ძალაუფლების დამატება ბუნებრივი მაჩვენებლებით. ხარისხების თვისებები, ფორმულირებები, მტკიცებულებები, მაგალითები

მათემატიკაში ხარისხის ცნება შემოტანილია მე-7 კლასში ალგებრის კლასში. და შემდგომში, მათემატიკის შესწავლის მთელი კურსის განმავლობაში, ეს კონცეფცია აქტიურად გამოიყენება სხვადასხვა ფორმით. ხარისხი საკმაოდ რთული თემაა, რომელიც მოითხოვს ღირებულებების დამახსოვრებას და სწორად და სწრაფად დათვლის უნარს. ხარისხებთან უფრო სწრაფად და უკეთ სამუშაოდ, მათემატიკოსებმა მოიგონეს ხარისხის თვისებები. ისინი ხელს უწყობენ დიდი გამოთვლების შემცირებას, უზარმაზარი მაგალითის გარკვეულ რიცხვად გადაქცევას. ამდენი თვისება არ არის და ყველა მათგანი ადვილად დასამახსოვრებელი და პრაქტიკაში გამოყენებაა. აქედან გამომდინარე, სტატიაში განხილულია ხარისხის ძირითადი თვისებები, ასევე სად გამოიყენება ისინი.

ხარისხის თვისებები

ჩვენ განვიხილავთ ხარისხების 12 თვისებას, მათ შორის ხარისხების თვისებებს იმავე საფუძვლებზე, და ჩვენ მივცემთ მაგალითს თითოეული ქონებისთვის. თითოეული ეს თვისება დაგეხმარებათ სწრაფად გადაჭრათ პრობლემები ხარისხით და ასევე გიშველით მრავალი გამოთვლითი შეცდომისგან.

1-ლი ქონება.

ბევრი ადამიანი ხშირად ივიწყებს ამ თვისებას და უშვებს შეცდომებს, ნულოვანი მნიშვნელობის რიცხვს ნულის სახით წარმოადგენს.

მე-2 ქონება.

მე-3 ქონება.

უნდა გვახსოვდეს, რომ ამ თვისების გამოყენება შესაძლებელია მხოლოდ რიცხვების გამრავლებისას; ის არ მუშაობს ჯამით! და არ უნდა დაგვავიწყდეს, რომ ეს და შემდეგი თვისებები ვრცელდება მხოლოდ იმავე საფუძვლების მქონე ძალებზე.

მე-4 ქონება.

თუ რიცხვი მნიშვნელში გაზრდილია უარყოფით ხარისხზე, მაშინ გამოკლებისას მნიშვნელის ხარისხი აღებულია ფრჩხილებში, რათა სწორად შეიცვალოს ნიშანი შემდგომი გამოთვლებით.

ქონება მუშაობს მხოლოდ გაყოფისას, გამოკლებისას არ მოქმედებს!

მე-5 ქონება.

მე-6 ქონება.

ეს ქონება ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას საპირისპირო მხარეს. ერთეული გაყოფილი რიცხვზე გარკვეულწილად არის ეს რიცხვი მინუს სიმძლავრემდე.

მე-7 ქონება.

ეს თვისება არ შეიძლება გამოყენებულ იქნას ჯამზე და განსხვავებაზე! ჯამის ან სხვაობის ხარისხზე აწევა იყენებს შემოკლებულ გამრავლების ფორმულებს და არა სიმძლავრის თვისებებს.

მე-8 ქონება.

მე-9 ქონება.

ეს თვისება მუშაობს ნებისმიერი წილადის სიმძლავრეზე ერთის ტოლი მრიცხველით, ფორმულა იგივე იქნება, მხოლოდ ფესვის სიმძლავრე შეიცვლება სიმძლავრის მნიშვნელის მიხედვით.

ეს თვისება ასევე ხშირად გამოიყენება საპირისპიროდ. რიცხვის ნებისმიერი სიმძლავრის ფესვი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი, როგორც ეს რიცხვი ერთის ხარისხში გაყოფილი ფესვის ძალაზე. ეს თვისება ძალიან სასარგებლოა იმ შემთხვევებში, როდესაც რიცხვის ფესვის ამოღება შეუძლებელია.

მე-10 ქონება.

ეს ქონება მუშაობს არა მხოლოდ კვადრატული ფესვიდა მეორე ხარისხი. თუ ფესვის ხარისხი და ამ ფესვის ამაღლების ხარისხი ემთხვევა, მაშინ პასუხი იქნება რადიკალური გამოხატულება.

მე-11 ქონება.

თქვენ უნდა შეძლოთ ამ თვისების დროულად დანახვა მისი ამოხსნისას, რათა თავი დააღწიოთ თავს უზარმაზარი გათვლებისგან.

მე-12 ქონება.

თითოეული ეს თვისება არაერთხელ შეგხვდებათ ამოცანებში; მისი მიცემა შესაძლებელია სუფთა ფორმადა შეიძლება მოითხოვოს გარკვეული ტრანსფორმაციები და სხვა ფორმულების გამოყენება. ამიტომ ამისთვის სწორი გადაწყვეტილებასაკმარისი არ არის მხოლოდ თვისებების ცოდნა; თქვენ უნდა ივარჯიშოთ და ჩართოთ სხვა მათემატიკური ცოდნა.

ხარისხების გამოყენება და მათი თვისებები

ისინი აქტიურად გამოიყენება ალგებრასა და გეომეტრიაში. ცალკე, მნიშვნელოვანი ადგილი უკავია მათემატიკის ხარისხს. მათი დახმარებით იხსნება ექსპონენციური განტოლებები და უტოლობები, მათემატიკის სხვა დარგებთან დაკავშირებული განტოლებები და მაგალითები ხშირად რთულდება ძლიერებით. სიმძლავრეები ხელს უწყობს დიდი და ხანგრძლივი გამოთვლების თავიდან აცილებას; უფლებამოსილებების შემოკლება და გამოთვლა უფრო ადვილია. ოღონდ დიდი ხარისხით, ან ხარისხით მუშაობისთვის დიდი რაოდენობით, თქვენ უნდა იცოდეთ არა მხოლოდ გრადუსების თვისებები, არამედ კომპეტენტურად იმუშაოთ ბაზებთან, შეგეძლოთ მათი დაშლა, რათა გაგიადვილოთ დავალება. მოხერხებულობისთვის, თქვენ ასევე უნდა იცოდეთ სიძლიერეზე აყვანილი რიცხვების მნიშვნელობა. ეს შეამცირებს თქვენს დროს ამოხსნისას, რაც გამორიცხავს ხანგრძლივი გამოთვლების საჭიროებას.

ხარისხის ცნება განსაკუთრებულ როლს ასრულებს ლოგარითმებში. ვინაიდან ლოგარითმი, არსებითად, არის რიცხვის ძალა.

შემოკლებული გამრავლების ფორმულები ძალაუფლების გამოყენების კიდევ ერთი მაგალითია. ხარისხების თვისებები მათში არ გამოიყენება, ისინი იშლება შესაბამისად სპეციალური წესები, მაგრამ ყოველი შემოკლებული გამრავლების ფორმულა უცვლელად შეიცავს ხარისხებს.

დიპლომები ასევე აქტიურად გამოიყენება ფიზიკასა და კომპიუტერულ მეცნიერებაში. SI სისტემაში ყველა კონვერტაცია ხდება ძალაუფლების გამოყენებით, ხოლო მომავალში, პრობლემების გადაჭრისას, გამოიყენება დენის თვისებები. კომპიუტერულ მეცნიერებაში ორის ძალა აქტიურად გამოიყენება რიცხვების დათვლისა და აღქმის გასამარტივებლად. შემდგომი გამოთვლები საზომი ერთეულების კონვერტაციისთვის ან ამოცანების გამოთვლებისთვის, ისევე როგორც ფიზიკაში, ხდება გრადუსების თვისებების გამოყენებით.

ხარისხები ასევე ძალიან სასარგებლოა ასტრონომიაში, სადაც იშვიათად ნახავთ ხარისხის თვისებების გამოყენებას, მაგრამ თავად გრადუსები აქტიურად გამოიყენება სხვადასხვა სიდიდისა და მანძილის აღნიშვნის შესამცირებლად.

ხარისხები ასევე გამოიყენება ჩვეულებრივი ცხოვრება, ფართობების, მოცულობების, მანძილების გაანგარიშებისას.

ხარისხები გამოიყენება მეცნიერების ნებისმიერ დარგში ძალიან დიდი და ძალიან მცირე რაოდენობით ჩასაწერად.

ექსპონენციალური განტოლებები და უტოლობა

ხარისხების თვისებებს განსაკუთრებული ადგილი უჭირავს ზუსტად ექსპონენციალური განტოლებებიდა უთანასწორობები. ეს ამოცანები ძალიან გავრცელებულია, როგორც სკოლის კურსიდა გამოცდებზე. ყველა მათგანი მოგვარებულია ხარისხის თვისებების გამოყენებით. უცნობი ყოველთვის გვხვდება თავად ხარისხში, ამიტომ ყველა თვისების ცოდნა, ასეთი განტოლების ან უტოლობის ამოხსნა არ არის რთული.

ვიდეო გაკვეთილი 2: ხარისხი გ ბუნებრივი მაჩვენებელიდა მისი თვისებები

ლექცია:

ხარისხი ბუნებრივი მაჩვენებლით

ქვეშ ხარისხირაღაც ნომერი "A"რაღაც მაჩვენებლით "n"გაიგე რიცხვის ნამრავლი "A"თავისით "n"ერთხელ.

როდესაც ვსაუბრობთ ხარისხზე ბუნებრივი მაჩვენებლით, ეს ნიშნავს, რომ რიცხვი "n"უნდა იყოს მთელი რიცხვი და არა უარყოფითი.

ა- ხარისხის საფუძველი, რომელიც გვიჩვენებს რომელი რიცხვი უნდა გამრავლდეს თავისთავად,

ნ- ექსპონენტი - ის გვეუბნება, რამდენჯერ სჭირდება ფუძის თავისთავად გამრავლება.

Მაგალითად:

8 4 = 8 * 8 * 8 * 8 = 4096.

ამ შემთხვევაში, ხარისხის ფუძე გაგებულია, როგორც რიცხვი "8", ხარისხის მაჩვენებელია რიცხვი "4", ხოლო ხარისხის მნიშვნელობა არის რიცხვი "4096".

ყველაზე დიდი და ყველაზე გავრცელებული შეცდომა ხარისხის გამოთვლისას არის მაჩვენებლის გამრავლება ფუძეზე - ეს არ არის სწორი!

როდესაც ვსაუბრობთ ხარისხზე ბუნებრივი მაჩვენებლით, ვგულისხმობთ მხოლოდ მაჩვენებელს (n)ეს უნდა იყოს ბუნებრივი რიცხვი.

თქვენ შეგიძლიათ აიღოთ ნებისმიერი რიცხვი რიცხვების ხაზში, როგორც საფუძველი.

Მაგალითად,

(-0,1) 3 = (-0,1) * (-0,1) * (-0,1) = (-0,001).

მათემატიკურ ოპერაციას, რომელიც შესრულებულია ფუძესა და მაჩვენებელზე, ეწოდება ამაღლება.

შეკრება\გამოკლება პირველი საფეხურის მათემატიკური მოქმედებაა, გამრავლება\გაყოფა მეორე საფეხურის მოქმედებაა, სიძლიერის ამაღლება მესამე საფეხურის მათემატიკური მოქმედებაა, ანუ ერთ-ერთი უმაღლესი.

მათემატიკური ოპერაციების ეს იერარქია განსაზღვრავს გაანგარიშების თანმიმდევრობას. თუ ეს მოქმედება ხდება ამოცანებში წინა ორს შორის, მაშინ ის ჯერ კეთდება.

Მაგალითად:

15 + 6 *2 2 = 39

ამ მაგალითში, თქვენ ჯერ უნდა აწიოთ 2 სიმძლავრეზე, ანუ,

შემდეგ გავამრავლოთ შედეგი 6-ზე, ანუ

სიმძლავრე ბუნებრივი მაჩვენებლით გამოიყენება არა მხოლოდ კონკრეტული გამოთვლებისთვის, არამედ დიდი რიცხვების ჩაწერის მოხერხებულობისთვის. ამ შემთხვევაში, კონცეფცია ასევე გამოიყენება "ნომრის სტანდარტული ფორმა". ეს აღნიშვნა გულისხმობს გარკვეული რიცხვის 1-დან 9-მდე გამრავლებას 10-ის ტოლი სიმძლავრით გარკვეული მაჩვენებლით.

Მაგალითად, დედამიწის რადიუსის სტანდარტული ფორმით ჩასაწერად გამოიყენეთ შემდეგი აღნიშვნა:

6400000 მ = 6.4 * 10 6 მ,

და დედამიწის მასა, მაგალითად, ასე იწერება:

ხარისხის თვისებები

მაგალითების ხარისხით გადაჭრის მოხერხებულობისთვის, თქვენ უნდა იცოდეთ მათი ძირითადი თვისებები:

1. თუ თქვენ უნდა გაამრავლოთ ორი ძალა, რომლებსაც აქვთ ერთი და იგივე ფუძე, მაშინ ამ შემთხვევაში ბაზა უნდა დარჩეს უცვლელი და დაემატოს მაჩვენებლები.

a n * a m = a n+m

Მაგალითად:

5 2 * 5 4 = 5 6 .

2. თუ საჭიროა ორი გრადუსის გაყოფა, რომლებსაც აქვთ ერთი და იგივე ფუძე, მაშინ ამ შემთხვევაში ფუძე უნდა დარჩეს უცვლელი და გამოკლდეს მაჩვენებლები. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ოპერაციებისთვის, რომლებსაც აქვთ სიმძლავრე ბუნებრივი მაჩვენებლით, დივიდენდის მაჩვენებელი უნდა იყოს გამყოფის მაჩვენებელზე მეტი. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ამ მოქმედების კოეფიციენტი იქნება რიცხვი უარყოფითი მაჩვენებლით.

a n / a m = a n-m

Მაგალითად,

5 4 * 5 2 = 5 2 .

3. თუ საჭიროა ერთი სიმძლავრის მეორეზე აწევა, იგივე რიცხვი რჩება შედეგის საფუძვლად და მაჩვენებლები მრავლდება.

(a n) m = a n*m

Მაგალითად,

4. თუ საჭიროა თვითნებური რიცხვების ნამრავლის აწევა გარკვეულ სიმძლავრემდე, მაშინ შეგიძლიათ გამოიყენოთ გარკვეული გამანაწილებელი კანონი, რომლის მიხედვითაც ჩვენ ვიღებთ სხვადასხვა ფუძის ნამრავლს იმავე სიმძლავრემდე.

(a * b) m = a m * b m

Მაგალითად,

(5 * 8) 2 = 5 2 * 8 2 .

5. მსგავსი თვისება შეიძლება გამოვიყენოთ უფლებამოსილების გასაყოფად, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვეულებრივი ორეულის სიმძლავრის ასამაღლებლად.

(a / b) m = a m / b მ

6. ნებისმიერი რიცხვი, რომელიც ამაღლებულია ერთის ტოლ მაჩვენებელზე, უდრის თავდაპირველ რიცხვს.

a 1 = a

Მაგალითად,

7. ნებისმიერი რიცხვის ამაღლების ხარისხზე ნულის მაჩვენებლით, ამ გამოთვლის შედეგი ყოველთვის იქნება ერთი.

და 0 = 1

Მაგალითად,

გაკვეთილი თემაზე: "ხარისხების გამრავლებისა და გაყოფის წესები ერთი და იგივე და განსხვავებული მაჩვენებლებით. მაგალითები"

დამატებითი მასალები
ძვირფასო მომხმარებლებო, არ დაგავიწყდეთ დატოვოთ თქვენი კომენტარები, მიმოხილვები, სურვილები. ყველა მასალა შემოწმებულია ანტივირუსული პროგრამით.

სასწავლო საშუალებები და ტრენაჟორები ინტეგრალის ონლაინ მაღაზიაში მე-7 კლასისთვის
სახელმძღვანელო სახელმძღვანელოსთვის Yu.N. მაკარიჩევას სახელმძღვანელო სახელმძღვანელოსთვის A.G. მორდკოვიჩი

გაკვეთილის მიზანი: ვისწავლოთ მოქმედებების შესრულება რიცხვების სიძლიერით.

პირველ რიგში, გავიხსენოთ კონცეფცია "რიცხვის ძალა". $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ ფორმის გამოხატულება შეიძლება იყოს $a^n$.

საპირისპირო ასევე მართალია: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

ამ თანასწორობას ეწოდება "ხარისხის ჩაწერა, როგორც პროდუქტი". ის დაგვეხმარება იმის გარკვევაში, თუ როგორ გავამრავლოთ და გავყოთ ძალები.
გახსოვდეთ:
ა- ხარისხის საფუძველი.
ნ- ექსპონენტი.
თუ n=1, რაც ნიშნავს რიცხვს ააიღო ერთხელ და შესაბამისად: $a^n= 1$.
თუ n=0, შემდეგ $a^0= 1$.

თუ რატომ ხდება ასე, მაშინ შეგვიძლია გავიგოთ, როდესაც გავეცანით ძალაუფლების გამრავლებისა და გაყოფის წესებს.

გამრავლების წესები

ა) თუ ერთი და იგივე ფუძის მქონე სიმძლავრეები გამრავლებულია.
$a^n * a^m$-ის მისაღებად, ჩვენ ვწერთ ხარისხებს ნამრავლის სახით: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a ) _(მ)$.
ნახაზი აჩვენებს, რომ რიცხვი ააიღეს n+mჯერ, შემდეგ $a^n * a^m = a^(n + m)$.

მაგალითი.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

ეს თვისება მოსახერხებელია გამოსაყენებლად სამუშაოს გასამარტივებლად, როდესაც რიცხვი უფრო მაღალ ხარისხზე აყვანეთ.
მაგალითი.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

ბ) თუ მრავლდება გრადუსები სხვადასხვა ფუძეებით, მაგრამ ერთი და იგივე მაჩვენებლით.
$a^n * b^n$-ის მისაღებად, ჩვენ ვწერთ ხარისხებს ნამრავლის სახით: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b ) _(მ)$.
თუ გავცვლით ფაქტორებს და დავთვლით მიღებულ წყვილებს, მივიღებთ: $\underbrace( (a *b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

ასე რომ, $a^n * b^n= (a *b)^n$.

მაგალითი.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

გაყოფის წესები

ა) ხარისხის საფუძველი ერთი და იგივეა, მაჩვენებლები განსხვავებული.
განვიხილოთ სიმძლავრის უფრო დიდი მაჩვენებლით გაყოფა სიმძლავრის უფრო მცირე მაჩვენებლით.

ასე რომ, ჩვენ გვჭირდება $\frac(a^n)(a^m)$, სად n>მ.

მოდით დავწეროთ გრადუსები წილადად:

$\frac(\ underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

მოხერხებულობისთვის ჩვენ ვწერთ გაყოფას მარტივ წილადად.

ახლა შევამციროთ წილადი.

გამოდის: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
ნიშნავს, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

ეს თვისება ხელს შეუწყობს სიტუაციის ახსნას რიცხვის ნულოვან სიმძლავრემდე აწევით. დავუშვათ, რომ n=m, შემდეგ $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

მაგალითები.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

ბ) ხარისხის საფუძვლები განსხვავებულია, მაჩვენებლები ერთი და იგივე.
ვთქვათ, გვჭირდება $\frac(a^n)(b^n)$. მოდით, რიცხვების ხარისხები წილადებად დავწეროთ:

$\frac(\ underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\ underbrace(b * b * \ldots * b )_(n))$.

მოხერხებულობისთვის, წარმოვიდგინოთ.

წილადების თვისების გამოყენებით დიდ წილადს ვყოფთ პატარების ნამრავლად, მივიღებთ.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
შესაბამისად: $\frac(a^n)(b^n)=(\frac(a)(b))^n$.

მაგალითი.
$\frac(4^3)(2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

ქვემოთ მოცემული ფორმულა იქნება განმარტება გრადუსი ბუნებრივი მაჩვენებლით(a არის სიმძლავრის საფუძველი და განმეორებითი კოეფიციენტი, ხოლო n არის მაჩვენებელი, რომელიც გვიჩვენებს რამდენჯერ მეორდება ფაქტორი):

ეს გამოთქმა ნიშნავს, რომ a რიცხვის სიმძლავრე n ბუნებრივი მაჩვენებლით არის n ფაქტორის ნამრავლი, მიუხედავად იმისა, რომ თითოეული ფაქტორი უდრის a-ს.

17^5=17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17=1\,419\,857

17 - ბაზის ხარისხი,

5 - მაჩვენებელი,

1419857 — ხარისხის მნიშვნელობა.

სიმძლავრე ნულის მაჩვენებლით უდრის 1-ს, იმ პირობით, რომ a\neq 0:

a^0=1.

მაგალითად: 2^0=1

როდის უნდა დაწერო დიდი რიცხვიჩვეულებრივ გამოიყენება 10 სიმძლავრე.

მაგალითად, დედამიწაზე ერთ-ერთი უძველესი დინოზავრი ცხოვრობდა დაახლოებით 280 მილიონი წლის წინ. მისი ასაკი ასე იწერება: 2.8 \cdot 10^8 .

10-ზე მეტი ყოველი რიცხვი შეიძლება დაიწეროს \cdot 10^n, იმ პირობით, რომ 1< a < 10 и n является положительным целым числом . Такую запись называют რიცხვის სტანდარტული ფორმა.

ასეთი რიცხვების მაგალითები: 6978=6.978 \cdot 10^3, 569000=5.69 \cdot 10^5.

თქვენ შეგიძლიათ თქვათ როგორც "a n-ე ხარისხზე" და "n-ე ხარისხში რიცხვი a" და "a to n ხარისხზე".

4^5 - "ოთხი ხარისხში 5" ან "4 მეხუთე ხარისხამდე" ან ასევე შეგიძლიათ თქვათ "მეხუთე ხარისხში 4"

ამ მაგალითში 4 არის ფუძე და 5 არის მაჩვენებელი.

ახლა მოვიყვანოთ მაგალითი წილადებითა და უარყოფითი რიცხვებით. დაბნეულობის თავიდან ასაცილებლად, ჩვეულებრივია ფრჩხილებში ნატურალური რიცხვების გარდა სხვა ფუძეების ჩაწერა:

(7,38)^2 , \left(\frac 12 \მარჯვნივ)^7, (-1)^4 და ა.შ.

ასევე დააკვირდით განსხვავებას:

(-5)^6 - ნიშნავს უარყოფითი რიცხვის −5 ხარისხს 6-ის ბუნებრივი მაჩვენებლით.

5^6 - შეესაბამება საპირისპირო რიცხვს 5^6.

გრადუსების თვისებები ბუნებრივი მაჩვენებლით

ხარისხის ძირითადი თვისება

a^n \cdot a^k = a^(n+k)

ბაზა იგივე რჩება, მაგრამ ექსპონენტები ემატება.

მაგალითად: 2^3 \cdot 2^2 = 2^(3+2)=2^5

ერთნაირი ფუძეების კოეფიციენტთა თვისება

a^n: a^k=a^(n-k), თუ n > k .

მაჩვენებლები გამოკლებულია, მაგრამ ფუძე იგივე რჩება.

ეს შეზღუდვა n > k შემოტანილია იმისათვის, რომ არ გასცდეს ბუნებრივ მაჩვენებლებს. მართლაც, n > k-სთვის a^(n-k) მაჩვენებელი იქნება ნატურალური რიცხვი, წინააღმდეგ შემთხვევაში ის იქნება უარყოფითი რიცხვი (k< n ), либо нулем (k-n ).

მაგალითად: 2^3: 2^2 = 2^(3-2)=2^1

ძალაუფლების ძალაუფლებაზე აყვანის თვისება

(a^n)^k=a^(nk)

ბაზა იგივე რჩება, მხოლოდ მაჩვენებლები მრავლდება.

Მაგალითად: (2^3)^6 = 2^(3 \cdot 6)=2^(18)

პროდუქტის ექსპონენტაციის თვისება

თითოეული ფაქტორი ამაღლებულია n ხარისხზე.

a^n \cdot b^n = (ab)^n

Მაგალითად: 2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3=6^3

წილადის სიძლიერის თვისება

\frac(a^n)(b^n)=\left(\frac(a)(b) \მარჯვნივ) ^n, b \neq 0

წილადის მრიცხველიც და მნიშვნელიც ტოლია. \left(\frac(2)(5) \მარჯვნივ)^3=\frac(2^3)(5^3)=\frac(8)(125)

რიცხვის სიმძლავრის დადგენის შემდეგ ლოგიკურია საუბარი ხარისხის თვისებები. ამ სტატიაში ჩვენ მივცემთ რიცხვის სიმძლავრის ძირითად თვისებებს, ხოლო ყველაფერს შევეხებით შესაძლო ინდიკატორებიგრადუსი. აქ ჩვენ მოგაწვდით ხარისხების ყველა თვისების მტკიცებულებას და ასევე ვაჩვენებთ, თუ როგორ გამოიყენება ეს თვისებები მაგალითების ამოხსნისას.

გვერდის ნავიგაცია.

გრადუსების თვისებები ბუნებრივი მაჩვენებლებით

ბუნებრივი მაჩვენებლის მქონე სიმძლავრის განმარტებით, სიმძლავრე a n არის n ფაქტორების ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული უდრის a-ს. ამ განმარტებაზე დაყრდნობით და ასევე გამოყენებით ნამდვილ რიცხვთა გამრავლების თვისებები, შეგვიძლია მივიღოთ და დავასაბუთოთ შემდეგი ხარისხის თვისებები ბუნებრივი მაჩვენებლით:

1. a m ·a n =a m+n ხარისხის ძირითადი თვისება, მისი განზოგადება;
2. იდენტური საფუძვლების კოეფიციენტთა თვისება a m:a n =a m−n ;
3. პროდუქტის სიმძლავრის თვისება (a·b) n =a n ·b n , მისი გაფართოება;
4. კოეფიციენტის თვისება ბუნებრივ ხარისხზე (a:b) n =a n:b n ;
5. ხარისხის ამაღლება ხარისხამდე (a m) n =a m·n, მისი განზოგადება ((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
6. ხარისხის შედარება ნულთან:
   • თუ a>0, მაშინ n>0 ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის n;
   • თუ a=0, მაშინ a n =0;
   • თუ<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 თუ ა<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
7. თუ a და b დადებითი რიცხვებია და a
8. თუ m და n ისეთი ნატურალური რიცხვებია, რომ m>n, მაშინ 0-ზე 0 უტოლობა a m >a n მართალია.

დაუყოვნებლივ აღვნიშნოთ, რომ ყველა წერილობითი თანასწორობა არის იდენტურიმითითებული პირობების გათვალისწინებით, მათი მარჯვენა და მარცხენა ნაწილების შეცვლა შესაძლებელია. მაგალითად, a m ·a n =a m+n წილადის მთავარი თვისება გამონათქვამების გამარტივებახშირად გამოიყენება m+n =a m ·a n სახით.

ახლა მოდით განვიხილოთ თითოეული მათგანი დეტალურად.

დავიწყოთ ერთი და იგივე ფუძის მქონე ორი სიმძლავრის ნამრავლის თვისებით, რომელსაც ე.წ ხარისხის მთავარი თვისება: ნებისმიერი რეალური რიცხვისთვის და ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის m და n, ტოლობა a m ·a n =a m+n არის ჭეშმარიტი.

მოდით დავამტკიცოთ ხარისხის ძირითადი თვისება. ბუნებრივი მაჩვენებლის მქონე სიმძლავრის განმარტებით, a m ·a n ფორმის იგივე ფუძეების მქონე ძალების ნამრავლი შეიძლება ჩაიწეროს ნამრავლად. გამრავლების თვისებებიდან გამომდინარე, მიღებული გამოხატულება შეიძლება დაიწეროს როგორც და ეს ნამრავლი არის a რიცხვის სიმძლავრე m+n ბუნებრივი მაჩვენებლით, ანუ m+n. ეს ასრულებს მტკიცებულებას.

მოდით მივცეთ მაგალითი, რომელიც ადასტურებს ხარისხის ძირითად თვისებას. ავიღოთ გრადუსები იგივე საფუძვლებით 2 და ბუნებრივი ხარისხებით 2 და 3, გრადუსების ძირითადი თვისების გამოყენებით შეგვიძლია დავწეროთ ტოლობა 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. მოდით შევამოწმოთ მისი ვალიდობა 2 2 · 2 3 და 2 5 გამონათქვამების მნიშვნელობების გამოთვლით. ჩვენ გვაქვს ექსპონენტაციის შესრულება 2 2 · 2 3 = (2 · 2) · (2 ​​· 2 · 2) = 4 · 8 = 32და 2 5 =2·2·2·2·2=32, ვინაიდან მიიღება თანაბარი მნიშვნელობები, მაშინ ტოლობა 2 2 ·2 3 =2 5 სწორია და ის ადასტურებს ხარისხის ძირითად თვისებას.

ხარისხის ძირითადი თვისება, რომელიც დაფუძნებულია გამრავლების თვისებებზე, შეიძლება განზოგადდეს სამი ან მეტი სიმძლავრის ნამრავლზე ერთი და იგივე ფუძეებით და ბუნებრივი მაჩვენებლებით. ასე რომ, ნებისმიერი k რიცხვისთვის ნატურალური რიცხვები n 1, n 2, …, n k შემდეგი ტოლობა მართალია: a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Მაგალითად, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

ჩვენ შეგვიძლია გადავიდეთ ძალების შემდეგ თვისებაზე ბუნებრივი მაჩვენებლით - ერთნაირი ფუძეების კოეფიციენტის ხარისხების თვისება: ნებისმიერი არანულოვანი რეალური რიცხვისთვის და m და n თვითნებური ნატურალური რიცხვებისთვის, რომლებიც აკმაყოფილებს m>n პირობას, ტოლობა a m:a n =a m−n არის ჭეშმარიტი.

სანამ ამ თვისების მტკიცებულებას წარმოვადგენთ, განვიხილოთ ფორმულირებაში არსებული დამატებითი პირობების მნიშვნელობა. პირობა a≠0 აუცილებელია, რათა თავიდან ავიცილოთ გაყოფა ნულზე, რადგან 0 n =0, და როცა გავეცანით გაყოფას, შევთანხმდით, რომ ნულზე ვერ გავყოფთ. პირობა m>n შემოტანილია ისე, რომ ბუნებრივ მაჩვენებლებს არ გავცდეთ. მართლაც, m>n-სთვის მაჩვენებლის m−n არის ნატურალური რიცხვი, წინააღმდეგ შემთხვევაში ის იქნება ან ნული (რაც ხდება m−n) ან უარყოფითი რიცხვი (რაც ხდება m-სთვის.

მტკიცებულება. წილადის მთავარი თვისება საშუალებას გვაძლევს დავწეროთ ტოლობა a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. მიღებული ტოლობიდან a m−n ·a n =a m და გამოდის, რომ m−n არის a m და a n ხარისხების კოეფიციენტი. ეს ადასტურებს იდენტური ფუძის მქონე კოეფიციენტების ხარისხებს.

მოვიყვანოთ მაგალითი. ავიღოთ ორი გრადუსი ერთი და იგივე ფუძეებით π და ბუნებრივი მაჩვენებლებით 5 და 2, ტოლობა π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 შეესაბამება ხარისხის განხილულ თვისებას.

ახლა განვიხილოთ პროდუქტის სიმძლავრის თვისება: ნებისმიერი ორი რეალური რიცხვის ნამრავლის n ბუნებრივი სიძლიერე a და b ტოლია a n და b n ხარისხების ნამრავლის, ანუ (a·b) n =a n ·b n .

მართლაც, ხარისხის განსაზღვრებით ბუნებრივი მაჩვენებლით გვაქვს . გამრავლების თვისებებიდან გამომდინარე, ბოლო ნამრავლი შეიძლება გადაიწეროს როგორც , რომელიც უდრის a n · b n .

აი მაგალითი: .

ეს თვისება ვრცელდება სამი ან მეტი ფაქტორის პროდუქტის ძალაზე. ანუ k ფაქტორების ნამრავლის ბუნებრივი ხარისხის n თვისება იწერება როგორც (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n.

სიცხადისთვის, ჩვენ ვაჩვენებთ ამ თვისებას მაგალითით. სამი ფაქტორის ნამრავლისთვის 7-ის ხარისხზე გვაქვს .

შემდეგი ქონება არის კოეფიციენტის თვისება ნატურით: a და b, b≠0 რეალური რიცხვების კოეფიციენტი n ნატურალურ ხარისხზე უდრის a n და b n ხარისხების კოეფიციენტს, ანუ (a:b) n =a n:b n.

მტკიცებულება შეიძლება განხორციელდეს წინა ქონების გამოყენებით. Ისე (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, და (a:b) n ·b n =a n ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ (a:b) n არის a n-ის კოეფიციენტი გაყოფილი b n-ზე.

მოდით დავწეროთ ეს თვისება კონკრეტული რიცხვების გამოყენებით, როგორც მაგალითი: .

ახლა გავახმოვანოთ ძალაუფლების ძალაუფლებაზე აყვანის თვისება: ნებისმიერი რეალური რიცხვისთვის და ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის m და n, a m სიძლიერე n-ის ხარისხზე უდრის a რიცხვის ხარისხს m·n მაჩვენებლით, ანუ (a m) n =a m·n.

მაგალითად, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.

სიმძლავრე-ხარისხის თვისების მტკიცებულება არის თანასწორობის შემდეგი ჯაჭვი: .

განხილული ქონება შეიძლება გაფართოვდეს ხარისხიდან ხარისხამდე და ა.შ. მაგალითად, ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის p, q, r და s, ტოლობა . უფრო მეტი სიცხადისთვის, აქ არის მაგალითი კონკრეტული რიცხვებით: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

რჩება შეჩერება ხარისხების ბუნებრივ მაჩვენებელთან შედარების თვისებებზე.

დავიწყოთ ბუნებრივ მაჩვენებელთან ნულისა და სიმძლავრის შედარების თვისების დამტკიცებით.

ჯერ დავამტკიცოთ, რომ a n >0 ნებისმიერი a>0-სთვის.

ორი დადებითი რიცხვის ნამრავლი არის დადებითი რიცხვი, როგორც ჩანს გამრავლების განმარტებიდან. ეს ფაქტი და გამრავლების თვისებები ვარაუდობს, რომ დადებითი რიცხვების ნებისმიერი რაოდენობის გამრავლების შედეგი ასევე იქნება დადებითი რიცხვი. ხოლო რიცხვი a-ს სიმძლავრე n ბუნებრივი მაჩვენებლით, განსაზღვრებით, არის n ფაქტორების ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული უდრის a-ს. ეს არგუმენტები საშუალებას გვაძლევს დავამტკიცოთ, რომ ნებისმიერი დადებითი საფუძვლისთვის, a n ხარისხი დადებითი რიცხვია. დადასტურებული ქონების გამო 3 5 >0, (0.00201) 2 >0 და .

სავსებით აშკარაა, რომ ნებისმიერი n ნატურალური რიცხვისთვის a=0-ით a n-ის ხარისხი არის ნული. მართლაც, 0 n =0·0·…·0=0 . მაგალითად, 0 3 = 0 და 0 762 = 0.

მოდით გადავიდეთ ხარისხის უარყოფით საფუძვლებზე.

დავიწყოთ იმ შემთხვევით, როდესაც მაჩვენებელი ლუწი რიცხვია, ავღნიშნოთ 2·m, სადაც m არის ნატურალური რიცხვი. მერე . a·a ფორმის თითოეული ნამრავლისთვის უდრის a და a რიცხვების მოდულის ნამრავლს, რაც ნიშნავს, რომ ეს არის დადებითი რიცხვი. შესაბამისად, პროდუქტიც დადებითი იქნება და ხარისხი a 2·მ. მოვიყვანოთ მაგალითები: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 და .

დაბოლოს, როდესაც a ფუძე უარყოფითი რიცხვია და მაჩვენებელი კენტი რიცხვი 2 m−1, მაშინ . ყველა ნამრავლი a·a არის დადებითი რიცხვები, ამ დადებითი რიცხვების ნამრავლი ასევე დადებითია და მისი გამრავლება დანარჩენზე უარყოფითი რიცხვიშედეგი არის უარყოფითი რიცხვი. ამ თვისების გამო (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

მოდით გადავიდეთ იმავე ბუნებრივ მაჩვენებლებთან ძალების შედარების თვისებაზე, რომელსაც აქვს შემდეგი ფორმულირება: ორი სიმძლავრის ერთი და იგივე ბუნებრივი მაჩვენებლების მქონე n ნაკლებია ვიდრე ის, ვისი ფუძეც უფრო მცირეა და დიდია ის, ვისი ფუძეც უფრო დიდია. . დავამტკიცოთ.

უტოლობა a n უტოლობების თვისებებიასევე მართებულია a n ფორმის დასამტკიცებელი უტოლობა .

რჩება ძალაუფლების ჩამოთვლილი თვისებების ბოლო დამტკიცება ბუნებრივი მაჩვენებლებით. ჩამოვაყალიბოთ. ორი ძლევამოსილებიდან ერთზე ნაკლები ბუნებრივი მაჩვენებლებით და იდენტური დადებითი ფუძეებით, უფრო დიდია ის, ვისი მაჩვენებლებიც უფრო მცირეა; და ორი სიძლიერის მქონე ბუნებრივი მაჩვენებლებით და ერთზე მეტი იდენტური ფუძეებით, ის, ვისი მაჩვენებელიც მეტია, უფრო დიდია. მოდით გადავიდეთ ამ ქონების მტკიცებულებაზე.

დავამტკიცოთ, რომ m>n და 0 0 საწყისი პირობის m>n გამო, რაც ნიშნავს, რომ 0-ზე

რჩება ქონების მეორე ნაწილის დამტკიცება. დავამტკიცოთ, რომ m>n და a>1 a m >a n მართალია. სხვაობა a m −a n ფრჩხილებიდან n-ის ამოღების შემდეგ იღებს n ·(a m−n −1) ფორმას. ეს ნამრავლი დადებითია, რადგან a>1-სთვის a n ხარისხი დადებითი რიცხვია, ხოლო სხვაობა a m−n −1 დადებითი რიცხვია, ვინაიდან m−n>0 საწყისი პირობის გამო, ხოლო a>1-ისთვის ხარისხი m−n ერთზე მეტია. შესაბამისად, a m −a n >0 და a m >a n, რაც დამტკიცებას საჭიროებდა. ეს თვისება ილუსტრირებულია უტოლობით 3 7 >3 2.

ძალაუფლების თვისებები მთელი რიცხვის მაჩვენებლებით

ვინაიდან დადებითი მთელი რიცხვები ნატურალური რიცხვებია, მაშინ დადებითი მთელი რიცხვის მაჩვენებლების მქონე ხარისხების ყველა თვისება ზუსტად ემთხვევა წინა აბზაცში ჩამოთვლილ და დადასტურებულ ნატურალური მაჩვენებლების ხარისხების თვისებებს.

ჩვენ განვსაზღვრეთ ხარისხი მთელი რიცხვით უარყოფითი მაჩვენებლით, ისევე როგორც ხარისხი ნულოვანი მაჩვენებლით, ისე, რომ ტოლობებით გამოხატული ხარისხების ბუნებრივი მაჩვენებლების ყველა თვისება ძალაში დარჩა. მაშასადამე, ყველა ეს თვისება მოქმედებს როგორც ნულოვანი მაჩვენებლების, ასევე უარყოფითი მაჩვენებლების მიმართ, მაშინ როცა, რა თქმა უნდა, ხარისხების საფუძვლები განსხვავდება ნულისაგან.

ასე რომ, ნებისმიერი რეალური და არანულოვანი რიცხვებისთვის a და b, ისევე როგორც ნებისმიერი მთელი რიცხვი m და n, შემდეგი ჭეშმარიტია: ძალაუფლების თვისებები მთელი რიცხვის მაჩვენებლებით:

1. a m ·a n =a m+n;
2. a m:a n =a m−n ;
3. (a·b) n =a n ·b n ;
4. (a:b) n =a n:b n ;
5. (a m) n =a m·n ;
6. თუ n დადებითი მთელი რიცხვია, a და b დადებითი რიცხვებია და a b−n ;
7. თუ m და n მთელი რიცხვებია და m>n, მაშინ 0-ზე 1 მოქმედებს a m >a n უტოლობა.

როდესაც a=0, a m და a n ხარისხებს აქვთ აზრი მხოლოდ მაშინ, როდესაც m და n დადებითი მთელი რიცხვებია, ანუ ნატურალური რიცხვები. ამრიგად, ახლად დაწერილი თვისებები ასევე მოქმედებს იმ შემთხვევისთვის, როდესაც a=0 და რიცხვები m და n დადებითი მთელი რიცხვებია.

თითოეული ამ თვისების დამტკიცება არ არის რთული; ამისათვის საკმარისია გამოვიყენოთ გრადუსების განმარტებები ბუნებრივი და მთელი რიცხვების მაჩვენებლებით, ასევე მოქმედებების თვისებები რეალურ რიცხვებთან. მაგალითად, დავამტკიცოთ, რომ ძალაუფლების ძალაუფლების თვისება მოქმედებს როგორც დადებით, ასევე არაპოზიტიურ რიცხვებზე. ამისათვის თქვენ უნდა აჩვენოთ, რომ თუ p არის ნული ან ნატურალური რიცხვი და q არის ნული ან ნატურალური რიცხვი, მაშინ ტოლობები (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) და (a −p) −q =a (−p)·(−q). Მოდი გავაკეთოთ ეს.

დადებითი p და q-სთვის წინა აბზაცში დადასტურდა ტოლობა (a p) q =a p·q. თუ p=0, მაშინ გვაქვს (a 0) q =1 q =1 და a 0·q =a 0 =1, საიდანაც (a 0) q =a 0·q. ანალოგიურად, თუ q=0, მაშინ (a p) 0 =1 და a p·0 =a 0 =1, საიდანაც (a p) 0 =a p·0. თუ ორივე p=0 და q=0, მაშინ (a 0) 0 =1 0 =1 და a 0·0 =a 0 =1, საიდანაც (a 0) 0 =a 0·0.

ახლა ვამტკიცებთ, რომ (a −p) q =a (−p)·q . უარყოფითი მთელი რიცხვის მაჩვენებლის მქონე სიმძლავრის განმარტებით, მაშინ . ძალაუფლების კოეფიციენტების თვისებით გვაქვს . ვინაიდან 1 p =1·1·…·1=1 და , მაშინ . ბოლო გამონათქვამი, განსაზღვრებით, არის a −(p·q) ფორმის ხარისხში, რომელიც გამრავლების წესების გამო შეიძლება დაიწეროს როგორც (−p)·q.

ანალოგიურად .

და .

იგივე პრინციპის გამოყენებით, თქვენ შეგიძლიათ დაამტკიცოთ ხარისხის ყველა სხვა თვისება მთელი რიცხვის მაჩვენებლით, დაწერილი ტოლობის სახით.

ჩაწერილი თვისებებიდან წინაბოლოში ღირს შეჩერება a −n >b −n უტოლობის მტკიცებულებაზე, რომელიც მოქმედებს ნებისმიერ უარყოფით მთელ რიცხვზე −n და ნებისმიერ პოზიტიურ a და b-ზე, რომლისთვისაც a პირობა დაკმაყოფილებულია. . ვინაიდან პირობით ა 0 . ნამრავლი a n · b n ასევე დადებითია, როგორც a n და b n დადებითი რიცხვების ნამრავლი. მაშინ მიღებული წილადი დადებითია, როგორც b n −a n და a n ·b n დადებითი რიცხვების კოეფიციენტი. მაშასადამე, საიდანაც a −n >b −n, რისი დამტკიცებაც სჭირდებოდა.

ძალაუფლების უკანასკნელი თვისება მთელი რიცხვის მაჩვენებლებით დასტურდება ისევე, როგორც სიმძლავრეების მსგავსი თვისება ბუნებრივი მაჩვენებლებით.

ძალაუფლების თვისებები რაციონალური მაჩვენებლებით

ჩვენ განვსაზღვრეთ ხარისხი წილადის მაჩვენებლით, მასზე მთელი რიცხვის მაჩვენებლის მქონე ხარისხის თვისებების გაფართოებით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, წილადი მაჩვენებლების მქონე ხარისხებს აქვთ იგივე თვისებები, რაც ხარისხებს მთელი რიცხვების მაჩვენებლებით. კერძოდ:

წილადის მაჩვენებლებით გრადუსების თვისებების დადასტურება ემყარება წილადის მაჩვენებლის მქონე ხარისხის განსაზღვრას და მთელი რიცხვის მაჩვენებლის მქონე ხარისხის თვისებებს. მოვიყვანოთ მტკიცებულებები.

სიმძლავრის განმარტებით წილადის მაჩვენებლით და , მაშინ . არითმეტიკული ფესვის თვისებები საშუალებას გვაძლევს დავწეროთ შემდეგი ტოლობები. გარდა ამისა, მთელი რიცხვის მაჩვენებლის მქონე ხარისხის თვისების გამოყენებით, ვიღებთ , ხოლო მიღებული ხარისხის მაჩვენებელი შეიძლება გარდაიქმნას შემდეგნაირად: . ეს ასრულებს მტკიცებულებას.

წილადი მაჩვენებლების მქონე ძალების მეორე თვისება დადასტურებულია აბსოლუტურად ანალოგიურად:

დარჩენილი თანასწორობები დადასტურებულია მსგავსი პრინციპების გამოყენებით:

გადავიდეთ შემდეგი ქონების დამტკიცებაზე. დავამტკიცოთ, რომ ნებისმიერი დადებითი a და b, a ბ პ . რაციონალური რიცხვი p ჩავწეროთ m/n სახით, სადაც m არის მთელი რიცხვი, n კი ნატურალური რიცხვი. პირობები გვ<0 и p>0 ამ შემთხვევაში პირობები m<0 и m>0 შესაბამისად. იყიდება m>0 და a

ანალოგიურად, მ<0 имеем a m >b m, საიდანაც არის, და a p >b p.

რჩება ჩამოთვლილი თვისებებიდან ბოლო დასამტკიცებლად. დავამტკიცოთ, რომ რაციონალური რიცხვებისთვის p და q, p>q 0-ზე 0 – უტოლობა a p >a q . ჩვენ ყოველთვის შეგვიძლია რაციონალური რიცხვები p და q შევამციროთ საერთო მნიშვნელამდე, თუნდაც მივიღოთ ჩვეულებრივი წილადები და , სადაც m 1 და m 2 არის მთელი რიცხვები, ხოლო n არის ნატურალური რიცხვი. ამ შემთხვევაში, პირობა p>q შეესაბამება m 1 >m 2 პირობას, რომელიც გამომდინარეობს. შემდეგ, ძალაუფლების შედარების თვისებით იგივე ფუძეებით და ბუნებრივი მაჩვენებლებით 0-ზე 1 – უტოლობა a m 1 >a m 2 . ეს უტოლობები ფესვების თვისებებში შეიძლება გადაიწეროს შესაბამისად როგორც და . და რაციონალური მაჩვენებლით ხარისხის განსაზღვრა საშუალებას გვაძლევს გადავიდეთ უტოლობებზე და შესაბამისად. აქედან გამოვიტანთ საბოლოო დასკვნას: p>q და 0-სთვის 0 – უტოლობა a p >a q .

ძალაუფლების თვისებები ირაციონალური მაჩვენებლებით

თუ როგორ არის განსაზღვრული ხარისხი ირაციონალური მაჩვენებლით, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ მას აქვს რაციონალური მაჩვენებლების მქონე გრადუსების ყველა თვისება. ასე რომ, ნებისმიერი a>0, b>0 და ირაციონალური რიცხვებისთვის p და q სწორია ძალაუფლების თვისებები ირაციონალური მაჩვენებლებით:

1. a p ·a q =a p+q ;
2. a p:a q =a p−q;
3. (a·b) p =a p ·b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q =a p·q ;
6. ნებისმიერი დადებითი რიცხვისთვის a და b, a 0 უტოლობა a p b p ;
7. ირაციონალური რიცხვებისთვის p და q, p>q 0-ზე 0 – უტოლობა a p >a q .

აქედან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ p და q ნებისმიერი რეალური მაჩვენებლების მქონე ხარისხებს a>0-ისთვის აქვთ იგივე თვისებები.

ბიბლიოგრაფია.

• ვილენკინი ნ.ია., ჟოხოვი ვ.ი., ჩესნოკოვი ა.ს., შვარცბურდი ს.ი. მათემატიკის სახელმძღვანელო მე-5 კლასისთვის. ზოგადად საგანმანათლებო ინსტიტუტები.
• მაკარიჩევი იუ.ნ., მინდიუკ ნ.გ., ნეშკოვი კ.ი., სუვოროვა ს.ბ. ალგებრა: სახელმძღვანელო მე-7 კლასისთვის. საგანმანათლებო ინსტიტუტები.
• მაკარიჩევი იუ.ნ., მინდიუკ ნ.გ., ნეშკოვი კ.ი., სუვოროვა ს.ბ. ალგებრა: სახელმძღვანელო მე-8 კლასისთვის. საგანმანათლებო ინსტიტუტები.
• მაკარიჩევი იუ.ნ., მინდიუკ ნ.გ., ნეშკოვი კ.ი., სუვოროვა ს.ბ. ალგებრა: სახელმძღვანელო მე-9 კლასისთვის. საგანმანათლებო ინსტიტუტები.
• კოლმოგოროვი A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. და სხვა ალგებრა და ანალიზის საწყისები: სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებების 10-11 კლასებისთვის.
• გუსევი V.A., Mordkovich A.G. მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკურ სასწავლებლებში შესვლისთვის).