გაუსის მეთოდი არის... გაუსის მეთოდის უკუსვლა
აქ შეგიძლიათ გადაჭრათ წრფივი განტოლებათა სისტემა უფასოდ გაუსის მეთოდი ონლაინ დიდი ზომებიკომპლექსურ რიცხვებში ძალიან დეტალური ამოხსნით. ჩვენს კალკულატორს შეუძლია ონლაინ გადაჭრას წრფივი განტოლებების როგორც ჩვეულებრივი განსაზღვრული, ისე განუსაზღვრელი სისტემები გაუსის მეთოდის გამოყენებით, რომელსაც აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა. ამ შემთხვევაში, პასუხში მიიღებთ ზოგიერთი ცვლადის დამოკიდებულებას სხვა, თავისუფალის მეშვეობით. თქვენ ასევე შეგიძლიათ შეამოწმოთ განტოლებების სისტემა თანმიმდევრულობისთვის ონლაინ რეჟიმში გაუსის ამოხსნის გამოყენებით.
მეთოდის შესახებ
წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნისას ონლაინ მეთოდიგაუსის შემდეგი ნაბიჯები შესრულებულია.
- ჩვენ ვწერთ გაფართოებულ მატრიცას.
- სინამდვილეში, გამოსავალი იყოფა გაუსის მეთოდის წინ და უკან ნაბიჯებად. გაუსის მეთოდის პირდაპირი ნაბიჯი არის მატრიცის შემცირება ეტაპობრივ ფორმამდე. გაუსის მეთოდის საპირისპიროა მატრიცის შემცირება სპეციალურ ეტაპობრივ ფორმამდე. მაგრამ პრაქტიკაში, უფრო მოსახერხებელია დაუყოვნებლივ გამორიცხოთ ის, რაც მდებარეობს მოცემული ელემენტის ზემოთ და ქვემოთ. ჩვენი კალკულატორი იყენებს ზუსტად ამ მიდგომას.
- მნიშვნელოვანია აღინიშნოს, რომ გაუსის მეთოდით ამოხსნისას, მატრიცაში ყოფნა მინიმუმ ერთი ნულოვანი მწკრივის NOT ნულით. მარჯვენა მხარე(თავისუფალი წევრების სვეტი) მიუთითებს სისტემის შეუთავსებლობაზე. გამოსავალი ხაზოვანი სისტემაამ შემთხვევაში ის არ არსებობს.
იმისათვის, რომ უკეთ გაიგოთ, როგორ მუშაობს გაუსის ალგორითმი ონლაინ, შეიყვანეთ ნებისმიერი მაგალითი, აირჩიეთ „ძალიან დეტალური გადაწყვეტადა მოძებნეთ მისი გამოსავალი ინტერნეტში.
1. წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემა
1.1 წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემის კონცეფცია
განტოლებათა სისტემა არის მდგომარეობა, რომელიც შედგება რამდენიმე განტოლების ერთდროული შესრულებისგან რამდენიმე ცვლადის მიმართ. წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემას (შემდგომში SLAE), რომელიც შეიცავს m განტოლებებს და n უცნობებს, ეწოდება ფორმის სისტემა:
სადაც a ij რიცხვებს ეწოდება სისტემური კოეფიციენტები, b i რიცხვებს ეწოდება თავისუფალი ტერმინები, იჯდა ბ ი(i=1,…, m; b=1,…, n) წარმოადგენს რამდენიმე ცნობილ რიცხვს და x 1,…, x n- უცნობი. კოეფიციენტების აღნიშვნაში იჯპირველი ინდექსი i აღნიშნავს განტოლების რაოდენობას, ხოლო მეორე j არის უცნობის რიცხვი, რომელზეც დგას ეს კოეფიციენტი. უნდა მოიძებნოს რიცხვები x n. მოსახერხებელია ასეთი სისტემის დაწერა კომპაქტური მატრიცის სახით: AX=B.აქ A არის სისტემის კოეფიციენტების მატრიცა, რომელსაც უწოდებენ მთავარ მატრიცას;
– უცნობის სვეტის ვექტორი xj. არის bi-ის თავისუფალი ტერმინების სვეტის ვექტორი.
A*X მატრიცების ნამრავლი განისაზღვრება, რადგან A მატრიცაში იმდენი სვეტია, რამდენი მწკრივია X მატრიცაში (n ცალი).
სისტემის გაფართოებული მატრიცა არის სისტემის A მატრიცა, რომელსაც ავსებს თავისუფალი ტერმინების სვეტი
1.2 წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემის ამოხსნა
განტოლებათა სისტემის გამოსავალი არის რიცხვების მოწესრიგებული ნაკრები (ცვლადების მნიშვნელობები), როდესაც ცვლადების ნაცვლად მათი ჩანაცვლება, სისტემის თითოეული განტოლება იქცევა ნამდვილ ტოლობაში.
სისტემის ამონახსნი არის უცნობის n მნიშვნელობა x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, რომელთა ჩანაცვლების შემდეგ სისტემის ყველა განტოლება ხდება ნამდვილი ტოლობა. სისტემის ნებისმიერი გამოსავალი შეიძლება დაიწეროს სვეტის მატრიცის სახით
განტოლებათა სისტემას ეწოდება თანმიმდევრული, თუ მას აქვს ერთი ამონახსნი მაინც და არათანმიმდევრული, თუ მას არ აქვს ამონახსნი.
თანმიმდევრულ სისტემაზე ამბობენ, რომ განსაზღვრულია, თუ მას აქვს ერთი ამონახსნი, და განუსაზღვრელი, თუ მას აქვს ერთზე მეტი ამონახსნი. ამ უკანასკნელ შემთხვევაში, მის თითოეულ გადაწყვეტას სისტემის კონკრეტული გადაწყვეტა ეწოდება. ყველა კონკრეტული ამოხსნის ერთობლიობას ზოგადი ამონახსნები ეწოდება.
სისტემის ამოხსნა ნიშნავს იმის გარკვევას, არის თუ არა ის თავსებადი თუ არათანმიმდევრული. თუ სისტემა თანმიმდევრულია, იპოვნეთ მისი ზოგადი გადაწყვეტა.
ორ სისტემას ეწოდება ეკვივალენტი (ექვივალენტი), თუ მათ აქვთ ერთი და იგივე ზოგადი ამონახსნები. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სისტემები ეკვივალენტურია, თუ ერთი მათგანის ყველა ამოხსნა არის მეორის ამოხსნა და პირიქით.
ტრანსფორმაცია, რომლის გამოყენებაც სისტემას აქცევს ახალი სისტემა, ორიგინალის ეკვივალენტს, ექვივალენტურ ან ეკვივალენტურ ტრანსფორმაციას უწოდებენ. ეკვივალენტური გარდაქმნების მაგალითები მოიცავს შემდეგ გარდაქმნებს: სისტემის ორი განტოლების შეცვლა, ორი უცნობის გაცვლა ყველა განტოლების კოეფიციენტებთან ერთად, სისტემის ნებისმიერი განტოლების ორივე მხარის გამრავლება არანულოვან რიცხვზე.
წრფივი განტოლებათა სისტემას ეწოდება ერთგვაროვანი, თუ ყველა თავისუფალი წევრი ნულის ტოლია:
ერთგვაროვანი სისტემა ყოველთვის თანმიმდევრულია, რადგან x1=x2=x3=…=xn=0 არის სისტემის ამონახსნები. ამ ამოხსნას უწოდებენ ნულს ან ტრივიალურს.
2. გაუსის ელიმინაციის მეთოდი
2.1 გაუსის ელიმინაციის მეთოდის არსი
წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნის კლასიკური მეთოდია უცნობის თანმიმდევრული აღმოფხვრის მეთოდი - გაუსის მეთოდი(მას ასევე უწოდებენ გაუსის ელიმინაციის მეთოდს). ეს არის ცვლადების თანმიმდევრული აღმოფხვრის მეთოდი, როდესაც ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით, განტოლებათა სისტემა მცირდება საფეხურის (ან სამკუთხა) ფორმის ეკვივალენტურ სისტემამდე, საიდანაც ყველა სხვა ცვლადი მოიძებნება თანმიმდევრობით, დაწყებული ბოლოდან რიცხვი) ცვლადები.
გადაწყვეტის პროცესი გაუსის მეთოდით შედგება ორი ეტაპისგან: წინ და უკან სვლები.
1. პირდაპირი ინსულტი.
პირველ ეტაპზე ხორციელდება ეგრეთ წოდებული პირდაპირი მოძრაობა, როდესაც მწკრივებზე ელემენტარული გარდაქმნებით სისტემა მიდის ეტაპობრივად ან სამკუთხა ფორმის, ან დაადგინეთ, რომ სისტემა შეუთავსებელია. კერძოდ, მატრიცის პირველი სვეტის ელემენტებს შორის, აირჩიეთ არა ნულოვანი, გადაიტანეთ იგი ზედა პოზიციაზე რიგების გადალაგებით და გამოაკლეთ მიღებული პირველი მწკრივი დანარჩენ რიგებს გადაწყობის შემდეგ, გაამრავლეთ მნიშვნელობაზე. უდრის თითოეული ამ მწკრივის პირველი ელემენტის შეფარდებას პირველი რიგის პირველ ელემენტთან, ამგვარად მის ქვემოთ სვეტის ნულოვანი.
ამ გარდაქმნების დასრულების შემდეგ, პირველი მწკრივი და პირველი სვეტი გონებრივად გადაიკვეთება და გრძელდება მანამ, სანამ არ დარჩება ნულოვანი ზომის მატრიცა. თუ რომელიმე გამეორებისას პირველი სვეტის ელემენტებს შორის არ არის ნულოვანი ელემენტი, გადადით შემდეგ სვეტში და შეასრულეთ მსგავსი ოპერაცია.
პირველ ეტაპზე (პირდაპირი ინსულტი) სისტემა მცირდება საფეხურზე (კერძოდ, სამკუთხა) ფორმამდე.
ქვემოთ მოცემულ სისტემას აქვს ეტაპობრივი ფორმა:
,
Aii კოეფიციენტებს სისტემის ძირითად (წამყვან) ელემენტებს უწოდებენ.
(თუ a11=0, გადააწყვეთ მატრიცის რიგები ისე, რომ ა 11 არ იყო 0-ის ტოლი. ეს ყოველთვის შესაძლებელია, რადგან წინააღმდეგ შემთხვევაში მატრიცა შეიცავს ნულოვან სვეტს, მისი განმსაზღვრელი უდრის ნულს და სისტემა არათანმიმდევრულია).მოდით გარდავქმნათ სისტემა უცნობი x1-ის აღმოფხვრით ყველა განტოლებაში პირველის გარდა (სისტემის ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით). ამისათვის გაამრავლეთ პირველი განტოლების ორივე მხარე
და დავამატოთ ტერმინი ტერმინით სისტემის მეორე განტოლებას (ან მეორე განტოლებას გამოვაკლოთ ტერმინი ტერმინით პირველზე, გამრავლებული ). შემდეგ ვამრავლებთ პირველი განტოლების ორივე მხარეს და ვუმატებთ სისტემის მესამე განტოლებას (ან მესამეს გამოვაკლებთ პირველს გამრავლებულს). ამრიგად, პირველ სტრიქონს თანმიმდევრულად ვამრავლებთ რიცხვზე და ვამატებთ მეე ხაზი, ამისთვის i= 2, 3, …,ნ.ამ პროცესის გაგრძელებით, ჩვენ ვიღებთ ექვივალენტურ სისტემას:
- კოეფიციენტების ახალი მნიშვნელობები უცნობი და თავისუფალი ტერმინებისთვის სისტემის ბოლო m-1 განტოლებებში, რომლებიც განისაზღვრება ფორმულებით: ამრიგად, პირველ ეტაპზე, ყველა კოეფიციენტი, რომელიც დევს პირველი წამყვანი ელემენტის ქვეშ 11 განადგურებულია
0, მეორე საფეხურზე ნადგურდება მეორე წამყვანი ელემენტის ქვეშ მოთავსებული ელემენტები a 22 (1) (თუ 22 (1) 0) და ა.შ. ამ პროცესის შემდგომი გაგრძელებით, ჩვენ საბოლოოდ, (m-1) საფეხურზე ვამცირებთ თავდაპირველ სისტემას სამკუთხა სისტემამდე.თუ სისტემის ეტაპობრივ ფორმამდე დაყვანის პროცესში გამოჩნდება ნულოვანი განტოლებები, ე.ი. 0=0 ფორმის ტოლობები, ისინი უგულებელყოფილია. თუ გამოჩნდება ფორმის განტოლება
მაშინ ეს მიუთითებს სისტემის შეუთავსებლობაზე. სწორედ აქ მთავრდება გაუსის მეთოდის პირდაპირი პროგრესი.
2. საპირისპირო ინსულტი.
მეორე ეტაპზე ხორციელდება ეგრეთ წოდებული საპირისპირო მოძრაობა, რომლის არსი არის ყველა მიღებული ძირითადი ცვლადის გამოხატვა არასაბაზისო მნიშვნელობით და ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემის აგება, ან თუ ყველა ცვლადი ძირითადია. , შემდეგ გამოთქვით წრფივი განტოლებათა სისტემის ერთადერთი ამონახსნი.
ეს პროცედურა იწყება ბოლო განტოლებით, საიდანაც გამოიხატება შესაბამისი ძირითადი ცვლადი (მასში მხოლოდ ერთია) და ჩანაცვლებულია წინა განტოლებებით და ა.შ.
თითოეული ხაზი შეესაბამება ზუსტად ერთ საბაზისო ცვლადს, ასე რომ, ყოველ ნაბიჯზე, გარდა ბოლო (უმაღლესი), სიტუაცია ზუსტად იმეორებს ბოლო ხაზის შემთხვევას.
შენიშვნა: პრაქტიკაში უფრო მოსახერხებელია მუშაობა არა სისტემასთან, არამედ მის გაფართოებულ მატრიცასთან, მის მწკრივებზე ყველა ელემენტარული ტრანსფორმაციის შესრულებით. მოსახერხებელია, რომ a11 კოეფიციენტი იყოს 1-ის ტოლი (გადააწყვეთ განტოლებები, ან გაყავით განტოლების ორივე მხარე a11-ზე).
2.2 SLAE-ების ამოხსნის მაგალითები გაუსის მეთოდით
ამ განყოფილებაში არის სამი სხვადასხვა მაგალითებიმოდით ვაჩვენოთ, თუ როგორ შეუძლია გაუსის მეთოდს გადაჭრას SLAE.
მაგალითი 1. ამოხსენით მე-3 რიგის SLAE.
მოდით გადავაყენოთ კოეფიციენტები
მეორე და მესამე სტრიქონებში. ამისათვის გაამრავლეთ ისინი შესაბამისად 2/3 და 1-ზე და დაამატეთ ისინი პირველ სტრიქონში:
მოდით მივცეთ წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემა, რომელიც უნდა ამოხსნას (იპოვეთ xi უცნობის ისეთი მნიშვნელობები, რომლებიც სისტემის თითოეულ განტოლებას ტოლობაში აქცევს).
ჩვენ ვიცით, რომ წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემას შეუძლია:
1) არ აქვს გადაწყვეტილებები (იყოს არაერთობლივი).
2) აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი.
3) გქონდეთ ერთი გამოსავალი.
როგორც გვახსოვს, კრამერის წესი და მატრიცული მეთოდიისინი შეუფერებელია იმ შემთხვევებში, როდესაც სისტემას აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი ან არათანმიმდევრულია. გაუსის მეთოდი – ყველაზე მძლავრი და მრავალმხრივი ინსტრუმენტი ნებისმიერი წრფივი განტოლების სისტემის ამოხსნის საპოვნელად, რომელიც ყოველ შემთხვევაშიმიგვიყვანს პასუხამდე! თავად მეთოდის ალგორითმი სამივე შემთხვევაში ერთნაირად მუშაობს. თუ კრამერის და მატრიცული მეთოდები მოითხოვს დეტერმინანტების ცოდნას, მაშინ გაუსის მეთოდის გამოსაყენებლად საჭიროა მხოლოდ არითმეტიკული მოქმედებების ცოდნა, რაც მას ხელმისაწვდომს ხდის დაწყებითი სკოლის მოსწავლეებისთვისაც კი.
გაძლიერებული მატრიცის გარდაქმნები ( ეს არის სისტემის მატრიცა - მატრიცა, რომელიც შედგება მხოლოდ უცნობის კოეფიციენტებისგან, პლუს თავისუფალი ტერმინების სვეტი)წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემები გაუსის მეთოდით:
1) თან ტროკიმატრიცები შეუძლია გადაწყობაზოგან.
2) თუ პროპორციული პირობა გამოჩნდა (ან არსებობს) მატრიცაში (როგორც განსაკუთრებული შემთხვევა– იდენტური) ხაზები, შემდეგ მიჰყვება წაშლაყველა ეს მწკრივი არის მატრიციდან ერთის გარდა.
3) თუ გარდაქმნების დროს მატრიცაში ჩნდება ნულოვანი მწკრივი, მაშინ ისიც უნდა იყოს წაშლა.
4) მატრიცის მწკრივი შეიძლება იყოს გამრავლება (გაყოფა)ნებისმიერ რიცხვზე ნულის გარდა.
5) მატრიცის მწკრივზე შეგიძლიათ დაამატეთ კიდევ ერთი სტრიქონი, გამრავლებული რიცხვით, განსხვავდება ნულიდან.
გაუსის მეთოდში ელემენტარული გარდაქმნები არ ცვლის განტოლებათა სისტემის ამონახსნებს.
გაუსის მეთოდი შედგება ორი ეტაპისგან:
- "პირდაპირი მოძრაობა" - ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით, მიიტანეთ წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის გაფართოებული მატრიცა "სამკუთხა" საფეხურის ფორმამდე: ძირითადი დიაგონალის ქვემოთ მდებარე გაფართოებული მატრიცის ელემენტები ნულის ტოლია (ზემოდან ქვევით მოძრაობა). მაგალითად, ამ ტიპისთვის:
ამისათვის შეასრულეთ შემდეგი ნაბიჯები:
1) განვიხილოთ წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემის პირველი განტოლება და x 1-ის კოეფიციენტი უდრის K. მეორე, მესამე და ა.შ. განტოლებებს ვცვლით შემდეგნაირად: თითოეულ განტოლებას (უცნობების კოეფიციენტები, თავისუფალი ტერმინების ჩათვლით) ვყოფთ უცნობის კოეფიციენტზე x 1 თითოეულ განტოლებაში და ვამრავლებთ K-ზე. ამის შემდეგ, პირველს ვაკლებთ მეორე განტოლებას ( უცნობთა და თავისუფალი ტერმინების კოეფიციენტები). მეორე განტოლებაში x 1-ს ვიღებთ კოეფიციენტს 0. მესამე გარდაქმნილ განტოლებას ვაკლებთ პირველ განტოლებას, სანამ პირველის გარდა ყველა განტოლებას, უცნობი x 1-ისთვის არ ექნება კოეფიციენტი 0.
2) გადავიდეთ შემდეგ განტოლებაზე. მოდით ეს იყოს მეორე განტოლება და კოეფიციენტი x 2-ის ტოლი M-ის. ჩვენ ვაგრძელებთ ყველა „ქვედა“ განტოლებას, როგორც ზემოთ იყო აღწერილი. ამრიგად, უცნობი x 2-ის ქვეშ, ყველა განტოლებაში იქნება ნულები.
3) გადადით შემდეგ განტოლებაზე და ასე შემდეგ, სანამ არ დარჩება ბოლო უცნობი და გარდაქმნილი თავისუფალი წევრი.
- გაუსის მეთოდის "უკუ სვლა" არის წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის ამოხსნის მიღება (სვლა "ქვემოდან ზევით"). ბოლო "ქვედა" განტოლებიდან ვიღებთ პირველ ამონახსანს - უცნობი x n. ამისათვის ჩვენ ვხსნით ელემენტარულ განტოლებას A * x n = B. ზემოთ მოცემულ მაგალითში x 3 = 4. ჩვენ ვცვლით ნაპოვნი მნიშვნელობას "ზედა" მომდევნო განტოლებაში და ვხსნით მას შემდეგი უცნობის მიმართ. მაგალითად, x 2 – 4 = 1, ე.ი. x 2 = 5. და ასე შემდეგ სანამ არ ვიპოვით ყველა უცნობს.
მაგალითი.
მოდით გადავჭრათ წრფივი განტოლებების სისტემა გაუსის მეთოდით, როგორც ზოგიერთი ავტორი გვირჩევს:
მოდით ჩამოვწეროთ სისტემის გაფართოებული მატრიცა და ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით მივიყვანოთ იგი ეტაპობრივ ფორმამდე:
ჩვენ ვუყურებთ ზედა მარცხენა "ნაბიჯს". იქ უნდა გვქონდეს. პრობლემა ისაა, რომ პირველ სვეტში საერთოდ არ არის ერთეული, ამიტომ რიგების გადაწყობა ვერაფერს გადაჭრის. ასეთ შემთხვევებში, დანაყოფი უნდა იყოს ორგანიზებული ელემენტარული ტრანსფორმაციის გამოყენებით. ეს ჩვეულებრივ შეიძლება გაკეთდეს რამდენიმე გზით. Მოდი გავაკეთოთ ეს:
1 ნაბიჯი
. პირველ სტრიქონს ვამატებთ მეორე სტრიქონს, გამრავლებული –1-ზე. ანუ გონებრივად გავამრავლეთ მეორე სტრიქონი –1-ზე და დავამატეთ პირველი და მეორე სტრიქონები, ხოლო მეორე ხაზი არ შეცვლილა.
ახლა ზედა მარცხენა მხარეს არის "მინუს ერთი", რომელიც საკმაოდ კარგად გვერგება. ვისაც სურს მიიღოს +1, შეუძლია შეასრულოს დამატებითი მოქმედება: გაამრავლოს პირველი ხაზი –1-ზე (შეცვალეთ მისი ნიშანი).
ნაბიჯი 2 . პირველი 5-ზე გამრავლებული მეორე სტრიქონს დაემატა, პირველი 3-ზე გამრავლებული მესამე სტრიქონს.
ნაბიჯი 3 . პირველი ხაზი გამრავლდა -1-ზე, პრინციპში, ეს არის სილამაზისთვის. შეიცვალა მესამე ხაზის ნიშანიც და გადავიდა მეორე ადგილზე, ისე რომ მეორე „საფეხურზე“ გვქონდა საჭირო ერთეული.
ნაბიჯი 4 . მეორე სტრიქონს დაემატა მესამე სტრიქონი, გამრავლებული 2-ზე.
ნაბიჯი 5 . მესამე ხაზი იყოფა 3-ზე.
ნიშანი, რომელიც მიუთითებს გამოთვლების შეცდომაზე (უფრო იშვიათად, ბეჭდვითი შეცდომა) არის "ცუდი" ქვედა ხაზი. ანუ, თუ ქვემოთ მივიღებთ რაღაცას (0 0 11 |23) და, შესაბამისად, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, მაშინ დიდი წილიალბათობა, შეიძლება ითქვას, რომ შეცდომა დაშვებულია ელემენტარული გარდაქმნების დროს.
მოდით გავაკეთოთ პირიქით; მაგალითების დიზაინში, თავად სისტემა ხშირად არ იწერება, მაგრამ განტოლებები "მიღებულია პირდაპირ მოცემული მატრიციდან". საპირისპირო მოძრაობა, შეგახსენებთ, მუშაობს ქვემოდან ზევით. ამ მაგალითში შედეგი იყო საჩუქარი:
x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, შესაბამისად x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1
უპასუხე:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.
მოდით გადავჭრათ იგივე სისტემა შემოთავაზებული ალგორითმის გამოყენებით. ვიღებთ
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
მეორე განტოლება გავყოთ 5-ზე, ხოლო მესამე 3-ზე. მივიღებთ:
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
მეორე და მესამე განტოლების 4-ზე გამრავლებით მივიღებთ:
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
გამოვაკლოთ პირველი განტოლება მეორე და მესამე განტოლებებს, გვაქვს:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
მესამე განტოლება გავყოთ 0,64-ზე:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
გავამრავლოთ მესამე განტოლება 0,4-ზე
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
მეორეს მესამე განტოლებას გამოვაკლებთ, მივიღებთ „ნაბიჯ“ გაფართოებულ მატრიცას:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
ამრიგად, რადგან გამოთვლების დროს დაგროვილი შეცდომა, ჩვენ ვიღებთ x 3 = 0.96 ან დაახლოებით 1.
x 2 = 3 და x 1 = –1.
ამგვარად ამოხსნით არასოდეს დაიბნევით გამოთვლებში და, მიუხედავად გაანგარიშების შეცდომებისა, მიიღებთ შედეგს.
ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების სისტემის ამოხსნის ეს მეთოდი მარტივი დასაპროგრამებელია და არ ითვალისწინებს სპეციფიკური მახასიათებლებიკოეფიციენტები უცნობისთვის, რადგან პრაქტიკაში (ეკონომიკურ და ტექნიკურ გამოთვლებში) საქმე გვაქვს არამთლიანი კოეფიციენტებთან.
Წარმატებას გისურვებ! შევხვდებით კლასში! დამრიგებელი დიმიტრი აისტრახანოვი.
ვებსაიტზე, მასალის სრულად ან ნაწილობრივ კოპირებისას საჭიროა წყაროს ბმული.
ამ სტატიაში მეთოდი განიხილება, როგორც წრფივი განტოლებების სისტემების (SLAEs) ამოხსნის მეთოდი. მეთოდი არის ანალიტიკური, ანუ ის საშუალებას გაძლევთ ჩაწეროთ ამოხსნის ალგორითმი ზოგადი ხედიდა შემდეგ შეცვალეთ მნიშვნელობები კონკრეტული მაგალითებიდან. მატრიცული მეთოდისგან ან კრამერის ფორმულებისგან განსხვავებით, გაუსის მეთოდით წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნისას, ასევე შეგიძლიათ იმუშაოთ მათთან, რომლებსაც აქვთ ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა. ან საერთოდ არ აქვთ.
რას ნიშნავს ამოხსნა გაუსის მეთოდით?
პირველ რიგში, ჩვენ უნდა დავწეროთ ჩვენი განტოლებათა სისტემა ეს ასე გამოიყურება. მიიღეთ სისტემა:
კოეფიციენტები იწერება ცხრილის სახით, ხოლო თავისუფალი ტერმინები იწერება ცალკე სვეტში მარჯვნივ. უფასო ტერმინების მქონე სვეტი გამოყოფილია მოხერხებულობისთვის.მატრიცას, რომელიც მოიცავს ამ სვეტს, ეწოდება გაფართოებული.
შემდეგი, ძირითადი მატრიცა კოეფიციენტებით უნდა შემცირდეს ზედა სამკუთხა ფორმამდე. ეს არის გაუსის მეთოდის გამოყენებით სისტემის ამოხსნის მთავარი პუნქტი. მარტივად რომ ვთქვათ, გარკვეული მანიპულაციების შემდეგ, მატრიცა უნდა გამოიყურებოდეს ისე, რომ მისი ქვედა მარცხენა ნაწილი შეიცავდეს მხოლოდ ნულებს:
შემდეგ, თუ ახალ მატრიცას კვლავ დაწერთ განტოლებათა სისტემის სახით, შეამჩნევთ, რომ ბოლო მწკრივი უკვე შეიცავს ერთ-ერთი ფესვის მნიშვნელობას, რომელიც შემდეგ ჩანაცვლებულია ზემოთ განტოლებაში, იპოვება სხვა ფესვი და ა.შ.
ეს არის ყველაზე მეტად გაუსის მეთოდით ამოხსნის აღწერა ზოგადი მონახაზი. რა მოხდება, თუ მოულოდნელად სისტემას გამოსავალი არ აქვს? ან უსასრულოდ ბევრია? ამ და ბევრ სხვა კითხვებზე პასუხის გასაცემად აუცილებელია ცალ-ცალკე განვიხილოთ ყველა ის ელემენტი, რომლებიც გამოიყენება გაუსის მეთოდის ამოხსნისას.
მატრიცები, მათი თვისებები
მატრიცაში ფარული მნიშვნელობა არ არის. Ეს მარტივია მოსახერხებელი გზამათთან შემდგომი ოპერაციების მონაცემების ჩაწერა. სკოლის მოსწავლეებსაც არ სჭირდებათ მათი შიში.
მატრიცა ყოველთვის მართკუთხაა, რადგან ის უფრო მოსახერხებელია. გაუსის მეთოდშიც კი, სადაც ყველაფერი სამკუთხა ფორმის მატრიცის აგებამდე მიდის, ჩანაწერში ჩნდება მართკუთხედი, მხოლოდ ნულებით იმ ადგილას, სადაც რიცხვები არ არის. ნულები შეიძლება არ იწერებოდეს, მაგრამ ისინი იგულისხმება.
მატრიცას აქვს ზომა. მისი "სიგანე" არის რიგების რაოდენობა (მ), "სიგრძე" არის სვეტების რაოდენობა (n). მაშინ A მატრიცის ზომა (მათ აღსანიშნავად ჩვეულებრივ გამოიყენება დიდი ლათინური ასოები) აღინიშნა როგორც A m×n. თუ m=n, მაშინ ეს მატრიცა არის კვადრატი, ხოლო m=n არის მისი რიგი. შესაბამისად, A მატრიცის ნებისმიერი ელემენტი შეიძლება აღინიშნოს მისი მწკრივისა და სვეტის ნომრებით: a xy ; x - რიგის ნომერი, ცვლილებები, y - სვეტის ნომერი, ცვლილებები.
B არ არის გადაწყვეტილების მთავარი წერტილი. პრინციპში, ყველა ოპერაცია შეიძლება შესრულდეს უშუალოდ განტოლებით, მაგრამ აღნიშვნა ბევრად უფრო რთული იქნება და მასში დაბნეულობა ბევრად უფრო ადვილი იქნება.
განმსაზღვრელი
მატრიცას ასევე აქვს განმსაზღვრელი. ეს ძალიან მნიშვნელოვანი მახასიათებელი. ახლა არ არის საჭირო მისი მნიშვნელობის გარკვევა; შეგიძლიათ უბრალოდ აჩვენოთ, როგორ გამოითვლება და შემდეგ თქვათ მატრიცის რა თვისებებს განსაზღვრავს იგი. დეტერმინანტის პოვნის უმარტივესი გზაა დიაგონალები. მატრიცაში გამოსახულია წარმოსახვითი დიაგონალები; თითოეულ მათგანზე მდებარე ელემენტები მრავლდება, შემდეგ კი მიღებულ პროდუქტებს ემატება: დიაგონალები ფერდობზე მარჯვნივ - პლუს ნიშნით, მარცხნივ დახრილობით - მინუს ნიშნით.
ძალზე მნიშვნელოვანია აღინიშნოს, რომ განმსაზღვრელი შეიძლება გამოითვალოს მხოლოდ კვადრატული მატრიცისთვის. მართკუთხა მატრიცისთვის შეგიძლიათ გააკეთოთ შემდეგი: შეარჩიეთ ყველაზე პატარა სტრიქონების და სვეტების რიცხვიდან (დავცეთ k), და შემდეგ შემთხვევით მონიშნეთ k სვეტი და k სტრიქონი მატრიცაში. არჩეული სვეტებისა და რიგების კვეთაზე მდებარე ელემენტები შექმნიან ახალ კვადრატულ მატრიცას. თუ ასეთი მატრიცის განმსაზღვრელი არის არანულოვანი რიცხვი, მას უწოდებენ ორიგინალური მართკუთხა მატრიცის საფუძველს.
სანამ გაუსიანი მეთოდით განტოლებათა სისტემის ამოხსნას დაიწყებდეთ, დეტერმინანტის გამოთვლა არაფერ შუაშია. თუ აღმოჩნდება ნული, მაშინვე შეგვიძლია ვთქვათ, რომ მატრიცას აქვს ან უსასრულო რაოდენობის ამონახსნები, ან საერთოდ არცერთი. ასეთ სამწუხარო შემთხვევაში, თქვენ უნდა წახვიდეთ უფრო შორს და გაიგოთ მატრიცის რანგის შესახებ.
სისტემის კლასიფიკაცია
არსებობს ისეთი რამ, როგორიცაა მატრიცის წოდება. ეს არის მისი არანულოვანი დეტერმინანტის მაქსიმალური რიგი (თუ ჩვენ გავიხსენებთ საბაზისო მინორის შესახებ, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ მატრიცის რანგი არის საბაზისო მინორის რიგი).
რანგთან დაკავშირებული სიტუაციიდან გამომდინარე, SLAE შეიძლება დაიყოს:
- ერთობლივი. უერთობლივ სისტემებში მთავარი მატრიცის რანგი (რომელიც მხოლოდ კოეფიციენტებისგან შედგება) ემთხვევა გაფართოებული მატრიცის რანგის (თავისუფალი ტერმინების სვეტით). ასეთ სისტემებს აქვთ გამოსავალი, მაგრამ არა აუცილებლად ერთი, ამიტომ დამატებით ერთობლივი სისტემები იყოფა:
- - გარკვეული- აქვს ერთი გამოსავალი. გარკვეულ სისტემებში მატრიცის რანგი და უცნობის რაოდენობა (ან სვეტების რაოდენობა, რაც იგივეა) ტოლია;
- - განუსაზღვრელი -უსასრულო რაოდენობის ამონახსნებით. ასეთ სისტემებში მატრიცების რანგი ნაკლებია უცნობის რაოდენობაზე.
- შეუთავსებელი. უასეთ სისტემებში ძირითადი და გაფართოებული მატრიცების რიგები ერთმანეთს არ ემთხვევა. შეუთავსებელ სისტემებს გამოსავალი არ აქვს.
გაუსის მეთოდი კარგია, რადგან ამოხსნის დროს ის საშუალებას იძლევა მივიღოთ ან სისტემის შეუსაბამობის ცალსახა მტკიცებულება (დიდი მატრიცების განმსაზღვრელების გამოთვლის გარეშე), ან ამონახსნის ზოგადი ფორმით სისტემისთვის, უსასრულო რაოდენობის ამონახსნებით.
ელემენტარული გარდაქმნები
სანამ პირდაპირ გადაწყვეტთ სისტემას, შეგიძლიათ გახადოთ ის ნაკლებად რთული და უფრო მოსახერხებელი გამოთვლებისთვის. ეს მიიღწევა ელემენტარული გარდაქმნებით – ისეთი, რომ მათი განხორციელება არანაირად არ ცვლის საბოლოო პასუხს. უნდა აღინიშნოს, რომ ზოგიერთი მოცემული ელემენტარული ტრანსფორმაცია მოქმედებს მხოლოდ მატრიცებისთვის, რომელთა წყარო იყო SLAE. აქ არის ამ გარდაქმნების სია:
- ხაზების გადაწყობა. ცხადია, თუ სისტემურ ჩანაწერში შეცვლით განტოლებების თანმიმდევრობას, ეს არანაირად არ იმოქმედებს ამოხსნაზე. შესაბამისად, ამ სისტემის მატრიცის რიგები ასევე შეიძლება შეიცვალოს, რა თქმა უნდა, არ დაივიწყოს თავისუფალი ტერმინების სვეტი.
- სტრიქონის ყველა ელემენტის გამრავლება გარკვეულ კოეფიციენტზე. Ძალიან დამხმარე! მისი გამოყენება შესაძლებელია შესამცირებლად დიდი რიცხვებიმატრიცაში ან ამოიღეთ ნულები. ბევრი გადაწყვეტილება, როგორც ყოველთვის, არ შეიცვლება, მაგრამ შემდგომი ოპერაციები უფრო მოსახერხებელი გახდება. მთავარია, რომ კოეფიციენტი არ იყოს ნულის ტოლი.
- პროპორციული ფაქტორებით რიგების ამოღება. ეს ნაწილობრივ გამომდინარეობს წინა პუნქტიდან. თუ მატრიცაში ორ ან მეტ სტრიქონს აქვს პროპორციული კოეფიციენტები, მაშინ როდესაც ერთ-ერთი მწკრივი გამრავლდება/იყოფა პროპორციულობის კოეფიციენტზე, მიიღება ორი (ან კიდევ მეტი) აბსოლუტურად იდენტური მწკრივი, ხოლო დამატებითი შეიძლება ამოღებულ იქნეს და დატოვონ მხოლოდ ერთი.
- ნულოვანი ხაზის ამოღება. თუ ტრანსფორმაციის დროს სადმე მიიღება მწკრივი, რომელშიც ყველა ელემენტი, მათ შორის თავისუფალი ვადა, არის ნულოვანი, მაშინ ასეთ მწკრივს შეიძლება ეწოდოს ნული და გადააგდეს მატრიციდან.
- ერთი რიგის ელემენტებს ემატება მეორის ელემენტები (შესაბამის სვეტებში), გამრავლებული გარკვეულ კოეფიციენტზე. ყველაზე გაუგებარი და ყველაზე მნიშვნელოვანი ტრანსფორმაცია. ღირს ამაზე უფრო დეტალურად საუბარი.
კოეფიციენტზე გამრავლებული სტრიქონის დამატება
გასაგებად, ღირს ამ პროცესის ეტაპობრივად დაშლა. ორი სტრიქონი აღებულია მატრიციდან:
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a 21 a 22 ... a 2n | ბ 2
ვთქვათ, თქვენ უნდა დაამატოთ პირველი მეორეს, გამრავლებული კოეფიციენტზე "-2".
a" 21 = a 21 + -2×a 11
a" 22 = a 22 + -2×a 12
a" 2n = a 2n + -2×a 1n
შემდეგ მატრიცაში მეორე რიგი იცვლება ახლით და პირველი უცვლელი რჩება.
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2
გასათვალისწინებელია, რომ გამრავლების კოეფიციენტი შეიძლება შეირჩეს ისე, რომ ორი მწკრივის მიმატების შედეგად ახალი მწკრივის ერთ-ერთი ელემენტი ნულის ტოლი იყოს. აქედან გამომდინარე, შესაძლებელია განტოლების მიღება სისტემაში, სადაც იქნება ერთი ნაკლები უცნობი. და თუ თქვენ მიიღებთ ორ ასეთ განტოლებას, მაშინ ოპერაცია შეიძლება განმეორდეს და მიიღოთ განტოლება, რომელიც შეიცავს ორ ნაკლებ უცნობს. და თუ ყოველ ჯერზე გადააქცევთ ყველა მწკრივის ერთ კოეფიციენტს, რომლებიც თავდაპირველის ქვემოთაა, მაშინ შეგიძლიათ, კიბეების მსგავსად, ჩახვიდეთ მატრიცის ბოლოში და მიიღოთ განტოლება ერთი უცნობით. ამას ჰქვია სისტემის ამოხსნა გაუსის მეთოდით.
Ზოგადად
დაე, იყოს სისტემა. მას აქვს m განტოლებები და n უცნობი ფესვები. შეგიძლიათ დაწეროთ შემდეგნაირად:
ძირითადი მატრიცა შედგენილია სისტემის კოეფიციენტებიდან. უფასო ტერმინების სვეტი ემატება გაფართოებულ მატრიცას და, მოხერხებულობისთვის, გამოყოფილია ხაზით.
- მატრიცის პირველი მწკრივი მრავლდება კოეფიციენტით k = (-a 21 /a 11);
- ემატება მატრიცის პირველი შეცვლილი მწკრივი და მეორე მწკრივი;
- მეორე რიგის ნაცვლად მატრიცაში ჩასმულია წინა აბზაცის მიმატების შედეგი;
- ახლა პირველი კოეფიციენტი ახალ მეორე რიგში არის 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.
ახლა შესრულებულია გარდაქმნების იგივე სერია, ჩართულია მხოლოდ პირველი და მესამე რიგები. შესაბამისად, ალგორითმის თითოეულ საფეხურზე ელემენტი a 21 იცვლება 31-ით. შემდეგ ყველაფერი მეორდება 41, ... m1-ისთვის. შედეგი არის მატრიცა, სადაც პირველი ელემენტი რიგებში არის ნული. ახლა თქვენ უნდა დაივიწყოთ ხაზი ნომერი პირველი და შეასრულოთ იგივე ალგორითმი, დაწყებული ხაზიდან მეორედან:
- კოეფიციენტი k = (-a 32 /a 22);
- მეორე შეცვლილი ხაზი ემატება „მიმდინარე“ ხაზს;
- დამატების შედეგი ჩანაცვლებულია მესამე, მეოთხე და ასე შემდეგ ხაზებში, ხოლო პირველი და მეორე უცვლელი რჩება;
- მატრიცის რიგებში პირველი ორი ელემენტი უკვე ნულის ტოლია.
ალგორითმი უნდა განმეორდეს მანამ, სანამ არ გამოჩნდება კოეფიციენტი k = (-a m,m-1 /a mm). ეს ნიშნავს, რომ ბოლო დროს ალგორითმი შესრულდა მხოლოდ ქვედა განტოლებისთვის. ახლა მატრიცა სამკუთხედს ჰგავს, ან აქვს საფეხურიანი ფორმა. ქვედა ხაზში არის ტოლობა a mn × x n = b m. კოეფიციენტი და თავისუფალი წევრი ცნობილია და მათი მეშვეობით ძირი გამოიხატება: x n = b m /a mn. შედეგად ფესვი ჩანაცვლებულია ზედა ხაზში, რათა იპოვონ x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. და ასე შემდეგ ანალოგიით: ყოველ მომდევნო სტრიქონში არის ახალი ფესვი და, სისტემის "ზევით" მიღწევის შემდეგ, შეგიძლიათ იპოვოთ მრავალი გამოსავალი. ეს იქნება ერთადერთი.
როცა გამოსავალი არ არის
თუ მატრიცის ერთ-ერთ მწკრივში თავისუფალი ტერმინის გარდა ყველა ელემენტი ნულის ტოლია, მაშინ ამ მწკრივის შესაბამისი განტოლება გამოიყურება 0 = b. გამოსავალი არ აქვს. და რადგან ასეთი განტოლება შედის სისტემაში, მაშინ მთელი სისტემის ამონახსნთა სიმრავლე ცარიელია, ანუ დეგენერირებულია.
როცა ამონახსნების უსასრულო რაოდენობაა
შეიძლება მოხდეს, რომ მოცემულ სამკუთხა მატრიცაში არ იყოს რიგები განტოლების ერთი კოეფიციენტის ელემენტით და ერთი თავისუფალი წევრით. არსებობს მხოლოდ სტრიქონები, რომლებიც გადაწერისას გამოიყურებიან განტოლებას ორი ან მეტი ცვლადით. ეს ნიშნავს, რომ სისტემას აქვს უსასრულო რაოდენობის გადაწყვეტილებები. ამ შემთხვევაში პასუხის გაცემა შესაძლებელია ზოგადი ამოხსნის სახით. Როგორ გავაკეთო ეს?
მატრიცაში ყველა ცვლადი იყოფა ძირითად და თავისუფალებად. ძირითადი არის ის, ვინც დგას ნაბიჯების მატრიცის რიგების "კიდეზე". დანარჩენი უფასოა. ზოგად ამოხსნაში ძირითადი ცვლადები იწერება თავისუფალი ცვლადების მეშვეობით.
მოხერხებულობისთვის, მატრიცა პირველად გადაიწერება განტოლებების სისტემაში. შემდეგ მათგან ბოლოში, სადაც ზუსტად არის დარჩენილი ერთი ძირითადი ცვლადი, ის რჩება ერთ მხარეს, დანარჩენი კი მეორეზე გადადის. ეს კეთდება ყველა განტოლებისთვის ერთი ძირითადი ცვლადით. შემდეგ, დარჩენილ განტოლებებში, სადაც შესაძლებელია, მასზე მიღებული გამოხატულება ჩანაცვლებულია ძირითადი ცვლადის ნაცვლად. თუ შედეგი ისევ არის გამოხატულება, რომელიც შეიცავს მხოლოდ ერთ ძირითად ცვლადს, ის ისევ იქიდან არის გამოხატული და ასე შემდეგ, სანამ თითოეული ძირითადი ცვლადი არ დაიწერება, როგორც გამოხატვის თავისუფალი ცვლადები. ეს არის SLAE-ის ზოგადი გადაწყვეტა.
თქვენ ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ სისტემის ძირითადი გადაწყვეტა - მიეცით უფასო ცვლადებს რაიმე მნიშვნელობა და შემდეგ ამ კონკრეტული შემთხვევისთვის გამოთვალეთ ძირითადი ცვლადების მნიშვნელობები. არსებობს უსასრულო რაოდენობის კონკრეტული გადაწყვეტილებების მიცემა.
გამოსავალი კონკრეტული მაგალითებით
აქ არის განტოლებათა სისტემა.
მოხერხებულობისთვის, უმჯობესია დაუყოვნებლივ შექმნათ მისი მატრიცა
ცნობილია, რომ გაუსის მეთოდით ამოხსნისას პირველი რიგის შესაბამისი განტოლება უცვლელი დარჩება გარდაქმნების ბოლოს. ამიტომ, უფრო მომგებიანი იქნება თუ მარცხნივ ზედა ელემენტიმატრიცა იქნება ყველაზე პატარა - შემდეგ ოპერაციების შემდეგ დარჩენილი რიგების პირველი ელემენტები ნულამდე გადაიქცევა. ეს ნიშნავს, რომ შედგენილ მატრიცაში ხელსაყრელი იქნება მეორე რიგის დაყენება პირველის ნაცვლად.
მეორე ხაზი: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3
a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0
a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7
a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11
b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24
მესამე ხაზი: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5
a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0
a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9
a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18
b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57
ახლა, იმისათვის, რომ არ დაიბნეთ, თქვენ უნდა ჩამოწეროთ მატრიცა ტრანსფორმაციების შუალედური შედეგებით.
ცხადია, ასეთი მატრიცა შეიძლება უფრო მოსახერხებელი გახდეს აღქმისთვის გარკვეული ოპერაციების გამოყენებით. მაგალითად, თქვენ შეგიძლიათ ამოიღოთ ყველა "მინუსები" მეორე სტრიქონიდან თითოეული ელემენტის "-1"-ზე გამრავლებით.
აღსანიშნავია ისიც, რომ მესამე სტრიქონში ყველა ელემენტი არის სამის ჯერადი. შემდეგ შეგიძლიათ შეამციროთ ხაზი ამ რიცხვით, გაამრავლოთ თითოეული ელემენტი "-1/3"-ით (მინუს - ამავე დროს, ამოსაღებად უარყოფითი მნიშვნელობები).
გაცილებით ლამაზად გამოიყურება. ახლა ჩვენ უნდა დავტოვოთ პირველი ხაზი და ვიმუშაოთ მეორეზე და მესამეზე. ამოცანაა მესამე სტრიქონს დავუმატოთ მეორე ხაზი, გამრავლებული ისეთ კოეფიციენტზე, რომ ელემენტი a 32 გახდეს ნულის ტოლი.
k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (თუ ზოგიერთი გარდაქმნის დროს პასუხი არ აღმოჩნდება მთელი რიცხვი, რეკომენდებულია გამოთვლების სიზუსტის შენარჩუნება გასასვლელად. ის „როგორც არის“, სახით საერთო წილადიდა მხოლოდ ამის შემდეგ, როდესაც მიიღებთ პასუხებს, გადაწყვიტეთ დამრგვალოთ და გადაიყვანოთ ჩაწერის სხვა ფორმაზე)
a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0
a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7
b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7
მატრიცა კვლავ იწერება ახალი მნიშვნელობებით.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
როგორც ხედავთ, მიღებულ მატრიცას უკვე აქვს საფეხურიანი ფორმა. ამიტომ, სისტემის შემდგომი გარდაქმნები გაუსის მეთოდით არ არის საჭირო. რა შეიძლება გაკეთდეს აქ არის მესამე ხაზიდან ამოღება საერთო კოეფიციენტი "-1/7".
ახლა ყველაფერი მშვენიერია. რჩება მხოლოდ მატრიცას ხელახლა ჩაწერა განტოლებათა სისტემის სახით და გამოთვალეთ ფესვები
x + 2y + 4z = 12 (1)
7y + 11z = 24 (2)
ალგორითმს, რომლითაც ახლა ვიპოვით ფესვებს, გაუსის მეთოდით საპირისპირო მოძრაობა ეწოდება. განტოლება (3) შეიცავს z მნიშვნელობას:
y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9
და პირველი განტოლება საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ x:
x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3
ჩვენ გვაქვს უფლება ვუწოდოთ ასეთ სისტემას ერთობლივი და თუნდაც გარკვეული, ანუ უნიკალური გადაწყვეტის მქონე. პასუხი იწერება შემდეგი ფორმით:
x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.
გაურკვეველი სისტემის მაგალითი
გაანალიზებულია გაუსის მეთოდით გარკვეული სისტემის ამოხსნის ვარიანტი, ახლა საჭიროა განვიხილოთ შემთხვევა, თუ სისტემა გაურკვეველია, ანუ მისთვის უსასრულოდ ბევრი გამოსავალი მოიძებნება.
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)
x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)
სისტემის გარეგნობა უკვე საგანგაშოა, რადგან უცნობების რაოდენობაა n = 5, ხოლო სისტემის მატრიცის რანგი უკვე ზუსტად ამ რიცხვზე ნაკლებია, რადგან მწკრივების რაოდენობაა m = 4, ანუ, განმსაზღვრელი კვადრატის უდიდესი რიგი არის 4. ეს ნიშნავს, რომ არსებობს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა და თქვენ უნდა მოძებნოთ მისი ზოგადი გარეგნობა. ხაზოვანი განტოლებისთვის გაუსის მეთოდი ამის საშუალებას გაძლევთ.
პირველ რიგში, ჩვეულებისამებრ, შედგენილია გაფართოებული მატრიცა.
მეორე ხაზი: კოეფიციენტი k = (-a 21 /a 11) = -3. მესამე სტრიქონში პირველი ელემენტი არის ტრანსფორმაციების წინ, ასე რომ თქვენ არ გჭირდებათ რაიმეს შეხება, თქვენ უნდა დატოვოთ ის, როგორც არის. მეოთხე ხაზი: k = (-a 4 1 /a 11) = -5
პირველი რიგის ელემენტების თითოეულ კოეფიციენტზე რიგრიგობით გამრავლებით და საჭირო მწკრივებთან მიმატებით, მივიღებთ შემდეგი ფორმის მატრიცას:
როგორც ხედავთ, მეორე, მესამე და მეოთხე რიგები შედგება ერთმანეთის პროპორციული ელემენტებისაგან. მეორე და მეოთხე ზოგადად იდენტურია, ამიტომ ერთი მათგანი შეიძლება ამოღებულ იქნას დაუყოვნებლივ, ხოლო დარჩენილი შეიძლება გავამრავლოთ კოეფიციენტზე „-1“ და მივიღოთ ხაზი ნომერი 3. და ისევ, ორი იდენტური ხაზიდან, დავტოვოთ ერთი.
შედეგი არის ასეთი მატრიცა. მიუხედავად იმისა, რომ სისტემა ჯერ არ არის ჩამოწერილი, აქ აუცილებელია ძირითადი ცვლადების დადგენა - ისინი, რომლებიც დგანან კოეფიციენტებზე a 11 = 1 და 22 = 1, ხოლო თავისუფალი - ყველა დანარჩენი.
მეორე განტოლებაში არის მხოლოდ ერთი ძირითადი ცვლადი - x 2. ეს ნიშნავს, რომ მისი გამოხატვა შესაძლებელია იქიდან მისი ჩაწერით x 3 , x 4 , x 5 ცვლადების საშუალებით, რომლებიც უფასოა.
ჩვენ ვცვლით შედეგად გამოსახულებას პირველ განტოლებაში.
შედეგი არის განტოლება, რომელშიც ერთადერთი ძირითადი ცვლადი არის x 1. მოდით, იგივე მოვიქცეთ, როგორც x 2.
ყველა ძირითადი ცვლადი, რომელთაგან ორია, გამოიხატება სამი თავისუფალის სახით, ახლა შეგვიძლია პასუხი დავწეროთ ზოგადი ფორმით.
თქვენ ასევე შეგიძლიათ მიუთითოთ სისტემის ერთ-ერთი კონკრეტული გადაწყვეტა. ასეთ შემთხვევებში, ნულები, როგორც წესი, არჩეულია უფასო ცვლადების მნიშვნელობებად. მაშინ პასუხი იქნება:
16, 23, 0, 0, 0.
არაკოოპერატიული სისტემის მაგალითი
გაუსის მეთოდით განტოლებათა შეუთავსებელი სისტემების ამოხსნა ყველაზე სწრაფია. ის მაშინვე მთავრდება, როგორც კი ერთ-ერთ საფეხურზე მიიღება განტოლება, რომელსაც არ აქვს ამონახსნი. ანუ ფესვების გამოთვლის ეტაპი, რომელიც საკმაოდ გრძელი და დამღლელია, აღმოფხვრილია. განიხილება შემდეგი სისტემა:
x + y - z = 0 (1)
2x - y - z = -2 (2)
4x + y - 3z = 5 (3)
ჩვეულებისამებრ, მატრიცა შედგენილია:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
და ის მცირდება ეტაპობრივ ფორმამდე:
k 1 = -2k 2 = -4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
პირველი ტრანსფორმაციის შემდეგ, მესამე ხაზი შეიცავს ფორმის განტოლებას
გამოსავლის გარეშე. შესაბამისად, სისტემა არათანმიმდევრულია და პასუხი იქნება ცარიელი ნაკრები.
მეთოდის უპირატესობები და უარყოფითი მხარეები
თუ აირჩევთ რომელი მეთოდით გადაჭრით SLAE-ები ქაღალდზე კალმით, მაშინ მეთოდი, რომელიც ამ სტატიაში იყო განხილული, ყველაზე მიმზიდველად გამოიყურება. გაცილებით რთულია ელემენტარულ გარდაქმნებში დაბნეულობა, ვიდრე თუ ხელით მოგიწევთ დეტერმინანტის ან რაიმე რთული ინვერსიული მატრიცის ძიება. ამასთან, თუ იყენებთ პროგრამებს ამ ტიპის მონაცემებთან მუშაობისთვის, მაგალითად, ცხრილები, მაშინ გამოდის, რომ ასეთი პროგრამები უკვე შეიცავს მატრიცების ძირითადი პარამეტრების გამოთვლის ალგორითმებს - განმსაზღვრელი, მცირე, ინვერსიული და ა.შ. და თუ დარწმუნებული ხართ, რომ მანქანა თავად გამოთვლის ამ მნიშვნელობებს და არ დაუშვებს შეცდომებს, მიზანშეწონილია გამოიყენოთ მატრიცის მეთოდი ან კრამერის ფორმულები, რადგან მათი გამოყენება იწყება და მთავრდება დეტერმინანტებისა და შებრუნებული მატრიცების გაანგარიშებით. .
განაცხადი
ვინაიდან გაუსის ამოხსნა არის ალგორითმი, ხოლო მატრიცა რეალურად არის ორგანზომილებიანი მასივი, ის შეიძლება გამოყენებულ იქნას პროგრამირებაში. მაგრამ იმის გამო, რომ სტატია პოზიციონირებს როგორც გზამკვლევი „მაგებისთვის“, უნდა ითქვას, რომ მეთოდის ჩასმის ყველაზე მარტივი ადგილი არის ცხრილები, მაგალითად, Excel. ისევ, ნებისმიერი SLAE, რომელიც შეყვანილია ცხრილში მატრიცის სახით, განიხილება Excel-ის მიერ, როგორც ორგანზომილებიანი მასივი. მათთან ოპერაციებისთვის კი ბევრი კარგი ბრძანებაა: დამატება (შეგიძლიათ მხოლოდ იმავე ზომის მატრიცების დამატება!), რიცხვზე გამრავლება, მატრიცების გამრავლება (ასევე გარკვეული შეზღუდვებით), შებრუნებული და ტრანსპონირებული მატრიცების პოვნა და რაც მთავარია. , დეტერმინანტის გამოთვლა. თუ ეს შრომატევადი დავალება ჩანაცვლდება ერთი ბრძანებით, შესაძლებელია მატრიცის რანგის ბევრად უფრო სწრაფად დადგენა და, შესაბამისად, მისი თავსებადობის ან შეუთავსებლობის დადგენა.
მოდით, სისტემა იყოს მოცემული, ∆≠0. (1)გაუსის მეთოდიარის უცნობების თანმიმდევრული აღმოფხვრის მეთოდი.
გაუსის მეთოდის არსი არის (1) გარდაქმნა სისტემაში სამკუთხა მატრიცით, საიდანაც ყველა უცნობის მნიშვნელობა მიიღება თანმიმდევრობით (უკუ). განვიხილოთ ერთ-ერთი გამოთვლითი სქემა. ამ წრეს ეწოდება ერთი გაყოფის წრე. მოდით შევხედოთ ამ დიაგრამას. მოდით 11 ≠0 (წამყვანი ელემენტი) გავყოთ პირველი განტოლება 11-ზე. ვიღებთ
(2)
განტოლების (2) გამოყენებით, მარტივია ამოიღოთ უცნობი x 1 სისტემის დარჩენილი განტოლებებიდან (ამისთვის საკმარისია გამოვაკლოთ განტოლება (2) თითოეულ განტოლებას, ადრე გამრავლებული x 1-ის შესაბამისი კოეფიციენტით). , ანუ პირველ საფეხურზე ვიღებთ
.
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, 1-ელ საფეხურზე, მომდევნო მწკრივების თითოეული ელემენტი, მეორედან დაწყებული, უდრის განსხვავებას თავდაპირველ ელემენტსა და მისი „პროექციის“ ნამრავლს შორის პირველ სვეტსა და პირველ (გარდაქმნილ) მწკრივზე.
ამის შემდეგ, პირველ განტოლებას მარტო დავტოვებთ, ჩვენ ვასრულებთ მსგავს ტრანსფორმაციას პირველ ეტაპზე მიღებულ სისტემის დანარჩენ განტოლებებზე: მათგან ვირჩევთ განტოლებას წამყვანი ელემენტთან და მისი დახმარებით გამოვრიცხავთ x 2-ს დარჩენილიდან. განტოლებები (ნაბიჯი 2).
n ნაბიჯის შემდეგ, (1) ნაცვლად ვიღებთ ეკვივალენტურ სისტემას 
(3)
ამრიგად, პირველ ეტაპზე ვიღებთ სამკუთხა სისტემას (3). ამ სტადიას წინა ინსულტი ეწოდება.
მეორე ეტაპზე (უკუ), ვპოულობთ თანმიმდევრულად (3) მნიშვნელობებს x n, x n -1, ..., x 1.
მივიღოთ მიღებული ამონახსნი x 0-ით. მაშინ სხვაობა ε=b-A x 0 ნარჩენი ეწოდება.
თუ ε=0, მაშინ ნაპოვნი ამონახსნი x 0 სწორია.
გაუსის მეთოდის გამოყენებით გამოთვლები ხორციელდება ორ ეტაპად:
- პირველ ეტაპს ეწოდება წინსვლის მეთოდი. პირველ ეტაპზე ორიგინალური სისტემა გარდაიქმნება სამკუთხა ფორმაში.
- მეორე სტადიას საპირისპირო ინსულტი ეწოდება. მეორე ეტაპზე წყდება ორიგინალის ექვივალენტური სამკუთხა სისტემა.
ყოველ საფეხურზე წამყვანი ელემენტი ითვლებოდა ნულოვანი. თუ ეს ასე არ არის, მაშინ ნებისმიერი სხვა ელემენტი შეიძლება გამოყენებულ იქნას როგორც წამყვანი ელემენტი, თითქოს სისტემის განტოლებების გადალაგება.
გაუსის მეთოდის მიზანი
გაუსის მეთოდი განკუთვნილია წრფივი განტოლებების სისტემების გადასაჭრელად. ეხება პირდაპირი გადაწყვეტის მეთოდებს.გაუსის მეთოდის სახეები
- კლასიკური გაუსის მეთოდი;
- გაუსის მეთოდის ცვლილებები. გაუსის მეთოდის ერთ-ერთი მოდიფიკაცია არის სქემა ძირითადი ელემენტის არჩევით. გაუსის მეთოდის მახასიათებელი ძირითადი ელემენტის არჩევით არის განტოლებების ისეთი გადაწყობა, რომ kth საფეხურზე წამყვანი ელემენტი აღმოჩნდება ყველაზე დიდი ელემენტი k-ე სვეტში.
- ჟორდანო-გაუსის მეთოდი;
მოდი ილუსტრაციით განვასხვავოთ ჟორდანო-გაუსის მეთოდიგაუსის მეთოდიდან მაგალითებით.
ამოხსნის მაგალითი გაუსის მეთოდით
მოდით გადავჭრათ სისტემა: 
გაანგარიშების სიმარტივისთვის, მოდით შევცვალოთ ხაზები: 
გავამრავლოთ მე-2 სტრიქონი (2-ზე). დაამატეთ მე-3 სტრიქონი მე-2-ს 
გავამრავლოთ მე-2 სტრიქონი (-1-ზე). დაამატეთ მე-2 სტრიქონი პირველს 
პირველი ხაზიდან გამოვხატავთ x 3:
მე-2 სტრიქონიდან გამოვხატავთ x 2:
მე-3 სტრიქონიდან გამოვხატავთ x 1:
ჟორდანო-გაუსის მეთოდის გამოყენებით ამოხსნის მაგალითი
მოდით გადავჭრათ იგივე SLAE ჟორდანო-გაუსის მეთოდით. 
ჩვენ თანმიმდევრულად ვირჩევთ გადამწყვეტ ელემენტს RE, რომელიც დევს მატრიცის მთავარ დიაგონალზე.
გარჩევადობის ელემენტი უდრის (1).
NE = SE - (A*B)/RE
RE - გადამწყვეტი ელემენტი (1), A და B - მატრიცის ელემენტები, რომლებიც ქმნიან ოთხკუთხედს STE და RE ელემენტებით.
მოდით წარმოვადგინოთ თითოეული ელემენტის გაანგარიშება ცხრილის სახით:
| x 1 | x 2 | x 3 | ბ |
| 1 / 1 = 1 | 2 / 1 = 2 | -2 / 1 = -2 | 1 / 1 = 1 |
გამხსნელი ელემენტი უდრის (3).
გადამწყვეტი ელემენტის ადგილას ვიღებთ 1-ს, ხოლო თავად სვეტში ვწერთ ნულებს.
მატრიცის ყველა სხვა ელემენტი, B სვეტის ელემენტების ჩათვლით, განისაზღვრება მართკუთხედის წესით.
ამისათვის ჩვენ ვირჩევთ ოთხ რიცხვს, რომლებიც განლაგებულია მართკუთხედის წვეროებზე და ყოველთვის შეიცავს RE ელემენტს.
| x 1 | x 2 | x 3 | ბ |
| 0 / 3 = 0 | 3 / 3 = 1 | 1 / 3 = 0.33 | 4 / 3 = 1.33 |
გარჩევადობის ელემენტია (-4).
გადამწყვეტი ელემენტის ადგილას ვიღებთ 1-ს, ხოლო თავად სვეტში ვწერთ ნულებს.
მატრიცის ყველა სხვა ელემენტი, B სვეტის ელემენტების ჩათვლით, განისაზღვრება მართკუთხედის წესით.
ამისათვის ჩვენ ვირჩევთ ოთხ რიცხვს, რომლებიც განლაგებულია მართკუთხედის წვეროებზე და ყოველთვის შეიცავს RE ელემენტს.
მოდით წარმოვადგინოთ თითოეული ელემენტის გაანგარიშება ცხრილის სახით:
| x 1 | x 2 | x 3 | ბ |
| 0 / -4 = 0 | 0 / -4 = 0 | -4 / -4 = 1 | -4 / -4 = 1 |
უპასუხე: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1