატი უდრის ანტიწარმოებულთა ჯამს.

თქვენს ყურადღებას ვაქცევთ ამ ფორმულირების გარკვეულწილად „სიმსუბუქეს“. სინამდვილეში, უნდა ჩამოვაყალიბოთ თეორემა: თუ y = f(x) და y = g(x) ფუნქციებს აქვთ ანტიწარმოებულები X ინტერვალზე, შესაბამისად y-F(x) და y-G(x), მაშინ y ფუნქციების ჯამი. = f(x)+g(x) აქვს ანტიწარმოებული X ინტერვალზე და ეს ანტიწარმოებული არის ფუნქცია y = F(x)+G(x). მაგრამ ჩვეულებრივ, წესების (და არა თეორემების) ჩამოყალიბებისას ისინი ტოვებენ მხოლოდ საკვანძო სიტყვები- ეს უფრო მოსახერხებელს ხდის წესის პრაქტიკაში გამოყენებას

მაგალითი 2.იპოვეთ ანტიწარმოებული y = 2x + cos x ფუნქციისთვის.

გამოსავალი. 2x-ის ანტიწარმოებული არის x"; კოქსის ანტიწარმოებული არის sin x. ეს ნიშნავს, რომ y = 2x + cos x ფუნქციის ანტიწარმოებული იქნება ფუნქცია y = x 2 + sin x (და ზოგადად, ფორმის ნებისმიერი ფუნქცია. Y = x 1 + sinx + C) .
ჩვენ ვიცით, რომ მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას წარმოებულის ნიშნიდან. ეს წესი აყალიბებს ანტიდერივატების პოვნის შესაბამის წესს.

წესი 2.მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას ანტიდერივატის ნიშნიდან.

მაგალითი 3.

გამოსავალი.ა) sin x-ის ანტიწარმოებული არის -soz x; ეს ნიშნავს, რომ y = 5 sin x ფუნქციისთვის ანტიწარმოებული ფუნქცია იქნება ფუნქცია y = -5 cos x.

ბ) cos x-ის ანტიწარმოებული არის sin x; ეს ნიშნავს, რომ ფუნქციის ანტიდერივატი არის ფუნქცია
გ) x 3-ის ანტიწარმოებული არის x-ის ანტიწარმოებული, y = 1 ფუნქციის ანტიწარმოებული არის ფუნქცია y = x. ანტიწარმოებულების საპოვნელად პირველი და მეორე წესების გამოყენებით, აღმოვაჩენთ, რომ y = 12x 3 + 8x-1 ფუნქციის ანტიწარმოებული არის ფუნქცია.
კომენტარი.როგორც ცნობილია, პროდუქტის წარმოებული არ არის წარმოებულის ნამრავლის ტოლი (პროდუქტის დიფერენცირების წესი უფრო რთულია) და კოეფიციენტის წარმოებული არ არის წარმოებულის ტოლი. მაშასადამე, არ არსებობს პროდუქტის ანტიწარმოებულის ან ორი ფუნქციის კოეფიციენტის ანტიდერივატივის პოვნის წესები. Ფრთხილად იყავი!
მოდით მივიღოთ სხვა წესი ანტიდერივატების მოსაძებნად. ვიცით, რომ y = f(kx+m) ფუნქციის წარმოებული გამოითვლება ფორმულით

ეს წესი აყალიბებს ანტიდერივატების პოვნის შესაბამის წესს.
წესი 3.თუ y = F(x) არის y = f(x) ფუნქციის ანტიწარმოებული, მაშინ y=f(kx+m) ფუნქციის ანტიწარმოებული არის ფუნქცია.

Ნამდვილად,

ეს ნიშნავს, რომ ის არის ანტიწარმოებული ფუნქციისთვის y = f(kx+m).
მესამე წესის მნიშვნელობა შემდეგია. თუ იცით, რომ y = f(x) ფუნქციის ანტიწარმოებული არის ფუნქცია y = F(x), და თქვენ უნდა იპოვოთ y = f(kx+m ფუნქციის ანტიწარმოებული), მაშინ გააგრძელეთ ასე: აიღეთ. იგივე F ფუნქცია, მაგრამ x არგუმენტის ნაცვლად ჩაანაცვლეთ გამონათქვამი kx+m; გარდა ამისა, არ დაგავიწყდეთ ფუნქციის ნიშნის წინ დაწეროთ „კორექტირების ფაქტორი“.
მაგალითი 4.იპოვეთ ანტიწარმოებულები მოცემული ფუნქციებისთვის:

გამოსავალი, ა) sin x-ის ანტიწარმოებული არის -soz x; ეს ნიშნავს, რომ y = sin2x ფუნქციისთვის ანტიწარმოებული იქნება ფუნქცია
ბ) cos x-ის ანტიწარმოებული არის sin x; ეს ნიშნავს, რომ ფუნქციის ანტიდერივატი არის ფუნქცია

გ) x 7-ის ანტიწარმოებული ნიშნავს, რომ y = (4-5x) 7 ფუნქციისთვის ანტიწარმოებული იქნება ფუნქცია

3. განუსაზღვრელი ინტეგრალი

ზემოთ უკვე აღვნიშნეთ, რომ მოცემული ფუნქციისთვის y = f(x) ანტიწარმოებულის პოვნის პრობლემას აქვს ერთზე მეტი ამონახსნი. განვიხილოთ ეს საკითხი უფრო დეტალურად.

მტკიცებულება. 1. ვთქვათ y = F(x) არის y = f(x) ფუნქციის ანტიდერივატი X ინტერვალზე. ეს ნიშნავს, რომ X-დან ყველა x-ისთვის მოქმედებს x"(x) = f(x). იპოვეთ ნებისმიერი ფუნქციის წარმოებული y = F(x)+C:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).

ასე რომ, (F(x)+C) = f(x). ეს ნიშნავს, რომ y = F(x) + C არის ანტიწარმოებული ფუნქციისთვის y = f(x).
ამრიგად, ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ თუ ფუნქციას y = f(x) აქვს ანტიწარმოებული y=F(x), მაშინ ფუნქციას (f = f(x) აქვს უსასრულოდ ბევრი ანტიწარმოებული, მაგალითად, y = ფორმის ნებისმიერი ფუნქცია. F(x) +C არის ანტიწარმოებული.
2. ახლა დავამტკიცოთ, რომ მითითებული ტიპის ფუნქციები ამოწურავს ანტიწარმოებულების მთელ კომპლექტს.

მოდით y=F 1 (x) და y=F(x) იყოს ორი ანტიდერივატი ფუნქციისთვის Y = f(x) X ინტერვალზე. ეს ნიშნავს, რომ X ინტერვალიდან ყველა x-ისთვის მოქმედებს შემდეგი მიმართებები: F^ ( x) = f (X); F"(x) = f(x).

განვიხილოთ ფუნქცია y = F 1 (x) -.F(x) და ვიპოვოთ მისი წარმოებული: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x ) - f(x) = 0.
ცნობილია, რომ თუ X ინტერვალზე ფუნქციის წარმოებული იდენტურია ნულის ტოლი, მაშინ ფუნქცია მუდმივია X ინტერვალზე (იხ. თეორემა 3 § 35-დან). ეს ნიშნავს, რომ F 1 (x) - F (x) = C, ე.ი. Fx) = F(x)+C.

თეორემა დადასტურდა.

მაგალითი 5.დროში სიჩქარის ცვლილების კანონი მოცემულია: v = -5sin2t. იპოვეთ მოძრაობის კანონი s = s(t), თუ ცნობილია, რომ t=0 დროს წერტილის კოორდინატი ტოლი იყო რიცხვის 1,5 (ანუ s(t) = 1,5).

გამოსავალი.ვინაიდან სიჩქარე არის კოორდინატის წარმოებული, როგორც დროის ფუნქცია, ჯერ უნდა ვიპოვოთ სიჩქარის ანტიდერივატი, ე.ი. ანტიწარმოებული v = -5sin2t ფუნქციისთვის. ერთ-ერთი ასეთი ანტიდერივატი არის ფუნქცია და ყველა ანტიდერივატივის სიმრავლეს აქვს ფორმა:

C მუდმივის სპეციფიკური მნიშვნელობის საპოვნელად ვიყენებთ საწყის პირობებს, რომლის მიხედვითაც s(0) = 1.5. t=0, S = 1.5 მნიშვნელობების (1) ჩანაცვლებით, მივიღებთ:

C-ის ნაპოვნი მნიშვნელობის (1) ფორმულით ჩანაცვლებით, მივიღებთ მოძრაობის კანონს, რომელიც გვაინტერესებს:

განმარტება 2.თუ ფუნქციას y = f(x) აქვს ანტიწარმოებული y = F(x) X ინტერვალზე, მაშინ ყველა ანტიწარმოებულის სიმრავლე, ე.ი. y = F(x) + C ფუნქციების სიმრავლეს ეწოდება y = f(x) ფუნქციის განუსაზღვრელი ინტეგრალი და აღინიშნება:

(წაიკითხეთ: „განუსაზღვრელი ინტეგრალი ef x de x-დან“).
შემდეგ აბზაცში გავიგებთ, რა არის ამ აღნიშვნის ფარული მნიშვნელობა.
ამ განყოფილებაში არსებული ანტიწარმოებულების ცხრილის საფუძველზე, ჩვენ შევადგენთ ძირითადი განუსაზღვრელი ინტეგრალების ცხრილს:

ანტიდერივატების პოვნის ზემოაღნიშნული სამი წესის საფუძველზე შეგვიძლია ჩამოვაყალიბოთ შესაბამისი ინტეგრაციის წესები.

წესი 1.ფუნქციების ჯამის ინტეგრალი ჯამის ტოლიამ ფუნქციების ინტეგრალი:

წესი 2.მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას ინტეგრალური ნიშნიდან:

წესი 3.თუ

მაგალითი 6.იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალები:

გამოსავალი, ა) ინტეგრაციის პირველი და მეორე წესების გამოყენებით ვიღებთ:

ახლა გამოვიყენოთ მე-3 და მე-4 ინტეგრაციის ფორმულები:

შედეგად ვიღებთ:

ბ) ინტეგრაციის მესამე წესისა და მე-8 ფორმულის გამოყენებით ვიღებთ:

გ) მოცემული ინტეგრალის პირდაპირ საპოვნელად არ გვაქვს არც შესაბამისი ფორმულა და არც შესაბამისი წესი. ასეთ შემთხვევებში, წინასწარ შესრულებული იდენტობის გარდაქმნებიგამოხატულება, რომელიც შეიცავს ინტეგრალური ნიშნის ქვეშ.

მოდით გამოვიყენოთ ტრიგონომეტრიული ფორმულა ხარისხის შესამცირებლად:

შემდეგ თანმიმდევრობით ვპოულობთ:

ა.გ. მორდკოვიჩის ალგებრა მე-10 კლასი

კალენდარულ-თემატური დაგეგმარება მათემატიკაში, ვიდეომათემატიკაში ონლაინ, მათემატიკა სკოლაში

განუსაზღვრელი ინტეგრალი

დიფერენციალური გამოთვლების მთავარი ამოცანა იყო მოცემული ფუნქციის წარმოებული ან დიფერენციალური გამოთვლა. ინტეგრალური გამოთვლა, რომლის შესწავლაზეც მივდივართ, ხსნის შებრუნებულ პრობლემას, კერძოდ, თავად ფუნქციის პოვნას მისი წარმოებულიდან ან დიფერენციალიდან. ანუ ქონა dF(x)= f(x)d (7.1) ან F ′(x)= f(x),

სად f(x)- ცნობილი ფუნქცია, საჭიროა ფუნქციის პოვნა F(x).

განმარტება:ფუნქცია F(x) ეწოდება ანტიდერივატიფუნქცია f(x) სეგმენტზე, თუ ტოლობა მოქმედებს ამ სეგმენტის ყველა წერტილში: F′(x) = f(x)ან dF(x)= f(x)d.

Მაგალითად, ფუნქციის ერთ-ერთი ანტიდერივატიული ფუნქცია f(x)=3x2ნება F(x)= x 3, იმიტომ ( x 3)′=3x2. მაგრამ ფუნქციის პროტოტიპი f(x)=3x2ასევე იქნება ფუნქციები და, ვინაიდან .

Ისე, ამ ფუნქციას f(x)=3x2აქვს უსასრულო რაოდენობის პრიმიტივები, რომელთაგან თითოეული განსხვავდება მხოლოდ მუდმივი ვადით. ვაჩვენოთ, რომ ეს შედეგი ასევე მოქმედებს ზოგად შემთხვევაში.

თეორემა ერთი და იგივე ფუნქციის ორი განსხვავებული ანტიდერივატი, რომლებიც განსაზღვრულია გარკვეულ ინტერვალში, განსხვავდება ერთმანეთისგან ამ ინტერვალში მუდმივი ვადით.

მტკიცებულება

დაუშვით ფუნქცია f(x) განსაზღვრულია ინტერვალზე (a¸b)და F 1 (x) და F 2 (x) - ანტიდერივატივები, ე.ი. F 1 ′(x)= f(x) და F 2 ′(x)= f(x).

მერე F 1 ′(x)=F 2 ′(x)Þ F 1 ′(x) - F 2 ′(x) = (F 1 ′(x) - F 2 (x))′= 0. Þ F 1 (x) - F 2 (x) = C

აქედან, F 2 (x) = F 1 (x) + C

სად თან - მუდმივი (აქ გამოყენებულია ლაგრანგის თეორემის დასკვნა).

ამრიგად, თეორემა დადასტურებულია.

გეომეტრიული ილუსტრაცია. თუ ზე = F 1 (x) და ზე = F 2 (x) - იგივე ფუნქციის ანტიდერივატივები f(x), შემდეგ მათი გრაფიკების ტანგენსი საერთო აბსცისის მქონე წერტილებზე Xერთმანეთის პარალელურად (სურ. 7.1).

ამ შემთხვევაში, მანძილი ამ მოსახვევებს შორის ღერძის გასწვრივ OUრჩება მუდმივი F 2 (x) - F 1 (x) = C , ანუ ეს მოსახვევები შიგნით გარკვეული გაგებაერთმანეთის "პარალელური".

შედეგი .

ემატება ზოგიერთი ანტიდერივატი F(x) ამ ფუნქციისთვის f(x), განსაზღვრულია ინტერვალზე X, ყველა შესაძლო მუდმივი თან, ჩვენ ვიღებთ ყველა შესაძლო ანტიწარმოებულს ფუნქციისთვის f(x).

ასე რომ გამოხატულება F(x)+C , სად და F(x) - ფუნქციის ზოგიერთი ანტიდერივატი f(x)მოიცავს ყველა შესაძლო ანტიდერივატივს f(x).

მაგალითი 1.შეამოწმეთ არის თუ არა ფუნქციები ფუნქციის ანტიდერივატივები

გამოსავალი:

უპასუხე: ანტიდერივატივები ფუნქციისთვის იქნება ფუნქციები და

განმარტება: თუ ფუნქცია F(x) არის f(x) ფუნქციის ზოგიერთი ანტიწარმოებული, მაშინ ყველა ანტიწარმოებულის სიმრავლე F(x)+ C ე.წ. -ის განუსაზღვრელი ინტეგრალი f(x) და აღნიშნეთ:

∫f(х)dх.

ა-პრიორიტეტი:

f(x) - ინტეგრანდული ფუნქცია,

f(х)dх - ინტეგრანდული გამოხატულება

აქედან გამომდინარეობს, რომ განუსაზღვრელი ინტეგრალი არის ზოგადი ფორმის ფუნქცია, რომლის დიფერენციალი ინტეგრადის ტოლია, ხოლო წარმოებული ცვლადის მიმართ. Xუდრის ინტეგრანდს ყველა წერტილში.

გეომეტრიული თვალსაზრისითგანუსაზღვრელი ინტეგრალი არის მრუდების ოჯახი, რომელთაგან თითოეული მიიღება ერთ-ერთი მრუდის პარალელურად ზევით ან ქვევით გადაადგილებით, ანუ ღერძის გასწვრივ. OU(ნახ. 7.2).

გარკვეული ფუნქციის განუსაზღვრელი ინტეგრალის გამოთვლის ოპერაციას ეწოდება ინტეგრაცია ამ ფუნქციას.

გაითვალისწინეთ, რომ თუ ელემენტარული ფუნქციის წარმოებული ყოველთვის ელემენტარული ფუნქციაა, მაშინ ელემენტარული ფუნქციის ანტიდერივატი შეიძლება არ იყოს წარმოდგენილი ელემენტარული ფუნქციების სასრული რაოდენობით.

ახლა განვიხილოთ განუსაზღვრელი ინტეგრალის თვისებები.

განმარტება 2-დან შემდეგია:

1. განუსაზღვრელი ინტეგრალის წარმოებული ტოლია ინტეგრადის, ანუ თუ F′(x) = f(x) , ეს

2. განუსაზღვრელი ინტეგრალის დიფერენციალი ინტეგრადის ტოლია

. (7.4)

დიფერენციალური და თვისების განმარტებიდან (7.3)

3. ზოგიერთი ფუნქციის დიფერენციალური განუსაზღვრელი ინტეგრალი უდრის ამ ფუნქციას მუდმივ წევრამდე, ე.ი. (7.5)

ანტიდერივატიული ფუნქციების პოვნის სამი ძირითადი წესი არსებობს. ისინი ძალიან ჰგავს დიფერენციაციის შესაბამის წესებს.

წესი 1

თუ F არის ანტიწარმოებული ზოგიერთი f ფუნქციისთვის, ხოლო G არის ანტიწარმოებული ზოგიერთი g ფუნქციისთვის, მაშინ F + G იქნება ანტიწარმოებული f + g-სთვის.

ანტიწარმოებულის განმარტებით, F' = f. G' = გ. და რადგან ეს პირობები დაკმაყოფილებულია, მაშინ ფუნქციების ჯამისთვის წარმოებულის გამოთვლის წესის მიხედვით გვექნება:

(F + G)' = F' + G' = f + g.

წესი 2

თუ F არის ანტიწარმოებული f ზოგიერთი ფუნქციისთვის, ხოლო k არის რაღაც მუდმივი. მაშინ k*F არის k*f ფუნქციის ანტიდერივატი. ეს წესი გამომდინარეობს წარმოებულის გამოთვლის წესიდან რთული ფუნქცია.

გვაქვს: (k*F)’ = k*F’ = k*f.

წესი 3

თუ F(x) არის ანტიწარმოებული f(x) ფუნქციისთვის, ხოლო k და b არის გარკვეული მუდმივები და k არ არის ნულის ტოლი, მაშინ (1/k)*F*(k*x+b) იქნება ანტიწარმოებული f ფუნქციისთვის (k*x+b).

ეს წესი გამომდინარეობს რთული ფუნქციის წარმოებულის გამოთვლის წესიდან:

((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b).

მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს, თუ როგორ მოქმედებს ეს წესები:

მაგალითი 1. იპოვე ზოგადი ფორმაანტიწარმოებულები f(x) = x^3 +1/x^2 ფუნქციისთვის. x^3 ფუნქციისთვის ერთ-ერთი ანტიდერივატი იქნება ფუნქცია (x^4)/4, ხოლო 1/x^2 ფუნქციისთვის ერთ-ერთი ანტიდერივატი იქნება ფუნქცია -1/x. პირველი წესის გამოყენებით, ჩვენ გვაქვს:

F(x) = x^4/4 - 1/x +C.

მაგალითი 2. ვიპოვოთ ანტიწარმოებულების ზოგადი ფორმა f(x) = 5*cos(x) ფუნქციისთვის. cos(x) ფუნქციისთვის ერთ-ერთი ანტიდერივატი იქნება ფუნქცია sin(x). თუ ახლა გამოვიყენებთ მეორე წესს, გვექნება:

F(x) = 5*sin(x).

მაგალითი 3.იპოვეთ ერთ-ერთი ანტიდერივატი ფუნქციისთვის y = sin(3*x-2). sin(x) ფუნქციისთვის ერთ-ერთი ანტიდერივატი იქნება ფუნქცია -cos(x). თუ ახლა გამოვიყენებთ მესამე წესს, მივიღებთ გამოხატულებას ანტიწარმოებულისთვის:

F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)

მაგალითი 4. იპოვეთ f(x) = 1/(7-3*x)^5 ფუნქციის ანტიწარმოებული

1/x^5 ფუნქციის ანტიდერივატივი იქნება ფუნქცია (-1/(4*x^4)). ახლა, მესამე წესის გამოყენებით, მივიღებთ.

Პროტოტიპი. მშვენიერი სიტყვა.) ჯერ ცოტა რუსული. ეს სიტყვა ზუსტად ასე გამოითქმის, არა "პროტოტიპი" , როგორც შეიძლება ჩანდეს. ანტიდერივატივი არის ყველა ინტეგრალური გამოთვლის ძირითადი კონცეფცია. ნებისმიერი ინტეგრალი - განუსაზღვრელი, განსაზღვრული (ამ სემესტრში გაეცნობით), ასევე ორმაგი, სამმაგი, მრუდი, ზედაპირული (და ეს უკვე მეორე წლის მთავარი გმირები არიან) - აგებულია. ძირითადი კონცეფცია. სრული აზრი აქვს დაუფლებას. წადი.)

სანამ ანტიდერივატივის ცნებას გავეცნობით, ჯერ მოდით ზოგადი მონახაზიგავიხსენოთ ყველაზე გავრცელებული წარმოებული. ლიმიტების, არგუმენტების გაზრდის და სხვა რამის მოსაწყენ თეორიაში ჩაღრმავების გარეშე, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ წარმოებულის (ან დიფერენციაცია) უბრალოდ მათემატიკური ოპერაციაა ფუნქცია. Სულ ეს არის. აღებულია ნებისმიერი ფუნქცია (მაგალითად, f(x) = x2) და მიერ გარკვეული წესები გარდაიქმნება ახალი თვისება. და ეს არის ერთი ახალი თვისებადა ეწოდება წარმოებული.

ჩვენს შემთხვევაში დიფერენციაციამდე არსებობდა ფუნქცია f(x) = x2და დიფერენციაციის შემდეგ უკვე გახდა სხვა ფუნქცია f'(x) = 2x.

წარმოებული- იმიტომ, რომ ჩვენი ახალი ფუნქცია f'(x) = 2x მოხდაფუნქციიდან f(x) = x2. დიფერენციაციის ოპერაციის შედეგად. და კონკრეტულად მისგან და არა სხვა ფუნქციიდან ( x 3, Მაგალითად).

უხეშად რომ ვთქვათ, f(x) = x2-ეს დედაა და f'(x) = 2x– მის საყვარელ ქალიშვილს.) ეს გასაგებია. Განაგრძე.

მათემატიკოსები მოუსვენარი ხალხია. ყოველი მოქმედებისთვის ისინი ცდილობენ იპოვონ რეაქცია. :) არის შეკრება - არის გამოკლებაც. არის გამრავლება და არის გაყოფა. ძალამდე ამაღლება არის ფესვის ამოღება. სინუსი - რკალი. Ზუსტად იგივე დიფერენციაცია- ეს ნიშნავს, რომ არსებობს... ინტეგრაცია.)

ახლა მოდით ეს დავაყენოთ საინტერესო დავალება. მაგალითად, ჩვენ გვაქვს ასეთი მარტივი ფუნქცია f(x) = 1. და ჩვენ უნდა ვუპასუხოთ ამ კითხვას:

WHAT ფუნქციის წარმოებული გვაძლევს ფუნქციასვ(x) = 1?

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ქალიშვილის ნახვა, დნმ-ის ანალიზის გამოყენებით, გაარკვიე ვინ არის მისი დედა. :) მერე რომელიდან? ორიგინალურიფუნქცია (მოდით დავარქვათ მას F(x)) ჩვენი წარმოებულიფუნქცია f(x) = 1? ან შიგნით მათემატიკური ფორმა, რისთვისაცფუნქცია F(x) მოქმედებს შემდეგი ტოლობა:

F’(x) = f(x) = 1?

ელემენტარული მაგალითი. ვცადე.) უბრალოდ ვირჩევთ F(x) ფუნქციას ისე, რომ ტოლობა იმუშაოს. :) აბა, იპოვე? Კი, რა თქმა უნდა! F(x) = x. იმიტომ რომ:

F'(x) = x' = 1 = f (x).

რა თქმა უნდა, ნაპოვნი დედა F(x) = xრაღაც უნდა დავარქვათ, დიახ.) შემხვდით!

ანტიდერივატი ფუნქციისთვისვ(x) ასეთ ფუნქციას ეძახიანფ(x), რომლის წარმოებული ტოლიავ(x), ე.ი. რომლისთვისაც თანასწორობა მოქმედებსფ’(x) = ვ(x).

Სულ ეს არის. აღარ არის სამეცნიერო ხრიკები. მკაცრ განმარტებაში ემატება დამატებითი ფრაზა "X ინტერვალზე". მაგრამ ჩვენ ჯერ არ ჩავუღრმავდებით ამ დახვეწილობას, რადგან ჩვენი მთავარი ამოცანაა ვისწავლოთ სწორედ ამ პრიმიტივების პოვნა.

ჩვენს შემთხვევაში გამოდის, რომ ფუნქცია F(x) = xარის ანტიდერივატიფუნქციისთვის f(x) = 1.

რატომ? იმიტომ რომ F’(x) = f(x) = 1. x-ის წარმოებული არის ერთი. არანაირი წინააღმდეგობა.)

ტერმინი "პროტოტიპი" ჩვეულებრივ ენაზე ნიშნავს "წინაპარს", "მშობელს", "წინაპარს". ჩვენ მაშინვე ვიხსენებთ ჩვენს ძვირფასს და საყვარელი ადამიანი.) ხოლო თავად ანტიდერივატივის ძიება არის თავდაპირველი ფუნქციის აღდგენა მისი ცნობილი წარმოებულის მიხედვით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს ქმედება დიფერენციაციის შებრუნებული. Სულ ეს არის! თავად ამ მომხიბვლელ პროცესს საკმაოდ მეცნიერულადაც უწოდებენ - ინტეგრაცია. მაგრამ დაახლოებით ინტეგრალები- მოგვიანებით. მოთმინება, მეგობრებო!)

გახსოვდეთ:

ინტეგრაცია არის მათემატიკური ოპერაცია ფუნქციაზე (როგორც დიფერენციაცია).

ინტეგრაცია არის დიფერენცირების საპირისპირო ოპერაცია.

ანტიდერივატი არის ინტეგრაციის შედეგი.

ახლა გავართულოთ დავალება. ახლა ვიპოვოთ ფუნქციის ანტიდერივატი f(x) = x. ანუ ვიპოვით ასეთი ფუნქცია F(x) , რათა მისი წარმოებულიიქნება X-ის ტოლი:

F'(x) = x

ყველას, ვინც იცნობს წარმოებულებს, ალბათ გაახსენდება მსგავსი რამ:

(x 2)' = 2x.

ჰოდა, პატივისცემა და პატივისცემა მათ, ვისაც ახსოვს წარმოებულების ცხრილი!) ასეა. მაგრამ არის ერთი პრობლემა. ჩვენი ორიგინალური ფუნქცია f(x) = x, ა (x 2)' = 2 x. ორი X. და დიფერენცირების შემდეგ უნდა მივიღოთ უბრალოდ x. არა კარგი. მაგრამ…

მე და შენ სწავლული ხალხი ვართ. ჩვენ მივიღეთ სერთიფიკატები.) და სკოლიდან ვიცით, რომ ნებისმიერი ტოლობის ორივე მხარე შეიძლება გამრავლდეს და გავყოთ ერთსა და იმავე რიცხვზე (ნულის გარდა, რა თქმა უნდა)! Ის არის მოწყობილი. მოდით, გამოვიყენოთ ეს შესაძლებლობა ჩვენი სარგებლისთვის.)

ჩვენ გვინდა, რომ სუფთა X დარჩეს მარჯვნივ, არა? მაგრამ ეს ორი ხელს უშლის... ასე რომ, ჩვენ ვიღებთ თანაფარდობას წარმოებულისთვის (x 2)' = 2x და ვყოფთ მისი ორივე ნაწილისწორედ ამ ორს:

ასე რომ, რაღაც უკვე ნათელი ხდება. Განაგრძე. ჩვენ ვიცით, რომ ნებისმიერი მუდმივი შეიძლება იყოს ამოიღეთ წარმოებული ნიშნიდან.Ამგვარად:

მათემატიკაში ყველა ფორმულა მუშაობს მარცხნიდან მარჯვნივ და პირიქით - მარჯვნიდან მარცხნივ. ეს ნიშნავს, რომ იგივე წარმატებით, ნებისმიერი მუდმივი შეიძლება იყოს ჩადეთ წარმოებული ნიშნის ქვეშ:

ჩვენს შემთხვევაში, ჩვენ ვმალავთ ორს მნიშვნელში (ან, რაც იგივეა, კოეფიციენტი 1/2) წარმოებული ნიშნის ქვეშ:

Და ახლა ყურადღებითმოდით უფრო ახლოს მივხედოთ ჩვენს ჩანაწერს. რას ვხედავთ? ჩვენ ვხედავთ თანასწორობას, რომელშიც ნათქვამია, რომ წარმოებული რაღაც(ეს რაღაც- ფრჩხილებში) უდრის X.

შედეგად მიღებული თანასწორობა მხოლოდ იმას ნიშნავს, რომ სასურველი ანტიდერივატია ფუნქციისთვის f(x) = x ემსახურება ფუნქციას F(x) = x 2/2 . ერთი ფრჩხილებში ინსულტის ქვეშ. პირდაპირ ანტიწარმოებულის მნიშვნელობით.) აბა, შევამოწმოთ შედეგი. მოდი ვიპოვოთ წარმოებული:

დიდი! ორიგინალური ფუნქცია მიღებულია f(x) = x. რა ცეკვავდნენ, რა დაბრუნდნენ. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენი ანტიდერივატი სწორად იქნა ნაპოვნი.)

Და თუ f(x) = x2? რის ტოლია მისი ანტიდერივატი? Არაა პრობლემა! მე და შენ ვიცით (კიდევ ერთხელ, დიფერენცირების წესებიდან) რომ:

3x 2 = (x 3)'

და, ანუ

Გავიგე? ახლა ჩვენ, საკუთარი თავისთვის შეუმჩნევლად, ვისწავლეთ ანტიდერივატების დათვლა ნებისმიერისთვის სიმძლავრის ფუნქცია f(x)=x n. გონებაში.) აიღეთ საწყისი მაჩვენებელი ნგაზარდეთ იგი ერთით და კომპენსაციის სახით გაყავით მთელი სტრუქტურა n+1:

შედეგად მიღებული ფორმულა, სხვათა შორის, სწორია არა მხოლოდ ამისთვის ბუნებრივი მაჩვენებელი გრადუსი ნ, არამედ ნებისმიერი სხვასთვის – უარყოფითი, წილადი. ეს აადვილებს ანტიდერივატების პოვნას მარტივიდან წილადებიდა ფესვები

Მაგალითად:

ბუნებრივია, n ≠ -1 , წინააღმდეგ შემთხვევაში ფორმულის მნიშვნელი გამოდის ნული და ფორმულა კარგავს მნიშვნელობას.) ამის შესახებ განსაკუთრებული შემთხვევა n = -1ცოტა მოგვიანებით.)

რა არის განუსაზღვრელი ინტეგრალი? ინტეგრალების ცხრილი.

ვთქვათ, რის ტოლია ფუნქციის წარმოებული F(x) = x?აბა, ერთი, ერთი - მესმის უკმაყოფილო პასუხები... ასეა. ერთეული. მაგრამ... ფუნქციისთვის G(x) = x+1წარმოებული ასევე იქნება ერთის ტოლი:

ასევე, წარმოებული იქნება ფუნქციის ერთიანობის ტოლი x+1234 და ფუნქციისთვის x-10 და ფორმის ნებისმიერი სხვა ფუნქციისთვის x+C , სად თან - ნებისმიერი მუდმივი. რადგან ნებისმიერი მუდმივის წარმოებული ტოლია ნულის, და ნულის მიმატება/გამოკლება არავის აგრძნობინებს სიცივეს ან ცხელებას.)

ეს იწვევს გაურკვევლობას. თურმე ფუნქციისთვის f(x) = 1ემსახურება როგორც პროტოტიპს არა მხოლოდ ფუნქცია F(x) = x , არამედ ფუნქციაც F 1 (x) = x+1234 და ფუნქცია F 2 (x) = x-10 და ასე შემდეგ!

დიახ. ზუსტად ასე.) ყოველი ( უწყვეტი ინტერვალზე) ფუნქციის არ არის მხოლოდ ერთი ანტიდერივატი, არამედ უსასრულოდ ბევრი - მთელი ოჯახი! არა მხოლოდ ერთი დედა ან მამა, არამედ მთელი ოჯახის ხე, დიახ.)

მაგრამ! ყველა ჩვენს პირველყოფილ ნათესავს ერთი რამ აქვს საერთო: მნიშვნელოვანი ქონება. ამიტომაც არიან ნათესავები.) საკუთრება იმდენად მნიშვნელოვანია, რომ ინტეგრაციის ტექნიკის ანალიზის პროცესში არაერთხელ გავიხსენებთ. და ჩვენ დიდხანს გვემახსოვრება.)

აი ეს არის ეს ქონება:

ნებისმიერი ორი ანტიდერივატი ფ 1 (x) დაფ 2 (x) იგივე ფუნქციიდანვ(x) განსხვავდება მუდმივით:

ფ 1 (x) - ფ 2 (x) = ს.

თუ ვინმეს აინტერესებს მტკიცებულება, შეისწავლეთ ლიტერატურა ან ლექციების ჩანაწერები.) კარგი, ასეც იყოს, მე დავამტკიცებ. საბედნიეროდ, მტკიცებულება აქ არის ელემენტარული, ერთი ნაბიჯით. ავიღოთ თანასწორობა

ფ 1 (x) - ფ 2 (x) = C

და მოდით განვასხვავოთ მისი ორივე ნაწილი.ანუ, ჩვენ სულელურად ვამატებთ შტრიხებს:

Სულ ეს არის. როგორც ამბობენ, ჩტ. :)

რას ნიშნავს ეს ქონება? და იმაზე, რომ ორი განსხვავებული ანტიდერივატია იგივე ფუნქციიდან f(x)არ შეიძლება განსხვავდებოდეს ერთგვარი გამოხატვა X-ით . მხოლოდ მკაცრად მუდმივზე! სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ გვაქვს რაიმე სახის გრაფიკი ერთ-ერთი ორიგინალი(დაე იყოს F(x)), შემდეგ გრაფიკები ყველა დანარჩენიჩვენი ანტიდერივატიები აგებულია გრაფიკის F(x) პარალელური გადაცემით y-ღერძის გასწვრივ.

ვნახოთ, როგორ გამოიყურება მაგალითის ფუნქციის გამოყენებით f(x) = x. ყველა მის პრიმიტივს, როგორც უკვე ვიცით, ზოგადი ფორმა აქვს F(x) = x 2 /2+C . სურათზე ასე გამოიყურება პარაბოლების უსასრულო რაოდენობა, მიღებული "მთავარი" პარაბოლიდან y = x 2 /2 OY ღერძის გასწვრივ ზევით ან ქვევით გადაადგილებით, მუდმივის მნიშვნელობიდან გამომდინარე თან.

დაიმახსოვრე ფუნქციის სკოლის გრაფიკი y=f(x)+aგრაფიკის ცვლა y=f(x)"a" ერთეულებით Y-ღერძის გასწვრივ?) აქაც იგივეა.)

უფრო მეტიც, ყურადღება მიაქციეთ: ჩვენს პარაბოლებს არსად არ იკვეთოთ!ბუნებრივია. ბოლოს და ბოლოს, ორი სხვადასხვა ფუნქციები y 1 (x) და y 2 (x) აუცილებლად შეესაბამება ორი სხვადასხვა მნიშვნელობამუდმივები – C 1და C 2.

მაშასადამე, განტოლებას y 1 (x) = y 2 (x) არასოდეს აქვს ამონახსნები:

C 1 = C 2

x ∊ ∅ , იმიტომ C 1 ≠ C2

ახლა კი ჩვენ თანდათან ვუახლოვდებით ინტეგრალური კალკულუსის მეორე ქვაკუთხედის კონცეფციას. როგორც ახლა დავადგინეთ, ნებისმიერი f(x) ფუნქციისთვის არის F(x) + C ანტიწარმოებულების უსასრულო ნაკრები, რომლებიც ერთმანეთისგან განსხვავდება მუდმივით. ამ ყველაზე უსასრულო კომპლექტს ასევე აქვს თავისი განსაკუთრებული სახელი.) აბა, გთხოვთ, გიყვარდეთ და კეთილგანწყობა!

რა არის განუსაზღვრელი ინტეგრალი?

ყველა ანტიდერივატივის ნაკრები ფუნქციისთვის ვ(x) ეწოდება განუსაზღვრელი ინტეგრალიფუნქციიდანვ(x).

ეს არის მთელი განმარტება.)

"გაურკვეველი" - იმიტომ, რომ ყველა ანტიდერივატივის ნაკრები ერთი და იგივე ფუნქციისთვის უსასრულოდ. ძალიან ბევრი განსხვავებული ვარიანტი.)

"ინტეგრალი" – ამ სასტიკი სიტყვის დეტალურ გაშიფვრას გავეცნობით შემდეგ დიდ განყოფილებაში, რომელსაც ეძღვნება განსაზღვრული ინტეგრალები . ჯერჯერობით, უხეში ფორმით, ჩვენ განვიხილავთ რაღაცას, როგორც განუყოფელს ზოგადი, ერთიანი, მთლიანი. და ინტეგრაციით - კავშირი, განზოგადება, ამ შემთხვევაში, გადასვლა კონკრეტულიდან (წარმოებულიდან) ზოგადზე (ანტიდერივატივით). Რაღაც მაგდაგვარი.

განუსაზღვრელი ინტეგრალი ასე აღინიშნება:

იკითხება ისე, როგორც წერია: ინტეგრალური ef x de x-დან. ან განუყოფელი საწყისი ef x de x-დან.აბა, გესმის.)

ახლა მოდით შევხედოთ აღნიშვნას.

∫ - ინტეგრალური ხატი.მნიშვნელობა იგივეა, რაც წარმოებულის პირველი.)

დ - ხატიდიფერენციალური. ნუ გვეშინია! რატომ არის საჭირო იქ ცოტა დაბალია.

f(x) - ინტეგრანდ("s"-ის მეშვეობით).

f(x)dx - ინტეგრანდული გამოხატულება.ან, უხეშად რომ ვთქვათ, ინტეგრალის „შევსება“.

განუსაზღვრელი ინტეგრალის მნიშვნელობის მიხედვით,

Აქ F(x)- იგივე ანტიდერივატიფუნქციისთვის f(x)რომელიც ჩვენ რატომღაც ჩვენ თვითონ ვიპოვეთ.კონკრეტულად როგორ აღმოაჩინეს, ეს არ არის მთავარი. მაგალითად, ჩვენ ეს აღმოვაჩინეთ F(x) = x 2/2ამისთვის f(x)=x.

"თან" - თვითნებური მუდმივი.ან უფრო მეცნიერულად, ინტეგრალური მუდმივი. ან ინტეგრაციის მუდმივი.ყველაფერი ერთია.)

ახლა დავუბრუნდეთ ანტიდერივატივის პოვნის პირველ მაგალითებს. განუსაზღვრელი ინტეგრალის თვალსაზრისით, ახლა შეგვიძლია უსაფრთხოდ დავწეროთ:

რა არის ინტეგრალური მუდმივი და რატომ არის საჭირო?

კითხვა ძალიან საინტერესოა. და ძალიან (ძალიან!) მნიშვნელოვანი. ანტიწარმოებულების მთელი უსასრულო ნაკრებიდან ინტეგრალური მუდმივი გამოყოფს ხაზს რომელიც გადის მოცემული წერტილი.

რა აზრი აქვს? ანტიდერივატების საწყისი უსასრულო ნაკრებიდან (ე.ი. განუსაზღვრელი ინტეგრალი) უნდა აირჩიოთ მრუდი, რომელიც გაივლის მოცემულ წერტილს. ზოგიერთთან ერთად კონკრეტული კოორდინატები.ასეთი ამოცანა ყოველთვის და ყველგან ხდება ინტეგრალებთან თავდაპირველი გაცნობის დროს. სკოლაშიც და უნივერსიტეტშიც.

ტიპიური პრობლემა:

f=x ფუნქციის ყველა ანტიწარმოებულთა სიმრავლეს შორის აირჩიეთ ის, რომელიც გადის წერტილში (2;2).

ჩვენ ვიწყებთ ფიქრს ჩვენი თავით... ყველა პრიმიტივის ნაკრები ნიშნავს იმას, რომ ჯერ ჩვენ უნდა ჩვენი ორიგინალური ფუნქციის ინტეგრირება.ანუ x(x). ჩვენ ეს გავაკეთეთ ცოტა მაღლა და მივიღეთ შემდეგი პასუხი:

ახლა მოდით გავარკვიოთ, რა მივიღეთ. ჩვენ მივიღეთ არა მხოლოდ ერთი ფუნქცია, არამედ ფუნქციების მთელი ოჯახი.Რომლები? ვიდა y=x 2 /2+C . დამოკიდებულია C მუდმივის მნიშვნელობაზე. და ეს არის მუდმივის მნიშვნელობა, რომელიც ახლა უნდა "დავიჭიროთ".) კარგი, დავიწყოთ დაჭერა?)

ჩვენი სათევზაო ჯოხი - მოსახვევების ოჯახი (პარაბოლები) y=x 2 /2+C.

მუდმივები - ეს არის თევზი. ბევრი და ბევრი. მაგრამ თითოეულს აქვს თავისი კაკალი და სატყუარა.)

რა არის სატყუარა? უფლება! ჩვენი წერტილი არის (-2;2).

ასე რომ, ჩვენ ვცვლით ჩვენი წერტილის კოორდინატებს ანტიწარმოებულების ზოგად ფორმაში! ჩვენ ვიღებთ:

y(2) = 2

აქედან ადვილი მოსაპოვებელია C=0.

Რას ნიშნავს ეს? ეს ნიშნავს, რომ ფორმის პარაბოლების მთელი უსასრულო სიმრავლიდანy=x 2 /2+Cმხოლოდ პარაბოლა მუდმივი C=0გვერგება! კერძოდ:y=x 2/2. და მხოლოდ ის. მხოლოდ ეს პარაბოლა გაივლის იმ წერტილს, რომელიც ჩვენ გვჭირდება (-2; 2). Და შიყველა სხვა პარაბოლა ჩვენი ოჯახიდან გადის ეს წერტილი ისინი აღარ იქნებიან.სიბრტყის რამდენიმე სხვა წერტილის გავლით - დიახ, მაგრამ წერტილის გავლით (2; 2) - აღარ. Გავიგე?

სიცხადისთვის აქ არის ორი სურათი - პარაბოლების მთელი ოჯახი (ანუ განუსაზღვრელი ინტეგრალი) და რამდენიმე სპეციფიკური პარაბოლა, შესაბამისი მუდმივის სპეციფიკური მნიშვნელობადა გავლით კონკრეტული წერტილი:

ხედავთ, რამდენად მნიშვნელოვანია მუდმივის გათვალისწინება თანინტეგრაციის დროს! ასე რომ, არ დაგავიწყდეთ ეს ასო "C" და არ დაგავიწყდეთ მისი დამატება საბოლოო პასუხში.

ახლა მოდით გავარკვიოთ, რატომ არის სიმბოლო ყველგან დაკიდებული ინტეგრალების შიგნით dx . მოსწავლეებს ხშირად ავიწყდებათ... და ესეც, სხვათა შორის, შეცდომაა! და საკმაოდ უხეში. მთელი საქმე იმაში მდგომარეობს, რომ ინტეგრაცია არის დიფერენციაციის საპირისპირო ოპერაცია. და ზუსტად რა არის დიფერენცირების შედეგი? წარმოებული? მართალია, მაგრამ არა მთლიანად. დიფერენციალური!

ჩვენს შემთხვევაში, ფუნქციისთვის f(x)მისი ანტიდერივატივის დიფერენციალი F(x), იქნება:

ვისაც ეს ჯაჭვი არ ესმის, სასწრაფოდ გაიმეორეთ დიფერენციალის განმარტება და მნიშვნელობა და ზუსტად როგორ ვლინდება იგი! თორემ ინტეგრალებში უმოწყალოდ შეანელებ...

შეგახსენებთ, უხეშ ფილისტიმურ ფორმაში, რომ ნებისმიერი f(x) ფუნქციის დიფერენციალი უბრალოდ ნამრავლია f'(x)dx. Სულ ეს არის! აიღეთ წარმოებული და გაამრავლეთ დიფერენციალურ არგუმენტამდე(ანუ dx). ანუ, ნებისმიერი დიფერენციალი, არსებითად, ჩვეულის გამოთვლაზე მოდის წარმოებული.

ამიტომ, მკაცრად რომ ვთქვათ, ინტეგრალი არ არის "აღებული". ფუნქციები f(x), როგორც საყოველთაოდ სჯერა და დან დიფერენციალური f(x)dx!მაგრამ, გამარტივებულ ვერსიაში, ჩვეულებრივია ამის თქმა "ინტეგრალი აღებულია ფუნქციიდან". ან: "F ფუნქცია ინტეგრირებულია(x)". Ეს იგივეა.და ჩვენ ვისაუბრებთ ზუსტად იგივე გზით. მაგრამ სამკერდე ნიშნის შესახებ dxნუ დავივიწყებთ! :)

ახლა კი გეტყვით, როგორ არ დაივიწყოთ ის ჩაწერისას. ჯერ წარმოიდგინეთ, რომ თქვენ იანგარიშებთ ჩვეულებრივ წარმოებულს x ცვლადის მიმართ. ჩვეულებრივ როგორ წერ?

ასე: f'(x), y'(x), y' x. ან უფრო მყარად, დიფერენციალური თანაფარდობის მეშვეობით: dy/dx. ყველა ეს ჩანაწერი გვიჩვენებს, რომ წარმოებული აღებულია ზუსტად X-ის მიმართ. და არა "igrek", "te" ან სხვა ცვლადით.)

იგივე ეხება ინტეგრალებს. ჩანაწერი ∫ f(x)dxაშშ-იც თითქოსაჩვენებს, რომ ინტეგრაცია ზუსტად ხორციელდება x ცვლადით. რა თქმა უნდა, ეს ყველაფერი ძალიან გამარტივებული და უხეშია, მაგრამ გასაგებია, იმედი მაქვს. და შანსები დავიწყებამიეკუთვნება ყველგანმყოფობას dxმკვეთრად იკლებს.)

ასე რომ, ჩვენ გავარკვიეთ, რა არის განუსაზღვრელი ინტეგრალი. დიდი.) ახლა კარგი იქნებოდა იგივე განუსაზღვრელი ინტეგრალების სწავლა გამოთვალეთ. ან, მარტივად რომ ვთქვათ, "მიიღე". :) და აქ ორი სიახლე ელის სტუდენტებს - კარგი და არც ისე კარგი. ახლა დავიწყოთ კარგით.)

სიახლე კარგია. ინტეგრალებისთვის, ისევე როგორც წარმოებულებისთვის, არსებობს საკუთარი ცხრილი. და ყველა ინტეგრალი, რომელსაც გზაში შევხვდებით, თუნდაც ყველაზე საშინელსა და დახვეწილს, ჩვენ გარკვეული წესების მიხედვითასეა თუ ისე, ჩვენ მას დავაკლებთ ამ ძალიან ცხრილებზე.)

ასე რომ, აქ არის ის ინტეგრალების ცხრილი!

აქ არის ინტეგრალების ასეთი ლამაზი ცხრილი ყველაზე პოპულარული ფუნქციებიდან. გირჩევთ განსაკუთრებული ყურადღება მიაქციოთ ფორმულების ჯგუფს 1-2 (მუდმივი და დენის ფუნქცია). ეს არის ყველაზე ხშირად გამოყენებული ფორმულები ინტეგრალებში!

ფორმულების მესამე ჯგუფი (ტრიგონომეტრია), როგორც თქვენ ალბათ მიხვდებით, მიიღება წარმოებულების შესაბამისი ფორმულების უბრალოდ შებრუნებით.

Მაგალითად:

ფორმულების მეოთხე ჯგუფთან (ექსპონენციალური ფუნქცია) ყველაფერი მსგავსია.

აქ არის ოთხი უახლესი ჯგუფებიფორმულები (5-8) ჩვენთვის ახალი.საიდან გაჩნდნენ ისინი და რა დამსახურებით მოხვდნენ ეს ეგზოტიკური ფუნქციები მოულოდნელად ძირითადი ინტეგრალების ცხრილში? რატომ გამოირჩევა ფუნქციების ეს ჯგუფები სხვა ფუნქციებისგან?

ასე ხდებოდა ისტორიულად განვითარების პროცესში ინტეგრაციის მეთოდები . როდესაც ჩვენ ვვარჯიშობთ ინტეგრალების ფართო სპექტრის აღებას, მიხვდებით, რომ ცხრილში ჩამოთვლილი ფუნქციების ინტეგრალები ძალიან, ძალიან ხშირად გვხვდება. იმდენად ხშირად, რომ მათემატიკოსები მათ კლასიფიკაციას აძლევდნენ, როგორც ცხრილებს.) მათი მეშვეობით გამოიხატება მრავალი სხვა ინტეგრალი, უფრო რთული კონსტრუქციებიდან.

უბრალოდ გასართობად, შეგიძლიათ აიღოთ ერთ-ერთი ასეთი საშინელი ფორმულა და განასხვავოთ იგი. :) მაგალითად, ყველაზე სასტიკი მე-7 ფორმულა.

Ყველაფერი კარგადაა. მათემატიკოსები არ მოტყუებულან. :)

სასურველია ინტეგრალების ცხრილი, ასევე წარმოებულების ცხრილი ზეპირად იცოდეთ. ნებისმიერ შემთხვევაში, ფორმულების პირველი ოთხი ჯგუფი. ეს არც ისე რთულია, როგორც ერთი შეხედვით ჩანს. დაიმახსოვრეთ ბოლო ოთხი ჯგუფი (წილადებით და ფესვებით) Ნახვამდისარ ღირს. ყოველ შემთხვევაში, თავიდან დაბნეული იქნებით სად ჩაწეროთ ლოგარითმი, სად არქტანგენსი, სად რკალი, სად 1/a, სად 1/2a... გამოსავალი მხოლოდ ერთია - ამოხსენით მეტი მაგალითი. შემდეგ მაგიდა თანდათან გაიხსენებს თავისთავად და ეჭვები შეწყვეტს განადგურებას.)

განსაკუთრებით ცნობისმოყვარე პირებმა, რომლებიც ცხრილს უფრო კარგად დააკვირდებიან, შეიძლება იკითხონ: სად არის ცხრილში სხვა ელემენტარული „სასკოლო“ ფუნქციების ინტეგრალები - ტანგენსი, ლოგარითმი, „რკალი“? ვთქვათ, რატომ არის ინტეგრალი სინუსიდან ცხრილში, მაგრამ არ არის, ვთქვათ, ინტეგრალი ტანგენტიდან tg x? ან არ არსებობს ლოგარითმის ინტეგრალი n x? რკალისგან arcsin x? რატომ არიან უარესები? მაგრამ ის სავსეა "მარცხენა" ფუნქციებით - ფესვებით, წილადებით, კვადრატებით...

უპასუხე. უარესი არ არის.) მხოლოდ ზემოაღნიშნული ინტეგრალები (ტანგენტიდან, ლოგარითმიდან, რკალიდან და ა.შ.) არ არის ცხრილი . და ისინი პრაქტიკაში ბევრად უფრო იშვიათად გვხვდება, ვიდრე ცხრილში წარმოდგენილი. ამიტომ იცოდე გულით, რისი ტოლია სულაც არ არის საჭირო. საკმარისია მხოლოდ იცოდე როგორ არიან გამოითვლება.)

რა, ვიღაც მაინც ვერ იტანს? ასეც იყოს, განსაკუთრებით შენთვის!

აბა, აპირებ მის დამახსოვრებას? :) არა? და ნუ.) მაგრამ არ ინერვიულოთ, ჩვენ აუცილებლად ვიპოვით ყველა ასეთ ინტეგრალს. შესაბამის გაკვეთილებზე. :)

აბა, ახლა გადავიდეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალის თვისებებზე. დიახ, დიახ, არაფრის გაკეთება არ შეიძლება! დაინერგა ახალი კონცეფცია და მისი ზოგიერთი თვისება დაუყოვნებლივ განიხილება.

განუსაზღვრელი ინტეგრალის თვისებები.

ახლა არც ისე კარგი ამბავია.

დიფერენციაციისგან განსხვავებით, ინტეგრაციის ზოგადი სტანდარტული წესები, სამართლიანი ყველა შემთხვევისთვისმათემატიკაში არა. Ეს ფანტასტიკურია!

მაგალითად, თქვენ ყველამ კარგად იცით ეს (იმედი მაქვს!). ნებისმიერიმუშაობა ნებისმიერიორი ფუნქცია f(x) g(x) დიფერენცირებულია ასე:

(f(x) g(x))’ = f’(x) g(x) + f(x) g’(x).

ნებისმიერიკოეფიციენტი დიფერენცირებულია ასე:

და ნებისმიერი რთული ფუნქცია, რაც არ უნდა რთული იყოს, დიფერენცირებულია ასე:

და არ აქვს მნიშვნელობა რა ფუნქციები იმალება ასოების ქვეშ f და g, ზოგადი წესები მაინც იმუშავებს და წარმოებული, ასე თუ ისე, მოიძებნება.

მაგრამ ინტეგრალებთან ერთად ეს რიცხვი აღარ იმუშავებს: პროდუქტისთვის, კოეფიციენტისთვის (წილადი), ასევე რთული ფუნქციისთვის. ზოგადი ფორმულებიინტეგრაცია არ არსებობს! არ არსებობს სტანდარტული წესები!უფრო სწორად, ისინი არსებობენ. სწორედ მე ვაწყენინე მათემატიკა ამაოდ.) მაგრამ, ჯერ ერთი, მათ შორის გაცილებით ნაკლებია, ვიდრე ძირითადი წესებიდიფერენციაციისთვის. და მეორეც, ინტეგრაციის მეთოდების უმეტესობა, რომლებზეც შემდეგ გაკვეთილებზე ვისაუბრებთ, ძალიან, ძალიან სპეციფიკურია. და ისინი მოქმედებს მხოლოდ გარკვეული, ძალიან შეზღუდული ფუნქციების კლასისთვის. ვთქვათ მხოლოდ ამისთვის წილადი რაციონალური ფუნქციები. ან ზოგიერთი სხვა.

ზოგიერთი ინტეგრალი კი, თუმცა ბუნებაში არსებობს, საერთოდ არ არის გამოხატული ელემენტარული „სასკოლო“ ფუნქციებით! დიახ, დიახ, და არსებობს უამრავი ასეთი ინტეგრალი! :)

ამიტომ ინტეგრაცია ბევრად უფრო შრომატევადი და შრომატევადი ამოცანაა, ვიდრე დიფერენციაცია. მაგრამ ამასაც აქვს თავისი ირონია. ეს აქტივობა არის კრეატიული და ძალიან საინტერესო.) და, თუ კარგად დაეუფლებით ინტეგრალების ცხრილს და დაეუფლებით მინიმუმ ორ ძირითად ტექნიკას, რომლებზეც მოგვიანებით ვისაუბრებთ ( და ), მაშინ ძალიან მოგეწონებათ ინტეგრაცია. :)

ახლა გავეცნოთ განუსაზღვრელი ინტეგრალის თვისებებს. საერთოდ არ არსებობს. აი ისინი.

პირველი ორი თვისება სრულიად ანალოგიურია იგივე თვისებების წარმოებულებისთვის და ე.წ განუსაზღვრელი ინტეგრალის წრფივობის თვისებები . აქ ყველაფერი მარტივი და ლოგიკურია: ჯამის/განსხვავების ინტეგრალი ინტეგრალის ჯამის/განსხვავების ტოლია, ხოლო მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას ინტეგრალის ნიშნიდან.

მაგრამ შემდეგი სამი თვისება ჩვენთვის ფუნდამენტურად ახალია. მოდით შევხედოთ მათ უფრო დეტალურად. ისინი რუსულად ჟღერს შემდეგნაირად.

მესამე ქონება

ინტეგრალის წარმოებული ინტეგრადის ტოლია

ყველაფერი მარტივია, როგორც ზღაპარში. თუ თქვენ აერთიანებთ ფუნქციას და შემდეგ იპოვით შედეგის წარმოებულს, მაშინ... მიიღებთ თავდაპირველ ინტეგრანდულ ფუნქციას. :) ეს თვისება ყოველთვის შეიძლება (და უნდა) იყოს გამოყენებული ინტეგრაციის საბოლოო შედეგის შესამოწმებლად. თქვენ გამოთვალეთ ინტეგრალი - განასხვავეთ პასუხი! მივიღეთ ინტეგრაციის ფუნქცია - OK. თუ არ მივიღეთ, ეს ნიშნავს, რომ სადღაც გავშალეთ. მოძებნეთ შეცდომა.)

რა თქმა უნდა, პასუხმა შეიძლება გამოიწვიოს ისეთი სასტიკი და შრომატევადი ფუნქციები, რომ არ არსებობს მათი დიფერენცირების სურვილი, დიახ. მაგრამ უმჯობესია, თუ ეს შესაძლებელია, სცადოთ საკუთარი თავის შემოწმება. ყოველ შემთხვევაში იმ მაგალითებში, სადაც ეს ადვილია.)

მეოთხე ქონება

ინტეგრალის დიფერენციალი ინტეგრადის ტოლია .

არაფერი განსაკუთრებული აქ. არსი იგივეა, ბოლოს მხოლოდ dx ჩანს. წინა ქონებისა და დიფერენციალური გახსნის წესების მიხედვით.

მეხუთე ქონება

ზოგიერთი ფუნქციის დიფერენციალური ინტეგრალი უდრის ამ ფუნქციისა და თვითნებური მუდმივის ჯამს .

ეს ასევე ძალიან მარტივი თვისებაა. ჩვენ ასევე რეგულარულად გამოვიყენებთ ინტეგრალების ამოხსნის პროცესში. განსაკუთრებით - და.

აი ისინი სასარგებლო თვისებები. მე არ ვაპირებ მოგაბეზროთ აქ მათი მკაცრი მტკიცებულებებით. მე ვთავაზობ, რომ მათ, ვისაც ეს სურთ, თავად გააკეთონ ეს. პირდაპირ წარმოებულისა და დიფერენციალურის მნიშვნელობით. მე დავამტკიცებ მხოლოდ ბოლო, მეხუთე თვისებას, რადგან ნაკლებად აშკარაა.

ასე რომ, ჩვენ გვაქვს განცხადება:

ჩვენ ამოვიღებთ ჩვენი ინტეგრალის "ჩაყრას" და ვხსნით მას, დიფერენციალური განმარტების მიხედვით:

ყოველი შემთხვევისთვის, შეგახსენებთ, რომ წარმოებულისა და ანტიწარმოებულის აღნიშვნის მიხედვით, ფ’(x) = ვ(x) .

ახლა ჩვენ ჩავსვამთ ჩვენს შედეგს ინტეგრალის შიგნით:

ზუსტად მიიღო განუსაზღვრელი ინტეგრალის განმარტება (რუსულმა ენამ მაპატიოს)! :)

Სულ ეს არის.)

კარგად. ამით დასრულებულად მიმაჩნია ჩვენი თავდაპირველი გაცნობა ინტეგრალების იდუმალ სამყაროსთან. დღეისთვის მე ვთავაზობ საქმეების შეფუთვას. ჩვენ უკვე საკმარისად შეიარაღებულები ვართ დაზვერვაზე წასასვლელად. თუ არა ავტომატი, მაშინ მაინც წყლის პისტოლეტი ძირითადი თვისებებით და მაგიდა. :) შემდეგ გაკვეთილზე გელოდებათ ინტეგრალების უმარტივესი უწყინარი მაგალითები ცხრილის პირდაპირი გამოყენებისთვის და დაწერილი თვისებები.

Გნახავ!